Một số tính chất tương đương giữa không gian Topo X và siêu không gian Pixley-Roy PR [X]

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:4

Thêm vào BST

Báo xấu

25
lượt xem 2
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Bài viết Một số tính chất tương đương giữa không gian Topo X và siêu không gian Pixley-Roy PR [X] nhóm tác giả đã đưa ra và chứng minh chi tiết 4 kết quả mới về mối liên hệ giữa các tính chất topo của không gian topo.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Một số tính chất tương đương giữa không gian Topo X và siêu không gian Pixley-Roy PR [X]

54 Huỳnh Thị Oanh Triều, Nguyễn Xuân Trúc, Lương Quốc Tuyển MỘT SỐ TÍNH CHẤT TƯƠNG ĐƯƠNG GIỮA KHÔNG GIAN TOPO X VÀ SIÊU KHÔNG GIAN PIXLEY-ROY PR[ X ] SOME EQUIVALENT PROPERTIES BETWEEN TOPOLOGICAL SPACE X AND PIXLEY-ROY HYPERSPACE PR[ X ] Huỳnh Thị Oanh Triều*, Nguyễn Xuân Trúc, Lương Quốc Tuyển Trường Đại học Sư phạm - Đại học Đà Nẵng1 *Tác giả liên hệ: oanhtrieuhuynh@gmail.com (Nhận bài: 27/6/2022; Chấp nhận đăng: 16/9/2022) Tóm tắt - Trong những năm gần đây, một trong những hướng Abstract - In recent years, one of the directions of great interest được nhiều người quan tâm là nghiên cứu về mối liên hệ giữa các is the study of the relationship between the topological properties tính chất topo trên không gian topo ( X , ) với các tính chất topo on the topological space ( X , ) with the topological properties on trên siêu không gian Pixley-Roy PR[ X ] gồm các tập con hữu hạn the Pixley-Roy PR[ X ] hyperspace including: non-empty finite khác rỗng của X . Trong bài báo này, nhóm tác giả chứng minh subsets of X . In this paper, we prove that: (1) ( X , ) is a ﬁrst- rằng: (1) ( X , ) là không gian thỏa mãn tiên đề đếm được thứ countable space if and only if Pixley-Roy hyperspace PR[ X ] is a nhất khi và chỉ khi siêu không gian Pixley–Roy PR[ X ] là không ﬁrst-countable space; (2) ( X , ) is a discrete topological space if gian thỏa mãn tiên đề đếm được thứ nhất; (2) ( X , ) là không and only if the Pixley-Roy hyperspace Pixley-Roy PR[ X ] is a gian topo rời rạc khi và chỉ khi siêu không gian Pixley–Roy discrete topological space; (3) The Pixley–Roy hyperspace PR[ X ] là không gian topo rời rạc; (3) Siêu không gian Pixley– PR[ X ] is a separable space if and only if X is a countable set; (4) Roy PR[ X ] là không gian khả ly khi và chỉ khi X là tập đếm The Pixley–Roy hyperspace PR[ X ] is a Lindelöf space if and được; (4) Siêu không gian Pixley–Roy PR[ X ] là không gian only if X is a countable set. Lindelöf khi và chỉ khi X là tập đếm được. Từ khóa - Khả li; Lindelöf; rời rạc; siêu không gian; Pixley–Roy. Key words - Separable; Lindelöf; discrete; hyperspace; Pixley–Roy. 1. Giới thiệu Trong bài báo này, nhóm tác giả nghiên cứu mối liên Năm 1931, K. Borsulk và S. Ulam đã giới thiệu khái hệ của một số tính chất topo giữa không gian topo ( X , ) niệm tích đối xứng cấp n và siêu không gian Vietoris của và siêu không gian Pixley–Roy PR[ X ] của không gian một không gian topo X , lần lượt được ký hiệu là n ( X ) topo ( X , ) . và ( X ). Nhờ đó, các tác giả đã đưa ra một số tính chất Tất cả các không gian topo trình bày trong bài báo này quan trọng của siêu không gian n ( X ) và ( X ) (xem được quy ước là không gian Hausdorff, còn khái niệm và [1]). Nghiên cứu về mối quan hệ giữa các tính chất topo thuật ngữ khác nếu không nói gì thêm thì được hiểu thông trên không gian topo ( X , ) với các tính chất topo trên thường (xem [3]). Ngoài ra, nhóm tác giả sử dụng thêm ký siêu không gian Vietoris ( X ) tương ứng của nó là một hiệu: = {A : A  } . trong những bài toán của topo đại cương. 2. Cơ sở lí thuyết và phương pháp nghiên cứu Tương tự như việc nghiên cứu các tính chất mạng trên 2.1. Cơ sở lí thuyết siêu không gian Vietoris, lần đầu tiên Ljubisa D. R. Kočinac, L. Q. Tuyen và O. V. Tuyen (xem [2]) đã nghiên Giả sử ( X , ) là một không gian topo và kí hiệu cứu mối quan hệ giữa các tính chất mạng trên không gian PR[ X ] là họ gồm tất cả các tập con khác rỗng hữu hạn của topo X với các tính chất mạng trên siêu không gian X. Pixley–Roy PR[ X ] tương ứng của nó và đã thu được Với mọi n , ta đặt những kết quả quan trọng. Cụ thể là nếu siêu không gian Pixley–Roy PR[ X ] có cn-mạng đếm được (tương ứng, sp- PR n [ X ] = { A  X :1 | A | n}. mạng và mạng Pytkeev chặt), thì X cũng vậy và nếu siêu Khi đó, PR[ X ] = PR n [ X ]. không gian Pixley-Roy PR[ X ] là không gian cosmic n (tương ứng, P0 -không gian, và P0 -không gian chặt), thì Giả sử F , A  X , ta đặt X cũng vậy. [ F , A] = {H  PR[ X ] : F  H  A}. Bên cạnh đó, các tác giả đã đặt ra một số bài toán mở liên quan đến siêu không gian Pixley–Roy PR[ X ] (xem [2]) Trên PR[ X ] ta xét họ 1 The University of Danang - University of Education (Huynh Thi Oanh Trieu, Nguyen Xuan Truc, Luong Quoc Tuyen)
ISSN 1859-1531 - TẠP CHÍ KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ - ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG, VOL. 20, NO. 9, 2022 55 B = {[ F ,V ] : F  PR[ X ],V   }. Khi đó, tồn tại V mở trong X sao cho Bổ đề 2.1.1 ([4]). B là cơ sở của một topo nào đó trên F  [ F ,V ]  (1) siêu không gian Pixley-Roy PR[ X ]. Bởi vì F  V và V mở trong X nên ta suy ra với mọi Định nghĩa 2.1.2 ([4]). Topo được xác định trong Bổ đề x  F , tồn tại nx  sao cho 2.1.1 được gọi là topo Pixley–Roy của PR[ X ], và x  Bnx ( x)  V . (2) PR[ X ] cùng với topo này được gọi là siêu không gian Pixley–Roy. Bây giờ, ta đặt Định nghĩa 2.1.3 ([3], [4]). Cho ( X , ) là một không gian n( F ) = sup{nx : x  F }. topo. Khi đó, Khi đó, vì F hữu hạn nên n( F ) = max{nx : x  F}. Hơn (1) ( X , ) được gọi là không gian thỏa mãn tiên đề nữa, vì x là giảm với mọi x  F nên đếm được thứ nhất nếu tại mỗi điểm của X , tồn tại cơ sở Bn( F ) ( x)  Bnx ( x) với mọi x  F . lân cận đếm được. (2) ( X , ) được gọi là không gian thỏa mãn tiên đề Kết hợp (2) ta thu được đếm được thứ hai nếu X có cơ sở đếm được. Bn( F ) ( x)  Bnx ( x)  V . (3) (3) ( X , ) được gọi là không gian Lindelöf nếu mỗi xF xF phủ mở của X , tồn tại phủ con đếm được. Từ (1) và (3) ta suy ra (4) ( X , ) được gọi là không gian compact nếu mỗi phủ mở của X , tồn tại phủ con hữu hạn. [F , ] Bn( F ) ( x)  [ F ,V ]  . xF Nhận xét. Đối với không gian topo ( X , ), các khẳng định sau là đúng. Như vậy BF là cơ sở lân cận tại F trong PR[ X ]. (1) Mỗi không gian thỏa mãn tiên đề đếm được thứ Điều kiện đủ. Giả sử PR[ X ] là không gian thỏa mãn hai là không gian thỏa mãn tiên đề đếm được thứ nhất. tiên đề đếm được thứ nhất. Ta chứng minh rằng, X cũng (2) Mỗi không gian compact là không gian Lindelöf. là không gian thỏa mãn tiên đề đếm được thứ nhất. 2.2. Phương pháp nghiên cứu Thật vậy, giả sử x  X , và đặt Phương pháp nghiên cứu lý thuyết được sử dụng H = {x} PR[ X ]. trong quá trình thực hiện bài báo. Cụ thể, nhóm tác giả nghiên cứu các bài báo của các tác giả đi trước, bằng cách Bởi vì PR[ X ] là không gian thỏa mãn tiên đề đếm được tương tự hóa, khái quát hóa nhằm đưa ra những kết quả thứ nhất nên tại H , tồn tại cơ sở lân cận đếm được. Do đó, mới cho mình. tồn tại {U n }   sao cho 3. Kết quả và đánh giá BH = {[ H ,U n ] : H  U n  , n  }. 3.1. Kết quả Ta đặt Định lí 3.1.1. Giả sử ( X , ) là một không gian topo. Khi = {U n : n  }. đó, X là không gian thỏa mãn tiên đề đếm được thứ nhất x khi và chỉ khi siêu không gian Pixley–Roy PR[ X ] là không Để hoàn thành chứng minh ta chỉ cần chứng tỏ rằng x là gian thỏa mãn tiên đề đếm được thứ nhất. cơ sở lân cận tại x trong X . Chứng minh. Thật vậy, giả sử U là một lân cận của x. Khi đó, tồn Điều kiện cần. Giả sử X là không gian thoả mãn tiên tại W   sao cho đề đếm được thứ nhất. Khi đó, với mọi x  X , tồn tại cơ x W  U . sở lân cận giảm và đếm được = {Bn ( x) : n  }. Bởi vì [H , W ] mở trong PR[ X ] và BH là cơ sở lân cận x của H trong PR[ X ] nên tồn tại n  sao cho Với mọi F PR[ X ], ta đặt H  [ H ,U n ]  [ H , W ]. { BF = [ F , Bn ( x)] : n  }. Bây giờ, nếu U n   W , thì tồn tại z  U n \ W . Rõ ràng rằng xF Khi đó, BF là họ đếm được trong PR n [ X ]. Như vậy, để [ H , H  {z}]  [ H ,U n ]  [ H ,W ] hoàn thành chứng minh, ta chỉ cần chứng tỏ rằng BF là Bởi vì ( H  {z})  [H , H  {z}] nên ( H  {z})  [H ,W ], cơ sở lân cận của F trong PR n [ X ]. kéo theo ( H  {z})  W , suy ra z W , đây là một mâu Thật vậy, giả sử là lân cận của F trong PR n [ X ]. thuẫn. Do đó, U n  W .
56 Huỳnh Thị Oanh Triều, Nguyễn Xuân Trúc, Lương Quốc Tuyển Như vậy, tồn tại n  sao cho Chứng minh. Un  W  U , Điều kiện cần. Giả sử PR[ X ] là không gian khả ly nhưng X là tập quá đếm được. Bởi vì PR[ X ] là không Do đó, x là cơ sở lân cận đếm được tại x trong X . gian khả ly nên trong PR[ X ], tồn tại tập con đếm được trù Bổ đề 3.1.2. Giả sử ( X , ) là một không gian topo. Khi mật đó, nếu là một tập mở trong siêu không gian Pixley– = {Fn : n  }. Roy PR[ X ], thì là một tập mở trong X . Hơn nữa, vì X là quá đếm được và đếm được nên Chứng minh. tồn tại x  X sao cho x  . Mặt khác, vì {x} PR[ X ] Giả sử x  khi đó tồn tại F  sao cho x  F . nên {x} cl( ). Khi đó, vì [{x}, X ] là lân cận mở của Bởi vì F  nên tồn tại tập V mở trong X sao cho { x} nên F  [F ,V ]  . [{x}, X ]   . Mặt khác, vì F  V nên x  V . Do đó, ta chỉ cần chứng tỏ Do đó, tồn tại K  sao cho {x}  K  X , kéo theo rằng V  . x , đây là một mâu thuẫn. Như vậy, X đếm được. Thật vậy, giả sử z V , khi đó Điều kiện đủ. Giả sử X là tập đếm được. Khi đó, F  {z}  F  V . PR[ X ] là tập đếm được. Như vậy, PR[ X ] là khả ly. Điều này chứng tỏ rằng Định lí 3.1.5. Siêu không gian Pixley–Roy PR[ X ] là không {z}  F  [F ,V ]  . gian Lindelöf khi và chỉ khi X là tập đếm được. Chứng minh. Suy ra z  {z}  F  . Điều kiện cần. Giả sử rằng PR[ X ] là không gian Như vậy, V  , do đó là một tập mở trong X . Lindelöf nhưng X là tập quá đếm được. Ta xét họ Định lí 3.1.3. Giả sử ( X , ) là một không gian topo. Khi đó, X là không gian topo rời rạc khi và chỉ khi siêu không { B = [ F ,U ] : F  PR[ X ],U  . } gian Pixley–Roy PR[ X ] là không gian topo rời rạc. Khi đó, B là một phủ mở của PR[ X ]. Bởi vì PR[ X ] là Chứng minh. không gian Lindelöf nên tồn tại phủ con đếm được Điều kiện cần. Giả sử X là không gian topo rời rạc. Ta chứng minh rằng, PR[ X ] cũng là không gian topo { P = [ Fn ,U n ] : n  }. rời rạc, nghĩa là mọi tập con bất kỳ của PR[ X ] đều là tập Mặt khác, bởi vì X là quá đếm được và Fn đếm được hợp mở. n Thật vậy, giả sử  PR[ X ] và F  . Khi đó, nên tồn tại x  Fn . Hơn nữa, ta có n F [F , F ]  .  [ Fn ,U n ] với mọi n  . {x}  Bởi vì F là một tập mở trong X nên [F , F ] là một tập mở Thật vậy, giả sử ngược lại rằng, tồn tại n  sao cho trong PR[ X ]. Như vậy, mở trong PR[ X ], do đó PR[ X ] là không gian topo rời rạc. {x}  [ Fn ,U n ]. Điều kiện đủ. Giả sử PR[ X ] là một không gian topo Khi đó, rời rạc. Ta chứng minh rằng X cũng là không gian topo Fn  {x}  U n , rời rạc. kéo theo Thật vậy, giả sử F  X , khi đó với x  F ta đặt Fn = {x}  Fn . K = {x}. Bởi vì {K }  PR[ X ] nên theo giả thiết điều n kiện đủ ta suy ra {K } mở trong PR[ X ]. Nhờ Bổ đề 3.1.2 ta suy ra Điều này mâu thuẫn với x  Fn . n {K } = K = {x} Như vậy, {x}   P, mâu thuẫn với P là phủ của là tập mở trong X . Như vậy, F = {x} là tập hợp mở xF PR[ X ]. Do đó, X là đếm được. trong X . Do đó, X là không gian topo rời rạc. Điều kiện đủ. Giả sử X là tập đếm được. Khi đó, Định lí 3.1.4. Siêu không gian Pixley–Roy PR[ X ] là không PR[ X ] là tập đếm được. Như vậy, PR[ X ] là không gain gian khả ly khi và chỉ khi X là tập đếm được. Lindelöf.
ISSN 1859-1531 - TẠP CHÍ KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ - ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG, VOL. 20, NO. 9, 2022 57 3.2. Đánh giá không gian Pixley–Roy PR[ X ] của không gian topo Các kết quả chính trong bài báo được thể hiện ở các ( X , ) . Nhờ đó, các kết quả của bài báo đã góp phần làm Định lí 3.1.1, 3.1.3, 3.1.4 và 3.1.5. Trong đó: phong phú cho lĩnh vực nghiên cứu lý thuyết về mạng, lý - Định lí 3.1.1 khẳng định rằng tính chất thỏa mãn tiên thuyết k-mạng trong topo đại cương. đề đếm được thứ nhất là tương đương giữa không gian topo X và siêu không gian Pixley–Roy PR[ X ]. TÀI LIỆU THAM KHẢO - Định lí 3.1.3 khẳng định rằng tính chất rời rạc là tương [1] K. Borsuk, S. Ulam, “On symmetric products of topological spaces”, đương giữa không gian topo X và siêu không gian Pixley– Bulletin of the American Mathematical Society, vol. 37, no. 12, pp. 875–882, 1931. Roy PR[ X ]. [2] Lj.D. R. Kočinac, L. Q. Tuyen, O. V. Tuyen, “Some results on - Định lí 3.1.4 và 3.1.5 là điều kiện để siêu không gian Pixley-Roy hyperspaces”, Journal of Mathematics, vol. 22, 2022, pp. 1-8. Pixley–Roy PR[ X ] là khả ly, Lindelöf. [3] R. Engelking, General Topology, Heldermann Verlag, Berlin, 1989. [4] Lj.D. R. Kočinac, “The Pixley-Roy topology and selection 4. Kết luận principles”, Questions and Answers in General Topology, vol. 19, Trong nghiên cứu này, nhóm tác giả đã đưa ra và no. 2, 2002, pp. 210–225. chứng minh chi tiết 4 kết quả mới về mối liên hệ giữa [5] A. Bella, M. Sakai, “Compactifications of a pixley-roy hyperspace”, Topology and Its Applications, vol. 196, 2015, pp. 173–182. các tính chất topo của không gian topo ( X , ) với siêu