Những bài toán bất đẳng thức cauchy

Chia sẻ: Abcdef_37 Abcdef_37 | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:25

Thêm vào BST

Báo xấu

351
lượt xem 81
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Trong các đề thi Đại học chủ đề về bất đẳng thức cauchy rất được quan tâm vì phần này khá hay và cũng khó, đa phần học sinh thường bỏ qua câu này, nhưng với phần tài liệu này sẽ cung cấp những bài tập điển hình giúp các em đạt được điểm trọn vẹn trong phần này.Mời các bạn tham khảo nhé

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Những bài toán bất đẳng thức cauchy

Nguy n Phú Khánh – à L t . http//:www.maths.vn NH NG BÀI TOÁN B T NG TH C CƠ B N TRONG COSI. 1 Cho n nguyên và n ≥ 2 . Tìm giá tr nh nh t c a A = x + xn Gi i: n x  1 n +1 1 xx x A = + + ... + + n ≥ (n + 1)n +1   n ≥ n +1 n nn nx n  x n x n so n 1 x = n ⇔ x = n +1 n Du ng th c x y ra khi nx n +1 Giá tr nh nh t c a A = n +1 nn 1 Cho n nguyên và n ≥ 2 và x ≥ k > n +1 n . Tìm giá tr nh nh t c a A = x + xn Gi i: n +1 V i x ≥k > n  1 1  1 1 1 1 1 1 f (x ) ≥ f (k ) ⇔ x + −k − ≥ 0 ⇔ x − k +  −   n −1 + n −2 + n −3 2 + ... + n −1  ≥ 0 n n x k x k x k xkxk  1  1 1 1 1 ⇔ (x − k ) 1 −  n −1 + n −2 + n −3 2 + ... + n −1   ≥ 0 xk  x k  xkxk  (x − k )  1  1 1 1 ⇔ xk −  n −1 + n −2 + n −3 2 + ... + n −1   ≥ 0 xk  x k  xkxk 1 1 1 1 n n = n +1 n 2 < xk Ta có: n −1 + n −2 + n −3 2 + ... + n −1 ≤ n −1 < n +1 n −1 x xkxk k k n Suy ra f (x ) ≥ f (k ) úng v i m i x ≥ k > n +1 n 1 Giá tr nh nh t c a A = k + khi x = k . kn Cách 2 : n x  1  n 1 x x nx Nháp : A = + ... + + n +x − ≥ (n + 1)n +1   n + x  1 −  m mx m m  x m  x ,m > 0 n so m
Nguy n Phú Khánh – à L t . http//:www.maths.vn x = k  n +1 = k n +1 1 ⇒m =x Ta ch n m sao cho:  x =n m  x n x 1  n 1 x x nx Bài gi i: A = + ... + + n + x − n +1 ≥ (n + 1)n +1  n +1  n + x  1 − n +1  k n +1 k n +1 k  x  k x k x n so kn +1  n (n + 1) 1 Vì x ≥ k > n +1 n nên n < k n +1 suy ra: A ≥ + k  1 − n +1  = k + n = f (k ) n  k k k ( ) Cho hai s th c x ≠ 0, y ≠ 0 thay i và th a mãn i u ki n: x + y xy = x 2 + y 2 − xy . Tìm giá tr l n nh t 1 1 c a bi u th c : A = + 3 y3 x thi i h c kh i A năm 2006 Gi i: ( ) () Xét x + y xy = x + y − xy * . 2 2 1 1 tu= ,v = . x y 3(u + v )2 11 1 1 1 ( ) 2 Ta ư c + = 2 + 2 − ⇒ u + v = u 2 + v 2 − uv ⇒ u + v − (u + v ) = 3uv ≤ . 4 xyx xy y ( ) 2 ⇒ u +v − 4(u + v ) ≤ 0 ⇒ 0 ≤ u + v ≤ 4 x 3 + y3 (x + y )(x 2 + y 2 − xy ) (x + y )(x + y )xy x 2 + y 2 + 2xy Khi ó : A = = = = x 3y 3 x 3y 3 x 3y 3 x 2y 2 1 1 2 ⇒A= 2 + 2 + = (u + v )2 ≤ 16 . xy x y 1 ng th c x y ra khi u = v = 2 hay x = y = Du . 2 Cho x , y, z là 3 s th c dương thay i . Tìm giá tr nh nh t c a bi u th c x 1 y 1 z 1 P = x + +y + +z +   2 yz   2 zx   2 xy  thi i h c kh i B năm 2007 Gi i: x 1 y 1 z 1  x 2 y2 z 2 x y z P = x +  +y +  +z + = + + + + +  2 yz   2 zx   2 xy  2 2 2 yz zx xy
Nguy n Phú Khánh – à L t . http//:www.maths.vn 1 1 1 2 2 1 ( ) ( ) 1 P = x 2 + y2 + z 2  +  = x + y + z 1 + + 2   2 xyz  2 xyz xyz   1 3 222 1 9 P≥ 9 x y z .3 2 2 2 = . 2 2 xyz ng th c x y ra khi x = y = z = 1 . 9 V y giá tr nh nh t c a bi u th c P = 2 thi i h c kh i A năm 2009 i và tho mãn i u ki n x .y.z = 1 .Tìm giá tr nh nh t c a bi u th c Cho x , y, z là các s th c dương thay ( ) ( ) ( ) x2 y + z y2 z + x z2 x + y P= + + y y + 2z z z z + 2x x x x + 2y y thi i h c kh i A năm 2007 Gi i: 2x x xyz 2y y xyz 2z z xyz 2y y 2x x 2z z P≥ + + ≥ + + y y + 2z z z z + 2x x x x + 2y y y y + 2z z z z + 2x x x x + 2y y  1 x x = (−2a + 4b + c ) a = y y + 2z z 9     1 t: b = z z + 2x x ⇒ y y = (a − 2b + 4c ) 9   c = x x + 2y y 1  z z = (4a + b − 2c)   9  2  −2a + 4b + c a − 2b + 4c 4a + b − 2c  2  b a c  c a b   Khi ó: P ≥ + +  ≥  −6 + 4  + +  +  + +   .    9  9 a b c a c b  a b c   2 ( ) Hay P ≥ −6 + 4.3 + 3 = 2 . 9 V y giá tr nh nh t c a bi u th c c a P = 2 khi a = b = c = 1 . i và th a mãn x + y = 1 . Tìm giá tr l n nh t và giá tr nh nh t c a Cho các s th c không âm x , y thay ( )( ) bi u th c S = 4x 2 + 3y 4y 2 + 3x + 25xy . thi Cao ng kh i B năm 2009 Gi i: Nh n xét: vai trò gi ng nhau ( i x ng) c a x , y .
Nguy n Phú Khánh – à L t . http//:www.maths.vn ( ) )( ) ( S = 12 x 3 + y 3 + 16x 2y 2 + 34xy = 12 x + y x 2 + y 2 − xy + 16x 2y 2 + 34xy 2  1  191 Hay S = 12 x + y  x + y − 3xy  + 16x 2y 2 + 34xy =  4xy −  + ( )( ) 2     4 16  2 x +y  1 Vì x , y không âm và th a mãn x + y = 1 suy ra 0 ≤ xy ≤  = 2 4 2  1  191 25 1 13 ⇒ − ≤ 4xy − ≤ ⇒ 0 ≤  4xy −  + ≤ . 4 44 4 16 2  25 1 V y giá tr l n nh t c a S = khi x = y = và giá tr nh nh t c a S = 0 khi x = 0, y = 1 . 2 2 ( ) 3 i và th a mãn x + y + 4xy ≥ 2 . Tìm giá tr nh nh t c a bi u th c Cho các s th c x , y thay ( )( ) A = 3 x 4 + y 4 + x 2y 2 − 2 x 2 + y 2 + 1 thi i h c kh i B năm 2009 Gi i: + 4xy ≥ 2  (x + y ) 3  ( ) + (x + y ) 3 2 ⇒ x +y ≥2⇒x +y ≥1 . (x + y ) 2 ≥ 4xy   ( )( ) 2 (x + y + x + y + 2x y ) − 2 (x + y ) + 1 3 A = 3 x 4 + y 4 + x 2y 2 − 2 x 2 + y 2 + 1 = 4 4 4 4 22 2 2 A = (x + y ) + (x + y ) − 2 ( x + y ) + 1 3 3 2 4 4 2 2 2 2 2 2 Mà x + y = ( x + y ) − 2x y ≥ ( x + y ) − ( x + y ) ⇒ x + y ≥ ( x + y ) 1 2 2 2 4 4 2 2 22 2 2 4 4 4 4 2 2 2 Khi ó A ≥ ( x + y ) + ( x + y ) − 2 ( x + y ) + 1 hay A ≥ ( x + y ) − 2 ( x + y ) + 1 3 3 9 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 4 2 4 (x + y )2 1 ( ) 9 1 2 t t = x 2 + y2 ,t ≥ ≥ ⇒ A ≥ t 2 – 2t + 1,t ≥ . 2 2 4 2 1  () 92 nh và liên t c trên n a kho ng  ; +∞  . Xét hàm s f t = t – 2t + 1 xác 2 4  1  () () 9 9 1 ng bi n trên n a kho ng  ; +∞  . Ta có f ' t = t – 2 ≥ − 1 > 0 , t ≥ ⇒ f t 2 2 4 2  1 9 1 () Khi ó min A = min f t = f   = ng th c x y ra khi t = .  2  16 2 1  t∈ ;+∞  2  I M RƠI TRONG B T D NG TH C COSI
Nguy n Phú Khánh – à L t . http//:www.maths.vn u : Cho a, b > 0 và th a mãn a + b ≤ 1 . Tìm giá tr nh nh t c a bi u th c Bài toán m 1 1 P= + . 1 + a 2 + b2 2ab Gi i: 1 1 4 4 4 L i gi i 1. Ta có: P = + ≥2 = ≥ =2 1+a +b 2ab a + 2ab + b + 1 (a + b) + 1 2 2 2 2 2   1 + a + b = 2ab (a − b ) + 1 = 0 2 2 2 D u " = " x y ra ⇔  ⇔ . H vô nghi m. V y không t n t i min P . a + b = 1 a + b = 1   1 1 1 4 1 4 1 L i gi i 2. Ta có: P = + + ≥2 + = + 1+a +b 6ab 3ab a + 6ab + b + 1 3ab (a + b) + 1 + 4ab 3ab 2 2 2 2 2 a + b  1 4 1 8 M t khác ab ≤   = .V y P ≥ + ≥ . 2 2 2 4 3 a + b  a + b  2+ 6   2 2 1 + a 2 + b 2 = 3ab  1 D u " = " x y ra ⇔ a = b ⇔a =b = . 2 a + b = 1  11 4 +≥ L i bình: l i gi i 1. và l i gi i 2 g n như tương t nhau, cùng áp d ng b t ng th c . T i sao a b a +b 1 1 1 = + trong cùng m t bài toán mà có n hai áp s ? Do âu mà l i gi i 2 t i sao l i tách ?. ó 2ab 6ab 3ab chính là k thu t ch n i m rơi trong b t ng th c. Các b t ng th c trong các thi i h c thông thư ng là i x ng v i các bi n và ta d oán d u b ng x y ta khi các bi n b ng nhau và x y ra t i biên. 1 1 Cho a, b > 0 và th a mãn a + b ≤ 1 . Tìm giá tr nh nh t c a bi u th c P = + + 4ab . a +b 2 2 ab Gi i: 1 tt i a =b = i x ng v i a, b , ta d oán min P Do P là bi u th c . 2  1 1 1 1 4 1 1 Ta có: P = + +  4ab + + ≥ + 2 4ab. + ≥7 a 2 + b2 4ab  4ab (a + b)2 2 2ab  2ab a + b  4  2
Nguy n Phú Khánh – à L t . http//:www.maths.vn a 2 + b 2 = 2ab   1 1 D u " = " x y ra ⇔ a 2b 2 = ⇔a =b = . 16 2  a +b = 1   1 V y giá tr nh nh t c a bi u th c P = 7 tt i a =b = . 2 Thao kh o hai l i gi i khác : L i gi i 1: 1 1 1 1 4 1 1 1 1 P= + +  4ab + + ≥ + ≥ 4+2+ =6+ 2 4ab. ( ) a +b 2 2 2 4ab  4ab 2ab 4ab 4ab 4ab ab  a +b a 2 + b 2 = 2ab   1 1 1 D u " = " x y ra ⇔ a 2b 2 = ⇔ a = b = . Thay a = b = vào ta ư c P ≥ 7 . 2 16 2  a +b = 1   1 V y giá tr nh nh t c a bi u th c P = 7 t t i a = b = . 2 L i bình 1: 1 Qua cách gi i trên ta ã ch n úng d u ng th c x y ra khi a = b = nên d n n vi c tách các s h ng và 2 1 giá tr nh nh t c a bi u th c P = 7 t t i a = b = là úng , nhưng bư c cu i cùng ta ã làm sai , ví d 2 1 − a + a ≥ a , ng th c x y ra khi a = 1 ⇒ min  1 − a + a  = a ?. ( ) ( ) 2 2     L i gi i 2: 1  1 1 1 4 1 4 P= 2 + + + 4ab ≥ 2 + + 4ab = + + 4ab  . ( ) a + b 2 2ab 2ab a + b 2 + 2ab 2ab 2  2ab  a +b ) ( 1 1 .4ab = 2 2 . V y P ≥ 4 + 2 2 ⇒ min P = 2 2 + 2 + 4ab ≥ 2 M t khác 2ab 2ab L i bình 2: 1 1 1 = + Tho t nhìn th y bài toán ã gi i úng . Th c t thì sao? . Vi c tách làm xu t hi n ng ab 2ab 2ab ( ) 2 th c a 2 + b 2 + 2ab = a + b . a = b  ) ( 1 min P = 2 2 + 2 ⇔  = 4ab . H vô nghi m. ng th c không x y ra , do ó không t n t i min P .  2ab a + b = 1  3 Cho 3 s th c dương a,b,c tho mãn a + b + c ≤ . Ch ng minh r ng : 2
Nguy n Phú Khánh – à L t . http//:www.maths.vn 1 1 1 15 1. a + b + c + ++≥ . 2 abc 1 1 1 3 17 2. a 2 + + b2 + 2 + c2 + 2 ≥ . 2 2 a b c 1 1 1 3 17 + + ≥ 3. a 2 + b2 + c2 + . b2 c2 a2 2 Gi i: 1 1 1 15 1. a + b + c + ++≥ 2 abc 111 1 1 Ta có th ph m sai l m: a + b + c + + + ≥ 3 3 abc + 3 ≥6 =6 3 abc . abc 3 3 abc abc 3 ng th c x y ra khi a = b = c = 1 nhưng khi ó a + b + c = 3 > Du ( trái gi thi t ) . 2 Phân tích bài toán : 3 T gi thi t a,b,c dương tho mãn a + b + c ≤ , g i ý hư ng gi i b t ng th c trung bình c ng, trung 2 3 1 1 bình nhân. ≥ a + b + c ≥ 3 3 abc ⇒ 3 abc ≤ . t: x = 3 abc ≤ 2 2 2  1 111 1 1 Khi ó : a + b + c + + + ≥ 3 3 abc + 3 = 3  x +  . D oán ng th c x y ra khi x = 2 abc x 3  abc  1 x =  2 ⇒ α = x2 = 1 . Ta ch n α > 0 sao cho:  x = 1 4 α x  Bài gi i:  1   111 1 1 9 15 a +b +c + + + ≥ 3  x +  ≥ 3  4x + − 3x  ≥ 3.2 4x . − 9x = 12 − = 2 2 abc x x x    1 ng th c x y ra khi a = b = c = . 2 1 1 1 3 17 2. a 2 + + b2 + 2 + c2 + 2 ≥ . 2 2 a b c Phân tích bài toán : 3 T gi thi t a,b,c dương tho mãn a + b + c ≤ , g i ý hư ng gi i b t ng th c trung bình c ng, trung 2 3 1 1 1 bình nhân. ≥ a + b + c ≥ 3 3 abc ⇒ 3 abc ≤ . t: x = 3 abc ≤ , ng th c x y ra khi x = . 2 2 2 2  1 x =  1 1 2 Xét x 2 + 2 , ch n α > 0 sao cho:  ⇒ α = 4 = 16 . x 2 = 1 x x  αx 2 
Nguy n Phú Khánh – à L t . http//:www.maths.vn 1 và s x 2 : ng th c trung bình c ng, trung bình nhân cho 17 s , trong ó 16 s là Áp d ng b t 2 16x −1 5 16 1 17 1 1 1 17x x + 2 = x + 16. ≥ 17 x  ⇒ x2 + ≥ 2 2 2 2 . 17 2 2 32  16x  16x x x 17 2 −15 −15 −15 1 17a 1 17b 1 17c 17 17 17 ⇒ a2 + ≥ ; b2 + ≥ ; c2 + ≥ a2 32 b2 32 c2 32 2 2 2 17 17 17 1 17  17  17  17 17 17  3 −15 −15 −15 −15 −15 −15 1 1 1 ⇒ a + 2 + b + 2 + c + 2 ≥ 32  a + b + c  ≥ 32 .3  a b c  2 2 2 17 17     a b c 2 17   2 17   −5 15 () 1 1 1 3 17 3 17 3 17 a + 2 + b 2 + 2 + c 2 + 2 ≥ 32 abc ≥ = 2 .2 17 17 . 32 2 a b c 2 17 2 17 1 ng th c x y ra khi a = b = c = . 2 Cách khác :  1  1  1 Ch n : u =  a;  , v = b;  , w =  c;   a  b  c ng th c vecto u + v + w ≥ u + v + w Dùng b t 2 1 1 1 (a + b + c ) 1 1 1 1 2 a + 2 + b2 + 2 + c2 + 2 ≥ + + +  ≥3 (abc)2 + 2 3 a b c  a b c (abc )2 3 2 ) ( a + b + c  2 1 tx= ≤ ≤ . 3 abc Tương t trên , ta 3 4   1 1 1 1 1 15 x1 15 a2 + + b2 + 2 + c2 + 2 ≥ 3 x + = 3 x + + ≥3 2 .+ a2 16x 16x 16 x 16x x b c 1 1 1 1 15 1 15 3 17 a2 + + b2 + 2 + c2 + 2 ≥ 3 + ≥3 + = . 2 2 16x 24 2 a b c 1 ng th c x y ra khi a = b = c = . 2 1 1 1 3 17 + + ≥ 3. a 2 + b2 + c2 + . 2 2 2 2 b c a  1 x = y =  1 2 ⇒ α = 1 = 16 Tương t trên . Xét x 2 + 2 , ch n α > 0 sao cho:  1 x 2y 2 y x 2 = αy2  
Nguy n Phú Khánh – à L t . http//:www.maths.vn 1 và s x 2 : ng th c trung bình c ng, trung bình nhân cho 17 s , trong ó 16 s là Áp d ng b t 2 16y −16 1 16 1 1 1 1 17x 17 y 17 x 2 + 2 = x 2 + 16. ≥ 1717 x 2  ⇒ x2 + 2 ≥ 2 . 2 32 16y  16y  y y 2 17 −16 −16 −16 1 1 1 1 17a b 1 17b c 1 17c a 17 17 17 17 17 17 ⇒ a2 + ≥ ; b2 + ≥ ; c2 + ≥ b2 32 c2 32 a2 32 2 2 2 17 17 17 17  17 17 1 −16  1 −16 1 −16 −5 15 1 1 1 3 17 3 17 3 17 () a + 2 + b + 2 + c + 2 ≥ 32  a b + b +c  ≥ 32 abc ≥ = 2 2 2 17 c 17 17 a 17 17 2 17   32 2 b c a 2 17   2 17 17 2 1 ng th c x y ra khi a = b = c = . 2 111 + + = 4 . Tìm giá tr l n nh t c a bi u th c Cho x , y, z > 0 và th a mãn xyz 1 1 1 P= + + 2x + y + z x + 2y + z x + y + 2z thi i h c kh i D năm 2007 Gi i:  2005 + b 2005 ≤ 1 a Cho các s không âm a, b, x , y th a các i u ki n  2005 . Ch ng minh r ng : + y 2005 ≤ 1 x   a 1975 .x 30 + b1975 .y 30 ≤ 1 Toán tu i thơ 2 – s 27 Gi i: Nh n xét : Các a th c tham gia trong bài toán cùng b c 2005 = 1975 + 30 , ng th i s mũ c a các bi n tương ng b ng nhau. 2005 2005 ng th c trung bình c ng , trung bình nhân cho 1975 s a và 30 s x Áp d ng b t
Nguy n Phú Khánh – à L t . http//:www.maths.vn 1975.a 2005 + 30.x 2005 (a ) . (x ) () 1975 30 ≥ = a 1975 .x 30 1 2005 2005 2005 (1975 + 30 ) 1975.b 2005 + 30.y 2005 (b ) . (y ) () 1975 30 ≥ = b 1975 .y 30 2 2005 2005 2005 Tương t (1975 + 30 ) (1) và (2 ) suy ra 1975. (a ) ( ) ( ) (3) + b 2005 + 30. x 2005 + y 2005 ≥ 2005. a 1975 .x 30 + b 1975 .y 30 2005 T a 2005 + b 2005 ≤ 1 ( ) ( ) (4)  ⇒ 2005 ≥ 1975. a 2005 + b 2005 + 30. x 2005 + y 2005 T  2005 +y ≤1 2005 x  ( 3 ) và ( 4 ) suy ra 2005 ≥ 2005. (a ) .x 30 + b 1975 .y 30 ⇒ a 1975 .x 30 + b 1975 .y 30 ≤ 1 1975 T ng th c x y ra khi a 1975 = x 30 , b1975 = y 30 . Du a m +n + b m +n ≤ 1  T ng quát : Cho các s không âm a, b, x , y th a các i u ki n  m +n . Ch ng minh r ng : + y m +n ≤ 1 x   a m .x n + b m .y n ≤ 1 . Cho x , y, z là các s dương th a mãn i u ki n: x 2 + y 2 + z 2 = 1. Tìm giá tr nh nh t c a bi u th c: xy yz zx A= + +. z x y Gi i: 2 2 2  xy   yz   zx  ( ) Ta có : A =   +   +   + 2 y 2 + z 2 + x 2 . 2 z  x  y  ng th c: x 2 + y 2 + z 2 ≥ xy + yz + zx Áp d ng b t Ta ư c: A2 ≥ (y 2 + z 2 + x 2 ) + 2(y 2 + z 2 + x 2 ) = 3(y 2 + z 2 + x 2 ) = 3. 1 xy yz xz ng th c x y ra ⇔ = = ⇒x =y =z = . z x y 3 1 V y min A = 3 t ư c khi x = y = z = . 3 Cho 3 s th c dương a,b,c tho mãn a 2 + b 2 + c 2 = 1 . Ch ng minh r ng : 33 a b c +2 + 2 2≥ . b +c c +a a +b 2 2 2 2 Phân tích bài toán :
Nguy n Phú Khánh – à L t . http//:www.maths.vn • Trư ng h p t ng quát , gi s 0 < a ≤ b ≤ c tho mãn i u ki n a 2 + b 2 + c 2 = 1 , v y ta có th suy ra 0 < a ≤ b ≤ c < 1 hay không?. Như v y i u ki n a,b,c không chính xác vì d u ng th c ch x y ra khi 0 < a = b = c   1 ⇒ a,b,c ∈  0; 2 . 3 a + b2 + c2 = 1     • Ta th y m i liên h gì c a bài toán ?. D th y a 2 + b 2 + c 2 = 1 và b 2 + c 2 , c 2 + a 2 , a 2 + b 2 . G i ý ta ưa 33 a b c + + ≥ bài toán v d ng c n ch ng minh : 1−a 1 −b 1−c 2 2 2 2 • Vì vai trò a,b,c như nhau và 2 ý phân tích trên g i ý ta ưa n cách phân tích a 32 ≥ a  1−a 2 2  b 33 2 2 2 (a + b + c ) và c n ch ng minh 1 − b2 ≥ 23 b2 . a b c + + ≥  1−a 1 −b 1−c 2 2 2 2  c 32 ≥  c 1 − c 2 2  • Ta th i tìm l i gi i : 32 1 33 2 4 8 a ≥ a⇔ ≥ a⇔ ≥ a(1 − a 2 ) ⇔ ≥ a 2(1 − a 2 )2 ⇔ ≥ 2a 2(1 − a 2 )2 1−a 1−a 2 2 2 2 27 27 33 2a 2(1 − a 2 )2 = 2a 2(1 − a 2 )(1 − a 2 )  D th y  2 2a + (1 − a ) + (1 − a ) = 2 2 2  Áp d ng b t ng th c trung bình c ng trung bình nhân 2 = 2a 2 + (1 − a 2 ) + (1 − a 2 ) ≥ 3 3 2a 2(1 − a 2 )(1 − a 2 ) 2 8 ⇒ ≥ 3 2a 2(1 − a 2 )(1 − a 2 ) ⇔ ≥ 2a 2(1 − a 2 )2 3 27 Tương t cho các trư ng h p còn l i. Gi i : a3 b3 c3 1 ≥ (a + b + c ) + + Cho 3 s th c dương a,b,c . Ch ng minh r ng : b (c + a ) c (a + b ) a (b + c ) 2 Phân tích bài toán : • ng th c c n ch ng minh ưa v d ng : a3 b3 c3 + k (b + a ) + pc + + i (b + c ) + ja ≥ 0 . + m (a + c ) + nb + c (a + b ) a (b + c ) b (c + a ) • Gi s 0 < a ≤ b ≤ c . D ng th c x y ra khi a = b = c . oán
Nguy n Phú Khánh – à L t . http//:www.maths.vn a3 + m (a + c ) + nb ≥ 3 3 mna . ng th c x y ra khi T ó g i m hư ng gi i : b (c + a ) m = 1  a3 = m (a + c ) = nb  3  a 4 b (c + a ) = m (a + a ) = na ⇔  ⇔ a (a + a ) n = 1 a = b = c   2 Tương t cho các trư ng h p khác . Gi i : a3 a3 1 1 3 1 1 + b + (c + a ) ≥ a . ng th c x y ra khi: = b = (c + a ) . b (c + a ) 2 b (c + a ) 2 4 2 4 3 3 1 1 3 1 1 b b + c + (b + a ) ≥ b . ng th c x y ra khi: = c = (b + a ) . c (a + b ) 2 c (a + b ) 2 4 2 4 c3 c3 1 1 3 1 1 + a + (b + c ) ≥ c . ng th c x y ra khi: = a = (b + c ) . a (b + c ) 2 a (b + c ) 2 4 2 4 3 3 3 1 a b c ≥ (a + b + c ) . D u ng th c x y ra khi : + + C ng v theo v ta ư c : b (c + a ) c (a + b ) a (b + c ) 2 a =b =c > 0 +b +c = 1 . Ch ng minh r ng : Cho 3 s th c dương a,b,c tho mãn a 7 a +1 + b +1 + c +1 < a. 2 b. a + b + b + c + c + a ≤ 6 . c. 3 a + b + 3 b + c + 3 c + a ≤ 3 18 . 111 d. a + b + c + + + ≥ 10 abc Gi i: 7 a. a + 1 + b + 1 + c + 1 < 2 ( )  a +1 +1 ( ) a + 1 a + 1 = 1. a + 1 ≤ =  2 2 ( )  b +1 +1 b a +b +c  ( ) 7 b + 1 = 1. b + 1 ≤ = +1  ⇒ a +1 + b +1 + c +1 ≤ +3= 2 2 2 2  ( ) c +1 +1 c  ( ) c + 1 = 1. c + 1 ≤ = +1  2 2   +1 = b +1 = c +1 = 1 ⇔ a = b = c = 0 ⇒ a +b +c = 0 ≠ 1 ng th c x y ra khi a 7 V y a +1 + b +1 + c +1 < 2 b. a + b + b + c + c + a ≤ 6 . Phân tích bài toán :
Nguy n Phú Khánh – à L t . http//:www.maths.vn • Trư ng h p t ng quát , gi s 0 < a ≤ b ≤ c tho mãn i u ki n a + b + c = 1 , d u ng th c ch x y ra 0 < a = b = c 1  1 ⇒ a = b = c = . H ng s c n thêm là . khi  a + b + c = 1 3 3  n cách phân tích a + b + b + c + c + a ≤ 6 (a + b + c ) hay • T gi thi t g i ý ta ưa 1 1 1 1 1 1  c + +a +  a + +b + b + +c + 3 3. 3 3+ 3 3+ 3 S = a +b + b +c + c +a ≤ .  2 2 2 2    • Ta th i tìm l i gi i : Áp d ng b t ng th c trung bình c ng trung bình nhân 1 1 2  3  (a + b ) + 3  3 a + 3 +b + 3 3 2 . (a + b ) . = a + b = ≥  2 2 2 2 2 3    Tương t cho các trư ng h p còn l i . Cách khác : 1 a +b + m (a + b ) m ≤ m  2  . V 1 a +b = Gi s v i m i m > 0 , ta luôn có : n bây gi ta   m   oán m > 0 bao nhiêu là phù h p?. d a + b = m 2  1 ⇔m = 3. D th y ng th c x y ra khi  a = b =  3 Gi i : Áp d ng b t ng th c trung bình c ng trung bình nhân (a + b ) + 2   AM _GM 3 2 3 . (a + b ) . 3  a +b = ≤ . 2 3 2 2   2 3 (b + c ) + 3  2 AM _GM  3 . (b + c ) .  b +c = ≤ . 2 3 2 2   2 3 (c + a ) + 3  2 AM _GM 3  c +a = . (c + a ) . ≤ . 2 3 2 2    2 3 2 (a + b + c ) + 3. 3 3 ⇒ a +b + b +c + c +a ≤ = .2 = 6 ( pcm). . 2 2 2 1 ng th c x y ra khi a = b = c = . 3 c. 3 a + b + 3 b + c + 3 c + a ≤ 3 18 .
Nguy n Phú Khánh – à L t . http//:www.maths.vn • Trư ng h p t ng quát , gi s 0 < a ≤ b ≤ c tho mãn i u ki n a + b + c = 1 , d u ng th c ch x y ra  2 a + b = 3  0 < a = b = c 2   1 2 ⇒ a = b = c = ⇒ b + c = . H ng s c n thêm là khi  a + b + c = 1 3 3 3    2 c + a = 3  • T gi thi t g i ý ta ưa n cách phân tích 3 a + b + 3 b + c + 3 c + a ≤ 3 18 (a + b + c ) hay (a + b ) + 2 + 2 (b + c ) + 2 + 2 (c + a ) + 2 + 2 3 3+ 3 3+ 33 T = 3a +b + 3b +c + 3c +a ≤ 3 3 3 . Gi i : Áp d ng b t ng th c trung bình c ng trung bình nhân  22 ( ) a +b + + 3 93 22 ( ) 33  a +b = 3 . a +b . . ≤ 4 33 3   22 ( ) b +c + + 3  9 22 ( ) 33  b + c = 3 .3 b + c . . ≤ 4 33 3   22 (c + a ) + +  9 22 33  3 c + a = 3 .3 (c + a ) . . ≤ 4 33 3    9 2 (a + b + c ) + 4 3 9 6 3 ⇒T = 3 a +b + 3 b +c + 3 c +a ≤ = . = 18 ( pcm). . 3 4 3 43 1 ng th c x y ra khi a = b = c = Du . 3 111 d. a + b + c + + + ≥ 10 abb Phân tích bài toán : +b +c • Trư ng h p t ng quát , gi s 0 < a ≤ b ≤ c tho mãn i u ki n a = 1, d u ng th c ch x y ra 0 < a = b = c 1  ⇒a =b =c = . khi  a + b + c = 1 3  1 •T n cách phân tích v i m i m > 0 , ta luôn có : ma + ≥2 m. i u c n ch ng minh ,g i ý ta ưa a ma = 1  a ⇔ m = 9. ng th c x y ra khi :  a = 1  3 111 111 • Vì th mà T = a + b + c + + + = 9 (a + b + c ) + + + − 8 (a + b + c ) abb abb
Nguy n Phú Khánh – à L t . http//:www.maths.vn Gi i : Áp d ng b t ng th c trung bình c ng trung bình nhân 9a + 1 ≥ 6  a   1 9b + ≥ 6 b  9c + 1 ≥ 6   c 111 ⇒ T = 9 (a + b + c ) + + + − 8 (a + b + c ) ≥ 3.6 − 8 (a + b + c ) = 10 ( pcm). abb 1 ng th c x y ra khi : a = b = c = . 3 Bài t p tương t Cho các s th c dương x , y, z và th a mãn mx + ny + pz ≥ d trong ó m, n, p, d ∈ ». Tìm giá tr l n nh t bi u th c A = ax + by + cz 2 2 2 β Hư ng d n : Th c hi n vi c ch n i m rơi : ax = by = cz = 2 2 2 Ch ng minh r ng n u xy + yz + zx = 5 thì 3x 2 + 3y 2 + z 2 ≥ 10 Phân tích bài toán : • Trư c h t ta ý m i liên h gi a 3x 2,3y 2, z 2, xy, yz, zx cho ta i u gì ?, ph i chăng nh ng h ng ng 2 2 th c có d ng : (ax − by ) ≥ 0 ⇔ (ax )2 + (by ) ≥ 2axby ?. • Phân tích : ax 2 + ay 2 ≥ 2axy . ng th c x y ra khi x = y by 2 + cz 2 ≥ 2 bcyz . ng th c x y ra khi by 2 = cz 2 cz 2 + bx 2 ≥ 2 cbzx . ng th c x y ra khi cz 2 = bx 2  a + b = 3 a = 1     Bây gi ta ch n a,b,c sao cho : 2c = 1 ⇔ b = 2   c = 1 a = bc    2 Gi i : x 2 + y 2 ≥ 2xy . ng th c x y ra khi x = y 1 1 2y 2 + z 2 ≥ 2yz . ng th c x y ra khi 2y 2 = z 2 2 2 12 1 z + 2x 2 ≥ 2zx . ng th c x y ra khi z 2 = 2x 2 2 2
Nguy n Phú Khánh – à L t . http//:www.maths.vn C ng v theo v ta ư c : 3x 2 + 3y 2 + z 2 ≥ 2 (xy + yz + zx ) ⇒ 3x 2 + 3y 2 + z 2 ≥ 10 ( pcm). x = y  1 2y 2 = z 2 x = y = 1   2 ⇔ ng th c x y ra khi :  z = 2 1  z 2 = 2x 2  2 xy + yz + zx = 5  235 47 x +y +z . Ch ng minh r ng : 3x 2 + 4y 2 + 5z 2 ≥ = Cho 3 s th c dương x , y, z tho mãn 12 12 Phân tích bài toán : 235 • Trư c h t ta ý m i liên h gi a 3x 2,4y 2,5z 2, x, y, z cho ta i u gì ?, g i ý : 3x 2 + 4y 2 + 5z 2 ≥ 12 ư c bi n i v d ng 3x + m + 4y + n + 5z + p ≥ k , ( 0 < m ≤ n ≤ p ≤ k = const ) 2 2 2 • Phân tích : 3x 2 + m ≥ 2 3mx, m > 0 . ng th c x y ra khi 3x 2 = m 4y 2 + n ≥ 2 4ny, n > 0 . ng th c x y ra khi 4y 2 = n 5z 2 + p ≥ 2 5pz, p > 0 . ng th c x y ra khi 5z 2 = p 5  x = 3 2  3x = m y = 5 2  4 4y = n z = 1   ⇔ Bây gi ta ch n x , y, z sao cho : 5z 2 = p  m = 25   3m = 4n = 5p  3   25 x + y + z = 47 n = 4    12 p = 5  Gi i : 25 25 25 3x 2 + ≥ 2 3. x . ng th c x y ra khi 3x 2 = . 3 3 3 25 25 25 4y 2 + ≥ 2 4. y . ng th c x y ra khi 4y 2 = . 4 4 4 5z 2 + 5 ≥ 2 5.5z . ng th c x y ra khi 5z 2 = 5 . 235 235 C ng v theo v ta ư c 3x 2 + 4y 2 + 5z 2 ≥ 10 ( x + y + z ) − = ( pcm). 12 12
Nguy n Phú Khánh – à L t . http//:www.maths.vn 5  x = 3  5  ng th c x y ra khi y = . 4  z = 1   (1 + a ) (1 + b ) (1 + c ) Cho 3 s th c không âm a,b,c . Ch ng minh r ng : 1 + 3 abc ≤ 3 Gi i : 1.1.1 + 3 abc ≤ 3 (1 + a ) (1 + b ) (1 + c ) (1 + a ) (1 + b ) (1 + c ) ⇔ 1 + 3 abc ≤ 3 3 1.1.1 abc ⇔ + ≤1 (1 + a ) (1 + b ) (1 + c ) (1 + a ) (1 + b ) (1 + c ) 3 3 1.1.1 abc +3 t:T = (1 + a ) (1 + b ) (1 + c ) (1 + a ) (1 + b ) (1 + c ) 3 1  1 a c 1 1 1 b T≤ 1 + a + 1 + b + 1 + c  + 3 1 + a + 1 + b + 1 + c  3    1 a + 1 b + 1 c + 1  1 T≤  + + = .3 = 1 3 1 + a 1 + b 1 + c  3  D u ng th c x y ra khi a = b = c ≥ 0 . T ng quát : ( ) Ch ng minh r ng v i m i ai ,bi > 0 i = 1, n thì ta luôn có : a1a2.......an + n b1b2.......bn ≤ n  a1 + b  (a1 + b2 ) ........ (an + bn )  1 n   1 1 1  Cho 3 s th c dương a,b,c tho mãn a + b + c = 1 . Ch ng minh r ng :  − 1   − 1   − 1  ≥ 8 . a  b c  Gi i :  1 −a  1 −b  1 −c  b + c c + a a +b 1 1 1 = a . b . c VT =  − 1   − 1   − 1  =  . . a  b c   a  b  c  2 bc 2 ca 2 ab AM_GM ≥ = 8( . . VT pcm) a b c T ng quát : x 1, x 2 , x 3 ,..............., x n > 0  Cho  . x 1 + x 2 + x 3 + ........ + x n = 1 
Nguy n Phú Khánh – à L t . http//:www.maths.vn 1  1  1  1  Ch ng minh r ng :  − 1   − 1   − 1  ........  − 1  ≥ (n − 1)n . x  x      x2   x3 n  1  1 1 1 1 + + + ≥ 3 . Ch ng minh r ng : Cho 4 s th c dương a,b,c,d tho mãn 1+a 1 +b 1+c 1 +d 1 abcd ≤ . 81 Gi i :  1 1 1 1 b c d ≥ 1 -  + 1 −  + 1 − + + = 1+a  1+b   1+c   1+d  1+b 1+c 1+d 1 AM _GM bcd ≥ 33 (1 + b ) (1 + c ) (1 + d ) 1+a 1 bcd ≥3  (1 + b ) (1 + c ) (1 + d ) 3 1 + a  1 cda ≥ 33 (1 + c ) (1 + d ) (1 + a ) 1 + b  V y:  1 dca ≥3 1 + c (1 + d ) (1 + c )(1 + a ) 3   1 abc ≥ 33 (1 + a ) (1 + b ) (1 + c ) 1 + d  1 abcd 1 ≥ 81 ⇒ abcd ≤ ⇒ (1 + a ) (1 + b ) (1 + c ) (1 + d ) (1 + a ) (1 + b ) (1 + c ) (1 + d ) 81 T ng quát : x 1, x 2 , x 3 ,............., x n > 0  Cho :  1 1 1 1 1 + x + 1 + x + 1 + x + ......... + 1 + x ≥ n − 1  n 1 2 3 1 Ch ng minh r ng : x 1x 2x 3 ...........x n ≤ . (n − 1)n Bài tương t Cho 3 s th c dương a,b,c tho mãn a + b + c = 3 . Ch ng minh r ng : 3 a b c + + ≥. a. 1+b 1+c 1+a 2 2 2 2
Nguy n Phú Khánh – à L t . http//:www.maths.vn 3 a b c + + ≥. b. a + b2 b + c2 c + a 2 2 a2 b2 c2 + + ≥ 1. c. a + 2b 2 b + 2c 2 c + 2a 2 Hư ng d n : a + b + c = 3 a.   3(ab + bc + ca ) ≤ (a + b + c) ⇒ ab + bc + ca ≤ 3 2  a(1 + b 2 ) − ab2 a ab 2 = =a −  a ab 1 + b 1 + b2 1 + b2 ⇒ ≥a − 2 1+b 2 2 1 + b 2 ≥ 2b  bc 2 ca 2 b bc c ca =b − ≥b − , =c − ≥c − Tương t : 1+c 1+c 2 1+a 1+a 2 2 2 2 2 ab + bc + ca a b c 33 + + ≥ a +b +c − ≥3− = . C ng v theo v : 1+b 1+c 1+a 2 2 2 2 22 Cho 3 s th c dương a,b,c tho mãn a.b.c = 1 . Ch ng minh r ng : a3 b3 c3 3 + + ≥. a. (1 + b)(1 + c) (1 + c)(1 + a ) (1 + a )(1 + b) 4 1 1 1 + + ≤1 b. 2 +a 2 +b 2 +c Hư ng d n : a. Cho 3 s th c dương a,b,c tho mãn a + b + c = 1 . Ch ng minh r ng : a2 b2 c2 1 + + ≥ b +c c +a a +b 2 Gi i : a2 b2 c2 a2 b2 c2 1 1 + + ≥ ⇔( + a) + ( + b) + ( + c) ≥ + (a + b + c) b +c c +a a +b 2 b +c c +a a +b 2
Nguy n Phú Khánh – à L t . http//:www.maths.vn a 2 + a(b + c) b2 + b(c + a ) c2 + c(a + b) 1 ⇔ + + ≥ +1 b +c c +a a +b 2 a(a + b + c) b(b + c + a ) c(c + a + b) 3 ⇔ + + ≥ b +c c +a a +b 2 3 a b c ⇔ + + ≥ vì a + b + c = 1 . b +c c +a a +b 2 Cho 3 s th c dương a,b,c tho mãn a + b + c = 1 . Ch ng minh r ng : 1 ab bc ca + + ≤. a. a + b + 2c b + c + 2a c + a + 2b 4 Hư ng d n : 11 4 +≥ a. Dùng b t ng th c . a b a +b Cho 3 s th c dương a,b,c . Ch ng minh r ng : a3 b3 c3 1 ≥ (a + b + c ) + + a. (a + b)(b + c) (b + c)(c + a ) (c + a )(a + b) 4 a3 b3 c3 1 + + ≥ (a + b + c) b. b(c + a ) c(a + b) a(b + c) 2 Hư ng d n : a +b b +c 3   a3 8a 3 + + ≥a + (a + b) + (b + c) ≥ 6a    (a + b)(b + c)  (a + b)(b + c) 8 8 4   b +c c +a 3 b3 8b 3 a. Cách 1 :   + + ≥b + (b + c) + (c + a ) ≥ 6b  Cách 2:  (b + c)(c + a ) (b + c)(c + a ) 8 8 4     c +a a +b 3 c3 8c 3 + + ≥c + (c + a ) + (a + b) ≥ 6c    (c + a )(a + b)  (c + a )(a + b) 8 8 4   b c +a 3  4a 3  a3 + 2b + (c + a ) ≥ 6a ++ ≥a   b(c + a ) b(c + a ) 2 4 2    4b 3  b3 c a +b 3 b. Cách 1:   + 2c + (a + b) ≥ 6b ++ ≥b  Cách 2:  c(a + b) c(a + b) 2 4 2  4c 3  c3 a b +c 3 + 2a + (b + c) ≥ 6c ++ ≥c   a(b + c) a(b + c) 2 4 2  