Đề tài: Kích thích sự sáng tạo của học sinh trong việc vận dụng bài toán dạng phân tích đa thức thành nhân tử vào việc giải các dạng bài toán khác trong chương trình lớp 8 bậc THCS.

Chia sẻ: Hoang Thuy | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:9

Thêm vào BST

Báo xấu

258
lượt xem 61
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Trong bối cảnh toàn Ngành Giáo dục và Đào tạo đang nỗ lực đổi mới phương pháp dạy học theo hướng phát huy tính tích cực, chủ động của học sinh trong hoạt động học tập, để đáp ứng những đòi hỏi đổi mới được đặt ra cho sự bùng nổ kiến thức và sáng tạo kiến thức mới, cần phải phát triển năng lực tư duy, năng lực giải quyết vấn đề và tính sáng tạo.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Đề tài: Kích thích sự sáng tạo của học sinh trong việc vận dụng bài toán dạng phân tích đa thức thành nhân tử vào việc giải các dạng bài toán khác trong chương trình lớp 8 bậc THCS.

tài: Kích thích s sáng t o c a h c sinh trong vi c v n d ng bài toán d ng phân tích a th c thành nhân t vào vi c gi i các d ng bài toán khác trong chương trình l p 8 b c THCS. TV N . Trong b i c nh toàn Ngành Giáo d c và ào t o ang n l c i m i phương pháp d y h c theo hư ng phát huy tính tích c c, ch ng c a h c sinh trong ho t ng h c t p, áp ng nh ng òi h i i m i ư c t ra cho s bùng n ki n th c và sáng t o ki n th c m i, c n ph i phát tri n năng l c tư duy, năng l c gi i quy t v n và tính sáng t o. Rèn luy n k năng tư duy sáng t o, kích thích phát tri n tư duy sáng t o là m t yêu c u không th thi u trong vi c d y h c gi i bài t p t t c các môn h c nói chung, trong ó có b môn Toán h c. V n này l i càng ư c c bi t chú ý i v i i tư ng h c sinh khá gi i; v i công tác b i dư ng h c sinh gi i. Trong nh ng năm g n ây, b n thân ư c phân công d y chương trình nâng cao và b i dư ng h c sinh gi i, tôi nh n th y h u h t h c sinh thư ng khai thác d ki n bài toán m t cách phi n di n chưa tri t , sáng t o mà còn ph thu c vào sách giáo khoa, s hư ng d n c a giáo viên m t cách r p khuôn, máy móc. Vì v y, khi g p các bài toán cùng d ng nhưng thay i d kiên, cách h i,…thì các em thư ng bí mà chưa bi t sáng t o, phát hi n tìm ra nh ng cái m i t nh ng cái ã bi t. Làm th nào xoá ư c cách nhìn xơ c ng c a h c sinh trư c m t bài toán? ó là m t câu h i luôn thư ng tr c t ra trong u tôi.Th c hi n ư c i u ó là vi c làm h t s c khó khăn, không ph i ch trong ngày m t ngày hai mà òi h i ngư i th y giáo ph i có ki n th c v ng vàng, có kh năng thâu tóm v n t t, ph i luôn luôn ch u khó tích lu , có lòng ham mê khoa h c và truy n ư c lòng ham mê ó t i h c sinh. Phát hi n ư c cái m i t nh ng cái ã bi t là ã t o ư c cho các em s nh y bén trong tư duy, h ng thú trong h c t p i u này r t quan tr ng i v i nh ng em h c sinh khá gi i. Dư i s hư ng d n, g i m c a giáo viên các em có th hái lư m ư c bi t bao k t qu thú v t m t bài toán ơn gi n.B ng cách phát hi n nh ng tính ch t m i c a bài toán, b ng cách di n t bài toán dư i hình th c khác, có th nói b t c bài toán nào, ta cũng thu ư c nh ng k t qu m i nhi u khi khá b t ng . T th c t gi ng d y môn Toán trư ng THCS nhi u năm, tôi nh n th y vi c kích thích sáng t o, linh ho t c a h c sinh trong gi i các bài t p Toán là m t vi c làm r t c n thi t, t ó giúp h c sinh tìm tòi, sáng t o và gây ư c h ng thú trong h c toán.
II-GI I QUY T V N . 1.M t s nguyên nhân thư ng g p. Tìm hi u qua m t s h c sinh và ng nghi p, tôi phát hi n th y m t s nguyên nhân cơ b n sau: - Do h c sinh chưa khai thác bài m t cách tri t , toàn di n. - Chưa n m ư c b n ch t c a m t s bài toán cơ b n. - Chưa ch u khó tìm tòi, sáng t o khi làm bài. - c bi t các em chưa bi t phát hi n ra cái m i qua nh ng ki n th c ã bi t và v n d ng úng lúc, úng ch . T nh ng nguyên nhân trên, tôi thi t nghĩ: kích thích phát huy kh năng tư duy c a h c sinh, ngư i th y giáo ph i giúp các em nhìn nh n m t v n dư i các góc khác nhau. c bi t t i u úng ã bi t, b ng hình th c di n t khác nhau r i ch n hình th c phù h p v i trình h c sinh, yêu c u h c sinh gi i bài t p ó ho c t khai thác tri th c ó tìm ra tình hu ng áp d ng c th b ng vi c gi i quy t các bài t p tương ng, các n i dung y l i t chính tài li u sách giáo khoa, vì v y tri th c y ã ư c khai thác s d ng hi u qu nh t. i u này ư c làm sáng rõ hơn qua m t s bài toán sau. 2.Gi i pháp. Trư c h t tôi giúp h c sinh khai thác k , n m rõ b n ch t c a hai bài toán cơ b n: Bài toán 1: Phân tích a th c: x3 +y3 +z3 -3xyz thành nhân t . + Tìm hi u bài toán: bài òi h i ta ph i phân tích a th c ã cho thành nhân t t c là bi n i t ng ã cho thành m t tích g m hai hay nhi u th a s . + Hư ng d n cách tìm l i gi i: ta ã bi t 3 phương pháp phân tích m t a th c thành nhân t : t nhân t chung; dùng h ng ng th c; nhóm nhi u h ng t . Thông thư ng ph i ph i h p c 3 phương pháp m t cách linh ho t phân tích. bài toán này c 3 phương pháp ó u chưa s d ng ư c. B i v y ta ph i s d ng phương pháp khác ó là thêm b t cùng m t h ng t . V y h ng t c n thêm b t ây là bao nhiêu làm xu t hi n h ng ng th c l p phương c a m t t ng r i sau ó ta l i áp d ng ti p h ng ng th c t ng 2 l p phương vào phân tích? B ng câu h i g i m , giáo viên cho h c sinh th o lu n r i ưa ra l i gi i. Có th giáo viên hư ng d n cho h c sinh theo sơ sau: x3 +y3 +z3 – 3xyz ⇓ x +y + 3xy(x+y) +z3 – 3xy(x+y) – 3xyz 3 3 ho c: x3 +z3 + 3xz(x+z) +y3 – 3xz(x+z) – 3xyz ho c: y3 +z3 + 3yz(y+z) +x3 – 3yz(y+z) – 3xyz ⇓
(x+y)3 +z3 – 3xy(x+y+z) ho c: (x+z)3 +y3 – 3xz(x+y+z) ho c: (y+z)3 +x3 – 3yz(x+y+z) ⇓ (x+y+z) [(x+y) – (x+y)z +z2] - 3xy(x+y+z) 2 ho c: (x+y+z) [(x+z)2 – (x+z)y + y2] - 3xz(x+y+z) ho c: (x+y+z) [ (y+z)2 – (y+z)x + x2] - 3yz(x+y+x) ⇓ (x+y+z)(x +y +z2 –xy –yz –xz). 2 2 Bài toán 2: Ch ng minh r ng x3 +y3 +z3 = 3xyz khi và ch khi x +y +z =0 ho c x= y= z. Hư ng d n gi i: Ta có: x3 +y3 +z3 =3xyz ⇔ x3 +y3 +z3 – 3xyz =0 ⇔ (x+y+z)(x2 +y2 +z2 –xy –xz –yz) = 0 (k t qu bài toán 1) 1 (x+y+z)(2x2 +2y2 +2z2 –2xy –2xz –2yz) =0  2 1 (x+y+z)[(x-y)2 +(x-z)2 +(y-z)2] = 0  2  x+y+z = 0 ho c (x-y)2 +(x-z)2 +(y-z)2 = 0  x+y+z = 0 ho c x=y=z V n d ng hai bài toán cơ b n trên, các em d dàng gi i quy t m t s bài toán ư c di n t dư i nh ng hình th c khác; m t s bài có yêu c u m c cao k c nh ng bài r t khó i v i các em. Ch ng h n: Bài toán 3: Ch ng minh r ng ∀x,y,z ∈z thì x3 +y3 +z3 – 3xyz chia h t cho x+y+z. bài toán 1 ta ã phân tích ư c:x3 +y3 +z3 – 3xyz = (x+y+z)(x2 +y2 +z2 –xy –yz – xz), i u này giúp h c sinh ch ng minh ư c:x3 +y3 +z3 – 3xyz chia h t cho x+y+z. Bài toán 4. Ch ng minh r ng x3 +y3 +z3
Bài toán 5: Ch ng minh r ng x3 +y3 +z3 > 3xyz khi và ch khi x+y+z >0 (Gi i tương t như bài t p 4) Bài toán 6. Cho a3 +b3 +c3 = 3abc, tính. a b c a. M=(1 + ) (1 + ) (1+ ) b c a abc b. N= (a + b)(b + c)(c + a) Phân tích: gi i ư c bài toán này ta ph i bi t khai thác t gi thi t : a3 + b3 + c3 = 3abc ⇒ a3 + b3 + c3 – 3abc = 0, n ây áp d ng bài toán 2 ta có : a + b + c = 0 ho c a= b = c.T ó tôi có th hư ng d n h c sinh gi i bài toán theo trình t sau: Gi i. 3 3 3 a.T gi thi t a +b +c – 3abc =0 ⇒a+b+c =0 ho c a=b=c.(bài toán 2) + N u a+b+c =0 ⇒ a+b=-c; b+c=-a; c+a=-b thì (−c).(−a).(−b) a b c a+b b+c a+c M=(1 + ) (1 + ) (1+ ) = . . = =-1 b c a b c a abc a b c + N u a=b=c thì M = (1+ )(1+ )(1+ ) b c a Hay M = (1+1)(1+1)(1+1) = 2.2.2 = 8 b.gi i tương t ta có:+N u a+b+c =0 thì N=-1 1 +N u a=b=c thì N= 8 y2 2 x2 z Bài toán 7.a. Cho x+y+z =0, tính: P = + + xy yz yz V i bài toán này gi thi t cho bi t; x+ y + z = 0, áp d ng k t qu bài toán 2 ta có: x3 +y3 +z3 = 3xyz . Khai tri n bi u th c P làm xu t hi n i u bài toán ã cho sau ó thay vào ta s tính ư c giá tr c a P. Ta có th gi i bài toán như sau: Gi i .
⇒x3 +y3 +z3 T gi thi t x+y+z = 0 = 3 xyz(bài toán 2) 2 2 2 3 3 z3 x y z x y ⇒P = + + = + + yz yz xy xyz xyz xyz 1 1 (x3 +y3 + z3) = = .3xyz =3 xyz xyz b. Cho x+y+z = 0 và x,y,z khác 0, tính: x2 y2 z2 Q= + 2 2 2+ 2 2 2 x2 − y2 − z2 y −z −x z −y −x Tương t câu a, ta gi i ư c câu b: T x+y+z = 0 ⇒ x = -(y+z); y = -(z+x); z = -(x+y); 2 2 2 y2 –z2 – x2 = 2zx; z2 – x2 – y2 = 2xy. ⇒ x – y –z = 2yz; và x3 +y3 +z3 = 3xyz (bài toán 2) x2 y2 z2 Q = + 2 2 2+ 2 2 2  x2 − y2 − z2 y −z −x z −y −x x3 y3 z3 = + + 2 yz 2 zx 2 xy 3 x3 + y3 + z = 2 xyz 3xyz 3 = =. 2 xyz 2 Bài t p 8. Tính giá tr bi u th c. a−b b−c c−a c a b A=( + + )( + + ), bi t r ng: a+b+c = 0 c a b a−b b−c c−a Gi i. a−b b−c c−a G i B= + + c a b c c b−c c−a Ta có: B. = 1+ ( + ) a−b a−b a b 2 b 2 − bc + ac − a c = 1+ . a−b ab 2c 2 2c 3 (b − c)(c − a − b) c =1+ . =1+ =1+ a−b ab ab abc 2a 3 a Tương t : B. =1+ b−c abc
2b 3 b B. =1+ c−a abc 2(a + b + c 3 ) 3 3 2.3abc = 3 + 6 = 9 ( vì a3 + b3 + c3 = 3abc) V yA=3+ =3+ abc abc Bài toán 10.Cho a + b + c + d = 0. Ch ng minh r ng: a3 +b3 +c3 +d3 = 3(c + d)(ab – cd) = 3(a + b)(cd – ab) = 3(a + c)(bd – ac). Phân tích: T d ki n c a bài toán ã cho: a + b + c + d = 0, ta nhóm hai trong b n h ng t làm xu t hi n t ng c a ba h ng t b ng không (a + b + (c+d) = 0 ), t ó áp d ng k t qu bài toán 2 ta có: a3 + b3 +(c+d)3 = 3ab(c+d), khai tri n ti p v trái c a ng th c ta ư c: a3 +b3 +c3 +d3 +3cd(c+d) = 3ab(c+d). Nên ta có th gi i bài toán như sau: Gi i. Th t v y,t gi thi t ã cho: a + b + c +d = 0 ⇒a + b + (c+d) = 0 ⇒ a3 + b3 +(c+d)3 = 3ab(c+d)(bài toán 2) ⇒ a3 +b3 +c3 +d3 +3cd(c+d) = 3ab(c+d) ⇒ a3 +b3 +c3 +d3 = 3ab(c+d) – 3cd(c+d) = 3(c+d)(ab – cd). Tương t ta có các ng th c ti p theo. Bài toán 11. Gi i các phương trình: a, (2x – 5)3 + (4 – 3x)3 + (x +1)3 = 0 (1) 3 3 3 b, (x – 1) + (2x – 3) + (3x – 5) - 3(x – 1)(2x – 3)(3x – 5) = 0 (2) Phân tích: a.Khi ta t: a= 2x – 5 b = 4- 3x c=x+1 ta có: a + b + c = 2x- 5 + 4 – 3x + x + 1 =0 a3 +b3 + c3 = 0 Phương trình (1) tr thành: a3 +b3 +c3 = 3abc, T bài toán 2: a +b +c = 0 ⇔ Ta có: (1) ⇔ 3(2x – 5)(3x – 4)(x + 1) = 0 Gi i phương trình tích này ta có t p nghi m c a phương trình(1) là:S = 45 {-1; ;} 32 b. Ta t: a=x–1 b = 2x – 3 c = 3x – 5 Phương trình (2) tr thành: a3 +b3 +c3 - 3abc = 0; T bài toán 1; a3 + b3 + c3 – 3abc = (a+b+c)(a2 +b2 + c2 –ab –bc –ca)
1 = (a+b+c)[(a-b)2 +(b-c)2 +(c-a)2] 2 1 (x-1+2x-3+3x-5) )[(x-2)2 +(2x- 4)2 +(x- 2)2] = 0 Ta ư c: (2) ⇔ 2 1 (6x – 9).6(x – 2)2 = 0 ⇔ 2 ⇔ 9(x – 2)2(2x – 3) = 0 Gi i phương trình tích này ta có t p nghi m c a phương trình(2) là:S = 3 {2; } 2 Bài toán 11.Phân tích a th c thành nhân t : a, (x-y)3 + (y-z)3 + (z-x)3 b, (x+y+z)3 + (x-y-z)3 + (y-z-x)3 + (z-x-y)3 Hư ng d n gi i. a, t a = x-y b = y-z c = z-x Thì a+b+c = 0. V n d ng bài toán 1, ta có: (x-y) + (y-z) + (z-x)3 = 3(x-y)(y-z)(z-x) 3 3 b, t a = x-y-z b = y-z-x c = z-x-y ⇒x+y+z = -a-b-c Áp d ng bài toán 10 ta có: (x+y+z)3 + (x-y-z)3 + (y-z-x)3 + (z-x-y)3 = (-a-b-c)3 +a3 +b3 + c3 = 3(b+c)[(-a-b-c)a – bc ] = 3(b+c)(-a2 – ab – ac – bc) = -3(b+c)(a+b)(a+c) = 12 xyz. V y (x+y+z) + (x-y-z) + (y-z-x) + (z-x-y)3 = 12 xyz. 3 3 3 Bài toán 12. Cho a a + b b + c c - 3 abc = 0, tính a b c P = (1 + ) (1 + ) (1 + ) b c a Hư ng d n: T a a + b b + c c = 3 abc ⇒ ( a )3 + ( b )3 + ( c )3 - 3 a . b . c = 0 . t A = a ; B = b ; C = c thì bài toán này chính là bài toán 6a. K t lu n:
Như v y các bài toán 10,11,12 ta th y có s ph c t p hơn các bài toán trên m t m t òi h i ngư i gi i toán bi t d ch chuy n tình hu ng này v các tình hu ng trư c nó. Nghĩa là bi t quy l v quen nhìn th y c u trúc; ch c năng m i c a i tư ng. M t khác các bi u th c ó cũng có s tham gia nhi u i tư ng hơn òi h i ch t lư ng ho t ng cao hơn. c bi t bài 12, b ng cách di n t bài 6a sang d ng căn th c(Vô t hoá bi u th c h u t ) ta có bài toán m i thích h p cho i tư ng h c sinh h c bi n i ng nh t bi u th c vô t . Tương t cách làm ó ta có th chuy n các bài toán trên thành bài toán v i bi u th c vô t . III-K T QU C A VI C ÁP D NG SÁNG KI N KINH NGHI M TRONG QUÁ TRÌNH GI NG D Y. Sau quá trình v n d ng vi c khai thác, nhìn nh n và ánh giá m t bài toán b ng nhi u cách nhìn khác nhau. T vi c thay i hình th c th hi n bài toán , nh m làm cho nó a d ng và phong phú hơn .Quá trình này ư c nâng d n t gi n ơn n ph c t p,v i m c ích nâng cao tính linh ho t, kh năng sáng t o tư duy cho h c trò thông qua h c b môn toán. Qua th c ti n gi ng d y trong năm h c 2006-2007, i chi u v i th i i m u năm h c, b n thân ã nh n th y: -H c sinh có h ng thú h c t p b môn toán hơn trư c, càng ngày càng có nhi u em yêu thích h c t p môn toán, u năm kh i 8 c a trư ng ch có kho ng 5% yêu thích h c toán , d n nay có kho ng 17% h c sinh . -H c sinh năng ng hơn trong vi c tìm tòi l i gi i m t bài toán, v n này ư c th hi n rõ nét ch : Dù ng trư c m t tình hu ng nào (tình hu ng toán h c) thì h c sinh có ý th c tìm tòi hư ng gi i quy t (không th ng như trư c m t s em trông ch k t qu c a b n c a cô) và chính b ng n l c b n thân nhi u em ã tìm ư c hư ng i úng, gi i quy t v n m t cách tr n v n. - c bi t, t các em ã hình thành ư c m i liên h ch y u c a các ki n th c, các bài h c không nh ng trong i s mà gi a i s -Hình h c-S h c. -H c sinh n m và v n d ng ki n th c m t cách sâu s c hơn, linh ho t hơn. Th hi n hi u bài, làm bài và v n d ng ki n th c thành th o có k năng , k x o. Qua ó giáo d c và hình thành các em kh năng linh ho t gi i quy t các v n không nh ng trong toán h c, trong các môn khoa h c mà kh năng l a chon, gi i quy t các v n th c ti n m t cách khoa h c, t i ưu nh t. -T l h c sinh giá và gi i toán nâng lên rõ r t . H c kỳ I ch có 15 % khá gi i , sang h c kỳ II s lư ng h c sinh khá gi i ư c nâng lên 23% . IV.BÀI H C KINH NGHI M.
Qua th c t hư ng d n h c sinh gi i các bài toán như trên tôi rút ra m t s kinh nghi m sau:  Khi hư ng d n h c sinh khai thác các bài toán d ng cơ b n giáo viên c n: + Giúp các em khai thác m t cách tri t , toàn di n. M t khác giáo viên c n nh n m nh h c sinh n m ư c b n ch t c a nó, ó chính là ch d a v ng ch c các em có th làm ư c các bài toán v i yêu c u m c cao hơn. + Giáo viên c n g i m các em tìm tòi, phát hi n ra các cách gi i khác nhau cho m t bài toán thu n ti n trong vi c nh hư ng gi i các bài toán bi n d ng ho c có yêu c u cao hơn. + Khi phát hi n ra nhi u cách gi i khác nhau ch c ch n các em s bi t ư c cách gi i nào là ng n g n và d hi u nh t . Các em như khám phá ư c nh ng i u bí n r i kích thích tính ham hi u bi t, thích chinh ph c th gi i xung quanh, t ó gây h ng thú trong vi c h c t p.  Khi gi i các bài toán v i m c ph c t p cao hơn, giáo viên có th g i m nh hư ng giúp h c sinh bi t phân tích tìm ra i m nút , ó là chìa khoá d n n thành công trong vi c gi i toán. Khi h c sinh phát hi n ra nh ng cái m i, ngư i giáo viên c n ph i l ng nghe và tôn tr ng ý ki n c a các em. Trong các câu h i và bài t p, nh t thi t ph i dành l i cho các em m nh t, dù là bé nh , cho s c l p suy nghĩ t ó n y sinh m m m ng c a s sáng t o . có nh ng phát hi n trên, giáo viên c n có s am mê gi i toán, tâm huy t v i h c sinh. Khi phát hi n ra nh ng cái m i ph i m nh d n ưa ra hư ng d n th nghi m kh ng nh v n . Trên ây là m t vài kinh nghi m nh c a riêng tôi, trong ph m vi bài vi t này có th chưa chuy n t i h t ý tư ng c a mình. R t mong ư c s góp ý chân thành c a H i ng Khoa h c các c p giúp tôi hoàn thi n bài vi t c a mình hơn. Xin chân thành c m ơn! Nghi Thái, ngày 20 tháng 5 năm 2007. NGƯ I VI T Hoàng Th Loan