Sáng kiến kinh nghiệm: Dự đoán dấu “=” trong bất đẳng thức Cauchy

Chia sẻ: YYYY YYYY | Ngày: | Loại File: DOC | Số trang:26

Thêm vào BST

Báo xấu

44
lượt xem 7
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Thông thường khi gặp bài toán bất đẳng thức để tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất học sinh liên tưởng ngay đến dạng mẫu đã học và áp dụng ngay các bất đẳng thức đã học nhưng thực tế nhiều bài toán trong các kỳ thi đại học, cao đẳng học sinh gặp những dạng toán phức tạp mà để giải đòi hỏi phải có những nhận xét đặc biệt. Một trong những nhận xét đặc biệt đó là dự đoán dấu “=” trong bất đẳng thức Cauchy để giải toán.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Sáng kiến kinh nghiệm: Dự đoán dấu “=” trong bất đẳng thức Cauchy

MỤC LỤC 1. Mở đầu…………………………………………………………………Trang 2 Lí do chọn đề tài nghiên cứu…………………………………………….Trang 2 Mục đích nghiên cứu…………………………………………………….Trang 2 Đối tượng nghiên cứu……………………………………………………Trang 2 Phương pháp nghiên cứu……………………………………………..….Trang 3 2. Nội dung sáng kiến kinh nghiệm………………………………………Trang 3 2.1.Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm…………………… ……….Trang 3 2.2. Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm………..Trang 4 2.3.Các sáng kiến kinh nghiệm hoặc các giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề………………………………………………………………………….Trang 4 2.4.Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động giáo dục, với bản thân, đồng nghiệp và nhà trường………………………………………..Trang 19 3. Kết luận,kiến nghị……………………………………………………Trang 19 Kết luận…………………………………………………………………Trang 19 Kiến nghị……………………………………………………………….Trang 19 Tài liệu tham khảo………………………………………………………Trang 20 Phụ lục…………………………………………………………………..Trang 23 1
1. Mở đầu: Lí do chọn đề tài: + Bất đẳng thức là nội dung khó với học sinh nhưng lại là một trong những nội dung quan trọng trong các kỳ thi đại học. Trong quá trình học và ứng dụng lí thuyết để làm bài tập học sinh thường gặp nhiều khó khăn, lúng túng không biết xuất phát từ đâu, phương pháp giải như thế nào. Chứng minh bất đẳng thức hoặc tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ của một biểu thức là một dãy các bước biến đổi, đánh giá thông qua các bất đẳng thức mà đảm bảo dấu “=” bất đẳng thức luôn đúng tại mọi thời điểm. Sai lầm học sinh hay gặp là không kiểm tra dấu “=” của bất đẳng thức có xảy ra hay không?. Như thế học sinh dễ mắc sai lầm khi áp dụng các bất đẳng thức mà không xảy ra dấu “=”. Học sinh không biết xuất phát từ đâu?. Làm cách nào để suy luận ra các bất đẳng thức cần dùng trong bài toán. Dự đoán dấu “=” trong bất đẳng thức Cauchy là một kỹ thuật suy ngược nhưng logic, và tôi đã dựa trên “kỹ thuật chọn điểm rơi ” dự đoán dấu “=” trong bất đẳng thức Cauchy để giải bài toán nhằm giúp các em hạn chế và giảm những sai sót này trong quá trình giải toán. Đó là lí do tôi chọn đề tài này. Mục đích nghiên cứu : 2
Thông thường khi gặp bài toán bất đẳng thức để tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất học sinh liên tưởng ngay đến dạng mẫu đã học và áp dụng ngay các bất đẳng thức đã học nhưng thực tế nhiều bài toán trong các kỳ thi đại học, cao đẳng học sinh gặp những dạng toán phức tạp mà để giải đòi hỏi phải có những nhận xét đặc biệt. Một trong những nhận xét đặc biệt đó là dự đoán dấu “=” trong bất đẳng thức Cauchy để giải toán. Đối tượng nghiên cứu : Là học sinh lớp 10B2 và 10B3 trong quá trình học chương bất đẳng thức. Tôi lựa chọn 2 lớp của trường THPT Lưu Đình Chất có những điều kiện thuận lợi cho việc nghiên cứu ứng dụng. +Học sinh: Chọn lớp 10B2 là nhóm thực nghiệm và 10B3 là nhóm đối chứng và tiến hành kiểm tra các kiến thức cơ bản để đánh giá và so sánh mức độ của hai lớp trước tác động. Kết quả kiểm tra cho thấy điểm trung bình của hai lớp không có sự khác nhau, do đó tôi dung phép kiểm chứng T Test để kiểm chứng sự chênh lệch giữa điểm số trung bình của hai lớp trước khi tác động. Kết quả : Bảng 1. Kiểm chứng để xác định các nhóm tương đương Đối chứng(ĐC) Thực nghiệm(TN) TBC 5,5 5,5 P= 0,43 P=0,43 > 0,05 , từ đó kết luận sự chênh lệch điểm số trung bình của hai nhóm TN và ĐC là không có ý nghĩa, hai nhóm được coi là tương đương. Bảng 2. Thiết kế nghiên cứu Nhóm Kiểm tra trước Tác động (TĐ) KT sau TĐ TĐ Thực nghiệm 01 Dạy học theo hệ thống 03 bài tập liên quan Đối chứng 02 Dạy học theo hệ thống 04 bài tập có nhiều loại Ở thiết kế này chúng tôi sử dụng phép kiểm chứng T Test độc lập. Phương pháp nghiên cứu: + Tham khảo tài liệu, sách giáo khoa, báo Toán học và tuổi trẻ. +Thực hành thông qua quá trình giảng dạy. 3
+Điều tra kết quả học tập của học sinh từ đó thấy được mức độ và hiệu quả đạt được của học sinh khi thực hiện đề tài. Qua đó rút kinh nghiệm và thực hiện tốt hơn trong quá trình xây dựng đề tài. 2. Nội dung sáng kiến kinh nghiệm: 2.1. Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm: +) Dựa vào nội dung chương trình sách giáo khoa lớp 10. Cụ thể là :”bài 1: Bất đẳng thức” thuộc chương IV đại số 10. Khi giải các bài toán về bất đẳng thức trong chương trình sách giáo khoa 10 sử dụng một số định lí và tính chất như sau: ) a + �� b, b c a c . �) a + b a + c b + c . +) a � b ac bc (c > 0) . +) a �۳ b ac bc (c 0, c > 0) . �� +)� a � b a 2n+1 b 2 n +1 (n N* ) . + a� b� a 2n+1 b 2 n +1 (n N* , a > 0) . +) � a b a b (a > 0) . +) � a b 3 a 3 b . a+b +) ab , ∀a,b 0 2 a+b ab = � a=b 2 1 +) a+ 2 , ∀a > 0. a +) x 0, x x, x − x. +) a > 0: x �� a −a �� x a x −a x a x a +) a − b a + b a+b. +) Dựa vào một số tài liệu liên quan. +) Học sinh lớp 10 trường THPT Lưu Đình Chất. 2.2.Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm: Một là: Qua thực tế dạy học tôi thấy trong chương trình lớp 10 phần bất đẳng thức, số bài tập trong sách giáo khoa hạn chế và thời lượng ít. 4
Hai là: Trong sách giáo khoa, sách bài tập đại số ban nâng cao và cơ bản đều không có hoặc rất ít bài toán bất đẳng thức yêu cầu nêu dấu “=” xảy ra?. Do đó học sinh không có thói quen thử lại dấu “=” có xảy ra hay không? Đây chính là sai lầm học sinh hay gặp phải. 2.3. Các giải pháp đã sử dụng để sử dụng giải quyết vấn đề như sau + Cung cấp cho học sinh không chỉ kiên th ́ ức mà cả phương pháp suy luận, khả năng tư duy. Từ những kiên th ́ ức cơ bản phải dẫn dắt hoc sinh co đ ́ ược những kiên th́ ức nâng cao một cách tự nhiên (chứ không áp đăt ngay kiên th ̣ ́ ức nâng cao). + Nôi dung ̣ : Bài toán mở đầu : 1 Bài toán 1. Cho x 4 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : A = x + x +) Sai lầm thường gặp : 1 1 A= x+ 2 x. = 2 . x x +) Nguyên nhân sai lầm: 1 MinA=2 � x = � x = 1 � vô lý vì x 4 x +) Xác định điểm rơi: 1 Hàm số: f ( x ) = x + là hàm số đồng biến trên [ 4;+ ). x Vì x1 �x2 ; x1 , x2 �[ 4; +�) : f ( x2 ) − f ( x2 ) 1 1 15 =1− >1− = >0 x2 − x1 x2 .x1 4.4 16 1 17 Nên MinA = 4 + = � x=4 4 4 Do bất đẳng thức Cauchy xảy ra dấu bằng tại điều kiện các số tham gia phải bằng nhau nên ta đưa tham số α sao cho tại điểm rơi x=4 thì cặp số x 1 và phải bằng nhau. α x Với x=4 cho cặp số: x 4 = α α � 4 = 1 � α = 16 1 1 α 4 = x 4 5
+) Lời giải đúng: 1 x 1 15 x x 1 15.4 17 A= x+ = + + 2 . + = x 16 x 16 16 x 16 4 x 1 17 = MinA = ��16 x x=4� x=4 4 x=4 1 1 Lời bình: Bài toán 1 áp dụng bất đẳng thức A = x + 2 x. = 2 . lời giải 1 x x tại sao sai? 1 x 1 15 x Lời giải 2 tại sao lại tách A = x + = + + ?..? Làm sao nhận biết được x 16 x 16 điều đó…? Đó chính là kỹ thuật chọn điểm rơi trong bất đẳng thức. Và qua chuyên đề này chúng ta sẽ hiểu sâu hơn về kỹ thuật “chọn điểm rơi” trong việc giải các bài toán cực trị. A. PHƯƠNG PHÁP CHỌN ĐIỂM RƠI 1. Kỹ thuật chọn điểm rơi trong bất đẳng thức Cauchy Bất đẳng thức Cauchy là một bất đẳng thức quen thuộc và có ứng dụng rất rộng rãi. Đây là bất đẳng thức mà bạn đọc cần ghi nhớ rõ ràng nhất, nó sẽ là công cụ hoàn hảo cho việc chứng minh các bất đẳng thức. * Bất đẳng thức Cauchy Cho n số thực không âm a1,a2,...,an (n 2) ta luôn có: a1 + a2 + L + an n a1a2...an . Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a1 = a2 = L = an . n * Một vài hệ quả quan trọng: �1 1 1� (a1 + a2 + L + an )� + + L + � n 2 v� �i ∀ai > 0, i = 1,n (1) �a1 a2 an � 1 1 1 n2 + +L + v�i ∀ai > 0, i = 1,n � ( 2) a1 a2 an a1 + a2 + L + an Cho 2n số dương ( n γ Z ,n 2): a1,a2,...,an ,b1,b2,...,bn ta có: n (a1 + b1)(a2 + b2)...(an + bn ) n a1a2...an + n b1b2...bn ( 3) Trong chứng minh bất đẳng thức, đôi khi việc ghép và sử dụng các bất đẳng thức cơ sở không được thuận lợi và dễ dàng. Khi sử dụng liên tiếp 6
nhiều bất đẳng thức ta phải chú ý tới điều kiện để bất đẳng thức xảy ra, để điều kiện này luôn được thỏa mãn suốt quá trình ta sử dụng bất đẳng thức trung gian. Và bất đẳng thức Cauchy là một trong những bất đẳng thức đó. Để thấy được kĩ thuật này như thế nào ta sẽ đi vào một số bài toán sau: 1 Bài toán 2: Cho x 3 .Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A = x + 2 x +) Xác định điểm rơi: 1 Hàm số: f ( x ) = x + 2 đồng biến trên [ 3;+ ) . x Vì x1 �x2 ; x1 , x2 �[ 3; +�) : f ( x2 ) − f ( x2 ) 1 1 1 1 25 =1− − > 1 − − = >0 x2 − x1 x2 .x12 x22 .x1 3.32 3.32 27 1 28 Nên MinA = 3 + = � x = 3 . Nên ta có : 32 9 +)Sơ đồ điểm rơi: x 3 = α α � 3 = 1 � α = 27 . 1 1 α 9 = x2 9 Ta phải tách làm sao để khi sử dụng bất đẳng thức Cauchy thì sẽ khử hết biến và dấu '' = '' xảy ra. +) Lời giải: 1 x x 1 25 x x x 1 25 x 1 25.3 28 A= x+ 2 = + + 2+ 33 . . 2 + + = x 27 27 x 27 27 27 x 27 3 27 9 x x 1 28 = = 2 MinA = ��27 27 x x=3 9 x=3 18 Bài toán 3: Cho x 4.Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức S=2x 2 + x Sơ đồ điểm rơi : 18 18 = x 4 32 18 32 x=4 � = � α = 2 x 2 32 α 4 9 = α α 7
18 9 x 2 18 ￹ � 9 � 2 9 x 2 18 23 2 Lời giải: S=x + =2 + + �2 − �x 2. + x x 16 x ￺￻ � 16 � 16 x 16 9 23 9 23 = 2x x + x 2 . 2.4 4 + . 4 2 =41 2 16 2 16 Vậy với x=4 thì Min S = 41 x, y > 0 Bài toán 4 : Cho . x+ y 3 1 1 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A = x + y + + x y +) Xác định điểm rơi: Do A là biểu thức đối xứng theo x,y nên dự đoán giá trị nhỏ nhất của A 3 tại x = y = 2 +)Sơ đồ điểm rơi: x y 3 = = 3 α α 2α 3 2 4 x = y = �� = �α = 2 1 1 2 2α 3 9 = = x y 3 +) Lời giải: 1 1 �4 x 1 � �4 y 1 � 5 A= x+ y+ + = � + �+ + �+ ( x + y ) x y �9 x � � � 9 y� 9 4x 1 4y 1 5 4 5 13 A 2 . +2 . + ( x + y) 2.2 + .3 = 9 x 9 y 9 9 9 3 4x 1 = 9 x 13 4y 1 3 MinA = �� = x= y= 3 9 y 2 x+ y=3 x, y > 0 x, y > 0 1 Bài toán 5: Cho . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: S = xy + x + y =1 xy 8
+) Định hướng cách giải: Do S là biểu thức đối xứng theo x, y nên ta dự đoán 1 MinS đạt tại x = y = . 2 Sơ đồ điểm rơi : 1 xy = 1 4 4 1 x = y = �� = � α = 16 2 1 4 α 4 = α xy α +) Lời giải : 1 � 1 � 15 S = xy + = �xy + �+ xy � 16 xy � 16 xy 1 15 1 15 17 S 2 xy. + + = 2 = 16 xy �x + y � 2 4 2 16 � � �2 � 17 1 MinS = � x= y= 2 2 x, y > 0 1 5 Bài toán 6:Cho , tìm GTNN của biểu thức P = 2 2 + + xy . x+ y 2 x +y xy +) Định hướng cách giải: Do P là biểu thức đối xứng theo x, y , ta dự đoán MinP đạt tại x = y = 1. Lời giải: 1 1 � 1� 7 4 1 7 13 P= 2 2 + + �xy + �+ 2 + 2 xy. + 2 x +y 2xy � xy � 2xy (x + y ) xy �x + y � 2 2� � �2 � x 2 + y 2 = 2xy 13 Min P = � x2 y 2 = 1 � x = y = 1. 2 x+ y =2 x, y > 0 1 2 2 Bài toán 7: Cho , tìm GTNN của biểu thức S = 3 3 + 2 + 2 . x+ y 2 x +y x y xy +) Định hướng cách giải: Do S là biểu thức đối xứng theo x, y nên ta dự đoán MinS đạt tại x = y = 1và ta thấy: x3 + y 3 + 3x 2 y + 3xy 2 = (x + y )3 vì thế ta muốn 9
xuất hiện (x + y )3 , ta áp dụng bất đẳng thức 1 1 1 1 1 1 1 1 1 33 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + cho 9 số ta có: x +y 2x y 2xy 2x y 2xy 2x y 2xy 2x y 2xy 2 +) Lời giải : Áp dụng bất đẳng thức cho 9 số: 1 1 1 1 1 1 1 1 1 S= + + + + + + + + x3 + y 3 2x 2 y 2xy 2 2x 2 y 2xy 2 2x 2 y 2xy 2 2x 2 y 2xy 2 81 81 9 S 3 3 3 5(x + y ) 3 5(x + y ) 2 (x + y ) + (x + y ) + 4 4 Dấu bằng xảy ra khi x = y = 1. x, y , z > 0 Bài toán 8 : Cho . x+ y+z 6 1 1 1 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A = x + y + z + + + x y z +) Xác định điểm rơi: Do A là biểu thức đối xứng theo x,y,z nên dự đoán giá trị nhỏ nhất của A tại x = y = z = 2 +)Sơ đồ điểm rơi: x y z 2 = = = α α α α 2 1 x = y = z = 2 �� = �α = 4 1 1 1 1 = = = α 2 x y z 2 +) Lời giải: 1 1 1 �x 1 � �y 1 � �z 1 � 3 A= x+ y+ z+ + + = � + �+ + �+ � + �+ ( x + y + z ) x y z �4 x � ��4 y � �4 z � 4 x 1 y 1 z 1 3 1 3 15 A 2 . + 2 . + 2 . + ( x + y + z) 2.3 + .6 = 4 x 4 y 4 z 4 4 4 2 x 1 = 4 x y 1 15 = MinA = ��4 y x= y=z=2 2 z 1 = 4 z x+ y+z=6 10
x, y , z > 0 Bài toán 9: Cho 3 , tìm GTNN của biểu thức x+ y+z 2 1 1 1 S = x2 + 2 + y2 + 2 + z2 + 2 . y z x +) Định hướng cách giải: Do S là biểu thức đối xứng theo a,b ,c nên ta dự 1 đoán MinS đạt tại x = y = z = . 2 1 x2 = y2 = z 2 = 4 4 1 Sơ đồ điểm rơi : � = � α = 16 1 1 1 4 α 4 = = 2= αx α y αz α 2 2 +) Lời giải : 1 1 1 1 1 1 S = x2 + + ... + + y 2 + + ... + + z 2 + + ... + 16y 2 16y 2 16 14z 24 2 4 16 z2 43 16 14x 24 2 4 16 x2 43 1442443 16 16 16 x2 y2 z2 � x y z � S 1717 + 1717 + 1717 = 17 � 17 + 17 8 16 + 17 8 16 � 16 32 16 y 16 32 16 z 16 32 16 x � 8 16 � � 16 y 16 z 16 x � � x y z � 1 3 17 17 � 3 3 17 8 16 .17 8 16 .17 8 16 �= 3 17 3 17 8 5 5 5 = � 16 y 16 z 16 x 16 x y z 2.17 ( 2 x 2 y 2 z ) � � 5 � 3 17 3 17 15 �2 x + 2 y + 2 z � 2 . Vậy MinS = 3 17 � x = y = z = 1 2.17 � � 2 2 � 3 � Bài toán 10: Cho x, y, z , t > 0. Tìm giá trị nhỏ của biểu thức: x y z t y + z +t x + z +t x + y +t x + y +t S= + + + + + + + y + z +t x+ z +t x + y +t x+ y + z x y z t +) Định hướng cách giải: Do S là biểu thức đối xứng theo a,b ,c,d nên ta dự đoán MinS đạt tại x = y = z = t > 0 . Sơ đồ điểm rơi : x y z t 1 = = = = y+ z+t x+ z+t x+ y+t x+ y + z 3 3 1 � = �α = 9 y+ z+t x+ z+t x+ y +t x+ y +t 3 α 3 = = = = x y z t α 11
+) Lời giải : � x y + z +t � 8 y + z +t S= ��y + z + t + �+ � . 9 x � x , y , z ,t 9 9x x , y , z ,t � x y z t y + z +t x+ z +t x+ y +t x+ y +t S 88 . . . . . . . y+ z +t x+ z+t x+ y+t x+ y + z x y z t 8 �y z t x z t x y t x y z� + � + + + + + + + + + + + � 9 �x x x y y y z z z t t t� 8 8 y z t x z t x y t x y z 8 8 40 + .1212 . . . . . . . . . . . = + .12 = 3 9 x x x y y y z z z t t t 3 9 3 40 MinS = � x= y= z =t >0 3 x, y , z > 0 Bài toán 11: Cho 3 , tìm GTNN của biểu thức x+ y+z 2 1 1 1 S = x2 + y 2 + z 2 + + + . x y z +) Định hướng cách giải: Do S là biểu thức đối xứng theo a,b ,c nên ta dự 1 đoán MinS đạt tại x = y = z = . 2 1 x2 = y2 = z 2 = 4 2 1 Sơ đồ điểm rơi : � = �α = 8 1 1 1 2 α 4 = = = αx α y αz α +) Lời giải : 2 2 2 1 1 1 S = x + y + z + + + x y z 12
� 1 1 1 1 1 1 � �1 1 1 � = �x 2 + y 2 + z 2 + + + + + + �+ � + + � � 8 x 8 y 8 z 8 x 8 y 8 z � �x y z � 1 1 1 1 1 1 3� 1 1 1 � S 9 9 x 2 . y 2 .z 2 . . . . . . + � 33 . . � 8x 8 y 8z 8x 8 y 8z 4 � x y z � Bài toán 12 : Cho 9 9 1 9 9 1 9 9 27 = + . + . = + .2 = 4 4 3 xyz 4 4 x + y + z 4 4 4 3 27 1 MinS = � x= y=z= 4 2 x, y , z > 0 . x2 + y2 + z 2 = 1 1 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: S = x + y + z + xyz +) Định hướng cách giải: Do S là biểu thức đối xứng theo x, y nên ta dự đoán 1 MinS đạt tại x = y = z = . 3 Sơ đồ điểm rơi : 1 x= y=z= 1 3 3 3 1 x= y=z= �� = �α = 9 3 1 3 3 α 3 = α xyz α +) Lời giải : � 1 � 8 S = �x + y + z + �+ � 9 xyz � 9 xyz 1 8 4 8 S 4 x. y.z. + = + =4 3 9 xyz �x + y + z � 3 2 2 2 3 9� � � 3 � 1 MinS = 4 3 � x = y = z = 3 x, y , z > 0 Bài toán 13 : Cho xy 12 . yz 8 �1 1 1� 8 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: S = ( x + y + z ) + 2 � + + �+ �xy yz zx � xyz 13
x, y , z > 0 +Dự đoán giá trị nhỏ nhất của đạt được khi xy = 12 tại x = 3, y = 4, z = 2 yz = 8 + Lời giải: Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho ba số không âm ta có: x y 2 x y 2 1 + + 33 . . = 18 24 xy 18 24 xy 2 x z 2 x z 2 + + 33 . . =1 9 6 xz 9 6 xz x z 2 x z 2 3 + + 33 . . = 16 8 yz 16 8 yz 4 x z y 8 x z y 8 + + + 44 . . . =1 9 6 12 xyz 9 6 12 xyz 13 x 13 y 13 x 13 y 13 13 13 + 2 . 2 . .xy 8 24 8 24 8 24 3 13 x 13 y 13 x 13 y 13 13 13 + 2 . 2 . .xy 48 24 48 24 48 24 4 Cộng theo vế các bất đẳng thức trên ta được : �1 1 1� 8 1 3 13 13 121 S = ( x + y + z ) + 2 � + + �+ + 1+ + 1+ + = �xy yz zx � xyz 2 4 3 4 12 x, y , z > 0 Bài toán 14 : Cho 1 1 1 . + + =1 x y z Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: 1 1 1 A= + + x + 2 y + 3z 2 x + 3 y + z 3x + 2 y + z +) Định hướng cách giải: Do A là biểu thức đối xứng theo x,y,z nên dự đoán giá trị nhỏ nhất của A tại x = y = z = 3 . 1 1 1 Để A có thể xử dụng gỉa thuyết + + = 1 thì : x y z 1 1 1 , , phải được tách thành tổng các số hạng 2 x + 3 y + z x + 2 y + 3z 3x + y + 2 z 1 1 1 , , .Từ một số hạng ban đầu tách thành nhiều số hạng nghĩ ngay đến hệ x y z quả (2): 14
Do đó: 1 1 1 �2 3 1 � = + + � 2x + 3 y + z x + x + y + y + y + z 36 � � y z� x 1 1 1 �1 2 3 � = + + � x + 2 y + 3z x + y + y + z + z + z 36 � � y z� x 1 1 1 �3 1 2 � = + + � 3x + y + 2 z x + x + x + y + z + z 36 � � y z� x 1 1 1 1 �6 6 6 � 1 nên:A= + + + + �= 2 x + 3 y + z x + 2 y + 3z 3x + y + 2 z 36 � � y z� 6 x x, y , z > 0 1 1 1 1 MaxA = � + + =1� x = y = z = 3 6 x y z x= y=z x, y , z > 0 Bài toán 15 : Cho . x + y + z =1 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: S = 3 x + y + 3 y + z + 3 z + x +) Định hướng cách giải: Do S là biểu thức đối xứng theo x, y, z nên ta dự 1 đoán MinS đạt tại x = y = z = . 3 Sơ đồ điểm rơi : 1 2 x= y=z= �x+ y= y+z=z+x= 3 3 +) Lời giải : 2 2 x+ y+ + 9 2 2 9 3 3 3 x + y = 3 .3 ( x + y ) . 3 . 4 3 3 4 3 2 2 y+z+ + 9 3 2 2 9 3 3 3 y+z = 3 . ( y + z) . 3 . 4 3 3 4 3 2 2 z+x+ + 9 3 2 2 9 3 3 3 z+x = 3 . ( z + x) . 3 . 4 3 3 4 3 9 2( x + y + z) + 4 3 9 6 3 S = 3 x+ y + 3 y+z + 3 z+x 3 . = . = 18 4 3 4 3 15
1 MaxS= 3 18 � x = y = z = 3 x, y , z , t > 0 Bài toán 16 : Cho . x + y + z + t =1 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: S = 3 2 x + y + 3 2 y + z + 3 2 z + t + 3 2t + x +) Định hướng cách giải: Do S là biểu thức đối xứng theo x, y, z ,t nên ta dự 1 đoán MinS đạt tại x = y = z = t = . 4 Sơ đồ điểm rơi : 1 3 x = y = z = t = � 2 x + y = 2 y + z = 2 z + t = 2t + x = 4 4 +) Lời giải : 3 3 2x + y + + 3 3 4 4 3 ( 2x + y ) . 4 4 3 3 3 2y + z + + 3 ( 2y + z) 3 3 4 4 . 4 4 3 3 3 2z + t + + 3 3 4 4 3 ( 2z + t ) . 4 4 3 3 3 2t + x + + 3 3 4 4 3 ( 2t + x ) . 4 4 3 9 �3 2 x + y + 3 2 y + z + 3 2 z + t + 3 2t + x � 3( x + y + z ) + 6 �3 � 16 � � 3 9 1 = =3 = =S� =3 S 3 48 23 6 x y z t 16 4 9 2( x + y + z) + 4 3 9 6 3 S = 3 x+ y + 3 y+z + 3 z+x 3 . = . = 18 4 3 4 3 1 MaxS= 3 18 � x = y = z = 3 2. Bài tập vận dụng : 1 Bài 1: Cho x 2 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: S = x + . x 18 Bài 2: Cho x 4. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: S = 2 x + 2 . x 16
8 Bài 3: Cho x 9 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: S = x + 2 . x x, y > 0 Bài 4: Cho . x+ y 1 1 1 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: S = x + y + + . x y x, y > 0 Bài 5: Cho . x+ y 1 1 3 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: S = + . 1+ x + y 2 2 2 xy x, y > 0 Bài 6: Cho . x+ y 1 1 1 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: S = + + 6 xy . x +y 2 2 xy x, y > 0 Bài 7: Cho . x+ y 1 1 2 2 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: S = + 2 + 2. x +y 3 3 x y xy x, y > 0 Bài 8: Cho . x+ y+z 4 1 1 1 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: S = x + y + z + + + . x y z x, y , z > 0 Bài toán 9 : Cho . x2 + y2 + z 2 = 2 3 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: S = x + y + z + . xyz 1 1 1 1 P= + + + a 2 + b 2 + c 2 ab bc ca 1 1 1 1 1 1 S= 2 2+ 2 2+ 2 2+ + + a +b b +c c +a ab bc ca 1 1 1 1 1 1 Q= 2 + 2 + 2 + + + a + bc b + ca c + ab ab bc ca x, y , z > 0 Bài toán 10 : Cho 1 1 1 . + + =2 x y z Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: 17
1 1 1 A= + + 2 x + 3 y + 4 z 2 y + 3 z + 4 x 2 z + 3x + 4 y x, y , z > 0 Bài toán 11 : Cho . x+ y+z=2 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: S = 3 2 x + y + 3 2 y + z + 3 2 z + x x, y , z > 0 Bài12: Cho , tìm GTNN của các biểu thức sau: x+ y+z 1 1 1 1 1 P= 2 2 2 + + + x +y +y xy yz zx 1 1 1 1 1 1 S= 2 + + + + + x + y 2 y 2 + z 2 z 2 + x2 xy yz zx 1 1 1 1 1 1 Q= 2 + 2 + 2 + + + x + yz y + zx z + xy xy yz zx Chú ý: Cần chú ý bất đẳng thức Côsi, có điều kiện các số dương thì khả năng nghĩ tới Côsi. Cách giải phải đi ngược qui trình thông thường. Đầu tiên phải dự đoán được điểm rơi xảy ra tại đâu, sau đó lồng ghép các số trong bất đẳng thức sao cho khi xảy ra dấu bằng tại đúng điểm rơi đã dự đoán… 18
2.4. Hiệu quả sau khi sử dụng + Học sinh: Sau khi học sinh học xong chuyên đề này học sinh thấy tự tin hơn, hứng thú hơn, tạo cho hoc sinh ni ̣ ềm đam mê, yêu thích môn toán, mở ra một cách nhìn nhận, vận dụng, linh hoạt, sáng tạo các kiến thức đã học, tạo nền tang ̉ cho học sinh tự học va t ̀ ự nghiên cứu. + Bản thân : Sau khi áp dụng đề tài này tôi thấy trong quá trình giảng dạy học sinh học tốt hơn và đa số không mắc sai lầm khi giải bài toán bất đẳng thức. 3. Kết luận, kiến nghị : Kết luận : Một bài toán có thể có rất nhiều cách giải song việc tìm ra một lời giải hợp lý, ngắn gọn thú vị và độc đáo là một việc không dễ. Do đó đây chỉ là một chuyên đề trong rât nhiêu chuyên đ ́ ̀ ề, một phương pháp trong hàng vạn phương pháp để giúp phát triển tư duy, sự sáng tạo của học sinh. Giáo viên trước hết phải cung cấp cho học sinh nắm chắc các kiến thức cơ bản sau đó là cung cấp cho học sinh cách nhận dạng bài toán, thể hiện bài toán từ đó học sinh có thể vân dụng linh hoạt các kiến thưc cơ bản, phân tích tìm ra hướng giải, bắt đầu từ đâu và bắt đầu như thế nào là rất quan trọng để học sinh không sợ khi đứng trước một bài toán khó mà dần dần tạo sự tự tin, gây hứng thú say mê môn toán, từ đó tạo cho học sinh tác phong tự học, tự nghiên cứu. Tuy nội dung cua chuyên đê kha rông, song trong khuôn kh ̉ ̀ ́ ̣ ổ thời gian có hạn người viết cũng chỉ ra được các ví dụ, bài toán điển hình. Rất mong sự đóng góp ý kiến của các bạn quan tâm và đồng nghiệp để chuyên đề này được đầy đủ hoàn thiện hơn. Kiến nghị: Qua thực tế khảo sát học sinh đa số các em chưa học tốt nội dung bất đẳng thức nên rất ngại học nội dung này, nhiệm vụ giáo viên chúng ta là cần hệ thống bài tập và lựa chọn sao cho phù hợp với từng đối tượng học sinh để giúp các em nắm vững kiến thức cơ bản cũng như kỹ năng giải toán, có như vậy các em mới yêu thích môn toán và đạt kết quả cao hơn. Trong quá trình hoàn thành đề tài tôi biết ơn các đồng nghiệp đã nhiệt tình giúp đỡ, tôi mong 19
muốn nhận được ý kiến đóng góp để sáng kiến nhỏ mang lại nhiều lợi ích cho các em học sinh. Tài liệu tham khảo: 1.Đại số lớp 10, bai tâp đ ̀ ̣ ại số lớp 10 nha XBGD năm 2016 ̀ ̣ ́ ́ ̣ ̀ ̉ ̉ 2.Tap chi Toan hoc va tuôi tre năm 2016. ́ ̣ ̉ ̉ ̀ ̣ 3.Cac dang Toan LT ĐH cua Phan Huy Khai NXB Ha Nôi năm 2002 ́ 4. 263 bài bất đẳng thức của Nguyễn Vũ Thanh NXB Giáo Dục 5. Bất đẳng thức của Trần Văn Hạo NXB Giáo Dục năm 2009 6. Sáng tạo bất đẳng thức của Phạm Kim Hùng SVK9 Trường ĐHKHTN ĐHQGHN (NXB Tri Thức). 20