NHỮNG BÀI TOÁN BẤT ĐẲNG THỨC CƠ BẢN TRONG COSI

Chia sẻ: Nguyen Trung | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:25

Thêm vào BST

Báo xấu

1.641
lượt xem 309
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

TÀI LIỆU HỌC TẬP MÔN TOÁN

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: NHỮNG BÀI TOÁN BẤT ĐẲNG THỨC CƠ BẢN TRONG COSI

Nguy n Phú Khánh – à L t . http//:www.maths.vn NH NG BÀI TOÁN B T NG TH C CƠ B N TRONG COSI. 1 Cho n nguyên và n ≥ 2 . Tìm giá tr nh nh t c a A = x + xn Gi i: n x x x 1 x  1 n +1 A = + + ... + + n ≥ (n + 1)n +1   n ≥ n n n x n +1 n n  x n x n so n x 1 D u ng th c x y ra khi = n ⇔ x = n +1 n n x n +1 Giá tr nh nh t c a A = n +1 nn 1 Cho n nguyên và n ≥ 2 và x ≥ k > n +1 n . Tìm giá tr nh nh t c a A = x + xn Gi i: n +1 V i x ≥k > n 1 1  1 1  1 1 1 1  f (x ) ≥ f (k ) ⇔ x + n −k − ≥ 0 ⇔ x − k +  −   n −1 + n −2 + n −3 2 + ... + n −1  ≥ 0 n x k x k x x k x k k   1  1 1 1 1  ⇔ (x − k ) 1 −  n −1 + n −2 + n −3 2 + ... + n −1   ≥ 0  xk  x x k x k k  (x − k )   1 1 1 1  ⇔ xk −  n −1 + n −2 + n −3 2 + ... + n −1   ≥ 0 xk  x x k x k k  1 1 1 1 n n Ta có: n −1 + n −2 + n −3 2 + ... + n −1 ≤ n −1 < = n +1 n 2 < xk x x k x k k k n +1 n −1 n Suy ra f (x ) ≥ f (k ) úng v i m i x ≥ k > n +1 n 1 Giá tr nh nh t c a A = k + khi x = k . kn Cách 2 : n x x 1 nx x  1  n Nháp : A = + ... + + n +x − ≥ (n + 1)n +1   n + x  1 −  m m x m m  x  m x n so ,m > 0 m
Nguy n Phú Khánh – à L t . http//:www.maths.vn x = k  n +1 Ta ch n m sao cho:  x 1 ⇒m =x = k n +1 m = n  x n x x 1 nx  x  1  n  Bài gi i: A = + ... + + n + x − n +1 ≥ (n + 1)n +1  n +1  n + x  1 − n +1  k n +1 k n +1 x k k  x  k  x n so kn +1 (n + 1)  n  1 Vì x ≥ k > n +1 n nên n < k n +1 suy ra: A ≥ n + k  1 − n +1  = k + n = f (k ) k  k  k Cho hai s th c x ≠ 0, y ≠ 0 thay ( ) i và th a mãn i u ki n: x + y xy = x 2 + y 2 − xy . Tìm giá tr l n nh t 1 1 c a bi u th c : A = 3 + x y3 thi i h c kh i A năm 2006 Gi i: ( ) Xét x + y xy = x + y − xy * . 2 2 () 1 1 tu= ,v = . x y 1 1 1 1 1 3(u + v )2 ( ) 2 Ta ư c + = 2 + 2 − ⇒ u + v = u 2 + v 2 − uv ⇒ u + v − (u + v ) = 3uv ≤ . x y x y xy 4 ( ) 2 ⇒ u +v − 4(u + v ) ≤ 0 ⇒ 0 ≤ u + v ≤ 4 x 3 + y3 (x + y )(x 2 + y 2 − xy ) (x + y )(x + y )xy x 2 + y 2 + 2xy Khi ó : A = = = = x 3y 3 x 3y 3 x 3y 3 x 2y 2 1 1 2 ⇒A= 2 + 2 + = (u + v )2 ≤ 16 . x y xy 1 D u ng th c x y ra khi u = v = 2 hay x = y = . 2 Cho x , y, z là 3 s th c dương thay i . Tìm giá tr nh nh t c a bi u th c x 1  y 1  z 1  P = x + +y + +z +   2 yz   2 zx   2 xy  thi i h c kh i B năm 2007 Gi i: x 1  y 1  z 1  x 2 y2 z 2 x y z P = x +  +y +  +z + = + + + + +  2 yz   2 zx   2 xy  2 2 2 yz zx xy
Nguy n Phú Khánh – à L t . http//:www.maths.vn 1 1  1 2 2  1  ( P = x 2 + y2 + z 2  + )  = x + y + z 1 +  2 xyz  2 2  1 ( +  xyz xyz  ) 1 3 2 2 2 1 9 P ≥ 9 x y z .3 2 2 2 = . 2 x yz 2 ng th c x y ra khi x = y = z = 1 . 9 V y giá tr nh nh t c a bi u th c P = 2 thi i h c kh i A năm 2009 Cho x , y, z là các s th c dương thay i và tho mãn i u ki n x .y.z = 1 .Tìm giá tr nh nh t c a bi u th c P = ( x2 y + z ) + ( y2 z + x ) + ( z2 x + y ) y y + 2z z z z + 2x x x x + 2y y thi i h c kh i A năm 2007 Gi i: 2x x xyz 2y y xyz 2z z xyz 2x x 2y y 2z z P ≥ + + ≥ + + y y + 2z z z z + 2x x x x + 2y y y y + 2z z z z + 2x x x x + 2y y  1 a = y y + 2z z x x = (−2a + 4b + c )  9    1 t: b = z z + 2x x ⇒ y y = (a − 2b + 4c )   9 c = x x + 2y y 1 z z = (4a + b − 2c)    9 2  −2a + 4b + c a − 2b + 4c 4a + b − 2c  2  b a c  c a b   Khi ó: P ≥  + +  ≥  −6 + 4  + +  +  + +   . 9   a b c  9 a c b  a b c   2 Hay P ≥ 9 ( −6 + 4.3 + 3 = 2 . ) V y giá tr nh nh t c a bi u th c c a P = 2 khi a = b = c = 1 . Cho các s th c không âm x , y thay i và th a mãn x + y = 1 . Tìm giá tr l n nh t và giá tr nh nh t c a ( )( bi u th c S = 4x 2 + 3y 4y 2 + 3x + 25xy . ) thi Cao ng kh i B năm 2009 Gi i: Nh n xét: vai trò gi ng nhau ( i x ng) c a x , y .
Nguy n Phú Khánh – à L t . http//:www.maths.vn ( ) S = 12 x 3 + y 3 + 16x 2y 2 + 34xy = 12 x + y x 2 + y 2 − xy + 16x 2y 2 + 34xy ( )( ) 2  1  191 Hay S = 12 x + y  x + y ( )( ) − 3xy  + 16x 2y 2 + 34xy =  4xy −  + 2      4 16 2 x +y  1 Vì x , y không âm và th a mãn x + y = 1 suy ra 0 ≤ xy ≤   =  2  4 2 1 1 3  1  191 25 ⇒ − ≤ 4xy − ≤ ⇒ 0 ≤  4xy −  + ≤ . 4 4 4  4 16 2 25 1 V y giá tr l n nh t c a S = khi x = y = và giá tr nh nh t c a S = 0 khi x = 0, y = 1 . 2 2 ( ) 3 Cho các s th c x , y thay i và th a mãn x + y + 4xy ≥ 2 . Tìm giá tr nh nh t c a bi u th c ( A = 3 x 4 + y 4 + x 2y 2 − 2 x 2 + y 2 + 1 ) ( ) thi i h c kh i B năm 2009 Gi i: (x + y ) + 4xy ≥ 2  3  ( ) + (x + y ) 3 2 ⇒ x +y ≥2⇒x +y ≥1 . (x + y ) 2 ≥ 4xy   ( 3 A = 3 x 4 + y 4 + x 2y 2 − 2 x 2 + y 2 + 1 = ) ( ) 2 (x + y + x + y + 2x y ) − 2 (x + y ) + 1 4 4 4 4 2 2 2 2 A = (x + y ) + (x + y ) − 2 ( x + y ) + 1 3 3 4 4 2 2 2 2 2 2 2 Mà x + y = ( x + y ) − 2x y ≥ ( x + y ) − ( x + y ) ⇒ x + y ≥ ( x + y ) 4 4 2 2 2 1 2 2 2 2 2 4 4 4 4 2 2 2 2 Khi ó A ≥ ( x + y ) + ( x + y ) − 2 ( x + y ) + 1 hay A ≥ ( x + y ) − 2 ( x + y ) + 1 3 3 2 2 9 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 4 2 4 (x + y )2 1 ( ) 9 1 2 t t = x 2 + y2 ,t ≥ ≥ ⇒ A ≥ t 2 – 2t + 1,t ≥ . 2 2 4 2 1  Xét hàm s f t = () 9 2 nh và liên t c trên n a kho ng  ; +∞  . t – 2t + 1 xác 4 2  1  9 () 9 1 Ta có f ' t = t – 2 ≥ − 1 > 0 , t ≥ ⇒ f t ng bi n trên n a kho ng  ; +∞  . () 2 4 2 2  1 9 1 Khi ó min A = min f t = f   = . () ng th c x y ra khi t = 1  t∈ ;+∞   2  16 2 2  I M RƠI TRONG B T D NG TH C COSI
Nguy n Phú Khánh – à L t . http//:www.maths.vn Bài toán m u : Cho a, b > 0 và th a mãn a + b ≤ 1 . Tìm giá tr nh nh t c a bi u th c 1 1 P = + . 1 + a 2 + b2 2ab Gi i: 1 1 4 4 4 L i gi i 1. Ta có: P = + ≥ 2 = ≥ =2 1+a +b 2 2 2ab a + 2ab + b + 1 (a + b) + 1 2 2 2  1 + a + b = 2ab 2 2  (a − b ) + 1 = 0 2 D u " = " x y ra ⇔  ⇔ . H vô nghi m. V y không t n t i min P . a + b = 1  a + b = 1  1 1 1 4 1 4 1 L i gi i 2. Ta có: P = + + ≥ 2 + = + 1+a +b 2 2 6ab 3ab a + 6ab + b + 1 3ab (a + b) + 1 + 4ab 3ab 2 2 2 a + b  1 4 1 8 M t khác ab ≤   = .V y P ≥ 2 + 2 ≥ .  2  4 a + b  a + b  3 2+  6   2   2  1 + a 2 + b 2 = 3ab  1 D u " = " x y ra ⇔ a = b ⇔a =b = . a + b = 1 2  1 1 4 L i bình: l i gi i 1. và l i gi i 2 g n như tương t nhau, cùng áp d ng b t + ≥ ng th c . T i sao a b a +b 1 1 1 trong cùng m t bài toán mà có n hai áp s ? Do âu mà l i gi i 2 t i sao l i tách = + ?. ó 2ab 6ab 3ab chính là k thu t ch n i m rơi trong b t ng th c. Các b t ng th c trong các thi i h c thông thư ng là i x ng v i các bi n và ta d oán d u b ng x y ta khi các bi n b ng nhau và x y ra t i biên. 1 1 Cho a, b > 0 và th a mãn a + b ≤ 1 . Tìm giá tr nh nh t c a bi u th c P = + + 4ab . a +b 2 2 ab Gi i: 1 Do P là bi u th c i x ng v i a, b , ta d oán min P tt i a =b = . 2 1 1  1  1 4 1 1 Ta có: P = + +  4ab + + ≥ + 2 4ab. + ≥7 a 2 + b2 2ab  4ab  4ab (a + b)2 2ab a + b  2 4   2 
Nguy n Phú Khánh – à L t . http//:www.maths.vn a 2 + b 2 = 2ab   1 1 D u " = " x y ra ⇔ a 2b 2 = ⇔a =b = .  16 2 a +b = 1  1 V y giá tr nh nh t c a bi u th c P = 7 tt i a =b = . 2 Thao kh o hai l i gi i khác : L i gi i 1: 1 1  1  1 4 1 1 1 1 P = + +  4ab + + ≥ 2 4ab. + ≥ 4+2+ =6+ a +b ( ) 2 2 2 ab  4ab  4ab a +b 2ab 4ab 4ab 4ab a 2 + b 2 = 2ab   1 1 1 D u " = " x y ra ⇔ a 2b 2 = ⇔ a = b = . Thay a = b = vào ta ư c P ≥ 7 .  16 2 2 a +b = 1  1 V y giá tr nh nh t c a bi u th c P = 7 t t i a = b = . 2 L i bình 1: 1 Qua cách gi i trên ta ã ch n úng d u ng th c x y ra khi a = b = nên d n n vi c tách các s h ng và 2 1 giá tr nh nh t c a bi u th c P = 7 t t i a = b = là úng , nhưng bư c cu i cùng ta ã làm sai , ví d 2 (1 − a + a ≥ a , ng th c x y ra khi a = 1 ⇒ min  1 − a + a  = a ?. ) ( ) 2 2     L i gi i 2: 1 1 1 4 1 4  1  P = 2 + + + 4ab ≥ 2 + + 4ab = + + 4ab  . a + b 2 2ab 2ab a + b 2 + 2ab 2ab ( ) 2 a +b  2ab  M t khác 1 2ab + 4ab ≥ 2 1 2ab .4ab = 2 2 . V y P ≥ 4 + 2 2 ⇒ min P = 2 2 + 2 ( ) L i bình 2: 1 1 1 Tho t nhìn th y bài toán ã gi i úng . Th c t thì sao? . Vi c tách = + làm xu t hi n ng ab 2ab 2ab ( ) 2 th c a 2 + b 2 + 2ab = a + b . a = b  (  1 min P = 2 2 + 2 ⇔   2ab ) = 4ab . H vô nghi m. ng th c không x y ra , do ó không t n t i min P . a + b = 1  3 Cho 3 s th c dương a,b,c tho mãn a + b + c ≤ . Ch ng minh r ng : 2
Nguy n Phú Khánh – à L t . http//:www.maths.vn 1 1 1 15 1. a + b + c + + + ≥ . a b c 2 1 1 1 3 17 2. a 2 + 2 + b2 + 2 + c2 + 2 ≥ . a b c 2 1 1 1 3 17 3. a 2 + + b2 + + c2 + ≥ . b2 c2 a2 2 Gi i: 1 1 1 15 1. a + b + c + + + ≥ a b c 2 1 1 1 1 1 Ta có th ph m sai l m: a + b + c + + + ≥ 3 3 abc + 3 ≥6 3 abc . =6 a b c 3 abc 3 abc 3 D u ng th c x y ra khi a = b = c = 1 nhưng khi ó a + b + c = 3 > ( trái gi thi t ) . 2 Phân tích bài toán : 3 T gi thi t a,b,c dương tho mãn a + b + c ≤ , g i ý hư ng gi i b t ng th c trung bình c ng, trung 2 3 1 1 bình nhân. ≥ a + b + c ≥ 3 3 abc ⇒ 3 abc ≤ . t: x = 3 abc ≤ 2 2 2 1 1 1 1  1 1 Khi ó : a + b + c + + + ≥ 3 3 abc + 3 = 3  x +  . D oán ng th c x y ra khi x = a b c 3 abc  x 2  1 x =  Ta ch n α > 0 sao cho:  2 ⇒ α = x2 = 1 . x = 1 4 α x  Bài gi i: 1 1 1  1  1  1 9 15 a +b +c + + + ≥ 3  x +  ≥ 3  4x + − 3x  ≥ 3.2 4x . − 9x = 12 − = a b c  x  x  x 2 2 1 ng th c x y ra khi a = b = c = . 2 1 1 1 3 17 2. a 2 + 2 + b2 + 2 + c2 + 2 ≥ . a b c 2 Phân tích bài toán : 3 T gi thi t a,b,c dương tho mãn a + b + c ≤ , g i ý hư ng gi i b t ng th c trung bình c ng, trung 2 3 1 1 1 bình nhân. ≥ a + b + c ≥ 3 3 abc ⇒ 3 abc ≤ . t: x = 3 abc ≤ , ng th c x y ra khi x = . 2 2 2 2  1 1 x =  1 Xét x 2 + 2 , ch n α > 0 sao cho:  2 ⇒ α = 4 = 16 . x x 2 = 1 x   αx 2
Nguy n Phú Khánh – à L t . http//:www.maths.vn 1 Áp d ng b t ng th c trung bình c ng, trung bình nhân cho 17 s , trong ó 16 s là 2 và s x 2 : 16x −15 16 1  1  1 1 17x 17 x + 2 = x + 16. 2 2 2 ≥ 17 x  2  17 2 ⇒ x2 + 2 ≥ 32 . x 16x  16x  x 17 2 −15 −15 −15 1 17a 17 1 17b 17 1 17c 17 ⇒ a2 + ≥ ; b2 + ≥ ; c2 + ≥ a2 32 b2 32 c2 32 2 17 2 17 2 17 1 17  17  17  17 17 17  3 −15 −15 −15 −15 −15 −15 1 1 1 ⇒ a + 2 + b + 2 + c + 2 ≥ 32  a + b + c  ≥ 32 .3  a b c  2 2 2 17 17 a b c     2 17   2 17   −5 15 2 a 1 b 1 c 1 a + 2 + b 2 + 2 + c 2 + 2 ≥ 32 abc 3 17 ( ) 17 ≥ 3 17 32 .2 17 = 3 17 2 . 2 17 2 17 1 ng th c x y ra khi a = b = c = . 2 Cách khác :  1  1  1 Ch n : u =  a;  , v = b;  , w =  c;   a  b  c Dùng b t ng th c vecto u + v + w ≥ u + v + w 2 1 1 1 1 1 1 (a + b + c ) 1 2 a + 2 + b2 + 2 + c2 + 2 ≥ 2 + + +  ≥3 3 (abc)2 + a b c a b c  3 (abc )2 2 ( ) a + b + c  2 1 Tương t trên , ta tx = 3 abc ≤  ≤ .  3  4 1 1 1 1 1 15 x 1 15 a2 + + b2 + 2 + c2 + 2 ≥ 3 x + = 3 x + + ≥3 2 . + a2 b c x 16x 16x 16 x 16x 1 1 1 1 15 1 15 3 17 a2 + 2 + b2 + 2 + c2 + 2 ≥ 3 + ≥3 + = . a b c 2 16x 2 4 2 1 ng th c x y ra khi a = b = c = . 2 1 1 1 3 17 3. a 2 + 2 + b2 + 2 + c2 + 2 ≥ . b c a 2  1 1 x = y =  Tương t trên . Xét x 2 + 2 , ch n α > 0 sao cho:  2 ⇒ α = 1 = 16 y 1 x 2y 2 x 2 =   αy2
Nguy n Phú Khánh – à L t . http//:www.maths.vn 1 Áp d ng b t ng th c trung bình c ng, trung bình nhân cho 17 s , trong ó 16 s là 2 và s x 2 : 16y 1 −16 16 1 1  1  1 17x 17 y 17 x 2 + 2 = x 2 + 16. 2 ≥ 1717 x 2  2  ⇒ x2 + 2 ≥ 32 . y 16y  16y  y 2 17 1 −16 1 −16 1 −16 1 17a b17 17 1 17b c 17 17 1 17c a17 17 ⇒ a2 + ≥ ; b2 + ≥ ; c2 + ≥ b2 32 c2 32 a2 32 2 17 2 17 2 17 17  17 17 1 −16 1 −16 1 −16  −5 15 1 1 1 3 17 3 17 3 17 a + 2 + b + 2 + c + 2 ≥ 32  a b + b 2 b c 2 a 2  17 c 17 +c 17 a 17  ≥ 32 abc  ( ) 17 ≥ 32 2 17 = 2 2 17   2 17 2 17 1 ng th c x y ra khi a = b = c = . 2 1 1 1 Cho x , y, z > 0 và th a mãn+ + = 4 . Tìm giá tr l n nh t c a bi u th c x y z 1 1 1 P = + + 2x + y + z x + 2y + z x + y + 2z thi i h c kh i D năm 2007 Gi i:  2005 + b 2005 ≤ 1 a Cho các s không âm a, b, x , y th a các i u ki n  2005 . Ch ng minh r ng : x + y 2005 ≤ 1  a 1975 .x 30 + b1975 .y 30 ≤ 1 Toán tu i thơ 2 – s 27 Gi i: Nh n xét : Các a th c tham gia trong bài toán cùng b c 2005 = 1975 + 30 , ng th i s mũ c a các bi n tương ng b ng nhau. 2005 2005 Áp d ng b t ng th c trung bình c ng , trung bình nhân cho 1975 s a và 30 s x
Nguy n Phú Khánh – à L t . http//:www.maths.vn 1975.a 2005 + 30.x 2005 (a ) . (x ) () 1975 30 ≥ 2005 2005 2005 = a 1975 .x 30 1 (1975 + 30 ) 1975.b 2005 + 30.y 2005 (b ) . (y ) () 1975 30 Tương t ≥ 2005 2005 2005 = b 1975 .y 30 2 (1975 + 30 ) T (1) và (2 ) suy ra 1975. (a 2005 ) ( ) ( + b 2005 + 30. x 2005 + y 2005 ≥ 2005. a 1975 .x 30 + b 1975 .y 30 ) (3) a 2005 + b 2005 ≤ 1  T  2005 +y 2005 ≤1 ( ⇒ 2005 ≥ 1975. a 2005 + b 2005 + 30. x 2005 + y 2005 ) ( ) (4) x  T ( 3 ) và ( 4 ) suy ra 2005 ≥ 2005. (a 1975 ) .x 30 + b 1975 .y 30 ⇒ a 1975 .x 30 + b 1975 .y 30 ≤ 1 D u ng th c x y ra khi a 1975 = x 30 , b1975 = y 30 . a m +n + b m +n ≤ 1  T ng quát : Cho các s không âm a, b, x , y th a các i u ki n  m +n . Ch ng minh r ng : x + y m +n ≤ 1  a m .x n + b m .y n ≤ 1 . Cho x , y, z là các s dương th a mãn i u ki n: x 2 + y 2 + z 2 = 1. Tìm giá tr nh nh t c a bi u th c: xy yz zx A= + + . z x y Gi i: 2 2 2  xy   yz   zx  Ta có : A =   +   +   + 2 y 2 + z 2 + x 2 . 2  z  x  y  ( ) Áp d ng b t ng th c: x 2 + y 2 + z 2 ≥ xy + yz + zx Ta ư c: A2 ≥ (y 2 + z 2 + x 2 ) + 2(y 2 + z 2 + x 2 ) = 3(y 2 + z 2 + x 2 ) = 3. xy yz xz 1 ng th c x y ra ⇔ = = ⇒x =y =z = . z x y 3 1 V y min A = 3 t ư c khi x = y = z = . 3 Cho 3 s th c dương a,b,c tho mãn a 2 + b 2 + c 2 = 1 . Ch ng minh r ng : a b c 3 3 + 2 + 2 2 ≥ . b +c c +a 2 2 2 a +b 2 Phân tích bài toán :
Nguy n Phú Khánh – à L t . http//:www.maths.vn • Trư ng h p t ng quát , gi s 0 < a ≤ b ≤ c tho mãn i u ki n a 2 + b 2 + c 2 = 1 , v y ta có th suy ra 0 < a ≤ b ≤ c < 1 hay không?. Như v y i u ki n a,b,c không chính xác vì d u ng th c ch x y ra khi 0 < a = b = c   1   2 ⇒ a,b,c ∈  0; . a + b2 + c2 = 1  3  • Ta th y m i liên h gì c a bài toán ?. D th y a 2 + b 2 + c 2 = 1 và b 2 + c 2 , c 2 + a 2 , a 2 + b 2 . G i ý ta ưa a b c 3 3 bài toán v d ng c n ch ng minh : + + ≥ 1−a 2 1 −b 2 1−c 2 2 • Vì vai trò a,b,c như nhau và 2 ý phân tích trên g i ý ta ưa n cách phân tích  a 3 2  ≥ a  1−a 2 2 3 3 2 2 2  b 1−a a 2 + b 1 −b 2 + c 1−c 2 ≥ 2 (a + b + c ) và c n ch ng minh 1 − b2 ≥ 23 b2 .    c 3 2  ≥ c 1 − c 2  2 • Ta th i tìm l i gi i : a 3 2 1 3 3 2 4 8 ≥ a ⇔ ≥ a⇔ ≥ a(1 − a 2 ) ⇔ ≥ a 2(1 − a 2 )2 ⇔ ≥ 2a 2(1 − a 2 )2 1−a 2 2 1−a 2 2 3 3 27 27 2a 2(1 − a 2 )2 = 2a 2(1 − a 2 )(1 − a 2 )  D th y  2 2a + (1 − a ) + (1 − a ) = 2 2 2  Áp d ng b t ng th c trung bình c ng trung bình nhân 2 = 2a 2 + (1 − a 2 ) + (1 − a 2 ) ≥ 3 3 2a 2(1 − a 2 )(1 − a 2 ) 2 8 ⇒ ≥ 3 2a 2(1 − a 2 )(1 − a 2 ) ⇔ ≥ 2a 2(1 − a 2 )2 3 27 Tương t cho các trư ng h p còn l i. Gi i : a3 b3 c3 1 Cho 3 s th c dương a,b,c . Ch ng minh r ng : + + ≥ (a + b + c ) b (c + a ) c (a + b ) a (b + c ) 2 Phân tích bài toán : • ng th c c n ch ng minh ưa v d ng : a3 b3 c3 + m (a + c ) + nb + + k (b + a ) + pc + + i (b + c ) + ja ≥ 0 . b (c + a ) c (a + b ) a (b + c ) • Gi s 0 < a ≤ b ≤ c . D oán ng th c x y ra khi a = b = c .
Nguy n Phú Khánh – à L t . http//:www.maths.vn a3 T ó g i m hư ng gi i : + m (a + c ) + nb ≥ 3 3 mna . ng th c x y ra khi b (c + a )  a3 m = 1  = m (a + c ) = nb a 3  4 b (c + a ) ⇔ = m (a + a ) = na ⇔  a = b = c a (a + a ) n = 1   2 Tương t cho các trư ng h p khác . Gi i : a3 1 1 3 a3 1 1 + b + (c + a ) ≥ a . ng th c x y ra khi: = b = (c + a ) . b (c + a ) 2 4 2 b (c + a ) 2 4 3 3 b 1 1 3 b 1 1 + c + (b + a ) ≥ b . ng th c x y ra khi: = c = (b + a ) . c (a + b ) 2 4 2 c (a + b ) 2 4 c3 1 1 3 c3 1 1 + a + (b + c ) ≥ c . ng th c x y ra khi: = a = (b + c ) . a (b + c ) 2 4 2 a (b + c ) 2 4 3 3 3 a b c 1 C ng v theo v ta ư c : + + ≥ (a + b + c ) . D u ng th c x y ra khi : b (c + a ) c (a + b ) a (b + c ) 2 a =b =c > 0 Cho 3 s th c dương a,b,c tho mãn a +b +c = 1 . Ch ng minh r ng : 7 a. a +1 + b +1 + c +1 < 2 b. a + b + b + c + c + a ≤ 6 . c. 3 a + b + 3 b + c + 3 c + a ≤ 3 18 . 1 1 1 d. a + b + c + + + ≥ 10 a b c Gi i: 7 a. a + 1 + b + 1 + c + 1 < 2 ( ) a +1 +1  ( a + 1 = 1. a + 1 ≤ ) 2 a 2 + 1 =  ( ) b +1 +1 b   a +b +c ( b + 1 = 1. b + 1 ≤ ) 2 = +1  ⇒ a +1 + b +1 + c +1 ≤ 2 2 +3= 7 2  ( ) c +1 +1 c  ( c + 1 = 1. c + 1 ≤ ) 2 = +1  2   ng th c x y ra khi a +1 = b +1 = c +1 = 1 ⇔ a = b = c = 0 ⇒ a +b +c = 0 ≠ 1 7 V y a +1 + b +1 + c +1 < 2 b. a + b + b + c + c + a ≤ 6 . Phân tích bài toán :
Nguy n Phú Khánh – à L t . http//:www.maths.vn • Trư ng h p t ng quát , gi s 0 < a ≤ b ≤ c tho mãn i u ki n a + b + c = 1 , d u ng th c ch x y ra 0 < a = b = c  1 1 khi  ⇒ a = b = c = . H ng s c n thêm là . a + b + c = 1  3 3 • T gi thi t g i ý ta ưa n cách phân tích a + b + b + c + c + a ≤ 6 (a + b + c ) hay  1 1 1 1 1 1 3  a + +b + b + +c + c + +a +  S = a +b + b +c + c +a ≤ . 3 3+ 3 3+ 3 3.  2  2 2 2    • Ta th i tìm l i gi i : Áp d ng b t ng th c trung bình c ng trung bình nhân 1 1  2 3 a + 3 +b + 3 3  (a + b ) + 3  3 2 =  ≥ . (a + b ) . = a + b 2 2 2 2  2 3   Tương t cho các trư ng h p còn l i . Cách khác : 1 a +b + m (a + b ) m ≤ m  2  . V 1 Gi s v i m i m > 0 , ta luôn có : a +b =   n bây gi ta m   d oán m > 0 bao nhiêu là phù h p?. a + b = m  2 D th y ng th c x y ra khi  1 ⇔m = 3. a = b =  3 Gi i : Áp d ng b t ng th c trung bình c ng trung bình nhân   3 2 AM _GM 3 (a + b ) + 2  a +b = . (a + b ) . ≤ . 3  2 3 2 2  2   3 2 AM _GM 3 (b + c ) + 3  b +c = . (b + c ) . ≤ .  2 3 2 2  2  3 2 AM _GM 3 (c + a ) + 3  c +a = . (c + a ) . ≤ .  2 3 2 2   2 3 2 (a + b + c ) + 3. 3 3 ⇒ a +b + b +c + c +a ≤ . = .2 = 6 ( pcm). 2 2 2 1 ng th c x y ra khi a = b = c = . 3 c. 3 a + b + 3 b + c + 3 c + a ≤ 3 18 .
Nguy n Phú Khánh – à L t . http//:www.maths.vn • Trư ng h p t ng quát , gi s 0 < a ≤ b ≤ c tho mãn i u ki n a + b + c = 1 , d u ng th c ch x y ra  2 a + b = 3 0 < a = b = c   1  2 2 khi  ⇒ a = b = c = ⇒ b + c = . H ng s c n thêm là a + b + c = 1  3  3 3  2 c + a = 3  • T gi thi t g i ý ta ưa n cách phân tích 3 a + b + 3 b + c + 3 c + a ≤ 3 18 (a + b + c ) hay (a + b ) + 2 + 2 (b + c ) + 2 + 2 (c + a ) + 2 + 2 3 3+ 3 3+ 3 3 T = 3a +b + 3b +c + 3c +a ≤ 3 3 3 . Gi i : Áp d ng b t ng th c trung bình c ng trung bình nhân  2 2 3 9 3 2 2 (a +b + + ) ( )  a +b = 3 . a +b . . ≤ 4 3 3 3 3 3   2 2 3  9 2 2 (b +c + +) ( )  b + c = 3 .3 b + c . . ≤ 4 3 3 3 3 3   2 2  9 2 2 (c + a ) + +  3 c + a = 3 .3 (c + a ) . . ≤ 3 3  4 3 3 3   9 2 (a + b + c ) + 4 3 9 6 3 ⇒T = 3 a +b + 3 b +c + 3 c +a ≤ 3 . = . = 18 ( pcm). 4 3 4 3 1 D u ng th c x y ra khi a = b = c = . 3 1 1 1 d. a + b + c + + + ≥ 10 a b b Phân tích bài toán : • Trư ng h p t ng quát , gi s 0 < a ≤ b ≤ c tho mãn i u ki n a +b +c = 1, d u ng th c ch x y ra 0 < a = b = c  1 khi  ⇒a =b =c = . a + b + c = 1  3 1 •T i u c n ch ng minh ,g i ý ta ưa n cách phân tích v i m i m > 0 , ta luôn có : ma + ≥2 m. a ma = 1  a ⇔ m = 9. ng th c x y ra khi :  a = 1  3 1 1 1 1 1 1 • Vì th mà T = a + b + c + + + = 9 (a + b + c ) + + + − 8 (a + b + c ) a b b a b b
Nguy n Phú Khánh – à L t . http//:www.maths.vn Gi i : Áp d ng b t ng th c trung bình c ng trung bình nhân 9a + 1 ≥ 6  a   1 9b + ≥ 6  b 9c + 1 ≥ 6   c 1 1 1 ⇒ T = 9 (a + b + c ) + + + − 8 (a + b + c ) ≥ 3.6 − 8 (a + b + c ) = 10 ( pcm). a b b 1 ng th c x y ra khi : a = b = c = . 3 Bài t p tương t Cho các s th c dương x , y, z và th a mãn mx + ny + pz ≥ d trong ó m, n, p, d ∈ ». Tìm giá tr l n nh t bi u th c A = ax + by + cz 2 2 2 Hư ng d n : Th c hi n vi c ch n i m rơi : ax = by = cz = 2 2 2 β Ch ng minh r ng n u xy + yz + zx = 5 thì 3x 2 + 3y 2 + z 2 ≥ 10 Phân tích bài toán : • Trư c h t ta ý m i liên h gi a 3x 2,3y 2, z 2, xy, yz, zx cho ta i u gì ?, ph i chăng nh ng h ng ng 2 2 th c có d ng : (ax − by ) ≥ 0 ⇔ (ax )2 + (by ) ≥ 2axby ?. • Phân tích : ax 2 + ay 2 ≥ 2axy . ng th c x y ra khi x = y by 2 + cz 2 ≥ 2 bcyz . ng th c x y ra khi by 2 = cz 2 cz 2 + bx 2 ≥ 2 cbzx . ng th c x y ra khi cz 2 = bx 2  a + b = 3 a = 1     Bây gi ta ch n a,b,c sao cho : 2c = 1 ⇔ b = 2   a = bc  c = 1   2 Gi i : x 2 + y 2 ≥ 2xy . ng th c x y ra khi x = y 1 1 2y 2 + z 2 ≥ 2yz . ng th c x y ra khi 2y 2 = z 2 2 2 1 2 1 z + 2x 2 ≥ 2zx . ng th c x y ra khi z 2 = 2x 2 2 2
Nguy n Phú Khánh – à L t . http//:www.maths.vn C ng v theo v ta ư c : 3x 2 + 3y 2 + z 2 ≥ 2 (xy + yz + zx ) ⇒ 3x 2 + 3y 2 + z 2 ≥ 10 ( pcm). x = y  1 2y 2 = z 2  2 x = y = 1  ng th c x y ra khi :  ⇔ 1  z 2 = 2x 2 z = 2  2 xy + yz + zx = 5  47 235 Cho 3 s th c dương x , y, z tho mãn x +y +z = . Ch ng minh r ng : 3x 2 + 4y 2 + 5z 2 ≥ 12 12 Phân tích bài toán : 235 • Trư c h t ta ý m i liên h gi a 3x 2,4y 2,5z 2, x, y, z cho ta i u gì ?, g i ý : 3x 2 + 4y 2 + 5z 2 ≥ 12 ư c bi n i v d ng 3x + m + 4y + n + 5z + p ≥ k , ( 0 < m ≤ n ≤ p ≤ k = const ) 2 2 2 • Phân tích : 3x 2 + m ≥ 2 3mx, m > 0 . ng th c x y ra khi 3x 2 = m 4y 2 + n ≥ 2 4ny, n > 0 . ng th c x y ra khi 4y 2 = n 5z 2 + p ≥ 2 5pz, p > 0 . ng th c x y ra khi 5z 2 = p  5 x = 3  2  3x = m y = 5  2  4y = n 4 z = 1   Bây gi ta ch n x , y, z sao cho : 5z 2 = p ⇔   m = 25  3m = 4n = 5p  3   25 x + y + z = 47 n =   12  4 p = 5  Gi i : 25 25 25 3x 2 + ≥ 2 3. x . ng th c x y ra khi 3x 2 = . 3 3 3 25 25 25 4y 2 + ≥ 2 4. y . ng th c x y ra khi 4y 2 = . 4 4 4 5z 2 + 5 ≥ 2 5.5z . ng th c x y ra khi 5z 2 = 5 . 235 235 C ng v theo v ta ư c 3x 2 + 4y 2 + 5z 2 ≥ 10 ( x + y + z ) − = ( pcm). 12 12
Nguy n Phú Khánh – à L t . http//:www.maths.vn  5 x = 3   5 ng th c x y ra khi y = .  4 z = 1   Cho 3 s th c không âm a,b,c . Ch ng minh r ng : 1 + 3 abc ≤ 3 (1 + a ) (1 + b ) (1 + c ) Gi i : 1 + 3 abc ≤ 3 (1 + a ) (1 + b ) (1 + c ) ⇔ 3 1.1.1 + 3 abc ≤ 3 (1 + a ) (1 + b ) (1 + c ) 1.1.1 abc ⇔ + ≤1 (1 + a ) (1 + b ) (1 + c ) (1 + a ) (1 + b ) (1 + c ) 3 3 1.1.1 abc t:T = +3 (1 + a ) (1 + b ) (1 + c ) (1 + a ) (1 + b ) (1 + c ) 3 1 1 1 1  1 a b c  T≤ 1 + a + 1 + b + 1 + c  + 3 1 + a + 1 + b + 1 + c  3    1 a + 1 b + 1 c + 1  1 T≤  + + = .3 = 1 3 1 + a 1 + b 1 + c  3  D u ng th c x y ra khi a = b = c ≥ 0 . T ng quát : ( Ch ng minh r ng v i m i ai ,bi > 0 i = 1, n thì ta luôn có :) a1a2.......an + n b1b2.......bn ≤ n  a1 + b  (a1 + b2 ) ........ (an + bn )  1 n   1 1 1  Cho 3 s th c dương a,b,c tho mãn a + b + c = 1 . Ch ng minh r ng :  − 1   − 1   − 1  ≥ 8 . a  b c  Gi i : 1 1 1  1 −a  1 −b  1 −c  b + c c + a a +b VT =  − 1   − 1  − 1  =  . . = a . b . c a  b c   a   b   c  AM_GM 2 bc 2 ca 2 ab VT ≥ . . = 8( pcm) a b c T ng quát : x 1, x 2 , x 3 ,..............., x n > 0  Cho  . x 1 + x 2 + x 3 + ........ + x n = 1 
Nguy n Phú Khánh – à L t . http//:www.maths.vn 1  1  1   1  Ch ng minh r ng :  − 1   − 1   − 1  ........  − 1  ≥ (n − 1)n . x  x     1   x2   x3   n  1 1 1 1 Cho 4 s th c dương a,b,c,d tho mãn + + + ≥ 3 . Ch ng minh r ng : 1+a 1 +b 1+c 1 +d 1 abcd ≤ . 81 Gi i : 1  1   1   1  b c d ≥ 1 -  + 1 −  + 1 − = + + 1+a  1+b   1+c   1+d  1+b 1+c 1+d 1 AM _GM bcd ≥ 33 1+a (1 + b ) (1 + c ) (1 + d )  1 bcd  ≥3 (1 + b ) (1 + c ) (1 + d ) 3 1 + a   1 ≥ 33 cda 1 + b  (1 + c ) (1 + d ) (1 + a ) V y:   1 dca 1 + c ≥3 (1 + d ) (1 + c )(1 + a ) 3    1 ≥ 33 abc 1 + d  (1 + a ) (1 + b ) (1 + c ) 1 abcd 1 ⇒ ≥ 81 ⇒ abcd ≤ (1 + a ) (1 + b ) (1 + c ) (1 + d ) (1 + a ) (1 + b ) (1 + c ) (1 + d ) 81 T ng quát : x 1, x 2 , x 3 ,............., x n > 0  Cho :  1 1 1 1 1 + x + 1 + x + 1 + x + ......... + 1 + x ≥ n − 1  1 2 3 n 1 Ch ng minh r ng : x 1x 2x 3 ...........x n ≤ . (n − 1)n Bài tương t Cho 3 s th c dương a,b,c tho mãn a + b + c = 3 . Ch ng minh r ng : a b c 3 a. + + ≥ . 1+b 2 1+c 2 1+a 2 2
Nguy n Phú Khánh – à L t . http//:www.maths.vn a b c 3 b. + + ≥ . a + b2 b + c2 c + a 2 2 a2 b2 c2 c. + + ≥ 1. a + 2b 2 b + 2c 2 c + 2a 2 Hư ng d n : a + b + c = 3 a.   3(ab + bc + ca ) ≤ (a + b + c) ⇒ ab + bc + ca ≤ 3 2   a a(1 + b 2 ) − ab2 ab 2  = =a − a ab 1 + b 1 + b2 1 + b2 ⇒ ≥a − 2 1 + b 2 ≥ 2b 1+b 2 2  b bc 2 bc c ca 2 ca Tương t : =b − ≥b − , =c − ≥c − 1+c 2 1+c 2 2 1+a 2 1+a 2 2 a b c ab + bc + ca 3 3 C ng v theo v : + + ≥ a +b +c − ≥3− = . 1+b 2 1+c 2 1+a 2 2 2 2 Cho 3 s th c dương a,b,c tho mãn a.b.c = 1 . Ch ng minh r ng : a3 b3 c3 3 a. + + ≥ . (1 + b)(1 + c) (1 + c)(1 + a ) (1 + a )(1 + b) 4 1 1 1 b. + + ≤1 2 +a 2 +b 2 +c Hư ng d n : a. Cho 3 s th c dương a,b,c tho mãn a + b + c = 1 . Ch ng minh r ng : a2 b2 c2 1 + + ≥ b +c c +a a +b 2 Gi i : a2 b2 c2 1 a2 b2 c2 1 + + ≥ ⇔( + a) + ( + b) + ( + c) ≥ + (a + b + c) b +c c +a a +b 2 b +c c +a a +b 2
Nguy n Phú Khánh – à L t . http//:www.maths.vn a 2 + a(b + c) b2 + b(c + a ) c2 + c(a + b) 1 ⇔ + + ≥ +1 b +c c +a a +b 2 a(a + b + c) b(b + c + a ) c(c + a + b) 3 ⇔ + + ≥ b +c c +a a +b 2 a b c 3 ⇔ + + ≥ vì a + b + c = 1 . b +c c +a a +b 2 Cho 3 s th c dương a,b,c tho mãn a + b + c = 1 . Ch ng minh r ng : ab bc ca 1 a. + + ≤ . a + b + 2c b + c + 2a c + a + 2b 4 Hư ng d n : 1 1 4 a. Dùng b t ng th c + ≥ . a b a +b Cho 3 s th c dương a,b,c . Ch ng minh r ng : a3 b3 c3 1 a. + + ≥ (a + b + c ) (a + b)(b + c) (b + c)(c + a ) (c + a )(a + b) 4 a3 b3 c3 1 b. + + ≥ (a + b + c) b(c + a ) c(a + b) a(b + c) 2 Hư ng d n :  a3 a +b b +c 3  8a 3  + + ≥ a  + (a + b) + (b + c) ≥ 6a  (a + b)(b + c) 8 8 4  (a + b)(b + c)  b3 b +c c +a 3  8b 3 a. Cách 1 :   + + ≥ b  Cách 2:  + (b + c) + (c + a ) ≥ 6b  (b + c)(c + a ) 8 8 4  (b + c)(c + a )  c3 c +a a +b 3  8c 3  + + ≥ c  + (c + a ) + (a + b) ≥ 6c  (c + a )(a + b)  8 8 4  (c + a )(a + b)   4a 3  a3 b c +a 3  + 2b + (c + a ) ≥ 6a  + + ≥ a  b(c + a ) b(c + a ) 2 4 2  4b 3  b3 c a +b 3 b. Cách 1:    + 2c + (a + b) ≥ 6b Cách 2:  + + ≥ b c(a + b) c(a + b) 2 4 2  4c 3  c3 a b +c 3  + 2a + (b + c) ≥ 6c  + + ≥ c a(b + c)  a(b + c) 2  4 2