zunia.vn

Tuyển sinh 2024 dành cho Gen-Z

zunia.vn

» Tài Liệu Phổ Thông

» Trung học phổ thông

Ôn tập kiến thức Đại số 10: Bất đẳng thức, bất phương trình

Chia sẻ: Nguyen Van Thuan Thuan | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:50

Báo xấu

121
lượt xem 8
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Bất đẳng thức, bất phương trình, dấu nhị thức bậc nhất, bất phương trình bậc nhất hai ẩn, tam thức bậc hai,... là những nội dung chính trong chương 4 "Bất đẳng thức bất phương trình" trong chương trình Đại số 10. Mời các bạn cùng tham khảo.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Ôn tập kiến thức Đại số 10: Bất đẳng thức, bất phương trình

Trần Thành Minh – Phan Lưu Biên - Trần Quang Nghĩa ĐẠI SỐ 10 Chương 4. Bất Đẳng Thức Bất Phương Trình http://www.saosangsong.com.vn/ SAVE YOUR TIME&MONEY SHARPEN YOUR SELF-STUDY SKILL SUIT YOUR PACE
Chương 4. Bất đẳng thức. Bất phương trình 2 Chương 4 . Bất Đẳng Thức . Bất Phương Trình § 1. Bất đẳng thức A. Tóm tắt giáo khoa . 1. A > B Ù A – B > 0 ; A < B Ù A – B < 0 A ≥ B Ù A – B ≥0 ; A ≤ B Ù A – B ≤ 0 2. Tính chất : (a) A > B và B > C => A > C (b) A > B Ù A + C > B + C ⎧A.C > B.C nếu C > 0 (c) A > B Ù ⎨ nếu C < 0 ⎩A.C < B.C (d) Nếu A, B > 0 : A > B Ù A> B A>BÙ 3A>3B ⎧A > B (e) ⎨ => A + C > B + D ⎩C > D ⎧A > B > 0 (f) ⎨ => AC > BD ⎩C > D > 0 3. Bất đẳng thức Cô-si : a+b * Định lí : Với mọi a , b ≥ 0 : ab ≤ 2 Đẳng thức xảy ra Ù a = b * Hệ quả : 1 • a+ ≥2 a • Nếu a , b ≥ 0 và a + b = s thì giá trị lớn nhất của ab là s2 / 4 khi a = b • Nếu a , b ≥ 0 và ab = p thì giá trị nhỏ nhất của a + b = 2 p khi a = b 4.Bất đẳng thức chứa giá trị tuyệt đối. * |x| ≤ a Ù - a ≤ x ≤ a ⎡x ≥ a * |x| ≥ a Ù ⎢ ⎣ x ≤ −a * |a + b| ≤ |a| + |b| ; |a - b| ≥ ||a| - |b|| B. Giải toán . Dạng 1 : Chứng minh bất đẳng thức bằng phép biến đổi tương đương. Các phép biến đổi tương đương (b) , (c) , (d) thừơng được dùng để biến đổi bất đẳng thức cần chứng minh A ≥ B tương đương với C ≥ D , cuối cùng dùng định nghĩa :C ≥ D Ù C – D ≥ 0 . Ví dụ : Chứng minh các bất đẳng thức sau : a) 2(a3 + b3 ) ≥ (a + b)(a2 + b2 ) ∀ a , b và a + b > 0 2 2 b) 4x + y ≥ 4x + 4y - 5 , ∀ x, y c) x2 – 4xy + 5y2 + 2x – 8y + 5 ≥ 0 , ∀ x, y d) x − 1 + 9 − x ≤ 4 , ∀ x ∈ [1 ; 9] www.saosangsong.com.vn
Chương 4. Bất đẳng thức. Bất phương trình 3 Giải :a) Bất đẳng thức cần CM Ù 2(a3 + b3 ) – (a + b)(a2 + b2 ) ≥ 0 (định nghĩa) \ Ù (a + b)[2(a2 + b2 – ab) - (a2 + b2 )] ≥ 0 Ù (a + b)(a2 + b2 – 2ab) ≥ 0 Ù (a + b)(a – b)2 ≥ 0 Bất đẳng thức cuối cùng đúng vì a + b > 0 và (a – b)2 ≥ 0 b) Bất đẳng thức cần CM Ù (4x2 – 4x + 1) + (y2 – 4y + 4) ≥ 0 Ù (2x – 1)2 + (y – 2)2 ≥ 0 ( bất đẳng thức đúng ) c) Bất đẳng thức cần CM Ù x2 – 2(2y – 1)x + 5y2 – 8y + 5 ≥ 0 (viết thành đa thức bậc 2 theo x , với hệ số là y) Ù [x2 – 2(2y - 1)x + (2y – 1)2 ] – (2y – 1)2 + 5y2 – 8y + 5 ≥ 0 (thêm bớt số hạng để đưa về hằng đẳng thức a 2 – 2ab + b2 ) Ù [x – 2y + 1]2 + y2 – 4y + 4 ≥ 0 ( rút gọn ) Ù ( x – 2y + 1)2 + (y – 2)2 ≥ 0 ( bất đẳng thức đúng ) d) Hai vế đều dương , bình phương hai vế , ta được bất đẳng thức tương đương : ( x − 1 + 9 − x ) 2 ≤ 16 Ù(x – 1) + (9 – x) + 2 (x − 1)(9 − x) ≤ 16 ( khai triển) Ù 2 (− x 2 + 10x − 9) ≤ 8 ( rút gọn ) Ù − x 2 + 10x − 9 ≤ 4 ( nhân hai vế cho ½ ) Ù - x2 + 10x – 9 ≤ 16 ( bình phương hai vế ) Ù x2 – 10x + 25 ≥ 0 ( rút gọn ) Ù (x – 5)2 ≥ 0 ( bất đẳng thức đúng ) Dạng 2 : Chứng minh bất đẳng thức bằng bất đẳng thức Cô- si a+b Sử dụng một trong các dạng : ab ≤ ; a + b ≥ 2 ab 2 a 2 + b2 Hoặc các dạng tương đương : a2 + b2 ≥ 2ab ; ab ≤ (2 bất đẳng thức này đúng với 2 mọi a, b ) Ví dụ 1 : CMR : x−4 1 a) (x − 1)(5 − x) ≤ 2 , ∀ x ∈ [1 ; 5] b) ≤ , ∀x ≥ 4 x+5 6 9 4x 2 + 8x + 1 c) x + ≥ 7 , ∀x > 1 d) ≥ 12 , ∀ x > 0 x −1 x Giải a) Vì x ∈ [ 1 ; 5] nên x – 1 ≥ 0 và 5 – x ≥ 0 . Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai số không âm x – 1 và 5 – x , ta có : (x − 1) + (5 − x) (x − 1)(5 − x) ≤ =2 2 Ghi chú : Có thể sử dụng pp biến đổi tương đương bằng cách bình phương hai vế rồi chuyển vế như trong dạng toán 1. 1 b) Ta có : x − 4 = (x − 4)9 ( nhân và chia cho 3 = 9 để đưa về dạng ab ) 3 Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai số không âm x – 4 và 9 : 1 1 (x − 4) + 9 x + 5 x−4 = ( x − 4)9 ≤ . = 3 3 2 6 www.saosangsong.com.vn
Chương 4. Bất đẳng thức. Bất phương trình 4 x−4 1 Chia hai vế cho x + 5 > 0 , ta được bất đẳng thức : ≤ ( đpcm) x+5 6 Ghi chú : Có thể sử dụng pp biến đổi tương đương bằng cách nhân hai vế cho x + 5 > 0 rồi chuyển vế như trong dạng toán 1. 9 9 9 c) Ta có : x + = ( x – 1) + + 1 ( thêm 1 bớt 1 để đưa về dạng a + ) . Áp dụng x −1 x −1 a bất đẳnghức Cô – si cho hai số dương : x – 1 và 9 , ta được : x −1 9 9 (x – 1) + ≥ 2. (x − 1). = 2. 9 = 6 x −1 x −1 9 Suy ra : x + ≥ 6 + 1 ( cộng hai vế cho 1 ) x −1 ≥ 7 ( đpcm) Ghi chú : Có thể sử dụng pp biến đổi tương đương bằng cách nhân hai vế cho x - 1 > 0 rồi chuyển vế như trong dạng toán 1. 4x 2 + 8x + 1 1 d) Ta có : = 4x + + 8 ( Chia tử và mẫu ) x x 1 Áp dụng bất đẳng thức Cô –si cho 4x và , ta được : x 1 1 4x + ≥ 2. 4x. ≥ 4 x x 4x + 8x + 1 2 Suy ra : ≥ 4 + 8 = 12 ( đpcm) x Ghi chú : (1) Có thể sử dụng pp biến đổi tương đương như trong dạng toán 1 . (2) Đặc trưng của phưong pháp chứng minh bất đẳng thức bằng bất đẳng thức Cô – si là ta chỉ phân tích một vế rồi sử dụng bất đẳng thức Cô- si cho hai số thích hợp , kết hợp với tính chất của bất đẳng thức, để so sánh với vế còn lại . (3) Trong 4 bài toán này , nếu ta dấu giá trị của vế phải , ta được bài toán đi tìm giá trị lớn nhất ( bài a , b ) hay giá trị nhỏ nhất ( bài c , d) của một biểu thức Ví dụ 2 : CM các bất đẳng thức sau : a 2 b2 c2 a c b a) 2 + 2 + 2 ≥ + + , với mọi a , b, c ≠ 0 . b c a c b a b) (a + b)(b + c) (c + a) ≥ 8abc với mọi a , b, c ≥ 0 . 1 1 1 c) (a + b + c) ( + + ) ≥ 9 , (a , b , c > 0 ). a b c Khi nào đẳng thức xảy ra ? Giải a) Trong bài này , ta sử dụng bất đẳng thức Cô - si kết hợp với tính chất (e) . Áp dụng bất đẳng thức Cô- si cho các cặp số không âm , ta có : a 2 b2 a 2 b2 a 2 + 2 ≥2 2. 2 =2 b c b c c www.saosangsong.com.vn
Chương 4. Bất đẳng thức. Bất phương trình 5 b2 c2 b 2 c2 b 2 + 2 ≥ 2 2 . 2 =2 c a c a a c2 a 2 c2 a 2 c 2 + 2 ≥ 2 2 . 2 =2 a b a b b Cộng ba bất đẳng thức cùng chiều vế với vế , rồi chia hai vế cho 2 , ta được đpcm . b) Áp dụng bất đẳng thức Cô- si cho các cặp số không âm , ta có : a + b ≥ 2 ab > 0 b + c ≥ 2 bc > 0 c + a ≥ 2 ca > 0 Nhân ba bất đẳng thức cùng chiều vế với vế , ta được đpcm . 1 1 1 a b a c b c c) Ta có : (a + b + c) ( + + ) = 1 + 1 + 1 + ( + ) + ( + ) + ( + ) a b c b a c a c b Áp dụng bất đẳng thức Cô- si cho các cặp số trong dấu ngoặc , ta được : a b a b a c b c + ≥ 2. . = 2 (1) , + ≥ 2 (2) ; + ≥ 2 (3) b a b a c a c b 1 1 1 Suy ra : (a + b + c) ( + + ) ≥ 3 + 2 + 2 + 2 = 9 (4) ( đpcm) a b c Đẳng thức xảy ra ở (4) Ù Đẳng thức xảy ra đồng thời xảy ra ở (1) , (2) , (3) a b a c b c Ù = ; = ; = Ù a2 = b2 = c2 b a c a c b Ùa=b=c Dạng 3 : Chứng minh bất đẳng thức có chứa giá trị tuyệt đối . Ta thường sử dụng các công thức trong phần 4 để chứng minh bất đẳng thức có chứa giá trị tuyệt đối hay giải bất phương trình chứa giá trị tuyệt đối . Ví dụ : a) CM : |5 – x| + |x + 10| ≥ 15 với mọi x . b) Giải bất phương trình : |x – 3| ≤ 5 c) Giải bất phương trình : |2x – 3| ≥ x2 Giải a) Áp dụng bất đẳng thức |a| + |b| ≥ |a + b| , ta có : |5 – x| + |x + 10| ≥ | 5 – x + x + 10 | = 15 : đpcm . Vậy bất đẳng thức đúng với mọi x . b) Ta có phép biến đổi tương đương : |x – 3| ≤ 5 Ù-5 ≤ x–3 ≤ 5 Ù 3 – 5 ≤ x ≤ 3 + 5 ( chuyển vế số 3 ) Ù-2 ≤ x ≤ 8 c) Ta có phép biến đổi tương đương : 2 ⎡ 2x + 3 ≥ x 2 |2x – 3| ≥ x Ù ⎢ ⎣ 2x + 3 ≤ − x 2 www.saosangsong.com.vn
Chương 4. Bất đẳng thức. Bất phương trình 6 ⎡ x 2 − 2x − 3 ≤ 0 (1) Ù ⎢ 2 ⎣ x + 2x + 3 ≤ 0 (2) ⎡⎧x + 1 ≥ 0 ⎢⎨ ⎢ ⎩x − 3 ≤ 0 ⎡ −1 ≤ x ≤ 3 (1) Ù (x + 1)(x – 3) ≤ 0 Ù Ù ⎢ ⎢⎧x + 1 ≤ 0 ⎣x ∈ ∅ ⎢⎨ ⎢⎣ ⎩ x − 3 ≥ 0 Ù-1 ≤ x ≤ 3 2 (2) Ù (x + 1) + 2 ≤ 0 Ù x ∈ ∅ Vậy bất phương trình có nghiệm : - 1 ≤ x ≤ 3 . Dạng 4 : Tìm giá trị lớn nhất ( GTLN) , giá trị nhỏ nhất (GTNN) của biểu thức số T . Cách 1 ( Phân tích ) : • Để tìm GTNN của T , ta viết T dưới dạng : T = f 2(x) + m trong đó m là giá trị không đổi .Thế thì : T ≥ m , ∀ x Tìm x để T = m ( đẳng thức xảy ra) Kết luận : GTNN của T là m . • Để tìm GTLN của T , ta viết T dưới dạng : T = - f 2(x) + M trong đó M giá trị không đổi .Thế thì : T ≤ M , ∀ x Tìm x để T = M ( đẳng thức xảy ra) Kết luận : GTLN của T là M . Cách 2 ( Dùng bất đẳng thức Cô- si) Tương tự như trên , tìm M ( hay m) sao cho : T ≤ M ( hay T ≥ m ) Ví dụ 1 : a) Tìm GTNN của biểu thức T = 2x2 + y2 – 2xy – 4x b) Tìm GTLN của biểu thức T = 2x + x2 – x4 Giải a) Ta có : T = (x2 – 2xy + y2 ) + (x2 – 4x + 4) – 4 = (x – y)2 + (x – 2)2 – 4 Vì (x – y) ≥ 0 và (x – 2)2 ≥ 0 , ∀ x , y , do đó : 2 T ≥ - 4 , ∀ x, y ⎧⎪(x − y) = 02 Đẳng thức xảy ra Ù ⎨ x = y = 2 ⎪⎩(x − 2) = 0 2 Vậy GTNN của T là – 4 . b) Ta có : T = 2 - (1 – 2x + x2 ) – (1 - 2x2 + x4 ) = 2 – (1 – x)2 – (1 – x2)2 Vì - (1 – x)2 ≤ 0 và - (1 – x2 )2 ≤ 0 , ∀ x , do đó : T ≤ 2 , ∀ x . ⎧⎪(1 − x) 2 = 0 ⎧x = 1 Đẳng thức xảy ra Ù ⎨ ⎨ 2 Ùx=1 ⎪⎩(1 − x ) = 0 ⎩x = 1 2 2 Vậy GTLN của T là 2 . 4x 4 − 3x 2 + 9 Ví dụ 2 : a) Tìm GTNN của T = (x≠0) x2 b) Tìm GTLN của T = (2x + 3)(5 − 3x) ( - 3/2 ≤ x ≤ 5/3 ) c) Cho a , b , c > 0 và a + b + c = 1 , tìm GTNN của biểu thức : 1 1 1 T = ( − 1)( − 1)( − 1) a b c www.saosangsong.com.vn
Chương 4. Bất đẳng thức. Bất phương trình 7 9 Giải a) Ta có : T = 4x2 – 3 + x2 9 Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai số 4x2 và , ta có : x2 9 9 4x2 + 2 ≥ 2. 4x 2 . 2 = 12 => T ≥ 12 – 3 = 9 x x 9 9 3 3 Đẳng thức xảy ra Ù 4x2 = 2 Ù x4 = Ù x2 = Ù a = ± x 4 2 2 Vậy GTNN của T là 9 . 3 5 3 5 b) Ta có : T = 2(x + ).3( − x) = 6. (x + )( − x) 2 3 2 3 3 5 Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho (x + ) và ( - x) , ta có : 2 3 3 5 x+ + −x 2 3 19 19 T ≤ 6. = 6. = 2 12 2 6 3 5 1 Đẳng thức xảy ra Ù x + = - x Ù x = 2 3 12 19 Vậy GTLN của T là 2 6 1− a 1− b 1− c Ta có : T = . . a b c (b + c)(c + a)(a + b) = (thế 1 – a = b + c , 1 – b = c + a ….) abc Dùng bất đẳng thức Cô-si , CM được : (b + c)(c + a)(a + b) ≥ 8abc ( Xem dạng toán 2. Ví dụ 2 .(b)) , suy ra : T ≥ 8 . Đẳng thức xảy ra Ù a = b = c = 1/3 Vậy GTNN của T là 8 C. Bài tập rèn luyện 4.1. CM các bất đẳng thức sau bằng pp biến đổi tương đương : a) x2 + y2 + z2 ≥ xy + yz + zx , ∀ x, y , z Suy ra : x4 + y4 + z4 ≥ xyz(x + y + z) b) 3a2 + b2 + 4c 2 + 9d2 ≥ 2a(b + 2c + 3d) , ∀ a , b , c, d c) 4a2 + 9b2 + 5 ≥ 4(a + 3b) , ∀ a , b d) x2 – 4xy + 7y2 + 2x – 10y + 4 ≥ 0 , ∀ x , y 4.2. CM các bất đẳng thức sau bằng pp biến đổi tương đương : x 2 − xy + y 2 1 a) ≥ , ∀ x, y > 0 x 2 + xy + y 2 3 a3 2a − b b) ≥ , ∀ a, b > 0 a + ab + b 2 2 3 c) ab + (1 − a 2 )(1 − b) 2 ≤ 1 , ∀ a , b ∈ [ - 1 ; 1] 1 1 1 1 1 d) y( + ) + (x + z) ≤ (x + z)( + ) x z y x Z www.saosangsong.com.vn
Chương 4. Bất đẳng thức. Bất phương trình 8 4.3 . CM : a 2 + b 2 + c2 + d 2 ≥ (a + c) 2 + (b + d) 2 , ∀ a , b, c, d Khi nào đẳng thức xảy ra . Áp dụng : Tìm GTNN của biểu thức y = x 2 + 2x + 2 + x 2 − 4x + 8 4.4. CM : ∀ a, b, x , y , ta có : |ax + by| ≤ (a 2 + b 2 )(x 2 + y 2 ) ( bđt B.C.S) Áp dụng : a) CMR ∀ a , b , |a + b| ≤ 2(a 2 + b 2 ) b) Cho 3a + 4b = 5 , CM : a2 + b2 ≥ 1 c) Cho 2a2 + 3b2 = 5 , CM : 2a + 3b ≤ 5 4.5. CM các bất đẳng thức sau bằng bất đẳng thức Cô-si : 1 1 a) (a + b)( + ) ≥ 4, ∀ a,b>0 a b 4x + 5 2x + 4 b) ≥ 4 , ∀ x>-1 c) 8x + ≥ 2, ∀ x>-1 x +1 x +1 2 ab d) ≤ 4 ab , ∀ a , b > 0 a+ b * 4.6. CM các bất đẳng thức sau bằng bất đẳng thức Cô-si : ab bc ca a) + + ≥ a + b + c , ∀ a , b, c > 0 c a b 1 1 b) (a + ) 2 + (b + ) 2 ≥ 8 , ∀ a , b > 0 b a (y + 2) x − 1 + (x + 1) y − 4 2 6 c) ≤ + , ∀ x >1, ∀ y>4 (x + 1)(y + 2) 4 12 d) 8(p – a)(p – b)(p – c) ≤ abc với a , b , c là 3 cạnh tam giác và p là nửa chu vi . * 4.7. Tìm GTNN của các biểu thức sau : x 2 + 4x + 5 a) A = x4 – 2x3 + 2x2 – 2x + 5 b) B = , x > −1 x +1 1 4 a2 b2 c) C = (x + 1)2 ( + +1) ; x > 0 d) D = + với a > 1 , b > 1 x2 x b −1 a −1 * 4.8. Tìm GTLN của các biểu thức sau : a) A = (4 − x)(4x − 15) b) B = (x + 1)(x - 1)(x + 3)(3 - x) ab 1+a 2 + b 2 c) C = | |x + 3| - | 4 – x | | d) D = (1 + a 2 )(1 + b 2 ) x2 e) E = x4 + x2 + 9 * 4. 9 . a) Cho x , y > 0 và x + y = xy , tìm GTNN của x + y 1 1 b) Cho x , y > 0 và x 2 + y2 + xy ≤ 3 , tìm GTNN của T = + 2 2x + xy 2 y + xy 2 1 1 c) Cho x , y > 0 và x + y = 1 . Tìm GTNN của biểu thức : T = (1 − 2 )(1 − 2 ) x y www.saosangsong.com.vn
Chương 4. Bất đẳng thức. Bất phương trình 9 4.10.Người ta có 100m rào để rào một miếng đất hình chữ nhật để thả gia súc biết một cạnh của miếng đất là bờ sông ( không phải rào ) . Hỏi kích thước miếng đất có diện tích lớn nhất có thể rào được ? * 4.11. CMR những hình chữ nhật nội tiếp trong tam giác ( có 1 cạnh nằm trên một cạnh tam giác và hai đỉnh kia thuộc hai cạnh còn lại của tam giác ) có diện tích không lớn hơn nửa diện tích tam giác . 4.12. Chọn câu đúng : Nếu có a > b > c > 0 , các bất đẳng thức nào sau đây là a −c b−c b b đúng : I. > II. ab > ac III. > b−a b−a a c a) Chỉ I b) Chỉ II c) I và II d) II và III 4.13. Chọn câu đúng : Biết a2 < b2 và a, b đều khác 0 , các bất đẳng thức nào sau đây là đúng : a 2 b2 1 1 I. < II. 2 > 2 III. (a + b)(a – b) < 0 a a a b a) Chỉ II b) I và II c) II và III d) I và III 4.14. Chọn câu đúng : GTNN của biểu thức A = 2 x2 - 4xy + 5y2 – 4x – 2y + 2 là : a) – 3 b) – 2 c) – 1 d) 0 2x 2 − 4x + 3 4.15. Chọn câu đúng : GTNN của biểu thức : (x > - 1) ∈ : x +1 a) (0,4 ; 0, 5) b) (0,5; 0,6) c) (0,6 ; 0, 7) d) (0,7) ; 0,8) x 2 − 2x 2 4.16.. Chọn câu đúng : GTLN của biểu thức : ( 0 < x < 1 ) là : 2 − x2 a) một số nguyên dương b) một số nguyên âm c) một số hữu tỉ d) một số vô tỉ D. Hướng dẫn hay đáp số . 4.1. a) Ù 2 ( x2 + y2 + z2 ) ≥ 2(xy + yz + zx ) Ù (x – y)2 + (y – z)2 + (z – x)2 ≥ 0 Suy ra : x4 + y4 + z4 ≥ (x2y-2 + y2z2 + z2x2 ) ≥ xy.yz + yz.zx + zx.xy = xyz(x + y + z) b) Ù (a – b)2 + (a – 2c)2 + (a – 3d)2 ≥ 0 c) Ù (2a – 1)2 + (3b – 2)2 ≥ 0 d) Ù (x – 2y + 1)2 + 3(y – 1)2 ≥ 0 4.2 . a) Ù 3(x2 – xy + y2 ) ≥ x2 + xy + y2 Ù 2(x – y)2 ≥ 0 b) Ù 3a3 ≥ (2a – b)(a2 + ab + b2 ) Ù (a3 + b3 ) – (a2b + ab2 ) ≥ 0 Ù (a + b)(a – b)2 ≥ 0 4.3 . Bình phương hai vế và rút gọn : (a 2 + b 2 )(c 2 + d 2 ) ≥ ac + bd * Nếu ac + bd < 0 thì bất đẳng thức đúng. * Nếu ac + bd ≥ 0 , bình phương lần nữa và rút gọn : (ad – bc)2 ≥ 0 ( đúng ) www.saosangsong.com.vn
Chương 4. Bất đẳng thức. Bất phương trình 10 Đẳng thức xảy ra khi ad = bc và ac + bd ≥ 0 Áp dụng : y = (x + 1) + 1 + (2 − x) 2 + 22 ≥ 2 2 (x + 1 + 2 − x) 2 + (1 + 2) 2 ≥ 32 + 32 = 3 2 ⎧(x + 1)2 = 1.(2 − x) Dấu “=” xảy ra khi ⎨ Ù x=0 ⎩(x + 1)(2 − x) + 2 ≥ 0 4.4. Bình phương hai vế , BPT Ù (ay – bx)2 ≥ 0 Áp dụng : a) Với x = y = 1 , ta có |a + b| ≤ 2(a 2 + b 2 ) b) 5 = 3a + 4b ≤ |3.a + 4. b | ≤ (32 + 42 )(a 2 + b 2 ) = 5 a 2 + b 2 Suy ra : a 2 + b 2 ≥ 1 a 2 + b 2 ≥ 1 c) 2a + 3b ≤ | 2 .a 2 + 3 .b 3 |≤ (2 + 3)(2a 2 + 3b 2 ) = 5 4.5. a) a + b ≥ 2 ab > 0 1 1 1 1 + ≥ 2. . > 0 a b a b Nhân hai bất đẳng thức vế với vế , ta được đpcm CM các bất đẳng thức sau bằng bất đẳng thức Cô-si : b) 4x + 5 = 4(x + 1) + 1 ≥ 2 4(x + 1).1 = 4 x + 1 4x + 5 => ≥ 4 x +1 2(x + 1) + 2 2 2 c) f(x) = 8x + = 8(x + 1) + - 6 ≥ 2 8( x + 1). −6 = 2 x +1 x +1 x +1 d) Ta có : a+ b≥2 a. b = 2 4 ab => đpcm 4.6. a) Dùng bất đẳng thức từng cặp một ba lần , rồi cộng lại. 1 1 a b b) Khai triển : ( a2 + 2 ) + (b 2 + 2 ) + 2( + ) ≥ 2 + 2 + 4 = 8 a b b a x −1 y−4 c) Chia VT = + . x +1 y+2 d) Áp dụng bất đẳng thức Côsy cho ba cặp số : (p − a)(p − b), (p − b)(P − c), (p − c)(p − a) rối nhân vế với vê . 4.7. a) A = (x2 – x)2 + (x – 1)2 + 4 ≥ 4 . GTNN là 4 khi x = 1 2 2 b) B = x + 3 + = (x + 1) + +2 ≥ 2 2 + 2 x +1 x +1 2 => GTNN là 2 2 + 2 khi x + 1 = Ùx = -1 + 2 x +1 1 1 c) Nhân ra , rúy gọn : C = x2 + 2 + 6(x + ) + 10 ≥ 2 + 6.2 + 10 = 24 x x GTNN là 24 khi x = 1 a 2 b2 a b d) D ≥ 2. . = . ≥ 2+2=4 b −1 a −1 a −1 b −1 www.saosangsong.com.vn
Chương 4. Bất đẳng thức. Bất phương trình 11 ⎧ a2 b2 ⎪ = GTNN là 4 Ù ⎨ b − 1 a − 1 a = b = 2 ⎪a = b = 2 ⎩ 4.8. a) 15/4 ≤ x ≤ 4 , GTLN là ¼ khi x = 31/8 b) B = (x2 – 1)(9 – x2 ). GTLN là 16 Ù x = ± 5 c) C ≤ |x + 3 + (4 - x| = 7 . GTLN là 7 Ù (x + 3)(4 – x) ≤ 0 Ù x ≤ - 3 hay x ≥ 4 a 2 b 2 + 1 + a 2 + b 2 (1 + a 2 )(1 + b 2 ) d) Dùng Côsi ở tử : ab 1 + a 2 + b 2 ≤ = 2 2 => C ≤ ½ . GTLN là ½ khi a2 b2 = 1 + a2 + b2 b2 + 1 Ù a2 = ( có vô số giá trị a, b) b2 − 1 e) x = 0 : E = 0 1 x≠0:E= ( Chia tử và mẫu cho x2 ) ≤ 1/ 7 9 x2 + 2 +1 x GTLN là 1/7 Ù x = 9/x2 Ù x = ± 3 2 2 ⎛x+ y⎞ x+y * 4.9 . a) x + y = xy ≤ ⎜ ⎟ => 1 ≤ Ùx+y ≥ 4 ⎝ 2 ⎠ 4 GTNN của x + y là 4 khi x = y = 2 1 1 + ) ≥ 4 ( bài 4. 5) b) Áp dụng bất đẳng thức : (a + b)( a b 4 2 2 => T ≥ = 2 ≥ (2 x + xy) + (2 y + xy) x + y + xy 3 2 2 2 GTNN của T là 2/3 khi x = y = 1 ⎛ 1 1 ⎞ 1 c) T = 1 - ⎜⎜ 2 + 2 ⎟⎟ + ⎝x y ⎠ ( xy) 2 ( x + y) 2 − 2xy 1 2 =1- 2 2 + 2 = 1+ x y ( xy) xy 2 ⎛x + y⎞ Mà : xy ≤ ⎜ ⎟ = 1 / 4 , suy ra : T ≥ 1 + 8 = 9 ⎝ 2 ⎠ Vậy GTNN của T là 9 khi x = y = ½ 4.10. Gọi x là cạnh sát bờ sông , y là cạnh còn lại , ta có : x + 2y = 100 (m) 2 ⎛ x + 2y ⎞ Diện tích miếng đất : S = xy = ½ (x . 2y) ≤ ½ . ⎜ ⎟ = 1250 A ⎝ 2 ⎠ m2 MQ BM N 4.11. MQ // AH => = M AH AB MN AM MN // BC => = BC AB B C BM.AM H Diện tích hình chữ nhật : S = MQ.MN = AH.BC. Q P AB2 www.saosangsong.com.vn
Chương 4. Bất đẳng thức. Bất phương trình 12 2 ⎛ AM + BM ⎞ AB2 Ta có : BM.AM ≤ ⎜ ⎟ = => S ≤ ¼. AH.BC = ½ .SABC (đpcm) ⎝ 2 ⎠ 4 4.11. (b) 4.12. (d) 4.13. (c) 4.14. (a) A = (x – 2y)2 + (x – 2)2 + (y - 1)2 – 3 ≥ - 3 GTNN là – 3 khi x = 2 , y = 1 9 4.14. (a) A = 2(x + 1) + − 8 ≥ 2 18 − 8 = 6 2 - 8 = 0, 4825. . . x +1 9 3 GTNN là 6 2 - 8 khi 2(x + 1) = x = - 1 + x +1 2 x + 2 − 2x 2 2 − x 2 2 4.15..(c) Ta có : x 2 − 2x 2 = x 2 (2 − 2x 2 ) ≤ = 2 2 => A ≤ ½ . GTNN là ½ khi x = 2 – 2x Ù x = 2 / 3 2 2 § 2. Bất phương trình A. Tóm tắt giáo khoa . 1. Bât phương trình một ẩn có dạng : f(x) < g(x) ( hay > , ≤ , ≥ ) trong đó f(x) và g(x) là các biểu thức , x là ẩn số Nghiệm là những giá trị x làm bất đẳng thức trên là đúng Giải bất phương trình là tìm tập nghiệm của nó .. 2. Hai bất phương trình tương đương khi chúng có tập nghiệm bằng nhau . 3. Giải một bất phương trình thường là biến đổi tương đương bất phương trình về thành một bất phương trình đơn giản hơn . 4. Các phép biến đổi tương đương thường dùng cho bất phương trình f(x) < g(x) có điều kiện A là : • f(x) < g(x) Ù f(x) ± h(x) < g(x) ± h(x) nếu h(x) xác định trên A. • f(x) < g(x) Ù f(x) – g(x) < 0 f (x) g(x) • f(x) < g(x) Ù h(x) . f(x) < h(x). g(x) Ù < h(x) h(x) nếu h(x) > 0 với mọi x thuộc A . f (x) g(x) f(x) < g(x) Ù h(x) . f(x) > h(x). g(x) Ù > ( đổi chiều bất đẳng thức ) h(x) h(x) nếu h(x) < 0 với mọi x thuộc A . B. Giải toán . Ví dụ 1 : Biến đổi tương đương để giải các bất phương trình sau : x +1 x +1 a) 2x + 5 + 2 < 3− x + 2 (1) x +1 x +1 2x 2 + x + 1 3x + 1 b) > (2) x x www.saosangsong.com.vn
Chương 4. Bất đẳng thức. Bất phương trình 13 Giải : a) Vì bất phương trình có nghĩa với mọi x , do đó : x +1 (1) Ù 2x + 5 < 3 – x ( Đơn giản cho 2 ) x +1 Ù 2x + x < 3 – 5 ( Chuyển vế ) Ù 3x < - 2 Ù x < - 2/3 2x 2 + x 1 3x 1 b) (2) Ù + > + x x x x 1 1 Ù 2x + 1 + > 3 + x x Ù 2x + 1 > 3 ( điều kiện x ≠ 0 ) Ùx>1 Ví dụ 2 : Biến đổi tương đương để giải các bất phương trình sau : a) x3 + x2 + x + 1 > 5x2 + 5 2x − 3 9−x b) > 2 − x + 2x − 3 − x + 2x − 3 2 Giải a) BPT Ù (x2 + 1)(x + 1) > 5(x2 + 1) Chia hai vế cho x2 + 1 > 0 với mọi x , ta có bất phương trình tương đương : x+1>5Ùx>4 b) Vì – x2 + 2x – 3 = - (x – 1)2 – 2 < 0 với mọi x nên nhân hai vế cho ( - x2 + 2x – 3) < 0 , ta được bất phương trình tương đương : 2x – 3 < 9 – x Ù 3x < 9 + 3 Ù 3x < 12 Ù x < 4 Ví dụ 3 : Biến đổi tương đương để giải các bất phương trình sau : 2x − 5 a) > 4−x b) 2x − 1 > x + 1 4−x Giải :a) Điều kiện : 4 – x > 0 Ù x < 4 Với điều kiện này 4 − x > 0 , nhân hai vế cho 4 − x > 0 , ta được : BPT Ù 2x – 5 > 4 – x Ù 3x > 9 Ùx>3 So với điều kiện , ta được nghiệm : 3 x + 1 Ù x > 2 Soi với điều kiện , ta được nghiệm : x > 2 § 3. Dấu nhị thức bậc nhất www.saosangsong.com.vn
Chương 4. Bất đẳng thức. Bất phương trình 14 A. Tóm tắt giáo khoa . 1. Nhị thức bậc nhất là biểu thức có dạng : f(x)= ax + b , a ≠ 0 b Nghiệm của nhị thức là xo = - , giá trị thỏa f(x0) = 0 a 2. Nhị thức f(x) = ax + b : • cùng dấu với a khi x > - b/a • trái dấu với a khi x < - b/a x -∞ - b/a +∞ ax + b trái dấu với a 0 cùng dấu với a 3. Bất phương trình bậc nhất 1 ẩn : ax + b > 0 • a > 0 : x > - b/a • a < 0 : x < - b/a • a=0: *b>0:x∈ R *b ≤ 0:x∈ ∅ 4. Hệ bất phương trình bậc nhất 1 ẩn : Giải từng bất phương trình để tìm tập nghiệm S1 , S2 Tập nghiệm của hệ là S = S1 ∩ S2 B. Giải toán . Dạng toán 1 : Xét dấu nhị thức , tích hay thương của hai nhị thức . Ví dụ 1 : Xét dấu các nhị thức sau : 5 − 3x a) f(x) = 2x – 6 b) f(x) = 2 Giải a) f(x) = 0 Ù x = 3 ; hệ số a = 2 > 0 x -∞ 3 +∞ 2x - 6 - 0 + b) f(x) = 0 Ù x = 5/3 ; hệ số a = - 3/2 < 0 x -∞ 5/3 +∞ 5 -3x + 0 - 2 Ví dụ 2 : Xét dấu các biểu thức sau : 2x + 1 a) y = (2x − 4)(5 − x) b) y = 3x + 5 x -∞ 2 5 +∞ c) y = (2x2 - x + 5)2 – (x2 – x – 5)2 2x – 4 - 0 + + 5–x + + 0 - Giải : a) y là tích của hai nhị thức : 2x – 4 , có nghiệm x = 2 ; a = 2 > 0 y - 0 + 0 - 5 – x , có nghiệm x = 5 ; a = - 1 < 0 www.saosangsong.com.vn
Chương 4. Bất đẳng thức. Bất phương trình 15 Dùng tính chất dấu của tích hai số ( tích hai số cùng dấu là + , tích hai số trái dấu là - ) , ta được bảng xét dấu sau b) y là thương của hai nhị thức : 2x + 1 , có nghiệm là - 1/2 , a = 2 > 0 3x + 5 , có nghiệm là – 5/3 , a = 3 > 0 Qui tắc dấu của thương cũng như của tích , chỉ khác thương không xác định khi mẫu bằng 0 , kí hiệu bằng || . x -∞ - 5/3 -1/2 +∞ 2x + 1 - - 0 + 3x + 5 - 0 + + y + || - 0 + c) Biến đổi ra tích dùng hằng đẳng thức a2 – b2 = (a + b)(a – b) y = (2x2 - x + 5)2 – (x2 – x – 5)2 = (3x2 – 2x )(x2 + 10) Vì x2 + 10 > 0 với x , nên dấu của y là dấu của : 3x2 – 2x = x( 3x – 2) . x -∞ 0 2/3 +∞ x - 0 + + 3x - 2 - - 0 + y + 0 - 0 + Dạng toán 2 : Giải bất phương trình f(x) > g(x) ( f(x) < g(x) … ) Phương pháp chung là : • Chuyển vế , biến đổi tương đương về dạng : P(x) > 0 ( < 0 ,. . . ) trong đó P(x) là tích hay thương các nhị thức bậc nhất . • Lập bảng xét dấu của P(x) . • Dựa vào bảng xét dấu ta rút ra được tập nghiệm của bất phương trình . Ví dụ : Giải các bất phương trình sau : x2 +1 a) (2x + 5)2 ≥ (3x – 4)2 b) +3> x x +1 1 1 2 c) x4 ≤ (2x - 3)2 d) − > x + 1 x + 3 ( x − 1) 2 Giải a) BPT Ù (2x + 5)2 – (3x – 4)2 ≥ 0 Ù (2x + 5 + 3x – 4)(2x + 5 – 3x + 4) ≥ 0 Ù (5x + 1)(- x + 9) ≥ 0 (1) Lập bảng xét dấu của biểu thức ở vế trái (VT) , ta được : x -∞ - 1/5 9 +∞ 5x + 1 - 0 + + -x+9 + + 0 - VT - 0 + 0 - www.saosangsong.com.vn
Chương 4. Bất đẳng thức. Bất phương trình 16 Căn cứ vào bảng xét dấu , bất phương trình có nghiệm : - 1/5 ≤ x ≤ 9 Ghi chú : Nếu không muốn lập bảng thì giải như sau : ⎧5x + 1 ≥ 0 ⎧5x + 1 ≤ 0 (1) Ù ⎨ hay ⎨ Ù - 1/5 ≤ x ≤ 9 ⎩− x + 9 ≥ 0 ⎩− x + 9 ≤ 0 Tập nghiệm là S = [- 1/5 ; 9 ] . x2 +1 b) BPT Ù + 3 − x > 0 ( chuyển vế ) x +1 x 2 + 1 + (x + 1)(3 − x) Ù > 0 ( qui đồng và rút gọn ) x +1 2x + 4 Ù > 0 ( rút gọn tử thức ) x +1 Lập bảng xét dấu của VT : x -∞ -2 -1 +∞ 2x + 4 - 0 + + x+1 - - 0 + VT + 0 - || + Căn cứ vào bảng xét dấu , bất phương trình có nghiệm : x < - 2 hay x > - 1 Tập nghiệm là S = (- ∞ ; - 2 ) ∪ ( - 1 ; + ∞ ) c) BPT Ù x4 - (2x - 3)2 ≤ 0 Ù (x2 + 2x – 3)(x2 – 2x + 3) ≤ 0 2 2 Vì x – 2x + 3 = (x – 1) + 2 > 0 , ∀ x , do đó : BPT Ù x2 + 2x – 3 ≤ 0 Ù ( x – 1)( x + 3) ≤ 0 Lập bảng xét dấu hay giải trực tiếp , ta được nghiệm : - 3 ≤ x ≤ 1 (x + 3) − (x + 1) 2 d) BPT Ù > ( tính gọn VT ) (x + 1)(x + 3) (x − 1) 2 2 2 Ù > ( rút gọn ) (x + 1)(x + 3) (x − 1) 2 2(x − 1) 2 − 2(x + 1)(x + 3) Ù > 0 ( chuyển vế , qui đồng , tính ) (x + 1)(x + 3)(x − 1) 2 2(−6x − 2) Ù > 0 ( rút gọn VT) (x + 1)(x + 3)(x − 1) 2 −6x − 2 Ù > 0 với x ≠ 1 (x + 1)(x + 3) 2 ( Chia hai vế cho > 0 , ∀ x ≠ 1). Lập bảng xét dấu của VT : (x − 1) 2 x -∞ -3 -1 - 1/3 +∞ - 6x - 2 + + + 0 - x+1 - - 0 + + x+3 - 0 + + + VT + || - || + 0 - www.saosangsong.com.vn
Chương 4. Bất đẳng thức. Bất phương trình 17 ⎡ x < −3 Căn cứ vào bảng xét dấu , BPT có nghiệm : ⎢ (*) ( x ≠ 1 ) . Vì điều kiện x ≠ 1 thỏa ⎣ −1 < x < −1/ 3 trong tập hợp (*) , do đó tập nghiệm là : S = ( - ∞ ; - 3) ∪ ( - 1 ; - 1/3) Dạng toán 3 : Giải hệ bất phương trình 1 ẩn Ví dụ 1 : Giải các hệ bpt sau : ⎧ 2x − 1 x +1 ⎧ 1 1 ⎪⎪ 3 > 1 − 2 (1) ⎪⎪ x + 3 > x − 2 (1) a) ⎨ b) ⎨ 2 ⎪ 1 − 1 < 3x − 1 (2) ⎪ 2x + 2x − 5 < 3 (2) ⎪⎩ x − 1 x x − x 2 ⎪⎩ x 2 − 1 Giải a) * Giải (1) : Nhân hai vế cho 6 ( mẫu số chung ) , ta được : BPT Ù 2(2x – 1) > 6 – 3(x + 1) Ù 7x > 5 Ù x > 5/7 * Giải (2) : 1 3x − 1 (2) Ù < (x − 1)x x(1 − x) 3x Ù > 0 ( Chuyển vế , rút gọn ) x(1 − x) 3 Ù > 0 và x ≠ 0 ( Đơn giản ) 1− x Ù x < 1 và x ≠ 0 ⎧x > 5 / 7 ⎪ Vậy hệ có nghiệm : ⎨ x < 1 5 / 7 < x < 1 ⎪x ≠ 0 ⎩ 1 1 b) * Giải (1) : (1) Ù − >0 x +3 x −2 −5 Ù >0 (x + 3)(x − 2) Ù (x + 3)(x – 2) < 0 Ù - 3 < x < 2 (2x + 2x − 5) − 3(x 2 − 1) 2 * Giải (2) : (2) Ù 1 hay x < - 1 * Trên trục số biểu diễn các tập nghiệm S1 của (1) và S2 của (2) , và lấy phần giao S1 ∩ S2 , ta được nghiệm của hệ : - 3 < x < - 1 hay 1 < x < 2 -∞ -3 -1 1 2 www.saosangsong.com.vn
Chương 4. Bất đẳng thức. Bất phương trình 18 Ghi chú : Cách làm như sau: * Vẽ trên trục số các đầu mút khoảng theo thứ tự tăng dần : - 3 < - 1 < 1 < 2 . * Biểu diễn S1 bằng cách gạch bỏ tập hợp C RS1 ( gạch //// theo qui tắc “ lấy trong bỏ ngoài “ . Tương tự biểu diễn S2 bằng cách gạch bỏ tập hợp C S ( gạch R 2 \\\\\\\\ theo qui tắc “ lấy ngoài bỏ trong” . Phần không bị gạch bỏ là tập nghiệm của hệ bất phương trình * Ví dụ 2 : Giải các bất phương trình sau : x 2 + 4x + 3 ⎛ 3x − 1 ⎞ a) x − 1(2x + 3) > b) x2 − 9 ⎜ ⎟≤ x x −9 2 x −1 ⎝ x+5 ⎠ Giải :a) Điều kiện : x – 1 > 0 Ù x > 1 (1) Nhân hai vế cho x − 1 > 0 , ta được : BPT Ù (x – 1)(2x – 3) > x2 + 4x + 3 Ù 2x2 – 5x + 3 > x2 + 4x + 3 Ù x(x – 9) > 0 Ù x < 0 hay x > 9 (2) Từ (1) và (2) , ta được : x > 9 . Bất phương trình có nghiệm x > 9 . b) Điều kiện : x2 – 9 ≥ 0 Ù x ≤ - 3 hay x ≥ 3 . Chú ý x = ± 3 là nghiệm của bất phương trình . Với x < - 3 hay x > 3 (1) , chia hai vế của bất phương trình cho x 2 − 9 > 0 , ta được : 3x − 1 3x − 1 − x(x + 5) BPT Ù ≤x Ù ≤ 0 x +5 x +5 −(x + 1) 2 Ù ≤ 0 x+5 Ù x + 5 > 0 hay x + 1 = 0 Ù x > - 5 (2) Từ (1) và (2) , ta được : - 5 < x < - 3 hay x > 3 . Kết luận : bất phương trình có nghiệm – 5 < x ≤ - 2 hay x ≥ 3 * Ví dụ 3 : ⎧ x −1 ⎪ ≤1 a) Định m để hệ : ⎨ x + 2 có nghiệm ⎪⎩2x + 1 ≤ m ⎧(m − 1) x < m( x − 1) b) Định m để đoạn [ 0 ; 1] thỏa hệ : ⎨ ⎩2( x − 2) > x − m Giải : x −1 −3 a) Giải ≤ 1 ≤ 0 x + 2 > 0 x > −2 : S1 = ( - 2 ; + ∞ ) x+2 x+2 m −1 m −1 Giải 2x +1 ≤ m Ù x ≤ : S2 = ( - ∞ ; ] 2 2 m −1 Hệ có nghiệm khi : S1 ∩ S 2 ≠ ∅ Ù - 2 < Ùm>-3 2 b) Giải (m – 1)x < m(x - 1) Ù - x < - m Ù x > m Giải 2(x – 2) > x – m Ù x > 4 – m www.saosangsong.com.vn
Chương 4. Bất đẳng thức. Bất phương trình 19 Vậy hệ có tập nghiệm S = (m ; 4 – m ) Để đoạn [ 0 ; 1] thỏa hệ thì [0 ; 1] ⊂ S Ù m < 0 < 1 < 4 – m Ù0 g(x) Ù ⎢ ⎣ f (x) < −g(x) ¾ |f(x)| < |g(x)| Ù f2(x) < g2(x) • Trong các trường hợp khác , dạng chứa nhiều dấu trị tuyệt đối chẳng hạn , thì ta khử dấu trị ⎧A khi A ≥ 0 tuyệt theo qui tắc : | A |= ⎨ , rồi giải bất phương trình trên các khoảng dấu . ⎩− A khi A < 0 Cuối cùng hợp các tập nghiệm . Ví dụ 1 : Giải các BPT sau : 2x − 1 x−4 a) |2x – 1| < 2x + 3 b) x x x −1 ⎧−(2x + 3) < 2x − 1 Giải a) (Dạng |f(x)| < g(x) ) BPT Ù ⎨ ⎩2x − 1 < 2x + 3 ⎧ x > −1/ 2 Ù ⎨ Ùx>-½ ⎩ −1 < 3 Tập nghiệm là ( - ½ ; + ∞ ) ⎧ 2x − 1 ⎧ x −1 ⎪⎪ x < 1 ⎪⎪ x < 0 b) ( Dạng |f(x)/ < g(x )) BPT Ù ⎨ Ù⎨ ⎪−1 < 2x − 1 ⎪ 3x − 1 > 0 ⎪⎩ x ⎪⎩ x ⎧0 < x < 1 Ù ⎨ Ù 1/3 < x < 1 ⎩ x < 0 hay x > 1/ 3 Tập nghiệm là (1/3 ; 1 ) ⎡x −4 ⎡ − x 2 + 2x − 4 ⎢ x −1 > x ⎢ > 0 (1) c) ( Dạng /f(x)/ > g(x) ) BPT Ù ⎢ Ù ⎢ x − 1 ⎢ x − 4 < −x ⎢ (x − 2)(x + 2) < 0 (2) ⎢⎣ x − 1 ⎢⎣ x −1 * Giải (1) : Vì tử thức < 0 , ∀ x , nên : (1) Ù x – 1 < 0 Ù x < 1 ⎡1 < x < 2 * Giải (2) : Lập bảng xét dấu của VT , ta được nghiệm : ⎢ ⎣ x < −2 ⎡x < 1 * Vậy nghiệm của BPT là : ⎢⎢1 < x < 2 Ù x < 2 và x ≠ 1 ⎢⎣ x < −2 www.saosangsong.com.vn
Chương 4. Bất đẳng thức. Bất phương trình 20 ( Chú ý dấu [ (“ hoặc”) chớ không { ( “ và “) . BIều diễn các tập nghiệm và lấy phần hội của các tập nghiệm ) *Ví dụ 2 : Giải các BPT sau : | x − 1| +2 a) >1 b) |x – 3| + |x – 4| < x + 4 x ⎧ x − 1 khi x ≥ 1 Giải : a) Ta có : |x – 1| = ⎨ , do đó ta giải BPT trong hai trường hợp : ⎩−(x − 1) khi x < 1 x −1 + 2 x +1 * x ≥ 1 : BPT Ù > 1 −1 > 0 x x 1 Ù >0 Ù x>0 x Kết hợp với x ≥ 1 , ta được nghiệm x ≥ 1 1− x + 2 3− x * x < 1 : BPT Ù > 1 −1 > 0 x x 3 − 2x Ù > 0 Ù 0 < x < 3/2 x Kết hợp với x < 1 , ta được nghiệm 0 < x < 1 ⎡x ≥ 1 Nghiệm của BPT : ⎢ x > 0 ⎣0 < x < 1 Ghi chú : Hợp của hai tập nghiệm chớ không phải giao ! b) |x – 3| + |x – 4| < x + 4 (1) Để khử đồng thời hai dấu trị tuyệt , ta thường lập bảng sau : x -∞ 3 4 +∞ |x - 3| -x+3 0 x–3 | x–3 |x – 4| -x +4 | -x+4 0 x–4 VT - 2x + 7 | 1 | 2x – 7 Ta giải lần lượt trong các trường hợp sau : * x < 3 : (1) Ù - 2x + 7 < x + 4 Ù x > 1 Kết hợp với x < 3 , ta được : 1 < x < 3 * 3 ≤ x ≤ 4 : (1) Ù 1 < x + 4 Ù x > - 3 Kết hợp với 3 ≤ x ≤ 4 , ta được : 3 ≤ x ≤ 4 . * x > 4 : (1) Ù 2x – 7 < x + 4 Ù x < 11 Kết hợp với x > 4 , ta được : 4 < x < 11 . ⎡1 < x < 3 BPT có nghiệm : ⎢⎢3 ≤ x ≤ 4 1 < x < 11 ⎢⎣ 4 < x < 11 1 3 4 11 www.saosangsong.com.vn

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

THÔNG TIN

TRỢ GIÚP

HỖ TRỢ KHÁCH HÀNG

Theo dõi chúng tôi

Chịu trách nhiệm nội dung:

Nguyễn Công Hà - Giám đốc Công ty TNHH TÀI LIỆU TRỰC TUYẾN VI NA

LIÊN HỆ

Địa chỉ: P402, 54A Nơ Trang Long, Phường 14, Q.Bình Thạnh, TP.HCM

Hotline: 093 303 0098

Email: support@tailieu.vn

Giấy phép Mạng Xã Hội số: 670/GP-BTTTT cấp ngày 30/11/2015 Copyright © 2022-2032 TaiLieu.VN. All rights reserved.