intTypePromotion=1
zunia.vn Tuyển sinh 2024 dành cho Gen-Z zunia.vn zunia.vn
ADSENSE
 » 
 » 

Ôn thi Đại học Hình học giải tích năm 2012

Chia sẻ: Lê Bật Thành Công | Ngày: | Loại File: DOC | Số trang:17

Thêm vào BST
Báo xấu
52
lượt xem 4
download
 
  Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Mời các bạn cùng tham khảo tài liệu Ôn thi Đại học Hình học giải tích năm 2012. Tài liệu gồm 2 phần: Lý thuyết và bài tập vận dung. Hi vọng tài liệu sẽ là nguồn tư liệu bổ ích cho các bạn trong quá trình học tập.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Ôn thi Đại học Hình học giải tích năm 2012

  1.                                                                                                        GV: Ngô Quang Nghiệp BT3         ÔN THI ĐẠI HỌC HÌNH HỌC GIẢI TÍCH NĂM 2012  A.Lí Thuyết :  uur uur u1.u2 uur uur  − Công thức tính góc giữa hai đường thẳng  cosϕ = uur uur  trong đó  u1, u2  lần  u1 . u2 lượt là hai VTCP của hai đường thẳng rr n.u  − Công thức tính góc giữa đường thẳng và mặt phẳng  sin Ψ = r r  trong đó  u .u rr n, u  lần lượt là hai VTPT và VTCP của  mặt phẳng và đường thẳng  uur uur n1.n2 uur uur − Công thức tính góc giữa hai đường thẳng  cosϕ = uur uur  trong đó  n1, n2  lần  n1 . n2 lượt là hai VTPT của hai mặt thẳng − Công thức tính khoảng cách giữa hai điểm   A( x A ; y A ; z A ); B ( xB ; yB ; z B )       AB= ( x B ­x A ) 2 + ( y B ­y A ) 2 + ( z B ­z A ) 2 − Khoảng cách từ điểm M0(x0;y0z0) đến mặt phẳng ( ) có phương trình  Ax 0 +By 0 +Cz 0 +D Ax+by+Cz+D=0 là:  d ( M 0 ,(α) ) = A 2 +B2 +C2 − Khoảng cách từ điểm M1 đến đường thẳng   đi qua M0 và có vectơ chỉ  uuuuuuuur ur � M M ,u � ur � 0 1 � phương  u  là:   d(M1 ,Δ)= ur u − Khoảng cách giữa hai đường thẳng   và  ’, trong đó   đi qua điểm M0, có  r ' vectơ chỉ phương  u  và đường thẳng  ’ đi qua điểm  M 0 , có vectơ chỉ phương  r ur uuuuuur' ur � u,u' �.M 0 M 0 � � u'  là:  d( ∆ ,Δ')= r ur �u,u' � � � uuur uuur − Công thức tính diện tích hình bình hành :  SABCD =   � AB,AD � � �  1 uuur uuur − Công thức tính diện tích tam giác :  SABC =   � AB,AC � �  2 � uuur uuur uuur − Công thức tính thể tích hình hộp :  VABCD.A'B'C'D' =   � AB,AD � � .AA'  � 1 uuur uuur uuur − Công thức tính thể tích tứ diện :  VABCD =   � AB,AC �.AD  6 � � Chú ý :  π Các công thức tính góc nêu trên có điều kiện :  0 ϕ , Ψ 2
  2.                                                                                                        GV: Ngô Quang Nghiệp BT3 B.VÍ DỤ :  x y z Ví dụ 1: Cho đường thẳng  ( d ) : = =  và hai điểm  A ( 0;0;3) ,  B ( 0;3;3) . 1 1 1 Tìm tọa độ điểm  M ( d )  sao cho: 1)  MA + MB  nhỏ nhất. 2)  MA2 + 2MB 2  nhỏ nhất. uuur uuur 3)  MA − 3MB  nhỏ nhất. 4)  MA − MB  lớn nhất. Hướng dẫn: x=t 1) Chuyển p/trình của  ( d )  sang dạng tham số  ( d ) : y = t z =t Gọi tọa độ của  M ( d )  có dạng  M ( t ; t; t ) ,  t ﾡ . Ta có  P = MA + MB = ( 0 −t) 2 + ( 0 −t) 2 + ( 3−t) 2 + ( 0 −t) 2 + ( 3−t)2 + ( 3−t) 2 P = 3t 2 − 6t + 9 + 3t 2 − 12t + 18 = 3 ( t 2 − 2t + 3 + t 2 − 4t + 6 ) P = 3� � � ( t − 1) + 2 + ( t − 2 ) + 2 � 2 2 � � � 2� ( ) ( ) 2 P = 3 � ( t − 1) + 0 − 2 + ( t − 2 ) + 0 − 2 � 2 2 � � ( ) ( ) Trong mặt phẳng Oxy xét các điểm  N ( t;0 ) Ox ;  H 1; 2 ; K 2; 2 Gọi  H 1; − ( 2 )  là điểm đối xứng của điểm  H ( 1; 2 )  qua trục Ox.  Ta có  P = 3 ( NH + NK ) = 3 ( NH + NK ) 3H K . Dấu “=” xảy ra  H , N , K  thẳng hàng  � N = H K �Ox . uuuur Đường thẳng   H K   có vecto chỉ  phương   H K = 1;2 2   nên có vecto pháp  ( ) r ( ) ( ) tuyến  n = 2 2; −1  và đi qua  H 1; − 2  nên có phương trình tổng quát ( ) 2 2 ( x − 1) − 1 y + 2 = 0 � 2 2 x − y − 3 2 = 0 . Tọa độ giao điểm  N  của đường thẳng  H K  và trục Ox là nghiệm của hệ  3 �2 2x − y − 3 2 = 0 �x = �3 � � � 2 . Vậy  N �− ;0 �.  y=0 � 2 � y=0 ( ) 2 Vậy  min P = 3H K = 3. 12 + 2 2 = 3 3 .  �3 � 3 Đạt được khi  N ( t;0 ) �N � ;0 �� t = . 2 2 � �
  3.                                                                                                        GV: Ngô Quang Nghiệp BT3 �3 3 3 � Suy ra  MA + MB  nhỏ nhất bằng  3 3  khi  M � ; ; � 2 2 2 � � Cách 2:  �  Làm như cách 1, đến đoạn  P = 3 � ( t − 1) + 2 + 2 ( t − 2) 2 + 2 � �. � � Xét hàm số  f ( t ) = ( t − 1) 2 + 2 + ( t − 2 ) 2 + 2 t −1 t −2 Ta có  f ( t ) = + ( t − 1) 2 + 2 ( t − 2) 2 + 2 t −1 t −2 t −1 − ( t − 2) f ( t) = 0 � =− � =  (*) ( t − 1) + 2 2 ( t − 2) + 2 2 ( t − 1) + 2 2 � � 2 − ( t − 2) � �+ 2 u  Xét hàm số  g ( u ) = ,  u2 + 2 � 2 u � 1 2 Ta   có   g ( u ) = � � u + 2 − u . �. �u 2 + 2 = > 0   nên   hàm   số  g  (u ) 2 3 � u +2� 2 +2 đồng biến trên  ﾡ . 3  Do đó từ (*) ta có  g ( t − 1) = g � − ( t − 2 ) �� � � t − 1 = −t + 2 � t = 2 Bảng biến thiên của hàm số f : t − 3 + 2 f ( t) − 0 + + + f ( t) 3 �3 � Từ bảng biến thiên suy ra  min f ( t ) = f � �= 3 . �� 2 3 �3 3 3 � Vậy  min ( MA + MB ) = 3 3  đạt được tại  t = , tức là  M � ; ; �. 2 �2 2 2 � Cách 3:  Bước 1 : Tìm tọa độ H và H’ Bước 2 : Tính AH và BH’   uuuur AH uuuuur Bước   3   :   Tìm   M   thỏa   mãn   MH = − MH '   BH ' =>ycbt
  4.                                                                                                        GV: Ngô Quang Nghiệp BT3 2). Làm tương tự câu 1), ta tính được  ( Q = MA2 + 2MB 2 = 3t 2 − 6t + 9 + 2 3t 2 − 12t + 18 = 9t 2 − 30t + 45 . ) Biểu thức này là tam thức bậc hai với hệ  số   a = 9 > 0  nên đạt giá trị  nhỏ  −30 5 �5 5 5 � nhất khi  t = − = . Tức là  M � ; ; �. 2.9 3 �2 2 2 � Nhận xét: nếu không nhớ  tính chất về  đồ  thị  bậc hai thì có thể  khảo sát  hàm số  f ( t ) = 9t 2 − 30t + 45  để tìm giá trị hỏ nhất. 3). Theo câu 1) , gọi  M ( t ; t; t ) . uuur uuur Ta có  MA = ( −t; −t ;3 − t ) ,  MB = ( −t;3 − t ;3 − t ) . uuur uuur Suy ra  MA − 2MB = ( −t − 2 ( −t ) ; −t − 2 ( 3 − t ) ;3 − t − 2 ( 3 − t ) ) = ( t ; t − 6; t − 3) . uuur uuur � MA − 2MB = t 2 + ( t − 6 ) + ( t − 3) = 3t 2 − 18t + 45 2 2 uuur uuur � MA − 2MB = 3 ( t − 3) + 18 � 18 = 3 2 . 2 Dấu “=” xảy ra  � t − 3 = 0 � t = 3  hay  M ( 3;3;3) . uuur uuur Vậy  min MA − 2 MB = 3 2  đạt được tại  M ( 3;3;3) . uuur uuur Nhận xét: nếu không phân tích được  MA − 2MB = 3 ( t − 3) 2 + 18  thì có thể  khảo sát hàm số  f ( t ) = 3t 2 − 18t + 45  để tìm giá trị nhỏ nhất.  4). Tương tự câu 1), ta tính được  MA − MB = 3 ( t 2 − 2t + 3 − t 2 − 4t + 6 ) 3� � ( t − 1) + 2 − ( t − 2) 2 + 2 � 2 MA − MB = � � � Trong mặt phẳng Oxy xét các điểm  N ( t;0 ) Ox ;  H 1; 2 ; K 2; 2 .  ( ) ( ) Khi đó  MA − MB = 3 NH − NK Nhận thấy H, K nằm cùng phía so với trục Ox. Suy ra  MA − MB = 3 NH − NK 3HK . Bài toán này vô nghiệm vì  KH || Ox . Cách 2: Khảo sát hàm số như cách 2 ở câu 1   Hàm số không có GTLN. Ví dụ 2: Cho mặt phẳng  ( P ) : x + y + z − 4 = 0 . Tìm điểm  M ( P )  sao cho: 1).  MA + MB  nhỏ nhất, biết  A ( 1;0;0 ) ,  B ( 1;2;0 ) .
  5.                                                                                                        GV: Ngô Quang Nghiệp BT3 2).  MA − MB  lớn nhất, biết  A ( 1;2;1) ,  B ( 0;1;2 ) . 3).  MA2 + 3MB 2  nhỏ nhất, biết  A ( 1;2;1) ,  B ( 0;1;2 ) . 4).  MA2 + 3MB 2 + 2MC 2  nhỏ nhất, biết  A ( 1;2;1) ,  B ( 0;1;2 ) ,  C ( 0;0;3) . uuur uuur uuuur 5).  MA + 3MB + 4MC  nhỏ nhất, biết  A ( 1;2;1) ,  B ( 0;1;2 ) ,  C ( 0;0;3) . Hướng dẫn : 1). Cách giải  Xét vị trí tương đối của A, B so với (P). Đặt  f ( x; y; z ) = x + y + z − 4 .  Thay tọa độ của A, B vào và tính  f ( x A ; y A ; z A ) . f ( xB ; yB ; z B ) . ­ Nếu  f ( x A ; y A ; z A ) . f ( xB ; yB ; z B ) < 0  thì A, B  ở hai phần không gian khác nhau  ngăn cách bởi (P). ­ Nếu  f ( x A ; y A ; z A ) . f ( xB ; yB ; z B ) > 0  thì A, B ở cùng phía so với (P).  Nếu A, B ở khác phía so với (P) thì với  M ( P )  tùy ý ta có  MA + MB AB . Suy ra  min ( MA + MB ) = AB  đạt được khi  M = AB ( P ) . ­ Viết p/trình đường thẳng AB. ­ Tìm giao điểm M của  AB ( P ) . (Giải hệ p/trình của AB và (P)) ­ Kết luận.  Nếu A, B  ở  trong cùng phía so với (P) , ta lấy điểm  A  đối xứng với A qua  (P). Khi đó  MA = MA � MA + MB = MA + MB �A B � min ( MA + MB ) = A B  đạt được khi  M = A B ( P )  Tính tọa độ  A :  ­ Viết phương trình đường thẳng  ( d )  qua  A  và  ( d ) ⊥ ( P ) ­ Giải hệ   { ( d ) ; ( P ) }  tìm được tọa độ  của  H = ( d ) ( P )  là hình chiếu vuông  góc của A trên (P). ­  H  là trung điểm của  A A . Biết tọa độ của  A, H  suy ra tọa độ của  A .  Viết p/trình đường thẳng  A B .  Giải hệ  { A B; ( P ) }  tìm được tọa độ của  M = A B ( P ) . A A’ M M H B B A Tr.Hợp 1 Tr.Hợp 2 2). Làm ngược lại của hai trường hợp trên câu 1.  Nếu A, B ở trong cùng phía so với (P) thì  MA − MB AB
  6.                                                                                                        GV: Ngô Quang Nghiệp BT3  Nếu A, B  ở  trong cùng phía so với (P), ta lấy điểm  A  đối xứng với A qua  (P). Khi đó  MA = MA � MA − MB = MA − MB �A B Cách làm mỗi trường hợp như câu 1. uuur2 uuur uur uuur2 uur2 uuur uur ( ) 2 3). Xét điểm I tùy ý, ta có  MA2 = MA = MI + IA = MI + IA + 2MI .IA uuur2 uuur uur 2 uuur2 uur2 uuur uur ( ) MB 2 = MB = MI + IB = MI + IB + 2MI .IB ( ) 2 2 uuur2 uur2 uuur uur uuur2 uur2 uuur uur Suy ra  MA + 2 MB = MI + IA + 2 MI . IA + 2 MI + IB + 2 MI .IB uuur2 uur2 uur2 uuur uur uur � MA2 + 2 MB 2 = 3MI + IA + 2 IB + 2MI IA + 2 IB ( ) uuur uur uur � MA2 + 2 MB 2 = 3MI 2 + IA2 + 2 IB 2 + 2MI IA + 2 IB uur uur r uur uur ( ) Giả sử  IA + 2 IB = 0 � IA = −2 IB , ta có tọa độ của I là: x + 2 xB 1 + 2.0 1 x= A = = 1+ 2 3 3 y + 2 y B 2 + 2.1 4 �1 4 5 � I y= A = = . Hay  I � ; ; � 1+ 2 3 3 �3 3 3 � z + 2 z B 1 + 2.2 5 z= A = = 1+ 2 3 3 �1 4 5 � uur uur r Vậy, với  I � ; ; �, ta có  IA + 2 IB = 0  nên  MA2 + 2MB 2 = 3MI 2 + IA2 + 2 IB 2 . �3 3 3 � Do I cố định nên  IA2 , IB 2  không đổi. Vậy  MA2 + 2MB 2  nhỏ nhất  MI 2  nhỏ  nhất MI  nhỏ nhất  M  là hình chiếu của I trên (P). �1 4 5 �  Đường thẳng  ( d )  qua  I � ; ; � và vuông góc với (P) nhận vecto pháp  3 3 3 � � r tuyến  n = ( 1;1;1)  của (P) làm vecto chỉ phương nên có p/trình  x = 1 +t 3 ( d ) : y = 43 + t z = 5 +t 3 5 14 17 � ­ Tọa độ giao điểm H của  ( d ) ( P )  là:  H � �; ; � . �9 9 9 � ­ H là hình chiếu của I trên (P).  Vậy M là hình chiếu của I trên (P) nên  M H �5 14 17 � Kết luận:   MA2 + 2MB 2  nhỏ nhất khi  M � ; ; � �9 9 9 � 4). Làm tương tự câu 3) uuur uuur uuuur uuuur 5). Cần rút gọn tổng  MA + 3MB + 4MC  thành một vecto  MH . 
  7.                                                                                                        GV: Ngô Quang Nghiệp BT3 uuur uuur uuuur uuuur Khi đó  MA + 3MB + 4MC = MH = MH  nhỏ nhất  M  là hình chiếu của H  trên (P). Làm như câu 3). uuur uuur uuuur uuur uur uuur uur uuur uur Bằng cách phân tích  MA + 3MB + 4MC = MI + IA + 3 MI + IB + 4 MI + IC uuur uur uur uur ( ) ( ) = 8MI + IA + 3IB + 4 IC uur uur uur r Đến đây chỉ việc tìm tọa độ điểm  I  sao cho  IA + 3IB + 4 IC = 0  rồi làm tiếp  theo hướng dẫn trên. uur uur uur r uur 1 uuur uuur uuur Chú ý:  IA + 3IB + 4 IC = 0 � OI = 8 OA + 3OB + 4OC ( ) 1 xI = ( x A + 3xB + 4 xC ) 8 1 Suy ra tọa độ của  I  là  yI = ( y A + 3 y B + 4 yC ) . 8 1 z I = ( z A + 3z B + 4 zC ) 8 x −1 y z − 2 Ví   dụ   3:(ĐH   –   A2008)   Cho   mặt  phẳng   d : = = .  Lập  phương  2 1 2 trình  mặt phẳng ( α ) chứa d sao cho khoảng cách từ  A(2;5;3)  tới ( α ) là lớn nhất Hướng dẫn :  r 1) Phương trình mặt phẳng ( α ) chứa d có VTPT :   n( A; B; C ), A2 + B 2 + C 2 > 0   có dạng :    A( x − 1) + By + C ( z − 2) = 0   uur uur Ta có  :  d �(α ) � ud .nα = 0 � B = −2 A − 2C   9 A+C ( A + C )2  =>  d ( A,(α )) = = 9. 5 A2 + 8 AB + 5C 2 5 A2 + 8 AB + 5C 2  − TH1: Nếu C = 0    9     d ( A,(α )) = 5 A − TH1: Nếu C  0  ,Đặt  t = C (t + 1) 2      d ( A,(α )) = 9. = 9 f (t ) 5t 2 + 8t + 5 (t + 1) 2 2 Xét hàm số  f (t ) = 2  =>  f '(t ) = 0 � t = �1  ; f (−1) = 0; f (1) = 5t + 8t + 5 9 1                     lim f (t ) = t 5
  8.                                                                                                        GV: Ngô Quang Nghiệp BT3 2 Lập bảng biến thiên =>  M axf (t ) =  tại t =1 . Vậy  M axd(A,(α )) = 3 2  khi  5 A =1 C So sánh TH1 và TH2 : ycbt A=C và B=−4C => Phương trình mặt phẳng  cần tìm là : x ­ 4y + z – 3 = 0   Nhận xét :   − Có thế mở rộng ra các bài toán như sau :      +) Lập phương trình mặt phẳng ( α ) chứa d sao cho khoảng cách từ A tới ( α ) là nhỏ nhất hoặc khoảng cách đó là hằng số    − Có thể sử dụng hình học thuần túy để làm bài này  x −1 y + 2 z x + 2 y −1 z Ví dụ 4: Cho đường thẳng  d : = = và  d ' : = = , 1 2 −1 2 −1 2 (Q): x + 2y +2z – 3 =0 . Lập phương trình mặt phẳng (P) chứa d  sao cho  1) Góc giữa hai mặt phẳng (Q) nhỏ nhất  2) Góc giữa mặt phẳng (P) và đường thẳng d’ lớn nhất  Hướng dẫn :  r 1) Phương trình mặt phẳng ( α ) chứa d có VTPT :   n( A; B; C ), A2 + B 2 + C 2 > 0   có dạng :    A( x − 1) + B( y + 2) + Cz = 0   uur uur Ta có  :  d �(α ) � ud .nα = 0 � C = A + 2 B   π Gọi góc giữa hai mặt phẳng là  ϕ ,(0 ϕ ) 2 A + 2B ( A + 2 B )2  =>  cos(ϕ ) = = 9. 2 A2 + 4 AB + 5 B 2 2 A2 + 4 AB + 5 B 2 − TH1: Nếu B = 0    2     cos(ϕ ) =  (1) 2 A − TH2: Nếu B  0  ,Đặt  t = B (t + 2)2      cos(ϕ ) = 2t 2 + 4t + 5 (t + 2) 2 Xét hàm số  f (t ) = 2   2t + 4t + 5 5 A 1 30 =>  M axf (t ) =  tại t =1 hay  = . Vậy  M ax cosϕ = 6 B 2 �π� 0; � � 6  (2) 2 � � 30 A 1 So sánh TH1 và TH2 => ϕmin � cosϕ =  với  = 6 B 2
  9.                                                                                                        GV: Ngô Quang Nghiệp BT3  => Phương trình mặt phẳng cần tìm là : x + 2y + 5z  + 3 = 0   r 2) Phương trình mặt phẳng ( α ) chứa d có VTPT :   n( A; B; C ), A2 + B 2 + C 2 > 0   có dạng :    A( x − 1) + B( y + 2) + Cz = 0   uur uur Ta có  :  d �(α ) � ud .nα = 0 � C = A + 2 B   π Gọi góc giữa mặt phẳng (P) và đường thẳng d’ là :  Ψ ,(0 Ψ ) 2 4 A + 3B 1 (4 A + 3B) 2  =>  sin( Ψ ) = = . 2 2 3. 2 A2 + 4 AB + 5B 2 3 2 A + 4 AB + 5 B  − TH1: Nếu B = 0    2 2     sin(Ψ ) =  (1) 3 A − TH2: Nếu B  0  ,Đặt  t = B (4t + 3) 2 1      sin(Ψ ) = . 2t 2 + 4t + 5 3 (4t + 3) 2 Xét hàm số  f (t ) = 2   2t + 4t + 5 25 A 5 3 =>  M axf (t ) =  tại t =­7 hay  = −7 . Vậy  M ax sinψ = 7 B �π� 0; � � 9 2 � � 5 3 A So sánh TH1 và TH2 => Ψ m ax � sinΨ =  với  = −7 9 B  => Phương trình mặt phẳng cần tìm là : 7x ­ y + 5z  ­ 9 = 0   Nhận xét :   − Có thế mở rộng ra các bài toán như sau :      +) Lập phương trình mặt phẳng ( α ) chứa d sao cho góc giữa hai mặt  phẳng  hoặc góc giữa đường thẳng và mặt phẳng thỏa mãn một điều kiện  nào đấy      − Có thể sử dụng hình học thuần túy để làm bài này  Ví   dụ   5:  Cho   mặt   phẳng   ( P) : x + 3 y − z − 1 = 0 .   Và   các   điểm   A(1;0;0) ; B(0; −2;3) . Lập phương trình đường thẳng d nằm trong (P) đi qua A và cách B một  khoảng lớn nhất , nhỏ nhất Hướng dẫn : r  Gọi VTCP của đường thẳng d là:   u (a; b; c), a 2 + b 2 + c 2 > 0   uur uur    d �( P) � ud .nP = 0 � c = a + 2b   uuur uur uuur    AB (−1;2; −3)  ;  � ud , AB � � �= (−2a − 7b;2a − 2b;2a + b)
  10.                                                                                                        GV: Ngô Quang Nghiệp BT3 uur uuur � u d , AB � 12a 2 + 24ab + 54b 2 =>  d ( B, d ) = � uur �= ud 2a 2 + 4ab + 5b 2 − TH1: Nếu b = 0        d ( B, d ) = 6   a − TH2: Nếu b  0  ,Đặt  t = b 12t 2 + 24t + 54 12t 2 + 24t + 54      d ( B, d ) = = f (t )    ;Xét hàm số  f (t ) =   2t 2 + 4t + 5 2t 2 + 4t + 5 =>  6 < d ( B, d ) 14   So sánh TH1 và TH2 => 6 d ( B, d ) 14 +)  Min(d ( B, d )) = 6 � b = 0  chọn a =1 =>  c= 1  x = 1+ t => Phương trình đường thẳng cần tìm là :  y = 0 z=t +)  M ax(d ( B, d )) = 14 � a = −b  chọn b = ­1 => a =1 , c =­1   x = −1 − t => Phương trình đường thẳng cần tìm là :  y = t z=t Nhận xét :   − Có thế mở rộng ra các bài toán như sau :      +) Lập phương trình đường thẳng d nằm trong (P) đi qua A và cách B một  khoảng thỏa mãn một điều kiện nào đấy      − Có thể sử dụng hình học thuần túy để làm bài này  Ví dụ 6: Lập phương trình đường thẳng d đi qua A (1;­1;2),song  song  với   mặt   phẳng   (Q) : 2 x − y − z + 3 = 0 ,đồng   thời   d   tạo   với   đường   thẳng  x +1 y −1 z d' : = =  một góc lớn nhất , nhỏ nhất 1 −2 2 Hướng dẫn : r  Gọi VTCP của đường thẳng d là:   u (a; b; c), a 2 + b 2 + c 2 > 0   uur uur uur    d / /( P) � ud .nQ = 0 � c = 2a − b  ;     ud ' (1; −2;2)    π Gọi góc giữa hai mặt phẳng là  ϕ ,(0 ϕ )  2 5a − 4b 1 (5a − 4b) 2 =>  cos(ϕ ) = = . 2 2 3 5a 2 − 4ab + 2b 2 3 5a − 4ab + 2b − TH1: Nếu b = 0    1     cos(ϕ ) = . 5   3
  11.                                                                                                        GV: Ngô Quang Nghiệp BT3 a − TH2: Nếu b  0  ,Đặt  t = b 1 (5t − 4) 2 1 (5t − 4)2      cos(ϕ ) = . 2 = . f (t )    ;Xét hàm số  f (t ) = 2   3 5t − 4t + 2 3 5t − 4t + 2 5 3 =>  0 cos(ϕ )   9 5 3 So sánh TH1 và TH2 => 0 cos(ϕ ) 9 a 4 +)  Min(cos(ϕ )) = 0  =>  ϕmax = 900 � =   b 5 x −1 y +1 z − 2 => Phương trình đường thẳng cần tìm là :  = = 4 5 3 5 3 a 1 +)  M ax(cos(ϕ )) =  =>  ϕmin � = − 9 b 5 x −1 y +1 z − 2 => Phương trình đường thẳng cần tìm là :  = = 1 −5 7 Nhận xét :   − Có thế mở rộng ra các bài toán như sau :      +) Lập phương trình đường thẳng d đi qua A ,song  song  với mặt phẳng  (Q) ,đồng thời d tạo với đường thẳng  d '  một góc thỏa mãn một điều kiện nào  đấy      − Có thể sử dụng hình học thuần túy để làm bài này  Ví dụ  7: Lập phương trình đường thẳng d đi qua  A(0; −1;2)  và cắt đường  x +1 y z − 2 thẳng  d ' : = = sao cho  2 1 −1 1) Khoảng cách từ  B(2;1;1)  là lớn nhất , nhỏ nhất x +1 y z − 2 2) Khoảng cách giữ d va  ∆ : = = là lớn nhất 2 1 −1 Hướng dẫn :  1)   d �d ' = M => M (−1 + 2t ; t;2 − t ), t �R   uur uuuur        => VTCP của d :  ud = AM (2t − 1; t + 1; −t ) uuur uuur uur      AB (2;2; −1)  ;  �AB; ud � � �= (1 − t;1;4 − 2t ) uuur uur �AB, ud � 12t 2 − 18t + 18       =>  d ( B, d ) = � uur �= = f (t ) ud 6t 2 − 2t + 2 12t 2 + 24t + 54 1   Xét hàm số  f (t ) =  =>  M axf (t ) = f (0) = 18; Min f (t ) = f (2) = 2t 2 + 4t + 5 11 1 =>  d ( B, d ) 18   11 1 +)  Min(d ( B, d )) = � t = 2  11
  12.                                                                                                        GV: Ngô Quang Nghiệp BT3 x = 3t => Phương trình đường thẳng cần tìm là :  y = −1 + 3t z = 2 − 2t +)  M ax(d ( B, d )) = 18 � t = 0     x = −t => Phương trình đường thẳng cần tìm là :  y = −1 + t z = 2−t 2)   d �d ' = M => M (−1 + 2t ; t;2 − t ), t �R   uur uuuur        => VTCP của d :  ud = AM (2t − 1; t + 1; −t ) uur Từ phương trình   =>  u∆ = (2; −2;1)  và  N = (5;0;0) �∆ uuur uur uur      AN (5;1; −2)  ;  �∆ ; ud � � u �= (t − 1;4t − 1;6t ) uur uur uuur � � �∆ , ud � u . AN (2 + t )2       =>  d (∆, d ) = uur uur = 3. 2 = 3. f (t ) �u , u � 53t − 10 t + 2 �∆ d � (2 + t ) 2 4 26   Xét hàm số  f (t ) = 2  =>  M axf (t ) = f ( ) = 53t − 10t + 2 37 9 =>   max(d (∆, d )) = 26     x = 29t => Phương trình đường thẳng cần tìm là :  y = −1 − 41t z = 2 + 4t Nhận xét :   − Có thế mở rộng ra các bài toán trên thỏa mãn một điều kiện nào đấy cho  trước      − Có thể sử dụng hình học thuần túy để làm bài này  Ví dụ  8: Lập phương trình đường thẳng d đi qua A (­1;0;­1)và cắt đường   x −1 y − 2 z + 2 thẳng    d ' : = =  sao cho góc giữa đường thẳng d và 2 1 −1 x−3 y −2 z +3  ∆ : = =  là lớn nhất , nhỏ nhất −1 2 2 Hướng dẫn :   d �d ' = M => M (1 + 2t ;2 + t ; −2 − t ), t �R   uur uuuur        => VTCP của d :  ud = AM (2t + 2; t + 2; −1 − t ) π Gọi góc giữa hai mặt phẳng là  ϕ ,(0 ϕ )  2 2 t2 2 =>  cos(ϕ ) = . . f (t ) 3 6t 2 + 14t + 9 3
  13.                                                                                                        GV: Ngô Quang Nghiệp BT3 t2 Xét hàm số  f (t ) = 2   6t + 14t + 9 9 9 =>  M axf (t ) = f (− ) =  ; Minf (t ) = f (0) = 0 7 5 +)  Min(cos(ϕ )) = 0  =>  ϕmax = 900 � t = 0   x +1 y z +1 => Phương trình đường thẳng cần tìm là :  = = 2 2 −1 2 5 9 +)  M ax(cos(ϕ )) =  =>  ϕmin � t = − 5 7 x +1 y z +1 => Phương trình đường thẳng cần tìm là :  = = 4 5 2 Nhận xét :   − Có thế mở rộng ra các bài toán như sau :      +) Có thế mở rộng ra các bài toán trên thỏa mãn một điều kiện nào đấy cho  trước      − Có thể sử dụng hình học thuần túy để làm bài này  C.Bài Tập Bài 1 : Trong không gian tọa độ Oxyz cho mặt phẳng (α) : x − y + z − 1 = 0 và  các điểm A (1 ; 2 ;−1) , B (1 ; 0 ; −1) , C (2 ;1 ; −2) . Tìm điểm M thuộc mặt  phẳng (α)          sao cho MA + MB − MC nhỏ nhất                  ĐS :  M (  ;  ;  ) Bài 2 : Trong không gian tọa độ Oxyz cho mặt phẳng (α) : x − 3y + 3z − 11 =  0 và các điểm A ( 3 ; −4 ; 5 ) , B (3 ; 3 ; −3) . Tìm điểm M thuộc mặt phẳng  (α) sao cho    lớn nhất             ĐS : M ( − ; −  ;  ) Bài 3 : Cho đường thẳng  :  và hai điểm A(2 ; −1 ; 1) , B(1 ;−1;0) Tìm điểm M thuộc đường thẳng   để diện tích tam giác AMB đạt giá trị nhỏ  nhất           ĐS : M (  ; −  ; −  ) Bài 4 : Trong các mặt phẳng đi qua các điểm A (1 ; 2 ;−1) , B(−1 ; 1 ;2) . Viết   phương trình mặtphẳng (α) tạo với mặt phẳng (xOy) một góc nhỏ nhất             ĐS : 6x + 3y + 5z − 7 = 0 Bài 5 : Cho đường thăng  :  và các điểm A(2 ; 1 ; −1) ,B(−1 ; 2 ; 0)   Trong các đường thẳng đi qua B và cắt đường thẳng   , viết phương trình  đường thẳng sao cho khoảng cách từ A tới nó là lớn nhất ? bé nhất ?
  14.                                                                                                        GV: Ngô Quang Nghiệp BT3          ĐS : Lớn nhất :   ; nhỏ nhất :   Bài 6 : Trong không gian tọa độ Oxyz , viết phương trình mặt phẳng (α) đi  qua điểm A(1;2;4) và cắt chiều dương của các trục tọa độ Ox , Oy , Oz lần  lượt tại  M , N ,P Khác gốc tọa độ sao cho tứ diện OMNP có thể tích nhỏ nhất           ĐS :   +  +  =1 Bài 7 : Trong không gian tọa độ Oxyz , viết phương trình mặt phẳng (α) đi  qua điểm  M(1;2;3) và cắt các trục tọa độ Ox , Oy , Oz lần lượt tại A,B,C sao  cho                                      +  +  nhỏ nhất              ĐS : x + 2y  + 3z − 14 = 0  Bài 8 : Trong không gian tọa độ Oxyz , viết phương trình mặt phẳng (α) đi  qua điểm M(2;5;3) và cắt chiều dương của các trục tọa độ Ox , Oy , Oz lần  lượt tại  A , B ,C sao cho OA + OB +OC nhỏ nhất              ĐS :  +  +  = 1 Bài 9 : Cho mặt phẳng (α) : x­y+2z = 0 và các điểm A(1;2;­1),B(3;1;­2), C(1;­2;1) Tìm M thuộc mặt phẳng (α) sao cho  a)  MA+MB nhỏ nhất b)    lớn nhất c)  MA ­ MB ­ MC lớn nhất    d) ++ nhỏ nhất        ĐS : a) M(  ; 1 ; −  )                b) M(  ;  ; 1)                c) M(2 ; −2 ;−2)        d) M(  ;  ; −  ) Bài 10 : Cho các đường thẳng                          :  =  =                           :    Trong các đường thẳng đi qua A(2 ; −1 ; 2) và cắt đường thẳng   , viết  phương       trình đường thẳng   sao cho khoảng cách giữa   và   là lớn  nhất      ĐS :  =  =    Bài 11 : Trong các mặt phẳng đi qua A(2 ;−1 ; 0) và song song với đường  thẳng                           d :  =  =   Viết phương trình mặt phẳng (α) tạo với mặt phẳng (xOy) một góc nhỏ nhất      ĐS : x+y+2z−1=0 Bài 12 : Trong các đường thẳng đi qua A(1 ; 1 ; −1) và vuông góc với mặt  phẳng (β) : 2x−y+z+2=0 viết phương trình tạo với đường thẳng Oy một góc  lớn nhất
  15.                                                                                                        GV: Ngô Quang Nghiệp BT3       ĐS : x +  y +  z −3 = 0  Bài 13 : Cho mặt phẳng (α) : x+y−z+1=0 và đường thẳng                         d :       Trong các đường thẳng đi qua A(1; −1 ; 2) và song song với mặt phẳng (α)  viết phương trình đường thẳng   sao cho khoảng cách giữa   và d là lớn  nhất   x =1      ĐS :  y = −1 + t z = 2+t Bài 14 : Cho đường thẳng d :  =  =  và hai điểm A (2 ; 1 ; −1) và  B(3 ; −2 ; 1) . Trong các đường thẳng đi qua B và cắt d , viết phương trình các  đường thẳng sao cho khoảng cách từ A tới nó là lớn nhất , nhỏ nhất      ĐS :  Lớn nhất :  =  =    ;  Nhỏ nhất :  =  =   Bài 15 : Cho đường thẳng  :  và hai điểm A(2 ;1 ; 1) và B(−1;2;0) Tìm M thuộc   sao cho MA + MB nhỏ nhất            ĐS : M(  ;   ;  )  Bài 17: (THTT 2009) x −1 y + 2 z x −1 y +1 z −1 Cho đường thẳng  ( d ) : = =  ;  ( d1 ) : = = −1 1 2 2 1 1  và hai điểm A(1 ; 4 ; 2) B(−1 ; 2 ; 4) a) Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa đường thẳng d sao cho khoảng  cách từ A tới (P) là lớn nhất  b) Viết phương trình mặt phẳng (Q) chứa đường thẳng d và tạo với mặt  phẳng       (xOy) một góc nhỏ nhất   c) Viết phương trình mặt phẳng (R) chứa đường thẳng d và tạo với trục  Oy góc      lớn nhất d) Trong các đường thẳng đi qua A và cắt đường thẳng  d , viết phương  trình     các đường thẳng sao cho khoảng cách từ B tới nó là lớn nhất , nhỏ nhất e) Trong các đường thẳng đi qua A(2 ; −1 ; 2) và cắt đường thẳng d , viết            phương trình đường thẳng sao cho khoảng cách giữa nó và d là lớn nhất        ĐS :  a) 5x + 13y −4z + 21 = 0  b)  x  − y +  z − 3  = 0  c) x + 5y − z + 9 = 0  x −1 y − 4 z − 2 x −1 y − 4 z − 2 d) Lớn nhất :  = =  Nhỏ nhất :  = = 1 −4 −3 15 18 19 Bài 18: (THTT 2009)
  16.                                                                                                        GV: Ngô Quang Nghiệp BT3 x+ y + z −3= 0 Cho đường thẳng  ( d ) :   Viết phương trình mặt phẳng (P)  2x + y + z − 4 = 0 chứa       đường thẳng d và tạo với mặt phẳng (xOy) một góc bằng 60              ĐS :   a)   2 x + y + z − 2 − 2 = 0  và  2 x − y − z − 2 + 2 = 0   Bài 19: (THTT 2009) x = −t Cho đường thẳng  ( d ) : y = −1 + 2t   Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua    z = 2+t đường thẳng d và tạo với mặt phẳng (P) :   2 x − y − z − 2 = 0  một góc nhỏ nhất          ĐS :    x + y + z − 3 = 0   Bài 20: (ĐH ­ B2009) Trong khoâng gian vôùi heä toïa ñoä Oxyz, cho mặt phẳng (P): x – 2y + 2z  ­ 5 = 0 và hai  điểm  A(­3;0;1), B(1;­1;3).  Trong các đường thẳng đi qua A và song song với (P), hãy viết phương trình  đường thẳng mà khoảng cách từ B đến đường thẳng đó là nhỏ nhất. x + 3 y z −1     ĐS :     = = 26 11 −2 Bài 21: (ĐH ­ B2010) Trong không gian toạ độ Oxyz, cho đường thẳng Δ: x y 1 z . Xác định tọa độ điểm M trên trục hoành sao cho khoảng cách từ  2 1 2 M đến Δ bằng OM.      ĐS :     M (−1;0;0); M (2;0;0) x −1 y + 2 z Bài 22: Trong không gian toạ độ Oxyz, cho đường thẳng Δ: = =  và  −1 1 2 hai điểm  A(1;4;2); B (−1;2;4) . Xác định tọa độ điểm M thuộc   sao cho a) MA + MB nhỏ nhất  uuuur uuuur b)   3OM + 2 AM − 4 BM  nhỏ nhất  c) Diện tích tam giác MAB nhỏ nhất          ĐS :  a)   M (−1;0;4) 5 7               b)   M ( ; − ;3) 2 2 −12 5 38               c)   M ( ; ; )                7 7 7 x y + 2 z −1 Bài 23: Trong không gian toạ độ Oxyz, cho đường thẳng Δ: = =  và  1 −1 1 các điểm  A(1;0;0); B(0;1;1); C (0;0;2) . Xác định tọa độ điểm M thuộc   sao cho Góc giữa hai mặt phẳng (MAB) và (CAB) bằng  300     ĐS :    M (0; −2;1) Bài 24: (ĐH ­ A2009) Trong khoâng gian vôùi heä toïa ñoä Oxyz, cho mặt phẳng (P): x – 2y + 2z  ­ 1 = 0 và hai đường thẳng 
  17.                                                                                                        GV: Ngô Quang Nghiệp BT3 x +1 y z + 9 x −1 y − 3 z +1 ∆1 : = = ; ∆2 : = = . Xác định toạ độ điểmM thuộc  1 sao  1 1 6 2 1 −2 cho khoảng cách từ M đến  2 và khoảng cách từ M đến (P) bằng nhau. 18 53 3 ĐS :    M (0;1; −3); M ( ; ; ) 35 35 35 Bài 25: Trong khoâng gian vôùi heä toïa ñoä Oxyz, cho các điểm  O (0;0;0); A(3;0;0) B(1;2;1); C (2; −1;2) a) Lập phương trình mặt thẳng qua A,B và cắt trục Oz tại M sao cho diện  9 tích tam giác ABM bằng  2 b) Lập phương trình mặt thẳng qua C,Q và cắt trục Oy tại N sao cho thể  tích hối tứ diện ABCN bằng 12 ĐS :   a)  x + 2 y − 2 z − 3 = 0           b) 19 x + 3 y + 18 z − 57 = 0             (file word tải tại đây : nghiepbt3.violet.vn)                       Ngày : 20­03­2012                            _________nghiepbt3________            
ADSENSE

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

THÔNG TIN
TRỢ GIÚP
HỖ TRỢ KHÁCH HÀNG
Theo dõi chúng tôi

Chịu trách nhiệm nội dung:

Nguyễn Công Hà - Giám đốc Công ty TNHH TÀI LIỆU TRỰC TUYẾN VI NA

LIÊN HỆ

Địa chỉ: P402, 54A Nơ Trang Long, Phường 14, Q.Bình Thạnh, TP.HCM

Hotline: 093 303 0098

Email: support@tailieu.vn

Giấy phép Mạng Xã Hội số: 670/GP-BTTTT cấp ngày 30/11/2015 Copyright © 2022-2032 TaiLieu.VN. All rights reserved.

 

Đồng bộ tài khoản
2=>2