Ôn thi toán đại học nam 2011

Chia sẻ: Nguyễn Văn Hùng | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:28

Thêm vào BST

Báo xấu

115
lượt xem 13
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tham khảo tài liệu 'ôn thi toán đại học nam 2011', tài liệu phổ thông, ôn thi đh-cđ phục vụ nhu cầu học tập, nghiên cứu và làm việc hiệu quả

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Ôn thi toán đại học nam 2011

4 1 Tuyeån taäp Ñaïi soá toå hôïp Traàn Só Tuøng Traàn Só Tuøng Tuyeån taäp Ñaïi soá toå hôïp 22. (ÑH Sö phaïm HN 2 khoái A 2000) Phaàn 1. BAØI TOAÙN ÑEÁM Coù theå laäp ñöôïc bao nhieâu soá goàm 8 chöõ soá töø caùc chöõ soá: 1, 2, 3, 4, 5, 6 trong ñoù caùc chöõ soá 1 vaø 6 ñeàu coù maët 2 laàn, caùc chöõ soá khaùc 1. (ÑHQG TPHCM khoái A ñôït 1 1999) coù maët 1 laàn. Cho taäp hôïp A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} 23. (ÑH Sö phaïm Vinh khoái ABE 2000) 1. Coù bao nhieâu taäp con X cuûa taäp A thoaû ñieàu kieän X chöùa 1 vaø Coù bao nhieâu soá khaùc nhau goàm 7 chöõ soá sao cho toång caùc chöõ soá khoâng chöùa 2. cuûa moãi soá laø moät soá chaün. 2. Coù bao nhieâu soá töï nhieân chaün goàm 5 chöõ soá ñoâi moät khaùc nhau 24. (ÑH Sö phaïm Vinh khoái DGM 2000) laáy töø taäp A vaø khoâng baét ñaàu bôûi 123. Tìm taát caû caùc soá töï nhieân coù ñuùng 5 chöõ soá sao cho trong moãi soá ñoù 2. (ÑHQG TPHCM khoái D ñôït 1 1999) chöõ soá ñöùng sau lôùn hôn chöõ soá ñöùng lieàn tröôùc. Moät hoïc sinh coù 12 cuoán saùch ñoâi moät khaùc nhau, trong ñoù coù 2 cuoán 25. (HV Kyõ thuaät quaân söï 2000) saùch Toaùn, 4 cuoán saùch Vaên vaø 6 cuoán saùch Anh. Hoûi coù bao nhieâu Moät ñoàn caûnh saùt khu vöïc coù 9 ngöôøi. Trong ngaøy, caàn cöû 3 ngöôøi caùch xeáp taát caû caùc cuoán saùch leân moät keä saùch daøi, neáu caùc cuoán laøm nhieäm vuï ôû ñòa ñieåm A, 2 ngöôøi ôû ñòa ñieåm B, coøn 4 ngöôøi saùch cuøng moân ñöôïc xeáp keà nhau? thöôøng tröïc taïi ñoàn. Hoûi coù bao nhieâu caùch phaân coâng? 3. (ÑHQG TPHCM khoái AB ñôït 2 1999) 26. (ÑH GTVT 2000) Moät baøn daøi coù hai daõy gheá ñoái dieän nhau, moãi daõy coù 6 gheá. Ngöôøi Moät lôùp hoïc coù 20 hoïc sinh, trong ñoù coù 2 caùn boä lôùp. Hoûi coù bao ta muoán xeáp choã ngoài cho 6 hoïc sinh tröôøng A vaø 6 hoïc sinh tröôøng nhieâu caùch cöû 3 ngöôøi ñi döï hoäi nghò Hoäi sinh vieân cuûa tröôøng sao B vaøo baøn noùi treân. Hoûi coù bao nhieâu caùch xeáp trong moãi tröôøng hôïp cho trong 3 ngöôøi ñoù coù ít nhaát moät caùn boä lôùp. sau: 27. (HV Quaân y 2000) 1. Baát cöù 2 hoïc sinh naøo ngoài caïnh nhau hoaëc ñoái dieän nhau thì khaùc Xeáp 3 vieân bi ñoû coù baùn kính khaùc nhau vaø 3 vieân bi xanh gioáng nhau tröôøng vôùi nhau. vaøo moät daõy 7 oâ troáng. Hoûi: 2. Baát cöù 2 hoïc sinh naøo ngoài ñoái dieän nhau thì khaùc tröôøng vôùi nhau. 1. Coù bao nhieâu caùch xeáp khaùc nhau? 4. (ÑHQG TPHCM khoái D ñôït 2 1999) 2. Coù bao nhieâu caùch xeáp khaùc nhau sao cho 3 vieân bi ñoû xeáp caïnh Cho taäp X = {0,1,2,3,4,5,6,7}. Coù theå laäp ñöôïc bao nhieâu soá n goàm 5 nhau vaø 3 vieân bi xanh xeáp caïnh nhau? chöõ soá khaùc nhau ñoâi moät töø X (chöõ soá ñaàu tieân phaûi khaùc 0) trong 28. (ÑH Caûnh saùt nhaân daân khoái G CPB 2000) moãi tröôøng hôïp sau: Coù bao nhieâu soá leû goàm 6 chöõ soá, chia heát cho 9? 1. n laø soá chaün. 29. (ÑH Caûnh saùt nhaân daân khoái G CB 2000) 2. Moät trong ba chöõ soá ñaàu tieân phaûi baèng 1. Coù bao nhieâu soá leû goàm 6 chöõ soá khaùc nhau lôùn hôn 500000? 5. (ÑH Hueá khoái A chuyeân ban 1999) 30. (CÑSP Nha Trang 2000) Moät hoäp ñöïng 4 vieân bi ñoû, 5 vieân bi traéng vaø 6 vieân bi vaøng. Ngöôøi ta Vôùi caùc soá: 0, 1, 2, 3, 4, 5 coù theå thaønh laäp ñöôïc bao nhieâu soá töï choïn ra 4 vieân bi töø hoäp ñoù. Hoûi coù bao nhieâu caùch choïn ñeå trong soá nhieân goàm 4 chöõ soá khaùc nhau vaø trong ñoù phaûi coù maët chöõ soá 0. bi laáy ra khoâng coù ñuû caû 3 maøu? 31. (CÑSP Nhaø treû – Maãu giaùo TÖ I 2000) 6. (ÑH Hueá khoái D chuyeân ban 1999) Moät lôùp hoïc sinh maãu giaùo goàm 15 em, trong ñoù coù 9 em nam, 6 em Ngöôøi ta xeáp ngaãu nhieân 5 laù phieáu coù ghi soá thöù töï töø 1 ñeán 5 caïnh nöõ. Coâ giaùo chuû nhieäm muoán choïn moät nhoùm 5 em ñeå tham döï troø nhau. chôi goàm 3 em nam vaø 2 em nöõ. Hoûi coù bao nhieâu caùch choïn? 1. Coù bao nhieâu caùch xeáp ñeå caùc phieáu soá chaün luoân ôû caïnh nhau? 32. (ÑH An ninh khoái D 2001) 2. Coù bao nhieâu caùch xeáp ñeå caùc phieáu phaân thaønh hai nhoùm chaün leû Cho caùc chöõ soá 0, 1, 2, 3, 4. Hoûi coù theå thaønh laäp ñöôïc bao nhieâu soá rieâng bieät (chaúng haïn 2, 4, 1, 3, 5)? coù baûy chöõ soá töø nhöõng chöõ soá treân, trong ñoù chöõ soá 4 coù maët ñuùng 7. (ÑH Hueá khoái RT chuyeân ban 1999)
2 3 Tuyeån taäp Ñaïi soá toå hôïp Traàn Só Tuøng Traàn Só Tuøng Tuyeån taäp Ñaïi soá toå hôïp Ngöôøi ta vieát caùc chöõ soá 0, 1, 2, 3, 4, 5 leân caùc taám phieáu, sau ñoù xeáp ñöôïc: thöù töï ngaãu nhieân thaønh moät haøng. 1. Bao nhieâu soá chaün coù boán chöõ soá vaø boán chöõ soá ñoù khaùc nhau 1. Coù bao nhieâu soá leû goàm 6 chöõ soá ñöôïc saép thaønh? töøng ñoâi moät. 2. Coù bao nhieâu soá chaün goàm 6 chöõ soá ñöôïc saép thaønh? 2. Bao nhieâu soá chia heát cho 5, coù ba chöõ soá vaø ba chöõ soá ñoù khaùc 8. nhau töøng ñoâi moät. (HV Ngaân haøng TPHCM 1999) 3. Bao nhieâu soá chia heát cho 9, coù ba chöõ soá vaø ba chöõ soá ñoù khaùc Xeùt nhöõng soá goàm 9 chöõ soá, trong ñoù coù naêm chöõ soá 1 vaø boán chöõ soá nhau töøng ñoâi moät. coøn laø 2, 3, 4, 5. Hoûi coù bao nhieâu soá nhö theá, neáu: 15. (ÑH Y HN 2000) 1. Naêm chöõ soá 1 ñöôïc xeáp keà nhau. 2. Caùc chöõ soá ñöôïc xeáp tuyø yù. Coù 5 nhaø toaùn hoïc nam, 3 nhaø toaùn hoïc nöõ vaø 4 nhaø vaät lí nam. Laäp 9. moät ñoaøn coâng taùc 3 ngöôøi caàn coù caû nam vaø nöõ, caàn coù caû nhaø toaùn (ÑH Haøng haûi 1999) hoïc vaø nhaø vaät lí. Hoûi coù bao nhieâu caùch? Coù bao nhieâu caùch saép xeáp naêm baïn hoïc sinh A, B, C, D, E vaøo moät 16. (ÑH Caàn Thô khoái D 2000) chieác gheá daøi sao cho: 1. Baïn C ngoài chính giöõa. Vôùi caùc chöõ soá 1, 2, 3, 4, 5, 6 ta laäp caùc soá maø moãi soá coù naêm chöõ soá 2. Hai baïn A vaø E ngoài ôû hai ñaàu gheá. trong ñoù caùc chöõ soá khaùc nhau töøng ñoâi moät. Hoûi 10. 1. Coù bao nhieâu soá trong ñoù phaûi coù maët chöõ soá 2. (HV BCVT 1999) 2. Coù bao nhieâu soá trong ñoù phaûi coù maët hai chöõ soá 1 vaø 6. Hoûi töø 10 chöõ soá 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 coù theå laäp ñöôïc bao nhieâu 17. (ÑH Thaùi Nguyeân khoái AB 2000) soá goàm 6 chöõ soá khaùc nhau, sao cho trong caùc chöõ soá ñoù coù maët soá 0 vaø 1. Moät ñoäi vaên ngheä coù 20 ngöôøi, trong ñoù coù 10 nam vaø 10 nöõ. Hoûi coù 11. bao nhieâu caùch choïn ra 5 ngöôøi sao cho: (ÑHQG HN khoái B 2000) 1. Coù ñuùng 2 nam trong 5 ngöôøi ñoù. Töø 5 chöõ soá 0, 1, 3, 5, 7 coù theå laäp ñöôïc bao nhieâu soá goàm 4 chöõ soá 2. Coù ít nhaát 2 nam vaø ít nhaát 1 nöõ trong 5 ngöôøi ñoù. khaùc nhau vaø khoâng chia heát cho 5. 18. (ÑH Thaùi Nguyeân khoái D 2000) 12. (ÑHQG TPHCM khoái A 2000) Töø 3 chöõ soá 2, 3, 4 coù theå taïo ra ñöôïc bao nhieâu soá töï nhieân goàm 5 Moät thaày giaùo coù 12 cuoán saùch ñoâi moät khaùc nhau trong ñoù coù 5 cuoán chöõ soá, trong ñoù coù maët ñuû 3 chöõ soá treân. saùch Vaên, 4 cuoán saùch Nhaïc vaø 3 cuoán saùch Hoaï. OÂng muoán laáy ra 19. (ÑH Thaùi Nguyeân khoái G 2000) 6 cuoán vaø taëng cho 6 hoïc sinh A, B, C, D, E, F moãi em moät cuoán. 1. Giaû söû thaày giaùo chæ muoán taëng cho caùc hoïc sinh treân nhöõng cuoán Coù bao nhieâu soá goàm 5 chöõ soá sao cho toång caùc chöõ soá cuûa moãi soá saùch thuoäc 2 theå loaïi Vaên vaø Nhaïc. Hoûi coù bao nhieâu caùch taëng? laø moät soá leû. 20. 2. Giaû söû thaày giaùo muoán raèng sau khi taëng saùch xong, moãi moät trong (ÑH Caàn Thô khoái AB 2000) ba loaïi saùch treân ñeàu coøn laïi ít nhaát moät cuoán. Hoûi coù bao nhieâu caùch Coù 9 vieân bi xanh, 5 vieân bi ñoû, 4 vieân bi vaøng coù kích thöôùc ñoâi moät choïn? khaùc nhau. 13. (ÑH Hueá khoái A chuyeân ban 2000) 1. Coù bao nhieâu caùch choïn ra 6 vieân bi, trong ñoù coù ñuùng 2 vieân bi Moät lôùp coù 30 hoïc sinh nam vaø 15 hoïc sinh nöõ. Coù 6 hoïc sinh ñöôïc ñoû. choïn ra ñeå laäp moät toáp ca. Hoûi coù bao nhieâu caùch choïn khaùc nhau 2. Coù bao nhieâu caùch choïn ra 6 vieân bi, trong ñoù soá bi xanh baèng soá neáu: bi ñoû. 21. 1) phaûi coù ít nhaát laø 2 nöõ. (ÑH Ñaø Laït khoái ADV 2000) 2) choïn tuyø yù. Coù 5 theû traéng vaø 5 theû ñen, ñaùnh daáu moãi loaïi theo caùc soá 1, 2, 3, 4, 14. (ÑH Hueá khoái DRT chuyeân ban 2000) 5. Coù bao nhieâu caùch saép xeáp taát caû caùc theû naøy thaønh moät haøng sao Cho caùc chöõ soá 0, 1, 2, 3, 4, 5. Töø caùc chöõ soá ñaõ cho ta coù theå laäp cho hai theû cuøng maøu khoâng naèm lieàn nhau.
8 5 Tuyeån taäp Ñaïi soá toå hôïp Traàn Só Tuøng Traàn Só Tuøng Tuyeån taäp Ñaïi soá toå hôïp Moät ñoäi thanh nieân tình nguyeän coù 15 ngöôøi, goàm 12 nam vaø 3 nöõ. 3 laàn, coøn caùc chöõ soá khaùc coù maït ñuùng 1 laàn. 33. Hoûi coù bao nhieâu caùch phaân coâng ñoäi thanh nieân tình nguyeän ñoù veà (ÑH Caàn Thô 2001) giuùp ñôõ 3 tænh mieàn nuùi, sao cho moãi tænh coù 4 nam vaø 1 nöõ. Moät nhoùm goàm 10 hoïc sinh, trong ñoù coù 7 nam vaø 3 nöõ. Hoûi coù bao 61. (ÑH khoái A 2005 döï bò 1) nhieâu caùch saép xeáp 10 hoïc sinh treân thaønh moät haøng daøi sao cho 7 Töø caùc chöõ soá 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 coù theå laäp ñöôïc bao nhieâu soá töï hoïc sinh nam phaûi ñöùng lieàn nhau. 34. nhieân, moãi soá goàm 6 chöõ soá khaùc nhau vaø toång caùc chöõ soá haøng (HV Chính trò quoác gia 2001) chuïc, haøng traêm, haøng ngaøn baèng 8. Moät ñoäi vaên ngheä coù 10 ngöôøi, trong ñoù coù 6 nöõ vaø 4 nam. 62. (ÑH khoái B 2005 döï bò 1) 1. Coù bao nhieâu caùch chia ñoäi vaên ngheä thaønh hai nhoùm coù soá ngöôøi Moät ñoäi vaên ngheä coù 15 ngöôøi goàm 10 nam vaø 5 nöõ. Hoûi coù bao nhieâu baèng nhau vaø moãi nhoùm coù soá nöõ nhö nhau. caùch laäp moät nhoùm ñoàng ca goàm 8 ngöôøi, bieát raèng trong nhoùm ñoù 2. Coù bao nhieâu caùch choïn ra 5 ngöôøi maø trong ñoù khoâng coù quaù 1 phaûi coù ít nhaát 3 nöõ. nam. 63. 35. (ÑH khoái B 2005 döï bò 2) (ÑH Giao thoâng vaän taûi 2001) Töø caùc chöõ soá 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 coù theå laäp ñöôïc bao nhieâu soá töï Cho 8 chöõ soá 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. Hoûi coù theå laäp ñöôïc bao nhieâu soá nhieân, moãi soá goàm 5 chöõ soá khaùc nhau vaø nhaát thieát phaûi coù 2 chöõ goàm 6 chöõ soá khaùc nhau, trong ñoù nhaát thieát phaûi coù maët chöõ soá 4. 36. soá 1, 5. (ÑH Hueá khoái ABV 2001) 64. (ÑH khoái D 2006) Coù bao nhieâu soá töï nhieân goàm 4 chöõ soá sao cho khoâng coù chöõ soá Ñoäi thanh nieân xung kích cuûa moät tröôøng phoå thoâng coù 12 hoïc sinh, naøo laëp laïi ñuùng 3 laàn? 37. goàm 5 hoïc sinh lôùp A, 4 hoïc sinh lôùp B vaø 3 hoïc sinh lôùp C. Caàn (ÑH Hueá khoái DHT 2001) choïn 4 hoïc sinh ñi laøm nhieäm vuï, sao cho 4 hoïc sinh naøy thuoäc Töø moät nhoùm hoïc sinh goàm 7 nam vaø 6 nöõ, thaày giaùo caàn choïn ra 5 khoâng quaù 2 trong 3 lôùp treân. Hoûi coù bao nhieâu caùch choïn nhö vaäy? em tham döï leã mittinh taïi tröôøng vôùi yeâu caàu coù caû nam vaø nöõ. Hoûi coù 65. (CÑ GTVT III khoái A 2006) bao nhieâu caùch choïn? 38. Töø moät nhoùm goàm 15 hoïc sinh khoái A, 10 hoïc sinh khoái B, 5 hoïc sinh (HV Kyõ thuaät quaân söï 2001) khoái C, choïn ra 15 hoïc sinh sao cho coù ít nhaát 5 hoïc sinh khoái A vaø Trong soá 16 hoïc sinh coù 3 hoïc sinh gioûi, 5 khaù, 8 trung bình. Coù bao ñuùng 2 hoïc sinh khoái C. Tính soá caùch choïn. nhieâu caùch chia soá hoïc sinh ñoù thaønh 2 toå, moãi toå coù 8 ngöôøi sao cho 66. (CÑ Taøi chính – Haûi quan khoái A 2006) ôû moãi toå ñeàu coù hoïc sinh gioûi vaø moãi toå coù ít nhaát 2 hoïc sinh khaù. 39. Coù bao nhieâu soá töï nhieân goàm 5 chöõ soá, trong ñoù chöõ soá 0 coù maët (ÑH Kinh teá quoác daân 2001) ñuùng 2 laàn, chöõ soá 1 coù maët ñuùng 1 laàn vaø hai chöõ soá coøn laïi phaân Vôùi caùc chöõ soá 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 coù theå laäp ñöôïc bao nhieâu soá töï bieät? nhieân maø moãi soá coù 5 chöõ soá khaùc nhau vaø trong ñoù phaûi coù chöõ soá 67. (CÑ Xaây döïng soá 3 khoái A 2006) 5. 40. Coù bao nhieâu soá töï nhieân chaün goàm hai chöõ soá khaùc nhau? Tính toång (HV Ngaân haøng TPHCM khoái A 2001) cuûa taát caû caùc soá ñoù. 1. Coù theå tìm ñöôïc bao nhieâu soá goàm 3 chöõ soá khaùc nhau ñoâi moät? 68. (CÑBC Hoa Sen khoái D 2006) 2. Töø caùc chöõ soá 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 coù theå laäp ñöôïc bao nhieâu soá Cho 2 ñöôøng thaúng d1, d2 song song vôùi nhau. Treân ñöôøng thaúng d1 chaün coù 5 chöõ soá ñoâi moät khaùc nhau? 41. cho 10 ñieåm phaân bieät, treân ñöôøng thaúng d2 cho 8 ñieåm phaân bieät. (ÑH Ngoaïi thöông TPHCM khoái A 2001) Hoûi coù theå laäp ñöôïc bao nhieâu tam giaùc maø 3 ñænh cuûa moãi tam giaùc Töø caùc chöõ soá 1, 2, 3, 4, 5, 6 coù theå thieát laäp ñöôïc bao nhieâu soá coù 6 laáy töø 18 ñieåm ñaõ cho. chöõ soá khaùc nhau maø hai chöõ soá 1 vaø 6 khoâng ñöùng caïnh nhau? 42. (ÑH Noâng nghieäp I HN khoái A 2001) Coù 6 hoïc sinh nam vaø 3 hoïc sinh nöõ xeáp thaønh moät haøng doïc. Hoûi coù
6 7 Tuyeån taäp Ñaïi soá toå hôïp Traàn Só Tuøng Traàn Só Tuøng Tuyeån taäp Ñaïi soá toå hôïp bao nhieâu caùch xeáp ñeå coù ñuùng 2 hoïc sinh nam ñöùng xen keõ 3 hoïc ít nhaát moät em ñöôïc choïn. 51. sinh nöõ. (Khi ñoåi choã 2 hoïc sinh baát kì cho nhau ta ñöôïc moät caùch (ÑH khoái A 2003 döï bò 2) xeáp môùi). Töø caùc chöõ soá 0, 1, 2, 3, 4, 5 coù theå laäp ñöôïc bao nhieâu soá töï nhieân 43. (HV Quan heä quoác teá 2001) maø moãi soá coù 6 chöõ soá khaùc nhau vaø chöõ soá 2 ñöùng caïnh chöõ soá 3. 52. Töø caùc chöõ soá 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 coù theå laäp ñöôïc bao nhieâu soá coù (ÑH khoái B 2003 döï bò 1) 9 chöõ soá maø chöõ soá 9 ñöùng ôû vò trí chính giöõa? Töø caùc chöõ soá 1, 2, 3, 4, 5,6 coù theå laäp ñöôïc bao nhieâu soá töï nhieân 44. (ÑH Quoác gia TPHCM 2001) maø moãi soá coù 6 chöõ soá vaø thoaû maõn ñieàu kieän: saùu chöõ soá cuûa moãi 1. Coù bao nhieâu soá töï nhieân goàm 6 chöõ soá ñoâi moät khaùc nhau, trong soá laø khaùc nhau vaø trong moãi soá ñoù toång cuûa 3 chöõ soá ñaàu nhoû hôn ñoù coù maët chöõ soá 0 nhöng khoâng coù maët chöõ soá 1. toång cuûa 3 chöõ soá cuoái moät ñôn vò. 53. 2. Coù bao nhieâu soá töï nhieân goàm 7 chöõ soá, bieát raèng chöõ soá 2 coù maët (ÑH khoái B 2003 döï bò 2) ñuùng 2 laàn, chöõ soá 3 coù maët ñuùng 3 laàn vaø caùc chöõ soá coøn laïi coù maët Töø moät toå goàm 7 hoïc sinh nöõ vaø 5 hoïc sinh nam caàn choïn ra 6 em khoâng quaù moät laàn. trong ñoù soá hoïc sinh nöõ phaûi nhoû hôn 4. Hoûi coù bao nhieâu caùch choïn 45. (ÑHSP HN II 2001) nhö vaäy? 54. Tính toång taát caû caùc soá töï nhieân goàm 5 chöõ soá khaùc nhau ñoâi moät (ÑH khoái D 2003 döï bò 1) ñöôïc laäp töø 6 chöõ soá 1, 3, 4, 5, 7, 8. Töø caùc chöõ soá 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 coù theå laäp ñöôïc bao nhieâu soá töï 46. (ÑHSP TPHCM khoái DTM 2001) nhieân chaün maø moãi soá goàm 7 chöõ soá khaùc nhau? 55. Cho A laø moät hôïp coù 20 phaàn töû. (CÑ Sö phaïm khoái A 2002) 1. Coù bao nhieâu taäp hôïp con cuûa A? 1. Tìm soá giao ñieåm toái ña cuûa: 2. Coù bao nhieâu taäp hôïp con khaùc roãng cuûa A maø coù soá phaàn töû laø soá a) 10 ñöôøng thaúng phaân bieät. chaün? b) 6 ñöôøng troøn phaân bieät. 47. (ÑH Thaùi Nguyeân khoái D 2001) 2. Töø keát quaû cuûa caâu 1) haõy suy ra soá giao ñieåm toái ña cuûa taäp hôïp 1. Coù bao nhieâu soá chaün coù ba chöõ soá khaùc nhau ñöôïc taïo thaønh töø caùc ñöôøng noùi treân. 56. caùc chöõ soá 1, 2, 3, 4, 5. (CÑ Sö phaïm khoái A 2002 döï bò) 2. Coù bao nhieâu soá coù ba chöõ soá khaùc nhau ñöôïc taïo thaønh töø caùc Cho ña giaùc loài n caïnh. Xaùc ñònh n ñeå ña giaùc coù soá ñöôøng cheùo gaáp chöõ soá 1, 2, 3, 4, 5, 6 maø caùc soá ñoù nhoû hôn soá 345. ñoâi soá caïnh. 48. (ÑH Vaên Lang 2001) 57. (CÑ Xaây döïng soá 3 – 2002) Moät lôùp coù 10 hoïc sinh nam vaø 10 hoïc sinh nöõ. Caàn choïn ra 5 hoïc Töø caùc chöõ soá 1, 2, 3, 4, 5 coù theå laäp ñöôïc bao nhieâu soá goàm 3 chöõ sinh ñeå ñi laøm coâng taùc “Muøa heø xanh”. Hoûi coù bao nhieâu caùch choïn soá khaùc nhau vaø nhoû hôn 245. neáu trong 5 hoïc sinh ñoù phaûi coù ít nhaát: 58. (CÑ Sö phaïm Quaûng Ngaõi 2002) 1. Hai hoïc sinh nöõ vaø hai hoïc sinh nam. Töø 5 chöõ soá 0, 1, 2, 5, 9 coù theå laäp ñöôïc bao nhieâu soá leû, moãi soá goàm 2. Moät hoïc sinh nöõ vaø moät hoïc sinh nam. 4 chöõ soá khaùc nhau. 49. (ÑH Y HN 2001) 59. (ÑH khoái B 2004) Vôùi caùc chöõ soá 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 coù theå laäp ñöôïc bao nhieâu soá Trong moät moân hoïc, thaày giaùo coù 30 caâu hoûi khaùc nhau goàm 5 caâu chaün coù ba chöõ soá khaùc nhau vaø khoâng lôùn hôn 789? hoûi khoù, 10 caâu hoûi trung bình, 15 caâu hoûi deã. Töø 30 caâu hoûi ñoù coù 50. (ÑH khoái D döï bò 1 2002) theå laäp ñöôïc bao nhieâu ñeà kieåm tra, moãi ñeà goàm 5 caâu hoûi khaùc nhau Ñoäi tuyeån hoïc sinh gioûi cuûa moät tröôøng goàm 18 em, trong ñoù coù 7 hoïc vaø nhaát thieát phaûi coù ñuû 3 loaïi caâu hoûi (khoù, trung bình, deã) vaø soá caâu sinh khoái 12, 6 hoïc sinh khoái 11, 5 hoïc sinh khoái 10. Hoûi coù bao hoûi deã khoâng ít hôn 2. nhieâu caùch cöû 8 hoïc sinh trong ñoäi ñi döï traïi heø sao cho moãi khoái coù 60. (ÑH khoái B 2005)
12 9 Tuyeån taäp Ñaïi soá toå hôïp Traàn Só Tuøng Traàn Só Tuøng Tuyeån taäp Ñaïi soá toå hôïp BAØI GIAÛI 2. Laäp moät soá coù 9 chöõ soá thoaû maõn yeâu caàu; thöïc chaát laø vieäc xeáp caùc soá 2, 3, 4, 5 vaøo 4 vò trí tuyø yù trong 9 vò trí (5 vò trí coøn laïi ñöông nhieân daønh cho chöõ soá 1 laëp 5 laàn). 1. (ÑHQG TPHCM khoái A ñôït 1 1999) 9! 4 ìX Ì A Vaäy: coù taát caû A9 = = 6.7.8.9 = 3024 soá. ì X = {1 È Y } 5! ï ï 1. í1Î X Û í . ï Y Ì {3,4,5,6,7,8} 9. (ÑH Haøng haûi 1999) ï2 Ï X î î 1. Xeáp C ngoài chính giöõa: coù 1 caùch. Do ñoù soá caùc taäp X baèng soá caùc taäp con Y cuûa taäp hôïp {3,4,5,6,7,8} Xeáp A, B, D, E vaøo 4 choã coøn laïi: coù 4! = 24 caùch. Maø soá caùc taäp con Y cuûa {3,4,5,6,7,8} laø: 26 = 64. Vaäy: coù 24 caùch xeáp thoaû yeâu caàu. Vaäy coù 64 taäp con X cuûa A chöùa 1 vaø khoâng chöùa 2. 2. Xeáp A vaø E ngoài ôû hai ñaàu gheá: coù 2! = 2 caùch. 2. Goïi * m laø soá caùc soá töï nhieân chaün goàm 5 chöõ soá ñoâi moät khaùc Xeáp B, C, D vaøo 3 choã coøn laïi: coù 3! = 6 caùch. nhau laáy töø A. Vaäy: coù 2.6 = 12 caùch xeáp thoaû yeâu caàu. * n laø soá caùc soá töï nhieân chaün goàm 5 chöõ soá ñoâi moät khaùc 10. (HV BCVT 1999) nhau laáy töø A vaø baét ñaàu bôûi 123. * Soá caùc soá coù 6 chöõ soá khaùc nhau laø: * p laø soá caùc soá töï nhieân thoaû maõn yeâu caàu ñeà baøi. 6 5 A10 - A10 = 9.9.8.7.6.5 = 136080 Ta caàn tính p. Hieån nhieân p = m – n * Soá caùc soá coù 6 chöõ soá khaùc nhau vaø ñeàu khaùc 0 laø: · Tính m: Laäp moät soá chaün a5a4a3a2a1 goàm 5 chöõ soá khaùc nhau a1, A6 = 9.8.7.6.5.4 = 60480 9 a2, a3, a4, a5 Î A, coù nghóa laø: * Soá caùc soá coù 6 chöõ soá khaùc nhau vaø ñeàu khaùc 1 laø: Laáy a1 töø {2, 4, 6, 8} ® coù 4 caùch A6 - A5 = 8.8.7.6.5.4 = 53760 4 Laáy a2, a3, a4, a5 töø 7 soá coøn laïi cuûa A ® coù A7 = 7.6.5.4 = 840 caùch 9 9 Vaäy soá caùc soá coù 6 chöõ soá khaùc nhau trong ñoù ñeàu coù maët 0 vaø 1 laø: Do ñoù: m = 4.840 = 3360. 136080 – 60480 – 53760 = 21840 soá. · Tính n: Laäp moät soá chaün 123a2a1 baét ñaàu bôûi 123; a1,a2Î A; a1 ≠ a2 11. (ÑHQG HN khoái B 2000) Laáy a1 töø {4,6,8} ® coù 3 caùch * Tröôùc heát ta tìm soá caùc soá goàm 4 chöõ soá khaùc nhau: Laáy a2 töø A \ {1,2,3,a1} ® coù 4 caùch Coù 4 khaû naêng choïn chöõ soá haøng ngaøn (khoâng choïn chöõ soá 0) Do ñoù: n = 3.4 = 12 Coù A3 khaû naêng choïn 3 chöõ soá cuoái. Vaäy: soá p caàn tìm laø: p = 3360 – 12 = 3348. 4 Þ Coù 4. A3 = 4.4! = 96 soá. 2. (ÑHQG TPHCM khoái D ñôït 1 1999) 4 Böôùc 1: Ñaët 3 nhoùm saùch leân keä daøi: 3! caùch * Tìm soá caùc soá goàm 4 chöõ soá khaùc nhau vaø chia heát cho 5: Böôùc 2: Trong moãi nhoùm ta coù theå thay ñoåi caùch xeáp ñaët saùch: Neáu chöõ soá taän cuøng laø 0: coù A3 = 24 soá 4 Nhoùm saùch Toaùn: 2! caùch Neáu chöõ soá taän cuøng laø 5: coù 3 khaû naêng choïn chöõ soá haøng nghìn, Nhoùm saùch Vaên: 4! caùch 2 coù A3 = 6 khaû naêng choïn 2 chöõ soá cuoái. Vaäy coù 3.6 = 18 soá Nhoùm saùch Anh: 6! caùch Do ñoù coù 24 + 18 = 42 soá goàm 4 chöõ soá khaùc nhau vaø chia heát cho 5. Keát luaän: coù 3!2!4!6! = 6.2.24.720 = 207360 caùch. Vaäy coù: 96 – 42 = 54 soá goàm 4 chöõ soá khaùc nhau vaø khoâng chia heát 3. (ÑHQG TPHCM khoái AB ñôït 2 1999) cho 5. 1. Giai ñoaïn 1: Xeáp choã ngoài cho hai nhoùm hoïc sinh, coù 2 caùch xeáp: 12. (ÑHQG TPHCM khoái A 2000) ABABAB BABABA 1. Soá caùch taëng laø soá caùch choïn 6 cuoán saùch töø 9 cuoán coù keå thöù töï. Vaäy soá caùch taëng laø A6 = 60480 BABABA ABABAB 9
10 11 Tuyeån taäp Ñaïi soá toå hôïp Traàn Só Tuøng Traàn Só Tuøng Tuyeån taäp Ñaïi soá toå hôïp Giai ñoaïn 2: Trong nhoùm hoïc sinh cuûa tröôøng A, coù 6! caùch xeáp caùc C1 C1 C6 2 * 1 ñoû + 1 traéng + 2 vaøng: coù = 300 45 em vaøo 6 choã. Do ñoù soá caùch choïn 4 bi ñuû caû 3 maøu laø: 180 + 240 + 300 = 720 Töôïng töï, coù 6! caùch xeáp 6 hoïc sinh tröôøng B vaøo 6 choã. Vaäy soá caùch choïn ñeå 4 bi laáy ra khoâng ñuû 3 maøu laø: 1365 – 720 = Keát luaän: coù 2.6!6! = 1036800 caùch 645. 2. Hoïc sinh thöù nhaát tröôøng A ngoài tröôùc: coù 12 caùch choïn gheá ñeå 6. (ÑH Hueá khoái D chuyeân ban 1999) ngoài. 1. * Xeáp caùc phieáu soá 1, 2, 3, 5 coù 4! = 24 caùch. Sau ñoù, choïn hoïc sinh tröôøng B ngoài ñoái dieän vôùi hoïc sinh thöù nhaát * Sau ñoù xeáp phieáu soá 4 vaøo caïnh phieáu soá 2 coù 2 caùch. tröôøng A: coù 6 caùch choïn hoïc sinh tröôøng B. Vaäy: coù 2.24 = 48 caùch xeáp theo yeâu caàu ñeà baøi. Hoïc sinh thöù hai cuûa tröôøng A coøn 10 choã ñeå choïn, choïn hoïc sinh 2. * Khi nhoùm chaün ôû beân traùi, nhoùm leû ôû beân phaûi. Soá caùch xeáp cho tröôøng B ngoài ñoái dieän vôùi hoïc sinh thöù hai tröôøng A: coù 5 caùch choïn, 2 soá chaün laø 2! caùch. Soá caùch xeáp cho 3 soá leû laø: 3! caùch. v.v… Vaäy coù 2.6 = 12 caùch. Vaäy: coù 12.6.10.5.8.4.6.3.2.1.1 = 26.6!.6! = 33177600 caùch. * Töông töï cuõng coù 12 caùch xeáp maø nhoùm chaün ôû beân phaûi, nhoùm leû 4. (ÑHQG TPHCM khoái D ñôït 2 1999) ôû beân traùi. 1. Xem caùc soá chaén hình thöùc abcde (keå caû a = 0), coù 4 caùch choïn e Vaäy: coù 12 + 12 = 24 caùch. Î {0,2,4,6}, vì laø soá chaün. 7. (ÑH Hueá khoái RT chuyeân ban 1999) 4 Sau ñoù choïn a, b, c, d töø X \ {e}, soá caùch choïn laø: A7 = 840 Soá coù 6 chöõ soá khaùc nhau coù daïng: abcdef vôùi a ≠ 0 Vaäy: coù 4.840 = 3360 soá chaün hình thöùc. 1. Vì soá taïo thaønh laø soá leû neân f Î {1, 3, 5}. Ta loaïi nhöõng soá coù daïng 0bcde . Coù 3 caùch choïn e, vaø A3 caùch Do ñoù: f coù 3 caùch choïn 6 a coù 4 caùch choïn (tröø 0 vaø f) choïn b, c, d töø X \ {0,e}. Vaäy coù 3. A3 = 360 soá chaün coù daïng 0bcde . 6 b coù 4 caùch choïn (tröø a vaø f) Keát luaän: coù 3360 – 360 = 3000 soá thoaû yeâu caàu ñeà baøi. c coù 3 caùch choïn (tröø a, b, f) 2. n = abcde d coù 2 caùch choïn (tröø a, b, c, f) * Xem caùc soá hình thöùc abcde (keå caû a = 0). Coù 3 caùch choïn vò trí e coù 1 caùch choïn (tröø a, b, c, d, f) cho 1. Sau ñoù choïn chöõ soá khaùc nhau cho 3 vò trí coøn laïi töø X \ {1}: coù Vaäy: coù 3.4.4.3.2.1 = 288 soá 4 A7 caùch. 2. Vì soá taïo thaønh laø soá chaün neân f Î {0, 2, 4}. * Khi f = 0 thì (a,b,c,d,e) laø moät hoaùn vò cuûa (1,2,3,4,5). Do ñoù coù 5! soá 4 Nhö theá: coù 3. A7 = 2520 soá hình thöùc thoaû yeâu caàu ñeà baøi. * Khi f Î {2, 4} thì: * Xem caùc soá hình thöùc 0bcde . Coù 2 caùch choïn vò trí cho 1. Choïn chöõ f coù 2 caùch choïn soá khaùc nhau cho 3 vò trí coøn laïi töø X \ {0,1}, soá caùch choïn laø A3 . a coù 4 caùch choïn 6 Nhö theá: coù 2. A3 = 240 soá hình thöùc daïng 0bcde . b coù 4 caùch choïn 6 c coù 3 caùch choïn Keát luaän: soá caùc soá n thoaû yeâu caàu ñeà baøi laø: 2520 – 240 = 2280 soá. d coù 2 caùch choïn 5. (ÑH Hueá khoái A chuyeân ban 1999) e coù 1 caùch choïn 4 Soá caùch choïn 4 bi trong soá 15 bi laø: C15 = 1365. Do ñoù coù 2.4.4.3.2.1 = 192 soá. Caùc tröôøng hôïp choïn 4 bi ñuû caû 3 maøu laø: Vaäy: coù 120 + 192 = 312 soá chaün. C2C1 C1 = 180 * 2 ñoû + 1 traéng + 1 vaøng: coù 8. (HV Ngaân haøng TPHCM 1999) 456 C1 C5C1 2 1. Goïi 11111 laø soá a. Vaäy ta caàn saép caùc soá a, 2, 3, 4, 5. Do ñoù soá coù * 1 ñoû + 2 traéng + 1 vaøng: coù = 240 4 6 9 chöõ soá trong ñoù coù 5 chöõ soá 1 ñöùng lieàn nhau laø: 5! = 120 soá.
16 13 Tuyeån taäp Ñaïi soá toå hôïp Traàn Só Tuøng Traàn Só Tuøng Tuyeån taäp Ñaïi soá toå hôïp 2. Nhaän xeùt: khoâng theå choïn sao cho cuøng heát 2 loaïi saùch. a1a2a3a4a5a6a7 maø toång caùc chöõ soá laø moät soá chaün. 6 Soá caùch choïn 6 cuoán saùch töø 12 cuoán saùch laø: A12 = 665280 5 5 Vaäy coù taát caû: 9.10 .5 = 45.10 soá. 24. (ÑH Sö phaïm Vinh khoái DGM 2000) A5 .7 = 5040 Soá caùch choïn sao cho khoâng coøn saùch Vaên laø: 6 Theo yeâu caàu cuûa baøi toaùn vaø soá 0 khoâng ñöùng tröôùc baát kì soá naøo 42 Soá caùch choïn sao cho khoâng coøn saùch Nhaïc laø: A6 .A8 = 20160 neân caùc soá coù 5 chöõ soá chæ coù theå taïo thaønh töø caùc soá {1, 2, 3, 4, …, A3 .A3 = 60480 Soá caùch choïn sao cho khoâng coøn saùch Hoaï laø: 8, 9} = T. ÖÙng vôùi moãi boä 5 chöõ soá phaân bieät baát kì trong T chæ coù 1 69 caùch saép xeáp duy nhaát thoaû maõn ñöùng sau lôùn hôn chöõ soá lieàn tröôùc. Soá caùch choïn caàn tìm laø: 665280 – (5040 + 20160 + 60480) = 579600 9! 13. (ÑH Hueá khoái A chuyeân ban 2000) C5 = Vaäy soá caùc soá caàn tìm laø: = 126. 9 5!4! 1. Ñeå coù ít nhaát laø 2 nöõ thì ta phaûi choïn: 25. (HV Kyõ thuaät quaân söï 2000) 2 4 * 2 nöõ, 4 nam ® coù C15 .C30 caùch Coù taát caû: C3 .C6 = C9 .C5 = C9 .C7 = 1260 caùch 2 42 24 coù C15 .C3 caùch 3 hoaëc * 3 nöõ, 3 nam ® 9 30 26. (ÑH GTVT 2000) 4 2 hoaëc * 4 nöõ, 2 nam ® coù C15 .C30 caùch Coù 2 khaû naêng: coù C15 .C1 caùch 5 hoaëc * 5 nöõ, 1 nam ® * 1 caùn boä lôùp vaø 2 hoïc sinh thöôøng: coù C1 .C18 2 30 2 6 hoaëc * 6 nöõ coù C15 caùch ® * 2 caùn boä lôùp vaø 1 hoïc sinh thöôøng: coù C2 .C1 2 18 Vaäy: coù C15 .C30 + C15 .C3 + C15 .C30 + C15 .C1 + C15 caùch 2 4 3 4 2 5 6 Vaäy soá choïn laø: C1 .C18 + C2 .C1 = 324 caùch. 2 30 30 2 2 18 2. Neáu choïn tuyø yù thì soá caùch choïn laø: C6 . 27. (HV Quaân y 2000) 45 14. (ÑH Hueá khoái DRT chuyeân ban 2000) 1. Tröôùc heát xeáp 3 vieân bi ñoû vaøo 7 oâ troáng. Do caùc vieân bi ñoû khaùc 1. Soá chaün goàm boán chöõ soá khaùc nhau coù daïng: A3 . nhau neân soá caùch xeáp laø 7 abc0 hoaëc abc2 hoaëc abc4 Sau ñoù xeáp 3 vieân bi xanh vaøo 4 oâ coøn laïi. Do caùc vieân bi xanh gioáng * Vôùi soá abc0 ta coù: 5 caùch choïn a, 4 caùch choïn b, 3 caùch choïn c. nhau neân soá caùch xeáp laø C3 . 4 Þ Coù 5.4.3 = 60 soá Vaäy soá caùch xeáp khaùc nhau laø: A3 . C3 = 840 caùch. * Vôùi soá abc2 hoaëc abc4 ta coù: 4 caùch choïn a, 4 caùch choïn b, 3 7 4 2. Tröôùc heát ta caàn chuù yù veà maøu, ñeå ñoû ñöùng caïnh nhau vaø xanh caùch choïn c. ñöùng caïnh nhau chæ coù 6 caùch xeáp. Þ Coù 4.4.3 = 48 soá abc2 vaø 48 soá abc4 Sau ñoù, do caùc vieân bi ñoû khaùc nhau, neân ta hoaùn vò caùc vieân bi ñoû Vaäy coù: 60 + 48 + 48 = 156 soá chaün. vôùi nhau. Soá caùc hoaùn vò laø 3! 2. Soá chia heát cho 5 vaø goàm ba chöõ soá coù daïng ab0 hoaëc ab5 . Vaäy soá caùch xeáp khaùc nhau ñeå caùc vieân bi ñoû ñöùng caïnh nhau vaø * Vôùi soá ab0 ta coù: 5 caùch choïn a, 4 caùch choïn b. caùc vieân bi xanh ñöùng caïnh nhau laø: 6.3! = 36 caùch. Þ Coù 5.4 = 20 soá 28. (ÑH Caûnh saùt nhaân daân khoái G CPB 2000) * Vôùi soá ab5 ta coù: 4 caùch choïn a, 4 caùch choïn b. Caùc soá coù 6 chöõ soá, chia heát cho 9, vieát theo thöù töï taêng laø: Þ Coù 4.4 = 16 soá 100008, 100017, 100035, …, 999999 Vaäy coù: 20 + 16 soá caàn tìm. Caùc soá leû coù 6 chöõ soá, chia heát cho 9, laäp thaønh moät caáp soá coäng: 3. Goïi abc laø soá chia heát cho 9 goàm ba chöõ soá khaùc nhau. Khi ñoù u1 = 100017, 100035, …, un = 999999 {a,b,c} coù theå laø: {0,4,5}, {1,3,5}, {2,3,4}. vôùi coâng sai d = 18. Do ñoù: * Khi {a,b,c} = {0,4,5} thì caùc soá phaûi tìm laø: 405, 450, 504, 540 un = u1 + (n – 1)d Û 999999 = 100017 + (n – 1).18 Û n = 50000 ® coù 4 soá Vaäy taát caû coù 50000 soá leû goàm 6 chöõ soá, chia heát cho 9.
14 15 Tuyeån taäp Ñaïi soá toå hôïp Traàn Só Tuøng Traàn Só Tuøng Tuyeån taäp Ñaïi soá toå hôïp 19. (ÑH Thaùi Nguyeân khoái G 2000) * Khi {a,b,c} = {1,3,5} hay {2,3,4} thì soá phaûi tìm laø hoaùn vò cuûa 3 phaàn töû ® coù 3! = 6 soá. Xeùt moät soá coù 4 chöõ soá tuyø yù ñaõ cho a1a2a3a4 . Coù hai khaû naêng: Vaäy coù: 4 + 6 + 6 = 16 soá caàn tìm. 1. Neáu a1 + a2 + a3 + a4 laø soá chaün thì coù theå laáy a5 Î {1, 3, 5, 7, 9} vaø 15. (ÑH Y HN 2000) laäp ñöôïc 5 soá coù 5 chöõ soá a1a2a3a4a5 vôùi toång caùc chöõ soá laø moät soá Soá caùch choïn 1 nhaø toaùn hoïc nam, 1 nhaø toaùn hoïc nöõ, 1 nhaø vaät lí leû. nam laø: C1 .C1 .C1 = 5.3.4 = 60 2. . Neáu a1 + a2 + a3 + a4 laø soá leû thì coù theå laáy a5 Î {0, 2, 4, 6, 8} vaø 534 Soá caùch choïn 1 nhaø toaùn hoïc nöõ, 2 nhaø vaät lí nam laø: C1 .C4 = 18 2 laäp ñöôïc 5 soá coù 5 chöõ soá a1a2a3a4a5 vôùi toång caùc chöõ soá laø moät soá 3 Soá caùch choïn 2 nhaø toaùn hoïc nöõ, 1 nhaø vaät lí nam laø: C3 .C1 = 12 2 leû. 4 Vì coù taát ca 9.10.10.10 = 9000 soá coù 4 chöõ soá, moãi soá coù 4 chöõ soá Vaäy: coù 60 + 18 + 12 = 90 caùch choïn naøy laïi sinh ra 5 soá coù 5 chöõ soá coù toång caùc chöõ soá laø moät soá leû, neân 16. (ÑH Caàn Thô khoái D 2000) coù taát caû 9000.5 = 45000 soá coù 5 chöõ soá maø toång caùc chöõ soá laø moät Xeùt soá naêm chöõ soá a1a2a3a4a5 soá leû. 1. Xeáp chöõ soá 2 vaøo moät trong naêm vò trí: coù 5 caùch xeáp 20. (ÑH Caàn Thô khoái AB 2000) 4 Sau ñoù xeáp 5 chöõ soá coøn laïi vaøo 4 vò trí coøn laïi: coù A5 = 120 caùch. 2 1. Coù: C5 caùch choïn ra 2 vieän bi ñoû. Vaäy coù 5.120 = 600 soá. 4 C13 caùch choïn ra 4 vieân bi coøn laïi. 2 2. Xeáp caùc chöõ soá 1 vaø 6 vaøo 5 vò trí: coù A5 caùch. 2 4 Vaäy coù: C5 . C13 = 7150 caùch choïn Xeáp 4 chöõ soá coøn laïi vaøo 3 vò trí coøn laïi: coù A3 = 24 caùch. 4 2. Coù caùc tröôøng hôïp xaûy ra: Vaäy coù A5 . A3 = 480 soá. 2 * 3 xanh, 3 ñoû, 0 vaøng ® coù C3 .C3 caùch 4 95 17. (ÑH Thaùi Nguyeân khoái AB 2000) 222 * 2 xanh, 2 ñoû, 2 vaøng ® coù C9 .C5 .C4 caùch 2 3 1. Choïn 2 nam vaø 3 nöõ: coù C10 .C10 = 5400 caùch. * 1 xanh, 1 ñoû, 4 vaøng ® coù C1 .C1 .C4 caùch 4 2. Coù ít nhaát 2 nam vaø 1 nöõ, coù caùc kieåu choïn sau: 95 Vaäy coù taát caû: C3 .C3 + C9 .C5 .C2 + C1 .C1 .C4 = 3045 caùch. 22 4 * 2 nam vaø 3 nöõ: coù 5400 caùch 95 4 95 3 2 * 3 nam vaø 2 nöõ: coù C10 .C10 = 5400 caùch 21. (ÑH Ñaø Laït khoái ADV 2000) Coù 2 khaû naêng: C10 .C1 4 * 4 nam vaø 1 nöõ: coù = 2100 caùch 10 1. Caùc theû traéng ôû vò trí leû, caùc theû ñen ôû vò trí chaün ® coù 5!5! caùch Vaäy coù: 5400 + 5400 + 2100 = 12900 caùch. 2. Caùc theû traéng ôû vò trí chaün, caùc theû ñen ôû vò trí leû ® coù 5!5! caùch 18. (ÑH Thaùi Nguyeân khoái D 2000) Vaäy taát caû coù: 5!5! + 5!5! caùch. Taát caû coù 9.10.10.10.10 = 90000 soá töï nhieân coù 5 chöõ soá. Trong caùc 22. (ÑH Sö phaïm HN 2 khoái A 2000) soá coù 5 chöõ soá naøy, xeùt caùc soá khoâng coù maët caùc chöõ soá 2, 3, 4. Loaïi Coù 8 oâ troáng, caàn choïn ra 1 oâ ñieàn chöõ soá 2, 1 oâ ñieàn chöõ soá 3, 1 oâ naøy coù: 6 caùch choïn chöõ soá haøng vaïn ñieàn chöõ soá 4, 1 oâ ñieàn chöõ soá 5. Sau ñoù trong 4 oâ coøn laïi, caàn choïn 7 caùch choïn chöõ soá haøng nghìn 2 oâ ñieàn chöõ soá 1, cuoái cuøng coøn laïi 2 oâ ñieàn chöõ soá 6. 7 caùch choïn chöõ soá haøng traêm Vaäy coù taát caû coù: 8.7.6.5. C2 .1 = 10080 soá thoaû yeâu caàu ñeà baøi. 7 caùch choïn chöõ soá haøng chuïc 4 23. (ÑH Sö phaïm Vinh khoái ABE 2000) 7 caùch choïn chöõ soá haøng ñôn vò Soá caùc soá coù 6 chöõ soá a1a2a3a4a5a6 laø 9.105 soá Do ñoù coù 6.7.7.7.7 = 14406 soá. Vaäy taát caû coù: 90000 – 14406 = 75594 soá coù 5 chöõ soá, trong ñoù coù Vôùi moãi soá coù 6 chöõ soá a1a2a3a4a5a6 ta laäp ñöôïc 5 soá coù 7 chöõ soá maët ñuû caùc chöõ soá 2, 3, 4.
20 17 Tuyeån taäp Ñaïi soá toå hôïp Traàn Só Tuøng Traàn Só Tuøng Tuyeån taäp Ñaïi soá toå hôïp 29. (ÑH Caûnh saùt nhaân daân khoái G CB 2000) · Tröôøng hôïp 2: Soá taïo thaønh khoâng chöùa soá 0: Coù 5 caùch choïn vò trí cho chöõ soá 5. Xeùt soá leû coù 6 chöõ soá khaùc nhau, lôùn hôn 500000: 4 x = a1a2a3a4a5a6 Soá caùch choïn 4 chöõ soá coøn laïi laø: A5 Töø giaû thieát Þ a1 Î {5,6,7,8,9}, a6 Î {1,3,5,7,9} 4 Þ Soá caùc soá thu ñöôïc laø: 5. A5 = 600 soá. Coù 2 khaû naêng: Vaäy coù taát caû: 960 + 600 = 1560 soá. 1. a1 leû: 40. (HV Ngaân haøng TPHCM khoái A 2001) * a1 coù 6 caùch choïn 1. Coù 9 caùch choïn chöõ soá haøng traêm, 9 caùch choïn chöõ soá haøng chuïc, * a6 coù 4 caùch choïn 8 caùch choïn chöõ soá haøng ñôn vò. Vaäy coù 9.9.8 = 648 soá. * sau khi choïn a1, a6, caàn choïn a2a3a4a5 , moãi caùch choïn öùng vôùi 2. · Tröôøng hôïp 1: Chöõ soá taän cuøng baèng 0. Boán chöõ soá ñöùng ñaàu moät chænh hôïp chaäp 4 cuûa 8 phaàn töû. ñöôïc choïn tuyø yù trong 7 chöõ soá coøn laïi neân soá caùc soá taïo thaønh laø: 4 Vaäy khaû naêng thöù nhaát coù: 6.4. A8 = 40320 soá 4 A7 = 840 2. a1 chaün: · Tröôøng hôïp 2: Chöõ soá taän cuøng khaùc 0. * a1 coù 2 caùch choïn * Chöõ soá taän cuøng coù 3 caùch choïn (töø 2, 4, 6) * a6 coù 5 caùch choïn * Chöõ soá ñöùng ñaàu coù 6 caùch choïn 4 * a2a3a4a5 coù A8 caùch choïn * 3 chöõ soá coøn laïi ñöôïc choïn tuyø yù trong 6 chöõ soá coøn laïi. 3.6. A3 Þ Soá caùc soá taïo thaønh: = 2160 4 Vaäy khaû naêng thöù hai coù: 2.5. A8 = 16800 soá 6 Vaäy coù taát caû: 840 + 2160 = 3000 soá. Keát luaän: Taát caû coù: 40320 + 16800 = 57120 soá caàn tìm. 41. (ÑH Ngoaïi thöông TPHCM khoái A 2001) 30. (CÑSP Nha Trang 2000) Soá caùc soá goàm 6 chöõ soá khaùc nhau laø: 6! = 720 Soá caùc soá töï nhieân goàm 4 chöõ soá khaùc nhau ñöôïc vieát töø 6 chöõ soá: 0, Trong ñoù, soá caùc soá coù chöùa 16 laø 5! = 120 1, 2, 3, 4, 5 laø: 5. A3 = 300 5 soá caùc soá coù chöùa 61 laø 5! = 120 Trong caùc soá noùi treân, soá caùc soá töï nhieân khoâng coù maët chöõ soá 0 laø: Vaäy soá caùc soá caàn tìm laø: 720 – 240 = 480 soá. 4 A5 = 120 42. (ÑH Noâng nghieäp I HN khoái A 2001) Vaäy soá caùc soá töï nhieân thoaû maõn yeâu caàu laø: 300 – 120 = 180 soá. Ñaùnh soá vò trí ñöùng töø 1 ñeán 9. 31. (CÑSP Nhaø treû – Maãu giaùo TÖ I 2000) Ñeå coù ñuùng 2 hoïc sinh nam ñöùng xen keõ vôùi 3 hoïc sinh nöõ thì moãi Choïn 3 em nam: coù C3 caùch hoïc sinh nöõ ñöùng caùch nhau moät, töùc laø 3 hoïc sinh nöõ ñöùng ôû caùc vò 9 trí (1;3;5); (2;4;6); (3;5;7); (4;6;8); (5;7;9). 2 Choïn 2 em nöõ: coù C6 caùch Coù 5 caëp 3 vò trí cuûa 3 hoïc sinh nöõ. Vaäy coù: C3 . C6 = 1260 caùch. 2 Caùch xeáp 3 baïn nöõ vaøo moãi caëp 3 vò trí laø 3!. Caùch xeáp 6 baïn nam 9 32. (ÑH An ninh khoái D 2001) vaøo 6 vò trí coøn laïi laø 6!. Giaû söû soá coù 7 chöõ soá laäp ñöôïc vieát trong 7 oâ cuûa hình sau: Vaäy taát caû soá caùch xeáp laø: 5.3!.6! = 21600 caùch. 43. (HV Quan heä quoác teá 2001) Theá thì: Ta chæ coù 1 caùch choïn vò trí cho chöõ soá 9. * Coù 6 caùch choïn vò trí cho chöõ soá 0 (tröø oâ soá 1) Khi ñoù soá caùch xeáp 8 chöõ soá coøn laïi laø 8! * Sau khi ñaõ choïn vò trí cho soá chöõ 0 ta coøn C3 = 20 caùch choïn vò trí Vaäy taát caû coù: 8! = 40320 soá. 6 44. (ÑH Quoác gia TPHCM 2001) cho 3 chöõ soá 4. 1. Soá ñöôïc xeùt coù daïng: a1a2a3a4a5a6 . Xeáp chöõ soá 0 vaøo caùc vò trí töø * Sau khi ñaõ choïn vò trí cho chöõ soá 0 vaø chöõ soá 4, ta coøn 3! = 6 caùch
18 19 Tuyeån taäp Ñaïi soá toå hôïp Traàn Só Tuøng Traàn Só Tuøng Tuyeån taäp Ñaïi soá toå hôïp choïn cho 3 chöõ soá coøn laïi. Þ coù 8 + 9 + 9 + 9 = 35 soá Vaäy soá caùc soá laäp ñöôïc laø: 6.20.6 = 720 soá. + Töông töï vôùi moãi soá töø 2 ñeán 9 ta cuõng tìm ñöôïc 35 soá töï nhieân sao 33. (ÑH Caàn Thô 2001) cho moãi chöõ soá treân laëp laïi ñuùng 3 laàn. Do ñoù soá caùc soá töï nhieân coù moät chöõ soá laëp laïi ñuùng 3 laàn laø: Coi 7 hoïc sinh nam ñöùng lieàn nhau nhö moät vò trí maø thoâi thì soá caùch 9 + 9.35 = 324 soá ñeå boá trí 7 hoïc sinh ñöùng lieàn nhau xen keõ vôùi 3 hoïc sinh nöõ baèng 4!. · Vaäy soá caùc soá töï nhieân goàm 4 chöõ soá maø trong ñoù khoâng coù chöõ soá Nhöng ñeå xeáp 7 hoïc sinh nam ñöùng lieàn nhau thì laïi coù 7! caùch. naøo laëp laïi ñuùng 3 laàn laø: 9000 – 324 = 8676 soá. Vaäy taát caû coù: 4!7! = 120960 caùch. 37. (ÑH Hueá khoái DHT 2001) 34. (HV Chính trò quoác gia 2001) 5 1. Chia ñoäi vaên ngheä thaønh hai nhoùm coù soá ngöôøi baèng nhau vaø moãi * Soá caùch choïn 5 em töø 13 em laø: C13 = 1287 nhoùm coù soá nöõ nhö nhau töùc laø chia moãi nhoùm coù 5 ngöôøi maø trong * Soá caùch choïn 5 em toaøn nam laø: C5 = 21 7 ñoù coù 3 nöõ vaø 2 nam Þ soá caùch chia laø: C3 .C2 = 120 64 * Soá caùch choïn 5 em toaøn nöõ laø: C5 = 6 6 C5 2. * Soá caùch choïn ra 5 ngöôøi maø khoâng coù nam laø: =6 6 Vaäy soá caùch choïn 5 em coù caû nam vaø nöõ laø: 1287 – (21 + 6) = 1260 * Soá caùch choïn ra 5 ngöôøi maø coù 1 nam (vaø 4 nöõ) laø: 38. (HV Kyõ thuaät quaân söï 2001) C6 .C1 = 60 4 Moãi toå coù 1 hoaëc 2 hoïc sinh gioûi. Vì khoâng phaân bieät thöù töï cuûa 2 toå 4 Vaäy soá caùch choïn ra 5 ngöôøi maø coù khoâng quaù 1 nam laø: neân soá caùch chia phaûi tìm laø soá caùch taïo thaønh moät toå coù 8 hoïc sinh 6 + 60 = 66. trong ñoù phaûi coù 1 hoïc sinh gioûi vaø ít nhaát 2 hoïc sinh khaù. Caùc hoïc 35. (ÑH Giao thoâng vaän taûi 2001) sinh coøn laïi taïo thaønh toå thöù hai. · Tröôøng hôïp 1: Coù 2 hoïc sinh khaù: Giaû söû soá caàn tìm coù daïng: A = a1a2a3a4a5a6 . * Coù 3 caùch choïn 1 hoïc sinh gioûi. + Neáu a1 = 4 thì caùc chöõ soá coøn laïi cuûa A laø moät trong 7 chöõ soá 0, 1, 2 * Coù C5 = 10 caùch choïn 2 hoïc sinh khaù. 2, 3, 5, 6, 7. Vaäy coù A5 = 2520 soá. 7 * Coù C5 = 56 caùch choïn 5 hoïc sinh trung bình. + Neáu a1 ≠ 4 thì vì a1 ≠ 0 neân chæ coù 6 caùch choïn a1. Vì soá 4 phaûi coù 8 ñuùng moät trong 5 vò trí coøn laïi laø a2, a3, a4, a5, a6. Khi ñoù caùc vò trí Þ Coù: 3.10.56 = 1680 caùch. 4 · Tröôøng hôïp 2: Coù 3 hoïc sinh khaù: khaùc (khoâng coù chöõ soá 4) seõ chæ coøn A6 soá khaùc nhau. Vaäy tröôøng * Coù 3 caùch choïn 1 hoïc sinh gioûi. 4 hôïp naøy coù 6.5. A6 = 10800 soá. * Coù C3 = 10 caùch choïn 3 hoïc sinh khaù. 5 Vaäy taát caû coù: 2520 + 10800 = 13320 soá. 4 * Coù C8 = 70 caùch choïn 4 hoïc sinh trung bình. 36. (ÑH Hueá khoái ABV 2001) Þ Coù: 3.10.70 = 2100 caùch. · Soá caùc soá töï nhieân coù 4 chöõ soá laø: 9.10.10.10 = 9000 soá · Ta tìm soá caùc soá töï nhieân coù 1 chöõ soá laëp laïi ñuùng 3 laàn: Vaäy coù taát caû: 1680 + 2100 = 3780 caùch. 39. (ÑH Kinh teá quoác daân 2001) + Soá 0 laëp laïi ñuùng 3 laàn öùng vôùi soá töï nhieân a000 vôùi a Î Ta söû duïng 5 oâ sau ñeå vieát soá coù 5 chöõ soá: {1,2,3,..,9} Þ coù 9 soá + Soá 1 laëp laïi ñuùng 3 laàn öùng vôùi caùc soá: · Tröôøng hôïp 1: Soá taïo thaønh chöùa chöõ soá 0: * a111 vôùi a Î {2,3,4, …,9} Þ coù 8 soá Coù 4 caùch choïn vò trí cho chöõ soá 0. Sau ñoù coøn 4 caùch choïn vò trí cho *1b11 vôùi b Î {0,2,3,…, 9} Þ coù 9 soá chöõ soá 5. Soá caùch choïn 3 chöõ soá coïn laïi laø: A3 * 11c1 vôùi c Î {0,2,3,…, 9} Þ coù 9 soá 5 Þ Soá caùc soá thu ñöôïc laø: 4.4. A3 = 960 soá * 111 vôùi d Î {0,2,3,…, 9} Þ coù 9 soá d 5
24 21 Tuyeån taäp Ñaïi soá toå hôïp Traàn Só Tuøng Traàn Só Tuøng Tuyeån taäp Ñaïi soá toå hôïp Ta coi caëp (2;3) chæ laø moät phaàn töû “keùp”, khi ñoù chæ coù 5 phaàn töû laø 0, a2 ñeán a6: coù 5 caùch xeáp. Coøn laïi 5 vò trí, ta choïn 5 trong 8 chöõ soá ñeå 1, (2; 3), 4, 5. Soá hoaùn vò cuûa 5 phaàn töû naøy laø P5, phaûi loaïi tröø soá xeáp vaøo 5 vò trí naøy: coù A5 caùch. 8 tröôøng hôïp phaàn töû 0 ôû vò trí ñaàu goàm P4 tröôøng hôïp. Chuù yù raèng ñoái Vaäy taát caû coù: 5. A5 = 33600 caùch. 8 vôùi phaàn töû keùp, ta coù theå giao hoaùn neân soá tröôøng hôïp seõ ñöôïc 2. Soá ñöôïc xeùt coù daïng: a1a2a3a4a5a6a7 . nhaân ñoâi. Neân soá caùc soá töï nhieân thoaû maõn ñeà baøi laø: 2(P5 – P4) = 2 192 soá. Choïn 2 vò trí ñeå xeáp hai chöõ soá 2: coù C7 caùch. 52. (ÑH khoái B 2003 döï bò 1) Choïn 3 vò trí ñeå xeáp ba chöõ soá 3: coù C3 caùch. 5 Coi soá töï nhieân goàm 6 chöõ soá khaùc nhau ñöôïc choïn töø taäp 6 chöù soá 2 Coøn 2 vò trí, choïn 2 chöõ soá tuyø yù ñeå xeáp vaøo 2 vò trí naøy: coù 2! C8 ñaõ cho coù daïng: a1a2a3a4a5a6 (ai Î {1, 2, 3, 4, 5, 6}; ai ≠ aj ) caùch. sao cho: a1 + a2 + a3 = a4 + a5 + a6 – 1 Nhö vaäy neáu xeùt caû caùc soá baét ñaàu baèng chöõ soá 0 thì coù: Û a1 + a2 + a3 + a4 + a5 + a6 = 2(a4 + a5 + a6) – 1 C7 . C3 .2! C8 = 11760 soá. 2 2 Û 21 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 = 2(a4 + a5 + a6) – 1 5 Trong caùc soá naøy, caàn loaïi boû caùc soá baét ñaàu bôùi chöõ soá 0. Û a4 + a5 + a6 = 11 Þ a1 + a2 + a 3 = 10 (1) Vì a1, a2 a3 Î {1, 2, 3, 4, 5, 6} neân heä thöùc (1) chæ coù theå thoaû maõn Ñoái vôùi caùc soá 0a2a3a4a5a6a7 : trong 3 khaû naêng sau: 2 * Choïn 2 vò trí ñeå xeáp chöõ soá 2: coù C6 caùch. · a1, a2, a3 Î {1; 3; 6} * Choïn 3 vò trí ñeå xeáp ba chöõ soá 3: coù C3 caùch. · a1, a2, a3 Î {1; 4; 5} 4 * Choïn 1 soá ñeå xeáp vaøo vò trí coøn laïi: coù 7 caùch. · a1, a2, a3 Î {2; 3; 5} Nhö vaäy loaïi naøy coù: C6 . C3 .7 = 420 soá. 2 Moãi boä soá a1, a2, a3 neâu treân taïo ra 3! hoaùn vò, vaø moãi hoaùn vò ñoù laïi 4 ñöôïc gheùp vôùi 3! hoaùn vò cuûa boä soá a4, a5, a6 . Vì vaäy toång coäng soá Vaäy taát caû coù: 11760 – 420 = 11340 soá. caùc soá töï nhieân goàm 6 chöõ soá thoaû maõn yeâu caàu ñeà baøi laø: 3.3!.3! = 45. (ÑHSP HN II 2001) 108 soá. Kí hieäu X laø taäp hôïp taát caû caùc soá töï nhieân goàm 5 chöõ soá khaùc nhau 53. (ÑH khoái B 2003 döï bò 2) ñoâi moät laäp töø 6 chöõ soá 1, 3, 4, 5, 7, 8. Coù 3 khaû naêng: Xeùt x = a1a2a3a4a5 Î X. · 5 nam vaø 1 nöõ: coù C5 .C1 caùch 57 Neáu choïn a5 = 1 thì a1a2a3a4 öùng vôùi moät chænh hôïp chaäp 4 cuûa 5 42 · 4 nam vaø 2 nöõ: coù C5 .C7 caùch 4 phaàn töû 3, 4, 5, 7, 8 Þ coù A5 soá coù chöù haøng ñôn vò laø 1. 3 nöõ: coù C3 .C3 caùch · 3 nam vaø 4 57 Töông töï coù A5 soá coù chöù haøng ñôn vò laø 3; … 51 42 C3 .C3 Vaäy taát caû coù: C5 .C7 + C5 .C7 + = 7 + 5.21 + 10.35 = 462 Þ Toång taát caû chöõ soá haøng ñôn vò cuûa caùc phaàn töû x Î X laø: 57 caùch. 4 (1 + 3 + 4 + 5 + 7 + 8). A5 = 3360. 54. (ÑH khoái D 2003 döï bò 1) Laäp luaän töông töï, toång taát caû chöõ soá haøng chuïc cuûa caùc phaàn töû x Î Caùc soá phaûi laäp laø chaün neân phaûi coù chöõ soá ñöùng cuoái cuøng laø 0 hoaëc X laø: 3360.10; … 2, 4, 6, 8. Vaäy toång taát caû caùc phaàn töû cuûa X laø: · Tröôøng hôïp chöõ soá ñöùng cuoái laø 0: thì 6 chöõ soá coøn laïi laø moät chænh S = 3360 + 3360.10 + 3360.100 + 3360.1000 + 3360.10000 hôïp chaäp 6 cuûa 8 phaàn töû. Do ñoù coù A6 soá thuoäc loaïi naøy. = 3360.11111 = 3732960. 8 · Tröôøng hôïp chöõ soá ñöùng cuoái laø moät trong caùc chöõ soá 2, 4, 6, 8: thì 46. (ÑHSP TPHCM khoái DTM 2001) 6 chöõ soá coøn laïi laø moät chænh hôïp chaäp 6 cuûa 8 phaàn töû (keå caû soá coù 1. Soá taäp con cuûa A laø: C0 + C1 + C2 + ... + C20 = 220 20 20 20 20
22 23 Tuyeån taäp Ñaïi soá toå hôïp Traàn Só Tuøng Traàn Só Tuøng Tuyeån taäp Ñaïi soá toå hôïp 2. Soá taäp con khaùc roãng cuûa A coù soá phaàn töû chaün laø: * 4 nam vaø 1 nöõ: coù C10 .C1 caùch. 4 10 T = C2 + C20 + ... + C20 4 1 4 2 3 Vaäy taát caû coù: 2. C10 .C10 + 2. C10 .C10 = 15000 caùch. 20 20 Ta coù: 0 = (1 – 1)20 = C0 - C1 + C2 - ... + C20 49. (ÑH Y HN 2001) 20 20 20 20 C0 + C2 + C4 + ... + C20 C1 + C3 + ... + C19 Ta xeùt caùc tröôøng hôïp sau: = Þ 20 20 20 20 20 20 20 1. Chöõ soá haøng ñôn vò laø 2, 4, 6 Þ coù 3 caùch choïn chöõ soá haøng ñôn ( ) Þ C0 + C1 + C20 + ... + C20 = 2 C0 + C2 + C20 + ... + C20 4 20 2 20 20 20 20 20 vò. 220 a) Chöõ soá haøng traêm nhoû hôn 7: Khi ñaõ choïn chöõ soá haøng ñôn vò, ta - C0 = 219 – 1. Þ T = C2 + C4 + ... + C20 = 20 20 20 20 coøn 5 caùch choïn chöõ soá haøng traêm. Sau khi ñaõ choïn chöõ soá haøng 2 ñôn vò vaø haøng traêm, ta coøn 7 caùch choïn chöõ soá haøng chuïc. 47. (ÑH Thaùi Nguyeân khoái D 2001) Þ Soá caùc soá thu ñöôïc laø: 3.5.7 = 105 soá. 1. Xeùt caùc soá chaün x = abc vôùi 3 chöõ soá khaùc nhau; a, b, c Î b) Chöõ soá haøng traêm baèng 7: Sau khi choïn chöõ soá haøng ñôn vò, ta {1;2;3;4;5} = E. coøn 6 caùch choïn chöõ soá haøng chuïc. Vì x chaün neân c Î {2;4} Þ coù 2 caùch choïn c. Þ Soá caùc soá thu ñöôïc laø: 3.6 = 18 soá. Vôùi moãi caùch choïn c, coù A2 caùch choïn bc . 4 2. Chöõ soá haøng ñôn vò laø 8: Vaäy taát caû coù: 2. A2 = 24 soá chaün. a) Chöõ soá haøng traêm nhoû hôn 7: coù 6 caùch choïn chöõ soá haøng traêm. 4 Sau khi ñaõ choïn chöõ soá haøng traêm, ta coøn 7 caùch choïn chöõ soá haøng 2. Xeùt x = abc vôùi 3 chöõ soá khaùc nhau thuoäc E = {1;2;3;4;5;6} chuïc. * Neáu a ≥ 4 thì x > 345. Þ Soá caùc soá thu ñöôïc laø: 6.7 = 42 soá. * Neáu a = 1 hoaëc 2 thì vôùi moïi chænh hôïp chaäp 2 (b,c) cuûa E \ {a} ta b) Chöõ soá haøng traêm baèng 7: coù 6 caùch choïn chöõ soá haøng chuïc. 2 ñeàu coù x = abc < 345. Loaïi naøy coù: 2. A5 = 40 soá. Þ Soá caùc soá thu ñöôïc laø: 6 soá. c Î E \ {a,b} éb = 1hoaëc 2; Vaäy taát caû coù: 105 + 18 + 42 + 6 = 171 soá. * Neáu a = 3 thì x = 3bc < 345 Û ê ëb = 4; c = 1hoaëc 2 50. (ÑH khoái D döï bò 1 2002) Loaïi naøy coù: 2.4 + 1.2 = 10 soá. 8 Toång soá caùch choïn 8 hoïc sinh töø 18 em cuûa ñoäi tuyeån laø: C18 = Vaäy coù taát caû: 40 + 10 = 50 soá. 43758 48. (ÑH Vaên Lang 2001) Toång soá caùch treân ñöôïc phaân laøm hai boä phaän rôøi nhau: 1. Neáu trong 5 hoïc sinh phaûi coù ít nhaát 2 hoïc sinh nöõ vaø 2 hoïc sinh Boä phaän I goàm caùc caùch choïn töø ñoäi tuyeån ra 8 em sao cho moãi khoái nam thì coù 2 tröôøng hôïp: ñeàu coù em ñöôïc choïn (soá caùch phaûi tìm). 2 3 * 2 nam vaø 3 nöõ: coù C10 .C10 caùch. Boä phaän II goàm caùc caùch choïn töø ñoäi tuyeån ra 8 em chæ goàm 2 khoái 3 2 (löu yù laø soá em thuoäc moãi khoái ñeàu ít hôn 8 neân khoâng coù caùch choïn * 3 nam vaø 2 nöõ: coù C10 .C10 caùch. naøo maø caû 8 em thuoäc cuøng moät khoái). 2 3 Vaäy taát caû coù: 2. C10 .C10 = 10800 caùch. Boä phaän II coù theå chia thaønh ba loaïi: 2. Neáu trong 5 hoïc sinh phaûi coù ít nhaát 1 hoïc sinh nöõ vaø 1 hoïc sinh 8 · 8 em ñöôïc choïn töø khoái 12 hoaëc 11: coù C13 caùch. nam thì coù 4 tröôøng hôïp: 8 · 8 em ñöôïc choïn töø khoái 12 hoaëc 10: coù C12 caùch. * 1 nam vaø 4 nöõ: coù C1 .C10 caùch. 4 10 8 · 8 em ñöôïc choïn töø khoái 11 hoaëc 10: coù C11 caùch. 2 3 * 2 nam vaø 3 nöõ: coù C10 .C10 caùch. 8 8 8 8 Vaäy soá caùch phaûi tìm laø: C18 – ( C13 + C12 + C11 ) = 41811 caùch. 3 2 * 3 nam vaø 2 nöõ: coù C10 .C10 caùch. 51. (ÑH khoái A 2003 döï bò 2)
28 25 Tuyeån taäp Ñaïi soá toå hôïp Traàn Só Tuøng Traàn Só Tuøng Tuyeån taäp Ñaïi soá toå hôïp ( ) · Choïn 13 hoïc sinh trong soá 25 hoïc sinh khoái A vaø B. Soá caùch choïn chöõ soá 0 ñöùng ñaàu). Vaäy soá caùc soá loaïi naøy laø: 4. A6 - A5 . 8 7 C13 baát kì laø: = 5200300 ( ) 25 Vaäy taát caû coù: A6 + 4. A6 - A5 = 90720 soá. 8 7 8 4 9 Soá caùch choïn ñöôïc 4 hoïc sinh khoái A vaø 9 hoïc sinh khoái B laø: C15C10 55. (CÑ Sö phaïm khoái A 2002) Soá caùch choïn ñöôïc 3 hoïc sinh khoái A vaø 10 hoïc sinh khoái B laø: 1. a) Hai ñöôøng thaúng phaân bieät coù toái ña 1 giao ñieåm Þ Soá giao C15C10 3 2 ñieåm toái ña cuûa 10 ñöôøng thaúng phaân bieät laø C10 = 45 ñieåm. 10 Þ Soá caùch choïn sao cho coù nhieàu nhaát 4 hoïc sinh khoái A laø: b) Hai ñöôøng troøn phaân bieät coù toái ña 2 giao ñieåm Þ Soá giao ñieåm C15C10 + C15C10 = 13650 + 455 = 14105 4 9 3 2 toái ña cuûa 6 ñöôøng troøn phaân bieät laø 2. C6 = 30 ñieåm. 10 Þ Soá caùch choïn sao cho coù ít nhaát 5 hoïc sinh khoái A laø: 2. Vì 1 ñöôøng thaúng vaø 6 ñöôøng troøn coù toái ña 12 giao ñieåm. Do ñoù soá ( ) C13 - C15 .C10 + C15 .C10 = 5186195 4 9 3 10 giao ñieåm toái ña giöõa 10 ñöôøng thaúng vaø 6 ñöôøng troøn laø: 10.12 = 25 120. · Vaäy soá caùch choïn sao cho coù ít nhaát 5 hoïc sinh khoái A laø: ( ) Vaäy soá giao ñieåm toái ña cuûa taäp hôïp caùc ñöôøng ñaõ cho laø: C5 éC13 - C15 .C10 + C15 .C10 ù = 51861950 2 4 9 3 10 ë 25 û 45 + 30 + 120 = 195 ñieåm. 66. (CÑ Taøi chính – Haûi quan khoái A 2006) 56. (CÑ Sö phaïm khoái A 2002 döï bò) Choïn 2 vò trí xeáp chöõ soá 0: coù C2 caùch. Moät ñoaïn thaúng noái 2 ñænh cuûa ña giaùc töông öùng moät toå hôïp chaäp 2 4 2 Choïn 1 vò trí xeáp chöõ soá 1: coù 3 caùch. cuûa n phaàn töû Þ Soá ñoaïn thaúng noái 2 ñænh cuûa ña giaùc laø: Cn Choïn 2 chöõ soá xeáp vaøo 2 vò trí coøn laïi: coù caùch. Moät ñoaïn thaúng noái 2 ñænh cuûa ña giaùc hoaëc laø caïnh hoaëc laø ñöôøng Vaäy taát caû coù: C2 .3. A8 = 1008 soá thoaû yeâu caàu ñeà baøi. 2 cheùo 4 n(n - 1) 67. (CÑ Xaây döïng soá 3 khoái A 2006) 2 = 3n Û n2 – n = 6n Þ Cn = n + 2n Û 2 · Goïi ab laø soá töï nhieân phaûi tìm Þ a ≠ 0 én = 7 Do ab chaün neân b Î {0, 2, 4, 6, 8} Û n2 – 7n = 0 Û ê ën = 0 (loaïi) Coù 2 tröôøng hôïp: * Neáu b = 0 thì a Î {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} Þ coù 9 caùch choïn a. Vaäy n = 7. 57. (CÑ Xaây döïng soá 3 – 2002) Þ coù 9 soá a0 Goïi soá caàn tìm laø: x = a1a2a3 * Neáu b ≠ 0 thì b Î {2, 4, 6, 8} Þ coù 4 caùch choïn b. Khi ñoù coù 8 caùch choïn a. Vì x < 245 neân a1 = 1 hoaëc a1 = 2 Þ coù 4.8 = 32 soá ab · a1 = 1: x = 1a2a3 Vaäy taát caû coù: 9 + 32 = 41 soá caàn tìm. a2, a3 laø chænh hôïp chaäp 2 cuûa 4 phaàn töû: 2, 3, 4, 5 · Ñaët S laø toång cuûa 41 soá ñoù. Þ Coù: A2 = 4.3 = 12 soá 4 S = (10 + 12 + 14 + … + 96 + 98) – (22 + 44 + 66 + 88) · a1 = 2 : x = 2a2a3 10 + 98 = 45. – 10.22 = 45.54 – 220 = 2210. a2 coù 2 khaû naêng: 2 * a2 < 4 Þ a2 Î {1, 3} Þ a2 coù 2 caùch choïn, a3 coù 3 caùch choïn trong 3 68. (CÑBC Hoa Sen khoái D 2006) soá coøn laïi Þ Coù 2.3 = 6 soá 2 · Hai ñænh thuoäc d1, moät ñænh thuoäc d2: coù C10 .8 tam giaùc * a2 = 4; a3 ≠ 5, 2, 4 Þ a3 coù 2 caùch choïn Þ Coù 2 soá 2 · Hai ñænh thuoäc d2, moät ñænh thuoäc d1: coù C8 .10 tam giaùc Þ Coù 6 + 2 = 8 soá x = 2a2a3 2 2 Vaäy taát caû coù: C10 .8 + C8 .10 = 640 tam giaùc. Vaäy coù taát caû: 12 + 8 = 20 soá thoaû yeâu caàu ñeà baøi.
26 27 Tuyeån taäp Ñaïi soá toå hôïp Traàn Só Tuøng Traàn Só Tuøng Tuyeån taäp Ñaïi soá toå hôïp 58. (CÑ Sö phaïm Quaûng Ngaõi 2002) Vaäy taát caû coù: 720 + 720 = 1440 soá x. 62. (ÑH khoái B 2005 döï bò 1) Soá caàn tìm coù daïng: a1a2a3a4 . Ta coù caùc tröôøng hôïp: Choïn a4 töø {1, 5, 9} Þ coù 3 caùch choïn. · 3 nöõ vaø 5 nam: coù C3C10 = 2520 caùch. 5 Choïn a1 töø {0, 1, 2, 5, 9} \ {0, a4} Þ coù 3 caùch choïn. 5 Choïn a2 töø {0, 1, 2, 5, 9} \ {a1, a4} Þ coù 3 caùch choïn. 44 · 4 nöõ vaø 4 nam: coù C5C10 = 1050 caùch. Choïn a3 töø {0, 1, 2, 5, 9} \ {a1, a2, a4} Þ coù 2 caùch choïn. · 5 nöõ vaø 3 nam: coù C5C10 = 120 caùch. 3 5 Vaäy taát caû coù: 3.3.3.2 = 54 soá thoaû maõn yeâu caàu ñeà baøi. Vaäy taát caû coù: 2520 + 1050 + 120 = 3690 caùch. 59. (ÑH khoái B 2004) 63. (ÑH khoái B 2005 döï bò 2) Moãi ñeà kieåm tra coù soá caâu deã laø 2 hoaëc 3, neân coù caùc tröôøng hôïp · Caùch 1: Goïi x = a1a2a3a4a5 laø soá caàn laäp. sau: * Ñeà coù 2 caâu deã, 2 caâu trung bình, 1 caâu khoù Þ coù C15 .C10 .C1 ñeà. 2 2 2 Tröôùc tieân ta coù theå xeáp 1 vaø 5 vaøo 2 trong vò trí: coù A5 = 20 caùch. 5 Sau ñoù, ta coù 5 caùch choïn 1 chöõ soá cho vò trí coøn laïi ñaàu tieân. * Ñeà coù 2 caâu deã, 1 caâu trung bình, 2 caâu khoù Þ coù C15 .C1 .C5 ñeà. 2 2 10 4 caùch choïn 1 chöõ soá cho vò trí coøn laïi thöù hai. * Ñeà coù 3 caâu deã, 1 caâu trung bình, 1 caâu khoù Þ coù C15 .C1 .C1 ñeà. 3 10 5 3 caùch choïn 1 chöõ soá cho vò trí coøn laïi thöù ba. Vaäy taát caû coù: Vaäy taát caû coù: 20.5.4.3 = 1200 soá. C15 .C10 .C1 + C15 .C1 .C5 + C15 .C10 .C1 = 23625 + 10500 + 22750 2 2 2 2 3 1 · Caùch 2: 5 10 5 = 56875 ñeà. 2 * Böôùc 1: Xeáp 1, 5 vaøo 2 trong 5 vò trí: coù A5 = 20 caùch. 60. (ÑH khoái B 2005) * Böôùc 2: coù A3 = 60 caùch xeáp 3 trong 5 soá coøn laïi vaøo 3 vò trí coøn 5 C1 C12 4 Coù caùch phaân coâng caùc thanh nieân tình nguyeän veà tænh thöù 3 laïi. nhaát. Vôùi moãi caùch phaân coâng caùc thanh nieân tình nguyeän veà tænh thöù Vaäy coù 20.60 = 1200 soá. nhaát, thì coù C1 C8 caùch phaân coâng caùc thanh nieân tình nguyeän veà tænh 4 64. (ÑH khoái D 2006) 2 thöù hai. Vôùi moãi caùch phaân coâng caùc thanh nieân tình nguyeän veà tænh 4 Soá caùch choïn 4 hoïc sinh töø 12 hoïc sinh ñaõ cho laø: C12 = 495 C1C4 thöù nhaát vaø tænh thöù hai, thì coù caùch phaân coâng caùc thanh nieân Soá caùch choïn 4 hoïc sinh maø moãi lôùp coù ít nhaát moät em ñöôïc tính nhö 14 tình nguyeän veà tænh thöù ba. sau: · Lôùp A coù 2 hoïc sinh, caùc lôùp B, C moãi lôùp 1 hoïc sinh. Vaäy taát caû coù: C1 C12 . C1 C8 . C1C4 = 207900 caùch phaân coâng. 4 4 3 2 14 C5C1 C1 = 120 2 Þ Soá caùch choïn laø: 61. (ÑH khoái A 2005 döï bò 1) 43 · Lôùp B coù 2 hoïc sinh, caùc lôùp A, C moãi lôùp 1 hoïc sinh: Goïi x = a1a2a3a4a5a6 laø soá caàn laäp. C1 C2C1 = 90 Þ Soá caùch choïn laø: YCBT: a3 + a4 + a5 = 8 Þ a3, a4, a5 Î {1, 2, 5} hoaëc a3, a4, a5 Î {1, 3, 543 4} · Lôùp C coù 2 hoïc sinh, caùc lôùp A, B moãi lôùp 1 hoïc sinh: a) Khi a3, a4, a5 Î {1, 2, 5} C1 C1 C3 = 60 2 Þ Soá caùch choïn laø: 54 · Coù 6 caùch choïn a1 Soá caùch choïn 4 hoïc sinh maø moãi lôùp coù ít nhaát moät hoïc sinh laø: · Coù 5 caùch choïn a2 120 + 90 + 60 = 270 · Coù 3! caùch choïn a3, a4, a5 Vaäy soá caùch choïn phaûi tìm laø: 495 – 270 = 225 caùch. · Coù 4 caùch choïn a6 65. (CÑ GTVT III khoái A 2006) Þ Coù: 6.5.6.4 = 720 soá x. 2 · Soá caùch choïn 2 hoïc sinh khoái C laø: C5 = 10 b) Khi a3, a4, a5 Î {1, 3, 4}, töông töï ta cuõng coù 720 soá x.
32 29 Tuyeån taäp Ñaïi soá toå hôïp Traàn Só Tuøng Traàn Só Tuøng Tuyeån taäp Ñaïi soá toå hôïp n+1 Phaàn II. BIEÅU THÖÙC TOÅ HÔÏP – NHÒ THÖÙC NEWTON nhaát neáu k laø soá töï nhieân lôùn nhaát khoâng vöôït quaù . 2 30. (ÑH Vinh khoái DTM 2001) 1. (CÑSP TPHCM 1999) Chöùng minh raèng: C14 + C14 2 = 2C141 k k+ k+ Tìm soá töï nhieân k thoaû maõn heä thöùc: C0 22 44 2000 2000 2000 2001 2001 + 3 C2001 + 3 C2001 + ... + 3 C2001 =2 (2 - 1) 2. (ÑHDL Kyõ thuaät coâng ngheä khoái D 1999) 31. (ÑH Y Döôïc TPHCM 2001) Tính toång: C10 + C10 + C10 + C10 + C10 6 7 8 9 10 Cho k vaø n laø caùc soá nguyeân thoaû maõn: 9 ≤ k ≤ n. Chöùng minh raèng: trong ñoù Ck laø soá toå hôïp chaäp k cuûa n phaàn töû. () 2 n Cn +k .Cn -k Cn £ 3. 2n 2n 2n (ÑH Ngoaïi ngöõ HN chuyeân ban 1999) Tìm caùc soá nguyeân döông x thoaû: C1 + 6C2 + 6C3 = 9x2 - 14x 32. (ÑH khoái A 2002) x x x Cho khai trieån nhò thöùc: 4. (ÑH Baùch khoa HN 1999) ) ( ) ( ) ( ) + ... + ( -x n x -1 n x -1 n-1 - x Tính toång: S = C1 - 2Cn + 3Cn - 4Cn + ... + (-1 n-1.nCn 2 3 4 x -1 ) n n 0 1 22 23 Cn 2 2 + Cn 2 2 23 + = trong ñoù n laø soá töï nhieân lôùn hôn 2. (2 )( ) () - x n-1 -x n x -1 5. (ÑHQG HN khoái A 2000) + Cn-1 n 23 + Cn 2 3 2 Chöùng minh raèng: Ck k +1 1000 1001 n 2001 + C2001 £ C2001 + C2001 3 5C1 (n laø soá nguyeân döông). Bieát raèng trong khai trieån ñoù Cn vaø soá = (trong ñoù k nguyeân, 0 ≤ k ≤ 2000û) n haïng thöù tö baèng 20. Tìm n vaø x. 6. (ÑHQG HN khoái B 2000) 33. (ÑH khoái B 2002) Tìm soá haïng khoâng chöùa x trong khai trieån cuûa bieåu thöùc sau: Cho ña giaùc ñeàu A1A2…A2n (n ≥ 2, n nguyeân) noäi tieáp ñöôøng troøn (O). 17 æ1 ö 4 + x3 ÷ Bieát raèng soá tam giaùc coù caùc ñænh laø 3 trong 2n ñieåm A1, A2, …, A2n ,x≠0 ç ç3 2 ÷ èx nhieàu gaáp 20 laàn soá hình chöõ nhaät coù caùc ñænh laø 4 trong 2n ñieåm A1, ø A2, …, A2n. Tìm n? 7. (ÑH Baùch khoa HN khoái AD 2000) 34. (ÑH khoái D 2002) 12 6 A2x - A2 £ .C3 + 10 Giaûi baát phöông trình: x x Tìm soá nguyeân döông n sao cho: 2 x Cn + 2C1 + 4Cn + ... + 2n Cn = 243 0 2 8. (ÑHSP HN khoái A 2000) n n n 35. (ÑH döï bò 2 2002) 28 ö æ - Trong khai trieån nhò thöùc ç x 3 x + x 15 ÷ , haõy tìm soá haïng khoâng phuï Tìm soá n nguyeân döông thoaû maõn baát phöông trình: An + 2Cn- 2 ≤ 9n. 3 ç ÷ n è ø 36. (ÑH döï bò 4 2002) thuoäc vaøo x, bieát raèng Cn + Cn-1 + Cn- 2 = 79 Giaû söû n laø soá nguyeân döông vaø: n n n 9. (ÑHSP HN khoái BD 2000) (1 + x)n = a0 + a1x + a2x2 + … + akxk + … + anxn Bieát toång taát caû caùc heä soá cuûa khai trieån nhò thöùc (x2 + 1)n baèng 1024, a a a Bieát raèng toàn taïi soá k nguyeân (1 ≤ k ≤ n – 1) sao cho k -1 = k = k +1 . haõy tìm heä soá a (a laø soá töï nhieân) cuûa soá haïng ax12 trong khai trieån 2 9 24 ñoù. Haõy tính n. 10. (ÑHSP TPHCM khoái DE 2000) 37. (ÑH döï bò 6 2002) 1 12 1n Goïi a1, a2, …, a11 laø caùc heä soá trong khai trieån sau: Tính toång: S = Cn + C1 + Cn + ... + 0 Cn n 2 3 n+1 (x + 1)10.(x + 2) = x11 + a1x10 + a2x9 + … + a11.
30 31 Tuyeån taäp Ñaïi soá toå hôïp Traàn Só Tuøng Traàn Só Tuøng Tuyeån taäp Ñaïi soá toå hôïp 11. (ÑH Kinh teá quoác daân khoái A 2000) 4 An+ 4 143 xn = (n = 1, 2, 3, …) - Chöùng minh: 2n-1C1 + 2n-1Cn + 2n-3 Cn + 2n- 4 Cn + ... + nCn = n.3n-1 2 3 4 Pn+ 2 4Pn n n 12. (ÑH Noâng nghieäp I khoái A 2000) 21. (ÑH An ninh nhaân daân khoái A 2001) 40 Chöùng minh raèng vôùi n laø soá töï nhieân, n ≥ 2, ta coù: 1ö æ Tìm heä soá cuûa x31 trong khai trieån cuûa f(x) = ç x + 2 ÷ 1 1 1 n-1 xø + 2 + ... + 2 = . è 2 n A2 A3 An 13. (ÑH Thuyû lôïi 2000) 22. (ÑH Baùch khoa HN khoái AD 2001) Chöùng minh raèng vôùi moïi soá nguyeân n ≥ 2, ta luoân coù: ì 2Ay + 5Cy = 90 1 1 1 1 n-1 ïx + 2 + 2 + ... + 2 = x Giaûi heä phöông trình: íy 2 n A2 A3 A4 An y ï5Ax - 2Cx = 80 î 14. (ÑH Thuyû lôïi II 2000) 23. (ÑH Daân laäp Duy Taân khoái A 2001) Cho ña thöùc P(x) = (1 + x)9 + (1 + x)10 + (1 + x)11 + … + (1 + x)14 coù 1 6 ò (x + 2) dx daïng khai trieån laø: P(x) = a0 + a1x + a2x2 + … + a14x14. 1. Tính tích phaân: I = Haõy tính heä soá a9. 0 2 0 25 1 24 2 23 3 22 4 2 5 1 6 6 15. (ÑH Y Döôïc TPHCM 2000) 2. Tính toång: S = C6 + C6 + C6 + C6 + C6 + C6 + C6 Vôùi n laø soá nguyeân döông, haõy chöùng minh caùc heä thöùc sau: 1 2 3 4 5 6 7 1. Cn + C1 + Cn + ... + Cn = 2n 0 2 24. (ÑH Ñaø Laït khoái D 2001) n n 1n 2. C1 + C3 + C5 + ... + C2n-1 = C0 + C2 + C4 + ... + C2n Chöùng minh raèng vôùi moïi soá x ta coù: xn = n å Ck (2x - 1)k (n Î N) (*) 2n 2n 2n 2n 2n 2n 2n 2n n 2 k =0 16. (ÑH An ninh nhaân daân khoái DG 2000) 25. (ÑH Ñaø Naüng khoái A 2001) S = C0 1 2 C2000 Tính toång: 2000 + 2C2000 + 3C2000 + ... + 2001 2000 Vôùi moãi n laø soá töï nhieân, haõy tính toång: 17. (HV Kyõ thuaät quaân söï 2000) 1 12 13 1 nn S = Cn + C1 .2 + Cn .22 + Cn .23 + ... + 0 Khai trieån ña thöùc: P(x) = (1 + 2x)12 thaønh daïng: Cn .2 n 2 3 4 n+1 a0 + a1x + a2x2 + … + a12x12 26. (ÑH Haøng haûi 2001) Tìm max(a1, a2, …, a12). Chöùng minh: C0 + C2 .32 + C4 .34 + ... + C2n .32n = 22n-1(22n + 1) 18. (ÑH Caûnh saùt nhaân daân khoái A 2000) 2n 2n 2n 2n 27. (ÑH Luaät TPHCM khoái A 2001) 1 2n ò x(1- x ) dx Tính tích phaân: I= (n Î N*) Chöùng minh raèng vôùi moïi soá töï nhieân n ≥ 1, ta coù: 0 C1 .3n-1 + 2.Cn .3n- 2 + 3.Cn .3n-3 + ... + n.Cn = n.4n–1 2 3 n n Töø ñoù chöùng minh raèng: 28. (ÑHSP HN khoái A 2001) (-1)n n 10 11 12 13 1 Cn - Cn + Cn - Cn + ... + Cn = 10 æ1 2 ö 2 4 6 8 2(n + 1) 2(n + 1) Trong khai trieån cuûa ç + x ÷ thaønh ña thöùc: è3 3 ø 19. (CÑ Caûnh saùt nhaân daân khoái A 2000) a0 + a1x + a2x2 + … + a9x9 + a10x10 (ak Î R) Tìm heä soá cuûa x5 trong khai trieån cuûa bieåu thöùc: haõy tìm heä soá ak lôùn nhaát (0 ≤ k ≤ 10). (x + 1)4 + (x + 1)5 + (x + 1)6 + (x + 1)7 29. (ÑH Vinh khoái AB 2001) 20. (ÑH An Ninh khoái A 2001) Cho n laø moät soá nguyeân döông coá ñònh. Chöùng minh raèng Ck lôùn Tìm caùc soá aâm trong daõy soá x1, x2, …, xn, … vôùi n
36 33 Tuyeån taäp Ñaïi soá toå hôïp Traàn Só Tuøng Traàn Só Tuøng Tuyeån taäp Ñaïi soá toå hôïp 20 10 Haõy tính heä soá a5. 1ö 1ö æ æ Cho A = ç x - 2 ÷ + ç x3 - ÷ . Sau khi khai trieån vaø ruùt goïn thì bieåu 38. (ÑH khoái A 2003) xø è xø è Tìm heä soá cuûa soá haïng chöùa x8 trong khai trieån nhò thöùc Newton cuûa thöùc A seõ goàm bao nhieâu soá haïng? n æ1 5ö 69. (CÑ KT Y teá I 2006) n+1 n ç 3 + x ÷ , bieát raèng: Cn+ 4 - Cn+ 3 = 7(n + 3) (n nguyeân döông, x > 0). èx ø Tìm soá töï nhieân n thoaû maõn ñaúng thöùc sau: 39. (ÑH khoái B 2003) C0 + C2 32 + ... + C2n 32k + ... + C2n- 2 32n- 2 + C2n 32n = 215 (216 + 1) 2k 2n 2n 2n 2n Cho n laø soá nguyeân döông. Tính toång: 70. (CÑ Xaây döïng soá 2 2006) 22 - 1 1 23 - 1 2 2n+1 - 1 n Chöùng minh: Cn 3n - C1 3n-1 + ... + (-1 n Cn = Cn + C1 + ... + Cn 0 0 0 )n Cn + Cn + Cn + ... + Cn n n n 2 3 n+1 71. (CÑ KT Y teá 1 2005) 40. (ÑH khoái D 2003) Giaûi baát phöông trình: 2C2+1 + 3A2 - 20 < 0 Vôùi n laø soá nguyeân döông, goïi a3n–3 laø heä soá cuûa x3n–3 trong khai trieån x x 72. (CÑBC Hoa Sen khoái D 2006) thaønh ña thöùc cuûa (x2 + 1)n(x + 2)n. Tìm n ñeå a3n–3 = 26n. Tìm heä soá cuûa x29y8 trong khai trieån cuûa (x3 – xy)15. 41. (ÑH khoái D 2003 döï bò 2) 73. (CÑ Sö phaïm TPHCM khoái DM 2006) Tìm soá töï nhieân n thoaû maõn: Khai trieån bieåu thöùc (1 – 2x)n ta ñöôïc ña thöùc coù daïng: Cn Cn- 2 + 2Cn Cn + Cn Cn-3 = 100 2 23 3 n n a 0 + a 1 x + a 2 x2 + … + a n xn 42. (CÑ Xaây döïng soá 3 – 2002) Tìm heä soá cuûa x5, bieát a0 + a1 + a2 = 71. Chöùng minh raèng vôùi moïi soá nguyeân döông n ta ñeàu coù: C1 + C3 + C5 + ... + C2n-1 = C0 + C2 + C4 + ... + C2n 2n 2n 2n 2n 2n 2n 2n 2n 43. (CÑ Sö phaïm Beán Tre khoái A 2002) BAØI GIAÛI 1. Giaûi phöông trình: C1 + 6Cx + 6C3 = 9x2 – 14x 2 x x 1. 2. Chöùng minh raèng: C1 + C3 + C5 + ... + C17 + C19 = 219 (CÑSP TPHCM 1999) 20 20 20 20 20 C14 + C14 2 = 2C141 k k+ k+ (0 ≤ k ≤ 12, k Î N) 44. (CÑ khoái AD 2003) 14! 14! 14! Chöùng minh raèng: P1 + 2P2 + 3P3 + …+ nPn = Pn+1 – 1 =2 Û + 45. (CÑ Giao thoâng II 2003) k!(14 - k)! (k + 2)!(12 - k)! (k + 1)!(13 - k)! Chöùng minh raèng vôùi moïi soá nguyeân döông n ≥ 2, ta ñeàu coù: 1 1 1 =2 Û + n-1 (14 - k)(13 - k) (k + 1 + 2) )(k (k + 1)(13 - k) æ 2n - 2 ö Cn C1 ...Cn £ ç 0 ÷ Û (k + 1)(k + 2) + (14 – k)(13 – k) = 2(k + 2)(14 – k) n n è n-1 ø Û k2 – 12k + 32 = 0 Û k = 4 hoaëc k = 8 46. (CÑ Giao thoâng III 2003) Vaäy: k = 4 hoaëc k = 8 S = C1 - 2Cn + 3Cn - 4Cn + ... + (-1)n-1nCn 2 3 4 1. Tính toång: (n > 2) n n 2. (ÑHDL Kyõ thuaät coâng ngheä khoái D 1999) 11 12 1n 0 2. Tính toång: T = Cn + Cn + Cn + ... + Cn 6 7 8 9 10 S = C10 + C10 + C10 + C10 + C10 2 3 n+1 10 1 1 15 ( ) C10 + C1 + ... + C10 + C10 - C10 = .210 - C10 = 386. 9 bieát raèng n laø soá nguyeân döông thoaû ñieàu kieän: = 10 10 10 2 2 2 2 Cn + Cn-1 + Cn- 2 = 79 n n n 3. (ÑH Ngoaïi ngöõ HN chuyeân ban 1999) 47. (CÑ Taøi chính keá toaùn IV 2003) C1 + 6C2 + 6C3 = 9x2 - 14x (x Î N, x ≥ 3) x x x
34 35 Tuyeån taäp Ñaïi soá toå hôïp Traàn Só Tuøng Traàn Só Tuøng Tuyeån taäp Ñaïi soá toå hôïp C0Ck - 2 + C1 Cn-1 k- 2 k-2 k Ck Chöùng minh raèng: + C2Cn- 2 Cn Tìm k Î {0; 1; 2; …; 2005} sao cho ñaït giaù trò lôùn nhaát. = 2n 2 2 2005 + (vôùi n, k Î Z ;n ≥ k + 2) 59. (ÑH khoái D 2005 döï bò 2) 48. (CÑ Taøi chính keá toaùn IV 2003 döï bò) 2 2 Tìm soá nguyeân n > 1 thoaû maõn ñaúng thöùc: 2Pn + 6 An - P An = 12. n Giaûi baát phöông trình: (n!)3 Cn .Cn .Cn £ 720 60. (ÑH khoái A 2006) n 2n 3n Tìm heä soá cuûa soá haïng chöùa x26 trong khai trieån nhò thöùc Newton cuûa 49. (CÑ Coâng nghieäp HN 2003) Cho ña thöùc: P(x) = (16x – 15)2003. Khai trieån ña thöùc ñoù döôùi daïng: n æ1 7ö 1 2 n 20 ç 4 + x ÷ , bieát raèng: C2n+1 + C2n+1 + ... + C2n+1 = 2 - 1 P(x) = a0 + a1x + a2x2 + … + a2003x2003 èx ø Tính toång S = a0 + a1 + a2 + … + a2003. 61. (ÑH khoái B 2006) 50. (CÑ Khí töôïng thuyû vaên khoái A 2003) Cho taäp A goàm n phaàn töû (n ≥ 4). Bieát raèng soá taäp con goàm 4 phaàn töû 3 2 Tìm soá nguyeân döông n thoaû maõn ñaúng thöùc: An + 2Cn = 16n cuûa A baèng 20 laàn soá taäp con goàm 2 phaàn töû cuûa A. Tìm kÎ{1,2,…, n} 51. (CÑ Noâng Laâm 2003) sao cho soá taäp con goàm k phaàn töû cuûa A laø lôùn nhaát. Tìm heä soá lôùn nhaát cuûa ña thöùc trong khai trieån nhò thöùc Newton cuûa: 62. (CÑ Baùn coâng Hoa Sen khoái A 2006) 15 1 æ1 2 ö ìx x ïCy : Cy+ 2 = 3 ç + x÷ . ï è3 3 ø Giaûi heä phöông trình: í ïCx : Ax = 1 52. (CÑ Coäng ñoàng Tieàn Giang 2003) ïy y 24 î Haõy khai trieån nhò thöùc Newton (1 – x)2n, vôùi n laø soá nguyeân döông. 63. (CÑ KT–KT Caàn Thô khoái AB 2006) Töø ñoù chöùng minh raèng: 1 1 1 1 1 + 3C3 + ... + (2n - 1)C2n-1 = 2C2 + 4C2n + ... + 2nC2n 4 2n C2n Tìm soá töï nhieân n sao cho: - n= n 2n 2n 2n n C4 C5 C6 53. (ÑH khoái A 2004) 64. (CÑ Sö phaïm TPHCM khoái A 2006) Tìm heä soá cuûa x8 trong khai trieån thaønh ña thöùc cuûa [1 + x2(1 – x)]8. 0 2.C1 2 (n + 1).Cn 54. (ÑH khoái D 2004) 1.Cn 3.Cn n n Tính toång S = + ... + + + Tìm caùc soá haïng khoâng chöùa x trong khai trieån nhò thöùc Newton cuûa: A1 A1 A1 A1+1 1 2 3 n 7 1ö æ3 Bieát raèng: Cn + C1 + Cn = 211 0 2 ç x+4 ÷ vôùi x > 0 n xø è 65. (CÑ Sö phaïm TPHCM khoái BT 2006) 55. (ÑH khoái A 2005) Khai trieån bieåu thöùc (1 – 2x)n ta ñöôïc ña thöùc coù daïng: Tìm soá nguyeân döông n sao cho: a 0 + a 1 x + a 2 x2 + … + a n xn C1 +1 - 2.2C2 +1 + 3.22 C3 +1 - 4.23 C4 +1 + ... + (2n + 1).22n C2n+1 = 2005 Tìm heä soá cuûa x5, bieát a0 + a1 + a2 = 71. 2n 2n 2n 2n 2n+1 56. (ÑH khoái D 2005) 66. (CÑ Ñieän löïc TPHCM 2006) n 4 3 An+1 + 3An 1ö æ Tìm soá haïng khoâng chöùa x trong khai trieån nhò thöùc ç x2 + 3 ÷ , bieát Tính giaù trò cuûa bieåu thöùc: M = (n + 1)! xø è 2 2 2 2 raèng: C1 + Cn = 13n (n laø soá töï nhieân lôùn hôn 2, x laø soá thöïc khaùc 0). 3 bieát Cn+1 + 2Cn+ 2 + 2Cn+ 3 + Cn+ 4 = 149. n 57. (ÑH khoái A 2005 döï bò 2) 67. (CÑ Kinh teá TPHCM 2006) Tìm heä soá cuûa x7 trong khai trieån ña thöùc (2 – 3x)2n, trong ñoù n laø soá Tìm n Î N sao cho: C0 + 2 + C2 + 2 + C4 + 2 + ... + C2n+ 2 = 256 4n 4n 4n 4n C1 +1 + C3 +1 + C5 +1 + ... + C2n+1 nguyeân döông thoaû maõn: = 1024 68. (CÑ Kinh teá ñoái ngoaïi khoái AD 2006) 2n 2n 2n 2n+1 58. (ÑH khoái D 2005 döï bò 1)
40 37 Tuyeån taäp Ñaïi soá toå hôïp Traàn Só Tuøng Traàn Só Tuøng Tuyeån taäp Ñaïi soá toå hôïp 2 3 2 2 1 1 1 1 1 k -1 1 k -1 1 Û x + 3x – 3x + x – 3x + 2x = 9x – 14x Thaät vaäy, + ... + +2 = + + + = + é x = 0 (loaïi) A2 2 A2 2 2 k k (k + 1)k A3 Ak Ak +1 Ak +1 2 4 Û x(x – 9x + 14) = 0 Û ê x = 2 (loaïi) 2 Vaäy: x = 7 2 (k - 1 + 1 ) k ê = = ê x = 7 (nhaän) ë (k + 1)k k +1 4. (ÑH Baùch khoa HN 1999) 1 1 1 1 n-1 Vaäy: + 2 + 2 + ... + 2 = , "n ≥ 2 S = C1 - 2Cn + 3Cn - 4Cn + ... + (-1 n-1.nCn 2 3 4 ) (n > 2) 2 n A2 A3 A4 An n n n Xeùt ña thöùc p(x) = (1 – x) . Khai trieån theo coâng thöùc Newton ta ñöôïc: 14. (ÑH Thuyû lôïi II 2000) n 9 9 9 9 9 a9 = 1 + C10 + C11 + C12 + C13 + C14 å (-1)k Ck .xk p(x) = (1 – x)n = n = 1 + C1 + C11 + C12 + C13 + C14 2 3 4 5 k =0 10 n 11.10 12.11.10 13.12.11.10 14.13.12.11.10 å (-1)k -1.kCk .xk -1 Suy ra: – p¢(x) = n(1 – x)n–1 = = 1 + 10 + + + + n 2 6 24 120 k =1 n = 3003 å (-1)k-1.kCk Cho x = 1 ta ñöôïc: 0 = n 15. (ÑH Y Döôïc TPHCM 2000) k =1 1. (1 + x)n = Cn + C1 x + Cn x2 + ... + Cnxn 0 2 = C1 - 2Cn + 3Cn - 4Cn + ... + (-1 n-1.nCn = S 2 3 4 ) n n n n 0 + C1 + Cn + ... + Cn = 2n 2 Cho x = 1 Þ Cn Vaäy: S = 0 n n 5. C2n - C2nx + C2nx - C3 x3 0 1 22 + ... + C2nx2n (ÑHQG HN khoái A 2000) 2n 2. (1 – x) = 2n 2n Ta seõ chöùng toû: Cho x = 1 Þ ñpcm. C0 2001 1 2000 2 1999 1000 1001 2001 = C2001 < C2001 = C2001 < C2001 = C2001 < ... < C2001 = C2001 16. (ÑH An ninh nhaân daân khoái DG 2000) 2000 Thaät vaäy, chæ caàn chöùng toû: Ck k +1 2001 < C2001 (1) vôùi "k = 0, 1, 2, …, 999. å Ci2000 xi Coù (x + 1)2000 = (1) 2001! 2001! i= 0 Ta coù: (1) Û < k!(2001- k)! (k + 1)!(2000 - k)! 2000 å Ci2000 = 22000 Trong (1) cho x = 1 ta ñöôïc Û (k + 1) < 2001 – k i= 0 Û 2k < 2000 Û k < 1000 ñuùng vì k = 0, 1, 2, …, 999. 2000 å i.Ci2000xi-1 Ñaïo haøm 2 veá cuûa (1) theo x, ta coù: 2000.(x + 1)1999 = ék = 1000 Vì vaäy: Ck 1000 2001 £ C2001 ,"k = 0, 1, …, 2000 (ñaúng thöùc Û ê ) i=1 ëk = 1001 2000 ék = 999 å i.Ci2000 = 2000.21999 = 1000.22000 Cho x = 1 ta ñöôïc: vaø: Ck +1 £ C1001 , "k = 0, 1, …, 2000 (ñaúng thöùc Û ê ) 2001 2001 ëk = 1000 i=1 2000 2000 Þ Ck k +1 1000 1001 2001 + C2001 £ C2001 + C2001 (ñaúng thöùc Û k = 1000) å å i.Ci2000 Ci2000 + = 1001.22000. Do ñoù: S = i= 0 i=1 6. (ÑHQG HN khoái B 2000) 17. (HV Kyõ thuaät quaân söï 2000) Soá haïng toång quaùt cuûa khai trieån laø: P(x) = (1 + 2x)12 = a0 + a1x + a2x2 + … + a12x12 17 34 ( ) () () 2 17-k 3k 3 12 k - 3 23 - ak = C12 .2k ; k ak < ak+1 Û k < k k C17 x3 x4 = C17 x4 (k Î N, 0 ≤ k ≤ 17) 3
38 39 Tuyeån taäp Ñaïi soá toå hôïp Traàn Só Tuøng Traàn Só Tuøng Tuyeån taäp Ñaïi soá toå hôïp 17 34 1 1 (1+ x)n+1 2n+1 - 1 Ñeå soá haïng khoâng chöùa x thì k- =0 Þk=8 n ò (1+ x) dx = * Ta coù: I = = 12 3 n+1 n+1 0 0 8 Vaäy soá haïng caàn tìm laø soá haïng thöù 9 cuûa khai trieån vaø baèng C17 . 1 1 x2 xn+1 ö æ0 7. (ÑH Baùch khoa HN khoái AD 2000) 0 +C1 x + ... + Cnxn )dx n = ç Cn x + C1 + ... + Cn ò *I= (Cn ÷ n n n ç n + 1÷ ìx Î N 2 è ø0 0 ï 2 £ 2x ìx Î N ï 11 12 1n Ñieàu kieän: í Ûí 0 = Cn + Cn + Cn + ... + Cn = S 2£ x îx ³ 3 2 3 n+1 ï ï3 £ x 2n+1 - 1 î Vaäy: S = . 12 6 n+1 A2x - A2 £ .C3 + 10 Ta coù: x x 2 x 11. (ÑH Kinh teá quoác daân khoái A 2000) 1 6 x(x - 1 - 2) )(x Ta coù: (1 + x)n = Cn + C1 x + Cn x2 + Cn x3 + Cn x4 + ... + Cnxn 0 2 3 4 n .2x(2x – 1) – x(x – 1) ≤ . + 10 Û n 2 x 1.2.3 Laáy ñaïo haøm hai veá: Û x2 ≤ x2 – 3x + 12 Û x ≤ 4 n(1 + x)n–1 = C1 + 2Cn x + 3Cn x 2 + 4Cn x3 + ... + nCnxn-1 2 3 4 n n Keát hôïp ñieàu kieän, ta ñöôïc: x = 3, x = 4. 1 8. (ÑHSP HN khoái A 2000) Thay x = , ta ñöôïc: 2 n(n - 1) * Xaùc ñònh n: Cn + Cn-1 + Cn- 2 = 79 Û 1 + n + = 79 3n-1 n n n 2 = C1 + 2Cn .2-1 + 3Cn 2-2 + 4Cn .2-3 + ... + nCn 2-n+1 2 3 4 n n n 2n-1 ìn = 12 Ûí Þ 2n-1C1 + 2n-1Cn + 3.2n-3 Cn + 4.2n- 4 Cn + ... + nCn = n.3n-1 2 3 4 în = -13 (loaïi) n n 12 k 12-k 12. (ÑH Noâng nghieäp I khoái A 2000) 28 ö æ 4ö æ - 28 ö 48 112 æ 12 12 k- - =å = å C12 x k ç 3÷ k 15 ç x 3 x + x 15 ÷ ç x 15 ÷ * Ta coù: C12 x 5 40-k 40 40 40 1ö æ 1ö æ å Ck xk .ç x2 ÷ å Ck x3k -80 ç ÷ ç ÷ç ÷ çx + 2 ÷ = = k =0 k=0 è ø è øè ø 40 40 xø è èø k =0 k =0 48 112 Soá haïng khoâng phuï thuoäc x Û k- = 0 Û k = 7. Ck 31 Heä soá cuûa x laø vôùi k thoaû maõn ñieàu kieän: 3k – 80 = 31 Û k = 37 15 5 40 40.39.38 7 Vaäy: heä soá cuûa x31 laø C37 = C3 = Vaäy soá haïng caàn tìm laø: C12 = 792 = 40.13.19 = 9880. 40 40 1.2.3 9. (ÑHSP HN khoái BD 2000) 13. (ÑH Thuyû lôïi 2000) n å Ck x2k 2 n Chöùng minh baèng phöông phaùp qui naïp. Ta coù: (x + 1) = (1) n 1 1 k =0 * Vôùi n = 2, ñpcm Û 2 = Û A2 = 2 ñuùng Soá k öùng vôùi soá haïng ax12 thoaû maõn phöông trình: x12 = x2k Þ k = 6. 2 2 A2 n å Ck * Giaû söû BÑT caàn chöùng minh ñuùng vôùi n = k (k ≥ 2), töùc laø ta coù: = 2n Trong (1) cho x = 1 thì n 1 1 1 1 k -1 k =0 + 2 + 2 + ... + 2 = n 2 k A2 A3 A4 Ak å Ck Töø giaû thieát Þ = 1024 Û 2n = 1024 Û n = 10 n Ta caàn chöùng minh BÑT ñuùng vôùi n = k + 1. k =0 6 Vaäy heä soá caàn tìm laø: C10 = 210. 10. (ÑHSP TPHCM khoái DE 2000)