PHÂN LO I D NG TOÁN TÍNH TH TÍCH KH I ĐA DI NẠ Ạ Ể Ố Ệ
THEO Y U T Đ NG CAOẾ Ố ƯỜ
D ng toán tính th tích kh i đa di n trong nh ng năm g n đây xu t hi n nhi u trong các đạ ể ố ệ ữ ầ ấ ệ ề ề
thi đ i h c, cao đ ng. Đây là m t d ng khó đ i v i h c sinh m c dù bài toán v hình h c khôngạ ọ ẳ ộ ạ ố ớ ọ ặ ề ọ
gian không thu c vào câu khó trong đ thi.ộ ề
Vi c tính th tích kh i đa di n có nhi u ph ng pháp gi i, m t ph ng pháp đi n hình là làệ ể ố ệ ề ươ ả ộ ươ ể
s d ng công th c tính. Trong ph ng pháp này, đi m khó nh t l i n m y u t đ ng cao. Đử ụ ứ ươ ể ấ ạ ằ ở ế ố ườ ể
giúp các th y cô và h c sinh có nh ng nhìn nh n t t h n v v n đ này sau đây tôi xin đ a ra m tầ ọ ữ ậ ố ơ ề ấ ề ư ộ
s h ng gi i quy t nh sau.ố ướ ả ế ư
Có th chia làm các d ng toán:ể ạ
-D ng toán có s n đ ng cao.ạ ẵ ườ
-D ng toán c n đi d ng đ ng cao.ạ ầ ự ườ
-D ng toán c n d ng đ ng cao ph .. ạ ầ ự ườ ụ
1. D ng toán có s n đ ng cao.ạ ẵ ườ
a. C s lý thuy t.ơ ở ế
M t s bài toán v tính th tích kh i đa di n đã có s n đ ng cao. Giáo viên c n đ a ra cácộ ố ề ể ố ệ ẵ ườ ầ ư
ví d và giúp h c sinh bi t xác đ nh đ ng cao đó. M t s h ng gi i quy t nh sau:ụ ọ ế ị ườ ộ ố ướ ả ế ư
- Đ ng th ng qua đ nh và vuông góc v i m t đáy. Có th cho vuông góc tr c ti p ho c choườ ẳ ỉ ớ ặ ể ự ế ặ
vuông góc v i 2 đ ng th ng c t nhau n m trong m t ph ng đáy.ớ ườ ẳ ắ ằ ặ ẳ
- Giao tuy n c a 2 m t ph ng phân bi t cùng ch a đ nh và vuông góc v i đáy.ế ủ ặ ẳ ệ ứ ỉ ớ
- Đ ng th ng qua đ nh n m trong m t ph ng (ườ ẳ ỉ ằ ặ ẳ
α
) vuông góc v i đáy, đ ng th i vuôngớ ồ ờ
góc v i giao tuy n c a (ớ ế ủ
α
) và đáy.
- Cho hình chi u vuông góc c a đ nh lên m t đáy thì đo n n i đ nh và hình chi u c a nó làế ủ ỉ ặ ạ ố ỉ ế ủ
đ ng cao.ườ
…
L u ý: ưTrong các tr ng h p trên c n ch cho h c sinh th y đ c trong các tr ngườ ợ ầ ỉ ọ ấ ượ ườ
h p nào c n ph i ch ng minh đó là đ ng cao, tr ng h p nào không c n ph i ch ng minh.ợ ầ ả ứ ườ ườ ợ ầ ả ứ
b. Ví d minh h a.ụ ọ
Ví d 1: ụCho hình chóp S.ABCD có
SA (ABCD).⊥
Đáy ABCD là hình thang vuông t iạ
A và D, AB = 2a; CD = a và BC =
a 2
. C nh bênạ
SC h p v i đáy góc 60ợ ớ 0. Tính th tích kh i chóp.ể ố
L i gi i:ờ ả L y M là trung đi m c a AB khiấ ể ủ
đó
CD AM a, AM / /CD= =
và
·
0
DAM 60=
nên tứ
giác ADCM là hình ch nh t suy ra ữ ậ
CM AB.⊥
Áp
Cao Văn Tùng _ THPT L ng Giang s 2_ B c Giang.ạ ố ắ
B
d ng đ nh lí Pitago trong các tam giác vuông CMB và CMA ta đ c ụ ị ượ
2 2
CM BC MB= −
( )
22 2 2
a 2 a a; AC AM CM= − = = + =
2 2
a a+
a 2.=
SA (ABCD)
⊥
nên AC là hình chi u vuông góc c a SC lên (ABCD). Do v y góc gi a SC vàế ủ ậ ữ
(ABCD) là
·
0
SCA 60=
.
Tam giác SAC vuông t i A nên ạ
SA =
·
AC.tan SCA
0
AC.tan 60 a 2. 3= =
a 6.=
( ) ( )
2
ABCD
1 1 3a
S AB CD .CM a 2a a .
2 2 2
= + = + =
2 3
ABCD ABCD
1 1 3a a 6
V S .SA . .a 6
3 3 2 2
= = =
(đvtt).
Nh n xét: ậC n l u ý r ng SA vuông góc v i đáy do v y SA là đ ng cao. T đóầ ư ằ ớ ậ ườ ừ
khi v hình đ thu n l i cho gi i toán ta nên v sao cho SA th ng đ ng. Do SC t o v i đáy gócẽ ể ậ ợ ả ẽ ẳ ứ ạ ớ
600, đ tính SA m t cách t nhiên ta xét tam giác vuông SAC.ể ộ ự
Ví d 2:ụ Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông t i A và D;ạ
AB AD 2a
= =
, CD = a; góc gi a 2 m t ph ng (SBC) và (ABCD) b ng 60ữ ặ ẳ ằ 0. G i I là trung đi mọ ể
c a c nh AD. Bi t hai m t ph ng (SBI) và (SCI) cùng vuông góc v i m t ph ng (ABCD), tính thủ ạ ế ặ ẳ ớ ặ ẳ ể
tích kh i chóp S.ABCD theo a.ố
Đ thi Đ i h c_kh i A_năm 2009ề ạ ọ ố
L iờ gi i: ảT ừ
(SIB) (ABCD)⊥
và
(SIC) (ABCD)⊥
ta có
SI (ABCD)⊥
nên SI là đ ng cao. K ườ ẻ
IK BC⊥
(K BC)∈
đ ng th i ồ ờ
BC SI⊥
(vì
( )
SI ABCD⊥
) bên
góc gi a (SBC) và (ABCD) là ữ
·
0
SKI 60 .=
2
ABCD
(AB CD).AD (2a a).2a
S 3a .
2 2
+ +
= = =
Ta có,
ABI CDI
1 1
S S .CD.ID AB.AI
2 2
+ = + =
( ) ( )
2
1 AD 1 2a 3a
. . AB CD . . 2a a
2 2 2 2 2
+ = + =
. Suy ra
( )
2
IBC ABCD ICD IAB
3a
S S S S .
2
= − + =
- Theo đ nh lí Pitago ta có:ị
( )
·
22IBC
2.S 3 5 a 3 15 a
BC AB CD AD a 5 IK SI IK.tan SKI .
BC 5 5
= − + = ⇒ = = ⇒ = =
- Th tích kh i chóp là: ể ố
3
SABCD ABCD
1 3 15 a
V S .SI .
3 5
= =
Nh n xét:ậ C n nh n th y SI là giao đi m c a 2 m t ph ng phân bi n (SIK) và (SIC) cùngầ ậ ấ ể ủ ặ ẳ ệ
vuông góc v i đáy do v y SI là đ ng cao. T đó đ thu n l i cho gi i toán c n v hình sao cho SIớ ậ ườ ừ ể ậ ợ ả ầ ẽ
th ng đ ngẳ ứ
c. Bài t p đ ngh .ậ ề ị
Bài 1: Cho hình chóp tam giác đ u S.ABC, c nh đáy băng a. M t bên t o v i đáy góc 30ề ạ ặ ạ ớ 0,
tính th tích kh i chóp.ể ố
Cao Văn Tùng _ THPT L ng Giang s 2_ B c Giang.ạ ố ắ
S
A
B
K
C
I
D
Bài 2: Cho hình lăng tr ABC.A’B’C’ có đ dài c nh bên b ng 2a, đáy ABC là tam giácụ ộ ạ ằ
vuông t i A, AB = a, AC = ạ
a 3
và hình chi u vuông c a đ nh A’ trên m t ph ng (ABC) làế ủ ỉ ặ ẳ
trung đi m c a c nh BC. Tính theo a th tích kh i chóp A’ABCể ủ ạ ể ố
Theo đ thi Đ i h c_ Kh i A_năm 2008ề ạ ọ ố
Bài 3: Cho hình lăng tr ABC.A’B’C’ có BB’ = a, góc gi a đ ng th ng BB’ và m t ph ngụ ữ ườ ẳ ặ ẳ
(ABC) b ng 60ằ0; tam giác ABC vuông t i C và ạ
·
0
BAC 60 .=
Hình chi u vuông góc c a B’ lênế ủ
m t ph ng (ABC) trùng v i tr ng tâm c a tam giác ABC. Tính th tích kh i t di n theo a.ặ ẳ ớ ọ ủ ể ố ứ ệ
Bài 4: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông c nh a. G i M, N l n l t làạ ọ ầ ượ
trung đi m c a AB và AD; H là giao đi m c a CN v i DM. Bi t SH vuông góc v i (ABCD)ể ủ ể ủ ớ ế ớ
và
SH a 3=
. Tính th tích kh i chóp S.CDMNể ố
Đ i h c, kh i A_ năm 2010ạ ọ ố
Bài 5: Cho hình lăng tr ABC.A’B’C’ có đáy là các tam giác đ u c nh a. Các m t ph ngụ ề ạ ặ ẳ
(AG’B’) và (AG’C’) đ u vuông góc v i đáy (G’ là tr ng tâm c a A’B’C’), l y M là trungề ớ ọ ủ ấ
đi m c a B’C’. Tính th tích kh i lăng tr bi t ể ủ ể ố ụ ế
AA ' AM 2=
.
2. D ng toán c n đi d ng đ ng cao.ạ ầ ự ườ
a. C s lý thuy t.ơ ở ế
Trong nhi u bài toán tính th tích kh i đa di n đ ng cao không d th y đòi h i c n kề ể ố ệ ườ ễ ấ ỏ ầ ẻ
thêm hình đ xác đ nh đ ng cao. Đi m m u ch t trong vi c d ng đ ng cao là vi c xác đ nhể ị ườ ể ấ ố ệ ự ườ ệ ị
chân đ ng cao, có m t s h ng nh sau:ườ ộ ố ướ ư
V i kh i chóp:ớ ố
- Kh i chóp có các c nh bên b ng nhau ho c t o v i đáy nh ng góc b ng nhau (ít nh t 3ố ạ ằ ặ ạ ớ ữ ằ ấ
c nh bên) thì chân đ ng cao là chân đ ng tròn ngo i ti p c a đa giác đáy.ạ ườ ườ ạ ế ủ
- Kh i chóp có các m t bên (ít nh t 3 m t bên) cùng t o v i đáy góc b ng nhau thì chânố ặ ấ ặ ạ ớ ằ
đ ng cao là tâm đ ng tròn n i ti p đa giác đáy.ườ ườ ộ ế
- Kh i chóp có hai m t bên k nhau và cùng t o v i đáy nh ng góc b ng nhau thì chânố ặ ề ạ ớ ữ ằ
đ ng cao n m trên đ ng phân giác góc c a đ nh chung, n m trong m t ph ng đáy.ườ ằ ườ ủ ỉ ằ ặ ẳ
- Kh i chóp có đ nh n m trên m t m t ph ng vuông góc v i đáy thì chân đ ng cao n mố ỉ ằ ộ ặ ẳ ớ ườ ằ
trên giao tuy n c a m t đó và đáy.ế ủ ặ
…
V i kh i lăng tr :ớ ố ụ
V i kh i lăng tr ta l y m t đ nh k t h p v i đáy đ i di n ta cũng đ c m t kh i chóp sauớ ố ụ ấ ộ ỉ ế ợ ớ ố ệ ượ ộ ố
đó vi c xác đ nh chân đ ng cao cũng d a theo các h ng trên.ệ ị ườ ự ướ
b. Ví d minh h a.ụ ọ
- Ví d : ụCho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đ u c nh a. Hai m t bên SAB vàề ạ ặ
SAC t o v i đáy các góc b ng nhau và b ng 60ạ ớ ằ ằ 0, m t bên còn l i t o v i đáy góc 45ặ ạ ạ ớ 0. Tính th tíchể
kh i chóp trên.ố
L i gi i: ờ ả Gi s H là chân đ ng vuông góc. ả ử ườ
HK AB;HP AC⊥ ⊥
. Khi đó
AB (SHK)⊥
vì
AB HK⊥
và
AB SH⊥
do v y góc gi a (SAB) và (ABC) là ậ ữ
·
0
SKH 60 .=
T ng t ta có gócươ ự
gi a (SAC) và (ABC) là ữ
·
0
SPH 60 .
=
Cao Văn Tùng _ THPT L ng Giang s 2_ B c Giang.ạ ố ắ
Xét hai tam giác SHK và SHP là hai tam giác vuông có SH chung và
·
·
0
SKH SPH 60= =
nên
SHK SHP∆ = ∆
theo g.c.g).
T đó HK = HP theo tính ch t đ ng phânừ ấ ườ giác
ta có H ph i n m trên đ ng phân giác c a ả ằ ườ ủ
·
BAC
trong
ABC∆
. Do
ABC∆
đ u nên ề
H AM∈
(AM là trung
tuy n) suy ra ế
HM BC.⊥
Vì
BC SH⊥
và
BC HM BC (SHM)⊥ ⇒ ⊥
nên
BC SM
⊥
. Do v y góc gi a (SBC) và (ABC) làậ ữ
·
0
SMH 45=
.
Gi s MH = k.AM, 0 < k < 1. Khi đó SH =ả ử
MH.tan450 = MH = k.AM. L i cóạ
·
0
SH SH k.AM
HK .
tan 60 3
tan.SKH
= = =
Xét tam giác vuông AKH, do
ABC∆
đ u nên ề
·
0
KAH 30 .=
T đó ta có ừ
0
HK
AH sin30
=
2 3
2.HK k.AM.
3
= =
M t khác AH = AM – MH = (1- k).AM. Suy ra ặ
2 3 k 1 k
3= − ⇔
k 2 3 3.= −
Do
3
AM a
2
=
nên
SH k AM=
=
( )
3
2 3 3 a
2
−
=
6 3 3 a.
2
−
Di n tích đáy ệ
2
ABC
3
S a .
4
=
Th tích kh i chóp là: ể ố
3
S.ABCD ABC
1 6 3 9
V .SH.S .a
3 8
−
= =
(đvtt).
Nh n xét: ậĐi m m u ch t c a bài toán này là hai m t bên k nhau (SAB) và (SBC) cùng t oể ấ ố ủ ặ ề ạ
v i đáy góc b ng nhau nên chân đ ng cao H n m trên đ ng phân giác góc A trong tam giác ABCớ ằ ườ ằ ườ
(cũng là trung tuy n do ABC đ u). T đó đ thu n l i trong gi i toán ta nên v trung tuy n AMế ề ừ ể ậ ợ ả ẽ ế
tr c t đó làm c s đ có SH và v sao cho SH th ng đ ng.ướ ừ ơ ở ể ẽ ẳ ứ
c. Bài t p đ ngh .ậ ề ị
Bài 1: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC cân t i B, ạ
·
0
ABC 120 ;=
AB = Bc = a. M t bênặ
SAB vuông góc v i đáy và SA = SB; ớ
SC a 2=
. Tính th tích kh i chóp trên.ể ố
Bài 2: Cho lăng tr ABC.A’B’C’ đáy là tam giác đ u c nh a. Hai m t bên ABB’A’ vàụ ề ạ ặ
ACC’A’ cùng t o v i đáy góc 60ạ ớ 0. L y M là trung đi m c a B’C’; góc A’AM b ng 60ấ ể ủ ằ 0. Tính
th tích kh i chóp.ể ố
Bài 3: Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đ u c nh a. G i M, N là trung đi m c a SB,ề ạ ọ ể ủ
SC. Tính th tích kh i chóp bi t r ng ể ố ế ằ
( ) ( )
AMN SBC .⊥
Bài 4: Cho hình lăng tr ABC.A’B’C’. Đáy ABC cân t i A, ụ ạ
·
0
BAC 120 ;=
l y M là trungấ
đi m c a B’C’ ta có ể ủ
·
0
AA 'M 120 .=
Bi t ế
BC AA ' 2a 3;= =
tính th tích kh i lăng trể ố ụ
trên theo a.
Bài 5: Cho kh i chóp S.ABCD có đáy là hình thang vuông t i A và D. ố ạ
AB 2CD 10a;= =
SA 4a; SD 3a.= =
Tam giác ABC vuông t i C và m t bên (SAD) vuông góc v i đáy. Tính thạ ặ ớ ể
tích kh i chóp trên theo a.ố
Cao Văn Tùng _ THPT L ng Giang s 2_ B c Giang.ạ ố ắ
3. D ng toán c n d ng đ ng cao ph .ạ ầ ự ườ ụ
Trong nhi u bài toán vi c xác đ nh đ ng cao ph c t p; ta có th nghĩ đ n h ng d ngề ệ ị ườ ứ ạ ể ế ướ ự
m t đ ng cao ph .ộ ườ ụ
a. C s lý thuy t.ơ ở ế
- Cho đi m A và m t ph ng (P) và đ ng th ng d ch a A thì kho ng cách t A đ n (P)ể ặ ẳ ườ ẳ ứ ả ừ ế
b ng kho ng cách t đi m M b t kỳ trên d đ n (P).ằ ả ừ ể ấ ế
- N u có m t ph ng (Q) ch a A và song song v i (P) thì kho ng cách t A đ n (P) b ngế ặ ẳ ứ ớ ả ừ ế ằ
kho ng cách t đi m M b t kỳ trên (Q) đ n (P).ả ừ ể ấ ế
b. Ví d minh h a.ụ ọ
Ví d 1: ụCho hình chóp t giác đ u S.ABCD có c nh đáy b ng a. C nh bên t o v iứ ề ạ ằ ạ ạ ớ
đáy góc 450; M, N là hai đi m trên SA; SB ể
(M B; N A )≠ ≠
. P là giao đi m c a CM và DN. Tính thể ủ ể
tích kh i chóp P.ABCD theo a.ố
L i gi i: ờ ả G i ọ
( ) ( )
d SAD SBC= ∩
. Xét 3 m tặ
ph ng phân bi t (SAD); (SBC); (ABCD) c t nhauẳ ệ ắ theo 3
giao tuy n d; AD và BC. Do AD//BC nên 3 giaoế tuy nế
này đôi m t song song t đó d//AD nên d//(ABCD)ộ ừ (1).
Do
( )
( )
P CM P SBC P d
P DN P SAD
∈ ⇒ ∈ ⇒ ∈
∈ ⇒ ∈
đ ngồ th i Sờ
cũng là m t đi m chung c a 2 m t ph ng (SAD);ộ ể ủ ặ ẳ (SBC)
nên
S d∈
(2).
T (1) và (2) ta có chi u caoừ ề
( )
( )
h d P; ABCD= =
( )
( )
d S; ABCD
SO=
(O là tâm c aủ
đáy ABCD).
BO là hình chi u c a SB lên (ABCD) nên góc gi a SB và (ABCD) là ế ủ ữ
·
0
SBO 45=
0
a 2
BD
SO OB.tan 45 OB .
2 2
⇒ = = = =
Di n tích đáy ệ
2
ABCD
S a .=
Th tích kh i chóp ể ố
3
2
P.ABCD ABCD
a 2 a 2
1 1
V h.S a .
3 3 2 6
= = =
Nh n xét:ậ Trong bài này ta không xác đ nh dõ đ ng cao vì đi m P di đ ng khi M, N thay đ iị ườ ể ộ ổ
trên SB và SA. Tuy nhiên l i d ng S và P cùng thu c đ ng th ng d song song v i (ABCD) nên đ dàiợ ụ ộ ườ ẳ ớ ộ
đ ng cao b ng đ dài SO, bài toán quy v tính SO. SO là đ ng cao ph . ườ ằ ộ ề ườ ụ
Ví d 2: ụCho hình l p ph ng ABCD.A’B’C’D’ c nh a. M, N, P l n l t là trung đi mậ ươ ạ ầ ượ ể
B’C’; C’D’ và CC’; O là tâm c a ABCD. ủ
a. Ch ng minh ứ
AC' (MNP)⊥
.
b. Tính th tích kh i t di n O.MNP theo a.ể ố ứ ệ
L i gi i:ờ ả
Cao Văn Tùng _ THPT L ng Giang s 2_ B c Giang.ạ ố ắ