PHẦN ÔN TẬP CỦNG CỐ KIẾN THỨC CÁC BƯỚC GIẢI BÀI TOÁN 12

Chia sẻ: Nguyễn Tố ý Nhi | Ngày: | Loại File: DOC | Số trang:21

Thêm vào BST

Báo xấu

301
lượt xem 149
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tham khảo tài liệu 'phần ôn tập củng cố kiến thức các bước giải bài toán 12', tài liệu phổ thông, ôn thi đh-cđ phục vụ nhu cầu học tập, nghiên cứu và làm việc hiệu quả

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: PHẦN ÔN TẬP CỦNG CỐ KIẾN THỨC CÁC BƯỚC GIẢI BÀI TOÁN 12

PHẦN ÔN TẬP CỦNG CỐ KIẾN THỨC CÁC BƯỚC GIẢI BÀI TOÁN 12 Dùng cả cho ôn thi TN , Chủ đề I,II,III) Chủ đề I : A/SƠ ĐỒ CHUNG KHẢO SÁT SỰ BIẾN THIÊN VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ: 8 bước( 8 dấu :+ ) I / Hàm số y = ax3 + bx2 + cx + d ( a ≠ 0) . 1) Tập xác định : +/ D = R . 2) Sự biến thiên : +/ Chiều biến thiên : • y’ = 3ax2 + 2bx + c . • y’ = 0 xi = ? ; f(xi) = ? . +/ trên các khoảng (….) và (…..) : y’ > 0 , : Hàm số đồng biến . Trên khoảng (….) : y’ < 0 , : Hàm số Nghịch biến . +/ Cực trị : Kết luận về cực trị hàm số . Hàm số đạt cực tiểu tại x = …., yCT = …. Hàm số đạt cực Đại tại x = …., yCĐ = …. + / Giới hạn ở Vô cực : lim y = lim y = ? ; ?. x → −∞ x→ + ∞ +/ Bảng biến thiên : x -∞ ? ? ? +∞ y’ ? ? ? y ? ? ? 3) Đồ thị : + ) Giao điểm đồ thị với trục Oy : x = 0 => y = d . • Giao điểm đồ thị với trục Ox : y = 0 => x = ? ., Các điểm khác : … +) Đồ thị : y 0 x II / Hàm số y = ax4 + bx2 + c ( a ≠ 0) .
1) Tập xác định : +/ D = R . 2) Sự biến thiên : +/ Chiều biến thiên : • y’ = 4ax3 + 2bx = 2x(2ax2 + b ) .  x = 0  f (0) = c   • y’ = 0  x = ? ⇒  f ( x) = . x = ?  f ( x) =   +/ trên các khoảng (….) và (…..) : y’ > 0 , : Hàm số đồng biến . Trên khoảng (….) : y’ < 0 , : Hàm số Nghịch biến . +/ Cực trị : Kết luận về cực trị hàm số . Hàm số đạt cực tiểu tại x = …., yCT = …. Hàm số đạt cực đại tại x = …., yCĐ = …. + / Giới hạn ở Vô cực : lim y = lim y = ? ; ?. x → −∞ x→ + ∞ +/ Bảng biến thiên : x -∞ ? ? ? +∞ y’ ? ? ? ? ? ? y 3) Đồ thị : • Hàm số đã cho là hàm số chẵn, do đó đồ thị nhận trục 0y làm trục đối xứng. • Giao điểm đồ thị với trục Ox : y = 0 => x = ? . Các điểm khác … Đồ thị : y 0 x ax + b III / Hàm số : y = cx + d
d 1) Tập xác định : +/ D = R /{ - .} c 2) Sự biến thiên : +/ Chiều biến thiên : ad − bc • y’ = (cx + d ) 2 . • y’ > 0 ( y < 0 ) , ∀x ∈ D +/ : Hàm số đồng biến ( Nghịch biến ) . trên các khoảng (….) và (…..) +/ Cực trị : Hàm số không có cực trị . + / Tiệm cận và Giới hạn : lim y = a và lim y = a => tiệm cận ngang : y = a . c c c x → −∞ x →+ ∞ lim y = lim y = ? −d => tiệm cận đứng : ? Và x= . a− a+ c x→ x→ c c +/ Bảng biến thiên : x -∞ ? ? +∞ y’ ? ? ? ? y b 3) Đồ thị : * Giao điểm đồ thị với trục Oy : x = 0 => y = . d −d a −b Giao điểm đồ thị với trục Ox : y = 0 => x = , Đồ thị nhận giao điểm I( ; ) của hai a cc đường tiệm cận làm tâm đối xứng y 0 x B/ CÁC BƯỚC GIẢI BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ 3 2 1/ y = ax + bx + cx + d ( C ) 2/ y = ax4 + bx2 + c (C)
BÀI 1 : Biện luận theo m số nghiệm của phương trình: a’x3 + b’x2 + c’x + n = 0 (2). • (2) ⇔ ax3 + bx2 + cx + d = k.m ; ( ⇔ ax4 + bx2 + c = k.m ) • Số nghiệm phương trình (2) bằng số giao điểm của đồ thị ( C) với đường thẳng d: y = k.m (vẽ d) • Nhận xét số giao điểm d: với ( C ) , theo yCT và yCĐ của ( C ). Bài 2 : Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị ( C ) tại : 1) Đi qua điểm M0 (x0 ; y0 ) € ( C ) . 2) Có hệ số góc cho trước ( song song với đường thẳng y = kx + p ). 3) Vuông góc với đường thẳng y = k’x + p HƯỚNG DẪN : 1/ Đi qua điểm M0 (x0 ; y0 ) € ( C ) : • Phương trình tiếp tuyến của đồ thị ( C ) tại điểm M0 (x0 ; y0 ) có dạng : y = k(x – x0 ) + y0 (*) • k = f’(x0) ; thế k , x0 , y0 vào ( * ) ta có phương trình tiếp tuyến cần tìm . 2/ Có hệ số góc cho trước ( song song với đường thẳng y = kx + p ). • Phương trình tiếp tuyến của đồ thị ( C ) tại điểm M0 (x0 ; y0 ) có dạng : y = k(x – x0 ) + y0 (*) ⇔ giải phương trình tìm x0 ; thế x0 vừa tìm được vào ( C ) tìm y0 . k = f’(x0 ) • Thế k , x0 , y0 vào ( * ) ta có phương trình tiếp tuyến cần tìm. 3/ Vuông góc với đường thẳng y = k’x + p • Phương trình tiếp tuyến của đồ thị ( C ) tại điểm M0 (x0 ; y0 ) có dạng : y = k(x – x0 ) + y0 (*) −1 Trong đó k.k’ = -1 ⇔ k = • . k' thế k = f’(x0 ) ⇔ giải phương trình tìm x0 ; thế x0 vừa tìm được vào ( C ) tìm y0 . • Thế k , x0 , y0 vào ( * ) ta có phương trình tiếp tuyến cần tìm. 4/ Các dạng khác : cho biết x0 hoặc y0 tìm các yếu tố còn lại suy ra có (*) ax + b 3/ y = (C) cx + d Bài toán : Tìm m để y = f(x ; m ) cắt đồ thị ( C ) tại t đểm phân biệt ? Hướng dẫn : Số giao điểm của f(x;m ) với ( C ) , bằng số nghiệm phương trình : f( x ) = f ( x ; m ) . Từ đó ta tìm ra điều kiện của m cần tìm . Chủ đề II : C/ Hàm sô lũy thừa, Mũ và logarit 1)Phương trình, Bất phương trình mũ và Lô ga rít. a)Phương trình mũ : Bước 1/ Dùng tính chất của luỹ thừa, đưa phương trình mũ đã cho về phương trình đặt được ẩn phụ với luỹ thừa phù hợp. ( t = aX , t > 0 ). Bước 2/ Giải phương trình với ẩn t, tìm ra nghiệm của biến t.
Bước 3/ Dựa vào cách đặt và điều kiện để tìm ra nghiệm của bài toán. Và kết luận nghiệm. b)Phương trình logarít: Bước 1/ Dùng tính chất của lô ga rít, đưa phương trình lô ga rít đã cho về phương trình đặt được ẩn phụ với luỹ thừa phù hợp. ( t = logaX , điều kiện X > 0 ). Bước 2/ Giải phương trình với ẩn t, tìm ra nghiệm của biến t. Bước 3/ Dựa vào cách đặt và điều kiện để tìm ra nghiệm của bài toán. Và kết luận nghiệm . c) Bất phương trình : Biến đổi tương tự các bước giải phương trình chứa ẩn số ở luỹ thừa hay dưới dấu lô ga rít . 2) Gía trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số: Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số : y = f(x) trên đoạn [ a ; b ] ? Bước 1: Tìm tập xác định D của f(x) : D = ?, xét xem [a ; b ] ∈ D ? Bước 2 : */Tìm đạo hàm y’ = f’(x) = ? */ Giải phương trình y’ = 0 => xi = ? loại các giá trị xi ∉ [ a ; b ] */ Tính các giá trị : f(a) ; f(b) ; f(xi) . Bước 3 : So sánh các giá trị vừa tìm được . Tìm ra giá trị lớn nhất, nhỏ nhất . Chủ đề III: D/ BÀI TOÁN HÌNH HỌC KHÔNG GIAN: I/ Tìm thể tích hình chóp: 1/ Các loại bài toán : a) Cho hình chóp S.ABC ( Đáy tam giác : thường, vuông, đều, cân, hinh vuông, thoi, chữ nhật, hình bình hành …) Có SA ┴ ( ABC) ( SO ┴ (ABC)…. ) biết cạnh SA , góc giữa SB và đáy ( (ABC) và đáy ) là α. 1) Tính thể tích S.ABC. 2) Tìm tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp S.ABC. Cách giải : gồm 2 bước: Bước 1 : Vẽ hình : Mục đích : Xác định các yếu tố về giả thiết bài toán. Tìm các yếu tố : Góc , đường cao . Vẽ từ đáy vẽ lên Xây dựng được hình vẽ đã cho 0.25đến 0.5 đ). Bước 2: Tính toán: a)Tính Thể tích hình chóp VS.ABC = 1/3B.h Trong đó B = SABC ; h = SO ( SH: đường cao ). b)Tìm tâm và bán kính: + Xác định tâm đáy ( tam giác : tâm đường tròn ngoại tiếp, tứ giác(hcn): giao điểm 2 đường chéo..). Xác định trục d đáy : vuông góc đáy qua tâm.
+ Xác định mặt phẳng trung trực: 1 cạnh bên, hoặc trung trực đường cao. Giao của trục d và mp vừa vẽ, ký hiệu I : là tâm mặt cầu cần tìm Khoảng cách IA = IB = IC = IS = R là bán kính. Tìm vị trí I , R . Kết luận. Chú ý : Các bài toán đã học phải giải đúng sơ đồ trên mới đạt điểm tối đa. Giaỉ cách khác, nếu đúng , chỉ đạt điểm tối đa từng phần. Phần kết luận kết quả bài toán ( đáp số ) chiếm 0.25 điểm mỗi bài. II/ Bài toán hình hộp, lăng trụ: Các bước giải tương tự bài toán hình chóp. ÔN TẬP CHỦ ĐỀ IV : NGUYÊN HÀM , TÍCH PHÂN A/Nguyên hàm: I .Định nghĩa và ký hiệu: 1. Định nghĩa : F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) nếu F’(x) = f(x) 2. Ký hiệu: ∫ f ( x).dx = F ( x). ∫ f ( x).dx = F ( x). + C Định lí : 3. II. Tính chất: ∫ f ' ( x).dx = f(x) +C 1. ∫ k. f ( x).dx = k.∫ f ( x).dx 2. ∫ [ f ( x) ± g ( x)]dx = ∫ f ( x)dx ± ∫ g ( x)dx 3. Chú ý 1 : Nguyên hàm dạng tích , và hữu tỷ không có công thức phải biến đổi đưa về tổng hiệu: Ví dụ 1 : Tìm Nguyên hàm : A = ∫ sin 3x. cos 5 xdx . 2x + 1 ∫x Ví dụ 2 : Tìm Nguyên hàm : B = + 3. x − 4 2 III .Công thức: 1. Nhóm 1: Hàm số lũy thừa. x α +1 1.1 / ∫ kdx = k .x + C . k ∈ R . ∫ x .dx = α + C . α ≠ −1 1.2 / α +1 dx ∫ = ln x + C . 1.3 / x 2 . Nhóm II: Hàm số lượng giác 2.1 / ∫ sin xdx = − cos x + C 2.3 / ∫ tan xdx = − ln cos x + C 2.2 / ∫ cos xdx = sin x + C 2.4 / ∫ cot xdx = ln sin x + C dx dx ∫ cos ∫ tan = tan x + C = − x − cot x + C 2.5 / 2.7 / 2 2 x x
dx dx ∫ sin ∫ cot = − cot x + C = − x + tan x + C 2.6 / 2.8 / 2 2 x x Nhóm III: Hàm số Mũ : 4. ax 3.2/ ∫ e dx = e + C ∫ a dx = x x +C 3.1 / x ln a Chú ý 2 : 1 ∫ f (ax + b)dx = a F (ax + b) + C Nếu : F(x)’ = f(a) , thì : B/ Phương pháp tính tích phân: b ∫ f ( x).dx = F ( x) = F (b) − F (a ) b Công thức : a a I/ TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN b ∫ f [u ( x)].u' ( x).dx 1. Dạng 1: Tính : I a Phương pháp chung : Bước 1 : Đặt : t=u(x) dt = u’(x).dx ⇒ Bước 2 : Đổi cận : x a b t u(a) u(b) Bước 3 : Tính I : u (b ) ∫ f (t )dt = F (t ) = F [u (b)] − F [u (a )] u (b ) I= u(a) u(a) CÁC DẠNG CƠ BẢN THƯỜNG GẶP : b ∫ f ( x).dx ; Với f(x) = x α (a.x α +1 + b) β . β ∈ R* 2. Dạng 2 : Tính : I = a Phương pháp: dt α Đặt t = (a.x α +1 + b) ⇒ dt = a .(α + 1).x α dx . ⇒ x .dx = (α + 1).a Bước 1 : Bước 2 : Đổi cận : x a b t u(a) u(b)
Bước 3 : Tính I : u (b ) t β .dt 1 ∫a ) (α + 1).a = (α + 1).(β + 1).a t ( β +1) u (b ) . I= u(a) u( Ví dụ 3: Tính các tích phân sau : 2 2 x3 1. A = ∫ x (2 x − 1) dx . ;B= ∫ 4 3 4 5 dx . 1 ( 2 x − 1) 5 1 2 2. C = ∫ x 3 (2 x 4 − 1) 5 dx. . ( Ta đặt t = (2 x 4 − 1)5 ) 1 b ∫ f ( x).dx ; Với f(x) = cos x.(a. sin x + b)α . 3. Dạng 3 : Tính : I = a Phương pháp: dt Đặt t = (a. sin x + b) ⇒ dt = a . cos x.dx . ⇒ cosx.dx = Bước 1 : . a 1α t dt . ta đưa về bài toán quen thuộc. f(x)dx = a Ví dụ 4 : Tính các tích phân sau : π π 3 3 cos x 4.D= ;5.E= dx . ∫ cos x(2 sin x − 3) dx. ∫ 3 (2 sin x − 3) 3 0 0 π 3 ; Ta đặt t = (2 sin x − 3)3 . 6.G= ∫ cos x (2 sin x − 3) 3 dx. 4 0 b dx ∫ f ( x).dx 4 Dạng 4 : Tính : I = ; Với f(x)dx = . b + x2 2 a Phương pháp: b Đặt x = b.tant , ⇒ dx = dt = b(1 + tan 2 t ) .dt. Bước 1 : 2 cos t 1 b2 + x2 = b2.( 1 + tan2t) . ⇒ f(x).dx = dt . b Bước 2: Đổi cận, tính kết quả . β β b dx ∫ f ( x).dx ∫ f ( x)dx ∫ 5. Dạng 5 : Tính : I = ; Với = dx . (a> 0) a − x2 2 α α a Phương pháp: Đặt x = a.sint ⇒ dx = a.cost.dt ; a 2 − x 2 = a 2 .(sin 2 t ) = a cos t . Bước 1 : Bước 2: Đổi cận, tính kết quả .
II/ TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN 2.1 Dạng áp dụng phương pháp tích phân từng phần : b I = ∫ U .dV . a Phương pháp: du = u ' ( x).dx u = u ( x)  ⇒ Đặt :  ;  v = ∫ v '.dxv' dv = v'.dx  b b ∫ U .dV = U.V − ∫ V .dU . ⇒ b a a a 2.2 Các dạng tích phân thường gặp : b ∫ f ( x).dx Dạng 1 : Tính : I = ; Với f(x)dx = P(x). cosx.dx , hoặc P(x).sinx.dx . a Ta đặt : U = P(x) ; dv = sinx.dx. b ∫ f ( x).dx Dạng 2 : Tính : I = ; Với f(x)dx = P(x). ex.dx . a Ta đặt : U = P(x) ; dv = ex.dx . b ∫ f ( x).dx Dạng 3 : Tính : I = ; Với f(x)dx = P(x). ln(x).dx . a Ta đặt : U = ln(x) ; dv = P(x).dx . Chú ý 3 : Thông thường bài toán tích phân cho dưới dạng : b I = ∫ [ f ( x) + h( x)].g ( x).dx , a ta khai triển thành tổng hai tích phân, rồi áp dụng các ph ương pháp trên để tính , xong c ộng kết quả lại. Ví dụ 5: Tính các tich phân sau : π e 2 7. I = 2 x(1 − ln x) dx ; 6. I = (sin x − x).cos xdx ; 3 1 0 π 1  x x 9 . I = e (e + x) dx I = ∫ 2 1 + sin  cos dx ; x x 8.  2 2 0 0 C / Ứng dụng tích phân tính diện tích hình phẳng và thể tích: 1) Diện tích hình phẳng: Cơ sở lí thuyết: • Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị các hàm số y = f(x) (liên tục); x= a; x= b b f ( x) dx (1). và y = 0 (trục hoành) được tính bởi: S = a
• Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị các hàm số y = f(x), y = g(x)(liên tục); x b f ( x) − g ( x) dx (2). = a; x= b được tính bởi: S = a Ví dụ 6: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị các hàm số y = x2 – 1; y = 0; x = 0; x = 2. b f ( x) dx Giải: Gọi S là diện tích cần tính, áp dụng công thức S = a 2 x 2 − 1dx thì S = 0 • Phương trình: x2 -1= 0 1 , nghiệm x = 1 [0;2] x= 1 2 1 2 x3 x3 ( x 2 − 1)dx + ( x 2 − 1)dx = ( • Vậy S = − x) + ( − x) = 2 (đvdt) 3 3 0 1 0 1 Vídụ 7:Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị các hàm số y = 2 – x2 và y =x. Giải: • Cận a,b là nghiệm của phương trình: 2 – x2 = x x2 + x – 2 = 0 x = 1 và x = -2 • Gọi S là diện tích cần tính, áp dụng công thức b 1 f ( x) − g ( x) dx thì S = x 2 + x − 2 dx • S= −2 a 1 1 1 x3 x 2 9 x + x − 2 dx = ( x + x − 2)dx = + − 2x 2 2 • Vậy S = = (đvdt) 32 2 −2 −2 −2 * Lưu ý: Chỉ có thể đưa dấu trị tuyệt đối ra ngoài tích phân nếu hàm số dưới dấu tích phân không đổi dấu trên [a; b]. 2) Thể tích vật thể tròn xoay: Cơ sở lí thuyết: Thể tích vật thể tròn xoay giới hạn bởi các đường y = f(x); x = a; x = b; y = 0 khi b xoay quanh trục Ox được tính bởi: V = π f ( x)dx (3) 2 a Ví dụ 8: a) Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường y = 2x – x 2 và y = 0. Tính thể tích vật thể tròn xoay được sinh ra bởi hình phẳng đó khi nó quay quanh trục Ox., Giải: • Phương trình 2x – x2 = 0 x = 0 và x = 2 b • Gọi V là thể tích cần tính.Áp dụng công thức: V = π f ( x)dx 2 a 2 0 16π 5 4 x2 Ta có V = π �x − x ) dx = π �x − 4 x + x )dx = π ( x3 − x 4 + ) 0 = 22 (4 2 3 4 (2 (đvtt) 15 3 5 0 0
b) Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường y = – x 2 và y = x3. Tính thể tích vật thể tròn xoay được sinh ra bởi hình phẳng đó khi nó quay quanh trục Ox. Giải: • Phương trình – x2 = x3 x = 0 và x = –1 • Gọi V1 là thể tích vật thể tròn xoay được sinh ra do hình ph ẳng gi ới h ạn b ởi các đường y = – x2, x = 0, x = –1 và trục Ox khi hình phẳng đó quay quanh Ox: 0 1 Có V1 = π (− x ) dx = π 22 5 −1 • Gọi V2 là thể tích vật thể tròn xoay được sinh ra do hình ph ẳng gi ới h ạn bởi các đường y = x3, x = 0, x = -1 và trục Ox…: 0 1 Có V2 = π ( x ) dx = π 32 7 −1 2 Vậy thể tích V cần tính là: V = V1 − V2 = π (đvtt) 35 Chú ý:4 Khi tính thể tích vật thể tròn xoay sinh bởi hai đường y = f(x) và y = g(x) khi nó quay b quanh trục Ox, học sinh có thể ngộ nhận và dùng công thức V = π ( f ( x) − g ( x)) dx dẫn đến kết 2 a 1 π đvtt. quả sai KQs : V = 105 • Các bài tập tự luyện: 1) Tính dieän tích hình phaúng giôùi haïn bôûi (P): y = – x2 + 4x vaø truïc hoaønh. 32 KQ: S = ñvdt 3 2)Tính dieän tích hình phaúng giôùi haïn bôûi hai ñöôøng (P): y = – x2 vaø y = – x – 2 . 9 KQ: S = ñvdt 2 3) Tính dieän tích hình phaúng giôùi haïn bôûi ñoà thò haøm soá y = 5x4 – 3x2 – 8, truïc Ox treân [1; 3] KQs: S = 200 ñvdt 4) Tính theå tích caùc hình troøn xoay sinh bôûi caùc hình phaúng giôùi haïn bôûi caùc ñöôøng sau ñaây khi quay quanh truïc Ox: KQ: 16 π ñvtt a) (P): y 2 = 8x vaø x = 2 162π b) y = x2 vaø y = 3x KQ: ñvtt 5 π π −2 2 x c) y = sin ; y = 0; x = 0; x = KQ: ñvtt 2 4 8 D/ Đề thi tốt nghiệp THPT các năm trước có liên quan đến tích phân: Bài 1: Tính dieän tích hình phaúng giôùi haïn bôûi caùc ñöôøng y2 = 2x +1 vaø y = x -1 (TNTHPT năm 2001 – 2002 ) 1 x3 + 3x2 + 3x − 1 Bài 2: 1.Tìm nguyeân haøm F(x) cuûa haøm soá y = , bieát F(1) = 3 x + 2x + 1 2
2x2 − 10 − 12 x 2.Tính dieän tích hình phaúng giôùi haïn bôûi ñoà thò haøm soá y= vaø x+ 2 truïc hoaønh Ox. (TNTHPT năm 2002 – 2003 ) 1 Bài 3: Cho haøm soá y = x3 – x2 (C). Tính theå tích vaät theå troøn xoay do hình phaúng giôùi 3 haïn bôûi (C) vaø caùc ñöôøng y = 0, x =0, x = 3 quay quanh truïc Ox. (TNTHPT năm 2003 – 2004 ) π /2 ∫ ( x + sin 2 x). cos x.dx Bài 4: Tính tích phaân: I = (TNTHPT năm 2004 – 2005 ) 0 Bài 5: a. Tính dieän tích hình phaúng giôùi haïn bôûi ñoà thò caùc haøm soá : y = ex, y = 2 vaø ñöôøng thaúng x = 1. π /2 sin 2 x ∫ dx b. Tính tích phaân: I = (TNTHPT năm 2005– 2006) 4 − cos 2 x 0 e ln 2 x Bài 6: Tính tích phân J = ∫ dx . (TNTHPT năm 2006– 2007) x 1 1 Bài 7: Tính tích phân I = x (1 − x ) dx 2 34 (TNTHPT năm 2007– 2008) −1 π Bài 8: Tính tích phân I = x(1 + cos x)dx (TNTHPT năm 2008– 2009) 0 1 Bài 9: Tính tích phân I = x ( x − 1) dx 2 2 (TNTHPT năm 2009– 2010) 0 ÔN TẬP CHỦ ĐỀ IV CÁC DẠNG BÀI TOÁN CƠ BẢN PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TOÁN. Dạng I : Viết phương trình : Mặt Cầu, mặt phẳng, đường thẳng. Bài toán 1.1/ Viết phương trình mặt cầu (S): Tâm I(a, b , c), bán kính R: (S): x2 + y2 + z2 – 2ax + 2by + 2cz + D = 0. (1). Thường được cho dưới dạng : a) Cho 2 điểm A(xA ; yA ; zA ) , B(xB ; yB ; zB ): Viết phương trình mặt cầu (S), nhận AB làm đường kính Cách giải : Gọi I(a ; b ; c ) là tâm mặt cầu (S), bán kính R : Ta có I là trung điểm AB :
x A + xB  a = 2  y A + yB  AB 1 b = ;R= = (xB − x A ) 2 + ( yB − y A ) 2 + (z B − z A ) 2 2 2 2  z A + zB  c = 2  Thay kết quả vừa tìm được vào (1), ta có kết quả cầm tìm. b) Cho 3 điểm : A(xA ; yA ; zA ) , B(xB ; yB ; zB ) , C(xC ; yC ; zC ). Tìm trọng tâm G của tam giác ABC, Viết phương trình mặt cầu (S) Tâm G, đi qua A . Cách giải : Gọi G(a ; b ; c) là tâm mặt cầu (S), bán kính R : Ta có G là trọng tâm Δ ABC : x A + x B + xC  a = 3  y A + y B + yC  b = ; R = AG = ( xG − x A ) 2 + ( yG − y A ) 2 + ( z G − z A ) 2 . 3  z A + z B + zC  c = 3  1.2/ Tìm tâm, bán kính mặt cầu (S) có phương trình : (S): x2 + y2 + z2 + mx + ny + pz + D = 0. (1). Cách giải : Gọi I(a ; b ; c) , R là tâm và bán kính mặt cầu (S), có phương trình (1), ta có : −m  a = 2 − 2 a = m  −n   − 2b = n ⇔ b = ; R = a2 + b2 + c2 − D . 2 − 2c = p   −p  c = 2  Kết luận : I(a ; b ; c ) ; R. 1.3/ Cho 4 điểm A(xA ; yA ; zA ) , B(xB ; yB ; zB ) , C(xC ; yC ; zC ). D(xD ; yD ; zD ). Viết phương trình mặt cầu (S )đi qua A,B,C,D. Cách giải : phương trình mặt cầu (S) có dạng (S): x2 + y2 + z2 – 2ax + 2by + 2cz + D = 0. (1) Trong đó gọi I(a ; b ; c) là tâm mặt cầu (S) Lần lượt thay tọa độ A, B, C, D vào (1), ta có hệ phương trình : X 2 A + Y 2 A + Z 2 A + 2ax A + 2bYA + 2cZ A + D = 0, 2 X B + Y B + Z B + 2aX B + 2bYA + 2cZ A + D = 0 2 2 ( 2) 2 X C + Y C + Z C + 2aX C + 2bYC + 2cZ C + D = 0 2 2 X 2 D + Y 2 D + Z 2 D + 2aX D + 2bYD + 2cZ D + D = 0  Giải hệ ( 2 ) , với 4 ẩn số :a , b , c , D thế vào (1) ta có phương trình (S) cần tìm. Chú ý : bài toán đơn giản khi A(xA ; 0 ; 0 ) , B(0 ; yB ; 0 ) , C(0 ; 0 ; zC ). D(xC ; yD ; zD ).
Áp dụng : 1/ bài thi TN THPT năm 2010: Câu 4.a/1: “… Cho 3 điểm A(1 ; 0 ; 0), B(0 ; 2; 0) và C(0 ; 0 ; 3). Tìm tọa độ tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện O.ABC . “ 2/ Bài 9.b/ trang 100- sgk hh 12 cơ bản. --------------------------------------------------------------------- Bài toán 2.1/  n (A ; B ; C). Viết phương trình mặt phẳng (α ) qua M0(x0 ; y0 ; z0 ) có véc tơ pháp tuyến Ta có : (α ) : A(x – x0) + B(y – y0) + C(z – z0) = 0. ⇔ Ax + By + Cz + D = 0. (2). Chú ý 1:  véc tơ pháp tuyến n (A ; B ; C) , được xác định tùy từng trường hợp cụ thể a. Viết phương trình mặt phẳng qua 3 điểm không thẳng hàng : A(xA ; yA ; zA ) , B(xB ; yB ; zB ) , C(xC ; yC ; zC ).  Cách giải : Khi đó ta chọn M0 là điểm A. n = [ AB , AC ] = ( A ; B; C ) . Chú ý rèn luyện cách tính tích có hướng của 2 véc tơ [ AB , AC ] . Với : AB = (a1 ; b1 ; c1 ).  AC = (a2 ; b2 ; c2 ). Ta có n = [ AB , AC ]  a1 ; b1 ; c1  a1    a ; b ; c  a = (b1.c2 – b2.c1 ; c1.a2 – c2.a1 ; a1.b2 – a2.b1 ) n=   2 2 2 2 Tính theo tích chéo : “ Giữa – Cuối ; Cuối – Đầu ; Đầu – Giữa “ b. Viết phương trình mặt phẳng (α ) qua A(xA ; yA ; zA ) , và vuông góc đường thẳng :  x = x 0 + a 1 .t  Δ :  y = y 0 + a 2 .t ; z = z + a .t  3 Cách giải : (α ) qua điểm A(xA ; yA ; zA ) và vuông góc với đường thẳng Δ nên (α ) nhận  véc tơ chỉ phương của Δ : a = ( a1 ; a2 ; a3 ) làm véc tơ pháp tuyến n = a = ( a1 ; a2 ; a3 ) . Ta có : (α ) : a1.( x – xA ) + a2. (y – yA ) + a3. (z – zA ) = 0 ⇔ a1.( x ) + a2.(y ) + a3.(z ) + D = 0 . Chú ý 2 : Nếu đường thẳng Δ cho dưới dạng chính tắc : x − x0 y − y 0 z − z 0 = = Δ: ; a1 b1 c1 Thì khi giải chú ý dạng chính tắc các ẩn số x , y , z có hệ số là + 1, N ếu đ ề ch ưa cho đúng thì phải biến đổi sắp xếp dạng chính tắc đã nêu. Ta cho cả 3 phân số trên = t, chuyển về dạng tham số của Δ, ta tìm được véc tơ chỉ phương của Δ : a = ( a1 ; b1 ; c1 )
Ví dụ: Cho đường thẳng Δ có phương trình : x + 5 1− y z + 2 = = ; và điểm I( -1 , 3 ; 2). Viết phương trình mặt phẳng (α ) qua I và Δ: 2 3 2 (α ) vuông góc Δ. Giải: x + 5  2 =t  x = −5 + 2t  1 − y x + 5 1− y z + 2  =t ⇔  = t ⇔  y = 1 − 3t ; = = Cho : 3 2 3 2  z = −2 + 2t  z + 2 =t 2  Ta có véc tơ chỉ phương của Δ là a = ( 2 ; - 3 ; 2 ) . Mặt phẳng (α ) qua I ( -1 , 3 ; 2), và (α ) vuông góc Δ : (α ) : -1(x – 2) + 3( y + 3) + 2( z - 2) = 0. ⇔ (α ) : -x + 3y + 2z + 7 =0. c) Cho tứ diện A.BCD , Viết phương trình mặt phẳng (α ) qua AB và song song CD . Ta có : véc tơ pháp tuyến : n = [ AB , CD ] . d) Cho mặt phẳng ( β ) : A( x – a) + B ( y – b ) + C ( z – c ) = 0 . ( * ) Viết phương trình mặt phẳng (α ) qua M0(x0 ; y0 ; z0 ) và song song mp ( β ) Ta có : véc tơ pháp tuyến : n = [ A ; B ; C ] . Áp dụng giải bài tập trang 80, 81 skg hh12 cơ bản Bài toán 3.1/ Viết phương trình tham số của đường thẳng Δ qua điểm M0(x0 ; y0 ; z0 ) có véc tơ chỉ phương a (a1 ; a2 ; a3 ). Giải : Gọi M(x ; y ; z ) ∈ Δ, ta có : phương trình tham số của đường thẳng đi qua điểm M0(x0 ; y0 ; z0 ) có véc tơ chỉ phương a (a1 ; a2 ; a3 ) :  x = x 0 + a1 .t  Δ :  y = y 0 + a 2 .t ;  z = z + a .t  0 3 Các dạng bài tập : Viết phương trình tham số của đường thẳng Δ qua điểm 3.1/a : M0(x0 ; y0 ; z0 ) , và vuông góc mặt phẳng : (α ) : Ax + By + Cz + D = 0. (1). Giải : Ta có véc tơ chỉ phương a của đường thẳng Δ , là véc tơ pháp tuyến của mặt  phẳng (α ) : a = n = (A ; B ; C). Vậy phương trình tham số của đường thẳng Δ là :
 x = x 0 + A.t  Δ :  y = y 0 + B.t ; (2)  z = z + C.t  0 Viết phương trình tham số của đường thẳng Δ qua điểm 3.1/b : M0(x0 ; y0 ; z0 ) , và song song với đường thẳng d:  x = x 0 + a1 .t  d:  y = y 0 + a 2 .t ;  z = z + a .t  0 3 Giải : Ta có véc tơ chỉ phương a của đường thẳng Δ , là véc tơ chỉ phương của đường thẳng d : a = (a1 ; a2 ; a3). Vậy phương trình tham số của đường thẳng Δ là ( 2 ) Viết phương trình tham số của đường thẳng Δ qua điểm 3.1/c : M0(x0 ; y0 ; z0 ) ; M1(x1 ; y1 ;z1 ) . Giải : Ta có véc tơ chỉ phương a của đường thẳng Δ , là véc tơ : M 0 M 1 = (x1 – x0 ; y1 – y0 ; z1 – z0 ) = (a1 ; a2 ; a3). Vậy Vậy phương trình tham a= số của đường thẳng Δ là ( 2 ) Áp dụng giải bài tập 1 trang 89 SGK HH 12 CB. Bài tập 4 trang 92. Dạng II : Xét vị trí tương đối : Mặt Cầu, mặt phẳng, đường thẳng. Bài 2.1.a / Xét vị trí tương đối của hai đường thẳng d1 và d2 có phương trình :  x = x 0 + a1 .t  x = x1 + b1 .t '   d1:  y = y 0 + a 2 .t d2 :  y = y1 + b2 .t ' ; ( 2 ) (1) ;  z = z + a .t  z = z + b .t '   1 3 0 3 Cách giải : Bước 1 : Đường thẳng d1 đi qua M0(x0 ; y0 ; z0 ) ; có véc tơ chỉ phương a = ( a 1 ; a2 ; a3 ) . Đường thẳng d2 có véc tơ chỉ phương : b = ( b1 ; b2 ; b3 ). Nếu : a = k. b : Đúng (Đ) , và M0(x0 ; y0 ; z0 ) ∉ d2 . Ta có d1 // d2 . : a = k. b : Sai ( S ) , Bước 2 : ta xét hệ :  x0 + a1 .t = x1 + b1 .t '   y 0 + a 2 .t = y1 + b2 .t ' (*);  z + a .t = z + b .t ' 0 3 1 3 Ta lấy 2 trong 3 phương trình ( * ), giải tìm được t và t’ , thế vào phương trình còn lại . Nếu Đ thì hệ ( * ) có đúng 1 nghiệm thì d1 cắt d2 .
Nếu S hệ ( * ) vô nghiệm thì d1 chéo d2 . Kết luận: Bài 2.1.b / Xét vị trí tương đối của đường thẳng Δ và mặt phẳng (α ), có phương trình :  x = x 0 + a1 .t  Δ :  y = y 0 + a 2 .t ; (1) ; (α ) : Ax + By + Cz + D =0 (2).  z = z + a .t  0 3 Cách giải : Gỉa sử Δ cắt (α ) tại M( x ; y ; z ) , thế tọa độ M ∈ (1 ) vào ( 2 ). A ( x0 + a1.t ) + B ( y0 + a2 . t ) + C( z0 + a3 .t ) = 0 ( 3 ) . Nếu : + Phương trình ( 3 ) có 1 nghiệm t , thì Δ cắt (α ). + Phương trình ( 3 ) có vô số nghiệm t , thì Δ ⊂ (α ). + Phương trình ( 3 ) vô số nghiệm t , thì Δ // (α ). Bài 2.1.c / Xét vị trí tương đối của mặt phẳng ( α ) và mặt cầu ( S ), có phương trình : (α ) : Ax + By + Cz + D = 0 . (1) 2 2 2 (S): x + y + z – 2ax + 2by + 2cz + D = 0 . ( 2 ) Cách giải : Bước 1 : Tìm tọa độ tâm I ( a ; b ; c ) và bán kính R của mặt cầu ( S ); ( bài toán 1.2/ ). Bước 2 : Tìm khoảng cách từ tâm I đến mặt phẳng ( α ) : A.a + B.b + C.c + D d(I ; (α )) = =m. 2 A2 + B 2 + C Bước 3 : So sánh và kết luận : Nếu m > R : mặt phẳng (α ) không cắt mặt cầu (S) . Nếu m = R , mặt phẳng (α ) tiếp xúc mặt cầu (S) . Nếu m < R , mặt phẳng (α ) cắt mặt cầu (S) theo thiết diện là đường tròn ( C ), Tâm H, bán kính r = IH . Trong đó H là hình chiếu I trên (α ). Áp dụng : Bài tập 5, trang 92. Đề thi TN THPT 4a.1 năm 2009. Đề thi CĐ Khối B năm 2010 . -------------------------------------------------------------------------------------------- Dạng III : 1)Tìm hình chiếu vuông góc H của điểm M trên mặt phẳng (α) , 2)Trên đường thẳng Δ Bài : 3.1 : cho điểm M0(x0 ; y0 ; z0 ) . Tìm hình chiếu vuông góc H của M trên mặt phẳng (α ) : Ax + By + Cz + D = 0 . (1) Cách giải :
Gọi H (x ; y ; z ) là hình chiếu vuông góc của M trên mặt phẳng (α) . H ∈ (α) , và H ∈ MH vuông góc (α) . Đường thẳng MH đi qua điểm M0(x0 ; y0 ; z0 ) và vuông góc (α) , nên nhận véc tơ pháp  tuyến của (α) làm véc tơ chỉ phương a = n = (A ; B ; C):  x = x 0 + A.t  MH :  y = y 0 + B.t ( 2 ) ;  z = z + C.t  0 Thay ( 2 ) vào ( 1 ) ta tìm được t , thay vào ( 2 ) ta tìm được tọa độ H. Áp dụng Bài tập 8 trang 91 sgk ; Bài 9 trang 93 sgk . Đề thi CĐ Khối B năm 2010 Bài : 3.2 : cho điểm M0(x0 ; y0 ; z0 ) . Tìm hình chiếu vuông góc H của M trên đường thẳng Δ có phương trình :  x = x 0 + a1 .t  Δ :  y = y 0 + a 2 .t (1);  z = z + a .t  0 3 Cách giải : Gọi H (x ; y ; z ) là hình chiếu vuông góc của M trên đường thẳng Δ: H ∈ Δ . . H ∈ (α ) qua M0 , và (α ) vuông góc đường thẳng Δ . Mặt phẳng (α ) đi qua điểm M0(x0 ; y0 ; z0 ) và vuông góc (α) , nên nhận véc tơ véc tơ chỉ  n = a = (a1 ; a2 ; a3) . phương a = (a1 ; a2 ; a3) của Δ làm véc tơ pháp tuyến của (α) : Ta có (α) : a1(x – x0 ) + a2 (y – y0 ) + a3(z – z0 ) = 0 ( 2 ). Thế ( 1) vào ( 2 ) , ta tìm được t . Thế t vào ( 1 ) ta tìm được toa độ H. Kết luận . Áp dụng Bài tập 7 trang 91 sgk ; Bài 12 trang 93 sgk . --------------------------------------------------------------------------------------------- Dạng IV : Bài toán tổng hợp : Cho 4 điểm : A(xA ; yA ; zA ) , B(xB ; yB ; zB ) , C(xC ; yC ; zC ). D(xD ; yD ;zD ). 1) Viết phương trình mặt phẳng ( ABC ) . 2) Tính góc A, B của tam giác ABC. 3) Tính diện tích tam giác ABC . 4) Chứng minh D.ABC là tứ diện. Tính thể tích hình chóp D.ABC . Cách giải : 1) Bài toán 2.1/ Chú ý a) ( a1 .b1 + a 2 .b2 + a3 .b3 . AB.. AC 2) Ta có cosA = = = m. . a12 + a 2 + a3 . .b1 . + b2 + b33 . 2 2 1 2 AB. AC Sử dụng MTCT tính góc A.
1 AB . AC . sinA .( kết quả ở 2) ) 3) SABC = 2 4) Thế tọa độ D(xD ; yD ; zD ) vào (α ) : Ax + By + Cz + D = 0 (1). AxD + ByD + CzD + D = 0 ⇔ m = 0 : Sai ( S), ta có D ∉ (ABC). Kết luận D.ABC là tứ diện. 1 Gọi : VD.ABC là thể tích tứ diện D.ABC . Ta có : VD.ABC = Sđ. h. 3 1 ( Với Sđ = SABC = AB . AC . sinA , 2 m ). Ta có thể tích cần tìm. h = d(D,(ABC))= . a12 + a 2 + a3 . .b1 . + b22 + b33 . 2 2 1 ****** ÔN TẬP CHỦ ĐỀ VI SỐ PHỨC TRONG CÁC ĐỀ THI: A/ TỐT NGHIỆP THPT 1. Bài 1 : Giải phương trình : 2x – 5x + 4 = 0 . trên tập số phức. 2 5 7 5 7 ; Đáp số : x1 = TN THPT Năm : 2006 i ; x2 = − i. + 4 4 44 2. Bài 2: Giải phương trình : x2 -4x + 7 = 0 . trên tập số phức. TN THPT Năm : 2007 (lần 1) ; Đáp số : x1 = 2 + i 3 ; x2 = 2 - i 3 . 3. Bài 3: Giải phương trình : x2 – 6x +25 =0 . trên tập số phức. TN THPT Năm : 2007 (lần 2.) ; Đáp số : x1 = 3 + 4i ; x2 = 3 - 4i .
4. Bài 4 : Tìm giá trị biểu thức : P = ( 1 + i 3 )2 + ( 1 - i 3 )2 . TN THPT Năm : 2008 ( lần 1) ; Đáp số P = 4 . 5. Bài 5: Giải phương trình : x2 - 2x + 2 = 0 . trên tập số phức. TN THPT Năm : 2008 ( lần 2 ) ; Đáp số : x1 = 1 + i ; x2 = 2 + i . 6. Bài 6: Giải phương trình : 8z2 – 4z + 1 ; Trên tập số phức. 11 11 +i −i TN THPT Năm : 2009 ( Cơ bản ) ; Đáp số : z1 = ; z2 = 44 44 7. Bài 7: Giải phương trình : 2z2 – iz + 1 = 0 trên tập số phức. 1 ; Đáp số : z1 = i ; z2 = - TN THPT Năm : 2009 (NC) i 2 8. Bài 8: Giải phương trình :2z2 + 6z + 5 = 0 ; trên tập số phức. 31 31 + i ; z2 = - − i TN THPT Năm : 2010 (GDTX) ; Đáp số : z1 =- 22 22 9. Bài 9 : Cho hai số phức: z1 = 1 + 2i , z2 = 2 – 3i . Xác định phần thực và phần ảo của số phức z1 -2z2 . TN THPT Năm : 2010 ( Cơ bản ) ; Đáp số : Phần thực : -3 ; Phần ảo : 8. 10. Bài 10 : Cho hai số phức: z1 = 2 + 5i , z2 = 3 – 4i . Xác định phần thực và phần ảo của số phức z1.z2 . TN THPT Năm : 2010 ( NC) ; Đáp số : Phần thực : 26 ; Phần ảo : 7. SỐ PHỨC TRONG CÁC ĐỀ THI: CAO ĐẲNG, ĐẠI HỌC Bài 11 : Gọi z1 , z2 là 2 nghiệm phức của phương trình z2 + 2z + 10 = 0. 2 2 Tính giá trị của biểu thức A = z1 + z 2 . ĐH Khối A – 2009 (CB) . Đáp số : A = 20. Bài 12 : Tìm số phức z thỏa mãn z − (2 + i) = 10 và : z.z = 25 . ĐH Khối B – 2009 (CB) . Đáp số : z = 3 + 4i và z = 5 . Bài 13: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tìm tập hợp điểm biểu diễn các số phức z thỏa mãn điều kiện : z − (3 + 4i) = 2 . ĐH Khối D – 2009 . Đáp số : Đường tròn tâm I(3 ; 4 ), bán kính R =2 . Bài 14 : Cho số phức z thỏa mãn : (1 + i)2.(2 – i)z = 8 + I + (1 – 2i )z . Xác định phần thực , phần ảo của Z .