Phần thứ nhất LÝ THUYẾT VÀ CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TẤM

Chia sẻ: Ho Van Khanh | Ngày: | Loại File: DOC | Số trang:13

Thêm vào BST

Báo xấu

124
lượt xem 23
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Chương 1 LÝ THUYẾT TÍNH TẤM CHỊU UỐN Tấm là vật thể hình khối có chiều cao h (chiều dày) rất nhỏ so với hai kích thước còn lại h

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Phần thứ nhất LÝ THUYẾT VÀ CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TẤM

PhÇn thø nhÊt Lý thuyÕt vµ c¸c ph¬ng ph¸p tÝnh tÊm Ch¬ng 1 Lý thuyÕt tÝnh tÊm chÞu uèn TÊm lµ vËt thÓ h×nh khèi cã chiÒu cao h (chiÒu dµy) rÊt nhá so víi hai kÝch thíc cßn l¹i h
2. Khi tÊm chÞu uèn, chuyÓn vÞ ngang trªn mÆt ph¼ng trung b×nh b»ng kh«ng u ( x , y ,0 ) = v( x , y ,0 ) = 0 . 3. PhÇn tö th¼ng m-n vu«ng gãc víi mÆt ph¼ng trung b×nh tríc biÕn d¹ng th× sau biÕn d¹ng vÉn th¼ng, vÉn vu«ng gãc víi mÆt ph¼ng trung b×nh vµ kh«ng thay ®æi ®é dµi. Tõ ®ã rót ra: ε z = γ xz = γ yz = 0 . Tõ c¸c gi¶ thiÕt cña Kirchhoff, chuyÓn vÞ u ( x, y, z ) ; v( x, y, z ) , biÕn d¹ng, øng suÊt, néi lùc ®îc x¸c ®Þnh qua chuyÓn vÞ w( x, y ) vµ bµi to¸n 03 chiÒu trë thµnh bµi to¸n 02 chiÒu. 1.1.2. C¸c ph¬ng tr×nh c¬ b¶n Nãi chung, bµi to¸n c¬ häc ®îc gi¶i trªn c¬ së 3 nhãm ph¬ng tr×nh c¬ b¶n: h×nh häc, vËt lý, c©n b»ng kÕt hîp víi c¸c ®iÒu kiÖn biªn. - Nhãm ph¬ng tr×nh h×nh häc biÓu thÞ quan hÖ gi÷a biÕn d¹ng vµ chuyÓn vÞ. - Nhãm ph¬ng tr×nh vËt lý biÓu thÞ quan hÖ gi÷a biÕn d¹ng vµ øng suÊt. - Nhãm ph¬ng tr×nh c©n b»ng biÓu thÞ ®iÒu kiÖn c©n b»ng (tÜnh, ®éng) cña ph©n tè hoÆc toµn hÖ. 1. Ph¬ng tr×nh h×nh häc XÐt tÊm máng cã chiÒu dµy h=const, vËt liÖu ®µn håi tuyÕn tÝnh. T¸ch tõ tÊm mét ph©n tè VCB cã c¸c c¹nh dx, dy, h×nh 1-2. H×nh 1-2. BiÕn d¹ng cña ph©n tè tÊm ∂w( x, y, z ) Theo lý thuyÕt ®µn håi vµ gi¶ thiÕt 3: ε z = = 0 . Tõ ®ã rót ra ∂z theo chiÒu dÇy tÊm: w( x, y, z ) = w( x, y ) = cosnt (1.1) 2
Tõ gi¶ thiÕt 2 vµ 3, chuyÓn vÞ u ( x, y, z ) , v( x, y, z ) t¹i ®iÓm K bÊt kú c¸ch mÆt trung b×nh kho¶ng c¸ch z ®îc biÓu diÔn qua chuyÓn vÞ w( x, y ) , h×nh 1-3, cã d¹ng: ∂w( x, y ) u ( x, y , z ) = − z . (1.2) ∂x ∂w( x, y ) v( x , y , z ) = − z . (1.3) ∂y H×nh 1-3. X¸c ®Þnh chuyÓn vÞ ngang qua chuyÓn vÞ ph¸p tuyÕn C¸c thµnh phÇn biÕn d¹ng cña tÊm ®îc x¸c ®Þnh theo c«ng thøc: ∂u (x,y,z) ∂ 2 w ( x,y) εx = = − z. = z.k x (1.4) ∂x ∂x 2 ∂v (x,y,z) ∂ 2 w ( x,y) εy = = −z. = z.k y (1.5) ∂y ∂y 2 ∂v ( x,y,z) ∂u ( x,y,z) ∂ 2 w ( x,y) γ xy = β1 + β2 = + = −2.z. = z.k xy (1.6) ∂x ∂y ∂x∂y trong ®ã, k x , k y , k xy lµ ®é cong uèn vµ ®é cong xo¾n. ∂ 2 w( x, y ) ∂ 2 w( x, y ) ∂ 2 w( x, y ) kx = − ; ky = − ; k xy = −2 (1.7) ∂x 2 ∂y 2 ∂x∂y 2. Ph¬ng tr×nh vËt lý C¸c thµnh phÇn øng suÊt cña tÊm, ®îc x¸c ®Þnh theo lý thuyÕt ®µn håi víi c¸c thµnh phÇn biÕn d¹ng x¸c ®Þnh theo (1.4 ÷ 1.6), h×nh 1-4:  ∂2w ∂2w  σx = E (ε x + µε y ) = − E.z 2  2 +µ 2   ∂x (1.8) 1− µ 2 1− µ  ∂y   ∂2w ∂2w  σy = E (ε y + µε x ) = − E.z 2  2 +µ 2   ∂y (1.9) 1− µ 2 1− µ  ∂x  3
Ez ∂ 2 w τ xy = τ yx = Gγ xy = − (1.10) ( 1 + µ ) ∂x∂y trong ®ã: E - m« ®un ®µn håi cña vËt liÖu; µ - hÖ sè Poisson; G - m« ®un trît cña vËt liÖu. E G= (1.11) 2(1 + µ ) H×nh 1-4 vµ 1-5 C¸c thµnh phÇn øng suÊt vµ m« men §èi víi kÕt cÊu tÊm thêng x¸c ®Þnh néi lùc: m« men uèn M x , M y , m« men xo¾n M xy , lùc c¾t Q x , Q y thay cho x¸c ®Þnh øng suÊt. M« men uèn vµ m« men xo¾n ph©n bè trªn mét ®¬n vÞ chiÒu dµi x¸c ®Þnh qua øng suÊt ®îc x¸c ®Þnh b»ng biÓu thøc, h×nh 1-5: h/2  ∂2w ∂2w  Mx = ∫ −h / 2 z.σ x dz = − D p  2 + µ 2   ∂x  ∂y  (1.12) h/2  ∂2w ∂2w  M y = ∫ z.σ y dz = − D p   2 +µ 2  (1.13) −h / 2  ∂y ∂x  h/2 ∂2w M xy = M yx = ∫ z.τ xy dz = − D p (1 − µ ) (1.14) −h / 2 ∂x∂y trong ®ã: D p - ®é cøng trô. 4
E.h 3 Dp = (1.15) ( 12 1 − µ 2 ) víi: h - chiÒu dµy tÊm; BiÓu diÔn m« men uèn vµ m« men xo¾n (1.12 ÷ 1.14) díi d¹ng ma trËn qua ®é cong uèn vµ ®é cong xo¾n: { M } = [C f ]{ k c } (1.16) trong ®ã: { M } = {M x My M xy T } (1.17) { k c } = {k x ky } k xy T (1.18)     1 µ 0  1 µ 0  [C ] = 12(1 − µ ) 3 Eh µ  = D µ 1 0 1 0  (1.19) f 2  1− µ  p  1− µ  0 0  0 0   2   2  Lùc c¾t ph©n bè trªn mét ®¬n vÞ chiÒu dµi Q x , Q y lµ hîp lùc cña øng suÊt τ zx , τ zy do biÕn d¹ng uèn g©y ra ®îc x¸c ®Þnh tõ ®iÒu kiÖn c©n b»ng. C¸c thµnh phÇn néi lùc cña tÊm ®îc biÓu diÔn trªn h×nh 1.6. H×nh 1-6. C¸c thµnh phÇn néi lùc cña tÊm 3. Ph¬ng tr×nh c©n b»ng XÐt c©n b»ng cña mét ph©n tè tÊm díi t¸c dông cña c¸c thµnh phÇn néi lùc vµ ngo¹i lùc ph©n bè q( x, y ) , h×nh 1-6. ChiÕu c¸c lùc lªn trôc OZ vµ gi¶n íc cho dxdy : 5
∂Q x ∂Q y + + q( x , y ) = 0 (1.20) ∂x ∂y LÊy tæng m« men ®èi víi trôc x, y vµ bá qua c¸c ®¹i lîng VCB bËc cao, gi¶n íc cho dxdy : ∂M x ∂M xy − − + Qx = 0 (1.21) ∂x ∂y ∂M y ∂M xy − − + Qy = 0 (1.22) ∂y ∂x Tõ (1.21 ÷ 22) vµ kÕt hîp víi m« men uèn vµ m« en xo¾n biÓu diÔn qua hµm mÆt vâng w( x , y ) theo (1.12 ÷ 14), lùc c¾t Q x , Q y ®îc x¸c ®Þnh b»ng c«ng thøc: ∂ 2 Qx = − D p ∇ w( x , y ) ; (1.23) ∂x ∂ Qy = − D p ∇ 2 w( x , y ) (1.24) ∂y víi ∇ 2 lµ to¸n tö Laplat ∂2 ∂2 ∇2 = + (1.25) ∂x 2 ∂y 2 Thay (1.23), (1.24) vµo (1.20) vµ chó ý ®Õn (1.12 ÷ 14), ph¬ng tr×nh c©n b»ng cña tÊm cã d¹ng: ∂4w ∂4 w ∂ 4 w q( x , y ) +2 2 2 + 4 = (1.26) ∂x 4 ∂x ∂y ∂x Dp Ph¬ng tr×nh nµy gäi lµ ph¬ng tr×nh Sophi-Giecman. 1.2. tÝnh tÊm chÞu uèn theo lý thuyÕt Reissner-mindlin 1.2.1 Gãc xoay cã kÓ ®Õn biÕn d¹ng trît Khi tÝnh tÊm chÞu uèn theo lý thuyÕt Kirchhoff ®· bá qua biÕn d¹ng c¾t ( γ zx = γ zy = 0 ) vµ c¸c thµnh phÇn biÕn d¹ng, øng suÊt, néi lùc ®îc x¸c ®Þnh qua chuyÓn vÞ w( x, y ) . Khi tÝnh tÊm dÇy hoÆc tÊm Sandwich cÇn ph¶i kÓ ®Õn biÕn d¹ng c¾t nµy. Gi¶ thiÕt cña Mindlin kh¸c víi gi¶ thiÕt Kirchhoff lµ: phÇn tö th¼ng m- n vu«ng gãc víi mÆt ph¼ng trung b×nh tríc biÕn d¹ng th× sau biÕn d¹ng kh«ng nhÊt thiÕt ph¶i vu«ng gãc víi mÆt ph¼ng trung b×nh vµ gãc xoay 6
θ x , θ y tÝnh theo lý thuyÕt Kirchhoff ®îc bæ sung mét lîng b»ng gãc xoay cña c¸c ph¸p tuyÕn quanh c¸c trôc x vµ y lµ φx (t¹i tiÕt diÖn x = const ), φ y (t¹i tiÕt diÖn y = const ) do lùc c¾t g©y ra, h×nh 1.7. ∂w θy = − + φx (1.27) ∂x ∂w −θ x = − + φy (1.28) ∂y H×nh 1-6 Gãc xoay ph¸p tuyÕn 1- §êng th¼ng ®øng; 2. VÞ trÝ ph¸p tuyÕn cña ®êng th¼ng ®øng 3. VÞ trÝ nghiªng cña ®êng th¼ng ®øng 4. TiÕp tuyÕn víi mÆt trung b×nh; 5. MÆt trung b×nh Tõ (1.27 ÷ 1.28), gãc xoay cña c©c ph¸p tuyÕn: ∂w φx = θ y + (1.29) ∂x ∂w φ y = −θ x + (1.30) ∂y 1.2.2. BiÓu thøc néi lùc øng suÊt tiÕp τ zx vµ τ zy g©y ra do biÕn d¹ng c¾t φx , φ y ®èi víi tÊm ®¼ng híng x¸c ®Þnh b»ng c«ng thøc: τ xz  E 1 0  φx   =    (1.31) τ yz  2 ( 1 + µ ) 0 1  φ y  Lùc c¾t Q x , Q y ®îc x¸c ®Þnh b»ng c«ng thøc: 7
h/2 h/2 Qx = ∫ τ xz dz ; Q y = ∫ τ yz dz (1.32) −h / 2 −h / 2 Díi d¹ng ma trËn: Qx  Ehα 1 0  φx   = 0 1  φ  (1.33) Qy  2 ( 1 + µ )   y hay { Q} = [ Cs ] { φ} (1.34) trong ®ã: {Q} = {Q x Qy T } (1.35) { φ } = { φx φy } T (1.36) Ehα 1 0 [Cs ] = (1.37) 2(1 + µ ) 0 1   Víi α lµ hÖ sè hiÖu chØnh biÓu thÞ sù chèng vªnh cña mÆt c¾t ngang. Thêng α lÊy b»ng 5/6 nhng còng cã thÓ lÊy tõ gi¸ trÞ 2/3 ®èi víi mÆt c¾t kh«ng cã kh¶ n¨ng chèng vªnh ®Õn gi¸ trÞ 1 ®èi víi mÆt c¾t hoµn toµn cã kh¶ n¨ng chèng vªnh. Néi lùc m« men uèn M x , M y , m« men xo¾n M xy ®îc x¸c ®Þnh theo lý thuyÕt Kirchhoff vµ lùc c¾t Q x , Q y do biÕn d¹ng trît x¸c ®Þnh theo (1.34) díi d¹ng tæ hîp:  1 µ 0  0 0    M x   Eh   kx  3   0 0   M  12 1 − µ 2  µ 1 0    y  ( )  0 0 ( 1 − µ ) / 2    0 0      ky   M xy       k xy       =  −−−−−−−−−−−−−−−− −−−−   (1.38)  −−    − −   Qx   0 0 0 Eh α 0     0 0 0 φx      2( 1+ µ )  0 α      φ  Qy      y        hay { M }     C f  [ 0]  { kc }      =      (1.39)  { Q} 5 x1  [ 0]    [ C s ]  5 x 5  { φ } 5 x 1    8
trong ®ã φx , φ y x¸c ®Þnh theo (1.29 ÷ 30) vµ k x , k y , k xy x¸c ®Þnh theo c«ng thøc: ∂θ y ∂θ x ∂θ y ∂θ x kx = ; ky = − ; k xy = − (1.40) ∂x ∂y ∂y ∂x Cã thÓ biÓu diÔn (1.38 ÷ 1.39) t¬ng tù nh quan hÖ øng suÊt-biÕn d¹ng: {σ } p = [ C ] p {ε } p (1.41) Trong ®ã: {σ } p { = Mx My M xy Qx Qy T} (1.42) [C ] p =  [C f ] [ 0 ]   [ C ] s  5 x5 (1.43)  [0 ]  { ε } p = { kx k xy φx φ y } T ky (1.44) BiÓu diÔn {ε } p qua w , θ x , θ y T  ∂θ ∂θ ∂θ y∂θ ∂w ∂w  {ε } p =  y − x − x θy + −θx +  (1.45)  ∂x ∂y ∂y ∂x ∂x ∂y  1.3. ®iÒu kiÖn biªn 1.3.1. Biªn ngµm cøng §iÒu kiÖn biªn lµ chuyÓn vÞ vµ gãc xoay b»ng kh«ng. - t¹i x=0 vµ x=a ∂w w = 0 vµ =0 (1.46.1) ∂x - t¹i y=0 vµ y=b ∂w w = 0 vµ =0 (1.46.2) ∂y 1.3.2. Biªn tùa khíp §iÒu kiÖn biªn lµ chuyÓn vÞ vµ m« men uèn b»ng kh«ng. - t¹i x=0 vµ x=a  ∂2w ∂2w  ∂2w w = 0 vµ M x = − D p  2 + ν 2  = 2 = 0 (1.47.1)  ∂x ∂y  ∂x   - t¹i y=0 vµ y=b  ∂2w ∂2w  ∂2w w = 0 vµ M y = − D p  2 + µ 2  = 2 = 0  ∂y (1.47.2)  ∂x  ∂y  9
1.3.3. Biªn tù do §iÒu kiÖn biªn tù do, vÝ dô t¹i y=b, h×nh 1.7, m« men uèn M y , m« men xo¾n M xy , lùc c¾t Q y b»ng kh«ng: ( M y ) y = b = ( M xy ) y = b = (Q y ) y = b = 0 Song ph¬ng tr×nh vi ph©n mÆt uèn cña tÊm (1.26) lµ ph¬ng tr×nh vi ph©n cÊp 4 nªn chØ cÇn 02 ®iÒu kiÖn biªn trªn mçi c¹nh lµ ®ñ x¸c ®Þnh nghiÖm. Kirchhoff ®· gép hai ®iÒu kiÖn biªn M xy vµ Q y thµnh mét ®iÒu kiÖn. Trªn biªn tù do y=b lÊy 03 ®iÓm a, b, c víi kho¶ng c¸ch b»ng dx. H×nh 1.7 §iÒu kiÖn biªn tù do ∂M xy T¹i D1 m« men xo¾n lµ M xy , t¹i D2 m« men xo¾n lµ M xy + dx ∂x (D1 vµ D2 lµ ®iÓm gi÷a cña c¸c ®o¹n ab vµ ac). C¸c m« men nµy cã thÓ biÓu diÔn díi d¹ng c¸c lùc tËp trung ngîc chiÒu nhau. Gi¸ trÞ cña c¸c lùc ∂M xy tËp trung t¹i ®Çu c¸c ®o¹n ab vµ bc lµ T1 = M xy vµ T2 = M xy + dx . ∂x ∂M xy ChiÕu c¸c lùc tËp trung t¹i ®iÓm b lªn ph¬ng OZ: ∆Q y = T2 − T1 = dx , ∂x v× ∆Q y lµ lùc tËp trung nªn sau khi chia cho dx ®îc lùc ph©n bè ∂M xy ∆Q y = . Nh vËy, ®iÒu kiÖn biªn khi kÕt hîp Q y , M xy cã d¹ng: ∂x - t¹i biªn x = 0 vµ x = a : 10
∂2w ∂2w ∂3w ∂ 3w Mx = + µ 2 = 0 ; Qx = 3 + ( 2 − µ ) =0 (1.48.1) ∂x 2 ∂y ∂x ∂x∂y 2 - t¹i biªn y = 0 vµ y = b : ∂2w ∂2w ∂3w ∂3w My = + µ 2 = 0 ; Qy = 3 + ( 2 − µ ) =0 (1.48.2) ∂y 2 ∂x ∂y ∂y∂x 2 1.3.4. Biªn tùa ®µn håi VÝ dô dÇm ®ãng vai trß lµ biªn tùa ®µn håi. XÐt ®iÒu kiÖn biªn t¹i x=a, h×nh 1.8, ®iÒu kiÖn biªn t¬ng thÝch gi÷a dÇm vµ tÊm cã d¹ng: 1. §iÒu kiÖn biªn thø nhÊt §é vâng cña dÇm b»ng ®é vâng cña tÊm. §é vâng cña dÇm g©y ra do t¶i träng ph©n bè lµ lùc c¾t t¬ng ®¬ng Q x cña tÊm. Ngµm DÇm H×nh 1.8 Biªn tùa ®µn håi Do vËy: ∂4w ∂3w ∂2w  EJ x =a = Dp  3 + (2 − µ)  (1.49.1) ∂y 4  ∂x ∂x∂y 2  x = a 2. §iÒu kiÖn biªn thø hai M« men xo¾n cña dÇm b»ng m« men uèn M x cña tÊm. ∂  ∂2w   ∂2w ∂2w  − GJ p   = Dp  2 + µ 2  (1.49.2) ∂y  ∂x∂y  x = a    ∂x  ∂y  x =a  NÕu dÇm kh«ng chÞu xo¾n:  ∂2w ∂2w   2 +µ 2  =0 M x = Dp  (1.49.3)  ∂x ∂y  x =a  11
1.4. ThÕ n¨ng toµn phÇn cña tÊm chÞu uèn ThÕ n¨ng toµn phÇn Π cña tÊm chÞu uèn b»ng tæng thÕ n¨ng biÕn d¹ng cña néi lùc vµ ngo¹i lùc khi hÖ chuyÓn tõ tr¹ng th¸i ban ®Çu kh«ng biÕn d¹ng sang tr¹ng th¸i biÕn d¹ng. ThÕ n¨ng biÕn d¹ng cña néi lùc ®îc ®o b»ng c«ng cña néi lùc U . C«ng néi lùc lu«n lu«n d¬ng, b»ng nöa tÝch cña néi lùc (øng suÊt) trªn chuyÓn vÞ (biÕn d¹ng) t¬ng øng. ThÕ n¨ng cña ngo¹i lùc ®îc ®o b»ng c«ng cña ngo¹i lùc. C«ng cña ngo¹i lùc lu«n ©m (cã xu híng ng¨n c¶n biÕn d¹ng ®a hÖ vÒ tr¹ng th¸i c©n b»ng) b»ng tÝch cña ngo¹i lùc víi chuyÓn vÞ cña c¸c ®iÓm ®Æt lùc t¬ng øng. Π = U − ∫ ∫ .w.dxdy q (1.50) Khi kÓ ®Õn biÕn d¹ng trît: U = Ub +U s (1.51) trong ®ã: U b - n¨ng lîng do biÕn d¹ng uèn. U s - n¨ng lîng do biÕn d¹ng c¾t. N¨ng lîng U s do biÕn d¹ng c¾t ®îc x¸c ®Þnh b»ng c«ng thøc: 1 U s = α .G.S ∫∫ ( φx ) + ( φ y ) dxdy 2 2 2     (1.52) S thay φx vµ φ y theo (1.29 ÷ 1.30), ®èi víi tÊm ®¼ng híng, [12]: Eh3  24 ( 1 − µ 2 ) 1   ∂w 2   ∂w   2 Us =  α GS  ∫∫  +θy ÷ +  − θ x ÷  dxdy 24 ( 1 − µ 2 )  S  ∂x   ∂y 3  Eh  2     (1.53) Thay G theo (1.11) vµo (1.52): 6α ( 1 − µ )  ∂w   2 2 Eh3   ∂w Us = 24 ( 1 − µ ) 2 h2 ∫∫  ∂x + θ y ÷ +  ∂y − θ x ÷ dxdy S      (1.54)   N¨ng lîng biÕn d¹ng chÞu uèn cña tÊm ®¼ng híng ®îc x¸c ®Þnh b»ng c«ng thøc [12]: 12
Eh3  ∂θ  2   ∂ θ   ∂θ y   ∂ θ y  ( 1 − µ )  ∂θ x ∂ θ y   2 2  Ub = 24 ( 1 − µ 2 ) ∫∫  ∂xx ÷ + 2µ  ∂xx ÷ ∂y S     ÷+    ∂y  ÷ + 2  ∂y  + ÷  dxdy ∂x     (1.55) NÕu biÓu diÔn n¨ng lîng biÕn d¹ng qua néi lùc: U= 1 2 S ( T T ) ∫∫ { M } { kc } + { Q} { φ} dxdy (1.56.1) thay (1.16), (1.38) vµo (1.56.a): U= 1 2 S (   T ) ∫∫ { kc } C f  { kc } + { φ} [ Cs ] { φ} dxdy T (1.56.2) 13