zunia.vn

Tuyển sinh 2024 dành cho Gen-Z

zunia.vn

» Khoa Học Tự Nhiên

Phân tích Hóa học lượng tử

Chia sẻ: Nguyễn Xuân Phong | Ngày: | Loại File: DOC | Số trang:330

Báo xấu

217
lượt xem 49
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tài liệu Hóa học lượng tử có kết cấu nội dung gồm 10 chương, nội dung Tài liệu trình bày về phương trình sóng cổ điển và phương trình sóng độc lập thời gian của schrodinger, cơ học lượng tử của một số hệ đơn giản, dao động điều hòa một chiều, phương pháp huckel mở rộng,...

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Phân tích Hóa học lượng tử

Nhóm Cao Học Hóa Lý K18 Quy Nhơn Chương 1: PHƯƠNG TRÌNH SÓNG CỔ ĐIỂN VÀ PHƯƠNG TRÌNH SÓNG ĐỘC LẬP THỜI GIAN CỦA SCHRODINGER 11. Giới thiệu Việc áp dụng các nguyên lý của cơ học lượng tử cho các bài toán hóa học đã tạo nên cuộc cách mạng lớn trong lĩnh vực hóa học. Ngày nay sự hiểu biết của chúng ta về liên kết hóa học, hiện tượng quang phổ, độ hoạt động phân tử, và các vấn đề hóa học cơ bản khác đều dựa trên sự hiểu biết chi tiết về trạng thái của các electron trong nguyên tử và phân tử. Trong cuốn sách này chúng tôi sẽ mô tả chi tiết một số nguyên lý cơ bản, phương pháp, và kết quả của hóa lượng tử dẫn đến sự hiểu biết của chúng ta về trạng thái của electron. Trong những chương đầu tiên chúng ta sẽ thảo luận một số vấn đề đơn giản, nhưng quan trọng, đó là các hệ hạt. Điều này sẽ cho phép chúng ta giới thiệu nhiều khái niệm cơ bản và định nghĩa theo quan điểm của vật lý. Do đó, sẽ trang bị nền tảng mang tính hệ thống hơn trong chương 6. Trong chương đầu tiên này, chúng ta sẽ củng cố ngắn gọn một số khái niệm về vật lý cổ điển cũng như một số dấu hiệu ban đầu để thấy rằng vật lý cổ điển là không thể giải thích đầy đủ mọi hiện tượng (Những độc giả đã biết về vật lý sóng cổ điển và vật lý nguyên tử thì có thể chuyển đến mục 17). 12. Sóng 12.A. Sóng lan truyền Một ví dụ rất đơn giản của sự lan truyền sóng là việc quất một cái roi. Một xung lượng được truyền đến dây roi bởi một dao động duy nhất của tay cầm. Kết quả là một làn sóng được truyền đến cuối dây roi, chuyển năng lượng đến ở cuối khuy bấm của dây roi. Một ý tưởng của quá trình đã được phát họa trong hình 11. Hình dạng của sự nhiễu loạn trong dây roi được gọi là hình ảnh của sóng và thường được ký hiệu là ψ(x). Hình ảnh sóng truyền trong hình 11 cho thấy năng lượng tồn tại trong một khoảnh khắc nhất định. Nó cũng chứa đựng thông tin cần thiết để cho biết có bao nhiêu năng lượng đang được truyền đi, bởi vì chiều cao và hình dạng của sóng phản ánh sức mạnh khi cán roi được dao động. Hình 11: Sự quất roi. Theo thời gian, sự nhiễu loạn di chuyển từ trái sang phải dọc theo dây roi mở rộng. Trên mỗi đoạn của roi dao động lên và xuống như nhiễu loạn trôi qua, cuối cùng trở lại vị trí cân bằng. Nét đặc trưng thường thấy của tất cả sự truyền sóng trong vật lí cổ điển là năng lượng thay đổi khi truyền qua môi trường. Môi trường chính nó truyền qua không dịch chuyển vĩnh viễn, nó chỉ đơn thuần là truyền dao động như sự nhiễu loạn trôi qua. 1
Nhóm Cao Học Hóa Lý K18 Quy Nhơn Một trong những điều quan trọng nhất của hàm sóng trong vật lí là hàm sóng điều hòa, với hình ảnh sóng là một hàm sin. Hàm sóng điều hòa tại một thời điểm được phát thảo trong hình 12. Sự dịch chuyển lớn nhất của sóng từ vị trí dừng gọi là biên độ sóng, và bước sóng λ là khoảng cách cần thiết sóng truyền trong một chu kỳ để hoàn thành một dao động. Mỗi hàm sóng là kết quả của dao động điều hòa ở cuối mỗi dây căng. Tương tự, sóng được sinh ra trên mặt hồ yên tĩnh bởi một dao động nhấp nhô hay trong không khí bởi sự rung động âm thoa. Tại thời điểm miêu tả trong hình 12, hình ảnh sóng được mô tả bởi phương trình ψ(x) = A sin(2π x/λ) (11) (ψ = 0 khi x = 0, và các đối số của hàm sin đi từ 0 → 2π, bao gồm một dao động hoàn thành như x đi từ 0 đến λ). Ta giả sử rằng trong hình 12 liên quan tại thời điểm t = 0 vận tốc của sự nhiễu loạn trung bình là c. Sau đó tại thời điểm t, khoảng cách truyền là ct, hình ảnh sóng chuyển sang đúng bằng ct và được đặc trưng bởi: Ψ (x, t ) = A sin[(2π/λ)(x − ct )] (12) Hình 12: Một hàm sóng điều hòa tại một thời điểm. A là biên độ và λ là bước sóng. Hàm Ψ được dùng phân biệt hàm phụ thuộc thời gian (12) và không phụ thuộc thời gian (11). Tần số ν của hàm sóng là số lần của đại lượng sóng đó lặp đi lặp lại từng đi qua một điểm trong mỗi đơn vị thời gian. Trong hàm sóng điều hòa của chúng ta, tần số là khoảng cách sóng truyền trong một đơn vị thời gian c được chia nhỏ bởi chiều dài của một đơn vị sóng. Do đó, ν = c/λ (13) Lưu ý các sóng được mô tả bởi công thức Ψ ' (x, t ) = A sin[(2π/λ)(x − ct ) + ε] (14) là tương tự hàm Ψ của phương trình (12) trừ đi phần được thay thế. Nếu ta so sánh hai hàm ở tại cùng một thời điểm cụ thể, chúng ta thấy hàm Ψ ' được chuyển dời về bên trái hàm Ψ bởi ελ/2π. Nếu ε = π, 3π …, sau đó Ψ ' được chuyển dời bởi λ/2, 3λ/2, . . . và hai hàm đó được xem là lệch pha. Nếu ε = 2π, 4π …, thì d ẫ n đ ế n là λ, 2λ, . . . và hai hàm đó được gọi là cùng pha. ε được gọi là nhân tố pha của hàm Ψ ' và Ψ . Ngoài ra, chúng ta có thể so sánh hai hàm tại một thời điểm x, trong trường hợp nhân tố pha là nguyên nhân để hai hàm thay đổi trong một thời gian. 12.B. Sóng đứng Trong các vấn đề mà vật lí quan tâm, môi trường thường chịu những tác động chủ quan,. Ví dụ, một dây sẽ dừng và chúng có thể bị giữ chặt 2 đầu dây đàn, vì thế chúng không thể dao động khi sự nhiễu loạn đến. Trong những trường hợp như vậy, xung lượng không thể vượt qua. Xung lượng không thể được hấp thụ bởi cơ chế buộc chặt nếu nó đi ngược lại. Sóng phản xạ đang đi vào mặt trước của sóng chính và sự chuyển động của dây là đáp ứng yêu cầu đặt trên nó hai sóng đồng thời: 2
Nhóm Cao Học Hóa Lý K18 Quy Nhơn Ψ (x, t ) = Ψ primary (x, t ) + Ψ reﬂected (x, t ) (15) Khi sóng chính và sóng phản xạ có cùng tốc độ và biên độ thì ta có thể viết Ψ (x, t ) = A sin [(2π/λ)(x − ct )] + A sin [(2π/λ)(x + ct )] = 2A sin(2π x/λ) cos(2π ct /λ) (16) Công thức này mô tả sóng đứng – một loại sóng không xuất hiện khi truyền qua môi trường, nhưng xuất hiện và dao động tại chỗ. Phần đầu tiên của hàm phụ thuộc vào biến x. Khi hàm sin không tồn tại thì hàm Ψ sẽ không tồn tại bất kể giá trị của t. Điều này có nghĩa rằng có những nơi hình ảnh sóng không dao động. Những chỗ như vậy gọi là nút. Giữa các nút hàm sin(2π x/λ) là hữu hạn. Qua thời gian hàm sin dao động giữa cộng và trừ là thống nhất. Nghĩa là hàm Ψ dao động giữa cộng và trừ giá trị sin(2π x/λ). Chúng ta nói rằng x là phần phụ thuộc của hàm cho bởi khoảng cách lớn nhất của sóng đứng, t là phần độc lập điều chỉnh chuyển động của môi trường qua lại giữa những vị trí. Một sóng đứng với một nút trung tâm như hình 13. Hình 13: Một sóng đứng trên sợi dây buộc chặt tại x = 0 và x = L. Bước sóng λ thì bằng L. Phương trình 16 được viết lại như sau Ψ (x, t ) = ψ(x) cos(ωt ) (17) Trong đó, ω = 2πc/λ (18) ψ(x) được gọi là hàm biên độ và ω là yếu tố tần số. Chúng ta hãy xem xét cách năng lượng được lưu trữ trong các dây rung được mô tả trong hình 13. Trên đoạn dây tại trung tâm nút và điểm bị buộc ở cuối mỗi đoạn dây thì không chuyển động. Do đó, trong suốt thời gian này, động năng bằng không. Hơn nữa, khi chúng không dịch chuyển vị trí cân bằng của chúng, thế năng luôn giống nhau và bằng 0. Do đó, tổng năng lượng dự trữ tại những đoạn này luôn bằng 0 với điều kiện dây tiếp tục dao động trong mô hình đã được chỉ ra. Động năng cực đại và thế năng được kết hợp với những đoạn nằm ở đỉnh sóng và thung lũng (được gọi là bụng sóng) bởi vì mỗi phần có một giá trị vận tốc trung bình lớn nhất và thay đổi qua vị trí cân bằng. Một sự khảo sát chi tiết toán học chỉ ra rằng, tổng năng lượng của mỗi đoạn dây thì tỉ lệ thuận với ψ(x)2 (phần 17). 13. Phương trình sóng cổ điển Đây là m ộ t đi ề u đ ể v ẽ v ề b ứ c tranh c ủ a m ộ t hàm sóng và mô t ả nh ữ ng thu ộ c tính c ủ a nó, và hoàn toàn khác đ ể d ự đoán các lo ạ i sóng s ẽ là k ế t qu ả t ừ s ự nhi ễ u lo ạ n trong m ộ t h ệ th ố ng c ụ th ể. Đ ể làm đ ượ c nh ữ ng d ự đoán nh ư v ậ y, 3
Nhóm Cao Học Hóa Lý K18 Quy Nhơn chúng ta ph ả i xem xét các đ ị nh lu ậ t v ậ t lí mà môi tr ườ ng tuân theo. M ộ t đi ề u ki ệ n mà môi tr ườ ng ph ả i tuân theo là đ ị nh lu ậ t Newton v ề chuy ể n đ ộ ng. Ví d ụ , m ỗ i đo ạ n dây có kh ố i l ượ ng m ch ị u tác d ụ ng c ủ a l ự c F v ớ i gia t ố c F/m tuân theo đ ị nh lu ậ t 2 Newton. V ề m ặ t này, s ự chuy ể n đ ộ ng c ủ a sóng hoàn toàn phù h ợ p v ớ i chuy ể n đ ộ ng c ủ a h ạ t bình th ườ ng. Ở đi ề u ki ệ n khác, m ặ c dù, đ ặ c bi ệ t v ớ i sóng thì m ỗ i đo ạ n c ủ a môi tr ườ ng đ ượ c g ắ n v ớ i các đo ạ n bên c ạ nh, khi nó thay đ ổ i kéo theo các sóng bên c ạ nh cũng thay đ ổ i. Đi ề u này cung c ấ p c ơ ch ế theo đó các r ố i lo ạ n đ ượ c truy ề n d ọ c theo môi tr ườ ng. Hình 14: Đo ạ n dây d ướ i tác d ụ ng c ủ a l ự c căng T. Các l ự c ở m ỗ i đ ầ u c ủ a khúc dây này đ ượ c phân tách ra thành l ự c vuông góc và song song v ớ i x. Chúng ta xét m ộ t dây d ướ i tác d ụ ng c ủ a l ự c căng T. Khi dây thay đ ổ i qua v ị trí cân b ằ ng, l ự c này gây ra ph ả n l ự c tác d ụ ng tr ở l ạ i. Ví d ụ , quan sát m ộ t đo ạ n dây liên k ế t v ớ i kho ả ng x đ ế n x + dx ở hình 14. L ư u ý, l ự c gây ra ở hai đ ầ u c ủ a đo ạ n dây có th ể tách thành thành ph ầ n song song và vuông góc v ớ i tr ụ c x. Thành ph ầ n song song có tác d ụ ng kéo dài dây, thành ph ầ n vuông góc có tác d ụ ng tăng t ố c đ ộ dây đ ể h ướ ng dây đi qua v ị trí cân b ằ ng. T ạ i đi ể m cu ố i bên ph ả i c ủ a đo ạ n dây, thành ph ầ n vuông góc F tách b ở i thành ph ầ n n ằ m ngang v ớ i h ệ s ố góc T. Tuy nhiên, nh ữ ng sai l ệ ch nh ỏ c ủ a dây t ừ v ị trí cân b ằ ng làm cho các thành ph ầ n n ằ m ngang g ầ n nh ư b ằ ng nhau và b ằ ng chi ề u dài c ủ a vecto T. Đi ề u này có nghĩa r ằ ng đó là m ộ t x ấ p x ỉ t ố t nh ấ t đ ể vi ế t: H ệ s ố góc vecto T = F/T t ạ i x + dx (19) Nh ư ng h ệ s ố góc cũng đ ượ c xác đ ị nh b ở i đ ạ o hàm c ủ a hàm Ψ vì thế nó có thể viết Fx+dx = T (∂ ψ /∂ x)x+dx (110) Đầu kia của đoạn dây có một lực kéo theo hướng ngược lại vì thế chúng ta có thể viết Fx = −T (∂ ψ /∂ x)x (111) Lực vuông góc trên đoạn dây là hợp của hai lực này F = T[(∂ Ψ /∂ x)x+dx − (∂ Ψ /∂ x)x ] (112) 4
Nhóm Cao Học Hóa Lý K18 Quy Nhơn Sự khác nhau trong hệ số góc ở hai điểm nhỏ riêng biệt chia bởi dx là do đạo hàm bậc hai của một hàm. Do đó F = T ∂ 2ψ /∂ x 2 dx (113) Phương trình (113) cho biết lực trên mỗi đoạn dây. Nếu đoạn dây có khối lượng m trên mỗi đơn vị chiều dài thì mỗi đoạn có khối lượng mdx và phương trình Newton F = m.a có thể viết T ∂ 2 Ψ /∂ x 2 = m ∂ 2 Ψ /∂ t 2 (114) Ta nói gia tốc là đạo hàm bậc của vị trí theo thời gian. Phương trình (114) là phương trình sóng cho chuyển động trên đoạn dây đồng chất dưới tác dụng của lực T. Nó là bằng chứng cho thấy rằng, nguồn gốc của nó liên quan đến việc không có gì là cơ bản ngoài định luật II Newton và thực tế là hai đầu của khúc dây được liên kết với nhau bằng một lực kéo thông thường. Khái quát phương trình sóng trong không gian ba chiều 2 2 2 ψ ( x, y , z , t ) 2 ( 2 + 2 + 2 ) ψ ( x, y , z , t ) =β (115) x y z t2 Ở đây β là tổng hợp của một đại lượng vật lí cụ thể trong một hệ thống cụ thể. Quay lại ví dụ dây của chúng ta, phương trình (114) phụ thuộc thời gian. Giả sử chúng ta muốn giới hạn sự xem xét để sóng dừng có thể được tách thành hàm biên độ phụ thuộc thời gian và hàm điều hòa phụ thuộc thời gian. Khi đó Ψ (x, t ) = ψ(x) cos(ωt ) (116) và hàm khác trở thành d 2ψ ( x) m d 2 cos(ωt ) m cos(ωt ) 2 = ψ ( x ) 2 = − ψ ( x)ω 2 cos(ωt ) (117) dx T dt T hoặc chia hai vế cho cos(ωt ), d 2 ψ (x)/d x 2 = −(ω2 m/ T )ψ (x) (118) Đây là phương trình sóng cổ điển độc lập thời gian cho một đoạn dây. Chúng ta có thể thấy bằng cách kiểm tra các loại hàm ψ(x) phải thõa mãn phương trình (118). Ψ là một hàm như vậy, khi hai lần phân biệt được lặp lại với hệ số góc – ω2m/T. Một lời giải là ( ψ = Asin ω m / T x ) (119) Điều này cho thấy phương trình (118) có giá trị sin khác nhau như những thảo luận mục 1.2. So sánh phương trình (119) và (11) chỉ ra rằng 2π / λ = ω m / T . Thay quan hệ này vào (118) được d 2 ψ (x)/d x 2 = −(2π/λ)2 ψ(x) (120) Đây là một công thức hữu ích hơn cho các mục đích của chúng ta. Trong không gian ba chiều, hàm sóng cổ điển độc lập thời gian cho một môi trường đồng nhất và đẳng hướng là (∂ 2 /∂ x 2 + ∂ 2 /∂y 2 + ∂ 2 /∂ z2 )ψ (x, y, z) = −(2π/λ)2 ψ (x, y, z) (121) nơi λ phụ thuộc tính đàn hồi của môi trường. Sự kết hợp đạo hàm riêng ở bên trái của 5
Nhóm Cao Học Hóa Lý K18 Quy Nhơn phương trình (121) gọi là Laplacian và thường được đưa ra cách viết tắt biểu tượng ∇ 2. Phương trình ( 121) viết lại ∇ 2 ψ (x, y, z) = −(2π/λ)2 ψ (x, y, z) (122) 14. Sóng đứng trong một dây buộc hai đầu Bây giờ chúng ta chứng minh phương trình (120) có thể dùng dự đoán tính chất của sóng đứng trên một dây. Giả sử, dây buộc chặt tại x = 0 và L. Điều này có nghĩa dây không dao động tại các điểm đó. Về mặt toán học có nghĩa rằng ψ(0) = ψ (L) = 0 (123) Điều kiện như thế này gọi là điều kiện biên. Một câu hỏi đặt ra là "Hàm ψ thõa mãn ph ươ ng trình (120) và cũng có ph ươ ng trình (123) nh ư th ế n ào?". Chúng ta b ắ t đ ầ u tìm ph ươ ng trình t ổ ng quát nh ấ t c ủ a ph ươ ng trình (120). Chúng ta v ừ a có Asin( 2πx/λ) cũng là m ộ t gi ả i pháp. T ổ ng quát h ơ n c ả là s ự k ế t h ợ p tuy ế n tính ψ(x) = A sin(2π x/λ) + B cos(2π x/λ) (124) Bằng cách thay đổi A và B ta có thể nhận được các giá trị khác nhau của hàm ψ. Có hai nh ậ n xét đ ượ c th ự c hi ệ n vào th ờ i đi ể m này. Tr ướ c h ế t, m ộ t s ố b ạ n đ ọ c s ẽ th ấ y r ằ ng các hàm khác nhau t ồ n t ạ i và th ỏ a mãn ph ươ ng trình (120). Đó là Aexp(2πix/λ) và Aexp(2πix/λ) t ạ i i = −i . Lí do chúng ta không đ ư a ra các hàm chung (124) vì hai hàm mũ là t ươ ng đ ươ ng toán h ọ c v ớ i hàm l ượ ng giác. Quan h ệ đó là exp(±ikx) = cos(kx) ± i sin(kx). (125) Điều này có nghĩa rằng các hàm lượng giác có thể được biểu diễn dưới dạng hàm mũ và ngược lại. Do đó, tập hợp các hàm mũ và hàm lượng giác là không cần thiết và không linh hoạt bổ sung sẽ cho kết quả bằng cách bao gồm hàm mũ trong phương trình (124). Hai tổ hợp này là phụ thuộc tuyến tính. Nhận xét thứ hai là cho các giá trị A và B các hàm được mô tả bởi phương trình (124) là hàm sin duy nhất với bước sóng λ. Bằng cách thay đổi tỷ lệ A và B chúng ta làm cho hàm sóng chuyển sang trái hoặc phải liên quan đến bản chất của nó. Nếu A = 0 và B = 1 thì hàm số không có nút nào tại x = 0. Bây giờ chúng ta tiến hành bằng cách cho các điều kiện biên để xác định các hằng số A và B. Điều kiện tại x = 0 cho ψ(0) = A sin(0) + B cos(0) = 0 (126) Tuy nhiên, từ sin(0) = 0, cos (0) = 1 dẫn đến B = 0 (127) Vì vậy, từ điều kiện biên đầu tiên B = 0 dẫn đến ψ(x) = A sin(2π x/λ) (128) Điều kiện biên thứ hai tại x = L cho ψ (L) = A sin(2π L/λ) = 0 (129) Một giải pháp được đưa ra bằng cách thiết lập A = 0. Điều này dẫn đến ψ = 0 tương ứng không có sóng trên dây. Điều này có thể nhưng không phải là thú vị. Khả năng khác là cho 2π L/λ bằng 0, ±π , ±2π , …, ±n π … hàm sin sẽ biến mất sau đó. Điều này dẫn đến quan hệ 6
Nhóm Cao Học Hóa Lý K18 Quy Nhơn 2π L/λ = n, n = 0,±1, ±2, . . . (130) Hoặc λ = 2L/n, n = 0, ±1, ±2, . . . (131) Thay biểu thức λ vào phương trình (128) được ψ(x) = A sin(nπ x/L), n = 0, ±1, ±2, . . . (132) Một số lời giải được phát thảo hình 15. Lời giải cho n = 0 được lặp lại một lần nữa với trường hợp ψ = 0 thì không thú v ị . H ơ n n ữ a, t ừ sin(x)=sin(x), c ó nghĩa là t ậ p h ợ p các hàm cho b ở i s ố th ự c n không có tính v ậ t lí khác so v ớ i t ừ các hàm cho b ở i s ố th ự c –n, vì v ậ y chúng ta có th ể tùy thích gi ớ i h ạ n t ậ p trung gi ả i quy ế t v ấ n đ ề v ớ i giá tr ị n d ươ ng. (Hai b ộ n ày là ph ụ thu ộ c tuy ế n tính). H ằ ng s ố A v ẫ n không đ ượ c xác đ ị nh. Nó tác đ ộ ng đ ế n biên đ ộ c ủ a sóng. Đ ể xác đ ị nh A đòi h ỏ i ph ả i bi ế t bao nhiêu năng l ượ ng đ ượ c d ự tr ữ trong sóng, nghĩa là, làm th ế nào ng ắ t dây căng. Hi ể n nhiên có nhi ề u gi ả i pháp đ ượ c ch ấ p nh ậ n, m ỗ i m ộ t s ố kh ác nhau t ươ ng ứ ng v ớ i s ự phù h ợ p c ủ a n ử a sóng gi ữ a 0 và L. Tuy nhiên, m ộ t v ấ n đ ề l ớ n c ủ a sóng là lo ạ i tr ừ đi ề u ki ệ n biên, c ụ th ể t ấ t c ả các b ướ c sóng là không chia h ế t 2L m ộ t s ố nguyên l ầ n. K ế t qu ả c ủ a vi ệ c áp d ụ ng đi ề u ki ệ n biên là h ạ n ch ế các b ướ c sóng cho phép xác đ ị nh các giá tr ị r ờ i r ạ c. Nh ư chúng ta th ấ y, vi ệ c này liên quan ch ặ t ch ẽ đ ế n s ự l ượ ng t ử hóa c ủ a c ơ h ọ c l ượ ng t ử . Hình 15: Lời giải cho phương trình sóng độc lập thời gian trong điều kiện một chiều với điều kiện biên. Ví dụ, việc tìm ra ở trên là cực kỳ đơn giản. Tuy nhiên nó thể hiện như thế nào qua phương trình vi phân và điều kiện biên để xác định các thành phần của hệ. Chúng ta có thể đưa đến lời giải cho trường hợp này bằng lập luận vật lí đơn giản nhưng điều không thể áp dụng trong trường hợp phức tạp hơn. Phương trình vi phân cung cấp một phương pháp tiếp cận đối tượng để tìm ra lời giải khi các phương pháp vật lí là không đủ. 15. Ánh sáng như một sóng điện từ Giả sử một hạt tích điện được dao động điều hoà trên trục z. Nếu có một hạt tích điện khác cách đó không xa và lúc đầu đứng yên trong mặt phẳng xy, thì hạt thứ hai này cũng sẽ bắt đầu dao động điều hoà. Như vậy, năng lượng đang được chuyển từ hạt thứ nhất sang hạt thứ hai, điều đó chỉ ra rằng có một dao động điện trường phát ra từ hạt thứ nhất. Chúng ta có thể vẽ cường độ của điện trường này ở thời điểm tức thì bởi một loạt các thí nghiệm ảo mà điện tích truyền dọc theo một đường bắt đầu từ gốc và vuông góc với trục của dao động (Hình. 16). Nếu có một số từ tính xung quanh ở vùng lân cận của điện tích dao động, chúng sẽ dao động qua lại để chống lại sự nhiễu loạn. Điều đó có nghĩa rằng một từ trường dao động cũng được tạo ra bởi điện tích. Thay đổi vị trí của từ tính sẽ cho thấy trường này dao 7
Nhóm Cao Học Hóa Lý K18 Quy Nhơn động trong một mặt phẳng vuông góc với trục dao động của hạt mang điện. Điện trường và từ trường kết hợp di chuyển dọc theo một trục trong mặt phẳng xy xuất hiện trong Hình. 17. Sự thay đổi điện và từ trường lan truyền ra ngoài với một vận tốc c, và mô tả được như sóng lan truyền, gọi là sóng điện từ. Tần số v giống như tần số dao động của điện tích dao động, bước sóng là λ = c/ν. Ánh sáng nhìn thấy, bức xạ hồng ngoại, sóng radio, lò vi sóng, bức xạ tia cực tím, tia X, tia γ đều là sóng điện từ, chúng chỉ khác nhau về tần số ν. Chúng ta sẽ tiếp tục thảo luận trong bối cảnh của ánh sáng, hiểu biết rằng nó áp dụng cho tất cả các dạng bức xạ điện từ. Hình 16: Một sóng điện trường điều hòa phát ra từ một điện tích dao động. Độ lớn của sóng tỷ lệ thuận với lực gây ra bởi những điện tích thử nghiệm. Những điện tích chỉ tưởng tượng, nếu chúng thực sự tồn tại, chúng sẽ có khối lượng và gia tốc dưới sẽ hấp thụ năng lượng từ sóng, làm cho chúng yếu đi. Hình 17: Một trường điện từ điều hòa được gây ra bởi một dòng điện dao động. Các mũi tên mà không có điện tích chỉ hướng mà cực bắc của nam châm sẽ bị hút. Từ trường được định hướng vuông góc với điện trường. Nếu một chùm ánh sáng được tạo ra sao cho chiều điện trường luôn nằm trong cùng một mặt phẳng, ánh sáng được cho là mặt phẳng (hoặc đường thẳng) phân cực. Mặt phẳng phân cực ánh sáng trong hình. 17 được cho là phân cực z. Nếu mặt phẳng định hướng của sóng điện trường quay chiều kim đồng hồ hoặc ngược chiều kim đồng về trục di chuyển (ví dụ, như sóng điện trường "xoắn ốc" trong không gian), ánh sáng được gọi là phân cực tròn phải hoặc trái. Nếu ánh sáng là tổng hợp của sóng có trường định hướng ngẫu nhiên thì không có kết quả định hướng, ánh sáng không bị phân cực. Thí nghiệm với ánh sáng trong thế kỷ XIX và trước đó đã phù hợp với quan điểm cho rằng ánh sáng có tính chất sóng. Một trong những bằng chứng thí nghiệm rõ nét hơn xác minh điều này là các giao thoa tạo ra khi ánh sáng từ một nguồn được phép đi qua một cặp khe và sau đó cho hình ảnh. Các kết quả hình ảnh giao thoa này có thể hiểu chỉ về mặt cách xây dựng và giao thoa triệt tiêu sóng. Phương trình vi phân của Maxwell, trong đó cung cấp mối liên hệ giữa bức xạ điện từ và quy luật cơ bản của vật lý, cũng chỉ ra rằng ánh sáng là một làn sóng. 8
Nhóm Cao Học Hóa Lý K18 Quy Nhơn Nhưng có một số vấn đề vẫn còn tồn tại khiến các nhà vật lý bế tắt. Một là sự bất lực của lý thuyết vật lý cổ điển để giải thích cường độ và bước sóng ứng với sự bức xạ nhiệt của "vật thể đen". Vấn đề này đã được nghiên cứu bởi Planck, người mà đã kết luận rằng các hạt mang điện dao động tạo ra ánh sáng chỉ tồn tại trong một số trạng thái năng lượng tách biệt. Chúng ta sẽ không thảo luận về vấn đề này. Một bài toán khác có liên quan với giải thích của hiện tượng khám phá ra vào cuối những năm 1800, gọi hiệu ứng quang điện. 16. Hiệu ứng quang điện Hiện tượng này xảy ra khi vật chất hấp thụ ánh sáng và phát ra các electron . Nhiều kim loại thực hiện việc này khá dễ dàng. Một thiết bị đơn giản có thể được sử dụng để nghiên cứu hiện tượng này được mô tả trong sơ đồ hình 18. Ánh sáng chiếu tới bề mặt kim loại trong môi trường chân không. Nếu các electron bị đẩy ra, thì vài trong số đó sẽ đập vào dây tín hiệu, tạo ra sự lệch của điện kế. Trong thiết bị này, một hiệu điện thế có thể thay đổi giữa đĩa kim loại và dây tín hiệu, và cũng là cường độ và tần số của ánh sáng tới. Hình 18: Pin quang điện Giả sử rằng hiệu điện thế được thiết lập ở số không và có dòng điện chạy qua khi có ánh sáng ứng với một cường độ và tần số nhất định đập vào đĩa. Điều này có nghĩa rằng các electron được thoát ra từ các đĩa với động năng hữu hạn, cho phép chúng di chuyển đến dây. Nếu bây giờ dùng một điện thế hãm, các electron được phát ra với chỉ một động năng nhỏ sẽ không đủ năng lượng để vượt qua những điện thế chậm và sẽ không đi đến dây. Vì thế, dòng bị phát ra sẽ giảm. Điện thế hãm có thể được tăng dần cho đến khi ngay cả những quang điện mạnh nhất không có thể làm cho nó vào dây thu. Điều này cho phép tính toán động năng tối đa cho hiện tượng quang điện được gây ra bởi ánh sáng tới trên bề mặt kim loại mà đã đề cập. Từ kết quả nguyên cứu thực nghiệm cho những kết luật sau: 1. Dưới mức tần số giới hạn của ánh sáng tới, không có quang điện tử nào bật ra, bất kể cường độ ánh sáng mạnh đến thế nào. 2. Trên tần số giới hạn, số quang điện tử được giải phóng trong một đơn vị thời gian thì tỉ lệ thuận với cường độ bức xạ. 9
Nhóm Cao Học Hóa Lý K18 Quy Nhơn 3. Động năng cực đại của các quang điện tử được phóng ra tăng khi tần số bức xạ tăng. 4. Trong trường hợp cường độ bức xạ là rất thấp (nhưng tần số trên giá trị giới hạn) quang điện tử được phát ra từ các kim loại mà không phụ thuộc vào thời gian. Một số kết quả được tóm tắt đồ thị trong hình 19. Rõ ràng, các động năng của quang điện tử được cho bởi: Động năng = h (νν0) (133) trong đó h là một hằng số. Các tần số giới hạn ν0 phụ thuộc vào kim loại đang được nghiên cứu (và nhiệt độ của nó), nhưng độ dốc h là như nhau cho tất cả các chất. Chúng ta cũng có thể viết các động năng như: Động năng = năng lượng của ánh sáng năng lượng cần thiết để thoát khỏi bề mặt (134) Hình 19: Động năng cực đại của một quang điện tử như hàm của tần số ánh sáng tới, trong đó ν 0 là tần số tối thiểu để quang điện tử được thoát ra từ kim loại khi không có bất kỳ thế hãm hay thế tăng tốc nào. Đại lượng cuối cùng trong phương trình (134) thường được gọi là công thoát W của kim loại. Kết hợp phương trình (133) với (134) cho Năng lượng của ánh sáng W = hν hν0 (135) Thuật ngữ phụ thuộc vào vật liệu W đồng nhất với thuật ngữ phụ thuộc vào vật liệu hν0, theo đó: Năng lượng của ánh sáng ≡ E = hν (136) trong đó giá trị của h đã được xác định là 6.626176 × 1034 J.s. (Xem phụ lục 10 cho các đơn vị và các yếu tố chuyển đổi) Các nhà vật lý đã gặp khó khăn trong việc dung hòa những quan sát với lý thuyết trường điện từ cổ điển của ánh sáng. Ví dụ, nếu ánh sáng có một tần số và cường độ nhất định gây ra phát xạ của các electron có động năng tối đa nhất định thì cường độ ánh sáng gia tăng (tương ứng với một biên độ trường điện từ lớn hơn và mật độ năng lượng lớn hơn) sẽ sản xuất quang điện tử có năng lượng động lượng cao hơn. Tuy nhiên, nó chỉ tạo ra nhiều quang điện tử và không ảnh hưởng đến năng lượng của chúng. Một lần nữa, nếu ánh sáng là một sóng thì năng lượng được phân phối trên toàn bộ sóng và điều này có nghĩa là một cường độ ánh sáng thấp sẽ truyền năng lượng ở mức rất thấp đến diện tích bề mặt của một nguyên tử. Người ta có thể tính toán được sẽ mất nhiều năm cho một nguyên tử riêng lẻ để thu thập đủ năng lượng để đẩy một electron trong điều kiện như vậy. Người ta không thể quan sát được chu kỳ cảm ứng như vậy. Một lời giải thích cho những kết quả đã được đề xuất vào năm 1905 bởi Einstein, người đề xuất rằng ánh sáng tới được xem như là tập hợp các đơn vị riêng biệt của năng 10
Nhóm Cao Học Hóa Lý K18 Quy Nhơn lượng. Mỗi đơn vị như vậy, hay photon, sẽ có năng lượng liên kết của hν, với ν là tần số của bộ phát dao động. Tăng cường độ của ánh sáng sẽ tương ứng với tăng số lượng của các photon, trong khi tăng tần số của ánh sáng sẽ làm tăng năng lượng của các photon. Nếu chúng ta hình dung mỗi quang điện tử phát ra là kết quả từ một photon chiếu vào bề mặt kim loại, nó là khá dễ dàng để thấy rằng ý tưởng của Einstein là phù hợp với quan sát. Nhưng nó tạo ra một vấn đề mới: Nếu chúng ta hình dung ánh sáng như một dòng photon, làm thế nào chúng ta có thể giải thích tính chất sóng của ánh sáng, chẳng hạn như hình ảnh nhiễu xạ khe đôi? Ý nghĩa vật lý của sóng điện từ là gì? Về cơ bản, theo quan điểm cổ điển thì vấn đề này, bình phương của sóng điện từ ở bất kỳ điểm nào trong không gian là thước đo mật độ năng lượng tại điểm đó. Bình phương của sóng điện từ là một hàm biến đổi liên tục, và nếu năng lượng liên tục và có thể được chia vô hạn thì không có vấn đề gì đối với lý thuyết này. Nhưng nếu năng lượng không thể được chia thành một lượng nhỏ hơn một photon Nếu nó có bản chất gián đoạn chứ không phải liên tục thì lý thuyết cổ điển không thể áp dụng, bởi vì nó không thể tạo sự phân phối năng khác nhau từ các hạt năng lượng hơn là tại cấp độ vi mô có thể tạo ra sự phân bố mật độ xuất hiện trong chất khí từ nguyên tử vật chất. Einstein cho rằng bình phương của sóng điện từ tại một số điểm (có nghĩa là, tổng các bình phương của cường độ điện trường và từ trường) được xem như mật độ xác suất để tìm thấy một photon trong khoảng không gian xung quanh điểm đó. Bình phương của sóng ở một khu vực nào đó càng lớn thì xác suất để tìm kiếm các photon trong khu vực đó càng lớn. Như vậy, quan điểm cổ điển về năng lượng có xác định và phân phối thông suốt biến đổi được thay thế bằng ý tưởng về mật độ xác suất thuận lợi biến đổi để tìm kiếm một gói nhưng vât nho năng ̣ ̉ lượng. Chúng ta hãy tìm hiểu sự giải thích xác suất này trong bối cảnh của thí nghiệm giao thoa hai khe. Chúng ta biết rằng các mô hình của ánh sáng và bóng tối quan sát trên màn hình hòa hợp với hình ảnh cổ điển của giao thoa của sóng. Giả sử chúng ta thực hiện các thí nghiệm theo cách thông thường, ngoại trừ chúng ta sử dụng một nguồn ánh sáng (tần số ν) quá yếu đến nỗi chỉ có các đơn vị của năng lượng hν mỗi giây đi qua bộ máy và ghi lại trên màn hình. Theo hình ảnh cổ điển, lượng năng lượng nhỏ bé này sẽ ghi lại trên hình ảnh vô cùng mờ nhạt của toàn bộ hình ảnh nhiễu xạ. Trong vòng vài giây, mô hình này có thể được tích lũy (trên một tấm ảnh) và sẽ trở nên mạnh hơn. Theo quan điểm của Einstein, thí nghiệm của chúng ta tương ứng với truyền tải một photon mỗi giây và mỗi photon đập vào màn hình tại một điểm lân cận. Mỗi photon tấn công một vị trí mới (không tính đến các vị trí trùng nhau) và sau một thời gian dài, chúng tạo ra hình ảnh nhiễu xạ có thế quan sát được. Nếu chúng ta muốn biết trạng thái nơi photon tiếp theo sẽ xuất hiện, chúng ta không thể làm như vậy. Cách tốt nhất ta có thể làm là các photon kế tiếp có khả năng chiếu vào khu vực này hơn khu vực khác, xác suất tương đối được mô tả định lượng bằng bình phương của sóng điện từ. Nếu làn sóng chỉ cho chúng ta biết xác suất tương đối tìm thấy một photon tại một thời điểm này hay điểm khác, chúng ta có thể xem sóng có "thực tại vật lý", hoặc là nó chỉ đơn thuần là một công cụ toán học cho phép chúng ta phân tích phân bố photon, các photon là "thực tại vật lý" Chúng ta sẽ bàn luận về câu hỏi này trong phần nhiễu xạ điện tử. 11
Nhóm Cao Học Hóa Lý K18 Quy Nhơn Ví dụ 11: Một điện thế hãm có giá trị 2,38 vôn đủ để ngăn chặn một quang điện tử phát ra từ kali bởi ánh sáng của tần số 1,13 × 1015 s1. Công thoát W, của kali là bao nhiêu? Giải: Eánh sáng = hν = W + KEelectron W = hν KEelectron = (4,136 × 1015 eV.s) (1,13 × 1015s1) – 2,38eV = 4,67eV – 2,38eV = 2,29eV [Ghi chú: Để thuận tiện, ta sử dụng đơn vị của h là eV.s cho vấn đề này. Xem Phụ lục 10 cho dữ liệu] Ví dụ 12: Đơn vị thường diễn tả cho ∆ E trong một quá trình chuyển đổi giữa các trạng thái số sóng, ví dụ, m1, hoặc cm1, thay vì trong các đơn vị năng lượng như J hoặc eV. (Thông thường cm1 được lựa chọn, vì vậy chúng ta sẽ tiến hành với sự lựa chọn đó) a. Thuật ngữ số sóng có ý nghĩa vật lý là gì? b. Mối liên hệ giữa số sóng và năng lượng là gì? c. Số sóng áp dụng đối với một năng lượng của 1.000 J, 1.000 eV là gì? Giải: a. Số sóng là con số của sóng phù hợp với một đơn vị khoảng cách (thường là một cm). Đôi khi nó là biểu diễn v% . v% = 1/λ, trong đó λ là bước sóng trong cm. b. Số sóng đặc trưng cho ánh sáng có các photon năng lượng được xác định. E = hν = hc/ λ = hc v% . (trong đó c có đơn vị cm/s). c. E = 1,000 J = hc v% ; v% = 1,000 J/hc = 1,000 J/[(6,626×1034 Js) (2,998 × 1010 cm/s)] = 5,034 × 1022 cm1. Rõ ràng, đây là ánh sáng có bước sóng rất ngắn kể từ hơn 1022 bước sóng phù hợp với 1 cm. Cho 1.000 eV, phương trình trên được lặp đi lặp lại sử dụng h trong eV s. Điều này cho phép v% = 8065cm1. 17. Bản chất sóng của vật chất Rõ ràng ánh sáng có bản chất sóng và hạt, và chúng ta có thể mô tả nó trong điều kiện của các photon, được gắn liền với sóng tần số ν = E/h. Bây giờ photon là hạt khá đặc biệt ở chỗ chúng có khối lượng nghỉ bằng không. Trong thực tế, chúng chỉ có thể tồn tại khi chuyển động với tốc độ của ánh sáng. Trong kinh nghiệm của chúng ta, nhiều hạt thông thường có khối lượng nghỉ khác không và có thể tồn tại ở bất kỳ vận tốc lên đến giới hạn tốc độ của ánh sáng. Chúng ta cũng có sóng liên kết với hạt bình thường như vậy? Hãy tưởng tượng một hạt có khối lượng nghỉ hữu hạn bằng cách nào có thể được thực hiện nhẹ hơn và nhẹ hơn, gần bằng không trong một cách liên tục. Nó có vẻ hợp lý rằng sự tồn tại của một làn sóng kết hợp với chuyển động của các hạt sẽ trở nên ngày càng nhiều rõ rệt, chứ không phải là sóng đi vào sự tồn tại đột ngột khi m = 0. De Broglie đề xuất rằng tất cả các hạt vật chất đều tương ứng với một sóng, mà ông gọi là "sóng vật chất", nhưng sự tồn tại của các sóng này có thể sẽ quan sát được trong các hành vi của các hạt cực nhẹ. Mối quan hệ của de Broglie có thể đạt được như sau. Mối quan hệ của Einstein đối với các photon là E = hν (137) 12
Nhóm Cao Học Hóa Lý K18 Quy Nhơn Nhưng một photon mang năng lượng E có khối lượng tương đối được đưa ra bởi E = mc2 (138) Kết hợp hai phương trình trên: E = mc2 = hν = hc/λ (139) hoăc̣ mc = h/λ (140) Một hạt bình thường, có khối lượng nghỉ khác không, di chuyển với một vận tốc v. Nếu chúng ta xem phương trình (140) chỉ đơn thuần là một biểu thức tổng quát của vận tốc lớn giới hạn, chúng ta đến một phương trình liên hệ giữa động lượng p và bước sóng λ: mv = p = h/λ (141) hoăc̣ λ = h/p (142) Ở đây, m dùng để chỉ khối lượng nghỉ của hạt có sự sai lệch tương đối, nhưng sự sai lệch đó thường không đáng kể so với ban đầu. Mối quan hệ này, được đề xuất bởi de Broglie vào năm 1922, đã được nhanh chóng chứng minh là chính xác. Sau đó khi Davisson và Germer làm thí nghiệm về sự tán xạ electron khi phóng chùm electron qua tinh thể Ni, đã kiểm chứng giả thiết của Broglie và cho rằng giả thiết này là phù hợp với thực nghiệm. Những "sóng điện tử" đã được quan sát có bước sóng liên quan đến động lượng electron chỉ là cách đề xuất của de Broglie. Phương trình (142) liên hệ giữa bước sóng de Broglie λ của một sóng vật chất với động lượng p của hạt. Một động lượng cao hơn tương ứng với bước sóng ngắn hơn. Từ: 1 Động năng T = mv2 = (1/2m)(m2v2) = p2/2m (143) 2 Suy ra: p = 2mT (144) Hơn nữa, vì E = T + V, trong đó E là tổng năng lượng và V là thế năng, chúng ta có thể viết lại các bước sóng de Broglie như sau: h λ = (145) 2 m( E − V ) Phương trình (145) là hữu ích cho sự hiểu biết cách thức mà λ sẽ thay đổi cho một hạt chuyển động với tổng số năng lượng trong động năng khác nhau. Ví dụ, nếu các hạt ở trong khu vực mà nó động năng tăng (ví dụ, một điện tử tiếp cận một tấm tích điện âm), EV giảm và tăng λ (tức là hạt chậm, vì vậy động lực của nó giảm và bước sóng của nó tăng). Chúng ta sẽ xem các ví dụ về vấn đề này trong các chương sau. Quan sát thấy rằng nếu E ≥ V, λ được cho bởi phương trình (1 – 45) là số thực. Tuy nhiên, nếu E
Nhóm Cao Học Hóa Lý K18 Quy Nhơn KE ≡ p2/2m = (2,000 × 103 eV) (1,60219 × 1019 J/eV) = 3,204× 1016 J. mHe = (4,003 g/mol) (103 kg/g) (1 mol/6,022 × 1023nguyên tử) = 6,65 × 1027 kg; p = 2mHe .KE = [2 (6,65 × 1027 kg) (3,204 × 1016 J)]1/2 = 2,1 × 1021 kg m/s. λ = h/p =(6,626 × 1034 Js) / (2,1 × 1021 kg m/s) = 3,2 × 1013 m = 0,32pm. Bước sóng này lệnh 1% bán kính của một nguyên tử hydro quá ngắn để tạo ra kết quả giao thoa quan sát được khi tương tác với tán xạ nguyên tử. Đối với hầu hết các mục đích, chúng ta có thể coi như ion này chỉ là một hạt có vận tốc. 18. Thí nghiệm nhiễu xạ với electron Để hiểu rõ hơn về ý nghĩa của sóng vật chất, bây giờ chúng ta xem xét một tập hợp các thí nghiệm đơn giản. Giả sử chúng ta có nguồn electron đơn năng và cặp khe hở, như sơ đồ trong hình 110. Bất kỳ electron nào đến màn hình lân quang đều tạo ra một tia sáng, cũng giống như trong ti vi. Lúc này chúng ta bỏ qua những nguồn sáng ở gần khe hở (giả định rằng nó bị tắt) và tìm hiểu về bản chất của ảnh trên màn hình lân quang khi chùm tia electron chiếu vào khe hở. Kết quả thu được phù hợp với các giả thiết của Davisson và Germer đã đề cập, là có sự xen kẽ giữa các dải sáng và tối, điều đó chỉ ra rằng các tia electron bị nhiễu xạ bởi các khe hở. Hơn nữa, khoảng cách giữa các băng tần phù hợp với bước sóng de Broglie tương ứng với năng lượng của electron. Sự thay đổi về cường độ ánh sáng thể hiện trên màn hình được mô tả trong hình 1 11a. Rõ ràng, các electron trong thí nghiệm này thể hiện bản chất sóng. Có phải điều này có nghĩa rằng các electron được truyền đi như sóng khi chúng được phát hiện ở màn hình? Chúng ta sẽ kiểm tra điều này bằng cách giảm cường độ chùm tia tới để cho mỗi giây chỉ có một electron đi qua thiết bị và thấy rằng mỗi electron đánh dấu một vệt sáng nhỏ, toàn bộ hình ảnh nhiễu xạ xây dựng bởi tập của nhiều điểm. Do đó, bình phương sóng vật chất của de Broglie có cùng một ý nghĩa thống kê mà Einstein đề xuất đối với các sóng electron và photon, và electron thật sự là hạt có vị trí xác định, ít nhất là chúng ta có thể thấy chúng trên màn hình. Tuy nhiên, nếu chúng là hạt thực sự, rất khó để xem cách chúng bị nhiễu xạ. Xem xét thấy, khi khe b được đóng lại thì tất cả các electron đật vào bức màn hình rồi đi qua khe a. Kết quả là có một khu vực ánh sáng duy nhất trên màn hình (hình 1 11b). Đóng khe a và mở khe b sẽ cho kết quả tương tự (nhưng có sự đảo lại) như thể hiện trong hình 1 11c. Hình 110: Nguồn điện tử tạo ra chùm điện tử, một trong số đó đi qua khe hở a và/hoặc b để được phát hiện như ánh chớp của ánh sáng trên màn lân quang. 14
Nhóm Cao Học Hóa Lý K18 Quy Nhơn Hình 111: Cường độ ánh sáng ở màn lân quang dưới điều kiện khác nhau: (a) a và b mở, ngắt ánh sáng; (b) mở, b kín, ngắt ánh sáng; (c) kín, b mở, ngắt ánh sáng; (d) a và b mở, ánh sáng trên, λ ngắt mạch; (e) a và b mở, ánh sáng trên, λ dài. Những mô hình này đúng với những gì chúng ta dự đoán đối với các hạt. Bây giờ, với cả hai khe đều mở, liệu có một nửa số hạt đi qua khe a và một nửa còn lại đi qua khe b, kết quả là tổng của các kết quả trên. Điều đó dẫn đến là chúng ta có được những hình ảnh nhiễu xạ (Hình 1 11a). Vậy điều này có thể xảy ra? Có vẻ như là, bằng cách nào đó, một electron đi qua thiết bị có thể cảm nhận dù một hoặc cả hai khe mở, mặc dù là một hạt có thể khám phá chỉ khe này mở hay khe khác mở. Người ta có thể giả sử rằng chúng ta đang nhìn thấy kết quả của hai electron di chuyển đồng thời đến hai khe, con đường của mỗi electron bị ảnh hưởng bởi sự hiện diện của một electron trong khe kia. Điều này sẽ giải thích làm thế nào một electron đi qua khe a sẽ "biết" cho dù khe b là mở hoặc đóng. Nhưng thực tế là mô hình hình thành ngay cả khi các electron di chuyển qua với tốc độ trong 1 giây cho thấy lập luận này là không có cơ cở. Vậy một electron có thể đi qua cả hai khe cùng một lúc đươc không? Để kiểm tra câu hỏi này, chúng ta cần phải có thông tin chi tiết về vị trí của các electron khi chúng đi qua các khe hở. Chúng tôi có thể nhận được dữ liệu đó bằng cách bật nguồn ánh sáng và đặt một kính hiển vi tại các khe hở. Sau đó các photon sẽ bật ra khỏi mỗi electron như nó vượt qua các khe và sẽ được quan sát qua kính hiển vi. Như vậy người quan sát có thể nói rằng mỗi electron đã đi qua, và cũng ghi lại vị trí cuối cùng của nó trên màn hình lân quang. Trong thí nghiệm này, cần thiết phải sử dụng ánh sáng có bước sóng ngắn hơn so với khoảng cách giữa hai khe, nếu không thì kính hiển vi không thể xử lý đèn flash đủ tốt để phát hiện khe nào là gần nhất. Khi thí nghiệm này được thực hiện, chúng tôi thực sự phát hiện mỗi electron khi chúng đi qua khe này hay khe khác, hay không qua khe nào, nhưng chúng ta cũng thấy rằng hình ảnh nhiễu xạ trên màn hình đã bị mất và chúng ta có sự phân bố rộng khắp và không đăc tr ̣ ưng như hình 1 11d, mà về cơ bản là tổng của các thí nghiệm đơn khe. Những gì đã xảy ra là các photon từ nguồn sáng của chúng ta, chiếu vào các electron khi chúng xuất hiện từ các khe, đã ảnh hưởng đến xung của các electron và thay đổi đường đi của chúng trong trường hợp không có ánh sáng. Chúng ta có thể cố gắng để chống lại điều này bằng cách sử dụng các photon với động lượng thấp hơn, nhưng điều này có nghĩa là sử dụng các photon của E thấp hơn, thì λ dài hơn. Kết quả là, những hình ảnh của các electron trong kính hiển vi được rộng hơn, và nó càng trở nên mờ hơn khi mà một electron cho trước đã đi qua khe nào hoặc là nó thực sự đi qua chỉ một khe. Khi chúng ta ngày càng trở nên không chắc chắn về con đường của mỗi electron hơn khi nó di chuyển qua các khe hở thì hình ảnh nhiễu xạ tích lũy ngày càng trở 15
Nhóm Cao Học Hóa Lý K18 Quy Nhơn nên rõ rệt hơn (Hình 1 11e). (Bởi vì đây là một "thí nghiệm tưởng tượng" chúng ta có thể bỏ qua yếu tố bất tiện, đó là nguồn "ánh sáng" của chúng ta phải sản xuất tia X hoặc tia γ để có bước sóng ngắn hơn so với khoảng cách giữa hai khe thích hợp). Thí nghiệm có tính khái niệm này minh họa một tính năng cơ bản của hệ thống vi mô chúng ta không thể đo lường hết các đặc tính của hệ thống mà không tác động đến sự phát triển trong tương lai của hệ thống một cách đáng kể. Hệ thống với ánh sáng tắt là khác nhau đáng kể từ hệ thống với ánh sáng bật (với λ ngắn), và do đó các electron đến màn hình với phân phối khác nhau. Không có vấn đề như thế nào khéo léo nghĩ ra một thí nghiệm, có một số xáo trộn cần thiết tối thiểu tham gia vào bất kỳ đo lường. Trong ví dụ này với ánh sáng ra, vấn đề là chúng ta biết động lực của mỗi electron khá chính xác (vì chùm tia là đơn năng và trực chuẩn), nhưng chúng tôi không biết bất cứ điều gì về cách thức các electron đi qua khe. Với ánh sáng, chúng ta có được thông tin về vị trí electron chỉ vượt ra ngoài khe nhưng chúng ta thay đổi động lực của mỗi electron trong một cách không rõ. Việc đo vị trí hạt dẫn đến giảm hiểu biết về động lượng của hạt. Đây là một ví dụ của nguyên lý bất định của Heisenberg, người cho rằng sản phẩm của sự không chắc chắn đồng thời trong "biến liên hợp", a và b, không bao giờ được nhỏ hơn giá trị của hằng số Planck h của chia 4π: h ∆a.∆b (1 – 46) 4π Ở đây, ∆a là thước đo độ bất định của biến a, v.v (cách dễ nhất để nhận ra các biến liên hợp là phải chú ý rằng kích thước của chúng phải nhân với jun.giây. Động lượng tuyến tính và vị trí tuyến tính phải đáp ứng yêu cầu này. Hai cặp biến liên hợp quan trọng khác năng lượng thời gian và momen động lượngmomen vị trí) trong ví dụ với ánh sáng tắt, sự bất định trong động lượng nhỏ và bất định vị là rất lớn, vì chúng ta không thể xác định được mỗi electron đi qua khe nào. Với ánh sáng mở, chúng ta sẽ giảm sự bất định trong vị đến một kích thước chấp nhận được, nhưng theo sau vị trí của mỗi electron được quan sát, chúng tôi có tính bất định lớn hơn nhiều trong động lượng. Vì vậy, chúng ta thấy rằng vẻ bề ngoài của một electron (hoặc một photon) như một hạt hoặc một sóng phụ thuộc vào thí nghiệm của chúng ta. Bởi vì bất kỳ quan sát nào trên hạt quá nhỏ như vậy liên quan đến sự nhiễu loạn đáng kể trạng thái của nó, cho nên phù hợp với ý nghĩ của các electron cộng với thiết bị như một hệ thống duy nhất. Câu hỏi đặt ra, "electron là hạt hay một làn sóng?" chỉ có ý nghĩa khi thiết bị này được xác định trên kế hoạch đo lường của chúng ta. Trong một số thí nghiệm, thiết bị và electron tương tác với nhau theo cách thức đề nghị electron là một làn sóng, và ở vị dụ khác là một hạt. Câu hỏi, "Electron là gì khi mà không nhìn thấy chúng?", câu này không thể trả lời được bằng thí nghiệm, vì một thí nghiệm là cái "nhìn" vào electron. Trong những năm gần đây thí nghiệm loại này đã được thực hiện bằng cách sử dụng các đơn nguyên tử. Ví dụ 14: Thời gian tồn tại một trạng thái kích thích của một phân tử là 2 × 109s. Hãy tính độ bất định về năng lượng theo J? Theo cm1? Bằng cách nào sẽ kiểm chứng điều này bằng thực nghiệm. Giải: Theo nguyên lý bất định Heisenberg, độ bất định tối thiểu: 16
Nhóm Cao Học Hóa Lý K18 Quy Nhơn h ∆E.∆t = .∆t = (6,626×1034J.s)/[(4π)(2×109s)]= 2,6×1026J(2,6×1026J)(5,03×1022cm1J1)= 4π 1 0,001cm (Xem phụ lục dữ liệu 10). Độ bất định của E càng lớn sẽ cho thấy độ rộng vạch trong quang phổ phát ra càng rộng hơn. 19. Phương trình sóng độc lập thời gian của Schrodinger Trước đây chúng ta thấy rằng cần một phương trình sóng để giải quyết sóng dừng liên quan đến hệ cổ điển đặc biệt và các điều kiện biên của nó. Thật sự cũng cần tồn tại một phương trình sóng để giải quyết sóng vật chất. Schrodinger thu được một phương trình như vậy bằng khai thác phương trình sóng độc lập thời gian cổ điển và thay thế hệ thức de Broglie cho λ. Do đó, nếu 2π �2ψ = −( 2 )ψ (1 – 47) λ và h λ = (1 – 48) 2 m( E − V ) thì � � h2 � 2 � −� 2 � � ψ ( x, y, z ) = Eψ ( x, y, z ) (1 – 49) � + V ( x, y , z ) � � �8π m � � Phương trình (149) là phương trình hàm sóng độc lập thời gian của Schrodinger cho một hạt duy nhất có khối lượng m chuyển động trong trường thế ba chiều V. Trong cơ học cổ điển chúng ta có phương trình riêng biệt cho sự chuyển động của sóng và hạt, trong khi đó trong cơ học lượng tử, sự khác biệt giữa các hạt và sóng là không rõ ràng, chúng ta chỉ có một phương trình – phương trình Schrodinger. Chúng ta thấy rằng sự liên kết giữa phương trình Schrodinger và phương trình sóng cổ điển là hệ thức de Broglie. Bây giờ chúng ta so sánh phương trình Schrodinger với phương trình cổ điển cho chuyển động hạt. Theo cơ học cổ điển, năng lượng của một hạt chuyển động trong không gian ba chiều bằng tổng động năng và thế năng: �1 � 2 � � 2 � �m ( px + p y2 + pz2 ) + V = E (1 – 50) Ở đây px là động lượng theo trục x, … Chúng ta đã thấy rằng tương tự phương trình Schrodinger được [viết ra phương trình (149)] � h2 � 2 2 2 � � ψ ( x, y, z ) = Eψ ( x, y, z ) (1 – 51) − 2 � 2 + 2 + 2 �+ V ( x, y, z ) � � � 8π m � x y z � � Dễ dàng thấy thấy rằng phương trình (150) có liên quan đến các đại lượng trong ngoặc đơn của phương trình (151) bằng mối quan hệ giữa momen cổ điển đến toán tử vi phân riêng: �h � � � px � � � � (1 – 52) �2π i � �x � 17
Nhóm Cao Học Hóa Lý K18 Quy Nhơn và tương tự cho p y và pz . Mối quan hệ (152) sẽ được nhìn thấy sau này trong một định đề quan trọng của cơ học lượng tử. Phía bên trái của phương trình (150) được gọi là hamiltonian của hệ. Vì lý do này toán tử trong dấu ngoặc vuông trên LHS của phương trình (151) được gọi là toán tử hamiltonian H. Đối với một hệ thống nhất định, chúng ta sẽ thấy rằng việc xây dựng H không phải là khó khăn. Nhưng khó khăn đi kèm là việc giải quyết của phương trình Schrodinger, thường được viết như Hψ = Eψ (1 – 53) Các phương trình sóng cổ điển và cơ học lượng tử mà chúng ta đã thảo luận là trường hợp đặc biệt của phương trình gọi là phương trình hàm riêng trị riêng. Những phương trình như vậy có định dạng tổng quát: Opf = cf (1 – 54) Ở đây Op là một toán tử, f là một hàm, và c là một hằng số (trị riêng). Như vậy, phương trình hàm riêng trị riêng có tính chất rằng sự tác động vào hàm thì hàm này sẽ chuyển thành một hằng số nhân với chính nó. Hàm f thỏa mãn phương trình (154) được gọi là hàm riêng của toán tử. Hằng số C được gọi là trị riêng liên quan đến hàm riêng f. Thông thường, một toán tử sẽ có nhiều hàm riêng và trị riêng có liên quan với nó, và do đó, cần thiết có một chỉ số để phân loại giữa chúng, tức. Opfi = ci fi (1 – 55) Chúng ta đã thấy một ví dụ về loại này phương trình này, phương trình (119) là một ω 2m hàm riêng cho phương trình (118), với giá trị riêng − . T Lời giải ψ cho Schrodinger phương trình của (153), được gọi là hàm riêng, hàm số sóng, hoặc hàm trạng thái. 110. Điều kiện hàm sóng Chúng tôi đã chỉ ra bình phương của sóng điện từ được diễn giải là hàm mật độ xác suất để tìm photon ở chỗ khác nhau trong không gian. Bây giờ chúng ta áp đặt ý nghĩa đó ψ2 cho sóng vật chất. Do đó, trong bài toán một chiều (ví dụ, một hạt dao động cưỡng bức trên một đoạn thẳng), xác suất hạt sẽ được tìm thấy trong khoảng dx quanh điểm x1 được xác định bởi ψ2 (x1).dx. Nếu ψ là hàm số phức, thì bình phương môđun, |ψ|2 ≡ ψ*ψ được dùng thay cho ψ2. Về mặt toán học, không thể phân bố khối lượng bình quân thành giá trị âm tại bất kỳ khu vực nào. Nếu hàm riêng ψ đã tìm thấy cho phương trình (153), thật dễ dàng thấy là cψ cũng sẽ được hàm riêng, cho bất kỳ hằng số c. Điều này cho thấy rằng hằng số nhân giao hoán với toán tử H, vì H (cψ ) = cHψ = cEψ = E (cψ ) (1 – 56) Dựa vào vế đầu và vế cuối của phương trình cho thấy rằng cψ là hàm riêng của H. Câu hỏi đặt ra là hằng số nào được để sử dụng cho hàm sóng để làm sáng tỏ xác suất của |ψ|2. Đối với một hạt chuyển động trên trục x, xác suất mà hạt ở giữa x = ∞ và x = + ∞ bằng 1, đó là điều chắc chắn. Theo lí thuyết xác suất, tổng của các xác suất cho việc tìm 18
Nhóm Cao Học Hóa Lý K18 Quy Nhơn kiếm các hạt trong mỗi khoảng thời gian vô cùng nhỏ của trục tọa độ x bằng 1, tức tích phân lấy trong toàn bộ không gian này phải bằng 1: + c * c ψ ( x)ψ ( x)dx = 1 (1 – 57) * − Nếu chọn hằng số c cần nhân sao cho phương trình (157) là thoả mãn, hàm sóng được gọi là chuẩn hoá. Cho hàm ba chiều, yêu cầu chuẩn hóa là + + + 2 2 ψ *( x, y, z )ψ ( x, y, z) dxdydz c * c �� c �ψ dv = 1 (158) − − − allspace Từ ý nghĩa vật lý của |ψ|2 cộng với việc ψ phải được hàm riêng của toán tử hamiltonian H, chúng ta có thể đi đến một vài kết luận mang tính chất toán học của ψ có thể có hay không có. Trước tiên, chúng ta cấn phải có ψ là hàm đơn trị vì |ψ|2 biểu thị mật độ xác suất có mặt của hạt trong vùng đã cho (xem hình 112). Ngoài ra, chúng ta loại bỏ các hàm vô hạn trong bất kỳ khu vực không gian nào vì sự vô cực như vậy bao giờ cũng sẽ lớn hơn rất nhiều mọi vùng có giới hạn, và |ψ|2 sẽ vô dụng với vai trò là một phép tính xác xuất có thể đối chiếu. Để cho Hψ để được định nghĩa khắp nơi, cần là đạo hàm cấp hai của ψ được xác định khắp nơi. Điều này đòi hỏi đạo hàm cấp một của ψ phải liên tục từng phần và bản thân ψ được liên tục như trong hình 1 d. (Chúng ta sẽ xem ví dụ này ngay) Hình 112: (a) ψ có bộ ba giá trị tại xo. (b) ψ là không liên tục tại xo. (c) ψ mọc không có giới hạn khi x đến gần + ∞ (nghĩa là, ψ "đồng biến" hoặc "tăng lên"). (d) ψ là liên tục và có" đỉnh" tại xo. Vì thế, đạo hàm bậc nhất của ψ là không liên tục tại xo và chỉ là liên tục từng đoạn. Điều này không ngăn cản ψ khả vi. Một hàm đơn trị, liên tục, hữu hạn, và có đạo hàm thứ nhất liên tục từng đoạn được gọi là hàm khả vi. Ý nghĩa của khái niệm này được minh hoạ bằng một vài hàm mẫu trong hình. 112. 19
Nhóm Cao Học Hóa Lý K18 Quy Nhơn Trong hầu hết các trường hợp, có thêm một thừa số tổng quát đặt vào ψ, khi đó nó là hàm chuẩn hóa. Điều này có nghĩa tích phân của |ψ|2 trên toàn bộ không gian phải không bằng 0 hay là không xác định. Hàm thoả mãn điều kiện này được cho là được bình phương khả tích. 111. Một số bản chất về phương trình Schrodinger Có một cách khá đơn giản để thấy được ý nghĩa vật lý của phương trình Schrodinger (149). Thực chất trạng thái năng lượng E trong Hψ = Eψ tùy theo hai thứ, V và đạo hàm bậc hai của ψ. Vì V là thế năng nên đạo hàm bậc hai của ψ phải liên quan đến động năng. Bây giờ đạo hàm bậc hai của ψ đối với một hướng nhất định là thước đo của độ biến thiên hệ số góc (tức là, độ cong, hoặc"ít dao động") của ψ theo hướng đó. Vì thế, chúng ta thấy rằng hàm sóng dao động mạnh về phía trước, thông qua phương trình Schrodinger, dẫn đến động năng cao hơn. Điều này phù hợp với hệ thức của de Broglie, vì một hàm có bước sóng ngắn thì dao động nhiều hơn. Nhưng phương trình Schrodinger có tính ứng dụng rộng rãi hơn vì chúng ta có thể tính được đạo hàm cấp hai của các hàm khả vi, trong khi bước sóng chỉ được xác định đối với những hàm tuần hoàn. Vì E là hằng số, lời giải của phương trình Schrodinger được dao động mạnh hơn ở những vùng V thấp và ít dao động ở những nơi V cao. Thí dụ cho một số hộp một chiều được trình bày trong hình 113. Hình 113: (a) Khi V = 0, E = T. Dẫn đến T tăng, ψ dao động nhiều, có nghĩa là λ ngắn lại (Từ chu kỳ của ψ của hạt tự do, có thể xác định được λ). (b) Khi V tăng từ trái qua phải, ψ trở nên ít dao động. (c) (d) ψ dao dộng nhiều ở nơi V thấp và T lớn. Trong chương tiếp theo chúng ta sử dụng một số ví dụ đơn khá để minh hoạ ý tưởng, cái mà chúng ta đã đưa vào và để mang ra một số điểm bổ sung. 112. Tóm tắt Ở chương này, chúng ta sẽ tóm lược những điểm chính được dùng cho các thảo luận tiếp theo. 1. Đối với bất kỳ hạt nào thì hàm sóng có bước sóng và momen động lượng hạt cho bởi: h h λ= = p 2 m( E − V ) 20

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

THÔNG TIN

TRỢ GIÚP

HỖ TRỢ KHÁCH HÀNG

Theo dõi chúng tôi

Chịu trách nhiệm nội dung:

Nguyễn Công Hà - Giám đốc Công ty TNHH TÀI LIỆU TRỰC TUYẾN VI NA

LIÊN HỆ

Địa chỉ: P402, 54A Nơ Trang Long, Phường 14, Q.Bình Thạnh, TP.HCM

Hotline: 093 303 0098

Email: support@tailieu.vn

Giấy phép Mạng Xã Hội số: 670/GP-BTTTT cấp ngày 30/11/2015 Copyright © 2022-2032 TaiLieu.VN. All rights reserved.