Phân tích mối liên hệ tuyến tính của hai đại lượng ngẫu nhiên

TẠP CHÍ KHOA HỌC<br /> Khoa học Tự nhiên và Công nghệ, Số 6 (9/2016) tr 67 - 72<br /> <br /> Đặng Kim Phương<br /> Khoa Toán - Lý - Tin, Trường Đại học Tây Bắc<br /> <br /> PHÂN TÍCH MỐI LIÊN HỆ TUYẾN TÍNH CỦA<br /> HAI ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN<br /> <br /> Tóm tắt: Một trong những nhiệm vụ trọng tâm của người làm công tác thống kê khi phân tích mối liên hệ<br /> giữa các đại lượng ngẫu nhiên là xác định mức độ liên hệ giữa chúng và lập phương trình hồi qui biểu diễn mối liên<br /> hệ đó. Trong khuôn khổ của bài viết này chúng tôi sẽ giới thiệu cách sử dụng hệ số tương quan mẫu và phương trình<br /> hồi qui tuyến tính mẫu để xác định mức độ liên hệ tuyến tính và biểu diễn mối liên hệ tuyến tính dạng Y  A X  B<br /> của hai đại lượng ngẫu nhiên X và Y.<br /> Từ khóa: Hệ số tương quan, Hàm hồi qui tuyến tính, Đại lượng ngẫu nhiên, Kiểm định giả thiết thống kê,<br /> Phân phối Student.<br /> 1. Mở đầu<br /> Trong học phần Xác suất thống kê đã giới thiệu công thức, cách tính hệ số tương quan mẫu<br /> và cách xác định phương trình hồi qui tuyến tính mẫu dạng Y  A X  B của hai đại lượng ngẫu<br /> nhiên X và Y. Vậy trong thống kê các ngành như Kinh tế, Nông học, Tài nguyên và Môi<br /> trường,... đã sử dụng hệ số tương quan mẫu và phương trình hồi qui tuyến tính mẫu để phân tích<br /> mối liên hệ tuyến tính dạng Y  A X  B của hai đại lượng ngẫu nhiên X và Y như thế nào? Thông<br /> qua cơ sở lý luận và ví dụ thực tiễn bài viết sẽ làm sáng tỏ về vấn đề này.<br /> <br /> 2. Phân tích mối liên hệ tuyến tính dạng Y  A X  B của hai đại lượng ngẫu nhiên X và Y<br /> 2.1. Hệ số tương quan<br /> Nghiên cứu về cơ sở xác suất ta đã biết hệ số tương quan đặc trưng cho mức độ liên hệ của<br /> hai đại lượng ngẫu nhiên X và Y và được xác định bởi công thức:<br /> E ( X .Y )  E ( X ). E ( Y )<br />  <br /> D X .D Y<br /> (  1    1).<br /> <br /> Nếu   0 thì X và Y không tương quan.<br /> Nếu   0 thì X và Y có tương quan.<br /> Nếu    1 thì X và Y có tương quan tuyến tính.<br /> Nếu  càng gần 1 thì mức độ liên hệ giữa X và Y càng chặt chẽ.<br /> <br /> Ngày nhận bài: 23/5/2016. Ngày nhận đăng: 25/9/2016<br /> Liên lạc: Đặng Kim Phương, e - mail: dangkimphuongtbu@gmail.com<br /> <br /> <br /> <br /> <br /> 67<br />  Nhưng nếu chưa biết phân phối của đại lượng ngẫu nhiên ( X .Y ) thì hệ số tương quan lý<br /> thuyết  của hai đại lượng ngẫu nhiên X và Y cũng chưa tìm được. Do đó trong thống kê khi<br /> phân tích tìm hiểu mức độ liên hệ của hai đại lượng ngẫu nhiên ta phải tìm cách ước lượng <br /> thông qua hệ số tương quan mẫu của hai đại lượng ngẫu nhiên X và Y như sau: Lấy một mẫu<br /> ngẫu nhiên kích thước n của cặp đại lượng ngẫu nhiên X và Y: ( X 1 , Y1 ) , ( X 2 , Y 2 ) , ..., ( X n , Y n ) . Khi đó<br /> hệ số tương quan mẫu của hai đại lượng ngẫu nhiên X và Y được xác định bởi công thức:<br /> n n n<br /> <br /> n  X i Yi  (  X i ) (  Yi )<br /> i1 i1 i1<br /> r  .<br />  2   2 <br /> n n n n<br /> <br /> <br /> n X  ( X i )   n  Yi  (  Yi ) <br /> 2 2<br /> i<br />  i1 i1   i1 i1 <br /> Nếu r  0 thì X và Y không có mối liên hệ tuyến tính.<br /> Nếu r  0 thì X và Y có mối liên hệ tuyến tính.<br /> Nếu r càng gần 1 thì mức độ liên hệ giữa X và Y càng chặt chẽ.<br /> Do những dao động ngẫu nhiên về mặt thống kê mà có thể xảy ra trường hợp: Hệ số<br /> tương quan mẫu r  0 nhưng trong tổng thể hệ số tương quan   0 , trường hợp thực tế này rất<br /> hay xảy ra khi mẫu nhỏ. Vậy nên trong thực tiễn khi 0  r  0 , 3 và mẫu nhỏ cần kiểm tra sự tồn<br /> tại của hệ số tương quan như sau:<br /> Thiết lập bài toán kiểm định giả thiết thống kê:<br /> H0 :   0<br /> <br /> H1 :   0<br /> với mức ý nghĩa   0 , 0 5 (Mức ý nghĩa  có thể là 0,1; 0,01; 0,05;...để thuận tiện cho việc trình<br /> bày, trong bài viết này luôn thiết lập các bài toán kiểm định giả thiết với mức ý nghĩa   0 , 0 5 ).<br /> r<br /> Tính giá trị kiểm định T  . n  2 và tra giá trị t(n  2; 0, 05) trong bảng phân phối<br /> 1 r<br /> 2<br /> <br /> <br /> <br /> Student. Nếu T  t(n  2; 0, 05) thì bác bỏ giả thiết H 0 :   0, tức là thực sự tồn tại mối liên hệ<br /> tuyến tính giữa hai tổng thể X và Y. Khi đó sẽ xác định phương trình hồi qui tuyến tính biểu diễn<br /> mối liên hệ tuyến tính giữa hai tổng thể X và Y. Nếu T  t ( n  2 ; 0 , 0 5 ) thì chấp nhận giả thiết<br /> H0 :   0 tức là hai tổng thể X và Y không tương quan và công việc phân tích mối liên hệ tuyến<br /> tính giữa hai tổng thể X và Y dừng lại ở đây.<br /> <br /> 2.2. Phương trình hồi qui tuyến tính dạng Y  A X  B<br /> Phương trình hồi qui tuyến tính đơn giản của hai đại lượng ngẫu nhiên X và Y có dạng:<br /> Y  AX  B trong đó A , B là các hằng số.<br /> A : Thể hiện mức tăng (giảm) của Y khi X tăng (giảm) một đơn vị<br /> <br /> B : Thể hiện giá trị của Y khi giá trị của X  0<br /> Trong thực tế không thể xác định được các hệ số A , B trong phương trình hồi qui tuyến<br /> tính của tổng thể Y  A X  B mà chỉ có thể ước lượng các hệ số A , B qua các hệ số a , b trong<br /> phương trình hồi qui tuyến tính mẫu của hai tổng thể X và Y là y  a x  b . Muốn ước lượng các<br /> hệ số A , B trong phương trình hồi qui tuyến tính của tổng thể Y  A X  B phải xác định phương<br /> trình hồi qui tuyến tính mẫu y  a x  b . Để xác định được các hệ số a , b ta lấy một mẫu ngẫu<br /> 68<br /> nhiên kích thước n của cặp đại lượng ngẫu nhiên X và Y: ( X 1 , Y1 ) , ( X 2 , Y 2 ) , ..., ( X n , Y n ) . Khi đó các<br /> hệ số a , b được xác định như sau:<br /> n n n<br /> <br /> n  X i Yi  (  X i ) (  Yi )<br /> i 1 i 1 i 1<br /> a  n n<br /> <br /> n X  ( X i )<br /> 2 2<br /> i<br /> i1 i1<br /> <br /> <br /> b  Y  aX,<br /> n n<br /> 1 1<br /> trong đó: X   X i<br /> ; Y   Yi .<br /> n i1 n i1<br /> <br /> <br /> Do những dao động ngẫu nhiên về mặt thống kê mà có thể xảy ra trường hợp các tham số<br /> a, b khác không nhưng các tham số A , B trong tổng thể lại bằng không. Bởi vậy sau khi xác định<br /> được các tham số a , b trong phương trình hồi qui tuyến tính mẫu y  a x  b cần phải kiểm tra<br /> các tham số A , B có thực sự tồn tại trong tổng thể hay không.<br /> Kiểm tra sự tồn tại của tham số A:<br /> Ta đặt giả thiết:<br /> H0 : A  0<br /> <br /> H1 : A  0<br /> với mức ý nghĩa   0, 05.<br /> a<br /> Tính giá trị kiểm định: Ta  trong đó:<br /> Sa<br /> <br /> QY  a Q X<br /> 2<br /> 1<br /> S a  Sˆ . ; Sˆ <br /> QX n 2<br /> n n<br /> <br /> ( X i ) (  Yi )<br /> 2 2<br /> n n<br /> <br />  <br /> i1 i1<br /> QX   ; QY  Yi <br /> 2 2<br /> X i<br /> .<br /> i 1 n i 1 n<br /> Nếu Ta  t ( n  2 ; 0 , 0 5 ) thì bác bỏ giả thiết H0 : A  0 tức là tồn tại tham số A trong tổng thể và ta<br /> đi ước lượng tham số A .<br /> Kiểm tra sự tồn tại của tham số B:<br /> Ta đặt giả thiết:<br /> H0 : B  0<br /> <br /> H1 : B  0<br /> với mức ý nghĩa   0, 05.<br /> n<br /> <br /> <br /> 2<br /> X i<br /> b<br /> Tính giá trị kiểm định: Tb  trong đó S b  Sˆ<br /> i 1<br /> .<br /> Sb nQX<br /> <br /> <br /> Nếu Tb  t ( n  2 ; 0 , 0 5 ) thì bác bỏ giả thiết H0 : B  0 tức là tồn tại tham số B trong tổng thể và ta<br /> đi ước lượng tham số B .<br /> <br /> <br /> 69<br />  2.3. Ước lượng khoảng các tham số A, B trong phương trình hồi qui tuyến tính<br /> Y  AX  B<br /> <br /> <br /> Nếu các tham số A , B thực sự tồn tại thì ước lượng tham số A,B.<br /> Ước lượng khoảng của tham số A với độ tin cậy 0,95 là:<br /> a  t(n  2; 0, 025)Sa  A  a  t(n  2; 0, 025)Sa<br /> <br /> Ước lượng khoảng của tham số B với độ tin cậy 0,95 là:<br /> b  t(n  2; 0, 025)Sb  B  b  t(n  2; 0, 025)Sb .<br /> <br /> 3. Ví dụ<br /> Biết rằng giữa năng suất lao động và tuổi nghề của công nhân có mối liên hệ tuyến tính<br /> dạng Y  A X  B . Hãy phân tích mối liên hệ tuyến tính giữa năng suất lao động và tuổi nghề của<br /> công nhân trong một doanh nghiệp qua số liệu điều tra sau:<br /> <br /> Tên công nhân A B C D Đ E G H I K<br /> Tuổi nghề ( X - năm) 1 3 4 5 7 8 9 10 11 12<br /> Năng suất lao động ( Y - kg) 3 12 9 16 12 21 21 24 19 27<br /> <br /> Dựa vào số liệu điều tra ta lập bảng số liệu sau:<br /> <br /> Tên X Y X<br /> 2<br /> Y<br /> 2<br /> X .Y<br /> A 1 3 1 9 3<br /> B 3 12 9 144 36<br /> C 4 9 16 81 36<br /> D 5 16 25 256 80<br /> Đ 7 12 49 144 84<br /> E 8 21 64 441 168<br /> G 9 21 81 441 189<br /> H 10 24 100 576 240<br /> I 11 19 121 361 209<br /> K 12 27 144 729 324<br /> Tổng 70 164 610 3182 1369<br /> <br /> *Xác định hệ số tương quan mẫu:<br /> <br /> Hệ số tương quan mẫu của X và Y được tính bởi công thức:<br /> n n n<br /> <br /> n  X i Yi  (  X i ) (  Yi )<br /> 1 0 .1 3 6 9  7 0 .1 6 4<br /> r  i 1 i 1 i 1<br />   0, 91.<br />  2 2<br /> 2   2 <br /> n n n n<br /> (1 0 .6 1 0  7 0 ) (1 0 .3 1 8 2  1 6 4 )<br /> n X  (  n  Yi  (  Yi ) <br /> 2 2<br /> i<br /> X i) <br />  i 1 i 1   i 1 i 1 <br /> Vì r  0 , 9 1 nên quan hệ giữa X và Y là rất chặt chẽ, hơn nữa vì hệ số tương quan mẫu cao nên<br /> không cần kiểm tra sự tồn tại của hệ số tương quan trong tổng thể.<br /> *Xác định các hệ số a , b trong phương trình hồi qui tuyến tính mẫu y  a x  b<br /> n n<br /> 1 70 1 164<br /> Tính: X <br /> n<br />  X i<br /> <br /> 10<br />  7 ; Y <br /> n<br />  Yi <br /> 10<br />  16, 4. Ta có:<br /> i1 i1<br /> <br /> <br /> <br /> 70<br />  n n n<br /> <br /> n  X i Y i  (  X i )(  Y i )<br /> 1 0 .1 3 6 9  7 0 .1 6 4<br /> a  i 1 i 1 i 1<br />   1, 8 4<br /> 1 0 .6 1 0  7 0<br /> n n 2<br /> <br /> n X  ( X i )<br /> 2 2<br /> i<br /> i1 i1<br /> <br /> <br /> b  Y  a X  1 6 , 4  1, 8 4 .7  3 , 5 2 .<br /> Vậy phương trình hồi qui tuyến tính mẫu là y  1, 8 4 x  3, 5 2 .<br /> *Kiểm tra sự tồn tại của các tham số A , B trong phương trình hồi qui tuyến tính của tổng<br /> thể Y  A X  B<br /> - Kiểm định sự tồn tại của tham số A :<br /> H0 : A  0<br /> Đặt giả thiết <br /> H1 : A  0<br /> với mức ý nghĩa   0, 05.<br /> a<br /> Tính giá trị kiểm định: T a  ta có:<br /> Sa<br /> <br /> QY  a Q X<br /> 2<br /> 1<br /> S a  Sˆ ; Sˆ <br /> QX n 2<br /> n<br /> <br /> ( X i )<br /> 2<br /> n 2<br /> 70<br /> <br /> i 1<br /> QX    610   120<br /> 2<br /> X i<br /> i1 n 10<br /> n<br /> <br /> (  Yi )<br /> 2<br /> n 2<br /> 164<br /> <br /> i 1<br /> QY  Yi   3182   492<br /> 2<br /> <br /> <br /> i 1 n 10<br /> <br /> 4 9 2 , 4  1, 8 4 .1 2 0<br /> 2<br /> <br /> Sˆ   3, 2 8<br /> 8<br /> <br /> 1<br /> S a  3, 2 8  0, 3<br /> 120<br /> 1, 8 4<br /> Ta   6,1.<br /> 0, 3<br /> - Kiểm định sự tồn tại của tham số B :<br /> H0 : B  0<br /> Đặt giả thiết: <br /> H1 : B  0<br /> với mức ý nghĩa   0, 05.<br /> <br /> <br /> b<br /> Tính giá trị kiểm định: Tb  ta có:<br /> Sb<br /> n<br /> <br /> <br /> 2<br /> X i<br /> i1<br /> 610<br /> S b  Sˆ  3, 2 8  2, 34<br /> n .Q X 1 0 .1 2 0<br /> <br /> <br /> <br /> <br /> 71<br />  b 3, 5 2<br /> Tb    1, 5 .<br /> Sb 2, 34<br /> Tra bảng phân phối Student ta có t ( n  2 ; 0 , 0 5 )  t (8; 0 , 0 5 )  2 , 3 1 .<br /> Vì Ta  2 , 3 1 nên bác bỏ giả thiết H 0 : A  0 tức là tồn tại tham số A trong tổng thể.<br /> Vì Tb  2 , 3 1 nên ta chấp nhận giả thiết H0 : B  0 tức là không tồn tại tham số B trong tổng thể.<br /> *Ước lượng khoảng tham số A<br /> Ước lượng khoảng của tham số A với độ tin cậy 0,95 là:<br /> a  t(n  2; 0, 0 2 5)Sa  A  a  t(n  2; 0, 0 2 5)Sa<br /> 1, 8 4  2 , 3 .0 , 3  A  1, 8 4  2 , 3 .0 , 3<br /> <br /> 1, 1 5  A  2 , 5 3 .<br /> Chúng ta tin tới mức 95% rằng tham số A trong tổng thể nằm trong khoảng từ 1,15 kg đến 2,53<br /> kg.<br /> 3. Kết luận<br /> - Năng suất lao động của công nhân trong doanh nghiệp phụ thuộc rất nhiều vào tuổi nghề<br /> của công nhân. Nếu công nhân không được đào taọ nghề thì không thể tham gia vào hoạt động<br /> kinh doanh của doanh nghiệp.<br /> - Nếu tuổi nghề của mỗi công nhân tăng lên một đơn vị thì năng suất lao đông của công<br /> nhân đó sẽ tăng từ 1,15 kg đến 2,53 kg.<br /> <br /> <br /> TÀI LIỆU THAM KHẢO<br /> <br /> [1] Ngô Kim Khôi (1998), Thống kê toán học trong lâm nghiệp, Nxb Nông nghiệp.<br /> [2] Phạm Văn Kiều (2004), Xác suất và thống kê, Nxb Giáo dục.<br /> [3] Hà Văn Sơn (2004), Lý thuyết thống kê, Nxb Thống kê.<br /> <br /> ANALYSIS OF LINEAR RELATIONSHIP<br /> OF TWO RANDOM VARIABLES<br /> <br /> Dang Kim Phuong<br /> Faculty of Mathematics - Physics - Informatics, Tay Bac University<br /> <br /> Abstract: One of the key tasks when analyzing statistical relationship between random variables is<br /> identifying the level of relationship between them and making up the regression represented such a relationship.<br /> Within the scope of an article, we will show how to use the sample correlation coefficient and linear regression to<br /> determine relationship and performing linear relationship between two random variables X and Y.<br /> Keywords: Correlation coefficient, Linear regression function, Radom variable, Statistical hypothesis<br /> testing, Student's t-distribution.<br /> <br /> <br /> <br /> <br /> 72<br />