Phần tử hai chiều

Chia sẻ: Nguyen Vu | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:18

Thêm vào BST

Báo xấu

66
lượt xem 3
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tham khảo bài thuyết trình 'phần tử hai chiều', kỹ thuật - công nghệ, điện - điện tử phục vụ nhu cầu học tập, nghiên cứu và làm việc hiệu quả

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Phần tử hai chiều

Chương 7: Trư ng Đ i h c Công nghi p TP.HCM PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ PHẦN TỬ HAI CHIỀU HỮU HẠN - FEM Đư ng Công Truy n Thành phần ứng suất và biến dạng • Dạng tổng quát của thành phần ứng suất và biến dạng Ôn lại lý thuyết cơ bản
Liên hệ ứng suất - biến dạng Liên hệ ứng suất - biến dạng • Định luật Hooke cho vật liệu đàn hồi tuyến • Suy ra tính và đẳng hướng (1 − 2ν ) σ εx +ε y +ε z = (E x +σ y +σ z )  1 ε = σ  +ν (σ −σ )  • Hay  ε x E 1 x y z σ = Dε = σ  +ν (σ −σ )   y E y z x 1 −ν ν ν 0 0 0    ν ε 1 1 −ν ν 0 0 0   z = E σ  z +ν (σ x −σ y )    ν ν 1 −ν 0 0 0   E  τ τ τ D=   γ = xy ,γ = xy ,γ = xy G = E (1 +ν )(1 − 2ν )  0 0 0 0 ,5 −ν 0 0   yz G zx G xy G 2 (1 + ν )  0 0 0 0 0 ,5 −ν 0  E: môđun đàn hồi, ν: hệ số Poisson của vật liệu, G: môđun đàn hồi trượt    0  0 0 0 0 0 ,5 −ν   Các trường hợp đặc biệt Bài toán ứng suất phẳng (plane stress) • Bài toán 1 chiều • Kết cấu có chiều dày (z=constant) rất nhỏ so với tiết diện σ = Eε •  1 ε x = σ  x −νσ y   E  • Bài toán 2 chiều ε 1 = σ  −νσ x    y E y – Ứng suất phẳng (plane stress)  ε ν = − σ +σ   E   z x y – Biến dạng phẳng (plane strain)  τ 2 (1 + ν )τ γ xy = xy = xy  G E
Bài toán ứng suất phẳng (plane stress) Bài toán biến dạng phẳng (plane strain) • Hay: • Suy ra:   σ x  1 ν 0  ε x    E     σ y  = 2 ν 1 0  ε y    1−ν    1 −ν  τ xy  0 0  γ xy  • Kết cấu có tiết diện (= constant) rất nhỏ so với  2  chiều dài (phương z) • Hay σ = Dε • Tải trọng phân bố dọc theo chiều dài Bài toán biến dạng phẳng (plane strain) Phương trình cân bằng • Suy ra: • Trong lý thuyết đàn hồi, ứng suất thỏa mãn phương trình   σ x  1 − ν ν 0  ε x    E    σ y  = ν 1 −ν 0 ε y    (1 + ν )(1 − 2ν )  1 − 2ν   γ  τ xy   0 0   xy   2  • Hay: • Trong đó fx và fy là các lực khối (như trọng lực) σ = Dε trên đơn vị thể tích
Điều kiện biên Ví dụ 1 • Biên S của vật thể có thể chia ra làm 2 phần St và Su • Một tấm chịu lực phân bố p như hình vẽ, cho • Điều kiện biên E và ν là hằng số • Tìm chuyển vị, biến dạng và ứng suất (nghiệm • tx và ty: lực mặt (ứng suất trên biên) chính xác) Ví dụ 1 • Ứng suất • Biến dạng Phần tử hữu hạn cho bài toán hai chiều • Chuyển vị • Khi nghiệm chính xác được số hóa (ví dụ tấm có lỗ) ⇒ cần FEM
Dạng tổng quát ma trận độ cứng phần tử Dạng tổng quát ma trận độ cứng phần tử • Chuyển vị (u,v) trong mặt phẳng được nội suy • Từ liên hệ biến dạng – chuyển vị từ chuyển vị nút (ui,vi) thông qua hàm dạng Ni • B = DN là ma trận chuyển vị - biến dạng • N là ma trận hàm dạng, u là véc tơ chuyển vị, d là véc tơ chuyển vị nút Dạng tổng quát ma trận độ cứng phần tử Phần tử tam giác có biến dạng hằng (Constant strain triangle - CST) • Năng lượng biến dạng trong mỗi phần tử • Là phần tử 2D đơn giản nhất, còn được gọi là linear triangular element (phần tử tam giác bậc 1) - Phần tử có 3 nút - Mỗi nút có 2 bậc tự do - Thứ tự nút được đánh theo ngược chiều kim đồng hồ
Phần tử tam giác bậc 1 Phần tử tam giác bậc 1 • Chuyển vị u, v được giả định là hàm tuyến tính • Chuyển vi: • bi (i=1,2…6) = constant • Suy ra biến dạng: • Hay • Vì biến dạng là hằng số nên nó có tên gọi là phần tử tam giác có biến dạng hằng Hàm dạng phần tử tam giác bậc 1 Hàm dạng phần tử tam giác bậc 1 • Công thức tổng quát để tính hàm dạng: • Hàm dạng :
Hàm dạng phần tử tam giác bậc 1 Hàm dạng phần tử tam giác bậc 1 • Hàm dạng N1 • Với A là diện tích tam giác giới hạn bởi ba nút 1, 2, 3 Hàm dạng phần tử tam giác bậc 1 Hàm dạng phần tử tam giác bậc 1 • Hàm dạng N2 • Hàm dạng N3
Liên hệ biến dạng – chuyển vị Ma trận độ cứng phần tử • Từ liên hệ biến dạng – chuyển vị, ta được • Ma trận độ cứng phần tử • Là ma trận 6×6, trong đó t là chiều dày của phần tử • Kết quả nhân ma trận k được thực hiện bằng • máy tính Tìm hàm dạng theo tọa độ diện tích Tìm hàm dạng theo tọa độ diện tích • Định nghĩa tọa độ diện tích • A1 = diện tích tam giác 2-3-P • A2 = diện tích tam giác 3-1-P • A3 = diện tích tam giác 1-2-P
Tìm hàm dạng theo tọa độ diện tích Tìm hàm dạng theo tọa độ diện tích • Ta có: • Khi P → 1: DT (1 − 2 − 3 ) L1 = = 1 ; L2 = 0 ; L3 = 0 DT (1 − 2 − 3 ) • Suy ra: • Khi P →2: DT (1 − 2 − 3 ) L2 = = 1 ; L1 = 0 ; L3 = 0 DT (1 − 2 − 3 ) • A1 = diện tích tam giác 2-3-P • A2 = diện tích tam giác 3-1-P • Khi P → 3: • A3 = diện tích tam giác 1-2-P DT (1 − 2 − 3 ) L3 = = 1 ; L1 = 0 ; L2 = 0 DT (1 − 2 − 3 ) Tìm hàm dạng theo tọa độ diện tích Hàm dạng trong hệ tọa độ tự nhiên • L thỏa mãn 2 tính chất của hàm dạng, nên n ∑N i =1 i =1 • Hàm dạng (từ tọa độ diện tích)
Hàm dạng trong hệ tọa độ tự nhiên Phần tử tam giác bậc 1 • Tính chất hàm dạng • Liên hệ giữa hệ tọa độ tổng thể và hệ tọa độ tự nhiên • Hàm dạng N1 • Trong đó Phần tử tam giác bậc 1 Phần tử tam giác bậc 1 • Sử dụng đạo hàm của hàm hợp ta được • Suy ra • Trong đó J là ma trận chuyển đổi Jacobian • Tương tự
Phần tử tam giác bậc 1 Phần tử tam giác bậc 1 • Dùng cho diện tích có tốc độ biến dạng nhỏ • Từ liên hệ biến dạng – chuyển vị • Dùng tạo lưới cho các bề măt tiếp giáp (từ lưới tinh sang lưới thô) • Dùng phân tích sơ bộ bài toán 2D • Tránh sử dụng tại những nơi tập trung ứng • Suy ra suất (cạnh của góc, của lỗ, …) Ph n t tam giác có bi n d ng h ng KHÔNG thích h p cho các v t li u ph c h p Phần tử tam giác có biến dạng bậc 1 Phần tử tam giác bậc 2 (Linear strain triangle - LST) • Chuyển vị u, v được giả định là hàm bậc 2 • Còn gọi là phần tử tam giác bậc 2 (quadratic triangular element) • bi (i=1,2…12) = constant - Phần tử có 6 nút - Mỗi nút có 2 bậc tự do • Biến dạng được tính là - Thứ tự nút được đánh theo ngược chiều kim đồng hồ, từ ngoài vào trong • Vì biến dạng là hàm bậc 1 nên nó có tên gọi là phần tử tam giác có biến dạng bậc 1
Hàm dạng phần tử tam giác bậc 2 Hàm dạng phần tử tam giác bậc 2 • Xét phần tử tam giác tổng quát bậc p theo tọa • Hàm dạng được tính theo công thức độ diện tích • Số nút phần tử bậc p • Với • Tại mỗi nút thì • Trong đó • Ví dụ khi α=1, β =1 Hàm dạng phần tử tam giác bậc 2 Hàm dạng phần tử tam giác bậc 2 • Hàm dạng theo tọa điện tích • Tương tự ta được N 2 = ( 2 L2 − 1) L2 N 3 = ( 2 L3 − 1) L3
Hàm dạng phần tử tam giác bậc 2 Hàm dạng phần tử tam giác bậc 2 • Hàm dạng N4 • Tương tự ta được N 5 = 4 L2 L3 N 6 = 4 L1 L3 Hàm dạng phần tử tam giác bậc 2 Phần tử tam giác bậc 2 • Hàm dạng trong hệ tọa độ tự nhiên • Chuyển vị N1 = ( 2 L1 − 1) L1 N 2 = ( 2 L2 − 1) L2 N3 = ( 2 L3 − 1) L3 N 4 = 4 L1 L2 N 5 = 4 L2 L3 N 6 = 4 L1 L3 • Ma trận độ cứng phần tử • Thay L1=ξ, L2= η, L3= 1- ξ -η ta được • Chuyển vị là hàm bậc hai đối với x và y • Kết quả nhân ma trận k được thực hiện bằng máy tính
Phần tử tứ giác bậc 1 Hàm dạng phần tử tứ giác bậc 1 (Linear quadrilateral element) • Hàm dạng được xây dựng từ định lý Lagrange như sau: n x − xm N k ( x ) = Lk ( x ) = ∏ m=0 xk − xm k ≠m • Áp dụng định lý Lagrange theo 2 phương (x, y) - Phần tử có 4 nút hay (ξ, η) - Mỗi nút có 2 bậc tự do N k ( x, y ) = Lk ( x ) × Lk ( y ) - Thứ tự nút được đánh theo ngược chiều kim đồng hồ Phần tử tứ giác bậc 1 Phần tử tứ giác bậc 1 • Hàm dạng • Hàm dạng trong hệ tọa độ tự nhiên N1 (ξ ,η ) = L1 (ξ ) × L1 (η ) ξ − 1 η −1 1 = = (1 − ξ )(1 −η ) −1 − 1 −1 − 1 4 ξ − ( −1) η − 1 1 N 2 ( ξ ,η ) = L2 ( ξ ) × L2 (η ) = = (1 + ξ )(1 − η ) 1 − ( −1) −1 − 1 4 ξ − ( −1) η − ( −1) 1 N 3 (ξ ,η ) = L3 (ξ ) × L3 (η ) = = (1 + ξ )(1 + η ) 1 − ( −1) 1 − ( −1) 4 ξ − 1 η − ( −1) 1 N 4 ( ξ ,η ) = L4 ( ξ ) × L4 (η ) = = (1 − ξ )(1 + η ) −1 − 1 1 − ( −1) 4
Phần tử tứ giác bậc 2, chín nút Phần tử tứ giác bậc 2, chín nút (9-node quadratic quadrilateral element) • Hàm dạng (từ định lý Lagrange) - Phần tử có 9 nút - Mỗi nút có 2 bậc tự do N1 (ξ ,η ) = L1 (ξ ) × L1 (η ) - Thứ tự nút được đánh theo ngược chiều kim đồng hồ, từ ngoài vào = (ξ − 0 )(ξ − 1) (η − 0 )(η − 1) trong ( −1 − 0 )( −1 − 1) ( −1 − 0 )( −1 − 1) 1 = (1 − ξ )(1 − η ) ξη 4 Phần tử tứ giác bậc 2, chín nút Phần tử tứ giác bậc 2, tám nút (8-node quadratic quadrilateral element) • Hàm dạng • Là phần tử được sử dụng rộng rãi nhất trong các bài toán 2D do độ chính xác trong phân tích và linh hoạt cao trong mô phỏng - Phần tử có 8 nút - Mỗi nút có 2 bậc tự do - Thứ tự nút được đánh theo ngược chiều kim đồng hồ, từ ngoài vào trong •
Phần tử tứ giác bậc 2, tám nút Phần tử tứ giác bậc 2, tám nút • Tính hàm dạng theo công thức sau • Hàm dạng Phần tử tứ giác bậc 2, tám nút Ghi chú • Trường chuyển vị là các hàm bậc hai. • Lưới các phần tử bậc nhất gồm: phần tử tam giác bậc nhất và phần tử tứ giác bậc nhất • Lưới các phần tử bậc hai gồm: phần tử tam giác bậc hai và phần tử tứ giác bậc hai • Các phần tử bậc hai thích hợp cho sự phân • Biến dạng và ứng suất là các hàm bậc nhất sẽ tích ứng suất do độ chính xác trong phân tích được biểu diễn tốt hơn và linh hoạt cao trong mô phỏng hình dạng hình học phức tạp (ví dụ các biên cong).
Ví dụ 2 Ví dụ 2 • Tấm (10 in×10 in×0,1 in) có lỗ ở tâm (φ = 1 in) • Nghiệm giải tích: Ứng suất max sẽ tập trung ở A và B. Nghiệm chính xác cho bài toán tấm có kích thước chịu lực như hình vẽ. Cho E =10×106 psi, ν = vô hạn với lỗ ở tâm là 3p (300 psi). 0,3, p = 100 psi. Tìm ứng suất lớn nhất trong • Nghiệm FEM: sử dụng ANSYS với các dạng phần tử tấm? khác nhau Lưới tam giác bậc hai Lưới tứ giác bậc nhất Lưới tứ giác bậc hai Lưới tứ giác bậc hai Ví dụ 2 Ví dụ 2 Lưới tứ giác bậc hai, 493 phần tử Ứng suất Max, lưới tứ giác bậc hai, 493 phần tử
Bài tập về nhà 1 Bài tập về nhà 2 • Tìm hàm dạng của phần tử tam giác bậc 3, • Tìm hàm dạng của phần tử tứ giác mười nút mười nút