V ng Vĩnh Phát ươ Toán cao c pấ
Ch ng I: Phép tính vi phân hàm m t bi nươ ộ ế
1.1. Hàm s và gi i h n c a hàm s :ố ớ ạ ủ ố
1.1.1. Hàm s :ố
Đ nh nghĩa: ịCho X là m t t p con c a t p s th c ộ ậ ủ ậ ố ự
ﾡ
. M t hàm s xác đ nh trên Xộ ố ị
là m t quy t c f đ t t ng ng m i đi m ộ ắ ặ ươ ứ ỗ ể
x X
v i m t giá tr duy nh t f(x) ớ ộ ị ấ
ﾡ
.
Ký hi u:ệ
f : X ﾡ
x y f (x)=a
X đ c g i là t p xác đ nh c a hàm s f. ượ ọ ậ ị ủ ố
T p h p ậ ợ
{ }
f (x) x X
đ c g i là t p giá tr c a hàm s f.ượ ọ ậ ị ủ ố
Đ th c a hàm s :ồ ị ủ ố
Cho hàm s f có t p xác đ nh X. T p h p t t c các đi m ố ậ ị ậ ợ ấ ả ể
( )
( )
x,f x
v i ớ
x X
đ cượ
g i là đ th c a hàm s f.ọ ồ ị ủ ố
Hàm s đ n đi u: ố ơ ệ
Cho hàm s y = f(x) xác đ nh trên kho ng (a, b).ố ị ả
■ N u ế
( ) ( ) ( )
1 2 1 2 1 2
x , x a,b , x x f x f x∀ < <� �
thì f đ c g i là hàm s tăngượ ọ ố
trên kho ng (a, b).ả
■ N u ế
( ) ( ) ( )
1 2 1 2 1 2
x , x a,b , x x f x f x∀ < >� �
thì f đ c g i là hàm s gi mượ ọ ố ả
trên kho ng (a, b).ả
Hàm s ch n, hàm s l :ố ẵ ố ẻ
Cho hàm s xác đ nh trên t p h p X.ố ị ậ ợ
■ f đ c g i là hàm s ch n n u ượ ọ ố ẵ ế
■ f đ c g i là hàm s l n u ượ ọ ố ẻ ế
1
V ng Vĩnh Phát ươ Toán cao c pấ
Đ th c a hàm s ch n đ i x ng qua tr c Oy, còn đ th hàm s l đ i x ng quaồ ị ủ ố ẵ ố ứ ụ ồ ị ố ẻ ố ứ
g c t a đ .ố ọ ộ
1.1.2. Gi i h n c a hàm s m t bi n:ớ ạ ủ ố ộ ế
Đ nh nghĩa: ịCho hàm s y = f(x) xác đ nh trên kho ng (a, b) có th tr ra đi mố ị ả ể ừ ể
( )
0
x a, b
. Ta nói hàm s f(x) có gi i h n là A khi x ti n t i ố ớ ạ ế ớ
0
x
n u v i m i dãyế ớ ọ
{ } ( ) { }
n 0
x a,b \ x
,
n 0
n
lim x x
=
ta đ u có ề
( )
n
n
lim f x A
=
Ký hi u:ệ
( )
00
x x
lim f x A 0, 0,0 x x f (x) A
= ∀ε > ∃δ > < − < δ − < ε� �
Các phép toán v gi i h n:ề ớ ạ
Cho f(x), g(x) là hai hàm s có gi i h n khi ố ớ ạ
0
x x
. Khi đó:
[ ]
0 0 0
x x x x x x
i) lim f (x) g(x) lim f (x) lim g(x)
=
[ ]
0 0 0
x x x x x x
ii) lim f (x)g(x) lim f (x).lim g(x)
=
()
0
0 0
0
x x
x x x x
x x
lim f (x)
f (x)
iii) lim lim g(x) 0
g(x) lim g(x)
=
[ ]
x x0
0 0
lim g(x)
g( x )
x x x x
iv) lim f (x) lim f (x)
� �
=� �
M t s gi i h n c b n:ộ ố ớ ạ ơ ả
a) N u f(x) là m t hàm s s c p và xế ộ ố ơ ấ 0 thu c mi n xác đ nh c a nó thì:ộ ề ị ủ
( )
0
0
x x
lim f (x) f x
=
b)
x
x
lim e
+
= +
,
x
x
lim e 0
−
=
c)
x
x 0
lim ln x , lim ln x
+
+
= − = +
d)
0
x x
lim c c
=
e)
x 0
sinx
lim 1
x
=
2
V ng Vĩnh Phát ươ Toán cao c pấ
f)
x
x 0
e 1
lim 1
x
−=
g)
x
x
1
lim 1 e
x
� �
+ =
� �
� �
Ví d :ụ Tính các gi i h n sau:ớ ạ
a)
2
x 2x 1
x
lim e− + +
b)
( )
1
x
x
lim 1 sinx
+
c)
x 0
sin5x
lim x
Gi iả
Ta có:
a)
2
x 2x 1
x
lim e 0
− + +
=
b)
( ) ( ) ( )
x
sinx sinx
lim
1 1 1
x x
x sin x sin x
x x x
lim 1 sinx lim 1 sinx lim 1 sinx e
� � � �
+ = + = + =
� � � �
� � � �
c)
x 0 x 0 x 0
sin5x sin5x sin5x
lim lim 5. 5lim 5.1 5
x 5x 5x
� � � �
= = = =
� � � �
� � � �
1.2. Vô cùng bé, vô cùng l n:ớ
1.2.1. Vô cùng bé:
Đ nh nghĩa:ị Hàm
( )
xα
đ c g i là vô cùng bé (VCB) khi ượ ọ
0
x x
n u ế
( )
0
x x
lim x 0
α =
.
Cho
( )
xα
,
( )
xβ
là hai VCB khi
0
x x
. Gi s t n t i ả ử ồ ạ
( )
( )
0
x x
x
lim A
x
α=
β
♦Tr ng h p 1:ườ ợ N u A = 1 thì ế
( )
xα
,
( )
xβ
là hai VCB t ng đ ng.ươ ươ
Ký hi u: ệ
( ) ( )
x xα β:
khi
0
x x
.
♦ Tr ng h p 2:ườ ợ N u ế
A , A 1, A 0ι�ﾡ
thì
( )
xα
,
( )
xβ
là hai VCB
cùng c p.ấ
♦ Tr ng h p 3:ườ ợ N u A = 0 thì VCB ế
( )
xα
g i là c p cao h n VCBọ ấ ơ
( )
xβ
khi
0
x x
. Ký hi u: ệ
( ) ( )
( )
x O xα = β
khi
0
x x
.
3
V ng Vĩnh Phát ươ Toán cao c pấ
Ví d :ụ Ta có:
x 0
sinx
lim 1
x
=
sinx x:
khi
x 0
Ví d : ụTa có:
2
x 0
x
lim 0
x
=
nên
2
x
c p cao h n x.ấ ơ
1.2.2. Vô cùng l n:ớ
Đ nh nghĩa:ị Hàm
( )
xα
g i là vô cùng l n ( VCL ) khi ọ ớ
0
x x
n u ế
( )
0
x x
lim x
α = +
D th y r ng n u ễ ấ ằ ế
( )
xα
là VCL thì
( )
1
xα
là VCB, ng c l i n u ượ ạ ế
( )
xα
là VCB thì
( )
1
xα
là VCL
( )
( )
x 0α
Nh v y, vi c nghiên c u các VCL có th chuy n sang các VCB.ư ậ ệ ứ ể ể
1.3. Hàm s m t bi n liên t c:ố ộ ế ụ
Đ nh nghĩa:ị Cho hàm s y = f(x) xác đ nh trên kho ng (a, b), ố ị ả
( )
0
x a, b
. Hàm số
f(x) đ c g i là liên t c t i xượ ọ ụ ạ 0 n u ế
00
x x
lim f (x) f (x )
=
.
Tr ng h p ườ ợ
0
0
x x
lim f (x) f (x )
−
=
thì ta nói hàm s liên t c bên trái t i đi m xố ụ ạ ể 0,
0
0
x x
lim f (x) f (x )
+
=
thì ta nói hàm s liên t c bên ph i t i đi m xố ụ ả ạ ể 0.
V y f liên t c t i xậ ụ ạ 0
0 0 0
x x x x
lim f (x) lim f (x) f (x )
+ −
= =�
.
N u hàm s không liên t c t i xế ố ụ ạ 0 thì f đ c g i là gián đo n t i đi m xượ ọ ạ ạ ể 0. V y f giánậ
đo n t i đi m xạ ạ ể 0 khi không t n t i ồ ạ
0
x x
lim f (x)
ho c ặ
00
x x
lim f (x) f (x )
Đ nh lí: ịCho hàm s f liên t c trên đo n [a, b]. Khi đó:ố ụ ạ
i) f b ch n trên đo n [a, b],ị ặ ạ nghĩa là t n t i s M > 0 sao cho:ồ ạ ố
[ ]
f (x) M x a,b ∀
ii) f có giá tr l n nh t và giá tr nh nh t trên đo n [a, b].ị ớ ấ ị ỏ ấ ạ
iii)
[ ] [ ]
( )
0 0
c f (a),f (b) , x a, b : f x c∀ ∃ =� �
iv) N u f(a).f(b) < 0 thì t n t i ế ồ ạ
[ ]
0 0
x a, b : f (x ) 0=�
4
V ng Vĩnh Phát ươ Toán cao c pấ
v)
1.4. Đ o hàm:ạ
1.4.1. Đ o hàm c p m t và đ o hàm c p cao:ạ ấ ộ ạ ấ
Đ nh nghĩa:ị Cho hàm s y = f(x) xác đ nh trên kho ng (a, b), ố ị ả
( )
0
x a, b
. Cho x0 m tộ
s gia ố
x
∆
. Đ t ặ
( )
0 0
y f x x f (x )∆ = + ∆ −
. N u t n t i gi i h nế ồ ạ ớ ạ
( )
0 0
x 0 x 0
f x x f (x )
y
lim lim
x x
∆ ∆
+ ∆ −
∆=
∆ ∆
thì gi i h n này đ c g i là đ o hàm c a hàm sớ ạ ượ ọ ạ ủ ố
y = f(x) t i đi m xạ ể 0.
Ký hi u:ệ
( ) ( )
0 0
0x 0 x 0
f x x f (x )
y
f x lim lim
x x
∆ ∆
+ ∆ −
∆
= =
∆ ∆
Hàm s có đ o hàm g i là hàm kh vi.ố ạ ọ ả
Đ o hàm c a hàm s ạ ủ ố
y
đ c g i là đ o hàm c p hai c a hàm s y = f(x). Ký hi u:ượ ọ ạ ấ ủ ố ệ
y f (x)
=
T ng quát: đ o hàm c p n c a hàm s y = f(x) là ổ ạ ấ ủ ố
( ) ( )
( )
n n 1
y y −
=
1.4.2. Ý nghĩa hình h c c a đ o hàm:ọ ủ ạ
N u hàm s y = f(x) có đ o hàm t i đi m xế ố ạ ạ ể 0 thì ti p tuy n c a hàm s t iế ế ủ ố ạ
đi m ể
( )
0 0
M x ,f (x )
có ph ng trình: ươ
( ) ( )
0 0 0
y y f x x x
− = −
1.4.3. Cách tính đ o hàm:ạ
5