intTypePromotion=1
zunia.vn Tuyển sinh 2024 dành cho Gen-Z zunia.vn zunia.vn
ADSENSE
 » 
 » 

Phép tính vi phân hàm một biến

Chia sẻ: Kiet Dang AK.Pr | Ngày: | Loại File: DOC | Số trang:34

Thêm vào BST
Báo xấu
328
lượt xem 49
download
 
  Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

. KHÁI NIỆM ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN 1. ĐẠO HÀM Cho hàm số f : D lân cận V và x là điểm trong của D, nghĩa là có f (s) f ( x) s x có giới hạn khi s x thì giá trị của giới hạn này được gọi là đạo hàm của f tại x và được ký hiệu là f ( x) , nghĩa là, (x ,x ) của x chứa trong D. Nếu tỉ số f ( x) f (s) s x s lim f ( x) x h lim f (x 0 h)...

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Phép tính vi phân hàm một biến

  1. Vương Vĩnh Phát Toán cao cấp Chương I: Phép tính vi phân hàm một biến 1.1. Hàm số và giới hạn của hàm số: 1.1.1. Hàm số: Định nghĩa: Cho X là một tập con của tập số th ực ﾡ . Một hàm số xác định trên X là một quy tắc f đặt tương ứng mỗi điểm x X với một giá trị duy nhất f(x) ﾡ . Ký hiệu: f : X ﾡ x a y = f (x) X được gọi là tập xác định của hàm số f. Tập hợp { f (x) x X} được gọi là tập giá trị của hàm số f. Đồ thị của hàm số: Cho hàm số f có tập xác định X. Tập h ợp tất cả các đi ểm ( x, f ( x ) ) với x X được gọi là đồ thị của hàm số f. Hàm số đơn điệu: Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (a, b). ■ Nếu ∀x1 , x 2 � a, b ) , x1 < x 2 � f ( x1 ) < f ( x 2 ) thì f được gọi là hàm số tăng ( trên khoảng (a, b). ■ Nếu ∀x1 , x 2 � a, b ) , x1 < x 2 � f ( x1 ) > f ( x 2 ) thì f được gọi là hàm số giảm ( trên khoảng (a, b). Hàm số chẵn, hàm số lẻ: Cho hàm số xác định trên tập hợp X. ∀x �� − x �X X ■ f được gọi là hàm số chẵn nếu f ( − x) = f (x) ∀x �� − x �X X ■ f được gọi là hàm số lẻ nếu f ( − x) = −f (x) 1
  2. Vương Vĩnh Phát Toán cao cấp Đồ thị của hàm số chẵn đối xứng qua trục Oy, còn đồ thị hàm số lẻ đối xứng qua gốc tọa độ. 1.1.2. Giới hạn của hàm số một biến: Định nghĩa: Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (a, b) có th ể tr ừ ra đi ểm ( a, b ) . Ta nói hàm số f(x) có giới hạn là A khi x tiến tới x0 x 0 nếu với mọi dãy = x 0 ta đều có lim f ( x n ) = A { x } ( a, b ) \ { x } , lim x n n 0 n n Ký hiệu: lim f ( x ) = A � ∀ε > 0, ∃δ > 0, 0 < x − x 0 < δ � f (x) − A < ε xx 0 Các phép toán về giới hạn: Cho f(x), g(x) là hai hàm số có giới hạn khi x x 0 . Khi đó: i) lim [ f (x) g(x) ] = lim f (x) lim g(x) x x0 x x0 x x0 ii) lim [ f (x)g(x) ] = lim f (x).lim g(x) xx xx xx 0 0 0 f (x) lim f (x) ( lim g(x) 0) = xx iii) lim 0 g(x) lim g(x) xx x x0 0 xx 0 lim g( x ) iv) lim [ f (x) ] = � x f (x) � g( x ) x x0 lim � � xx x 0 0 Một số giới hạn cơ bản: a) Nếu f(x) là một hàm số sơ cấp và x 0 thuộc miền xác định của nó thì: lim f (x) = f ( x 0 ) xx 0 b) xlim e = + , xlim e = 0 x x + − c) x 0 ln x = − , xlim ln x = + lim + + d) lim c = c xx 0 s inx =1 e) lim x x0 2
  3. Vương Vĩnh Phát Toán cao cấp ex − 1 =1 f) lim x x0 x � 1� g) lim �+ �= e 1 � x� x Ví dụ: Tính các giới hạn sau: sin5x 1 b) lim ( 1 + sinx ) 2 − x +2 x +1 a) lim e c) lim x x x x0 x Giải Ta có: =0 2 − x + 2 x +1 a) lim e x sinx sinx lim b) lim ( 1 + sinx ) = lim � + sinx ) � = � 1 + sinx � 1 1 1 (1 � �( ) x x x =e lim x sin x sin x � � � �� � x x x sin5x sin5x � sin5x � � � = lim 5.� = x0 � 5.1 = 5 = c) lim � 5lim � x � 5x � � 5x � x0 x0 1.2. Vô cùng bé, vô cùng lớn: 1.2.1. Vô cùng bé: x 0 nếu lim α ( x ) = 0 Định nghĩa: Hàm α ( x ) được gọi là vô cùng bé (VCB) khi x xx 0 . α( x) Cho α ( x ) , β ( x ) là hai VCB khi x =A x 0 . Giả sử tồn tại lim β( x) xx 0 ♦Trường hợp 1: Nếu A = 1 thì α ( x ) , β ( x ) là hai VCB tương đương. Ký hiệu: α ( x ) : β ( x ) khi x x0 . 0 thì α ( x ) , β ( x ) là hai VCB ♦ Trường hợp 2: Nếu A ι� , A 1, A ﾡ cùng cấp. ♦ Trường hợp 3: Nếu A = 0 thì VCB α ( x ) gọi là cấp cao hơn VCB x 0 . Ký hiệu: α ( x ) = O ( β ( x ) ) khi x β ( x ) khi x x0 . 3
  4. Vương Vĩnh Phát Toán cao cấp s inx =1 Ví dụ: Ta có: lim s inx : x khi x 0 x x0 x2 = 0 nên x 2 cấp cao hơn x. Ví dụ: Ta có: lim x x0 1.2.2. Vô cùng lớn: x 0 nếu lim α ( x ) = + Định nghĩa: Hàm α ( x ) gọi là vô cùng lớn ( VCL ) khi x xx 0 1 Dễ thấy rằng nếu α ( x ) là VCL thì là VCB, ngược lại nếu α ( x ) là VCB thì α( x) 1 là VCL ( α ( x ) 0) α( x) Như vậy, việc nghiên cứu các VCL có thể chuyển sang các VCB. 1.3. Hàm số một biến liên tục: ( a, b ) . Hàm số Định nghĩa: Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (a, b), x 0 f(x) được gọi là liên tục tại x0 nếu lim f (x) = f (x 0 ) . xx 0 Trường hợp xlim f (x) = f (x 0 ) thì ta nói hàm số liên tục bên trái tại điểm x 0, − x 0 lim f (x) = f (x 0 ) thì ta nói hàm số liên tục bên phải tại điểm x0. + x x 0 Vậy f liên tục tại x0 � xlim f (x) = xlim f (x) = f (x 0 ) . + − x x 0 0 Nếu hàm số không liên tục tại x0 thì f được gọi là gián đoạn tại điểm x 0. Vậy f gián đoạn tại điểm x0 khi không tồn tại x x f (x) hoặc x x f (x) f (x 0 ) lim lim 0 0 Định lí: Cho hàm số f liên tục trên đoạn [a, b]. Khi đó: i) f bị chặn trên đoạn [a, b], nghĩa là tồn tại số M > 0 sao cho: [ a, b ] M ∀x f (x) ii) f có giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trên đoạn [a, b]. iii) ∀c � f (a), f (b) ] , ∃x 0 � a, b ] : f ( x 0 ) = c [ [ iv) Nếu f(a).f(b) < 0 thì tồn tại x 0 � a, b ] : f (x 0 ) = 0 [ 4
  5. Vương Vĩnh Phát Toán cao cấp v) 1.4. Đạo hàm: 1.4.1. Đạo hàm cấp một và đạo hàm cấp cao: ( a, b ) . Cho x0 một Định nghĩa: Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (a, b), x 0 ∆y = f ( x 0 + ∆x ) − f (x 0 ) . ∆x . số Đ ặt Nếu tồn tại giới hạn gia f ( x 0 + ∆x ) − f (x 0 ) ∆y = ∆lim0 thì giới hạn này được gọi là đạo hàm của hàm số lim ∆x ∆x ∆x 0 x y = f(x) tại điểm x0. f ( x 0 + ∆x ) − f (x 0 ) ∆y Ký hiệu: f ( x 0 ) = lim = ∆x 0 lim ∆x ∆x ∆x 0 Hàm số có đạo hàm gọi là hàm khả vi. Đạo hàm của hàm số y được gọi là đạo hàm cấp hai của hàm số y = f(x). Ký hi ệu: y = f (x) ( ) Tổng quát: đạo hàm cấp n của hàm số y = f(x) là y( n ) = y ( n −1) 1.4.2. Ý nghĩa hình học của đạo hàm: Nếu hàm số y = f(x) có đạo hàm tại điểm x 0 thì tiếp tuyến của hàm số tại điểm M ( x 0 , f (x 0 ) ) có phương trình: y − y0 = f ( x 0 ) ( x − x 0 ) 1.4.3. Cách tính đạo hàm: 5
  6. Vương Vĩnh Phát Toán cao cấp ( c) ( c = const ) =0 (x ) = nx n −1 n (a ) (0 0) = x ( sinx ) ( cosx ) = cosx = − sinx 1 1 ( tgx ) ( cotgx ) = =− cos 2 x sin 2 x Các quy tắc tính đạo hàm: ( cu ) ( c = const ) = c.u (u v) = u v ( uv ) =uv+vu � � uv−vu u � �= v v2 �� Ví dụ: Tính đạo hàm của các hàm số sau: x2 + x −1 d) y = x.sinx a) y = x 3 − 3x 2 + 1 b) y = c) y = x 2e x 2x + 5 1.4.4. Vi phân của hàm một biến: Định nghĩa: Hàm f khả vi tại x0 nếu và chỉ nếu f có đạo hàm tại x0. dy = f ( x) Vi phân của hàm y = f(x) là dy = f (x)dx � dx Vi phân cấp cao: Nếu hàm số f có đạo hàm đến cấp n thì vi phân cấp n của hàm số f là: d y = f ( x ) dx ( n) n n Ví dụ: Cho hàm số y = x + 2x + 1 . 3 Khi đó: dy = ( 3x + 2 ) dx , d y = 6xdx 2 2 2 1.5. Ứng dụng của đạo hàm và vi phân: 1.5.1. Khử dạng vô định trong tính giới hạn: 6
  7. Vương Vĩnh Phát Toán cao cấp Định lí: Quy tắc L’Hospital ϕ(x) ϕ(x) ϕ (x) 0 =x x lim lim lim Nếu x x có dạng hoặc thì x x ψ (x) ψ (x) ψ (x) 0 0 0 0 Ví dụ: 2x 3 − 3x + 3 (dạng lim 3 a) Tính x ) -x + 2x 2 + x x 3 − 3x + 3 (dạng lim b) Tính x ) 4x 2 + x + 2 −3x 2 + 3 lim (dạng c) Tính x ) 3 − x + 5x 3 1.5.2. Cực trị của hàm một biến: ( a, b ) . Điểm x được gọi là Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (a, b) và x 0 0 khoảng mở I ( x I ) sao cho: điểm cực đại của hàm số y = f(x) nếu tồn tại 0 f(x) < f ( x 0 ) ∀x I \ { x 0 } Điểm x 0 được gọi là điểm cực tiểu của hàm số y = f(x) nếu tồn t ại kho ảng m ở I ( x0 I ) sao cho: f(x) > f ( x 0 ) ∀x I \ { x 0 } Điểm x0 được gọi là điểm cực trị nếu nó là điểm cực đại hoặc cực tiểu. Định lí: Nếu x0 là điểm thỏa f ( x 0 ) = 0 và đạo hàm đổi dấu từ âm sang dương thì điểm x0 là điểm cực tiểu của hàm số. Nếu x0 là điểm thỏa f ( x 0 ) = 0 và đạo hàm đổi dấu từ dương sang âm thì điểm x0 là điểm cực đại của hàm số x1 x2 x y’ 0 - 0 + + CĐ y CT Định lí: Nếu x0 là điểm mà tại đó f ( x 0 ) = 0 và f (x )
  8. Vương Vĩnh Phát Toán cao cấp Nếu x0 là điểm mà tại đó f ( x 0 ) = 0 và f ( x ) > 0 thì hàm số đạt cực tiểu tại điểm 0 x0. 1.5.3. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số: Cho hàm số y = f(x) xác định là liên tục trên đoạn [a, b] và f khả vi trong (a, b). Để tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y = f(x) trên đoạn [a, b] ta làm như sau: Bước 1: Tính y [ a, b] Bước 2: Giải phương trình y = 0 tìm các nghiệm x i Bước 3: Tính f(a), f(b), f(xi) Khi đó: max] f (x) = max { f(a), f(b), f(x i ) } x [ a, b min f (x) = min { f(a), f(b), f(x i ) } [ ] xa, b Ví dụ: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y = x − 3x + 3 trên đoạn 3 [ 0, 2] Ta có: y = 3x − 3 2 x =1� y =1 y = 0 � x2 = 1 � x = −1 � y = 5 Mặt khác: f (0) = 3, f (2) = 5 ( x = 2 �x = −1) ( x = 1) Vậy max] f (x) = 5 và xmin] f (x) = 1 [ 0, 2 x [ 0, 2 Ví dụ: Một nhà máy sản xuất máy tính xác định rằng để bán x sản phẩm mới, giá mỗi sản phẩm phải là: p = 1000 – x. Nhà sản xuất cũng xác định được tổng giá trị của x sản phẩm làm ra cho bởi C(x) = 3000 + 20x a) Tìm tổng thu nhập R(x) b) Tìm tổng lợi nhuận P(x) c) Nhà máy phải sản xuất và bán bao nhiêu sản phẩm để lợi nhuận đạt max. d) Lợi nhuận lớn nhất là bao nhiêu trong trường hợp câu c) Giá mỗi sản phẩm là bao nhiêu để lợi nhuận đạt max. MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA TOÁN HỌC TRONG KINH TẾ 8
  9. Vương Vĩnh Phát Toán cao cấp 1.1. Bài toán tìm kích thước lô hàng tối ưu: Giả sử n là số đơn vị một loại hàng mà một cửa hàng bán đ ược trong m ột năm, h là chi phí lưu kho cho một đơn vị hàng trong một năm, p là chi phí cho m ỗi chuy ến đ ặt hàng, còn Q là kích thước của mỗi chuyến đặt hàng ( kích th ước c ủa m ỗi lô hàng ). Ta xem n, h, p là những hằng số, còn Q là biến số, lúc này tổng chi phí trong m ột năm của cửa hàng đối với loại hàng hóa trên là hàm số C ( Q ) bao gồm 2 loại chi phí: chi phí lưu kho và chi phí cho các chuyến hàng. Q .h ■ Chi phí lưu kho: 2 n .p ■ Chi phí cho các chuyến hàng: Q Ví dụ: Một cửa hàng bán lẻ bán 2500 cái tivi mỗi năm. Chi phí gởi trong kho là $ 10 một cái trong một năm. Để đặt hàng, chi phí cố định là $20, cộng thêm $9 m ỗi cái. Cửa hàng nên đặt hàng bao nhiêu lần trong mỗi năm và mỗi lần đặt bao nhiêu cái để chi phí hàng tồn kho là nhỏ nhất ? Giải Ta có: n = 2500, h = 10. Gọi Q là số tivi mà cửa hàng đặt hàng mỗi lần. Khi đó: Q [ 1 ;2500] . Q Khi đó, số lượng tivi trung bình gởi trong kho là . Do đó, chi phí lưu kho mỗi năm 2 Q là 10. = 5Q (1) 2 2500 Số lần đặt hàng mỗi năm là: . Do đó, chi phí đặt hàng mỗi năm là: Q 2500 50000 (20 + 9Q) = + 22500 (2) Q Q Từ (1) và (2) suy ra chi phí của cửa hàng là: 50000 C(Q) = 5Q + + 22500 Q 50000 Ta có : C ( Q) = 5 − Q2 Q = 100 C ( Q) = 0 � 5Q2 = 50000 � Q2 = 10000 � Q = −100 [ 1;2500] nên ta loại Q = - 100 Vì Q 9
  10. Vương Vĩnh Phát Toán cao cấp 100000 > 0 với Q>0 nên Q min ] C ( Q) = C ( 100) = 23500 C ( Q) = [ 1;2500 Q3 2500 = 25. Khi đó, số lần đặt hàng mỗi năm là 100 Vậy, để chi phí hàng tồn kho nhỏ nhất thì cửa hàng nên đặt hàng 25 lần mỗi năm và mỗi lần đặt 100 cái tivi. Ví dụ: Số hàng hóa của một cửa hàng bán ra trong một năm là n = 400000 s ản phẩm, chi phí lưu kho của mỗi đơn vị hàng hóa là $2, chi phí cho m ỗi chuy ến đ ặt hàng là $10. Xác định kích thước lô hàng Q để tổng chi phí c ủa c ửa hàng là nh ỏ nhất. 1.2. Ý nghĩa của đạo hàm: Giả sử hai biến x và y có mối quan hệ hàm y = f(x) ( chẳng hạn x là giá của một loại hàng hóa và y là số lượng hàng đó bán ra ). Trong thực tế người ta quan tâm đến xu hướng biến thiên của biến y tại x 0 khi x thay đổi một lượng nhỏ ∆x . Lượng thay đổi của y khi x thay đổi một lượng ∆x là: ∆y = f ( x 0 + ∆x ) − f ( x 0 ) ∆y Tốc độ thay đổi trung bình của y theo x trong khoảng từ x0 đến x0 + ∆x là: ∆x Tốc độ thay đổi tức thời của y theo x tại điểm x0 là: f (x 0 + ∆x) − f (x 0 ) ∆y = f ( x0 ) = lim lim ∆x ∆x 0 ∆x ∆x 0 ∆y f ( x 0 ) hay ∆y f ( x 0 ) ∆x Khi ∆x khá nhỏ thì ∆x Vậy x thay đổi một lượng ∆x thì y thay đổi một lượng xấp xỉ bằng f ( x 0 ) ∆x ( chẳng hạn giá thay đổi một lượng ∆x thì số hàng bán ra thay đổi một lượng là f ( x 0 ) ∆x ) Ví dụ: Hàm cầu của một loại sản phẩm là P = 50 − Q 2 . Tìm tốc độ thay đổi giá khi lượng cầu Q thay đổi. Giá thay đổi như thế nào khi Q = 1 ? Giải Tốc độ thay đổi của giá P theo Q là: P = −2Q . Do đó: P (1) = −2.1 = −2 . Điều này có nghĩa là khi lượng cầu tăng thêm 1 đơn vị sản phẩm thì giá gi ảm trên m ột đ ơn v ị sản phẩm là 2 đơn vị tiền. 10
  11. Vương Vĩnh Phát Toán cao cấp Ý nghĩa của vấn đề: Khi giá sản phẩm cao thì nhu cầu mua sản phẩm đó sẽ giảm, ngược lại khi giá sản phẩm xuống thấp hơn thì nhu cầu mua sản phẩm đó sẽ tăng lên. Lãi suất ngân hàng cuối năm 2007 là 1,25% / tháng thì có nhiều người mua đất c ất nhà hơn. Đến tháng 5 năm 2008 lãi suất ngân hàng là 1,75% / tháng thì số người mua đất cất nhà sẽ giảm đi. 1.3. Giá trị cận biên: Trong kinh tế, đại lượng đo tốc độ thay đổi của bi ến ph ụ thu ộc y khi bi ến đ ộc l ập x thay đổi một lượng nhỏ gọi là giá trị cận biên của y đối với x, ký hiệu: My(x). dy Từ định nghĩa của đạo hàm ta có: My ( x ) = y ( x ) = dx Ta thường chọn xấp xỉ My ( x ) ∆y tức là My(x) gần bằng lượng thay đổi ∆y của y khi x tăng lên một đơn vị. ( ∆x = 1) 1.3.1. Giá trị cận biên của chi phí: Cho hàm chi phí C = C(Q). Khi đó ta gọi MC(Q) là giá trị cận biên của chi phí. Giá trị này có thể coi là lượng thay đổi của chi phí khi Q tăng lên một đơn vị. Ví dụ: Cho chi phí trung bình để sản xuất một đơn vị sản phẩm là: 500 C = 0,0001Q 2 − 0,02Q + 5 + Q Tìm giá trị cận biên của chi phí đối với Q sản phẩm. Áp dụng Q = 50. Giải Hàm tổng chi phí sản xuất Q đơn vị sản phẩm là: C = Q.C = 0,0001Q3 − 0,02Q 2 + 5Q + 500 dC Giá trị cận biên của chi phí là: MC(Q) = = 0,0003Q 2 − 0,04Q + 5 dQ dC Khi Q = 50 thì: MC(50) = = 0,0003(50) 2 − 0,04(50) + 5 = 0,75 − 2 + 5 = 3,75 . dQ Như vậy nếu Q tăng lên một đơn vị từ 50 lên 51 thì chi phí tăng lên 3,75 đơn vị. 1.3.2. Giá trị cận biên của doanh thu: Cho hàm doanh thu R = R(Q). Khi đó ta gọi MR(Q) là giá trị cận biên của doanh thu. 11
  12. Vương Vĩnh Phát Toán cao cấp Ví dụ: Số vé bán được Q và giá vé P của một hãng xe bus có quan h ệ Q = 10000 − 125P. Tìm doanh thu cận biên khi P = 30, P = 42. Giải − 125P Theo giả thiết: Q = 10000 (1) 10000 − Q � 125P = 10000 − Q � P = (2) 125 Ta có doanh thu: R = Q.P (3) 1 ( 10000Q − Q2 ) R = Q.P = Thế (2) vào (3) 125 1 ( 10000 − 2Q ) Nên MR(Q) = (4) 125 Q = 10000 − 125.30 = 10000 − 3750 = 6250 ■ Khi P = 30. Từ (1) 1 2500 ( 10000 − 2.6250 ) = − MR(6250) = = −20 Từ (4) 125 125 Q = 10000 − 125.42 = 10000 − 5250 = 4750 ■ Khi P = 42. Từ (1) 1 500 ( 10000 − 2.4750 ) = MR(4750) = =4 Từ (4) 125 125 Hàm cầu và tính co giãn của cầu: 1.4. Ta gọi P là giá bán một sản phẩm và Q là số lượng sản phẩm bán được ( hay nhu cầu về loại sản phẩm đó ). Khi đó ta có thể coi Q là hàm số với biến số là P, và nhìn chung đây là hàm số nghịch biến vì giá bán càng cao thì nhu c ầu càng th ấp và ngược lại. P = g(Q) Khi ta có hàm cầu: Q = f(P) Hàm tổng doanh thu: R = PQ = g(Q).Q Ta lấy đạo hàm của R theo biến Q và gọi nó là hàm doanh thu biên tế, ký hiệu: MR. Hệ số co giãn của đại lượng Q theo đại lượng P được A. Marshall đặt là: P dQ P = − .Q (P) . ( η đọc là eta) η được gọi là độ co giãn của cầu. η=− Q dP Q Ví dụ: Cho hàm cầu Q = 30 − 4P − P 2 . Tìm hệ số co giãn của cầu tại P = 3. Giải Hệ số co giãn của cầu là: 4P + 2P 2 P P η = −Q (P). = − ( −4 − 2P ) . = 30 − 4P − P 2 30 − 4P − P 2 Q 30 Tại P = 3, η = 3,3 9 12
  13. Vương Vĩnh Phát Toán cao cấp 1.5. Lựa chọn tối ưu trong kinh tế: Nhiều bài toán về kinh tế được đưa về tìm cực trị của một hàm y = f(x). Ta gọi P là đơn giá, hàm sản lượng Q = Q(P), hàm doanh thu R = PQ, hàm chi phí C = C(Q), hàm lợi nhuận N = R – C Trong kinh tế ta thường gặp các bài toán sau: ■ Tìm P để sản lượng Q đạt tối đa (cực đại) ■ Tìm P hoặc Q để doanh thu R đạt tối đa. ■ Tìm Q để chi phí C đạt tối thiểu (cực tiểu) Ví dụ: Lập kế hoạch sản xuất để xí nghiệp có lợi nhuận tối đa Giả sử hàm cầu theo giá bán trong một đơn vị thời gian Q = Qd = Q(P) và hàm tổng chi phí là: C = C(Q). Tìm sản lượng Q trong một đơn vị th ời gian để l ợi nhu ận t ối đa. Phương pháp giải: Để hàng bán hết xí nghiệp chỉ có thể bán với giá P sao cho Q = Q(P) � P = P(Q) . Từ đó doanh thu của xí nghiệp là R(Q) = P(Q).Q và lợi nhuận của xí nghiệp là: N = R – C. Sản lượng Q mu ốn tìm chính là Q > 0 đ ể N đ ạt giá trị lớn nhất. Ví dụ: Cho hàm cầu Q = 300 − P và hàm chi phí C = Q − 19Q + 333Q + 10 . Tìm Q 3 2 để lợi nhuận lớn nhất. Giải P = 300 − Q Ta có: Doanh thu: R = PQ = (300 − Q)Q = 300Q − Q 2 Lợi nhuận: N = R − C = 300Q − Q − ( Q − 19Q + 333Q + 10 ) 2 3 2 N = −Q3 + 18Q 2 − 33Q − 10 Q =1 N = −3Q 2 + 36Q − 33 = 0 Q = 11 − + Q 1 0 11 − − N’ 0 + 0 474 -10 N − -26 Vậy lợi nhuận lớn nhất khi Q = 11. 1.6. Định mức đánh thuế doanh thu: 13
  14. Vương Vĩnh Phát Toán cao cấp Giả sử một xí nghiệp sản xuất độc quyền một loại sản phẩm có hàm c ầu trong một đơn vị thời gian Q = Q(P) và hàm chi phí sản xuất trong một đơn vị th ời gian là C = C(Q). Xác định mức thuế trên một đơn vị s ản ph ẩm c ủa xí nghi ệp đ ể thu đ ược nhiều thuế nhất. Phương pháp giải: Giả sử mức thuế trên một đơn vị sản phẩm là t > 0. Ta có: Q = Q(P) � P = P(Q) . Lợi nhuận của xí nghiệp là: N = P(Q).Q − C(Q) − Qt Xí nghiệp sẽ sản xuất ở mức Q = Q(t) để N đạt max. Do đó thuế thu được sẽ là T = Q(t).t. Ta cần xác định t để T m a x Ví dụ: Cho hàm cầu Q = 300 – P, hàm chi phí: C = Q + 100Q + 10 . 2 a) Hãy xác định mức thuế t trên một đơn vị sản phẩm để tổng lợi nhuận và tổng thuế chính phủ thu được đạt giá trị cực đại. b) Muốn xí nghiệp sản xuất ít nhất là 40 sản phẩm thì mức thu ế thu trên m ỗi đơn vị sản phẩm là bao nhiêu? Giải a) Ta có: Q = 300 – P P = 300 – Q. Doanh thu của xí nghiệp là: R = P. Q = (300 – Q)Q = 300 Q – Q2 Thuế của xí nghiệp là: Q.t Lợi nhuận của xí nghiệp là: N = 300 Q – Q2 – ( Q + 100Q + 10 ) – Q.t = −2Q + (200 − t)Q − 10 2 2 200 − t N = −4Q + 200 − t = 0 � Q = 4 Vậy để có lợi nhuận lớn nhất xí nghiệp phải sản xuất ở mức: 200 − t Q= 4 200 − t t2 Do đó thuế thu được là: T = Q.t = .t = − + 50t 4 4 t T = − + 50 = 0 � t = 100 2 Vậy để Tmax ta chọn mức thuế là t = 100. Với mức thuế t = 100 thì xí nghiệp sẽ sản xuất ở mức: 200 − 100 = 25 sản phẩm trong một đơn vị thời gian. Q= 4 14
  15. Vương Vĩnh Phát Toán cao cấp b) Muốn nghiệp sản xuất nhất sản phẩm xí ít 40 thì: 200 − t Q=� 40 t 40 . Nghĩa là cần chọn mức thuế tối đa là 40 cho một đơn v ị 4 sản phẩm. Ví dụ: Một công ty sản xuất độc quyền một loại sản phẩm bi ết hàm t ổng chi phí P C = Q 2 + 1000Q + 100 và hàm cầu Q = 4100 − . 2 a) Hãy xác định mức thuế t trên một đơn vị sản phẩm để tổng lợi nhuận và tổng thuế chính phủ thu được đạt giá trị cực đại. b) Muốn công ty sản xuất ít nhất là 200 sản ph ẩm thì m ức thu ế thu trên m ỗi đơn vị sản phẩm là bao nhiêu? Bài tập: Tìm các giá trị cận biên: 1. a) C = 0,1Q 2 + 3Q + 2 tại Q = 3. b) C = 0,04Q − 0,5Q + 4,4Q + 7500 tại Q = 5. 3 2 c) R = 250Q + 45Q 2 − Q3 tại Q = 5. 60 + ln ( 65 − P 3 ) 2. Cho hàm cầu Q = P a) Xác định hệ số co dãn khi P = 4. b) Nếu giá giảm 2% ( từ 4 giảm còn 3,92) thì lượng bán ra thay đ ổi bao nhiêu phần trăm? 4. Doanh thu của một loại sản phẩm cho bởi R = 240Q + 57Q − Q . Tìm Q để 2 3 doanh thu đạt tối đa. 5. Cho hàm cầu của một loại sản phẩm là: P = -5Q + 30. Tìm m ức giá đ ể doanh thu đạt tối đa. 6. Một loại sản phẩm có hàm cầu là: P = 42 - 4Q và hàm chi phí trung bình 200 C = 2Q 2 − 36Q + 210 − Q a) Tìm mức sản xuất Q, 2 Q 10 để có chi phí tối thiểu. b) Tìm mức sản xuất Q, 5 Q 10 để có chi phí tối thiểu. 7. Hàm cầu của một loại sản phẩm độc quyền là P = 600 - 2Q và t ổng chi phí là: C = 0,2Q 2 + 28Q + 200 a) Tìm mức sản xuất Q để lợi nhuận đạt tối đa. Tìm mức giá P và lợi nhuận lúc đó. 15
  16. Vương Vĩnh Phát Toán cao cấp b) Chính quyền thành phố đặt thuế là 22 đơn vị tiền cho một đơn vị sản phẩm. Tìm mức sản xuất để lợi nhuận đạt tối đa, tìm mức giá và lợi nhu ận trong trường hợp này. 8. Xác định lợi nhuận tối đa, khi biết các hàm tổng doanh thu R và tổng chi phí C. a) R = 1400 − 6Q , C = 1500 − 60Q 2 b) R = 4000 − 33Q , C = 2Q − 3Q + 400Q + 500 2 3 2 c) R = 4350 − 13Q , C = Q − 5,5Q + 150Q + 675 2 3 2 9. Xác định chi phí trung bình nhỏ nhất, nếu biết các hàm tổng chi phí là: a) C = Q − 5Q + 60Q 3 2 b) C = Q − 21Q + 500Q 3 2 Chương 2: Phép tính vi phân hàm nhiều biến 2.1. Khái niệm hàm hai biến: Cho E là một tập hợp con của ﾡ 2 . Một hàm hai biến xác định trên E là một quy luật f đặt tương ứng mỗi điểm ( x, y ) E với một số thực duy nhất z = f(x, y) Ký hiệu: f: E ﾡ ( x, y ) a z = f (x, y) E được gọi là tập xác định của f. Ví dụ: Hàm số f (x, y) = 1 − x 2 − y 2 có tập xác định là hình tròn đóng x + y 1 2 2 16
  17. Vương Vĩnh Phát Toán cao cấp 2.2. Giới hạn của hàm hai biến: 2.2.1. Định nghĩa: Cho hàm số z = f(x, y) xác định trên miền D, có thể trừ ra điểm ( x 0 , y 0 ) D ( D là tập mở). Ta nói hàm số f(x, y) có giới h ạn là A khi ( x, y ) (x , y 0 ) nếu tiến đến với mọi điểm dãy 0 { ( x , y ) } ̹�D, ( x , y ) ( x , y ) , x y 0 ta đều có f ( x n , y n ) � x 0 , yn A n n n n 0 0 n ( x, y ) (x , y0 ) Nếu f(x, y) có giới hạn là A khi thì ta ký hiệu 0 lim f (x, y) = A � ∀ε > 0, ∃δ > 0, 0 < ρ ( ( x, y ) , ( x 0 , y 0 ) ) < δ � f (x, y) − A < ε x x 0 y y0 2.2.2. Tính chất: i) lim [ f (x, y) g(x, y) ] = lim f (x, y) + lim g(x, y) xx xx xx 0 0 0 y y0 y y0 y y0 ii) lim [ f (x, y)g(x, y) ] = lim f (x, y).lim g(x, y) xx xx xx 0 0 0 y y0 y y0 y y0 lim f (x, y) f (x, y) y y xx 0 = iii) lim 0 g(x, y) lim g(x, y) xx 0 y y0 xx 0 y y0 x2y =0 Ví dụ: Chứng minh rằng: lim x 2 + y2 x0 y 0 Giải x2y x2y x Ta có: x =y� +�� + 2 2 2 2 2 2 2 xy x y 2x y x 2 + y2 2x y 2 x2y x x2y Do lim = 0 nên lim 2 = 0 � lim 2 =0 y 0 x +y y 0 x +y y02 2 2 x0 x0 x0 xy Ví dụ: Chứng minh rằng không tồn tại lim x + y2 2 x0 y 0 1 xn = n Lấy hai dãy { x n } ,{ y n } 0 khi n thì x n 0, y n sao cho . 1 yn = n 17
  18. Vương Vĩnh Phát Toán cao cấp xy 1 x n yn 1 n2 1 = 2 . = nên lim 2 n n 2 = Khi đó: 2 x n + yn 2 x n + y2 n 2 2 n n 1 xn = n Lấy hai dãy { x n } ,{ y n } sao cho 0 khi n thì x n 0, y n . 2 yn = n 2 xy 2 x n yn 2 =n 2 = nên lim 2 n n 2 = Khi đó: x n + yn 5 x n2 + y n2 1 + 4 5 n 2 2 n n xy =0 Vậy không tồn tại lim 2 y 0 x +y 2 x0 2.3. Sự liên tục của hàm hai biến: 2.3.1. Định nghĩa: Hàm z = f (x, y) được gọi là liên tục tại điểm (x0, y0) nếu lim f (x, y) = f (x 0 , y 0 ) . Hàm f(x, y) được gọi là liên tục trên tập E n ếu nó liên t ục t ại xx 0 y y0 mọi điểm ( x, y ) E. 2.3.2. Định lí: Cho hàm số f(x, y) liên tục trên trên miền đóng, b ị ch ặn E. Khi đó: M ∀ ( x, y ) i) f bị chặn trên E, nghĩa là tồn tại M sao cho f(x,y) E ii) f đạt giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trên E. 2.4. Đạo hàm riêng cấp một và đạo hàm riêng cấp cao: 2.4.1. Định nghĩa đạo hàm riêng: ( x 0 , y0 ) Cho hàm z = f (x, y) xác định trên miền D, D . Nếu tồn tại giới hạn f ( x 0 + ∆x, y0 ) − f ( x 0 , y0 ) thì giới hạn đó được gọi là đạo hàm riêng theo biến lim ∆x ∆x 0 x của hàm f (x, y) tại điểm (x0, y0). f ( x 0 , y0 ) Ký hiệu: f x ( x 0 , y0 ) hoặc x 18
  19. Vương Vĩnh Phát Toán cao cấp Tương tự: Đạo hàm riêng theo biến y của hàm f (x, y) tại điểm (x0, y0) là: f ( x 0 , y0 ) − f ( x 0 , y 0 + ∆y ) f ( x 0 , y0 ) f y ( x 0 , y0 ) = lim = ∆y y ∆y 0 Vậy để tính đạo hàm riêng của hàm z = f (x, y) theo biến x ta coi y là hằng số, đạo hàm riêng của hàm z = f (x, y) theo biến y ta coi x là hằng số. Ví dụ: Cho hàm số f(x, y) = x 2 + xy − 2y 2 . Tính f x ( x, y ) , f y ( x, y ) Ta có: f x ( x, y ) = 2x + y , f y ( x, y ) = x − 4y Ví dụ: Cho f(x, y) = e x cos y . Tính f x ( x, y ) , f y ( x, y ) Ta có: f x ( x, y ) = e cosy, f y ( x, y ) = −e siny x x 2.4.2. Đạo hàm riêng cấp cao: • Nếu hàm f x ( x, y ) có đạo hàm riêng theo biến x thì đạo hàm đó được gọi là 2 f (x, y) đạo hàm riêng cấp hai theo biến x. Ký hiệu: f xx ( x, y ) hoặc x2 • Nếu hàm f y ( x, y ) có đạo hàm riêng theo biến y thì đạo hàm đó được gọi là 2 f (x, y) đạo hàm riêng cấp hai theo biến y. Ký hiệu: f yy ( x, y ) hoặc y2 • Nếu hàm f x ( x, y ) có đạo hàm riêng theo biến y thì đạo hàm đó được gọi là đạo hàm hỗn hợp theo x và y. 2 f (x, y) Ký hiệu: f xy ( x, y ) hoặc xy Nếu f xx ( x, y ) và f yx ( x, y ) tồn tại và liên tục trong miền mở G thì chúng bằng nhau. Ví dụ: Cho f (x, y) = x 2 − 3xy3 + sin y .Tính f xx ( x, y ) , f yy ( x, y ) , f xy ( x, y ) Giải Ta có: f x (x, y) = 2x − 3y 3 , f y (x, y) = −9xy + cosy 2 � f xx (x, y) = 2,f yy (x, y) = −18xy − sin y,f xy (x, y) = −9y 2 19
  20. Vương Vĩnh Phát Toán cao cấp 2.5. Vi phân toàn phần của hàm hai biến: 2.5.1. Định lí: i) Nếu hàm số f(x, y) khả vi tại điểm (x0, y0) thì f(x, y) có các đạo hàm riêng tại (x0, y0) ii) Nếu hàm số f(x, y) có các đạo hàm riêng trong một miền chứa (x 0, y0) và các đạo hàm riêng này liên tục tại (x0, y0) thì f(x, y) khả vi tại (x 0, y0) và df = f x ( x 0 , y 0 ) dx + f y ( x 0 , y 0 ) dy ♦ df được gọi là vi phân toàn phần của hàm số f(x, y) tại (x0, y0). ( ) Ví dụ: Cho hàm số f ( x, y ) = sin x + y . Tính df 2 Giải ( ) ( ) Ta có: df = f x ( x, y ) dx + f y ( x, y ) dy = 2xcos x + y dx + cos x + y dy 2 2 2.5.2. Vi phân cấp cao: Vi phân cấp hai của hàm f là vi phân của df nếu coi dx, dy là hằng số. �f f� �f f� d 2 f = d ( df ) = � x dx + y dy � + y � x dx + y dy � dx dy x� � � � 22 2 f2 f f � d f = d ( df ) = 2 dx + 2 dxdy + 2 dy 2 2 x xy y ( ) n −1 Tổng quát: Vi phân toàn phần cấp n được định nghĩa là: d f = d d f n 2.6. Ứng dụng của đạo hàm và vi phân của hàm hai biến: 2.6.1. Cực trị của hàm hai biến: Cho z = f (x, y) là một hàm hai biến xác định trong miền D, điểm ( x 0 , y 0 ) D . Điểm ( x 0 , y0 ) được gọi là điểm cực đại ( cực tiểu ) của hàm f nếu tồn tại miền con G �D, ( x 0 , y0 ) � sao cho: G f (x, y) < f (x 0 , y 0 ) ( f (x, y) > f (x 0 , y 0 ) ) ∀(x, y) G \ { (x 0 , y 0 )} Nếu f có cực đại hay cực tiểu thì ta nói hàm số có cực trị tại điểm ( x 0 , y 0 ) 20
ADSENSE

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

THÔNG TIN
TRỢ GIÚP
HỖ TRỢ KHÁCH HÀNG
Theo dõi chúng tôi

Chịu trách nhiệm nội dung:

Nguyễn Công Hà - Giám đốc Công ty TNHH TÀI LIỆU TRỰC TUYẾN VI NA

LIÊN HỆ

Địa chỉ: P402, 54A Nơ Trang Long, Phường 14, Q.Bình Thạnh, TP.HCM

Hotline: 093 303 0098

Email: support@tailieu.vn

Giấy phép Mạng Xã Hội số: 670/GP-BTTTT cấp ngày 30/11/2015 Copyright © 2022-2032 TaiLieu.VN. All rights reserved.

 

Đồng bộ tài khoản
2=>2