Phương pháp chiếu xấp xỉ giải bài toán bất đẳng thức biến phân tựa đơn điệu

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:12

Thêm vào BST

Báo xấu

32
lượt xem 2
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Bài viết đề xuất một thuật toán chiếu mới để giải bài toán bất đẳng thức biến phân trong một không gian Hilbert thực, ở đây ánh xạ giá liên tục Lipschitz và tựa đơn điệu (không cần thiết đơn điệu). Thuật toán và phân tích sự hội tụ yếu của dãy lặp được chỉ ra chi tiết.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Phương pháp chiếu xấp xỉ giải bài toán bất đẳng thức biến phân tựa đơn điệu

PHƯƠNG PHÁP CHIẾU XẤP XỈ GIẢI BÀI TOÁN BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN TỰA ĐƠN ĐIỆU Đỗ Duy Thành Khoa Toán&KHTN Email: thanhdd@dhhp.edu.vn Ngày nhận bài: 16/3/2021 Ngày BP đánh giá: 23/4/2021 Ngày duyệt đăng: 29/4/2021 TÓM TẮT: Trong bài báo này, chúng tôi đề xuất một thuật toán chiếu mới để giải bài toán bất đẳng thức biến phân trong một không gian Hilbert thực, ở đây ánh xạ giá liên tục Lipschitz và tựa đơn điệu (không cần thiết đơn điệu). Thuật toán và phân tích sự hội tụ yếu của dãy lặp được chỉ ra chi tiết. Từ khóa: Bất đẳng thức biến phân, phương pháp chiếu, tựa đơn điệu, liên tục Lipschitz. APPROXIMATION PROJECTION METHODS FOR QUASIMONOTONE VARIATIONAL INEQUALITIES ABSTRACT: In this paper, we propose a new projection algorithm for variational inequalities in a real Hilbert space, with the assumptions of Lipschitz-continuity and quasimonotone of the cost ( without monotone). We obtain a weak convergence theorem for the sequences generated by these processes. Key words: variational inequality, projection method, quasimonotone, Lipschitz continuous ... 1. GIỚI THIỆU của bài toán VI (C , A) . Bất đẳng thức biến phân được Để giải bài toán VI (C , A) với giả thiết Kinderlehrer và Stampacchia đưa ra lần tập con C ⊆  n là tập lồi, đóng, khác đầu tiên vào năm 1980 khi nghiên cứu về rỗng, A đơn điệu, liên tục Lipschitz với bài toán biên tự do. Từ đó, rất nhiều mô hằng số L , Korpelevich trong [6] đã giới hình toán xuất phát từ ứng dụng toán, lý thiệu phương pháp đạo hàm tăng cường: thuyết trò chơi, mô hình cân bằng kinh tế, cân bằng giao thông và vật lý toán, được x0 ∈C  k viết dưới dạng của bài toán bất đẳng thức =y PC ( x k − λ A( x k )), biến phân. Cho C là một tập con lồi đóng  k +1 x = PC ( x k − λ A( y k )), khác rỗng của một không gian Hilbert thực  1 H , A là một ánh xạ từ H vào H . Bài toán Với mọi k ≥ 0, trong đó λ ∈  0,  . bất đẳng thức biến phân, viết tắt VI (C , A)  L ,là tìm một điểm x* ∈ C sao cho { }{ } Tác giả đã chỉ ra rằng dãy x k , y k hội A( x*), x − x * ≥ 0 ∀x ∈ C. tụ đến cùng một điểm z ∈ Sol(C , A). Tuy Ký hiệu Sol(C , A) để chỉ tập nghiệm nhiên điều kiện liên tục Lipschitz là một TẠP CHÍ KHOA HỌC, Số 46, tháng 5 năm 2021 33
điều kiện khá mạnh. Do đó, một kỹ thuật khỏi tập nghiệm của bài toán VI (C , A) . khá hay để tránh điều này đó là sử dụng Solodov và Svaiter trong [8] đã sử dụng phương pháp tìm kiếm theo tia dọc theo hai phép chiếu, trong đó x k +1 là hình chiếu hướng y k − x k để thu được điểm zk qua của x k lên trên một siêu phẳng. Thuật toán việc xây dựng một siêu phẳng tách x k ra được mô tả như sau:   x 0 ∈ C , λ > 0, ρ ∈ (0,1), k = 0,  k y = PC ( x k − λ A( x k )), vaø tìm soá nguyeân khoâng aâm nhoû nhaát ik sao cho  σ k k 2 i k i k k k = i ik , A( ρ y + (1 − ρ ) x ), x − y ≥ x −y .  λ Tính x k= +1 i i PC  H ( x k ), trong ñoù z= k ρ k y k + (1 − ρ k ) x k vaø  k  { n k  H k = x ∈  : A( x ), x − z =0 . k } Với các giả thiết của tham số λ , ρ ,σ và ánh xạ A , dãy x k { } hội tụ về nghiệm của bài toán VI (C , A) . Dựa trên kỹ thuật này, Trong [9], Zheng đã thay thế trong bước lặp k phép chiếu PC  H k bởi PD k Hk , trong đó C = { } x ∈  n : c( x ) ≤ 0 , c :  n →  là một hàm lồi khả vi, liên tục, Dk= {x ∈  n } : c( x k ) + ξ k , x − x k ≤ 0 , ξ k ∈ ∂C ( x k ) và  i i 2  H k =v ∈  n : ρ k r ( x k ) + A( x k ) + λ A( x k ), v − x k + ρ k (1 − λσ ) x k − y k ≤ 0 .   Như vậy, bước chính của hầu hết các 2. CÁC BỔ ĐỀ KỸ THUẬT thuật toán hiện tại khi giải bài toán VI(C,A) Trong phần này, chúng tôi tóm tắt một = là tính y k PC ( x k − λ A( x k )) . số khái niệm cơ bản, và các kết quả sẽ Trong [3], Dong, Cai và Han đã cải tiến được sử dụng trong các mục tiếp theo. Ta phương pháp tìm kiếm theo tia và chỉ sử sử dụng ký hiệu  và → để chỉ sự hội tụ dụng một phép chiếu lên tập C để giải bài yếu và mạnh của các dãy số. toán bất đẳng thức biến phân giả đơn điệu Định nghĩa 2.1. Toán tử A : H → H và liên tục Lipschitz. được gọi là Dựa trên các thuật toán trong [3], [8], (i) đơn điệu trên H nếu với mọi [9], chúng tôi đã giới thiệu phương pháp x, y ∈ H , chiếu xấp xỉ, dùng một phép chiếu để giải A ( x ) − A ( y ) , x − y ≥ 0; bài toán bất đẳng thức biến phân tựa đơn (ii) giả đơn điệu trên H nếu với mọi điệu và liên tục Lipschitz với độ dài bước x, y ∈ H , sử dụng rộng hơn trong thuật toán 2 của [3]. A ( x ) , y − x ≥ 0 ⇒ A ( y ) , y − x ≥ 0; 34 TRƯỜNG ĐẠI HỌC HẢI PHÒNG
(iii) tựa đơn điệu trên H nếu với mọi x, y ∈ H , A ( x ) , y − x > 0 ⇒ A ( y ) , y − x ≥ 0; (iv) liên tục yếu có thứ tự tại x nếu A ( xn ) hội tụ yếu tới A ( x ) khi xn hội tụ yếu tới x ; (v) liên tục Lipschitz với hằng số L > 0 trên H nếu A ( x ) − A ( y ) ≤ L x − y , ∀x, y ∈ H . Tiếp theo ta nhắc lại định nghĩa phép chiếu metric và một số tính chất cơ bản. Cho một vector x ∈ H , phép chiếu của x lên C, ký hiệu là PC ( x ) , được định nghĩa như sau PC ( x ) : argmin y∈C x − y . = Ánh xạ PC có các tính chất cơ bản sau, xem [5]. PC ( x ) khi và chỉ khi z − x, y − z ≥ 0, ∀y ∈ C ; Bổ đề 2.1. (i) Với mọi x ∈ H , z = (ii) PC ( x ) − PC ( y ) ≤ x − y , ∀x, y ∈ H ; 2 2 (iii) PC ( x ) − z ≤ x − z − PC ( x ) − x , ∀x, z ∈ H . 2 Bổ đề 2.2. ([10]) Với mọi x, y ∈ H , ta có 2 2 (i) x + y ≤ x + 2 y, x + y ; 2 (ii) λ x + (1 − λ ) y= λ x + (1 − λ ) y − λ (1 − λ ) x − y , ∀λ ∈ R. 2 2 2 Bổ đề 2.3. ([7]) Nếu ánh xạ A : H → H liên tục Lipschitz trên tập con bị chặn của H và M là một tập con bị chặn của H, thì A ( M ) bị chặn. Bổ đề 2.4. ([4]) (i) Nếu A : H → H là một ánh xạ liên tục trên C, thì S D ⊂ S . (ii) Nếu A : H → H giả đơn điệu và liên tục trên C, thì S D = S . Bổ đề 2.5. ([1]) Cho {an } , {bn } và {θ n } là các dãy thuộc [ 0; +∞ ) sao cho +∞ an +1 ≤ an + θ n ( an − an −1 ) + bn , ∀n ≥ 1, ∑ bn < +∞ n =1 Và tồn tại một số thực θ sao cho 0 ≤ θ n ≤ θ < 1 với mọi n ≥ 1 . Khi đó, ta có: ( a ) ∑ n=1[ an − an−1 ]+ < +∞, trong đó [t ]+ := max {t , 0} ; +∞ (b) Tồn tại a* ∈ [ 0, +∞ ) sao cho lim n→+∞ an = a* . Bổ đề 2.6 (xem [2], Bổ đề 2.47) Cho H là một không gian Hilbert thực và C là một tập con khác rỗng của H, { xn } là một dãy trong H thỏa mãn hai điều kiện: (a) với mọi x ∈ C , lim n→+∞ xn − x tồn tại; (b) mọi điểm hội tụ yếu của { xn } đều thuộc C. Khi đó dãy { xn } hội tụ yếu đến một điểm thuộc C. TẠP CHÍ KHOA HỌC, Số 46, tháng 5 năm 2021 35
3. THUẬT TOÁN VÀ PHÂN TÍCH SỰ HỘI TỤ CỦA THUẬT TOÁN Để nghiên cứu thuật toán, chúng ta cần các điều kiện sau: ( A1 ) Ánh xạ A : H → H liên tục Lipschitz với hằng số L > 0; ( A2 ) Tập S D ≠ ∅; ( A3 ) Ánh xạ A : H → H liên tục yếu có thứ tự trên C; ( A4 ) Ánh xạ A : H → H tựa đơn điệu trên H; ( A∞5 ) Các dãy số thực dương {ε n } , {θ n } và {µn } thỏa mãn= lim n→+∞ µn lim n→+∞ θ n 0 0,= và ∑ n =1 ε n < ∞. Trong phần này, chúng tôi giới thiệu phương pháp chiếu với độ dài bước lớn hơn để giải bài toán bất đẳng thức biến phân tựa đơn điệu và thu được sự hội tụ yếu của thuật toán. Thuật toán 3.1. Cho x0 , x1 ∈ H , α , ρ1 , ρ 2 ∈ ( 0,1) ,ν ∈ ( 0,1) , 0 < µ < µ ' < 1, 0 < γ < γ ' < 2 và M > λ1 > 0, các dãy số thực dương {ε n } , {θ n } và {µn } thỏa mãn điều kiện ( A5 ) Đặt n := 1. Bước 1. Chọn α n thỏa mãn 0 ≤ α n ≤ α n , trong đó   εn  min  , α  , khi xn ≠ xn −1 , αn =   xn − xn −1 2  (3.1)  α , khi xn = xn −1. Bước 2. Tính xn + α n ( xn − xn −1 ) . wn = (3.2) Bước 3. Tính =yn PC ( wn − λn A ( wn ) ) (3.3) Nếu yn = wn hoặc Ayn = 0 , thì dừng và yn là nghiệm của bài toán VI ( A, C ) . Ngược lại, chuyển sang bước tiếp theo. λn A ( wn ) − A ( yn ) , wn − yn Bước 4. Đặt Rn =: 2 . wn − yn Khi  1 Rn > µ + µn , thì gán λn := ρ1λn min 1,  và tính = yn PC ( wn − λn A ( wn ) ) .  Rn  Ngược lại Đặt d n = wn − yn − λn ( A ( wn ) − A ( yn ) ) (3.4) Tính xn +1 PC ( w n − σ n λn A ( yn ) ) , = (3.5) 36 TRƯỜNG ĐẠI HỌC HẢI PHÒNG
Trong đó σ n được định nghĩa bởi  wn − yn , d n ( γ + θ n ) 2 , khi d n ≠ 0, σn =  dn  0, khi d n = 0 . 1 Nếu Rn < ν và λn ≤ M , thì λn = λn . (3.6) ρ2 Ngược lại chuyển Bước 5. Bước 5. Đặt λn +1 = λn và n= n + 1 , quay lại Bước 1. Chú ý 3.1. Trong điều kiện về tham số, chúng tôi chỉ cần dãy tham số dương {θ n } và {µn } thỏa mãn lim = n →∞ µ n lim = n →∞ θ n 0 , trong khi đó ở Thuật toán 2 của [3] lại cần ∞ ∞ = ∑ µn < +∞, ∑θn < +∞ and n 1=n 1 ∑ 0 θ < +∞ . Trong trường hợp n =1 n A ( wn ) − A ( yn ) , wn − yn ≠ 0 2 2 ( µ + µn ) wn − yn ( µ + µn ) wn − yn µ + µn = thì độ dài bước λn ≥ = , điều này A ( wn ) − A ( yn ) , wn − yn L 2 L wn − yn cho ta thấy Thuật toán 3.1 có độ dài bước rộng hơn trong Thuật toán 2 của [3] với độ dài 2 xn − xn −1 1 = bước phụ thuộc vào hai phần tử liền kề của dãy lặp λn ≥ . A ( xn ) − A ( xn −1 ) , xn − xn −1 L 2 Chú ý 3.2. Từ (3.1) dẫn tới α n xn − xn −1 ≤ ε n . Kết hợp với điều kiện ( A5 ) ta được 2 lim α n xn − xn −1 = 0; n →∞ và ∞ ∑α 2 n xn − xn −1 < ∞. n =1 Định lý 3.1. Nếu các điều kiện ( A1 ) − ( A5 ) thỏa mãn và A ( x ) ≠ 0, ∀x ∈ C , thì dãy { xn } sinh bởi Thuật toán 3.1 hội tụ yếu đến p ∈ S D ⊂ S . Chứng minh. Để chứng minh định lý ta chia thành 4 bước. Bước 1. Nếu điều kiện ( A5 ) thỏa mãn, thì tồn tại số nguyên dương N sao cho 0 < γ + θ n ≤ γ ' < 2, 1 − ( µ + µn ) ≥ 1 − µ ', d n > 0 và σ n > 0, ∀n ≥ N . Từ 0 < γ < γ ' < 2 và lim n→∞ θ n = 0 , tồn tại số nguyên dương N1 sao cho 0 < γ + θ n ≤ γ ' < 2, ∀n ≥ N1 . (3.7) TẠP CHÍ KHOA HỌC, Số 46, tháng 5 năm 2021 37
Từ Thuật toán 3.1, với mỗi n ≥ 1 , dẫn tới wn − yn , d n ≥ wn − yn , wn − yn − λn ( A ( w n ) − A ( yn ) ) ≥ wn − yn − λn wn − yn , ( A ( w n ) − A ( yn ) ) 2 (3.8) ≥ (1 − ( µ + µn ) ) wn − yn 2 Từ lim n→∞ µn = 0 và 0 < µ < µ ' < 1 , tồn tại số nguyên dương N1 sao cho 1 − ( µ + µn ) ≥ 1 − µ ', ∀n ≥ N 2 . Kết hợp với (3.8), ta có d n w n − yn ≥ w n − yn , d n ≥ (1 − µ ') w n − yn , ∀n ≥ N 2 . 2 (3.9) Từ (3.8), (3.9) ta được d n > 0 và σ n > 0, ∀n ≥ N 2 . Đặt N = max { N1 , N 2 } , kết hợp với (3.7) ta được 0 < γ + θ n ≤ γ ' < 2, d n > 0 và σ n > 0, ∀n ≥ N . Bước 2. Giả sử các điều kiện ( A1 ) − ( A2 ) và ( A5 ) thỏa mãn, p ∈ S D , { xn } , {wn } và { yn } là các dãy sinh bởi Thuật toán 3.1. Khi đó (1 − µ ') 4 xn +1 − p ≤ wn − p − ( γ + θ n )( 2 − γ − θ n ) 2 2 2 wn − yn , ∀n ≥ N . (3.10) 4 (1 + λ L 2 2 2 n ) Thật vậy, từ p ∈ S D , ta có A ( yn ) , yn − p ≥ 0. (3.11) Từ Bổ đề 2.1 (iii), Bước 1 và (3.5), ta được xn +1 − p = PC ( wn − σ n λn A ( yn ) ) − p 2 2 2 2 ≤ wn − σ n λn A ( yn ) − p − wn − σ n λn A ( yn ) − xn +1 = wn − p − 2σ n λn wn − p, A ( yn ) − xn +1 − wn + 2σ n λn wn − xn +1 , A ( yn ) 2 2 (3.12) = wn − p − xn +1 − wn − 2σ n λn A ( yn ) , xn +1 − yn − 2σ n λn A ( yn ) , yn − p 2 2 ≤ w n − p − xn +1 − w n − 2σ n λn A ( yn ) , xn +1 − yn , ∀n ≥ N . 2 2 Theo Bổ đề 2.1 (i) và (3.3), ta có 38 TRƯỜNG ĐẠI HỌC HẢI PHÒNG
yn − wn + λn A ( wn ) , xn +1 − yn ≥ 0. (3.13) Kết hợp (3.12) và (3.13), được xn +1 − p ≤ wn − p − xn +1 − wn + 2σ n λn A ( yn ) , yn − xn +1 2 2 2 + 2σ n wn − yn − λn A ( wn ) , yn − xn +1 = wn − p − wn − xn +1 − σ n d n + (σ n d n ) 2 2 2 − 2σ n wn − xn +1 , d n (3.14) + 2σ n yn − xn +1 , d n = wn − p − wn − xn +1 − σ n d n + (σ n d n ) 2 2 2 + 2σ n yn − wn , d n ≤ w n − p + (σ n d n ) 2 2 + 2σ n yn − wn , d n , ∀n ≥ N . Từ (3.5) và (3.14), suy ra ( ) 2 yn − w n , d n xn +1 − p ≤ w n − p − ( γ + θ n )( 2 − γ − θ n ) 2 2 2 , ∀n ≥ N . (3.15) dn Kết hợp (3.8) và Mệnh đề 3.1, dẫn tới wn − yn , d n ≥ (1 − µ ') wn − yn 2 2 (1 − µ ')  λn2 L2 2 1 2 =  wn − yn + wn − yn  2  1 + λn L 2 2 1 + λn L 2 2  2 (1 − µ ')  λn 2 2 1 2 (3.16) ≥  A ( wn ) − A ( yn ) + wn − yn  2  1 + λn L 2 2 1 + λn L 2 2  1− µ ' 1− µ ' wn − yn − λn ( A ( =wn ) − A ( yn ) ) 2 2 ≥ d n , ∀n ≥ N . 2 (1 + λn L ) 2 2 2 (1 + λn L ) 2 2 Từ (3.9), (3.15) và (3.16) ta có (1 − µ ') 4 xn +1 − p ≤ wn − p − ( γ + θ n )( 2 − γ − θ n ) 2 2 2 wn − yn , ∀n ≥ N . 4 (1 + λ L 2 2 2 n ) Bước 3. Giả sử các điều kiện ( A1 ) − ( A5 ) thỏa mãn và lim n→∞ yn − wn = 0 . Nếu tồn tại một dãy con xnk { } của {x } sao cho {x } hội tụ yếu đến n nk p ∈ H , thì hoặc p ∈ S D ( ) hoặc A p = 0. TẠP CHÍ KHOA HỌC, Số 46, tháng 5 năm 2021 39
( ) Giả sử A p ≠ 0 , ta phải chứng minh p ∈ S D . Từ định nghĩa của ynk và Bổ đề 2.1 (i), ta có ( ) wnk − λnk A wnk − ynk , x − ynk ≤ 0, ∀x ∈ C. (3.17) Cộng λnk A ynk , x − ynk ( ) vào hai vế của (3.17), ta được λn A ( yn ) , x − yn ≥ wn − yn , x − yn + λn A ( yn ) − A ( wn ) , x − yn . (3.18) k k k k k k k k k k Chia cả hai vế của (3.18) cho λnk > 0 , suy ra 1 ( ) A ynk , x − ynk ≥ λn ( ) wnk − ynk , x − ynk + A ynk − A wnk , x − ynk . ( ) (3.19) k Từ lim n→∞ yn − wn = 0 và A liên tục Lipschitz, ta có lim n→∞ A ( yn ) − A ( wn ) = 0 (3.20) Từ Chú ý 3.2 và (3.2), dẫn đến 2 2 2 lim n→∞ wn= − xn lim n→∞ α n2 xn − xn −1 ≤ lim n→∞ α .α n xn −= xn −1 0. (3.21) { } bị chặn, (3.21) ta được {w } bị chặn. Lại có lim Từ dãy xn k nk n →∞ ynk − wnk = 0, nên { y } cũng bị chặn. Áp dụng Bổ đề 2.3 suy ra A ( y ) bị chặn. nk nk Từ lim n→∞ yn − wn = 0 , (3.19)-(3.21), ta có k →∞ ( ) lim sup A ynk , x − ynk ≥ lim inf A ynk , x − ynk ≥ 0, ∀x ∈ C. k →∞ ( ) (3.22) ( ) Với bất kỳ x ∈ C , khi lim sup A ynk , x − ynk > 0 , tồn tại một dãy con ynki k →∞ { } của { y } thỏa mãn lim nk i →∞ ( ) A ynk , x − ynk i i > 0 . Tức là tồn tại một số nguyên dương N 0 sao cho ( ) A ynk , x − ynk i i > 0, ∀i ≥ N 0 . 0 , ta được wnk , ynk  p khi k → +∞ . Từ tính tựa Từ (3.21) và limi →∞ yn − wn = đơn điệu của A suy ra A ( x ) , x − ynk ≥ 0 , do đó ta có i 40 TRƯỜNG ĐẠI HỌC HẢI PHÒNG
A ( x ) , x − p ≥ 0 (3.23) ( ) Khi lim sup k →∞ A ynk , x − ynk = 0 , kết hợp (3.22), ta được k →∞ ( ) lim A ynk , x − ynk = 0. 1 = Đặt εk ( ) A ynk , x − ynk += k , k 1, 2,.... . Khi đó ( ) A ynk , x − ynk + ε k > 0. (3.24) ( ) A ynk ( ) Ta có thể giả sử rằng A ynk ≠ 0 với mọi nk theo Chú ý 3.1. Đặt znk = và A( y ) 2 ( ) nk ta được A ynk , znk = 1 . Từ (3.24), ta có A( y ), x − y nk nk ( ) + ε k A ynk , znk > 0, nên ( ) A ynk , x + ε k znk − ynk > 0, Từ A tựa đơn điệu trên H, ta được ( ) A x + ε k znk , x + ε k znk − ynk ≥ 0. Hay ( ) ( ) A ( x ) , x − ynk + A x + ε k znk − A ( x ) , x − ynk + A x + ε k znk , ε k znk ≥ 0, và do đó ( ) ( ) A ( x ) , x − ynk + A x + ε k znk − A ( x ) . x − ynk + A x + ε k znk . ε k znk ≥ 0. (3.25) Bây giờ ta chứng minh lim k →∞ ε k znk = 0. Thật vậy, từ A liên tục yếu có thứ tự trên C và ynk  p , ta được A ynk  A p . Từ ( ) ( ) tính nửa liên tục dưới yếu của ánh xạ chuẩn cho ta lim inf k →∞ ( ) A ynk ( ) ≥ A p > 0. Do đó, εk εk lim sup ε k znk = lim sup ≤ lim sup = 0, k →∞ k →∞ ( ) A ynk k →∞ ( ) A p Suy ra lim k →∞ ε k znk = 0 . Từ Bổ đề 2.3, ta có A ( x + ε z ) bị chặn. Cho k → ∞ trong k nk (3.25), ta được A ( x ) , x − p ≥ 0. TẠP CHÍ KHOA HỌC, Số 46, tháng 5 năm 2021 41
Kết hợp với (3.23) cho ta p ∈ S D . Bước 4. Chứng minh dãy { xn } sinh bới Thuật toán 3.1 hội tụ yếu đến p ∈ S D ⊂ S . Lấy p ∈ S D . Từ định nghĩa của wn và Bổ đề 2.2 (ii), ta có 2 = xn + α n ( xn − xn −1 ) − p 2 wn − p 2 = (1 + α n )( xn − p ) + ( −α n )( xn−1 − p ) (3.26) =(1 + α n ) xn − p − α n xn −1 − p + α n (1 + α n ) 2 2 2 xn − xn −1 . Từ Bước 1 và Bước 2, ta được 2 2 xn +1 − p ≤ wn − p , ∀n ≥ N . Kết hợp bất đẳng thức trên và (3.26) suy ra với mọi n ≥ N xn +1 − p ≤ (1 + α n ) xn − p − α n xn −1 − p + α n (1 + α n ) xn − xn −1 2 2 2 2 ≤ (1 + α n ) xn − p − α n xn −1 − p + (1 + α ) α n xn − xn −1 2 2 2 (3.27) 2 ( = xn − p + α n xn − p − xn −1 − p 2 2 ) + (1 + α )α n xn − xn −1 . 2 (1 + α ) α n xn − xn−1 . Từ Chú ý 3.2, dẫn đến 2 2 Đặt a= n xn − p và bn = ∞ ∑ (1 + α ) α 2 n xn − xn −1 < +∞. n =1 2 Do đó, theo Bổ đề 2.5, ta có lim n→∞ xn − p tồn tại và ∞ ∑  x − p − xn −1 − p  + < +∞, 2 2 n =1 n  trong đó [t ]+ = max {t , 0} . Suy ra lim  xn − p − xn −1 − p  = 2 2 0. (3.28) n →∞  + 42 TRƯỜNG ĐẠI HỌC HẢI PHÒNG
Thay (3.26) vào (3.10) ta được xn +1 − p ≤ (1 + α n ) xn − p − α n xn −1 − p + α n (1 + α n ) xn − xn −1 2 2 2 2 (1 − µ ') 4 − ( γ + θ n )( 2 − γ − θ n ) 2 wn − yn 4 (1 + λ L 2 2 2 n ) 2 ( ≤ xn − p + α n xn − p − xn −1 − p 2 2 ) + (1 + α )α n xn − xn −1 2 (1 − µ ') 4 − ( γ + θ n )( 2 − γ − θ n ) 2 wn − yn 4 (1 + λ L 2 2 2 n ) ≤ xn − p + α n  xn − p − xn +1 − p  + (1 + α ) α n xn − xn −1 2 2 2 2  + (1 − µ ') 4 − ( γ + θ n )( 2 − γ − θ n ) 2 wn − yn , ∀n ≥ N . 4 (1 + λ L2 2 2 n ) Điều này suy ra (1 − µ ') 4 (γ + θ n )( 2 − γ − θ n ) 2 wn − yn 4 (1 + λ L 2 2 2 n ) ≤ xn − p − xn +1 − p + α n  xn − p − xn −1 − p  2 2 2 2  + (3.29) + (1 + α ) α n xn − xn −1 , ∀n ≥ N . 2 2 Từ lim n→∞ xn − p tồn tại, từ (3.28), (3.29), Chú ý 3.2, ta được lim yn − wn = 0. n →∞ 2 Từ lim n→∞ xn − p tồn tại, suy ra dãy { xn } bị chặn. Đặt ω ( xn ) là tập tất cả các điểm tụ yếu của dãy { xn } . Ta chứng minh ω ( xn ) ⊂ S D . Thật vậy, lấy bất kỳ p ∈ ω ( xn ) , khi đó tồn tại một dãy { } của {x } hội tụ đến con xn k n p . Từ C là tập lồi, đóng và khác rỗng, p ∈ C và do đó ( ) A p ≠ 0 . Dựa vào (3.30) và Bước 3, ta được p ∈ S D và ω ( xn ) ⊂ S D . Theo Bổ đề 2.6 thì dãy { xn } sinh bởi Thuật toán 3.1 hội tụ yếu đến p ∈ S D ⊂ S .  TẠP CHÍ KHOA HỌC, Số 46, tháng 5 năm 2021 43
4. KẾT LUẬN 4. Hadjisavvas, N.,Schaible, S. (1996), ‘Quasimonotone variational inequalities in Banach Bài báo đã chứng minh được sự hội tụ spaces’. J. Optim. Theory Appl. 90(1),95-111. yếu của phương pháp chiếu xấp xỉ giải bài 5. Goebel, K., Reich, S. (1984), ‘Uniform bài toán bất đẳng thức biến phân tựa đơn Convexity, Hyperbolic Geometry, and Nonexpansive điệu và liên tục Lipschitz trong một không Mappings’. Marcel Dekker, New York. gian Hilbert thực. Tại mỗi bước lặp, chúng 6. Korpelevich, G.M. (1976), ‘The tôi chỉ sử dụng một phép chiếu và chỉ cần extragradient method for finding saddle points and tính tựa đơn điệu của ánh xạ giá. Độ dài other problems’. 12,747–756. bước trong thuật toán cũng được làm rộng 7. Mashreghi, J., Nasri, M. (2010),’ Forcing hơn trong thuật toán 2 của [3] để tăng tính strong convergence of Korpelevichs method in hiệu quả so với các thuật toán chỉ dùng một Banach spaces with it applications in gam theory’. phép chiếu trước đó. Nonlinear Anal. 72, 2086-2099. TÀI LIỆU THAM KHẢO 8. Solodov, M.V., Svaiter, B.F. (1999), ‘A 1. Alvarez, F. (2004), ‘Weak convergence of new projection method for variational inequality a relaxed anh inertial hybrid projection-proximal problems’. SIAM J.Control Optim. 37, 765–776 point algorithm for maximal monotone operators in 9. Zheng, L. (2013), ‘The subgradient double Hilbert spaces’. SIAM J.optim. 14, 773-782. projection method for variational inequalities in 2. Bauschke, H.H., Combettes, P.L. (2011), a Hilbert space’. Fixed Point Theory Appl. 2013. Convex analysis and monotone operator theory in doi:10.1186/1687-1812-2013-136. Article ID 2013:136 Hilbert spaces. Springer. New York. 10. Zarantonello, E.H. (1971), ‘Projections on 3. Dong, X.,Cai,X.,Han,D. (2018), ‘Prediction- convex sets in Hilbert space and spectral theory’. In: correction method with the BB step sizes’. Front. Zarantonello, E.H. (ed.) Contributions to Nonlinear Math. China 13, 1325-1340. Functional Analysis. Academic Press, New York. 44 TRƯỜNG ĐẠI HỌC HẢI PHÒNG