N I DUNGỘ
1. K thu t thêm b tỹ ậ ớ
S d ng: ử ụ
A
A A B B B
B
= + − = ×
đ t o ra các b ph n m i hai v c a b t đ ng th cể ạ ộ ậ ớ ở ế ủ ấ ẳ ứ
mà có th đánh giá đ c các b ph n v i nhauể ượ ộ ậ ớ
Các ví d :ụ
Bài 1: Ch ng minh r ng v i m i a,b,c>0, ta có:ứ ằ ớ ọ
2 2 2
2
a b c a b c
b c c a a b
+ +
+ + ≥
+ + +
Phân tích: - BĐT đ ng b c nh tồ ậ ấ
- Vai trò a,b,c gi ng nhauố
- D đoán d u b ng x y ra khi a=b=cự ấ ằ ả
- Bi u th c thêm vào là b c nh t ể ứ ậ ấ
H ngướ d n: ẫ
2
2
4
a b c a
b c
+
+ ≥
+
Bài 2: Ch ng minh r ng v i m i a,b,c>0, ta có:ứ ằ ớ ọ
3 3 3 2 2 2
2 2 2 3
a b c a b c
b c c a a b
+ +
+ + ≥
+ + +
Phân tích: - BĐT đ ng b c haiồ ậ
- Vai trò a,b,c gi ng nhauố
- D đoán d u b ng x y ra khi a=b=cự ấ ằ ả
- Bi u th c thêm vào là b c hai ể ứ ậ
H ngướ d n: ẫ
3
2
2 2 2
( 2 ) 2
2 9 3
a a b c a
b c
ab bc ca a b c
+
+ ≥
+
+ + ≤ + +
Bài 3: Ch ng minh r ng v i m i a,b,c>0, ta có:ứ ằ ớ ọ
3 3 3 2 2 2
(1 )(1 )(1 ) (1 )(1 )(1 )a b c ab bc ca
+ + + ≥ + + +
Phân tích: - D đoán d u b ng x y ra khi a=b=cự ấ ằ ả
H ngướ d n: ẫ
()
( )
33
3 3 3 3 3 3 3 2
(1 )(1 )(1 ) 1 1a b b a b c ab
+ + + ≥ + = +
Bài t p: ậ Cho a,b,c>0. Ch ng minh các b t đ ng th c sau:ứ ấ ẳ ứ
1)
5 5 5
3 3 3
2 2 2
a b c abc
b c a
+ + ≥ + +
2)
3)
3 3 3
( ) ( ) ( ) 2
a b c a b c
b c a c a b a b c
+ +
+ + ≥
+ + +
4)
4 4 4
2 2 2
a b c abc
bc ca ab
+ + ≥ + +
5)
3 3 3
2 2 2 2 2 2 3
a b c a b c
a ab b b bc c c ca a
+ +
+ + ≥
+ + + + + +
Cho a,b,c>0 và a+b+c=1. Ch ng minh các b t đ ng th c sau:ứ ấ ẳ ứ
6)
5 5 5
4 4 4 1
a b c
b c a
+ + ≥
7)
3 3
2
a b c
b c c a a b
+ + ≥
+ + +
Ch ng minh r ng trong tam giác nh n ABC, ta có:ứ ằ ọ
8)
1 1 1 6
osA osB osBc c c
+ + ≥
9)
1 1 1 6
2 os2A 2 os2B 2 os2B 5c c c
+ + ≥
+ + −
10)
1 1 1 27
osA+cosB+cosC
osAcosB osBcosC osCcosA 2
c
c c c
+ + + ≥
2. K thu t “san s ”ỹ ậ ẽ
Xác đ nh: Đ i l ng “l n”, đ i l ng “bé” và ch n cách san sị ạ ượ ớ ạ ượ ọ ẽ phù h pợ
Các ví d :ụ
Bài 1: Ch ng minh r ng v i m i x,y>0 và x+y=1, ta có:ứ ằ ớ ọ
2 2
1 1 4 7xy
x y xy
+ + ≥
+
Phân tích: - Vai trò x,y gi ng nhauố
- D đoán d u b ng x y ra khi x=y=ự ấ ằ ả
1
2
- Đ i l ng “l n”: ạ ượ ớ
1
xy
; Đ i l ng “bé”: ạ ượ
2 2
1;4xy
x y
+
H ngướ d n: ẫ
2 2 2 2
2
2 2 2
1 1 1 1 1 1
4 4
2 4 4
(1 1) 1 1
2 .4 7
2 4 ( )
xy xy
x y xy x y xy xy xy
xy
x y xy xy x y
+ + = + + + +
+ +
+
≥ + + =
+ + +
Bài 2: Ch ng minh r ng trong tam giác nh n ABC, ta có:ứ ằ ọ
1 1 1 15
osA+cosB+cosC
osA osB osB 2
c
c c c
+ + + ≥
Phân tích: - Vai trò A,B,C gi ng nhauố
- D đoán d u b ng x y ra khi A=B=C=60ự ấ ằ ả 0
- Đ i l ng “l n”: ạ ượ ớ
1 1 1
osA osB osCc c c
+ +
; Đ i l ng “bé”: ạ ượ
osA+cosB+cosCc
H ngướ d n: ẫ
1 1 1 osA+cosB+cosC
osA osB osC
1 1 1
4 osA +4cosB 4cosC
osA osB osC
9 15
-3( osA cosB cosC) 4 4 4 2 2
c
c c c
c
c c c
c
+ + +
= + + + +
+ + ≥ + + − =
Bài t p: ậ Cho a,b,c>0. Ch ng minh các b t đ ng th c sau:ứ ấ ẳ ứ
1)
3 3 3 3
2 2 2
2( ) 9( ) 33
a b c a b c
abc a b c
+ + + +
+ ≥
+ +
2)
4 4 4 2 2 2 2 2 2 3 3 3 3 3 3
a b c a b b c c a a b b c c a ab bc ca+ + + + + ≥ + + + + +
3) Cho x,y>0 và x+y=1. Tìm GTNN c a bi u th c:ủ ể ứ
2 2 2 2
3 2 1 1
4 ;P xy Q
x y xy x y xy
= + + = +
+ +
3. K thu t nhóm đ i x ng ỹ ậ ố ứ
B t đ ng th c d ng đ i x ng (vai trò c a các bi n là nh nhau). Khi đó chúng taấ ẳ ứ ở ạ ố ứ ủ ế ư
có th đánh giá m t b ph n c a v này v i b ph n t ng ng c a v kia. T ng t ,ể ộ ộ ậ ủ ế ớ ộ ậ ươ ứ ủ ế ươ ự
suy ra các k t qu đ i v i các b ph n còn l i và thu đ c b t đ ng th c c n ch ngế ả ố ớ ộ ậ ạ ượ ấ ẳ ứ ầ ứ
minh.
Các ví d :ụ
Bài 1: Ch ng minh r ng v i m i a,b,c>0, ta có:ứ ằ ớ ọ
bc ca ab a b c
a b c
+ + ≥ + +
Phân tích: - BĐT đ ng b c nh tồ ậ ấ
- Vai trò a,b,c
- D đoán d u b ng x y ra khi a=b=cự ấ ằ ả
H ngướ d n: ẫ
2 . 2
bc ca bc ca b
a b a b
+ ≥ =
Bài 2: Ch ng minh r ng trong tam giác ABC, ta có:ứ ằ
A B C
sin sin sin os os os
2 2 2
A B C c c c
+ + ≤ + +
Phân tích: - Vai trò A,B,C gi ng nhauố
- D đoán d u b ng x y ra khi A=B=C=60ự ấ ằ ả 0
H ngướ d n: ẫ
sin sin 2(sin sin )
C
4sin 2 os
2 2
A B A B
A B c
+ ≤ +
+
≤ =
Bài 3: Ch ng minh r ng trong tam giác ABC, ta có:ứ ằ
3 3 3
sin sin sin sin sin sin
4 4 4
A B B C C A
A B C
+ + +
≤
H ngướ d n: ẫ
3 3
4 4
3 1 1 3
sin sin sin sin sin
4 2 2 4 4
1.4. sin sin sin sin
4
A B A B B A B
A B A B
+ +
≥ + ≥ +
÷
≥ =
Bài t p: ậ Cho a,b,c>0. Ch ng minh các b t đ ng th c sau:ứ ấ ẳ ứ
1)
2 2 2
2 2 2
a b c a b c
b c a c a b
+ + ≥ + +
2)
2
ab bc ca a b c
a b b c c a
+ +
+ + ≤
+ + +
Ch ng minh r ng trong tam giác ABC, ta có:ứ ằ
3)
sin 2 sin 2 sin 2 sin sin sinA B C A B C
+ + ≤ + +
4)
cos cos os sin sin sin
2 2 2
A B C
A Bc C
≤
5)
2 2 2 2 2 2
1 1 1 1 1 1
sin sin sin os os os
2 2 2
A B C
A A A c c c
+ + ≥ + +
6)
A B C
sin sin sin os os os
2 2 2
n n n n n n
A B C c c c
+ + ≤ + +