zunia.vn

Tuyển sinh 2024 dành cho Gen-Z

zunia.vn

» Tài Liệu Phổ Thông

» Trung học phổ thông

Chứng minh đẳng thức tổ hợp không dùng đạo hàm, tích phân - Nguyễn Công Định

Chia sẻ: Vip1000 Vip1000 | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:3

Báo xấu

1.091
lượt xem 99
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tài liệu Chứng minh đẳng thức tổ hợp không dùng đạo hàm, tích phân giúp học sinh vận dụng sáng tạo trong bài toán chứng minh bất đẳng thức mà không cần dùng đến đạo hàm, tích phân. Chúc các em học tốt.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Chứng minh đẳng thức tổ hợp không dùng đạo hàm, tích phân - Nguyễn Công Định

CHỨNG MINH ĐẲNG THỨC TỔ HỢP KHÔNG DÙNG ĐẠO HÀM, TÍCH PHÂN Tác giả: Nguyễn Công Định I/ Mở Đầu: Sử dụng phương pháp đạo hàm, tích phân để tính tổng, chứng minh các đẳng thức tổ hợp là điều không còn xa lạ đối với giáo viên và học sinh. Tôi sẽ không nói nhiều về sự tiện lợi và đẹp đẽ của phương pháp này. Tuy nhiên khi mà sách giáo khoa lớp 11 hiện nay phần tổ hợp được viết trước đạo hàm, còn tích phân thì thậm chí đến cuối lớp 12 mới được học, vậy thì nội dung quan trọng này – mà tôi thấy xuất hiện thường xuyên trong các kì thi tuyển sinh Cao đẳng, Đại học, sẽ được giảng dạy ở thời điểm nào? Ngay trong chương tổ hợp? Đợi dạy xong đạo hàm? Hay đến hết lớp 12?... Câu trả lời của tôi là ngay sau khi dạy xong bài nhị thức Niu Tơn, học sinh sẽ được học những nội dung này! Quý thầy cô sẽ thấy ngay sau đây! II/ Nội Dung: Nhắc lại kiến thức SGK: o n 1. C n  C n  1 3. C n  C n  k k n k n! 2. C n  4. C nk  C n 1  C n11 k k n  k !k! Ta chứng minh thêm: k k 1 5. k .C n  n.C n1 . k .n.(n  1)! (n  1)! k 1 Thật vậy: k .Cnk   n.  n.C n1 . Tương tự: (n  k )!k .(k  1)! (n  k )!(k  1)! 1 k 1 k 6. Cn  C n11. k 1 n 1 và thêm công thức quen thuộc: 7. C n  C n  C n  ...  C n  2 n o 1 2 n Nào, bây giờ mời quý thầy (cô) chúng ta cùng nhau chém đứt “vòi bạch tuộc” đạo hàm và tích phân với 7 vũ khí thô sơ trên! Bài 1: Tính tổng: S  C n  2.C n2  3.C n  ...  n.C nn . 1 3 Để xem “tên” đạo hàm tiến hành như thế nào:  Khai triển: 1  x n  C no  Cn1 x  C n2 x 2  C n3 x 3  ...  C nn x n (*)
n 1  n1  x   C n  2C n2 x  3C n x 2  ...  nC n x n 1 1 3 n  Cho x = 1  n.2 n1  C n  2C n2  3C n  ...  nC nn  S  n.2 n1 . 1 3 Thật gọn gàng, đẹp đẽ! Tuy nhiên, tôi không thích “tên” đạo hàm này lắm và tôi muốn loại bỏ chúng. Đây là nhát chém đầu tiên!  Từ (5)  C n  n.C no1 ; 2C n2  nC n1 ; 3C n  nC n21 ; ... ; nC nn  nC nn11 . 1 1 3 Cộng các vế lại  S  nCno1  C n1  C n21  ...  C nn11   n.2 n1. Xong. 1  Thậm chí, ta còn có thể sử dụng “vũ khí” thông dụng nhất để giải quyết trọn vẹn: Ban đầu: S  C n  2.C n  3.C n  ...  (n  1)C n 1  n.C n 1 2 3 n n Sử dụng (3)  S  C nn1  2.Cnn 2  3.C nn3  ...  (n  1)Cn  nC no 1 Cộng lại: 2S  nC n  nC nn1  nC n 2  nC nn3  ....  nC nn  n.2 n  S  n.2 n1. o n Bài 2: Tính tổng: S  1.2.C n2  2.3.C n  3.4.C n4  ....  (n  1).n.C nn . 3 Rõ ràng bộ mặt của đạo hàm trong bài toán này chính là đạo hàm 2 lần đẳng thức (*) và tiến hành giải giống như bài 1. Nhưng lần nữa chúng ta làm cho chúng phải chùn lại!   Áp dụng (5) hai lần, tức là: (k  1)kC nk  (k  1)nC nk11  (n  1)nC nk22 .  Như vậy: S  1.2C n2  2.3C n  ...  (n  1)nC nn  (n  1)nC n2  (n  1)nC n2  ...  (n  1)nC nn22 3 o 1  (n  1)n2 n2. Bài 3: Tính tổng: S  12 C n  2 2 C n2  32 C n ...  n 2 Cnn . 1 3 Đây có lẽ là bài toán vận dụng đạo hàm mạnh nhất mà “hắn” ta luôn tự hào. Thật vậy, với khai triển n1  x n1  C n  2C n2 x  3C n x 2  ...  nC nn x n1 thì thật khó để có thể nhận 1 3 được các hệ số 12 , 2 2 , ..., n 2 nếu ta không biết nhân 2 vế với x để rồi sau đó……lại đạo hàm thêm lần nữa (!), tức là: n1  x n1 x  C n x  2C n2 x 2  3Cn3 x 3  ...  nC nn x n , và đạo hàm thì nhận 1 được: n1  x n1  n(n  1) x 1  x n2  Cn  2 2 C n2 x  32 C n3 x 2  ...  n 2C nn x n1 . Khi cho x  1 thì 1 tổng S sẽ nhận được đúng với kết quả mà ta sẽ tiếp nhận sau đây!   Theo ví dụ 1 và 2 thì: k 2C nk  (k  1)kCnk  kC nk  (n  1)nC nk22  nC nk11. Như vậy: S  12 C n  2 2 C n  32 C n ...  n 2C n 1 2 3 n  o 1   o 1 n   n(n  1) C n2  C n 2  ...  C n2  n C n1  Cn1  ...  C n11  n(n  1)2 n2  n2 n1 n 2 1 1 1 1 Bài 4: Tính tổng: S  Cno  C n  C n2  ...  1 C nn . 1 2 3 n 1 Một khi đạo hàm đã không còn đất để vẻ vời thì người láng giềng gần “tích phân” vào tương trợ!
Với việc tính tích phân xác định cận từ x = 0 đến x = 1 đẳng thức (*), ta nhận được: 1 1  x n1 0  Cn0 x 10  1 Cn x 2 0  ...  1 Cnn x n1 0 1 1 1 1 n 1 2 n 1 1 S  n 1  2 n1  1 .  Tuy nhiên… 1 C n1  C n1  C n1  ...  Cnn1 1 2 3 1 Từ (6)  S  n 1  n 1   2 n1  1 . (Có đơn giản hơn chăng?) 1 1 1 2 n1 Bài 5: Tính tổng: S  C 2n  C 23n  ...  1 C2 n . 2 4 2n Lấy tích phân xác định cận từ x = a đến x = b đẳng thức (*) ta nhận được: 1 1  x 2n1 a  C20n x b  1 C2 n x 2 a  ...  1 C22nn1 x 2 n a  1 C22nn x 2 n1 a b b b b 1 a 2n  1 2 2n 2n  1 1 1 1 1 2n1 1 1 Chọn a = 0 và b = 1  C 20n  C2 n  C 22n  C23n  ...  1 2 3 4 2n C2 n  2n  1 2n C2 n  2n  1   2 2 n1  1 1 1 1 1 2 n1 1 1 Chọn a = 0 và b = -1  C 2n  C 2 n  C 22n  C 23n  ...  0 1 C2 n  2n C2 n   2 3 4 2n 2n  1 2n  1 1 1 Cộng lại  2 S  2n  1   2 2 n1  2  S  2n  1 2 2n  1 .   Đó cũng là lần cuối cùng mà tích phân còn xuất hiện trong những dạng toán tương tự, bởi vì sau lần sinh hoạt chuyên môn này chúng đã bị xếp xó. Lời giải sau đẹp đẽ hơn và gọn gàng hơn! 1 1 1 3 1 2 n 1 1 Từ (6)  S  2 C 2 n  C 2 n  ...  4 2n C 2n  2n  1  C 22n 1  C 24n 1  ...  C 22n 1 n  1 1  2n  1  2 2   C 2 n1  C 2n1  C 24n1  ...  C 2nn1  1  0 2n  1 2 2n  1 .  III/ Kết Luận: Qua những ví dụ tôi đã trình bày trên thì chúng có sự tiện lợi nhất định đối với học sinh chưa biết đến khái niệm đạo hàm và tích phân nhưng nhìn chung về hình thức thì vẫn chưa quen mắt lắm so với con đường cũ mà bao năm ta đã đi! Tôi cũng không dám nói rằng những bài toán dạng này khi giải phải dùng đến đạo hàm, tích phân thì luôn luôn được giải theo phương pháp trên. Nhưng tôi tin chắc vào điều đó! Câu trả lời như thế nào thì hãy để thời gian cùng với sự tìm tòi, nghiên cứu của thầy cô trong tổ làm thay vậy! Cuối lời tôi cũng hy vọng quý thầy cô vận dụng kiến thức nho nhỏ này vào việc giảng dạy cho bài giảng thêm phong phú, theo đó là sự đóng góp chân thành quý báu về chuyên môn để tôi chỉnh sửa, rút kinh nghiệm biến chúng thành đề tài sáng kiến kinh nghiệm cuối năm! Chân thành cảm ơn!

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

THÔNG TIN

TRỢ GIÚP

HỖ TRỢ KHÁCH HÀNG

Theo dõi chúng tôi

Chịu trách nhiệm nội dung:

Nguyễn Công Hà - Giám đốc Công ty TNHH TÀI LIỆU TRỰC TUYẾN VI NA

LIÊN HỆ

Địa chỉ: P402, 54A Nơ Trang Long, Phường 14, Q.Bình Thạnh, TP.HCM

Hotline: 093 303 0098

Email: support@tailieu.vn

Giấy phép Mạng Xã Hội số: 670/GP-BTTTT cấp ngày 30/11/2015 Copyright © 2022-2032 TaiLieu.VN. All rights reserved.