Phương pháp giải nhanh 999 bài toán chọn lọc: Phần 1

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:253

Thêm vào BST

Báo xấu

52
lượt xem 7
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Nhằm mục đích giúp các bạn học sinh lớp 12 có hệ thống các bài toán đầy đủ của lớp 10, 11, 12, các bài toán căn bản và toán khó theo cấu trúc đề, theo từng nhóm bài toán để thí sinh tiếp cận, ôn tập hệ thống cách giải đồng thời nâng cao trình độ, mở rộng kiến thức và phương pháp giải toán, rèn luyện kĩ năng làm bài và giải đúng, giải gọn giải nhanh các bài toán trong kỳ thi Tuyển sinh Đại học sắp tới. Mời các bạn cùng thâm khảo.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Phương pháp giải nhanh 999 bài toán chọn lọc: Phần 1

Hướng dân giải nhanhf gọn BÀI TOÁN CHỌN LỌC luyện thi đại học >/ Các dạng toán căn bản & toán khó theo chủ đề trọng tâm. •/ Nâng cao, mở rộng kiến thức và các phưdng pháp giải đúng, giải gọn, giải nhanh các bài toán thi trong các kì thi tuyển sinh 0H-CO. HòNìCh NHÀ XUẤT BẢN ĐẠI HQC QUOC GIA HÀ NỘI
T h .s L Í: iio A n ii p h ò N h à g iá o ưu tú Hướng dân giải nhanh, gọn BÀI TOÁN CHỌN LỌC LUYỆN THI DẠI HỌC •/ Các dạng toán căn bản & toán khó theo chủ để trọng tâm.' Nâng cao, mở rộng kiên thức và các phương pháp giải đúng, giải gọn, giải nhanh cấc bài toán thi trong các kì thi tuyển sinh ĐH-CĐ. NHÀ XUÃT BẢN ĐẬIÌỈ8C QUỐC GIA HÀ NỘI
f":í' ^ NHÀ XUÂ'lP«BẲN EÍẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI __ l l i^Hấng Chuôi - Hai Bà Trưng - Hà Nội 4 ĐÍện thoại: Biên tập-Chế bản: (04) 39714896; ' Hấnh chính: (04) 39711899; Tổng biên tạp; (04) 39714897 / Faỉ: (04) 39714899 I ^ *** / Ị / k C h ịu tr á c h n h iệ m x u ấ t b ả n : Giám đốọí' Tổng biên tập TS. PHẠM THỊ TRÂM Biên tập nội dung LAN HƯƠNG Sửa bài LÊ THỊ SEN Chế bản CÔNG TI AN PHA VN Trình bày bia SƠN KỲ Đối tác liên kết xuất bản CÔNG TI AN PHA VN A - ___________SÁ C H LÍÊN KẾT 5»5S i@ |S §gj^5S ^$kflì||^í^|S Ị|8^6Ị^Ị5S $5lifl|j|^^^S ^^% 5S 65S 555S «»«$S «ai!|8^$® 56^66566555« HƯỚNG DẪN GIÀI NHANH, GỌN 999 BÀI TOÁN CHỌN LỌC LUYỆN THI ĐẠI HỌC MâsỐ:lL-165ĐH2014 In 2.000 cuốn, khổ 16 X 24 cm tại Công ti TNHH in Bao bì Hưng Phú Số xuất bản: 536-2014/CXB/ 53-109/ĐHQGHN Quyết định xuất bản số: 169LK-TN/Q Đ-^B ĐHQGHN Ụa xong và nộp lưu chiểu quý II năm 2014.
LỜI NÓI ĐẦU Nhằm mục đích giúp các bạn học sinh lóp 12 có hệ thông các bài toán đầy đủ của lớp 10, lớp 11, lớp 12; các bài toán căn bản và toán khó theo câ'u trúc đề, theo từng nhóm bài toán để thí sinh tiếp cận, ôn tập hệ thông cách giải đổng thời nâng cao trình độ; mở rộng kiến thức và phương pháp giải Toán, rèn luyện kỹ năng làm bài và giải đúng, giải gọn, giải nhanh các bài toán thi trong kỳ tuyển sinh Đại học sắp đến, chúrlg tôi biên soạn cuô'n. HƯỚNG DẪN GIẢI NHANH, GỌN 999 BÀI TOÁN CHỌN LỌC LUYỆN THI ĐẠI HỌC Cuổh sách này có 4 phần: Phần 1 là TOÁN GIẢI TÍCH với các nội dung là khảo sát hàm sô', tích phân, chứng minh bâ't đẳng thức và tìm giá trị lớn nhâ't, nhỏ nhâ't. Phần 2 là TOÁN LƯỢNG GIÁC VÀ HÌNH HỌC với các nội dung là giải phương trìrứi lương giác, tọa độ phẳng, tọa độ không gian và hình học không gian. Phần 3 là TOÁN ĐẠI số với các nội dung là sô' phức, tổ hợp và xác suâ't, giải phương trình, bâ't phương trình, hệ phương trình đại sô' và mũ, logarit. Phần 4 là CÁC ĐỀ ÔN THI TổNG HỢP theo cấu trúc thi mới gổm 15 đề trong đó có 6 đề kèm hướng dẫn giải hoàn chỉnh và 9 đề tự giải có đáp sô' để kiểm tra kết quả. Các bạn hãy thử thách với 820 bài toán theo chủ đề và 179 bài toán trong các đề tổng hợp! Dù đã cô' gắng kiểm tra trong quá trình biên tập song cũng không tránh khỏi những sai sót mà tác giả chưa thây hết, râ't mong đón nhận các góp ý của quý bạn đọc, các em học sinh để lần in sau cuốh sách được hoàn thiện hơn. Mọi ý kiên đóng góp xin liên hệ: - Trung tâm sách giáo dục Alpha 225C Nguyễn Tri Phương, p. 9, Q. 5, Tp. Hổ Chí Minh. - Công TNHH An Pha VN 50 Nguyễn Văn Săng, Quận Tân Phú, Tp. Hồ Chí Minh. ĐT: 08.62676463. 38547464. Email: Alphabookcenter@yahoo.com Xin trân trọng cảm ơn ! Tác giả
MỤC LỤC PHÀN 1: TOÁN GIẢI TÍCH §1. KHẢO SÁT HÀM SÓ VÀ BÀI TOÁN LIÊN QUAN................... 05 §2. TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG ...................................................... 41 §3. CHỨNG MINH BÁT ĐẲNG THỨC ............................................ 70 §4. TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHÁT VÀ NHỎ N H Á T..............................102 PHẦN 2: TOÁN LƯỢNG GIÁC VÀ HÌNH HỌC § 1. PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC................................................ 139 §2. TỌA Đ ộ PHẲNG.......................................................................... 166 §3. TỌA Đ ộ KHÔNG GIAN ..............................................................200 §4. HÌNH HỌC KHÔNG GIAN .........................................................234 PHÀN 3: TOÁN ĐẠI SÓ §1. SÓ PHỨC.......................................................................................265 §2. TỔ HỢP VÀ XÁC SUÁT..............................................................289 §3. PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI s ố ...........................................................314 §4. PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LOGARIT.........................................347 PHÀN 4: CÁC ĐÈ ÔN THI TỐNG HỢP ............................ 374 -999BT-
PHÀN 1: TOÁN GIÀI TÍCH §1. KHẢO SÁT HÀM SỐ VÀ BÀI TOÁN LIÊN QUAN Bài 1.1: Tìm các giá trị của tham số a để hàm số y = f(x) = ax^ - 3x" + 3x + 2 đồng biến trên R. Hướng dẫn giải Tập xác định D = R. f'(x) = 3ax" - 6x + 3. Xét a = 0 thì f ’(x) = - 6x + 3 có đổi dấu: loại Xét a 0, vì f không phải là hàm hằng (y' = 0 tối đa 2 điểm) nên điều kiện hàm số đồng biến trên R là f'(x) > 0, Vx [ a >0 í a >0 í a >0 < l. ' [a ' l Vậy a > 1. Bài 1.2: Tìm m để hàm số y = đồng biến trên mỗi X+ m khoảng xác định: Hướng dẫn giải D = R \{-m }. ^ . , (x + m ) ( 3 m - l ) - [ ( 3 m - l ) x - m ^ + ml 4m ^-2m Ta có: y = i------------ - = --------- — (x + m)^ (x + m)^ Hàm số đồng biến trên mồi khoảng xác định 2 1 4m —2m > 0 m < 0 hoặc m > ^ . 2 Vậy m < 0 hoặc m > —. 2 Bài 1.3: Tìm a để hàm số:y = f(x) = x^ - ax^ + X + 7 nghịch biến trên khoảng ( 1; 2). Hưóng dẫn giải Tập xác định D = R. f'(x) = 3x^-2ax + 1 Hàm số nghịch biến trên khoảng (1; 2) khi và chỉ khi y' < 0 với mọi X e (1; 2) íf(l) < 0 Í4 -2 a < 0 13 [f(2 )< 0 [ l3 - 4 a < 0 4 13 Vậy a > — 4 . -999BT-
Bài 1.4: Tìm m để hàm số y = + 3x‘ + mx + m chỉ nghịch biến trên một đoạn có độ dài bằng 3. Hướng dẫn giải D = R, y' = 3x^ + 6x + m, A' = 9 - 3m Xét A' < 0 thì y' > 0, Vx: Hàm luôn đồng biến (loại) Xét A' > 0 m < 0 thì y' = 0 có 2 nghiệm X|, X2 nên rn X| + X2 = -2, X1X2 = — BBT: — 00 X? +00 0 - 0 + Theo đề bài: X2 - Xi = 3 (X2 - X|)^ = 9 Cí> x^ +X2 - 2X|X2 =9 2 4 15 (X2 + Xi) - 4 xi X2 = 9 4 - —m = 9 m = - — (thoả). 3 4 Vậy m = - — . 4 Bài 1.5: Cho đồ thị của hàm số: y = (3a^ - l)x^ - (b^ + l)x^ + 3c^x + 4d có hai điểm cực trị là (1; -7 ), (2; - 8). Tính tổng M = a^ + b^+ c'*+ d^. Hướng dẫn giải Đặt A = 3a^ - 1, B = -(b^ + 1), c = 3c^, D - 4d, thì hàm số đã cho là y = Ax^ + Bx^ + Cx + D. 1 có: y' = 3Ax“ + 2Bx + c y'(i) = o 3A + 2B + C = 0 A=2 y'(2) , =0 12A + 4B + C ^ = 0. B = -9 Ta có; t0 a = 2x^ - 3x^, X ^ 0. -999BT-
Bằng cách xét hàm số g(x) = 2x^ - 3x^, X 0 và lập BBT thì điều kiện hàm số cho có 3 cực trị khi g(x) = 0 có 3 nghiệm phân biệt khác 0 là -1 < a < 0. Từ tọa độ các điểm cực trị suy ra các điểm cực trị này nằm trên (P): y = 3x^ - 6x + 3 cố định. Bài 1.7: Cho (Cm): y = x^ + (m - 1)x^ - (m + 3)x - 1. Chứng minh rằng với mọi m, hàm số có cực đại, cực tiểu. Viết phưoTig trình đường thang đi qua các điểm cực đại, cực tiểu của đồ thị. Hướng dẫn giải Ta có y' = 3x“ + 2(m - l)x - (m + 3). ( 1 39 Vì A'= (m-1)^ + 3(m + 3) = m^ + m + 10= m + — + — >0 I 2j 4 Nên PT luôn có 2 nghiệm phân biệt suy ra với mọi m hàm số có cực đại, cực tiểu. Thực hiện phép chia ỵ cho y' ta có: y. = x^ + ( m - l ) x - t (m m + 3)x 3 t Y-- I / ( X m -1 ^ 2(m -l)^ 2(m + 3) m + 2m - 12 =y +' + X+ • u 9 j \ 9 Do XCĐ và XCT là nghiệm của phương trình y' = 0 nên ta có: 2(m - 1)^ 2(m + 3) + 2m - 12 ycĐ ■ 9 3 2(m -l)^ 2(m + 3)ì 3) m ^+ 2m -12 ycT = ------- ^ 9 J ------- ---------------------------------------- 3 9 Vậy phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực đại và cực tiểu là y =_ —2(m - 1)^------2(m i x++3)^ m ^+ 2m------ ------------^ -12 . ^ 9 3 J 9 . ,. í x" 1 , i X X Bài 1.8: Cho hàm sô y = — 3x - —. Chứng minh răng hàm sô có ba điêm 2 x cực trị phân biệt A, B, c và tính diện tích tam giác ABC. Hướng dẫn giải x^ -3x^ +1 Ta có; y' = X - 3 + ,X 0 y' = 0 » x ^ - 3 x ^ + I = 0 Đặt f(x) = x^ - 3x‘ + 1 thl f(-l) = -3, f(0)= 1, f(l) = - l,f (3 ) = 1 nên theo tính chât hàm liên tục, phương trình y' = 0 có 3 nghiệm Xa, xb , xc thỏa mãn điêu kiện -1 < Xa < 0 < xb < 1 < xc < 3. Từ đó suy ra đpcm. Ta có: Xa + xb + Xc = 3,XaXb + xbXc + XcXa = 0 và xaXbXc = 1. 27 Từ đó tính được diện tích tam giác ABC là s = — . -999BT-
Bài 1.9: Cho hàm số: y = —3mx^ + (m^ —m) X + 4. Tìm các giá trị của m để đồ thị hàm số có hai điểm cực trị nằm về hai phía của đường thẳng X = 1. Hướng dẫn giải Ta có y’ = 3x^ - 6mx + m^ - m. (1) Hàm số có CĐ, CT y’ = 0 có hai nghiệm X|, X2 phân biệt [m > 0 A’ = 9m^ - 3(m^ - m) > 0 2m^ + m > p m < -- Khi đó CĐ, CT nằm về hai phía của đường thẳng X = 1 Xi < 1 < X2 Xi - 1 < 0 < X2 - 1 (Xi -1) (x - 1) < 0 X1X2 - (xi + X2 ) + 1 < 0 «í> 2m + 1 < 0 3 _ 7 + n/ 37 , . m -7m + 3 < 0 C:> ---- -— < m < ---- -— (chọn). 2 2 Bài 1.10: Cho hàm số: y = x^ - 6x^ + 3mx - m + 2, với m là tham số thực. Tìm m sao cho đồ thị của hàm số đã cho có các điểm cực đại, cực tiểu và khoảng cách giữa chúng bằng . Hướng dẫn giải Ta có y' = 3x^ - 12x + 3m Đồ thị hàm số có điểm cực đại, cực tiểu khi và chi khi phương trình y' = 0 có hai nghiệm phân biệt A' = 36 - 9m > 0 m < 4 Gọi các điểm cực trị là A(xi; yi). B(X2; y2), theo định lí Viet |x , + X 2 =4 [X|X2 = m Ta có yi= (2m - 8)xi + m + 2, y2 = (2m - 8)X2 + m + 2 AB = -X 2)^ +(2m-8)^(x2 -x^)^ = yj(l + ( 2 m - 8 ) ^ [ ( X ; + X 2 ^ - 4 Xj X2] = V(4m^ - 3 2 m + 6 5 ) ( 1 6 - 4 m ) nên AB = o (4m^ - 32m + 65)(16 - 4m) = 1040 » 4m^ - 48m^ +193m = 0 m(4m^ - 48m + 193) = 0 m = 0 (thỏa mãn). Vậy m = 0. 2 Bài 1.11: Cho hàm số y = ^ —- trong đó p 0, p^ + q‘ = 1. Tìm tất cả X +1 các giá trị p, q sao cho khoảng cách giữa hai điểm cực trị là AB = s/ĩõ . 8 -999BT-
Hưóìig dẫn giải (2x + p)(x^+l)-2x(x'*+px + q) -px^ - 2(q - l)x + p Điều kiện để đồ thị có hai điểm cực trị X|, X2 là phưcmg trình sau có hai nghiệm phân biệt: px^ + 2(q - l)x = 0. A' > 0, p 0 Cí> (q - 1)^ + p^ > 0: đúng vì p 0. Khi đó X, +X2 = ---- ------,Xj.X2 = - l nên AB^ = (x,- X 2)^ + 2xj 2X2 Do đó AB = 10 =((q-l)^+ l-q^)(l + —^ ) ^ ’ 1-q q^ + 4q^ - 5q = 0 q(q^ + 4q - 5) = 0 Chọn nghiệm q = 0 nên p = ± 1. Vậy p = ± 1, q = 0. Bài 1.12: Cho hàm số: y = —x'’ - (3m + l)x^ + 2 (m + l), với m là tham số. 4 Tìm m để đồ thị hàm số có 3 điểm cực trị lập thành một tam giác có trọng tâm là gôc tọa độ. Hướng dẫn giải Ta có y’ = x ^ -2 (3 m + l)x = x[x - 2 (3 m + 1)] y’ = 0 X = 0 và x^ = 2(3m + 1) Hàm sổ đã cho có 3 điểm cực trị 3m + 1 > Ot Cí> m > - — 3 Khi đó 3 điểm cực trị của đồ thị là: A(0; 2m + 2), B(-V6m + 2 ; -9m^ - 4m + 1) và C( Vom + 2 ; -9m^ -4 m + 1) Vì hàm số chằn nên tam giác ABC cân tại A thuộc trục Oy, B, c đổi xứng nhau qua Oy. o là trọng tâm của tam giác ABC » yA + ya + yc = 0 2m + 2 + 2(-9m^ - 4m + 1) = 0 2 m =- —
Bài 1.13: Cho hàm số: y = x"* - mx^ + 2m - 1. Tìm m để đồ thị hàm số đã cho có 3 điểm cực trị sao cho 3 điểm cực trị cùng với gốc tọa độ là 4 đỉnh của một hình thoi. Hướng dẫn giải Ta có y' = 4x^ - 2mx, y' = 0 4x^ - 2mx = 0 Cí> x = 0 2x^ m Đồ thị hàm số có 3 điểm cực trị khi và chì khi phương trình y' = 0 có 3 nghiệm phân biệt m > 0. Khi đó các điểm cực trị: \ / m m 1 m m^ + 2m - l ,B (0;2m -l),C V2 4 2 4 Vì tam giác ABC cân tại B, AC song song Ox nên o , A, B, c là 4 đĩnh hình thoi khi và chỉ khi OABC là hình thoi o và B đối xứng nhau qua AC ^ == 2 2m -1 . 2 A ^ —- = - + 2m-lm^ —4m + 2 = 0 ì 4 m = 2 ± yÍ2 (thỏa mãn). Vậy m = 2 ± -v/2 . Bài 1.14: Cho hàm số; y = x'* - 2 (m + l)x^ + m + 1 (1), với m là tham số thực. Xác định m để hàm sổ (1) có ba điểm cực trị, đồng thời các điểm CỊĨC trị của đồ thị tạo thành một tam giác có bán kính đường tròn ngoại tiếp bằng 1. Hướng dẫn giải Ta có y' = 4x^ - 4 (m + 1)x = 4x (x^ -m - 1) y' = 0 » í ’^2" ° x = m + 11 Điều kiện hàm số có ba điểm cực trị: m + l > 0 < = > m > - l . Tọa độ các điểm cực trị là: A(0; m + 1); B(-Vm +1 ; - m^ - m), C( Vm + 1 , - m ^- m) Vậy A ABC là tam giác cân tại A. Gọi I là trung điểm BD: I (0;- m^ - m) AI = (m+ 1)^ BC = 2Vm + l , AB = ^{m + ]) + ịm + ]ý Diện tích S abc = —AI.BC = (m + 1)‘ Vm + 1 „ _ AB.BCAC _[(m + l) + (m + l)'’]2Vm + l S*BC - " ----------- 4 10 -999BT-
m(m +3m + 1) = 0 _ m = _ n0; m -= ---- -3 +----- V5 hoặc . . m= _ ---- -3-v/5 ----- . 2 2 Đối chiếu với điều kiện thì m = 0; m = — ----- là giá trị cần tìm. Bài 1.15: Cho hàm số: y = - 3mx^ + (3m^ - 3)x + m^ + 1(1). Định m để đồ thị hàm số (1) có hai điểm cực trị cách đều trục Ox. Hướng dẫn giải Ta có: y’ = - 3x^ - 6mx + 3m —3 = - 3(x^ - 2mx + m —1) y' = 0 x^ - 2mx + m^ - 1 =0 x = m + l=í>y = m^ + m ^ - 3m - 1 x = m - l ^ y = m^ + m^ - 3m + 3 Lập BBT thì hàm số luôn luôn có hai điểm cực trị A(m + 1; m^ + m^ - 3m -1), B(m - 1; m^ + m^ -3m + 1). Ta có A(m + I; m^ + m^ -3m -1), B(m - 1; m^ + m^ - 3m + 1) cách đều trục Ox: d(A; Ox) = d(B; Ox) (m^ + m - 1)^ = (m^ + m - 3m + 3)^ o - 8(m^ + m^ - 3m) - 8 = 0 8m^ + 8m^ - 24m + 8 = 0 Cí>8(m-l)(m^ + 2m - l ) = 0 .
-X + 1 bi = lim (v x ^ -x + 1 - x ) = lim - p = x->+oo\ / X-Mot, /^ 2 _ x + 1 +x 1 -1 + - -x + 1 X 1 lim = lim X— ►+«) x->4• +c») và: 2 ,______ ỊT I r 32 - hm ------- ^ = hm — ! ------ = -1 x->-00 ỵ x-*-00 ỵ b2 = lim (Vx^-x + 1+xỊ = lim - p- ---- ’ ’‘^ V x " - x + l - x - lim ^ . = = lim — ị ^— L 1 1 , 1 1 2 - y - r ỉ - ^ nên đường thẳng y = - X + — là tiệm cận xiên của đồ thị (khi X -> -oo). 2 Bài 1.18: Cho hàm số: y = (C). Tìm trên đồ thị (C) điểm M sao cho 3 X khoảng cách từ điểm M đến đường tiệm cận ngang bằng 5 lần khoảng cách từ điểm M đến đường tiệm cận đứng. Hướng dẫn giải Gọi M là điểm thuộc đồ thị (C); M a; 1 + , a^ 3 a -3 Tiệm cận đứng Ai: X- 3 = 0; tiệm cận ngang: A2: y - 1 = 0 Ta có d(M; A2) = 5d(M; A,) —^ = 5|a - 3| >-3| Cí> (a - 3)^ = 1 a = 4 hoặc a = 2. Vậy các điểm cần tìm là; M(4; 6), M(2; -4). ' ’ X+ 1 Bài 1.19: Tìm tât cả các diêm M thuôc (C): y = —— sao cho khoảng cách X- 1 từ M đến giao điểm hai đường tiệm cận của (C) ngắn nhất. Hướng dẫn giải Đồ thi (C): y = có TCĐ: X = 1, TCN; y = 1 nên giao điểm 2 tiêm X-1 cận là 1( 1; 1). 12 -999BT-
X +1 , , Ta có M(x; —— ) 6 (C) nên khoảng cách; X -1 I M= J ( x - ự + | ^ - l =J ( x - ự + >4 x -1 (x -ĩý 4 Dấu = khi (x - 1)^ = 0 Ì X - \ Ý = 2 0 X = \ ± yíĩ . (x-lf Vậy có hai điểm M thoả mãn bài toán: M,(l + V2 ; 1 + V2 ), M2 ( 1- V2 ; I-V 2 ). Bài 1.20: Chửng minh rằng đồ thị hàm số y = x"* + 2m^x^ + 1 luôn cắt đường thẳng y = X + 1 tại đúng hai điểm phân biệt với mọi giá trị m. Hướng dẫn giải Phưomg trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị là: x"* + 2m^x^ + 1 = X + 1
\p = m + \< ữ \m < —\ [2^ + 2.2 + w + l ;>tO \m ^ -9 Vậy m < -1 và m ÍẾ-9. , 1 1 3 ™ Bài 1.22: Cho hàm sô: y = —X®- — —x + 2 . Tìm m để đường thẳng d: 6 2 2 y = m chi cắt đồ thị (C) của hàm số cho tại hai điểm A, B và tam giác OAB cân tại gốc o. Hướng dẫn giải Tập xác định D = R x = -l Ta có: y' = —x^ - X - - ; y' = 0 o X= 3 Bản biến thiên X —00 —1 3 +00 y' + 0 - 0 + Ỵ]_ +00 y ~2 PhưoTig trình hoành độ giao điểm của d và đồ thị (C) 1 3 1 2 3 „ —x ^ - ^ x ^ - - ^ x + 2 = m. 6 2 2 ' ’ 17 o d chỉ căt (C) tại 2 diêm A, B khi m = ^ hoặc m = . 6 2 Với m = — thì OA ^ OB: loại. 6 Với m = thì OA =OB: chọn. Vậy m = . 2 - ^ 2 X+ 2 Bài L23: Cho hàm số y = có đồ thị là (C). Viết phưorng trình hai x-1 đường thẳng di, d2 đi qua giao điểm I của hai tiệm cận và cắt đồ thị (C) tại 4 điểm phân biệt là các đình của một hình chữ nhật biết đường chéo hình chữ nhật đó có độ dài bằng >/30 . ' Hưóìig dẫn giải Ta có TCĐ: X =1 và TCX: y =1 nên giao điểm 1(1 ;1) là tâm đối xứng của đồ thị hàm số Giả sừ di cắt (C) tại A và B, d2 cắt (C) tại c và D thì I là trung điểm của AB và CD. 14 -999BT-
Do đó, ACBD là hình bình hành nên ACBD là hình chữ nhật thỏa mãn đề bài thì phải có AB = CD = . Gọi di là đường thẳng đi qua I có hệ số góc k có phưoTtig trình di là; y = k(x - l ) + l < » y = k x - k + l Phương trình hoành độ giao điểm của di và (C) là: X+ 2 = k x -k + l< » k x -2 k x + k -3 = 0(l) x -1 Điều kiện di cắt (C) tại 2 điểm phân biệt A(xi; yi) và B(X2; y2) là (1) có 2 nghiệm Xi; X2 phân biệt 1 o k > 0 . X, + X2 = 2 Áp dụng định lý Viet ta có: k -3 X,X2 = Dođó: [y2 = kXj - k +1 | y i + y 2 =2 |y ,y 2 = k^X|X2 -k (k -l)(x , +X2) + (k-l)^ = l - 3 k AB = l I2m —2 ^ 2 \m ^ 2 Có 2 trường hợp xảy ra: Xét: 2m - 2 >2 < =>m>2 P T có 4 nghiệm lần lượt là: Xi = -V2m - 2 ; X2 = - V 2 ; X3 = V 2 ; X4 ■■-42m ■ X| + 2X2 + 3X3 + 4X4 ^ yV2 -999BT- 15
-V2m - 2 - 2 ^Í2 + 3 V2 +4> / 2m- 2 > 7V2 o V2m - 2 > 2V2 m > 5 (thỏa mãn) Xét: 2 m - 2 < 2 < = > m < 2 nên chọn; 1 < m < 2 . PT có 4 nghiệm lần lượt là: X| = -yỈ2 ; X2 = - V 2 m - 2 ; X3 = V2m-2 ; X4 = V2 Do đó Xi + 2X2 + 3x3 + 4X4 ^ 7\/2 0 - 4 2 - 2 V2m - 2 + 3 V2m - 2 + 4V^> 7>/2 o V2m- 2 > 4V2 17 (loại) Vậy m > 5 là giá trị cần tìm. ' “ 2x +1 ' ’ * 1.25: Cho hàm sô y = — - — có đô thị (C). Tìm m để đường thẳng d: y = -X + m cắt (C) tại hai điểm A, B thỏa mãn AB = 2 ^ 2 . Hưứng dẫn giải Hoành độ giao điểm của d và (C) là nghiệm của phưomg trình “ 2x "I" 1 — —— = - x + m ,x ^ -1 -2x + 1 = (x + 1)(-x + m), X +1 x^ - (m + 1)x - m + 1 = 0 PhưoTig trình có 2 nghiệm X) ;X2 phân biệt Cí> A > 0 0 m < -3 - 2 V3 m + 6m - 3 > 0 o m > -3 + 2 V3 Khi đó A(xi; -X| + m), B(X2; - X2 + m) Ta có Xi + X2 = m + 1, X1X2 = -m + 1. Nên AB^ = 8 (X2 - X|)^ + (y 2 - yi)^ - 8 o (X2 - X|)^ = 4 (X| + X2)^ - 4 xiX2 = 4 (m + 1)^ - 4(- m + l) = 4m^ + 6m - 7 = 0 m =1 hoặc m -7 (chọn). Vậy m = 1 hoặc m = -7. 2x + l Bài 1.26: Cho hàm số y = (1). Tìm các giá trị m để đưòmg thẳng d: x -1 y = - 3x + m cắt đồ thị (C) của hàm số (1) tại A và B sao cho trọng tâm của tam giác OAB thuộc đường thẳng X - 2y -2 = 0 (O là gốc tọa độ). Hướng dẫn giải ’ 2x "I"1 PT hoành đô giao diêm — = - 3x + m với X X- 1 2x+ 1 = ( x - l)(-3x+ m)
A = (l + m)^-12(m + l )>0 m > 11 o (m + l ) ( m - l l ) > 0 [3 -(1 + m) + m +1 ít 0 m < -1 Gọi I là trung điểm của AB Xị + X2 1+ m , m -1 =>XI = — ; yi = -3xi + m = —— 1+ m m -1 Gọi G là trọng tâm của tam giác OAB G 1+ m G ed -2 2= Oo m = (thỏa mãn) 11 Vậy m = là giá trị càn tìm. ' X 4“ 1 ' ' Bài 1.27: Cho hàm sô: y = — có đô thị (C). Gọi I là giao điêm của hai 3 —X tiệm cận của (C). Tìm các số thực m để đường thẳng d: y = X + m cắt (C) tại hai điểm phân biệt A, B tạo thành tam giác ABI có trọng tâm nằm trên (C). Hướng dẫn giải x+1 Hoành độ giao điểm của d và (C) là nghiệm của phưong trình = X+ m x^ - x(2 - m) + 1 - 3m = 0(1), X ít 3 Vì phưcmg trình (1) không có nghiệm X = 3 nên d cắt (C) tại 2 điểm phân biệt khi PT (1) có 2 nghiệm phân biệt Xi, X2 A>0m^ + 8 m > 0 o m < - 8 hay m > 0 d cắt (C) tại 2 điểm phân biệt A(xi; Xi + m), B(X 2; X2 + m) Trọng tâm tam giác AIB là G: _ 3 + Xj +X2 _ 5 - m 3 3 -1 + Xj + m '+ X2 + m _ 1 + m y= 5 - m +1 G nằm trên (C), ta có: i i ĩ í i = —3 3 3 5 -m 3 m^ + 8m - 2 0 = 0m = -1 0 hay m = 2 (chọn) Vậy m = -1 0 hay m = 2. -999BT- 17
2 x -l Bài 1.28: Cho hàm số: y = (1) .Viết phương trình đường thẳng A đi x+1 qua điểm I(-l; 2) cắt đồ thị (C) tại hai điểm phân biệt A, B sao cho tam giác AOB có diện tích bằng yỊs với o là gốc toạ độ. Hướng dẫn giải Gọi k là hệ số góc của đường thẳng A suy ra: A: y = k(x + 1) + 2 PT hoành độ giao điểm của A và (C): — —^ = k(x + 1) + 2 kx^ + 2kx + k + 3 = 0 (*), X X+ 1 Đường thẳng A cắt (C) tại hai điểm phân biệt A, B PT (*) có 2 nghiệm Xi, X2 phân biệt khác - 1 'Ảr^O
„ x ( x ^ _ 6 x + 9 -3 m ) = 0( l ) o [ ^ r _ ° e ^ ^ 9 _ 3 ^ , 0 Vóix = 0 = > y = - i ^ A ( 0 ; - ỉ ) Đường thẳng A: y = mx - ỉ cắt (C) tại ba điểm phân biệt A, B, c 3 PT - 6x + 9 —3m = 0 có 2 nghiệm phân biệt X], X2 khác 0 ^ ÍA > 0 Í3m >0 ím >0 ^ 9 - 3 m ^ 0 ^ m^3 ^ \m ^ 3 ( / \ Khi đó B Xj|mXj---- , c -- Ta có SOBC = 2 S oab « - d ( 0 ; A)BC = 2Ỉd(0;A)AB « BC = 2AB o B Ơ = 4AB^ (X2 - X i) “ + m ^ ( x 2 - Xi)^ = 4 ( x ^ + m ^ x ^ ) < » (m^ + 1)(X2 - X|)^ = 4(m^ + l ) x ^ (X2 - x , ) ^ = 4x^ Xj = 3x, 0 x2 = 3xi X2 +X| = 0 íx, + Xj = 6 3 3 Mà < nên có m = — (thỏa mãn). Vây m = —. [x,X2=9-3m 4 4 3x-l Bài 1.30: Cho hàm số: y = có đồ thị (C). Viết phưong trình đường X+2 thẳng A đi qua điểm M(0; -11), cắt đồ thị (C) tại hai điểm A, B phân biệt sao cho diện tích tam giác OAB gấp 2 lần diện tích tam giác 0MB. Hướng dẫn giải Đường thẳng có hệ số góc m đi qua M có phưong trình: y = mx - 11. 3x —1 Xét phương trình: ——- = mx - 11 X "í"2 mx^ + 2(m - 7)x - 21 = 0 (vì X = -2 không là nghiệm) Điều kiện tồn tại A, B phân biệt là: ímí-tO ị m^tO [A'=m +7m + 49>0 Gọi A(xi; mxi - 11), B(X2; mx2 - 11) , 14- 2 m _ - 2’1 Theo định lý Viet ta có; X| + X2 = --------- ; X1X2 = ----- m m SoAB - 2 S obm ^ d (0 ; AB).AB - d(0; BM)BM ù -999BT- 19