Phương pháp viết phương trình mặt phẳng và phương trình đường thẳng

Chia sẻ: Nguyenphuoclinh Nguyenphuoclinh | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:8

Thêm vào BST

Báo xấu

1.061
lượt xem 132
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tài liệu hướng dẫn phương pháp viết phương trình mặt phẳng và phương trình đường thẳng sẽ giúp các em học sinh nắm được kiến thức cơ bản của toán hình học, biết phương pháp viết một phương trình mặt phẳng và phương trình đường thẳng đúng. Ngoài ra nó còn là tài liệu tham khảo hữu ích giúp các em hệ thống lại kiến thức đã học để vận dụng tốt vào các dạng bài tập hình học liên quan. Hy vọng phương pháp viết phương trình mặt phẳng và phương trình đường thẳng sẽ giúp các em thực hành dễ dàng hơn trong Toán tọa độ. Chúc các em học tốt.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Phương pháp viết phương trình mặt phẳng và phương trình đường thẳng

1. Phương Trình Mặt Phẳng Để viết pt măt phẳng em có 2 cách cơ bản : . Xác định 1 điểm và 1 VTPT . Hoặc gọi ptmp dạng Ax+By+Cz+D=0 rồi dựa vào giả thiết tìm A,B,C,D. Vậy khi nào sử dụng cách 1 , khi nào sử dụng cách 2 thì em phân biệt các dạng đề bài sau:  Dạng 1: Viết PT mp đi qua A(x0; y0 ;z0) và có VTPT n =(A;B;C) A(x-x0) + B(y-y0) + C(z-z0) = 0  Ax + By + Cz + D = 0 Dạng 2:Viết pt mặt phẳng đi qua A(x0; y0 ;z0) và // mp (Q) - Từ ptmp(Q)  VTPT nQ = (A;B;C)  - Vì (P) // (Q)  VTPT n P = n Q = (A;B;C) - PT mp (P) đi qua A và có VTPT n P Dạng 3: Viết pt mpđi qua A(x0; y0 ;z0) và vuông góc với đường thẳng d - Từ (d)  VTCP u d = (A;B;C)   - Vì (P) vuông góc với (d)  Chọn VTPT n P= u d =(A;B;C)   Viết ptmp (P) đi qua A và có vtpt n P. Dạng 4: Viết ptmp đi qua A và   (Q) ,  (R) - Từ pt mp (Q) và (R)  VTPT n Q ; VTPT n R     - Vì (P)  (Q) và  (R)  VTPT n P  nQ và n P  n R     Chọn n P = [ n Q; n R]    - Vậy pt mp (P) đi qua A và có VTPT n P = [ n Q; n R] Dạng 5:Viết  Pt mp (P)  đi qua 3 điểm    A,B,C không thẳng hàng - Tính AB , AC và a = [ AB , AC ]     - PT mp (P) đi qua A và có VTPT n P= a = [ AB , AC ] Dạng 6:Viết  ptmp (P) đi qua   và  (Q) A,B - Tính AB , vtpt n Q và tính [ AB , n Q]    - Vì A, B  (P) ; (Q)  (P) nên chọn n P=[ AB , n Q] - Viết ptmp (P) Dạng 7: Viết ptmp (P) đi qua A ;  (Q) và // với dt (d) 1
  - Tính VTPT n Q của mp (Q); VTCP u d của đường thẳng (d).   - Tính [ u d, n Q]    - Vì (P)  (Q) và // (d) nên VTPT n P = [ u d, n Q] - Từ đó viết được PT mp (p) Dạng 8: Viết ptmp (P) là trung trực  của AB.  AB - Tình trung điểm I của ABvà - Mp (P) đi qua I và nhận AB làm VTPT. Dạng 9: Viết pt mp(P) chứa (d) và đi qua A  - Tính VTCP u d của đường thẳng (d) và tìm điểm M  (d)    - Tính AM và [ u d, AM ]    - Ptmp (P) đi qua A và có VTPT n P =[ u d, AM ]. Dạng 10: Viết pt mp (P) chứa (d) và // (  ) - Từ (d)  VTCP u d và điểm M  (d)    - Từ (  )  VTCP u  và tính [ u d, u  ]    - PT mp (P) đi qua M và có VTPT n = [ u d, u  ]. Dạng 11: Viết Pt mp(P)  chứa (d) và  (Q) - Từ (d)  VTCP u d và điểm M  (d)    - Từ (Q)  VTPT n Q và tính [ u d, n Q]    - PT mp (P) đi qua M và có VTPT n =[ u d, n Q]. Dạng 12:Viết PT mp (P) // với (Q) và d(A;(P))=h - Vì (P) // (Q) nên pt mp (P) có dạng Ax + By +Cz + D=0 ( theo pt của mp (Q) , trong đó D  DQ) - Vì d(A,(P))= h nên thay vào ta tìm được D - Thay A,B,C,D ta có PT mp (P) cần tìm. Dạng 13: Viết PT mp(P) chứa  (d) và d(A,(P))=h 2 - Gọi VTPT của mp (P) là n P = (A,B,C) với đk là A + B2 + C2 >0  - Từ (d)  VTCP u d và điểm M  (d)   - Vì (d) nằm trong (P)  u d. n P=0 (1) - PT mp (p) đi qua M: A(x-x0) + B(y-y0) + C(z-z0) = 0 - d(A,(P)) = h (2) - Giải (1);(2) ta tìm được A,B theo C từ đó chọn A,B,C đúng tỉ lệ , ta viết được PT mp(P). Dạng 14:Viết Pt mp(P) chứa (d) và hợp với mp (Q) một góc   900 2
 - Gọi VTPT của mp (P) là n P = (A,B,C) với đk là A2 + B2 + C2 >0  - Từ (d)  VTCP u d và điểm M  (d)   - Vì d  (P)  u d. n P=0 (1) - Tính cos ((P),(Q)) (2) - Từ (1) và (2) ta tìm được A,B theo C từ đó chọn A,B,C đúng tỉ lệ , ta viết được PT mp(P). Dạng 15:Viết Pt mp (P) chứa (d) và hợp với đt(  )một góc   900  - Gọi VTPT của mp (P) là n P = (A;B;C) với đk là A2 + B2 + C2 >0  - Từ (d)  VTCP u d và điểm M  (d)   - Vì d  (P)  u d. n P=0 (1) - Tính sin ((P),(  )) (2) - Hệ (1) và (2) tìm được A,B theo C từ đó chọn A,B,C đúng tỉ lệ , ta viết được PT mp(P). Dạng 16: Cho A và (d) , viết PT mp (P) chứa (d) sao cho d(A,(P)) là lớn nhất - Gọi H là hình chiếu  của A lên (d) - Ta có : d(A,(P)) = AK  AH (tính chất đường vuông góc và đường xiên) Do đó d(A(P)) max  AK = AH  K  H - Viết PT mp (P) đi qua H và nhận AH làm VTPT Dạng 17: Viết Pt mp (P) // với (Q) và tiếp xúc với mặt cầu (S) - Xác định tâm I, bán kính R của mặt cầu (S) - Vì (P) // (Q) nên (P) có dạng Ax + By + Cz + D'=0 (theo pt của mp (Q) , trong đó D'  DQ). - Mà (P) tiếp xúc với (S) nên d(I,(P))= R  tìm được D' - Từ đó ta có Pt (P) cần tìm Dạng 18: Viết PT mp(P) // (Q) và cắt mặt cầu (S) theo giao tuyến là đường tròn(C) có bán kính r ( hoặc diện tích, chu vi cho trước). - Xác định tâm I, bán kính R của mặt cầu (S) - Adct : Chu vi đường tròn C = 2 r và diện tích S =  r 2 tính r. - d(I,(P)) = R 2  r 2 (1) - Vì (P) // (Q) nên (P) có dạng Ax + By + Cz + D'=0 (theo pt của mp (Q) , trong đó D'  DQ) - Suy ra d (I,(P)) (2)  Giải hệ (1), (2) tìm được D'  viết được pt (P). Dạng 19: Viết PT mp(P) chứa (d) và tiếp xúc với mặt cầu (S) 3
- Xác định tâm I, bán kính R của mặt cầu (S)  - Gọi VTPT của mp (P) là n P = (A;B;C) với đk là A2 + B2 + C2 >0  - Từ (d)  VTCP u d và điểm M  (d)   - d  (P)  u d. n P=0 (1) - Mà (P) tiếp xúc với (S) nên d(A,(P))= R (2) - Giải hệ (1) và (2) tìm được A,B theo C  PT mp(P). Dạng 20: Viết Pt mp (P) chứa (d) và cắt mặt cầu (S) theo giao tuyến là đường tròn (C) có bán kính r ( hoặc diện tích , chu vi cho trước) - Xác định tâm I, bán kính R của mặt cầu (S) - Adct : Chu vi đường tròn C = 2 r và diện tích S =  r 2 tính r.   - Vì d  (P)  u d. n P=0 (1)  - Gọi VTPT của mp (P) là n P = (A,B,C) với đk là A2 + B2 + C2 >0, chọn M trên đường thẳng d. =>PT mp (P) đi qua M: A(x-x0) + B(y-y0) + C(z-z0) = 0 - Vì (P) cắt (S) theo đường tròn bán kính r nên d(I,(P)= r (2) - Giải hệ (1) và (2) tìm được A,B theo C  PT mp(P). Dạng 21: Viết PT mp (P) chứa (d) và cắt mặt cầu (S) theo giao tuyến là đường tròn (C) có bán kính nhỏ nhất .(áp dụng trường hợp d cắt (S) tại 2 điểm). - Xác định tâm I, bán kính R của mặt cầu (S) 2 2 - Bán kính r = R  d ( I ,( p )) để r min  d(I,(P)) max - Gọi H là hình chiếu  của I lên (d) ; K là hình chiếu  của I lên (P) - Ta có: d(I,(P))= IK  Ih ( tính chất đường vuông góc và đường xiên) - Do đó: d(I,(P)) max  AK =   KH AH - PT mp(P) đi qua H và nhận IH làm VTPT 2. ph¬ng tr×nh ®êng th¼ng Có 2 loại phương trình đường thẳng : PT ThamSố và PT ChínhTắc.  Dạng 1: Viết ptđt (d) qua M(x0; y0 ;z0) và có VTCP u =(a,b,c) PP: phương trình tham số của đường thẳng d là:  x  x0  at  (d):  y  y0  bt với t  R  z  z  ct  0 x  x0 y  y0 z  z0 * Chú ý : Nếu cả a, b, c  0 thì (d) có PT chính tắc   a b c * Chú ý: Đây là bài toán cơ bản. Về nguyên tắc muốn viết PT dt(d) thì cần phải biết 2 yếu tố đó là tọa độ một điểm thuộc d và toạ độ VTCP của d. Dạng 2:Viết  pt dt(d) đi qua 2 điểm A,B - Tính AB 4
 - Viết PT đường thăng đi qua A, và nhận AB làm VTCP Dạng 3: Viết PT dt (d) đi qua A và //với đường thẳng (  ) - Từ pt(  )  VTCP u   - Viết Pt dt(d) đi qua A và nhận u  làm VTCP  A và  (P) Dạng 4: Viết PT dt(d) đi qua - Tìm VTPT của mp(P) là n P   - Pt dt(d) đi qua A và Có VTCP u d = n P Dạng 5: Viết Pt dt(d) đi qua A và vuông góc với cả 2 dt (d1),(d2)     - Từ (d1),(d2)  VTCPd1, d 2là u1và u 2 => tính [ u1 , u2 ].    - Vì (d)  (d1),(d2) nên có VTCP u d= [ u1 , u2 ]    - Pt dt(d) đi qua A và có VTCP u d= [ u1 , u2 ] Dạng 6: Viết PT của dt (d) là giao tuyến của 2 mp (P):Ax + By + Cz + D = 0 (Q):A'x + B'y + C'z + D' = 0   - Từ (P) và (Q)  n P , n Q   - Tính [ n P , n Q]  Ax + By + Cz +D =0 - Xét hệ  ' . ' ' '  A x  B y  C z  D  0 Chọn một nghiệm (x0; y0 ;z0) từ đó  M d    - Pt dt(d) đi qua M và có VTCP u d =[ n P , n Q]. Dạng 7: Viết PT hình chiếu của d lên mp(P) Cách 1: - Viết ptmp(Q) chứa d và vuông góc với mp(P) - Hình chiếu cần tìm d' = (P)  (Q) Cách 2: + Tìm A = d  ( P ) ( chỉ áp dụng với giả thiết d cắt (P) ) + Lấy M d và xác định hình chiếu H của M lên (P) + Viết phương trình d' đi qua M, H Dạng 8: Viết pt đường thẳng d đi qua điểm A và cắt 2 đường thẳng d1, d2: Cách 1 : * Viết pt mặt phẳng (  ) đi qua điểm A và chứa đường thẳng d1 * Tìm B = ( )  d 2 * Đường thẳng cần tìm đi qua A, B Cách 2 : - Viết pt mặt phẳng (  ) đi qua điểm A và chứa đường thẳng d1 - Viết pt mặt phẳng (  ) đi qua điểm B và chứa đường thẳng d2 5
- Đường thẳng cần tìm d =    Dạng 9: Viết pt đường thẳng d song song d1 và cắt cả d2 , d3 - Viết phương trình mp (P) song song d1 và chứa d2 - Viết phương trình mp (Q) song song d1 và chứa d3 - Đường thẳng cần tìm d = ( P )  (Q ) Dạng 10 : Viết ptđt d đi qua A và vuông góc đường thẳng d1 và cắt d2 Cách 1 : - Viết pt mp ( ) qua A và vuông góc d1 - Tìm giao điểm B = ( )  d 2 - Đường thẳng cần tìm đi qua A, B Cách 2 : * Viết pt mp ( ) qua A và vuông góc d1 * Viết pt mp ( ) qua A và chứa d1 * Đường thẳng cần tìm d =    Dạng 11 : Viết ptđt d đi qua A, song song mp ( ) , cắt đường thẳng d' Cách 1 : - Viết ptmp(P) đi qua A và song song với ( ) - Viết ptmp(Q) đi qua A và chứa d' - Đường thẳng cần tìm d = ( P )  (Q ) Cách 2 : * Viết ptmp(P) đi qua A và song song với ( ) * Tìm B = ( P )  d ' * Đường thẳng cần tìm đi qua 2 điểm A,B Dạng 12 : Viết ptđt d nằm trong mp(P) và cắt 2 đường thẳng d1, d2 cho trước. - Tìm giao điểm A=d1 ( P ) và B=d2 ( P ) - Đường thẳng d đi qua 2 điểm A, B Dạng 13 : Viết ptđt d nằm trong mp(P) và vuông góc với đường thẳng d' tại giao điểm I của (P) và d'. * Tìm giao điểm I' = d' ( P )     * Tìm VTCP u của d' và VTPT n của (P) và tính v  [u,n]  * Viết ptđt d qua I và có VTCP v Dạng 14 : Viết ptđt vuông góc chung d của 2 dường thẳng chéo nhau d1, d2 : - Gọi M ( x0  at , y0  bt , z0  ct )  d1 , và N ( x0'  a ' t ', y0'  b ' t ', z0'  c ' t ')  d 2 là các chân đường vuông góc chung của d1, d2 6
   MN  d1  MN .u1  0 - Ta có hệ       t,t ' .  MN  d 2  MN .u 2  0 - Thay t, t' tìm M, N. Viết ptđt đi qua M,N. ( Với cách 2 em tính thêm được khoảng cách MN, cũng chính là độ dài đường vuông góc) Dạng 15 : Viết pt đường thẳng d vuông góc với mp(P) và cắt 2 đường thẳng d1,d2 . * Viết ptmp(Q) chứa d1 và vuông góc với mp(P) * Viết ptmp(R) chứa d2 và vuông góc với mp(P) * Đường thẳng d = (Q )  ( R) Dạng 16 : Viết ptđt d đi qua điểm A , cắt và vuông góc với đường thẳng d1 . - Viết pt mp ( ) qua A và vuông góc d1 - Tìm giao điểm B = ( )  d1 - Đường thẳng cần tìm đi qua A, B Dạng 17 : Viết ptđt d đi qua A ,vuông góc với d1,tạo với d2 góc   (00 ;900 ) (= 300, 450, 600)  * Gọi VTCP của d là u  (a; b; c), dk : a 2  b 2  c 2  0  * Vì d  d1  u.u1  0 =>phương trình (1)  u.u 2 Vì cos    => phương trình (2) u . u2 Thế (1) vào (2) => a,b,c => ptđt d.  u.u P ( chú ý : nếu thay giả thiết là d tạo với mp(P) góc   (00 ;900 ) thì có sin    ) u . uP Dạng 18 : Viết ptđt d di qua A , song song với mp(P) , tạo với d1 góc   (00 ;900 ) .  - Gọi VTCP của d là u  (a; b; c), dk : a 2  b 2  c 2  0  - Vì d//(P) nên u.n p  0 => phương trình (1).  u.u1 - Vì cos ( d , d1 )     cos nên có phương trình (2). u . u1 - Giải hệ phương trình (1), (2) tìm a,b theo c=> chọn a,b,c.  =>viết ptđt d đi qua A, có vtcp u  (a; b; c) Dạng 19 : Viết ptđt d di qua A , nằm trong mp(P) , tạo với d1 góc   (00 ;900 ) .  - Gọi VTCP của d là u  (a; b; c), dk : a 2  b 2  c 2  0  - Vì d(P) nên u.n p  0 => phương trình (1).  u.u1 - Vì cos ( d , d1 )     cos nên có phương trình (2). u . u1 - Giải hệ phương trình (1), (2) tìm a,b theo c=> chọn a,b,c.  =>viết ptđt d đi qua A, có vtcp u  (a; b; c) 7
Dạng 20: Viết ptđt d di qua A , vuông góc d1 và khoảng cách từ M đến d bằng h.  * Gọi VTCP của d là u  (a; b; c), dk : a 2  b 2  c 2  0  * Vì d  d1 nên u.n 1  0 => phương trình (1).   [u , AM ] * Vì d ( M , d )  h    h => phương trình (2). u *Giải hệ phương trình (1), (2) tìm a,b theo c=> chọn a,b,c.  =>viết ptđt d đi qua A, có vtcp u  (a; b; c) 8