Quá trình ngẫu nhiên và tính toán ngẫu nhiên phần 4

Chia sẻ: Thái Duy Ái Ngọc | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:21

Thêm vào BST

Báo xấu

230
lượt xem 68
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Chương 2. Quá trình dừng Đặng Hùng Thắng Quá trình ngẫu nhiên và tính toán ngẫu nhiên NXB Đại học quốc gia Hà Nội 2007 Tr 64 -142. Từ khoá: Quá trình dừng, Hàm tự tương quan, Độ do phổ, mật độ phổ, Biểu diễn phổ, Tiếng ồn trắng, Trung bình trượt tích phân.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Quá trình ngẫu nhiên và tính toán ngẫu nhiên phần 4

Chương 2. Quá trình dừng Đặng Hùng Thắng Quá trình ngẫu nhiên và tính toán ngẫu nhiên NXB Đại học quốc gia Hà Nội 2007 Tr 64 -142. Từ khoá: Quá trình dừng, Hàm tự tương quan, Độ do phổ, mật độ phổ, Biểu diễn phổ, Tiếng ồn trắng, Trung bình trượt tích phân. Tài liệu trong Thư viện điện tử ĐH Khoa học Tự nhiên có thể sử dụng cho mục đích học tập và nghiên cứu cá nhân. Nghiêm cấm mọi hình thức sao chép, in ấn phục vụ các mục đích khác nếu không được sự chấp thuận của nhà xuất bản và tác giả.
Chương 2 Quá trình d ng 2.1 Quá trình d ng th i gian r i r c . . . . . . . . . 65 2.1.1 Hàm t tương quan . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 2.1.2 M t s dãy d ng quan tr ng . . . . . . . . . . . . 71 2.1.3 Đ đo ph và m t đ ph . . . . . . . . . . . . . . 86 2.1.4 Bi u di n ph . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95 2.1.5 Bài toán d báo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107 2.1.6 Tính ch t ergodich . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111 2.2 Quá trình d ng th i gian liên t c . . . . . . . . . 119 2.2.1 Hàm t tương quan, đ đo ph , bi u di n ph . . . 119 2.2.2 Ti ng n tr ng, trung bình trư t tích phân . . . . 124 2.2.3 Phương trình vi phân, d báo và tính ergodic . . . 130 2.3 Bài t p . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139 Trong chương 1 ta đã nghiên c u s ti n tri n theo th i gian c a m t h th ng v t lý mà tương lai ch ph thu c vào hi n t i và đ c l p v i quá kh .
2.1. Quá trình d ng th i gian r i r c 65 Tuy nhiên trong th c t đ c bi t là trong các lĩnh v c kinh t , th trư ng ch ng khoán, cơ h c th ng kê, khí tư ng thu văn... ta thư ng g p các h ng u nhiên mà trong quá trình phát tri n tương lai không ch ph thu c vào hi n t i mà còn ph thu c c vào quá kh n a. Khi d báo cho tương lai c a m t quá trình như v y chúng ta không ch quan tâm t i hi n t i mà còn ph i quan tâm t i quá kh c a h n a. Mô hình xác su t đ mô ta quá trình như v y g i là quá trình d ng. Ngày nay quá trình d ng đã tr thành m t trong nh ng lĩnh v c quan tr ng và có nhi u ng d ng cu Lý thuy t xác su t. Chương này đư c chia làm hai ph n. Ph n th nh t trình bày quá trình d ng v i th i gian r i r c. Ph n th hai trình bày các k t qu tương ng cho trư ng h p quá trình d ng v i th i gian liên t c. Tuy nhiên do khuôn kh cu n sách trong ph n B chúng tôi t p trung vào vi c gi i thi u các khái ni m, đ nh nghĩa. Các đ nh lý đư c nêu ra và gi i thích ý nghĩa, nêu ví d minh ho ch không ch ng minh chi ti t. 2.1 Quá trình d ng th i gian r i r c 2.1.1 Hàm t tương quan Cho dãy (Xn ) các ĐLNN v i t p ch s n ∈ Z ={0, ±1, ±2, ...}. Khi đó ta nói (Xn ) là m t quá trình ng u nhiên v i th i gian r i r c. Ký hi u m(k ) = EXk , r(k, h) = cov(Xk , Xh ) = E (Xk − m(k ))(Xh − m(h)). Ta g i m(k ) là hàm trung bình còn r(k, h) là hàm t tương quan c a dãy. Đ nh nghĩa 2.1. (Xn ) đư c g i là m t quá trình d ng (còn g i là dãy d ng ho c chu i th i gian) n u hàm trung bình là m t h ng s và hàm tương quan r(k, h) ch ph thu c vào hi u |k − h|. Như v y n u (Xn ) là m t quá trình d ng thì t n t i hàm K (h) xác đ nh trên t p s nguyên Z sao cho v i m i n ∈ Z K (h) = cov(Xn+h , Xn ).
66 Chương 2. Quá trình d ng Hàm K (n) g i là hàm t tương quan (autocovariance function) c a dãy (Xn ). Ta có DXn = cov(Xn , Xn ) = K (0). Đ nh lý 2.1. Hàm t tương quan K (n) có các tính ch t sau 1. K (n) là m t hàm ch n K (n) = K (−n). 2. |K (n)| ≤ K (0), ∀n ∈ Z . 3. K (n) là m t hàm xác đ nh không âm trên Z t c là v i m i s nguyên dương n, v i m i s th c hay ph c a1, a2, ..., an ta có n n aiaj K (i − j ) ≥ 0 . i=1 j =1 Ch ng minh. 1. Hi n nhiên do đ nh nghĩa. 2. Ta có theo b t đ ng th c Cauchy-Schwartz |K (n)|2 = |E (Xn − m)(X0 − m)|2 ≤ (DXn )(DX0 ) = |K (0)|2 . 3. n n n 0≤ D ai Xi = Cov aiXi , aj Xj = i=1 i=1 i=1 n n n n = bibj Cov[Xi , Xj ] = aiaj K (i − j ). i=1 j =1 i=1 j =1 Ngư c l i ta có k t qu sau (công nh n không ch ng minh): Đ nh lý 2.2. N u K (n) là m t hàm ch n xác đ nh không âm trên Z thì t n t i m t quá trình d ng Gaussian (Xn ) nh n K (n) làm hàm t tương quan.
2.1. Quá trình d ng th i gian r i r c 67 Ví d 2.1. Cho Wn là dãy các ĐLNN không tương quan v i EWn = 0, EWn Wm = δmn và DWn = σ 2. Ta có r(k + n, k ) = EWk+n Wk = 0 n u n = 0. Do đó Wn là m t quá trình d ng v i hàm t tương quan  σ 2 n u h = 0 K ( h) = . 0 n uh=0 Ta g i Wn là dãy n tr ng v i tham s σ . Ví d 2.2. Xét dãy (Xn ) xác đ nh như sau Xn = Wn + rWn−1 trong đó r là h ng s th c. Ta có r(n + h, h) = cov(Xn+h , Xh ) = E [(Wn+h + rWn+h−1 )(Wn + rWn−1 )] = EWn+h Wn + rEWn+h Wn−1 + rEWn+h−1 Wn + + r2 EWn+h−1 Wn−1 . Do đó n u h = 0 thì r(n, n) = σ 2(1+ r2 ). V i h = 1 thì r(n +1, n) = rDXn = rσ 2 v i h = −1 thì r(n − 1, n) = rDXn = rσ 2 và r(n + h, n) = 0 n u h = ±1. Thành th (Xn ) là m t quá trình d ng v i hàm t tương quan là  σ 2(1 + r2 ) n u h = 0    K ( h) = σ 2 r n u h = ±1    0 n u |h | > 1 Đ ch ng minh m t hàm là xác đ nh không âm ta thư ng ch ng minh b ng cách ch ng t r ng nó là hàm t tương quan c a m t quá trình d ng nào đó.
68 Chương 2. Quá trình d ng Ví d 2.3. a. Ch ng minh r ng hàm K (h) = σ 2 cos λh là hàm xác đ nh không âm, đó λ là m t s th c, σ là m t s dương cho trư c. b. T ng quát hơn cho trư c các s th c λ1 , ..., λn và các s dương σ1 , ..., σn. Ch ng t r ng hàm n 2 T ( h) = σk cos λk h k =1 là hàm xác đ nh không âm. Gi i: a. Th t v y gi s U và V là hai ĐLNN không tương quan EU = EV = 0, EU 2 = EV 2 = σ 2 . Xét dãy (Xn ) xác đ nh b i Xn = U cos λn + V sin λn. Ta có mn = cos λnEU + sin λnEV = 0 . r(k, h) = EXk Xh = E [(U cos λk + V sin λk )(U cos λh + V sin λk )] = E [U 2 cos λk cos λh + V 2 sin λk sin λh + U V cos λk sin λh + U V sin λk cos λh] = σ 2 (cos λk cos λh + sin λk sin λh) = σ 2 cos λ(h − k ) = K (h − k ). V y (Xn ) là m t quá trình d ng v i hàm t tưong quan K (h) = σ 2 cos λh. b. Ti p theo, gi s U1 , U2 , ..., Um và V1 , V2 , ..., Vm là các ĐLNN v i EUk = EVk = 0 , EUk = EVk2 = σk , EUi Uk = 0 (i = k ) EVi Vk = 0 (i = 2 2 k ) EUi Vj = 0, λ1 , ..., λm ∈ R . Xét dãy (Xn ) xác đ nh b i m Xn = (Uk cos λk n + Vk sin λk n). k =1 Tính toán tương t như trên ta có (Xn ) là quá trình d ng v i hàm t tương quan m 2 T ( h) = σi cos λi h. i=1
2.1. Quá trình d ng th i gian r i r c 69 Ví d 2.4. Chúng ta s ch ng minh r ng hàm sau đây  1  n uh=0   K ( h) = θ n u h = ±1    0 n u |h | > 1 là hàm xác đ nh không âm n u và ch n u |θ| ≤ 1/2. Th t v y gi s |θ| ≤ 1/2. Theo ví d 2.2 trên ta ch c n ch ng t r ng t n t i các s σ, r sao cho σ 2(1 + r2 ) = 1 σ 2r = θ có nghi m. Qu v y, t hai phương trình trên suy ra r (1 + r2 ) = . θ T đó √ 1 − 4θ2 2 1± 1 r= ,σ = . 1 + r2 2θ Đ o l i n u θ > 1/2 xét các s a1 = 1, a2 = −1, a3 = 1, ..., an = (−1)n−1 . Khi đó n n n n −1 a2 + 2 ai aj K (i − j ) = aiai+1 i i=1 j =1 i=1 i=1 = n − 2θ(n − 1) < 0 n u ch n n > 2θ/(2θ − 1). V y K (h) không là hàm xác đ nh không âm. Tương t n u θ < −1/2 ta xét các s a1 = a2 = · · · = an = 1 ta thu đư c n n ai aj K (i − j ) = n + 2θ(n − 1) < 0 i=1 j =1 n u n > 2θ/(2θ − 1).
70 Chương 2. Quá trình d ng Ví d 2.5. (Dãy t h i quy c p 1 hay dãy AR(1).) Gi s (Xn ) là m t quá trình d ng tho mãn phương trình sai phân sau đây Xn = pXn−1 + Wn trong đó p là m t h ng s |p| < 1 và EWn Xm = 0 n u m < n. Dãy v i tính ch t này đư c g i là quá trình t h i quy c p 1 hay quá trình AR(1) (Sau này ta s ch ng minh có t n t i m t quá trình d ng có các tính ch t nêu trên). Ta hãy tìm bi u th c hàm tương quan c a dãy AR(1). Rõ ràng EXn = 0 . Thành th v i h > 0 K (h) = EXn−h Xn = EXn−h (pXn−1 + Wn ) = pEXn−1 Xn−h + EXn−h Wn = pK (h − 1). Suy ra K (h) = ph K (0). L i có K (0) = EXn Xn = EXn (pXn−1 + Wn ) 2 = pK (1) + E (Wn Xn ) = pK (1) + pE (Wn Xn−1 ) + EWn = pK (1) + σ 2 = p2 K (0) + σ 2. Suy ra σ2 K (0) = . 1 − p2 Tóm l i p|h| σ 2 K ( h) = . 1 − p2 Ví d 2.6. (Du đ ng ng u nhiên.) Cho (Xn ) là dãy các ĐLNN đ c l p cùng phân b v i kỳ v ng 0 và phương sai là σ 2 . Xét dãy Sn cho b i Sn = 0 n u n ≤ 0, Sn = X1 + X2 + · · · + Xn .
2.1. Quá trình d ng th i gian r i r c 71 Ta có v i h > 0 r(n + h, n) = ESn+h Sn = E (Sn + Xn+1 + · · · Xn+h )Sn = DSn = nσ 2 ph thu c vào n. V y Sn không ph i là quá trình d ng. N u (Xn ) là m t quá trình d ng thì t đ nh nghĩa ta suy ra v i m i s nguyên h, n véc tơ (X1 , ..., Xn) và véc tơ (X1+h ,...,Xn+h ) có cùng giá tr trung bình và có cùng ma tr n tương quan. Tuy nhiên chưa ch c chúng đã có cùng phân b . M t quá trình d ng m nh là quá trình mà hai vector trên không ch có cùng giá tr trung bình và ma tr n tương quan mà có cùng lu t phân b . Ta có đ nh nghĩa sau: Đ nh nghĩa 2.2. Dãy (Xn ) đư c g i là m t quá trình d ng m nh n u m i s nguyên h, n hai vector ng u nhiên (X1 , ..., Xn) và vector (X1+h , ..., Xn+h ) có cùng phân b . 2 Rõ ràng m t quá trình d ng m nh v i EXn < ∞ ∀n s là m t quá trình d ng. Ngư c l i, có ví d ch ng t r ng m t dãy không nh t thi t là quá trình d ng m nh. Tuy nhiên như đã bi t n u hai vector ng u nhiên có phân b Gauss mà có cùng vector trung bình và ma tr n tương quan thì s có phân b như nhau. Thành th m t dãy d ng Gauss cũng là m t dãy d ng m nh. N u (Xn ) là m t dãy các ĐLNN đ c l p có cùng phân b thì hi n nhiên đây là m t dãy d ng m nh. Như v y có th xem khái ni m dãy d ng là s m r ng c a khái ni m dãy các ĐLNN đ c l p cùng phân b . 2.1.2 M t s dãy d ng quan tr ng Ta c n m t s ki n th c chu n b . Ký hi u L2 (Ω, F , P ) là không gian Hilbert các ĐLNN X sao cho E |X |2 < ∞ . Tích vô hư ng trong L2 (Ω, F , P ) < X, Y >= E (XY ) = X (ω )Y (ω )dP. Ω
72 Chương 2. Quá trình d ng S h i t trong L2 (Ω, F , P ) đư c g i là s h i t bình phương trung bình (bptb). Như v y dãy (Xn ) h i t bình phương trung bình t i X khi và ch khi lim E (Xn − X )2 = 0 n→∞ và ta vi t lim Xn = X trong L2 n→∞ hay L2 − lim Xn = X. n→∞ ∞ n Ta nói chu i S = Xn h i t bptb t i S n u dãy t ng riêng Sn = Xk n=1 k =1 h i t bptb t i S . Ta có các tính ch t cơ b n sau đây c a s h i t bptb. Đ nh lý 2.3. 1. Đi u ki n c n và đ đ dãy (Xn ) h i t bptb là lim E |Xn − Xm |2 = 0 m,n→∞ ho c t n t i lim EXn Xm . (2.1) m,n→∞ 2. N u lim Xn = X , lim Yn = Y trong L2 n→∞ n→∞ thì (i) lim EXn = EX . n (ii) lim EXn = EX 2 . 2 n→∞ (iii) lim limn EXn Yn = EXY . n→∞ (iv) lim cov(Xn , Yn ) = cov(X, Y ). n Ch ng minh.
2.1. Quá trình d ng th i gian r i r c 73 1. Do tiêu chu n Cauchy trong không gian Hilbert L2 (Ω, F , P ). 2. N u t n t i gi i h n trong (2.1) b ng c thì lim E |Xn − Xm |2 m,n→∞ = lim EXn Xn − 2 lim EXn Xm + lim EXm Xm n m,n→∞ m = c − 2c + c = 0. Đ o l i n u Xn → X trong L2 thì do tính liên t c c a tích vô hư ng suy ra lim EXn Xm = lim < Xn , Xm >=< X, X > . m,n→∞ m,n→∞ Theo b t đ ng th c Cauchy-Schwartz E | Xn − X | 2 = 0 lim |EXn − EX | ≤ lim n n L i có vì cov(Xn , Yn ) =< Xn .Yn > −(EXn )(EYn )nên lim cov(Xn , Yn ) =< X, Y > −(EX )(EY ) n = cov(X, Y ). Đ nh lý 2.4. Gi s Wn là m t dãy n tr ng v i tham s σ 2 và (hi ), i ∈ Z là dãy s tho mãn |hi |2 < ∞. i∈Z Khi đó chu i Xn = h i W n −i i∈Z h i t bptb và dãy (Xn ) là m t quá trình d ng v i hàm t tương quan K ( h) = σ 2 h i h i +h . i∈Z
74 Chương 2. Quá trình d ng Ch ng minh. Đ t Sn = hi Wn−i Khi đó |i|≤n Sn − Sm = h i W n −i . m
2.1. Quá trình d ng th i gian r i r c 75 2. Quá trình (Xn ) có bi u di n dư i d ng ∞ Xn = h i W n −i i=0 đư c g i là m t trung bình trư t (moving average) m t phía. Ký hi u là MA(∞). 3. Quá trình (Xn ) có bi u di n dư i d ng q Xn = h i W n −i i=0 đư c g i là m t trung bình trư t c p q ký hi u là MA(q ). Quá trình (Xn ) trong ví d 2.2 là m t trung bình trư t c p 1 MA(1). Vì m t quá trình trung bình trư t m t phía là quá trình trung bình trư t hai phía v i hi = 0 n u i < 0 nên ta có hàm t tương quan c a quá trình trung bình trư t m t phía là ∞ 2 K ( h) = σ h i h i +h . i=0 Tương t , m t quá trình MA(q ) là quá trình MA(∞) v i hi = 0 v i i > q do đó hàm t tương quan c a nó là   σ 2 q −h h h n u 0 ≤ |h | ≤ q i=0 i i+h K ( h) = . 0 n u |h | > q M t quá trình d ng có tính ch t : n u |k − h| > q thì Xh và Xk không tương quan v i nhau đư c g i là m t quá trình q -tương quan. M t quá trình mà các s h ng c a nó đôi m t không tương quan ( ch ng h n như dãy n tr ng) là m t quá trình 0-tương quan. Như v y m t quá trình trung bình trư t c p q là m t quá trình q -tương quan. Đi u thú v là kh ng đ nh ngư c l i cũng đúng
76 Chương 2. Quá trình d ng Đ nh lý 2.5. N u (Xn ) là m t quá trình q -tương quan v i giá tr trung bình 0 thì nó là m t quá trình trung bình trư t c p q . M t quá trình trung bình trư t có th xem như đư c t o thành b i m t phép bi n đ i tuy n tính dãy n tr ng Wn .T ng quát hơn ta có Đ nh lý 2.6. Cho (Yn ) là m t quá trình d ng v i trung bình không và hàm t tương quan KY (h). Cho dãy s th c (hi ) tho mãn |hi | < ∞. i∈Z Khi đó chu i Xn = h i Y n −i i∈Z h i t h u ch c ch n và h i t bptb. Dãy (Xn ) là m t quá trình d ng v i hàm t tương quan K ( h) = h i h j KY ( h + i − j ) . i∈Z Ch ng minh. Ta có E | h i Y n −i | = | h i | E | Y n −i | ≤ |hi | KY (0) V y thì E | h i Y n −i | ≤ KY (0) |h i | < ∞ i∈Z i∈Z Suy ra |hi Yn−i | < ∞ h u ch c ch n i∈Z V y chu i Xn = h i Y n −i i∈Z h i t h u ch c ch n .
2.1. Quá trình d ng th i gian r i r c 77 Ti p theo, đ t Sn = hi Yn−i . Khi đó |i|≤n Sn − Sm = h i Y n −i . m
78 Chương 2. Quá trình d ng m t phía AM(∞ ): ∞ pi Wn−i Xn = i=0 còn khi |p| > 1 thì (Xn ) là có bi u di n trung bình trư t d ng −1 (−pi )Wn−i . Xn = i=−∞ Khi |p| = 1 thì không t n t i dãy AR(1). Th t v y, xét trư ng h p |p| < 1. Đ t ∞ pi Wn−i . Xn = i=0 ∞ p2i < ∞ nên theo đ nh lý 2.4 dãy (Xn ) t n t i và Vì i=0 ∞ ∞ i pi+1 Wn−1−i Xn − pXn−1 = p W n −i − i=0 i=0 ∞ ∞ pi Wn−i − pi Wn−i = i=0 i=1 = Wn . S t n t i đư c ch ng minh. Ti p theo gi s (Yn ) là m t dãy AR(1) b t kỳ. Ta có Yn = pYn−1 + Wn = Wn + p(pYn−2 + Wn−1 = Wn + pWn−1 + p2 Yn−2 . T đó b ng quy n p ta có v i m i k = 0, 1, ... k pi Wn−i + pk+1 Yn−k−1 . Yn = (2.2) i=0
2.1. Quá trình d ng th i gian r i r c 79 Ký hi u KY (h) là hàm t tương quan c a (Yn ).Ta có k pi Wn−i |2 = |p|2(k+1) E |Yn−k−1 |2 E |Y n − i=0 |p|2(k+1)KY (0) → 0 khi k → ∞ . ∞ pi Wn−i = Xn . V y Yn = i=0 Ti p theo xét trư ng h p |p| > 1. Đ t ∞ p−i Wn+i . Xn = − i=1 ∞ p−2i < ∞ nên theo đ nh lý 2.4 dãy (Xn ) t n t i và Vì i=1 ∞ ∞ −i p−(i−1) Wn+(i−1) Xn − pXn−1 = − p W n +i + i=1 i=1 ∞ ∞ p−i Wn+i + p−i Wn+i = Wn . =− i=1 i=0 S t n t i đư c ch ng minh. Ti p theo gi s (Yn ) là m t dãy AR(1) b t kỳ. Ta có Yn+1 = pYn + Wn+1 → Yn = p−1 Yn+1 − p−1 Wn+1 = p−1 (p−1 Yn+2 − p−1 Wn+2 ) − p−1 Wn+1 = −p−1 Wn+1 − p−2 Wn+2 + p−2 Yn+2 . T đó b ng quy n p ta có v i m i k = 0, 1, ... k p−i Wn+i + p−(k+1) Yn+k+1 . Yn = − i=1 Lý lu n tương t như trên ta suy ra ∞ p−i Wn+i Yn = − i=1 −1 (−pi )Wn−i . = Xn = i=−∞
80 Chương 2. Quá trình d ng Xét trư ng h p |p| = 1. Gi s t n t i dãy AR(1) (Xn ). T đ ng th c (2.2) ta có k k +1 2 |p2i E |Wn−i |2 = σ 2 (k + 1). E ( Xn − p Xn−k−1 ) = (2.3) i=0 M t khác v trái c a đ ng th c (2.3) là EXn + E |Xn−k−1 |2 ± 2E (Xn Xn−k−1 ) 2 = 2K (0) ± 2K (k + 1) ≤ 4K (0). Suy ra v i m i k σ 2(k + 1) ≤ 4K (0). Đó là đi u vô lý. V y không t n t i dãy AR(1) khi |p| = 1. Đ nh nghĩa 2.4. Dãy (Xn ) đư c g i là m t dãy t h i quy c p p hay m t dãy AR(p) n u nó là m t dãy d ng có trung bình 0 và tho mãn phương trình sai phân sau Xn = α1Xn−1 + α2Xn−2 + · · · αp Xn−p + Wn Ta có các k t qu sau đây (xem ch ng minh đ nh lý 2.9 và 2.10). Đ nh lý 2.7. Dãy AR(p) t n t i và duy nh t khi và ch khi đa th c k t h p Φ(z ) = 1 − α1z − α2 z 2 − · · · − αp z p không có nghi m trên vòng tròn đơn v |z | = 1 Đ nh lý 2.8. Dãy AR(p) có bi u di n trung bình trư t m t phía ∞ Xn = h i W n −i i=0 khi và ch khi đa th c k t h p Φ(z ) = 1 − α1z − α2 z 2 − · · · − αp z p không có nghi m bên trong vòng tròn đơn v |z | ≤ 1.
2.1. Quá trình d ng th i gian r i r c 81 Mô hình t ng quát bao hàm c mô hình t h i quy và mô hình trung bình trư t là mô hình h n h p t h i quy trung bình trư t. Đ nh nghĩa 2.5. Dãy (Xn ) đư c g i là m t dãy h n h p t h i quy trung bình trư t c p (p, q ) hay m t dãy ARMA(p, q ) n u nó là m t dãy d ng có trung bình 0 và tho mãn phương trình sai phân sau q Xn = α1 Xn−1 + α2 Xn−2 + · · · αp Xn−p + β i W n −i (2.4) i=0 q đó h0 = 1 và hai đa th c Φ(z ) = 1−α1 z −α2z 2 −· · ·−αp z p , Θ(z ) = βi z i i=0 không có nhân t chung (t c là chúng nguyên t cùng nhau). Như v y dãy t h i quy c p p AR(p) chính là dãy ARMA(p, 0) và dãy trung bình trư t c p q chính là dãy ARMA(0, q ). Ký hi u B là toán t lùi m t bư c xác đ nh b i BXn = Xn−1 . Khi đó B i Xn = Xn−i . m i N u P (z ) = i=0 ci z là m t đa th c b c m thì toán t P (B ) đư c đ nh nghĩa như sau m m i P ( B ) Xn = ci B Xn = ci Xn−i . i=0 i=0 Khi đó phương trình sai phân (2.4) c a dãy ARMA(p, q ) (Xn ) có d ng sau Φ(B )Xn = Θ(B )Wn . (2.5) Đ nh lý 2.9. Dãy ARMA(p, q ) t n t i và duy nh t khi và ch khi đa th c Φ(z ) = 1 − α1 z − α2 z 2 − · · · − αpz p không có nghi m trên vòng tròn đơn v |z | = 1
82 Chương 2. Quá trình d ng Ch ng minh. Gi s đa th c Φ(z ) không có nghi m trên vòng tròn đơn v |z | = 1. Khi đó t m t k t qu c a lý thuy t hàm bi n ph c t n t i δ > 0 sao cho ∞ 1 ci z i Λ(z ) = = Φ(z ) i=−∞ ∞ trong mi n 1 − δ < |z | < 1 + δ v i |ci | < ∞. Đ t i=−∞ ∞ Θ(z ) hi z i H (z ) = = Θ(z )Λ(z ) = Φ(z ) i=−∞ và ∞ Xn = Θ(B )Λ(B ) = H (B )Wn = h i W n −i . i=−∞ Khi đó (Xn ) là m t dãy d ng trung bình trư t hai phía và Φ(B )Xn = Φ(B )H (B )Wn Θ(B ) Φ(B ) Wn = Θ(B )Wn . Φ(B ) S t n t i đư c ch ng minh. Ta ch ng minh s duy nh t. Gi s có đ ng th c (2.5). Khi đó tác đ ng Λ(B ) vào hai v c a (2.5) ta đư c Xn = Λ(B )Θ(B )Wn = H (B )Wn Ta th a nh n ph n đ o c a đ nh lý. Đ nh lý 2.10. Dãy ARMA(p, q ) có bi u di n trung bình trư t m t phía ∞ Xn = h i W n −i (2.6) i=0 khi và ch khi đa th c Φ(z ) = 1 − α1z − α2 z 2 − · · · − αp z p không có nghi m bên trong vòng tròn đơn v |z | ≤ 1.