Tóm tắt luận văn Thạc sĩ Khoa học: Tích phân ngẫu nhiên Stratonovich và ứng dụng

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:23

Thêm vào BST

Báo xấu

21
lượt xem 3
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Luận văn này nhằm giới thiệu về tích phân Stratonovich và các ứng dụng thường gặp của nó trong nghiên cứu toán học. Luận văn có cấu trúc gồm 3 chương trình bày các kiến thức cơ sở; tích phân Stratonovich; ứng dụng của tích phân Stratonovich.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Tóm tắt luận văn Thạc sĩ Khoa học: Tích phân ngẫu nhiên Stratonovich và ứng dụng

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN ------------ NGUYỄN THỊ PHƯƠNG THẢO TÍCH PHÂN NGẪU NHIÊN STRATONOVICH VÀ ỨNG DỤNG LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Hà Nội - 2016
ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN ————————–o0o————————– NGUYỄN THỊ PHƯƠNG THẢO TÍCH PHÂN NGẪU NHIÊN STRATONOVICH VÀ ỨNG DỤNG Chuyên ngành: Lý thuyết xác suất và thống kê toán học Mã số: 60460106 LUẬN VĂN THẠC SỸ KHOA HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS. TS. TRẦN HÙNG THAO HÀ NỘI - 2016
LỜI CẢM ƠN Lời đầu tiên, tôi xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu cùng quý thầy cô, cán bộ công nhân viên tại trường Đại học Khoa học tự nhiên – Đại học Quốc gia Hà Nội nói chung, và các thầy cô thuộc bộ môn Xác suất- Thống kê nói riêng đã tận tình giảng dạy, giúp đỡ, tạo điều kiện cho tôi trong quá trình học tập tại trường cũng như trong thời gian thực hiện luận văn này. Đặc biệt, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến Thầy hướng dẫn, PGS. TS. Trần Hùng Thao, người đã tận tình hướng dẫn, giúp đỡ tôi về chuyên môn, kinh nghiệm để hoàn thành luận văn này. Tôi cũng không quên gửi lời biết ơn đến bố mẹ, anh chị cùng các đồng nghiệp đã luôn giúp đỡ, động viên và tạo điều kiện thuận lợi cho tôi hoàn thành luận văn này. Mặc dù đã có nhiều cố gắng, nhưng do kiến thức của bản thân còn hạn chế nên luận văn không tránh khỏi thiếu sót. Vì vậy, tôi rất mong được sự chỉ bảo của quý thầy cô và sự góp ý chân thành của các bạn bè đồng nghiệp. Tôi xin chân thành cảm ơn! Hà Nội, ngày 25 tháng 10 năm 2016 Học viên Nguyễn Thị Phương Thảo
Mục lục LỜI CẢM ƠN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 MỤC LỤC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 Chương 1. Kiến thức cơ sở . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.1. Quá trình ngẫu nhiên . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.1.1. Các định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.1.2. Quá trình ngẫu nhiên với các số gia độc lập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.1.3. Mactingan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.1.4. Quá trình Markov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.1.5. Quá trình Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.1.6. Quá trình dừng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.1.7. Quá trình lặp lại . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.1.8. Quá trình điểm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.2. Hai quá trình ngẫu nhiên quan trọng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.2.1. Quá trình Wiener (chuyển động Brown) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.2.2. Quá trình Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 1.3. Tích phân Itô . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 1.3.1. Tích phân Riemann-Stieltjes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 1.3.2. Định nghĩa tích phân Itô . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 1.3.3. Tính chất của tích phân Itô . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 1.3.4. Công thức Itô . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 1.3.5. Phương trình vi phân ngẫu nhiên Itô . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 Chương 2. Tích phân ngẫu nhiên Stratonovich . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 2.1. Các định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 2.2. Liên hệ với tích phân Itô. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 2.2.1. Biến phân bậc hai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 2.2.2. Công thức liên hệ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 2
2.3. Mở rộng tích phân Stratonovich . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 2.3.1. λ −tích phân. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 2.3.2. Tích phân kiểu Stratonovich đối với một semi-mactingan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 Chương 3. Ứng dụng của tích phân ngẫu nhiên Stratonovich . . . . . . . . . . . . . . 32 3.1. Ứng dụng trong phương trình vi phân ngẫu nhiên . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 3.1.1. Chuyển đổi giữa phương trình vi phân ngẫu nhiên Itô và phương trình vi phân ngẫu nhiên Stratonovich 32 3.1.2. Một số phương trình Itô giải được bằng cách chuyển sang phương trình Stratonovich. . . . . . . . . . . . . . . . 38 3.2. Ứng dụng trong lý thuyết lọc ngẫu nhiên . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 Phụ lục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 3
LỜI NÓI ĐẦU Giải tích ngẫu nhiên truyền thống được xây dựng bắt đầu từ một loại tích phân ngẫu nhiên do Kiyosi Itô sáng tạo ra từ năm 1941, đáp ứng được việc giải quyết một loạt các phương trình ngẫu nhiên nảy sinh từ Cơ học, kinh tế Tài chính. Giải tích ngẫu nhiên Itô vẫn được phát triển mạnh mẽ cho đến ngày nay. Tuy nhiên, tích phân ngẫu nhiên nói chung không giải ra được dưới dạng biểu thức đóng. Điều đó đòi hỏi phải nhờ đến các phương pháp giải tích số gần đúng. Năm 1956, tích phân Stratonovich ra đời. Người ta nhận xét rằng rất nhiều biểu thức xấp xỉ bằng số đó lại hội tụ đến tích phân Stratonovich. Trong vật lý, tích phân ngẫu nhiên xuất hiện trong lời giải của các phương trình langevin. Phương trình langevin nguyên thủy là một sự mô tả chuyển động Brown mà ta thường thấy trong chuyển động ngẫu nhiên của một loại hạt trong môi trường chất lỏng do có va chạm với các phân tử của chất lỏng: d 2x dx m 2 = −λ + η(t) dt dt Trong đó x là vị trí và m là khối lượng của hạt, còn lực tác động ngẫu nhiên η(t) được coi là nhiễu ngẫu nhiên có phân phối Gauss với hàm tương quan là < ηi (t), η j (t 0 ) > = 2λ kB T δij (t − t 0 ) Trong đó kB là hằng số Boltmann, T là nhiệt độ, ηi (t) là thành phần thứ i của vectơ η(t), δij là hàm Dirac. R.L.Stratonovich là một nhà toán học người Nga, sáng tạo ra tích phân này gần như đồng thời với D.L.Fisk – người đã có một công trình về tựa-martingan (quasimartingales) dưới sự hướng dẫn của giáo sư Herman Rubin 4
tại các đại học Stanford, Oregon, Michigan, Perdue và là thành viên của Viện thống kê Mỹ (IMS). Cho nên đôi khi người ta cũng gọi tích phân này là tích phân Fisk- Stratonovich, nhưng phổ biến vẫn là tên tích phân Stratonovich. Vì sự tiện dụng trong ứng dụng do công thức kiểu Itô đối với tích phân Stratonovich rất giống với vi phân hàm hợp trong Giải tích cổ điển nên tích phân này có nhiều ích lợi trong Vật lý và Cơ học. Luận văn này nhằm giới thiệu về tích phân Stratonovich và các ứng dụng thường gặp của nó trong nghiên cứu toán học. Luận văn gồm có 3 chương: • Chương 1 Kiến thức cơ sở. • Chương 2 Tích phân Stratonovich. • Chương 3 Ứng dụng của tích phân Stratonovich. Hà Nội, ngày 25 tháng 10 năm 2016 Nguyễn Thị Phương Thảo 5
Chương 1 Kiến thức cơ sở Trong chương này chúng tôi giới thiệu vắn tắt những khái niệm cơ bản về Quá trình ngẫu nhiên và Giải tích ngẫu nhiên Itô, để phục vụ cho những chương sau về tính toán ngẫu nhiên Stratonovich. Nội dung gồm các quá trình ngẫu nhiên, bộ lọc, thời điểm dừng, chuyển động Brown và quá trình Poisson, các tính toán ngẫu nhiên Itô (đặc biệt là định nghĩa mô tả của tích phân ngẫu nhiên Itô, nhằm nêu ra định nghĩa tương ứng về tích phân Stratonovich ở chương sau) 1.1. Quá trình ngẫu nhiên 1.1.1. Các định nghĩa Cho (Ω, F, P) là một không gian xác suất, trong đó Ω là tập cơ sở, F là một σ - đại số các tập con của Ω, P là một độ đo xác suất. Định nghĩa 1.1.1 (Quá trình ngẫu nhiên). Cho T là một tập nào đó. Một ánh xạ X : (Ω × T ) → R sao cho với mỗi t ∈ T ánh xạ Xt : ω → Xt (ω) là đo được được gọi là một hàm ngẫu nhiên trên T và ta viết X = {X(t),t ∈ T }. Nếu T là một khoảng của đường thẳng thực thì ta gọi X = {X(t),t ∈ T } là một quá trình ngẫu nhiên. Trong trường hợp này tham số t đóng vai trò biến thời gian. 6
Định nghĩa 1.1.2 (Quá trình đo được). Một quá trình ngẫu nhiên X = {X(t),t ∈ T } được gọi là đo được, nếu nó đo được đối với σ - trường tích BR+ ⊗F. Điều đó có nghĩa là với mọi tập Borel của R , tập hợp {(t, ω) : X(t, ω) ∈ B} thuộc về σ - trường tích BR+ ⊗ F. Đó là σ - trường nhỏ nhất chứa các tập có dạng [0,t] × A với t ∈ R+ , A ∈ F. Định nghĩa 1.1.3 (Bộ lọc). Một họ các σ - trường con Ft ⊂ F được gọi là một bộ lọc, thỏa mãn các điều kiện thông thường nếu: (i) Đó là một họ tăng, tức là Fs ⊂ Ft nếu s < t (ii) Họ đó là liên tục phải, tức là Ft = ∩ Ft+ε ε>0 (iii) Nếu A ∈ F và P(A) = 0 thì A ∈ F0 (do đó nằm trong mọi Ft ). Định nghĩa 1.1.4 (quá trình thích nghi với một bộ lọc). Cho một bộ lọc bất kỳ (Ft ,t ∈ R+ ) trên không gian (Ω, F, P). Một quá trình ngẫu nhiên Y được gọi là thích nghi với bộ lọc này nếu mọi Y (t) là đo được đối với σ - trường Ft . Định nghĩa 1.1.5 (thời điểm dừng). Xét không gian xác suất (Ω, F, P) trên đó ta đã cố định một bộ lọc (Ft )t∈R+ . Một biến ngẫu nhiên τ được gọi là một thời điểm Markov nếu với mọi t ≥ 0 {ω ∈ Ω : τ(ω) ≤ t} ∈ Ft Một thời điểm Markov τ được gọi là thời điểm dừng nếu τ là hữu hạn hầu chắc chắn, tức là: P {ω ∈ Ω : τ(ω) < ∞} = 1. Những yếu tố cơ bản để phân loại các quá trình ngẫu nhiên là không gian trạng thái, tập tham số chỉ số T và các mối quan hệ phụ thuộc giữa các biến ngẫu nhiên Xt ,t ∈ T . 7
1.1.2. Quá trình ngẫu nhiên với các số gia độc lập Nếu các biến ngẫu nhiên Xt2 − Xt1 , Xt3 − Xt2 , ...Xtn − Xtn−1 là độc lập với nhau với mọi cách chọn các giá trị tham số t1 ,t2 , ...,tn với mọi n sao cho t1 < t2 < ... < tn ta nói rằng Xt là một quá trình với các số gia độc lập. Nếu T = {0, 1, ...} thì quá trình với các số gia độc lập sẽ được rút gọn lại thành một dãy các biến ngẫu nhiên độc lập {Z0 , Z1 , ..., Zn , ...} với Z0 = X0 , Zi = Xi − Xi−1 (i = 1, 2, ..., n, ...) Khi đó nếu biết các phân phối riêng lẻ của từng biến ngẫu nhiên Z0 , Z1 , ... ta có thể xác định được phân phối đồng thời của mọi tập hữu hạn các biến Xi . Thật vậy, Xi = Z0 + Z1 + ... + Zi , i = 1, 2, ..., n, ... Nếu phân phối của các số gia X (t1 + h) − X (t1 ) chỉ phụ thuộc vào độ dài h của khoảng (t1 ,t1 + h) mà không phụ thuộc gì vào thời điểm t1 thì ta nói rằng quá trình có số gia dừng. Đối với quá trình có số gia dừng thì phân phối của X (t1 + h) − X (t1 ) cũng giống như phân phối của X (t2 + h) − X (t2 ) với mọi giá trị của t1 , t2 và h. Nếu một quá trình X = {X(t),t ∈ T } với T = [0, ∞) hoặc T = {0, 1, ...} có các số gia độc lập và dừng và có trung bình hữu hạn thì dễ thấy rằng EXt = m0 + m1t trong đó m0 = E(X0 ) và m1 = E(X1 ) − m0 . 1.1.3. Mactingan Một quá trình ngẫu nhiên X = {Xt ,t ≥ 0} thích nghi với bộ lọc (Ft ) thỏa mãn các điều kiện sau: (i) E |Xt | < ∞ với mọi t ≥ 0 8
(ii) E (Xt | Fs ) = Xs với 0 ≤ s ≤ t,t ∈ T Khi đó {Xt } được gọi là mactingan đối với bộ lọc (Ft ) Với mọi 0 ≤ s ≤ t, • Nếu Xt thỏa mãn điều kiện (i) và E (Xt |Fs ) ≤ Xs thì {Xt } được gọi là mactingan trên • Nếu Xt thỏa mãn điều kiện (i) và E (Xt |Fs ) ≥ Xs thì {Xt } được gọi là mactingan dưới Mactingan có thể được xem như một mô hình thích hợp cho các trò chơi công bằng, theo nghĩa là Xt biểu thị cho số tiền mà người chơi có tại thời điểm t và tính chất mactingan ở đây nói lên rằng, nếu người chơi đã có một số tiền là an ở thời điểm tn , thì về mặt trung bình mà nói, số tiền mà người đó có được tại thời điểm tn+1 cũng vẫn là an mặc cho diễn biến quá khứ cuộc chơi như thế nào. 1.1.4. Quá trình Markov Nói một cách sơ lược, một quá trình {Xt } là một quá trình Markov, nếu một khi ta đã biết giá trị Xs của quá trình đó tại thời điểm s, thì mọi giá trị Xt với t > s không phụ thuộc vào các giá trị Xu với u < s . Nghĩa là P {a < Xt ≤ b |Xt1 = x1 , Xt2 = x2 , ..., Xtn = xn } = P {a < Xt ≤ b |Xtn = xn } (1.1.1) với mọi t1 < t2 < ... < tn < t Cho A là một đường thẳng thực. Hàm số P {s, x;t, A} = P {Xt ∈ A |Xs = x} ,t > s được gọi là hàm xác suất chuyển. Ta có thể biểu diễn (1.1.1) như sau P {a < Xt ≤ b |Xt1 = x1 , Xt2 = x2 , ..., Xtn = xn } = P {tn , xn ;t, A} với A = (a; b] 9
1.1.5. Quá trình Gauss Một quá trình ngẫu nhiên X = {Xt ,t ∈ T } được gọi là một quá trình Gauss, nếu N mọi tổ hợp tuyến tính có dạng Z = ∑ αi Xti với ti ∈ T, i = 1, N là một biến ngẫu nhiên i=1 chuẩn. Nói cách khác, {Xt } là Gauss nếu mọi phân phối hữu hạn chiều là chuẩn. 1.1.6. Quá trình dừng Một quá trình ngẫu nhiên X = {Xt ,t ∈ T } gọi là một quá trình dừng chặt hoặc dừng mạnh nếu các hàm phân phối của hai họ các biến ngẫu nhiên Xt1 +h , Xt2 +h , ..., Xtn +h và {Xt1 , Xt2 , ..., Xtn } là như nhau với mọi h > 0 , mọi t1 ,t2 , ...,tn ∈ T và mọi n ∈ N . Điều kiện này khẳng định rằng về bản chất, quá trình dừng là một quá trình cân bằng về mặt xác suất và các thời điểm riêng biệt tại đó ta xem xét quá trình đều có vai trò như nhau. Nói riêng, phân phối của Xt là như nhau đối với mọi t ∈ T. Một quá trình ngẫu nhiên X = {Xt ,t ∈ T } là một quá trình dừng theo nghĩa rộng hoặc dừng yếu, hoặc dừng tương quan, nếu EXt2 < ∞ với mọi t và cov (Xt , Xt+h ) := E (Xt Xt+h ) − EXt EXt+h chỉ phụ thuộc vào h. Các quá trình dừng rất thích hợp để mô tả nhiều hiện tượng xảy ra trong thông tin liên lạc, trong thiên văn học, sinh học và kinh tế, tài chính. 1.1.7. Quá trình lặp lại Một quá trình lặp lại là một dãy Tk các biến ngẫu nhiên dương độc lập cùng phân phối, nó biểu diễn thời gian tồn tại của những phần tử nào đó. Một phần tử được sinh ra vào thời điểm T0 = 0, nó biến mất tại thời điểm T1 , tại đó một phần tử mới ra đời rồi biến mất tại thời điểm T1 + T2 , và cứ như vậy tiếp diễn, thủ tục đó cứ tiếp tục lặp lại có tên gọi là quá trình lặp lại. Thời điểm để sản sinh ra phần tử thứ n là Sn = T1 + T2 + ... + Tn Ta gọi quá trình đếm lặp lại Nt = n là một quá trình đếm các số lần lặp lại trong khoảng thời gian [0,t]. Một cách hình thức, a có thể viết như sau: 10
Nt = n với Sn ≤ t ≤ Sn+1 , n = 0, 1, 2, ... 1.1.8. Quá trình điểm Cho S là một tập hợp trong không gian n -chiều và A là một họ các tập con của S. Một quá trình điểm là một quá trình ngẫu nhiên có chỉ số là các tập A ∈A và có không gian trạng thái là tập các số nguyên không âm Z+ . Ta quan niệm điểm ở đây nằm rải rác trong S một cách ngẫu nhiên, và kí hiệu N(A) là số điểm nằm trong A mà ta đếm được. Vì N(A) là một hàm đếm nên phải có tính chất cộng tính: N (A1 ∪ A2 ) = N (A1 ) + N (A2 ) với A1 , A2 ∈A , A1 ∪ A2 ∈Avà A1 ∩ A2 = 0, / và nếu 0/ ∈A thì phải có N(0) / =0. Giả sử S là một tập trên đường thẳng (mặt phẳng hoặc không gian thực 3 chiều) và với mỗi tập A ⊂ S ta đặt V (A) là độ đo Lebesgue của A (độ dài, diện tích, thể tích). Khi đó {N(A), A ⊂ S} là một quá trình điểm Poisson thuần nhất với tham số λ nếu: • với A ⊂ S , N(A) là một biến ngẫu nhiên có phân phối Poisson với tham số λV (A). • Với một họ hữu hạn {A1 , A2 , ..., An } các tập con rời rạc nhau của S thì các biến ngẫu nhiên N(A1 ), ..., N(An ) là độc lập. Các quá trình điểm Poisson xuất hiện khi người ta nghiên cứu phân bố của các ngôi sao hoặc các dải ngân hà, về phân bố các vi khuẩn trong một môi trường nào đó. 11
1.2. Hai quá trình ngẫu nhiên quan trọng 1.2.1. Quá trình Wiener (chuyển động Brown) Định nghĩa 1.2.1. Một quá trình ngẫu nhiên liên tục W = {W (t),t ∈ T } với T = [0; +∞) là một chuyển động Brown tiêu chuẩn nếu: (i) W0 = 0 hầu chắc chắn (ii) W có số gia độc lập, tức là với 0 = t0 < t1 < t2 < ... < tn thì các biến ngẫu nhiên Wt1 −Wt0 ,Wt2 −Wt1 , ...,Wtn −Wtn−1 là độc lập. (iii) với 0 ≤ s < t thì biến ngẫu nhiên Wt − Xs có phân bố chuẩn N (0;t − s). Trong trường hợp tổng quát, thì trong điều kiện (iii), phương sai của Wt −Ws là σ 2 (t − s) Định nghĩa 1.2.2 (định nghĩa tương đương). Một quá trình ngẫu nhiên W = {Wt ,t ≥ 0} được gọi là một quá trình Wiener tiêu chuẩn hay một chuyển động Brown, nếu nó là một quá trình Gauss sao cho: (i) E(Wt ) = 0, ∀t (tức Wt là qui tâm) (ii) Hàm tương quan R(t, s) = min(t, s). Trong trường hợp tổng quát, một quá trình Wiener với tham số phương sai σ 2 là một quá trình Gauss, qui tâm và hàm tương quan là R(t, s) = σ 2 . min(t, s) Các tính chất quan trọng của một quá trình Wiener Cho (Wt ) là một quá trình Wiener 1. Wt là một mactingan đối với FtW (σ - trường nhỏ nhất sinh bởi Ws , s ≤ t còn gọi là lịch sử của W tính cho đến thời điểm t) 12
2. Với mỗi ω ∈ Ω, quỹ đạo Wt (ω) không khả vi tại bất cứ điểm nào theo t. 3. Với mỗi ω ∈ Ω, hầu hết mọi quỹ đạo Wt (ω) đều không có biến phân bị chặn trên bất kỳ khoảng hữu hạn nào. 4. Wt tuân theo luật lôga lặp như sau: Wt (ω) P ω : lim sup √ =1 =1 t→∞ 2t log logt 5. Cho BR là họ tất cả các hàm thực Borel xác định trên R. Với mỗi t > 0 và f ∈ BR ta định nghĩa một hàm Pt f trên R xác định bởi: " # 2 1 |y − x| Z (Pt f ) (x) = 1 f (y) exp − dy (2πt) 2 2t R Khi đó, (i) Pt f ∈ BR (ii) Với 0 < s < t và f ∈ BR thì (Pt−s f ) (x) = E [ f (Wt ) |Ws = x] hầu khắp nơi đối với độ đo Lebesgue trên R (iii) E f (Wt )
FsW = E [ f (Wt ) |Ws ] = (Pt−s f ) (Ws )
Chứng tỏ W là một quá trình Markov. Đặc trưng Lévy của chuyển động Brown Nếu Wt là một quá trình Wiener, dễ dàng kiểm nghiệm rằng cả Wt và Wt2 − t là các mactingan (đối với Ftw ). Ngược lại, người ta cũng chứng minh được rằng: Định lý 1.2.1. Cho Wt là một quá trình ngẫu nhiên liên tục, sao cho:   Wt là một mactingan,W0 = 0 h.c.c (1.2.2)  W 2 − t là một mactingan (đối với Fw ) t t Khi đó Wt là một quá trình Wiener. 13
Do đó ta thấy Wt là một quá trình Wiener nếu và chỉ nếu điều kiện (1.2.2) được thực hiện Điều kiện (1.2.2) được gọi là đặc trưng Lévy của quá trình Wiener. 1.2.2. Quá trình Poisson a) Quá trình đếm Một quá trình ngẫu nhiên (Nt ,t ≥ 0) được gọi là một quá trình đếm (hay quá trình điểm) nếu Nt biểu thị tổng số lần một biến cố nào đó xảy ra cho đến thời điểm t. Vậy một quá trình đếm là một quá trình với thời gian liên tục, lấy giá trị nguyên dương và có bước nhảy tại các thời điểm ngẫu nhiên T0 , T1 , T2 , ... sao cho: T0 = 0 0 ≤ T1 < T2 < ... và lim Tn = ∞. n→∞ Khi đó có thể viết   n nếu t ∈ [Tn , Tn+1 ] , n ≥ 0 Nt =  ∞ nếu t = ∞ Hoặc ∞ Nt = ∑ n.1[Tn ,Tn+1 ] n=0 b) Quá trình Poisson Một quá trình ngẫu nhiên N = {Nt ,t ∈ T } được gọi là một quá trình Poisson, nếu: (i) N0 = 0. (ii) {Nt } có số gia độc lập, tức là với 0 = t0 < t1 < t2 < ... < tn thì các biến ngẫu nhiên Nt1 − Nt0 , Nt2 − Nt1 , ..., Ntn − Ntn−1 là độc lập. (iii) Với 0 ≤ s < t thì biến ngẫu nhiên Xt −Xs có phân bố Poisson với tham số λ (t −s). Chú ý: Số biến cố xảy ra trong khoảng thời gian nào đó có độ dài t là một biến ngẫu nhiên có phân phối Poisson với trung bình là λt(λ > 0). Điều đó có nghĩa là, với mọi 14
s,t ≥ 0, ta có n −λt (λt) P {Nt+s − Ns = n} = e ; n = 0, 1, 2, ... n! Từ đó ta có E(Nt ) = λt. Số λ > 0 được gọi là cường độ của quá trình Poisson. Đặc trưng Watanabe của một quá trình Poisson Nếu {Nt } là một quá trình Poisson với cường độ λ > 0 thì dễ dàng thấy rằng Nt − λt là một mactigan đối với FtN . Đối với quá trình Poisson tiêu chuẩn (λ = 1) thì Nt − t là một mactigan đối với FtN . Ngược lại ta cũng có: Định lý 1.2.2. Cho Nt là một quá trình ngẫu nhiên khả tích với mọi t, có số gia độc lập, N0 = 0 sao cho với ∀t ≥ 0 thì Nt − λt là một mactigan đối với FtN . Khi đó Nt là một quá trình Poisson với cường độ là λ . Nói riêng, nếu Nt −t là một mactingan thì Nt là một quá trình Poisson tiêu chuẩn. 1.3. Tích phân Itô 1.3.1. Tích phân Riemann-Stieltjes Tích phân Riemann-Stieltjes của hàm f lấy đối với một hàm g liên tục và có biến phân giới nội trên đoạn thẳng [0,t] ⊂ R được định nghĩa bởi Zt n f dg = lim ∑ f (xi) [g(ai) − g(ai−1)] max(ai −ai−1 )→0 i=1 0 với xi ∈ (ai−1 , ai ) và với mọi phân hoạch 0 = a0 < a1 < ... < an = t, nếu giới hạn trên tồn tại. Trường hợp đặc biệt khi mà g(t) = t thì định nghĩa trên trùng với định nghĩa của tích phân Riemann. Nếu f và g không phải là hàm số mà là các quá trình ngẫu nhiên, sao cho f liên tục và g có biến phân hữu hạn, thì ta vẫn có thể định nghĩa được tích phân Riemann- Rt Stieltjes f dg như trên. (Bản thân tích phân cũng sẽ là một quá trình ngẫu nhiên, 0 15
vì ta định nghĩa nó cho từng tình huống và từng mốc thời gian). Thế nhưng khi mà g = Wt là một chuyển động Brown, thì định nghĩa tích phân Riemann-Stieltjes nói chung không còn áp dụng được nữa. Tuy mỗi quỹ đạo t → Wt là một hàm liên tục của t, nhưng ta đã biết là hầu hết mọi quĩ đạo là những hàm không có biến phân giới nội trên bất cứ khoảng hữu hạn nào. Vậy không thể định nghĩa tích phân Ito như một tích phân Stieltjès. Ta phải tìm một cách xây dựng khác. Nhà toán học K.Itô đã đưa ra một cách xây dựng tích phân ngẫu nhiên cho một lớp các hàm ngẫu nhiên nào đó dựa theo nguyên tắc “ánh xạ đẳng cự”. 1.3.2. Định nghĩa tích phân Itô Luôn luôn ta xét các quá trình ngẫu nhiên xác định trên một không gian xác suất (Ω, F, P) trên đó có một bộ lọc (Ft )t∈T là một họ tăng các σ − trường con của F; trong đó T là một tập Borel nào đó thuộc R+ . Thông thường ta lấy T là một đoạn [0,t] nào đó. Định nghĩa 1.3.1. Giả sử f (t, ω),t ≥ 0 là một hàm ngẫu nhiên. 1. Ta nói rằng f (t, ω) là đo được dần (đối với lọc (Ft ) ) nếu với mỗi t ≥ 0, hàm (s, ω) → f (s, ω) xác định trên [0;t] × Ω là Bt × F(t) -đo được. Ở đó Bt là σ -đại số Borel của [0,t]. 2. Ký hiệu N 2 (0, T ) là tập hợp các hàm ngẫu nhiên f (t, ω) đo được dần và T R 2 E f (t, ω)dt < ∞ 0 T N 2 (0, T ) là không gian Banach với chuẩn k f k2 = E R 2 f (t, ω)dt . 0 3. Ký hiệu N 1 (0, T ) là tập hợp các hàm ngẫu nhiên f (t, ω) đo được dần và T R E | f (t, ω)| dt < ∞. 0 16