zunia.vn

Tuyển sinh 2024 dành cho Gen-Z

zunia.vn

» Tài Liệu Phổ Thông

» Sáng kiến kinh nghiệm

Sáng kiến kinh nghiệm: Một số kĩ thuật tính giới hạn của dãy cho bởi hệ thức truy hồi

Chia sẻ: Hòa Phát | Ngày: | Loại File: DOC | Số trang:28

Báo xấu

75
lượt xem 3
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Mục tiêu của sáng kiến kinh nghiệm này nhằm nâng cao chất lượng giảng dạy bồi dưỡng học sinh giỏi các cấp, cung cấp cho các em học sinh, đặc biệt là các em học sinh giỏi toán và yêu thích toán có thêm một tài liệu tham khảo về giới hạn của dãy số, và những kĩ thuật để tính giới hạn của các dãy cho bởi hệ thức truy hồi.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Sáng kiến kinh nghiệm: Một số kĩ thuật tính giới hạn của dãy cho bởi hệ thức truy hồi

WWW.ToanCapBa.Net Sáng kiến kinh nghiệm – Một số kĩ thuật tính giới hạn của dãy cho bởi hệ thức truy hồi PHẦN MỞ ĐẦU Bài toán tìm giới hạn của một dãy cho bởi hệ thức truy hồi là một dạng bài toán khó, đòi hỏi nhiều kĩ thuật. Bài toán này thường xuất hiện trong các đề thi học sinh giỏi cấp tỉnh, đề thi Olympic 30 tháng 4, đề thi quốc gia và quốc tế. Trong quá trình giảng dạy chương trình toán lớp 11 nâng cao và bồi dưỡng học sinh giỏi, tôi đã tìm tòi đúc kết và rút ra được một số kĩ thuật tìm giới hạn của các bài toán dạng này. Hiện nay, các tài liệu chuyên sâu về chuyên đề giới hạn của dãy số cũng còn rất hạn chế; với mong muốn nâng cao chất lượng giảng dạy bồi dưỡng học sinh giỏi các cấp, cung cấp cho các em học sinh, đặc biệt là các em học sinh giỏi toán và yêu thích toán có thêm một tài liệu tham khảo về giới hạn của dãy số, và những kĩ thuật để tính giới hạn của các dãy cho bởi hệ thức truy hồi, tôi nghiên cứu và viết đề tài: “Một số kĩ thuật tính giới hạn của dãy cho bởi hệ thức truy hồi”. Xin chân thành cảm ơn! Quảng Ngãi tháng 05 năm 2011 Người thực hiện đề tài Huỳnh Đoàn Thuần GV: Huỳnh Đoàn Thuần Trang 1 WWW.ToanCapBa.Net
WWW.ToanCapBa.Net Sáng kiến kinh nghiệm – Một số kĩ thuật tính giới hạn của dãy cho bởi hệ thức truy hồi PHẦN NỘI DUNG Trong sách giáo khoa ĐS và GT 11 nâng cao (NXBGD 2007 do Đoàn Quỳnh chủ biên) trang 135, bài tập 7 nguyên văn như sau: u1 = 10 “Cho dãy số (un) xác định như sau: 1 un+1 = un + 3, ∀n 1 5 15 a) Chứng minh rằng(CMR) dãy số (vn) xác định bởi vn = un − là một cấp 4 số nhân b) Tính limun” Qua phân tích và giải quyết bài toán trên, tôi nhận thấy: Nếu như đề bài không cho câu a) mà chỉ yêu cầu tìm limun thì bài toán trở nên rất khó và lạ đối với học sinh. Đây là bài toán tìm giới hạn của một dãy cho bởi hệ thức truy hồi Việc đề bài yêu câu thêm câu a) là để có thể xác định công thức tổng quát (CTTQ) của dãy (un) nhờ vào việc tìm CTTQ của một cấp số nhân, từ đó áp dụng các định lí về giới hạn để tính limun Khai thác bài toán trên, tôi xây dựng thành một kĩ thuật để tính giới hạn của dãy truy hồi đó là: “ Kĩ thuật tính giới hạn của dãy truy hồi bằng cách xác định CTTQ của dãy”. Ngoài ra, trong quá trình tìm tòi, nghiên cứu, giảng dạy và bồi dưỡng học sinh giỏi, tôi đã tổng hợp và đúc kết thành một số kĩ thuật để tính giới hạn của dãy cho bởi hệ thức truy hồi. Trong khuôn khổ của đề tài này, tôi GV: Huỳnh Đoàn Thuần Trang 2 WWW.ToanCapBa.Net
WWW.ToanCapBa.Net Sáng kiến kinh nghiệm – Một số kĩ thuật tính giới hạn của dãy cho bởi hệ thức truy hồi sẽ trình 3 kĩ thuật cơ bản để tính giới hạn của dãy cho bởi hệ thức truy hồi sau đây: Kĩ thuật 1: Tính giới hạn của dãy cho bởi hệ thức truy hồi bằng cách xác định CTTQ của dãy. Kĩ thuật 2: Tính giới hạn của dãy cho bởi hệ thức truy hồi bằng cách sử dụng phương pháp đánh giá và nguyên lí kẹp. Kĩ thuật 3: Tính giới hạn của dãy cho bởi hệ thức truy hồi bằng cách sử dụng tính đơn điệu và bị chặn của dãy. I/ Kĩ thuật 1: Tính giới hạn của dãy cho bởi hệ thức truy hồi bằng cách xác định CTTQ của dãy. Phương pháp xác định CTTQ của một dãy số cho bởi hệ thức truy hồi khá phong phú và đa dạng, trong phạm vi bài viết này tôi chỉ trình bày kĩ thuật tìm CTTQ của dãy chủ yếu sử dụng phương pháp đổi biến để đưa dãy đã cho về cấp số cộng(CSC) hoặc cấp số nhân(CSN) hoặc tổng hiệu của các cấp số cộng, và cấp số nhân. Quay lại bài tập 7 trang 135 sách giáo khoa ĐS và GT 11 NC u1 = 10 Ví dụ 1: “Cho dãy số (un) xác định như sau: 1 un+1 = un + 3, ∀n 1 5 15 a) CMR dãy số (vn) xác định bởi vn = un − là một cấp số nhân 4 b) Tính limun” GV: Huỳnh Đoàn Thuần Trang 3 WWW.ToanCapBa.Net
WWW.ToanCapBa.Net Sáng kiến kinh nghiệm – Một số kĩ thuật tính giới hạn của dãy cho bởi hệ thức truy hồi Giải: a) Ta có (vn) là CSN � vn+1 = q.vn (= const ), q �0, ∀n �1 . Thật vậy, ta có 15 1 15 1 15 3 1 vn+1 = un+1 − = un + 3 − = (vn + ) − = vn . Nên (vn) là một CSN 4 5 4 5 4 4 5 n −1 n −3 1 25 25 �1 � 1 �1 � có công bội q = và v1 = . Do đó vn = v1.q n−1 = .� � = .� � 5 4 4 �5 � 4 �5 � n −3 15 1 �1 � 15 15 b) Từ câu a) suy ra un = vn + = .� � + . Do đó lim un = . 4 4 �5 � 4 4 Nhận xét: 15 1/ Vì sao lại nghĩ ra được phép đổi biến vn = un − để dãy (vn) là một 4 1 1 CSN? Ta thấy un+1 = un + 3 , ta cần tìm số b sao cho un+1 − b = (un − b) 5 5 1 1 1 15 � un+1 = b − b + un = un + 3 � b = 5 5 5 4 15 1 Do vậy, nếu đặt vn = un − thì vn+1 = vn , ∀n 1 nên (vn) là một CSN 4 5 2/ Ngoài ra, có thể đặt vn = 5n.un , ∀n 1 , khi đó ta có vn+1 − vn = 3.5n+1 , ∀n 1 . n −3 15 n vn 15 5n − 1 35 1 �1 � 15 Suy ra vn = (5 − 1) + 35 � un = n = . n + n = � � + 4 5 4 5 5 4 �5 � 4 Ví dụ 2: (Bài 4.37 trang 139 sách bài tập ĐS và GT11 NC NXBGD 2007) u1 = 3 Cho dãy số (un) xác định bởi 2un+1 = un + 1, ∀n 1 Đặt Sn = u1 + u2 +… +un , n 1 . GV: Huỳnh Đoàn Thuần Trang 4 WWW.ToanCapBa.Net
WWW.ToanCapBa.Net Sáng kiến kinh nghiệm – Một số kĩ thuật tính giới hạn của dãy cho bởi hệ thức truy hồi a) CMR dãy số (vn) với vn = un – 1 , n 1 là một CSN lùi vô hạn b) Tính limSn Giải: 1 1 1 1 a) Ta có vn+1 = un+1 − 1 = un + − 1 = (un − 1) = vn , ∀n 1 2 2 2 2 1 Suy ra dãy số (vn) là một CSN lùi vô hạn với công bội q = . Nên 2 n−2 �1 � vn = � � �2 � n−2 �1 � b) Từ câu a) suy ra un = vn + 1 = � � + 1, ∀n 1 �2 � n n n−2 1 �1 � Suy ra Sn = �uk = �( ) k −2 + n = 4 + n − � � . k =1 k =1 2 �2 � n− 2 � �1 � � 4+n � � �= + Vậy limSn =lim � � �2 � � Nhận xét: Có thể tìm CTTQ của dãy (un) bằng phép đổi biến vn = 2n.un , ∀n 1 1 1 Ta có vn+1 = 2n+1.un+1 = 2n +1 ( un + ) = vn + 2 n , ∀n �� 1 vn+1 − vn = 2n , ∀n �1 2 2 Do đó vn = vn − vn−1 + vn−1 − vn−2 + .... + v2 − v1 + v1 = 2n−1 + 2n−2 + ... + 2 + 6 n −2 n −1 �1 � Hay vn = 2(2 − 1) + 6 = 2 + 4 � un = 1 + � � n �2 � GV: Huỳnh Đoàn Thuần Trang 5 WWW.ToanCapBa.Net
WWW.ToanCapBa.Net Sáng kiến kinh nghiệm – Một số kĩ thuật tính giới hạn của dãy cho bởi hệ thức truy hồi Ví dụ 3: (Bài 4.73 trang 148 sách bài tập ĐS và GT 11NC, NXBGD 2007) u1 = 1 Cho dãy số (un) xác định bởi un − 4 un+1 = , ∀n 1 un + 6 a) CMR un −4, ∀n 1 un + 1 b) CMR dãy (vn) với vn = là một CSN. Tính limun un + 4 Giải: a) Ta sẽ chứng minh bằng quy nạp un −4, ∀n 1 . Khi n = 1 ta có u1 = 1 −4 Giả sử uk −4, ∀k 1 , ta chứng minh uk +1 −4 . Thật vậy, giả sử ngược uk − 4 lại uk +1 = −4 , khi đó = −4 � uk − 4 = −4uk − 24 � uk = −4 , trái với giả uk + 6 thiết quy nạp. Vậy un −4, ∀n 1 b) Từ câu a) suy ra vn luôn xác định với mọi ∀n 1 un − 4 +1 un+1 + 1 un + 6 2(un + 1) 2 Ta có vn+1 = = = = vn , ∀n . Vậy (vn) là 1 CSN lùi un+1 + 4 un − 4 + 4 5(un + 4) 5 un + 6 n 2 �2 � vô hạn với công bội q = . Suy ra vn = � � 5 �5 � n n �2 � �2 � 4.� �− 1 4.� �− 1 �5 � 5 lim un = lim � � n = −1 Nên un = n . Do đó �2 � �2 � 1− � � 1− � � �5 � �5 � GV: Huỳnh Đoàn Thuần Trang 6 WWW.ToanCapBa.Net
WWW.ToanCapBa.Net Sáng kiến kinh nghiệm – Một số kĩ thuật tính giới hạn của dãy cho bởi hệ thức truy hồi u1 = 1 Ví dụ 4: Cho dãy số (un) xác định bởi 1 un+1 = un + , ∀n 1 n(n + 1) Tính limun Giải: 1 1 1 Ta có un +1 − un = = − � un = un − un −1 + un −1 − un − 2 + ..... + u2 − u1 + u1 n(n + 1) n n + 1 1 1 1 1 1 1 1 � un = − + − + ...... + − + 1 = 2 − n −1 n n − 2 n −1 1 2 n 1 Do đó limun = lim (2 − ) = 2 n u1 = 1 Ví dụ 5: Cho dãy số (un) xác định bởi �1 � n . Tính limun un+1 = un + � � , ∀n 1 �2 � n 1 Giải: Ta có un +1 − un = � � � �� un = un − un−1 + un −1 − un − 2 + ..... + u2 − u1 + u1 �2 � 1 n −1 n−2 1 − ( )n 1 n −1 �1 � �1 � �1 � 2 �1 � � un = � � + � � + ..... + � �+ 1 = 1 = 2−� � �2 � �2 � �2 � 1− �2 � 2 n−1 � �1 � � Do đó limun = lim � � � �= 2 2 − � �2 � � Như vậy, nếu xác định được CTTQ của dãy số thì bài toán trở nên quen thuộc và ta có thể tính được giới hạn của dãy đó một cách dễ dàng dựa vào các định lí về giới hạn đã được học trong chương trình của sách giáo khoa. Sau đây là một số bài tập tương tự GV: Huỳnh Đoàn Thuần Trang 7 WWW.ToanCapBa.Net
WWW.ToanCapBa.Net Sáng kiến kinh nghiệm – Một số kĩ thuật tính giới hạn của dãy cho bởi hệ thức truy hồi * Bài tập tham khảo: u1 = −5 1/ Cho dãy số (un) xác định bởi 2 .Tính limun un+1 = un + 6, ∀n 1 3 ĐS: limSn = 18 u1 = 3 un 2/ Cho dãy số (un) xác định bởi .Tính lim un+1 = 4un − 1, ∀n 1 22 n un 2 ĐS: lim = 22 n 3 u1.u2 ....un 3/ Cho dãy số (un) xác định bởi un = 124+ 4422+ .... + 2 4 4 43 .Tính lim n ndaucan 2 (Đề thi HSG cấp tỉnh tỉnh Quảng Ngãi năm 2001 – 2002) π u .u ....u 2 HD: Tìm được CTTQ của dãy (un) là un = 2 cos , ∀n và lim 1 2 n n = 2 n +1 2 π 4/ Cho dãy số (un) xác định bởi un = 2 . 124− 4422+ .... + 2 n 4 4 43 .Tính limun ndaucan π π HD: Từ bài 3 suy ra un = 2n. 2 − cos n = 2 n +1.sin n +1 . Do đó limun = π 2 2 GV: Huỳnh Đoàn Thuần Trang 8 WWW.ToanCapBa.Net
WWW.ToanCapBa.Net Sáng kiến kinh nghiệm – Một số kĩ thuật tính giới hạn của dãy cho bởi hệ thức truy hồi II/ Kĩ thuật 2: Tính giới hạn của dãy cho bởi hệ thức truy hồi bằng cách sử dụng nguyên lý kẹp *Cơ sở lí thuyết: Cho 3 dãy số (un), (vn), (wn) thõa mãn các điều kiện v n un w n , ∀n và limv n =lmw n = a , khi đó limun = a. (Nguyên lí kẹp) Kết hợp với việc sử dụng các bất đẳng thức để đánh giá và sử dụng nguyên lí kẹp, ta có thể tính được giới hạn của một số dãy số cho bởi hệ thức truy hồi. Sau đây là một số ví dụ Ví dụ 1: (Bài 4.4 sách bài tập ĐS và GT11 NC, trang 133 NXBGD2007) 1 u1 = 4 Cho dãy số (un) xác định bởi un un+1 = un 2 + , ∀n 1 2 1 a) CMR: 0 un , ∀n 4 un +1 3 b) CMR: u , ∀n . Tính limun n 4 Giải: 1 a) Bằng quy nạp dễ dàng chứng minh được 0 un , ∀n . Ta CM un , ∀n . 4 1 1 1 Với n = 1 thì u1 = đúng. Giả sử uk , ∀k 1 , ta chứng minh uk +1 . Thật 4 4 4 1 1 3 3 1 3 vậy, ta có uk � uk 2 uk và uk . = . Do đó 4 4 4 4 4 16 GV: Huỳnh Đoàn Thuần Trang 9 WWW.ToanCapBa.Net
WWW.ToanCapBa.Net Sáng kiến kinh nghiệm – Một số kĩ thuật tính giới hạn của dãy cho bởi hệ thức truy hồi 1 1 3 3 1 uk +1 uk + uk = uk < 4 2 4 16 4 1 Vậy 0 un , ∀n 4 u 1 1 1 3 b) Từ câu a) suy ra u = un + 2 4 + 2 = 4 , ∀n n +1 n n −1 un un −1 u 3 3 3 1 �3 � Do đó ta có 0 < un = . ...... 2 .u1 . ..... .u1 = . � � , ∀n un −1 un − 2 u1 4 4 4 4 �4 � n −1 1 3� Mà lim . � � � =0, nên theo nguyên lí kẹp thì limun = 0 4 �4 � Nhận xét: Với ví dụ này, việc xác định CTTQ của dãy (un) như trong kĩ thuật 1 đã trình bày gặp nhiều khó khăn, nhưng nếu sử dụng bất đẳng thức để đánh giá và nguyên lí kẹp thì bài toán được giải quyết rất đơn giản. Ví dụ 2: (Bài 4.5 sách bài tập ĐS và GT11 NC, trang 134 NXBGD2007) 1 u1 = 2 Cho dãy số (un) xác định bởi un un+1 = , ∀n 1 n +1 un +1 1 a) CMR: un > 0 và u , ∀n n 2 b) Tính limun Giải: Nhận xét: Việc xác định CTTQ của dãy (un) rất khó khăn, nhưng từ hệ un +1 thức truy hồi ta thấy có thể đánh giá tỉ số u dễ dàng. n GV: Huỳnh Đoàn Thuần Trang 10 WWW.ToanCapBa.Net
WWW.ToanCapBa.Net Sáng kiến kinh nghiệm – Một số kĩ thuật tính giới hạn của dãy cho bởi hệ thức truy hồi a) Dễ dàng chứng minh bằng quy nạp được un > 0, ∀n u 1 1 Từ hệ thức truy hồi ta có u = n + 1 2 , ∀n 1 n +1 n n un un −1 u 1 1 1 1 �1 � b) Từ câu a) ta có 0 < un = . ....... 2 .u1 . ..... . = � �, ∀n 1 un −1 un −2 u1 2 2 2 2 �2 � n 1� Mà lim � � �= 0. Nên theo nguyên lí kẹp ta có limun = 0 �2 � Ví dụ 3: (Bài 4.11 sách bài tập ĐS và GT11 NC, trang 135 NXBGD2007) u1 = 10 Cho dãy số (un) xác định bởi . Tính limun un+1 = un , ∀n 1 Giải: Nhận xét: Việc xác định CTTQ của dãy (un) thật không đơn giản, nhưng ta thấy rằng un >1, với mọi n (kiểm tra bằng quy nạp). Hơn nữa theo 1 + un bất đẳng thức Cosi, ta có un+1 = un = 1.un . 2 1 + un Dấu “=” không xảy ra vì un >1,∀n , do đó un+1 < , ∀n 2 un − 1 � un+1 − 1 < , ∀n (*) 2 Áp dụng (*) liên tiếp nhiều lần ta có un−1 − 1 un−2 − 1 u1 − 1 9 0 < un − 1 < < < .... < = , ∀n 1 , 2 22 2n−1 2n −1 9 Hay 1 < un < 1 + , ∀n 1 2n−1 9 Mà lim(1 + ) = 1 nên theo nguyên lí kẹp ta có limun = 1 2n−1 GV: Huỳnh Đoàn Thuần Trang 11 WWW.ToanCapBa.Net
WWW.ToanCapBa.Net Sáng kiến kinh nghiệm – Một số kĩ thuật tính giới hạn của dãy cho bởi hệ thức truy hồi Ví dụ 4: (Bài 4.74 trang 148 sách ĐS và GT 11 NC NXBGD 2007) u1 = a Cho dãy số (un) xác định bởi u = un + 1 − 1, ∀n 1 . (với – 1
WWW.ToanCapBa.Net Sáng kiến kinh nghiệm – Một số kĩ thuật tính giới hạn của dãy cho bởi hệ thức truy hồi n −1 � 1 � Hay −1 < un � 2 � .(a + 1) − 1, ∀n 1 � a +1 � n −1 1 � � 1 � � Vì 0 < < 1 � lim � (a + 1) � � − 1�= −1 . a2 + 1 � � � a 2 + 1 � � � Do đó theo nguyên lí kẹp ta được limun = 1 * Bài tập tham khảo u1 = 1 Bài 1: Cho dãy số (un) xác định bởi 1 un+1 = un + , ∀n 1 2n 1 a) CMR un+1 − un < , ∀n 1 2n+1 b) Tính lim un (Đề thi HSG lớp 11 cấp tỉnh tỉnh Hà Tĩnh năm học 2009 – 2010) un > 0 Bài 2: Cho dãy số (un) xác định bởi un 2 un − un+1 , ∀n 1 1 a) CMR un < , ∀n 1 n b) Tính lim un (Đề thi HSG cấp tỉnh lớp 12 tỉnh Quảng Ngãi năm học 2007 – 2008) GV: Huỳnh Đoàn Thuần Trang 13 WWW.ToanCapBa.Net
WWW.ToanCapBa.Net Sáng kiến kinh nghiệm – Một số kĩ thuật tính giới hạn của dãy cho bởi hệ thức truy hồi 1 u0 = 2 Bài 3: Cho dãy số (un) xác định bởi 1 uk +1 = uk + uk 2 , ∀k = 0, n − 1 n 1 a) CMR 1 − < un < 1 n b) Tính lim un (Đề thi HSG cấp tỉnh lớp 12 tỉnh Quảng Ngãi năm học 2006 – 2007) GV: Huỳnh Đoàn Thuần Trang 14 WWW.ToanCapBa.Net
WWW.ToanCapBa.Net Sáng kiến kinh nghiệm – Một số kĩ thuật tính giới hạn của dãy cho bởi hệ thức truy hồi III/ Kĩ thuật 3: Tính giới hạn của dãy cho bởi hệ thức truy hồi bằng cách sử dụng tính đơn điệu và bị chặn * Cơ sở lí thuyết: Trong sách giáo khoa Đại số và Giải tích 11 nâng cao, trang 154 có nêu định lí 4 như sau: “ a) Dãy số tăng và bị chặn trên thì có giới hạn hữu hạn b) Dãy số giảm và bị chặn dưới thì có giới hạn hữu hạn” Nếu dãy số ( un ) thõa mãn điều kiện un M , ∀n và tồn tại giới hạn lim un thì lim un M ; nếu dãy số ( un ) thõa mãn điều kiện un m, ∀n và tồn tại giới hạn lim un thì lim un m Giả sử dãy số ( un ) có giới hạn hữu hạn thì nlim un = lim un+1 + n + Áp dụng các tính chất trên, ta có thể tính được giới hạn của các dãy cho bởi hệ thức truy hồi. Dạng bài tập này khá phổ biến trong các đề thi HSG cấp tỉnh, các đề thi Olympic 30/4, các đề thi HSG cấp Quốc gia và Quốc tế. Phương pháp này tỏ ra rất hiệu quả khi giải quyết các bài toán tìm giới hạn của dãy số cho bởi hệ thức truy hồi. Sau đây ta xét một số ví dụ minh họa. u1 = 2 Ví dụ 1: Cho dãy số ( un ) xác định bởi . Tính lim un un+1 = 2 + un , ∀n 1 Giải: Trước hết ta sẽ chứng minh dãy số ( un ) tăng và bị chặn trên. GV: Huỳnh Đoàn Thuần Trang 15 WWW.ToanCapBa.Net
WWW.ToanCapBa.Net Sáng kiến kinh nghiệm – Một số kĩ thuật tính giới hạn của dãy cho bởi hệ thức truy hồi Chứng minh dãy ( un ) tăng bằng quy nạp, tức là un+1 > un , ∀n 1 Khi n = 1 ta có u2 = 2 + u1 = 2 + 2 > 2 = u1 Giả sử uk +1 > uk , khi đó uk + 2 = 2 + uk +1 > 2 + uk = uk +1 . Vậy un+1 > un , ∀n 1 Nên ( un ) bị chặn dưới bởi 2 . Ta sẽ chứng minh dãy ( un ) bị chặn trên bởi 2 bằng quy nạp, thật vậy Khi n = 1 ta có u1 = 2 < 2 Giả sử uk < 2, ∀k 1 , khi đó uk +1 = 2 + uk < 2 + 2 = 2 . Vậy dãy số (un) bị chặn trên bởi 2. Do đó dãy số (un) có giới hạn hữu hạn, giả sử limun = a, thì a 2. Từ hệ thức truy hồi, lấy giới hạn hai vế ta có lim un+1 = lim 2 + un a = −1 Hay a = 2 + a � a = a + 2 � 2 a=2 Vì a 2 nên a = 2. Vậy lim un = 2 Nhận xét: Với ví dụ này, ta có thể tìm được CTTQ của dãy (un) là π un = 2cos , ∀n 1 , tuy nhiên việc xác định CTTQ của (un) không phải là 2n+1 đơn giản và mất nhiều thời gian. Với kĩ thuật tính giới hạn như bài giải trên, bài toán được giải quyết gọn nhẹ. u1 = u2 = 1 Ví dụ 2: Cho dãy số ( un ) xác định bởi . Tính lim un un+1 = un + un−1 , ∀n 2 GV: Huỳnh Đoàn Thuần Trang 16 WWW.ToanCapBa.Net
WWW.ToanCapBa.Net Sáng kiến kinh nghiệm – Một số kĩ thuật tính giới hạn của dãy cho bởi hệ thức truy hồi Giải: Nhận xét: Ta thấy u1 = u2 = 1 , u3 = 1 + 1 = 2 > u2 ; u4 = u3 + u2 = 2 + 1 > u3 . Dự đoán dãy số (un) là dãy dương và tăng. Ta chứng minh bằng quy nạp, tức là un+1 > un , ∀n 2 Rõ ràng un > 0, ∀n 1. Khi n = 2 ta có u3 = 2 > u2 = 1 Giả sử uk +1 > uk , ∀k 2 . Ta có uk + 2 = uk +1 + uk > uk + uk −1 = uk +1 , ∀k 2 Nên dãy (un) là dãy số dương tăng �∀ un= u1 1, n 1 Hơn nữa, ta thấy ∀n 3, un = un−1 + un−2 < un + un = 2 un Hay un 2 < 4un � un < 4( do un > 0) . Nên (un) bị chặn trên bởi 4 Do đó dãy số (un) có giới hạn hữu hạn. Giả sử limun = a, khi đó a 1 Từ hệ thức truy hồi suy ra lim un+1 = lim un + lim un−1 Hay a = a + a � a 2 = 4a . Do a 1 > 0 nên a = 4 Vậy lim un = 4 . u1 = 2010 Ví dụ 3: Cho dãy số ( un ) xác định bởi un 2 − 2un .un+1 + 2011 = 0 , ∀n 1 Chứng minh rằng dãy (un) có giới hạn và tính giới hạn đó. (Đề thi HSG cấp tỉnh khối 12 tỉnh Quảng Ngãi năm học 2010 – 2011) Giải: Trước hết ta nhận xét rằng un > 0, với mọi n, Thật vậy, ta có u1 = 2010 >0. Giả sử uk > 0, ∀k 1 , ta chứng minh uk +1 > 0 uk 2 + 2011 Từ hệ thức truy hồi suy ra 2uk .uk +1 = uk + 2011 > 0 � uk +1 = >0 2 2uk GV: Huỳnh Đoàn Thuần Trang 17 WWW.ToanCapBa.Net
WWW.ToanCapBa.Net Sáng kiến kinh nghiệm – Một số kĩ thuật tính giới hạn của dãy cho bởi hệ thức truy hồi un 2 + 2011 1 2011 Do đó ta có un+1 = = (un + ) . Theo bất đẳng thức Cosi, ta có 2un 2 un un 2 + 2011 2011 un+1 = un . = 2011, ∀n 1. 2un un un+1 un 2 + 2011 1 2011 1 1 Mặt khác ta có = = + + =1 un 2un 2 2 2un 2 2 2 2011 2011 1 (vì un = 2011, �∀� n 1 ) 2un 2 2.2011 2 Nên (un) là dãy số giảm và bị chặn dưới bởi 2011 , do đó dãy (un) có giới hạn hữu hạn. Giả sử limun = a, khi đó 0 < a 2010 un 2 + 2011 un 2 + 2011 a 2 + 2011 Và ta có un+1 = � lim un+1 = lim �a = 2un 2un 2a � a 2 = 2011 � a = 2011 . Vậy lim un = 2011 u1 = 30 Ví dụ 4: Cho dãy số ( un ) xác định bởi un+1 = 30un 2 + 3un + 2011, ∀n 1 un+1 Tính lim un ( Đề thi HSG cấp tỉnh khối 11 tỉnh Quảng Bình năm 2010 – 2011) Giải: Nhận xét rằng un > 0, ∀n ( kiểm tra bằng chứng minh quy nạp) Hơn nữa, ta có un+1 = 30un 2 + 3un + 2011 > 30un 2 > un 2 = un , ∀n 1 Nên dãy số ( un ) là dãy tăng. Giả sử dãy ( un ) bị chặn trên, khi đó ( un ) có giới hạn hữu hạn và ta đặt lim un = a ( a > 0) GV: Huỳnh Đoàn Thuần Trang 18 WWW.ToanCapBa.Net
WWW.ToanCapBa.Net Sáng kiến kinh nghiệm – Một số kĩ thuật tính giới hạn của dãy cho bởi hệ thức truy hồi Ta có lim un+1 = lim 30un 2 + 3un + 2011 � a = 30a 2 + 3a + 2011 � a 2 = 30a 2 + 3a + 2011 � 29a 2 + 3a + 2011 = 0 . Phương trình này vô nghiệm nên dẫn đến mâu thuẫn. Vậy dãy (un) không bị chặn hay lim un = + un+1 30un 2 + 3un + 2011 3 2011 Mặt khác = = 30 + + 2 un un 2 un un un+1 3 2011 Do đó lim = 30 + lim + lim 2 = 30 un un un u1 = 1 Ví dụ 5:Cho dãy số ( un ) xác định bởi un 2 un+1 = + un , ∀n 1 2010 u1 u1 u Tính lim ( + + ..... + n ) u2 u2 un+1 ( Đề thi HSG cấp tỉnh khối 12 tỉnh Quảng Bình năm 2010 – 2011) Giải: un 2 Từ hệ thức truy hồi ta có un+1 − un = > 0, ∀n �� 1(*) un+1 > un , ∀n �1 2010 , do đó dãy (un) là dãy số tăng � un > u1 = 1 > 0, ∀n �1 un+1 − un un 2 un 1 1 Từ (*) suy ra 2010. = hay = 2010( − ) un+1.un un +1.un un+1 un un +1 u1 u1 u 1 1 1 � + + ..... + n = 2010( − ) = 2010(1 − ) u2 u 2 un+1 u1 un+1 un+1 u1 u1 u 1 Do đó lim ( + + ..... + n ) = lim 2010.(1 − ) u2 u2 un+1 un +1 GV: Huỳnh Đoàn Thuần Trang 19 WWW.ToanCapBa.Net
WWW.ToanCapBa.Net Sáng kiến kinh nghiệm – Một số kĩ thuật tính giới hạn của dãy cho bởi hệ thức truy hồi Giả sử (un) bị chặn trên, khi đó dãy (un) có giới hạn hữu hạn, giả sử limun = 1, ∀< a (Vì un � n 1 a 1 ). un 2 Từ hệ thức truy hồi suy ra lim un+1 = lim( + un ) 2010 a2 Hay a = + a � a = 0 (vô lý). Vậy (un) không bị chặn, tức là 2010 lim un = + u1 u1 u � lim un+1 = +�. Vây lim ( + + ..... + n ) = 2010 u2 u 2 un+1 0 < un < 1 Ví dụ 6: Cho dãy số ( un ) thõa mãn 1 un+1 (1 − un ) > , ∀n 1 4 a) CMR dãy (un) là dãy số tăng b) Tính limun Giải: a) Nhận xét rằng (un) là dãy bị chặn Hơn nữa 0 < un < 1 � 1 − un > 0 và un+1 > 0, ∀n . Theo bất đẳng thức Cosi, ta 1 có un+1 + (1 − un ) �2. un +1.(1 − un ) > 2. = 1, ∀n � un+1 > un , ∀n . Do đó (un) là 4 dãy số tăng b) Từ câu a) và nhận xét trên suy ra dãy (un) có giới hạn hữu hạn. Giả sử lim un = a , thì a 0 . Do đó lim [ un+1 (1 − un ) ] = lim un+1.lim(1 − un ) = a(1 − a) . 1 1 Mặt khác từ giả thiết suy ra, lim [ un+1 (1 − un ) ] � a (1 − a ) � 4 4 GV: Huỳnh Đoàn Thuần Trang 20 WWW.ToanCapBa.Net

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

EXAM.03: Bộ 400 Đề Thi Thử THPT Quốc Gia 2021

400 tài liệu

955 lượt tải

THÔNG TIN

TRỢ GIÚP

HỖ TRỢ KHÁCH HÀNG

Theo dõi chúng tôi

Chịu trách nhiệm nội dung:

Nguyễn Công Hà - Giám đốc Công ty TNHH TÀI LIỆU TRỰC TUYẾN VI NA

LIÊN HỆ

Địa chỉ: P402, 54A Nơ Trang Long, Phường 14, Q.Bình Thạnh, TP.HCM

Hotline: 093 303 0098

Email: support@tailieu.vn

Giấy phép Mạng Xã Hội số: 670/GP-BTTTT cấp ngày 30/11/2015 Copyright © 2022-2032 TaiLieu.VN. All rights reserved.