zunia.vn

Tuyển sinh 2024 dành cho Gen-Z

zunia.vn

» Tài Liệu Phổ Thông

» Sáng kiến kinh nghiệm

Sáng kiến kinh nghiệm: Một số kinh nghiệm khi tính tích phân hữu tỷ

Chia sẻ: Thanhbinh225p Thanhbinh225p | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:16

Báo xấu

63
lượt xem 5
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Sáng kiến kinh nghiệm: Một số kinh nghiệm khi tính tích phân hữu tỷ được viết với mục đích nhằm giúp các em hứng thú hơn, tạo cho các em niềm,đam mê, yêu thích môn Toán, mở ra một cách nhìn nhận, vận dụng linh hoạt và sáng tạo các kiến thức đã học, tạo nền tảng cho học sinh tự học.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Sáng kiến kinh nghiệm: Một số kinh nghiệm khi tính tích phân hữu tỷ

SKKN: MỘT SỐ KINH NGHIỆM KHI TÍNH TÍCH PHÂN HỮU TỶ MỘT SỐ KINH NGHIỆM KHI TÍNH TÍCH PHÂN HỮU TỶ I. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI Trong chương trình Giải tích lớp 12, bên cạnh các dạng toán quen thuộc như: Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số, các bài toán liên quan đến hàm số, phương trình và bất phương trình mũ và lôgarit, số phức... ta còn gặp nhiều bài toán tích phân và đặc biệt là tích phân hữu tỷ. Đây là một dạng toán khó đối với học sinh, khi gặp những tích phân này học sinh không biết cách giải quyết bài toán như thế nào. Trong quá trình trực tiếp giảng dạy Toán lớp 12 và nghiên cứu, tôi thấy đây là dạng toán không chỉ khó mà còn khá hay, lôi cuốn được các em học sinh khá giỏi. Nếu chúng ta biết sử dụng linh hoạt và khéo léo các phép biến đổi đại số, lượng giác ...thì có thể đưa bài toán về một bài toán quen thuộc. Với tinh thần trên, nhằm giúp các em hứng thú hơn, tạo cho các em niềm đam mê, yêu thích môn Toán, mở ra một cách nhìn nhận, vận dụng linh hoạt và sáng tạo các kiến thức đã học, tạo nền tảng cho học sinh tự học, tự nghiên cứu, tôi quyết định chọn đề tài nghiên cứu là: ’’MỘT SỐ KINH NGHIỆM KHI TÍNH TÍCH PHÂN HỮU TỶ’’ II. CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỂN 1. Cơ sở lý luận. Cung cấp cho học sinh không chỉ kiến thức mà cả phương pháp suy luận, khả năng tư duy. Từ kiến thức cơ bản phải dẫn dắt học sinh có được những kiến thức nâng cao một cách tự nhiên (chứ không áp đặt ngay kiến thức nâng cao). Trong chuyên đề chủ yếu dùng phương pháp biến đổi trực tiếp, phương pháp đổi biến số hoặc phương pháp từng phần để giải các bài toán được đặt ra. Phạm vi nghiên cứu: Đại số và giải tích 12 cơ bản và nâng cao . Khách thể nghiên cứu: Học sinh trường trung học phổ thông Sông Ray. 2. Cơ sở thực tiển: a) Thuận lợi. - Học sinh đã được trang bị kiến thức, các bài tập đã được luyện tập nhiều. - Học sinh hứng thú trong tiết học, phát huy được khả năng sáng tạo, tự học và yêu thích môn học. - Có sự khích lệ từ kết quả học tập của học sinh khi thực hiện chuyên đề. b) Khó khăn. - Giáo viên mất nhiều thời gian để chuẩn bị các dạng bài tập. Giáo viên: Trần Bá Tuấn Trang - 3
SKKN: MỘT SỐ KINH NGHIỆM KHI TÍNH TÍCH PHÂN HỮU TỶ - Nhiều học sinh bị mất kiến thức cơ bản trong đại số giải tích, không nắm vững các kiến thức về nguyên hàm và tích phân. - Đa số học sinh học yếu phần tích phân. III. TỔ CHỨC THỰC HIỆN CÁC GIẢI PHÁP. 1. Nhắc lại một số công thức nguyên hàm hay được sử dụng x 1 1 1)  x dx    C ;   1 2)  x dx  ln | x | C  1  ax  b   1 1 1   ax  b   3) dx  a(  1)  C ; a  0;   1 4)  ax  b dx  a ln | ax  b |  C; a  0 2. Các bài toán liên quan đến tích phân hữu tỷ. b f ( x) Phương pháp chung: Tính tích phân I   dx với f ( x), g ( x) là các đa thức với a g ( x) hệ số thực. Nếu deg f ( x)  deg g ( x) thì thực hiện phép chia đa thức, ta có: b b b f ( x) p ( x) f ( x) p ( x)  h( x )  ;deg P( x)  deg g ( x)   dx   h( x)dx   dx . Vì có thể dễ g ( x) q ( x) a g ( x) a a q ( x) b b b f ( x) p ( x) dàng tính được  h( x)dx nên việc tính I   dx được đưa về tính I '   dx a a g ( x) a q ( x) với deg p( x)  degq(x) , degp(x) là bậc cao nhất của đa thức p(x). 2.1 Giải pháp 1: Các bài toán tích phân hữu tỷ và mẫu số g(x) là một tam thức bậc hai. px  q n n 1 Tính tích phân I   dx hoặc I   2 dx với tam thức bậc hai m ax  bx  c m ax  bx  c 2 ax 2  bx  c có hai nghiệm phân biệt x1 ; x2 . Phương pháp chung: 1 A1 A2 - Tìm các hệ số A1 , A2 sao cho   hoặc ax  bx  c x  x1 x  x2 2 px  q A1 A2   . Xác định các hệ số A1 ; A 2 bằng phương pháp hệ số bất ax  bx  c x  x1 x  x2 2 định hoặc phương pháp gán các giá trị đặc biệt. n 1 n  A1 A2  - Tính I   dx      dx hoặc m ax  bx  c 2 m x  x1 x  x2  n px  q n  A1 A2  I  dx      dx m ax  bx  c 2 m x  x1 x  x2  Giáo viên: Trần Bá Tuấn Trang - 4
SKKN: MỘT SỐ KINH NGHIỆM KHI TÍNH TÍCH PHÂN HỮU TỶ - Dùng phương pháp hệ số bất định hoặc gán các giá trị đặc biệt thì ta xác định được các hệ số A1, A2. 0 1 Ví dụ 1: Tính tích phân sau: I   dx 1 x  3 2 x  2 1 A B Phân tích:   . Dùng phương pháp hệ số bất định hoặc x  3x  2 x  1 x  2 2 phương pháp gán các giá trị đặc biệt suy ra : A = -1 và B = 1 Giải. x2 0 0 0 0 1 1 1 4 I 1 x 2  3x  2 dx  1 x  2 1 x  1 dx  ln x  1 1  ln 3 dx  2x  3 1 Ví dụ 2: Tính tích phân sau: I   dx 0 x  3x  2 2 2x  3 A B Phân tích:   . Dùng phương pháp gán các giá trị đặc biệt ta x  3x  2 x  1 x  2 2 được A = B = 1. Giải. 2x  3 1 1 1 1 1 1 I  dx   dx   dx  ln x 2  3x  2  ln 3 0 x  3x  2 2 0 x 1 0 x2 0 2x  3 1 Nhận xét: Do  x 2  3x  2  '  2 x  3 nên I   1 dx  ln x 2  3x  2  ln 3 0 x  3x  2 2 0 2.2 Giải pháp 2: Các bài toán tích phân hữu tỷ và mẫu số g(x) là một tam thức bậc hai. n 1 Tính tích phân I   dx với tam thức bậc hai ax 2  bx  c có nghiệm kép m ax  bx  c 2 b x1  x2   . 2a Phương pháp chung: n n n 1 1 1 I  dx   dx   ax 2  bx  c  b  2  b  m m a.  x   a x    2a   2a  m 1 1 Ví dụ 1: Tính tích phân sau: I   dx 0 x  4x  4 2 Giáo viên: Trần Bá Tuấn Trang - 5
SKKN: MỘT SỐ KINH NGHIỆM KHI TÍNH TÍCH PHÂN HỮU TỶ Giải. 1 1 1 1 1 1 1 I  2 dx   dx    0  x  2 0 x  4x  4 2 x20 6 1 1 Ví dụ 2: Tính tích phân sau: I   dx 1 4 x  12 x  9 2 Giải. 1 1 1 1 1 1 2 I 2 dx   dx    1 4 x  12 x  9 1  2 x  3 2 2  2 x  3 1 5 2.3 Giải pháp 3: Các bài toán tích phân hữu tỷ và mẫu số g(x) là một tam thức bậc hai. px  q n Tính tích phân I   dx với tam thức bậc hai ax 2  bx  c có nghiệm kép m ax  bx  c 2 b x1  x2   . 2a Phương pháp chung: b pb p( x  )q px  q px  q n n n I  dx   dx   2a 2a dx  m ax  bx  c 2 2 2  b   b  a.  x  a.  x  m m    2a   2a   pb  pb n n q  n q    dx  p ln x  b p 2a 2a     b   b  2  a 2a  b  m  a.  x   a.  x    m a x     2a   2a    2a  m 2x  1 1 Ví dụ 1: Tính tích phân sau: I   dx 0 x  4x  4 2 Giải. 1  2x  1 2( x  2)  3 1 1 2 3 I  dx   dx      dx x  4x  4 2 ( x  2) 2 0  x  2  x  2 2  0 0  1 3 3  2 ln | x  2 | 0   2 ln 2  1 x20 2 Nhận xét: Ngoài trường hợp thêm bớt để được tổng các hàm số có nguyên hàm cơ bản thì bài toán trên ta có thể dung phương pháp hệ số bất định. Giáo viên: Trần Bá Tuấn Trang - 6
SKKN: MỘT SỐ KINH NGHIỆM KHI TÍNH TÍCH PHÂN HỮU TỶ 2x 1 A B   ; x  2 x  1  Bx  A  2 B; x (*) x  4 x  4 ( x  2) 2 2 x2 A  3  B  2 1 2x 1 3  1 1 2 3 3 Do đó: I   2 dx      dx  2ln | x  2 | 0   2ln 2  1 x  4x  4 0  x  2  x  2  2 x2 0 2 0  2.4 Giải pháp 4: Các bài toán tích phân hữu tỷ và mẫu số g(x) là một tam thức bậc hai. mx  n q q 1 Tính tích phân I   dx hoặc I '   2 dx với tam thức bậc hai p ax 2  bx  c p ax  bx  c ax 2  bx  c vô nghiệm . Phương pháp chung: q q 1 1 I  dx   dx p ax  bx  c p (m x  n )  h 2 2 2 Đổi biến số: mx  n | h | .tant m mb (2ax  b)  n  mx  n q q I' 2 dx   2a 2a dx p ax  bx  c ax  bx  c 2 p m mb q (2ax  b) q n q m mb  2a dx   2 2 a dx  ln | ax  bx  c |  (n  2 )I p ax  bx  c 2 p ax  bx  c 2a p 2a 1 1 Ví dụ 1: Tính tích phân sau: I   dx 0 x 1 2 Giải: dx . Đặt x  tan t  dx  1  tan 2 t dt . 1 1 I  0 x 12  Đổi cận: x  0  t  0 và x  1  t  4   1 1 4 1 4   Suy ra: I   dx   .(1  tan 2 t ).dt   1.dt  t 4  0 x 1 2 0 tan t  1 2 0 0 4 x 1 1 Ví dụ 2: Tính tích phân sau: I   dx 0 x2  1 Giải: Giáo viên: Trần Bá Tuấn Trang - 7
SKKN: MỘT SỐ KINH NGHIỆM KHI TÍNH TÍCH PHÂN HỮU TỶ x 1  1 1 1 1 1 2x 1 1 1 I  2 dx   2 dx   2 dx  ln | x 2  1 |  I  ln 2  0 x 1 2 0 x 1 0 x 1 2 0 2 4 1 1 Ví dụ 3: Tính tích phân sau: I   dx 0 x  x 1 2 Giải 1 1 I  2 1 dx   1 1 dx . Đặt x   3 .tan t  dx  3 1  tan 2 t  dt 0 x  x 1 1 3 2 2 2 0 ( x  )2  2 4   Đổi cận: x  0  t  và x  1  t  6 3 Suy ra:    3   1 3 3 1 1 3 2 3 2 3 3 I  2 dx   . 1  tan 2 t dt   dt  t  0 x  x 1 3 3 2 3 3  9  tan 2 t   6 6 4 4 6 2x  1 0 Ví dụ 4: Tính tích phân sau: I   dx 1 x  2 x  2 2 Giải 2x  1 2x  2  3 2x  2 3 0 0 0 0 I 1 x 2  2 x  2 dx  1 x 2  2 x  2 dx  1 x 2  2 x  2 dx  1 x 2  2 x  2 dx 3 3 0  ( x  1) 0  ln | x 2  2 x  2 |  dx  ln 2  . 1 1 2 1 4 Nhận xét: Việc giải tích phân bằng phương pháp đổi biến số còn phụ thuộc vào các cận của tích phân. 2.5 Giải pháp 5: Các bài toán tích phân hữu tỷ và mẫu số g(x) là một đa thức bậc lớn hơn hai. b f ( x) Tính tích phân I   dx với g ( x)   x  a1  .  x  a2  ...  x  an  a g ( x) 2x2  5x  3 3 Ví dụ 1: Tính tích phân I   dx 2 x3  x 2  2 x Phân tích: 2 x2  5x  3 A B C    ; x x  x  2x x x  1 x  2 3 2  2 x 2  5 x  3   A  B  C  x 2   A  2 B  C  x  2 A; x (*) Giáo viên: Trần Bá Tuấn Trang - 8
SKKN: MỘT SỐ KINH NGHIỆM KHI TÍNH TÍCH PHÂN HỮU TỶ Dùng phương pháp hệ số bất định (hay đồng nhất thức) ta có:  3  A 2 A  3 2   (*)   A  2 B  C  5   B  2 A  B  C  2   C  5  2 2 x2  5x  3 3 3 3 3 3 1 1 5 1 Khi đó: I   3 2 dx   dx  2 dx   dx 2 x  x  2x 22x 2 x 1 2 2 x2 3 5 3 3 5 5  ln | x | 2  2 ln | x  1 | 2  ln | x  2 | 2  ln  2 ln 2  ln 3 3 3 2 2 2 2 2 4 x3  2 7 Ví dụ 2: Tính tích phân I   dx 3 x4  5x2  4 x3  2 A B C D Phân tích: 4     ; x x  5x  4 x  1 x  2 x  1 x  2 2          x3  2  A x 2  4  x  1  B x 2  1  x  2   C x 2  4  x  1  D x 2  1  x  2  ; x (*) D ùng phương pháp gán các giá trị đặc biệt, ta có: 1 Thay x = 1 vào (*) , ta có : 6 A  3  A   2 5 Thay x = 2 vào (*) , ta có : 12 B  10  B  6 1 Thay x = – 1 vào (*) , ta có : 6C  3  C  6 1 Thay x = – 2 vào (*) , ta có : 12 D  6  D  2 Khi đó: x3  2 7 7 7 7 7 1 1 5 1 1 1 1 1 I  dx    dx   dx   dx   dx 3 x  5x  4 4 2 2 3 x 1 6 3 x2 6 3 x 1 2 3 x2 1 5 1 1 1 5 1 1 9   ln | x  1 | 3  ln | x  2 | 3  ln | x  1 | 3  ln | x  2 | 3   ln 3  ln 5  ln 2  ln 7 7 7 7 2 6 6 2 2 6 6 2 5 1 1 3  ln 6450  ln 6 2 5 2 x3  1 Ví dụ 3: Tính tích phân I   3 2 3 x  5 x  6 x dx Phân tích: Giáo viên: Trần Bá Tuấn Trang - 9
SKKN: MỘT SỐ KINH NGHIỆM KHI TÍNH TÍCH PHÂN HỮU TỶ x3  1 5x2  6 x  1  1 3 x3  5 x 2  6 x x  5x2  6 x 5x2  6 x  1 A B C Ta có:    ; x x  5x  6 x x x  2 x  3 3 2  5x2  6 x  1  A  x  2 x  3  B  x  3 x  C  x  2 x; x (*) Dùng phương pháp gán các giá trị đặc biệt, ta có: 1 Thay x = 0 vào (*) , ta có : 6 A  1  A  6 9 Thay x = 2 vào (*) , ta có : 2 B  9  B   2 28 Thay x = 3 vào (*) , ta có : 3C  28  C  3 Khi đó: 2 2 x3  1  5x2  6 x  1  I 3 dx   1  3  dx 3 x  5 x  6 x x  5x2  6 x  2 3  2 2 2 2 1 1 9 1 28 1   1dx   dx   dx   dx 3 6 3 x 2 3 x  2 3 3 x  3 2 1 2 9 2 28 2 1 2 9 4 28 5  x 3  ln | x | 3  ln | x  2 | 3  ln | x  3 | 3  1  ln  ln  ln 6 2 3 6 3 2 5 3 6 2.6 Giải pháp 6: Các bài toán tích phân hữu tỷ và mẫu số g(x) là một đa thức bậc lớn hơn hai. Tính tích phân: b f ( x) I  dx ;với g ( x)   x  a1  .  x  a2  ...  x  ai 1  x  ai   x  ai 1  ...  x  an  k a g ( x) 3x 2  3x  3 0 Ví dụ 1: Tính tích phân I   3 dx 1 x  3 x  2 Phân tích: 3x 2  3x  3 A B C Ta có: 3    ; x x  3x  2 ( x  1) 2 x 1 x  2  3x 2  3x  3  A  x  2   B  x  1 ( x  2)  C  x  1 ; x (*) 2 Dùng phương pháp gán các giá trị đặc biệt, ta có: Thay x = 1 vào (*) , ta có : 3A  9  A  3 Thay x = -2 vào (*) , ta có : 9C  9  C  1 Giáo viên: Trần Bá Tuấn Trang - 10
SKKN: MỘT SỐ KINH NGHIỆM KHI TÍNH TÍCH PHÂN HỮU TỶ Thay x = 0 vào (*) , ta có : 2 A  2B  C  3  B  2 3x 2  3x  3 0 Khi đó: I  1 x3  3x  2 dx 3 0 0 0 0 1 1 1 3  3 dx  2  dx   0 0 dx   2ln x  1 1  ln x  2   ln 2 1 ( x  1) 2 1 x 1 1 x2 x  1 1 1 2 4x  4 0 Ví dụ 2: Tính tích phân I   dx 1 ( x  4 x  3) 2 2 Ta có: 4x  4 A B C D     ; x ( x  4 x  3) 2 2 x  1 ( x  1) 2 x  3 ( x  3) 2  4 x  4  A  x  1 x  3  B  x  3  C  x  1  x  3  D  x  1 ; x (*) 2 2 2 2 Dùng phương pháp gán các giá trị đặc biệt, ta có: Thay x = 1 vào (*) , ta có : 4B  8  B  2 Thay x = 3 vào (*) , ta có : 4D  16  D  4 Thay x = 2 vào (*) , ta có : A  B  C  D  12  A  C  6 Thay x = 0 vào (*) , ta có : 9 A  9B  3C  D  4  3A  C  6 Suy ra: A = 3 và C = – 3 0 4x  4 0  3 2 3 4  Khi đó: I   dx        dx 1 ( x  4 x  3) 2 2 1  x  1 ( x  1) 2 x  3 ( x  3) 2  0 x 1 0 0 2 4 2 4  3ln    3ln  x 3 1 x  1 1 x  3 1 3 3 2.7 Giải pháp 7: Các bài toán tích phân hữu tỷ và mẫu số g(x) là một đa thức bậc lớn hơn hai. b f ( x) Tính tích phân I   dx a g ( x) với g ( x)   x  a1  .  x  a2  ...  x  ai 1   x 2  mx  l  ...  x  an  ;  m 2  4l  0  x2  1 1 Ví dụ 1: Tính tích phân I   dx 0 x4  x2  1 Ta có: x 4  x 2  1  x 4  2 x 2  1  x 2   x 2  1  x 2   x 2  x  1 x 2  x  1 2 Nên: Giáo viên: Trần Bá Tuấn Trang - 11
SKKN: MỘT SỐ KINH NGHIỆM KHI TÍNH TÍCH PHÂN HỮU TỶ x2  1 Ax  B Cx  D  2  2 ; x x  x 1 x  x 1 x  x 1 4 2     x 2  1   Ax  B  x 2  x  1   Cx  D  x 2  x  1 ; x (*)   x2  1   A  C  x3    A  B  C  D  x2   A  B  C  D  x  B  D; x (*) Dùng phương pháp hệ số bất định, ta có: A  C  0 A  C  0 A  0  A  B  C  D  1 C  D  1 / 2 B  1 / 2       A  B  C  D  0 D  B  0 C  0  B  D  1  B  D  1  D  1 / 2 Khi đó: x2  1 1 1 1 1/ 2 1/ 2 I  dx   2 dx   2 dx  I1  I 2 0 x  x 1 4 2 0 x  x  1 0 x  x  1 1 1/ 2 Tính: I1   dx 0 x  x 1 2 Giải 1 1 1 I1   2 1 2 0 x  x 1 1 dx   20 1 1 2 3 1 dx .Đặt x   2 2 3 .tan t  dx  2 3 1  tan 2 t  dt (x  )  2 4   Đổi cận: x  0  t  và x  1  t  6 3 Suy ra:    3 1 3 3 I1  1  1 2 0 x  x 1 2 dx  1  2 3 2 1 3 2 3 1  tan 2 t dt   3 3  1.  dt  3 3 t  3  18 tan t  6 6 4 4 6 1 1/ 2 Tính: I 2   dx 0 x  x 1 2 Giải 1 1 I2  1  1 2 0 x  x 1 2 1 dx   20 1 1 3 1 dx .Đặt x   2 2 3 .tan t  dx  2 3 1  tan 2 t  dt ( x  )2  2 4   Đổi cận: x  0  t   và x  1  t  6 6 Suy ra: Giáo viên: Trần Bá Tuấn Trang - 12
SKKN: MỘT SỐ KINH NGHIỆM KHI TÍNH TÍCH PHÂN HỮU TỶ    3 1 6 3 6 1 I2   2 1 2 0 x  x 1 dx  1 2  3 2 1 3 2 3 1  tan 2 t dt    3  1.dt  3 6 t  3  9  tan t  6 6 4 4 6 3 Vậy I  I1  I 2  6 x2  1 1 Ví dụ 2: Tính tích phân I   dx 0 x4  1 Ta có: x4  1  x4  2 x2  1  2 x2   x2  1  2 x2   x2  2 x  1 x2  2 x  1 2 x2  1 Ax  B Cx  D Phân tích: 4  2  2 ; x x  1 x  2x  1 x  2x  1   x 2  1   Ax  B  x 2  2 x  1   Cx  D  x 2  2 x  1 ; x    x 2  1   A  C  x3   A 2  B  C 2  D x 2  A  B 2  C  D 2 x  B D; x    Dùng phương pháp hệ số bất định, ta có:  2 A    2 A  C  0   1  B   A 2  B  C 2  D  1  2   A  B 2  C  D 2  0 C  2  B  D  1  2   D   1  2 Khi đó: x2  1 2x  2 2x  2 1 1 1 2 2 I  dx  x dx  x dx 0 x 1 4 4 0 2  2x  1 4 0 2  2x  1 1 2  x2  2 x  1  1  4 2  ln x 2  2 x  1  ln x 2  2 x  1    ln 2   4  x  2 x  1  4 2 ln 3  2 2   0 0 2.8 Giải pháp 8: Các bài toán tích phân hữu tỷ và mẫu số g(x) là một đa thức bậc lớn hơn hai. b f ( x) Tính tích phân I   dx a g ( x) với g ( x)   x  a1  .  x  a2  ...  x  ai 1   x 2  mx  l  ...  x  an  ;  m 2  4l  0  k Giáo viên: Trần Bá Tuấn Trang - 13
SKKN: MỘT SỐ KINH NGHIỆM KHI TÍNH TÍCH PHÂN HỮU TỶ 2 x 2  18 5 Ví dụ 1: Tính tích phân I   dx x  2 1 2  6 x  13 2 x 2  18 Ax  B Cx  D Ta có:   ; x x  x  x  6 x  13 2 2 2 2  6 x  13 2  6 x  13  2 x 2  18   Ax  B    Cx  D  x 2  6 x  13 ; x (*)    2 x2  18  Cx3   6C  D  x2   A  13C  6D  x  B  13D; x Dùng phương pháp hệ số bất định, ta có: C  0  A  12 6C  D  2  B  8      A  13C  6 D  0 C  0  B  13D  18  D  2 Khi đó: 2 x 2  18 12 x  8 5 5 5 2 I  dx   dx   dx x  x  x  6 x  13 2 2 2 1 2  6 x  13 1 2  6 x  13 1 2x  6 5 5 5 1 2  6 dx  28 dx   dx x  1  x  3 2 2 2 1 2  6 x  13 1  x  3  2  4  4    I1  I 2  I3 5 2x  6  6  5 Với I1  6 dx   2  0 x   x  6 x  13  1 2 1 2  6 x  13 5 dx . Đặt x  3  2 tan t  dx  2 1  tan 2 t  dt 1 I 2  28 2 1  x  3   4  2     Đổi cận: x  1  t   và x  5  t  4 4      4 4 4 1 7 7 I 2  28    4 tan 2 t  4  2 .2 1  tan 2 t dt  2  cos 2 tdt  4  1  cos 2t  dt    4 4 4  7 1 4 7    t  sin 2t      1 4 2  4 2  4 5 dx . Đặt x  3  2 tan t  dx  2 1  tan 2 t  dt 1 I 3  2  x  3 2 1 4 Giáo viên: Trần Bá Tuấn Trang - 14
SKKN: MỘT SỐ KINH NGHIỆM KHI TÍNH TÍCH PHÂN HỮU TỶ   Đổi cận: x  1  t   và x  5  t  . 4 4       4 4 1 I3  2  .2 1  tan 2 t dt   1dt  t 4   4 tan t  4 2   4 2   4 4 11 7 Vậy I  I1  I 2  I 3   8 4 2 x 2  2 x  13 1 Ví dụ 2: Tính tích phân I   dx  x  2   x 2  1 2 0 2 x 2  2 x  13 A Bx  C Dx  E Phân tích:    2 ; x  x  2   x 2  1 x2  x 1  2 2 x2  1    2 x 2  2 x  13  A x 2  1   Bx  C  x  2    Dx  E  x 2  1  x  2  ; x (*)    2 x 2  2 x  13   A  D  x 4   2D  E  x3   2 A  B  D  2E  x 2   2B  C  2D  E  x  A  2C  2E; x Dùng phương pháp hệ số bất định, ta có: A  D  0 A  1 2 D  E  0  B  3    2 A  B  D  2 E  2  C  4 2 B  C  2 D  E  2  D  1    A  2C  2 E  13  E  2 Khi đó: 2 x 2  2 x  13 3x  4 x2 1 1 1 1 1 I  dx   dx   dx   2 dx 0  0  x  2   x 2  1 2 x  2 0 x 1 2 2 0 x 1   1 1 1 1 1 1 3 2x 4 1 2x 1  dx   dx   dx   2 dx  2 2 dx 0  x  2 2 0 x2  1 2 0 x 1 2  2 2 0 x 1  0 x 1   1 1 1 3 1 1 1 4 1  dx  2 2 1  ln x  2 0   ln x 2  1 dx 2 x 1 0 2 0 x 1   2 2 0 x 1 0 2 3 1 3 3   ln 2   ln 2  I1  I 2   ln 2   I1  I 2 4 2 2 4 1 dx . Đặt x  tan t  dx  1  tan 2 t  dt . 4 Tính I1   x  2 0 2 1 Giáo viên: Trần Bá Tuấn Trang - 15
SKKN: MỘT SỐ KINH NGHIỆM KHI TÍNH TÍCH PHÂN HỮU TỶ  Đổi cận: x  0  t  0 và x  1  t  4    1  tan 2 t  dt   4cos2 tdt   2 1  cos 2t  dt 4 4 4 4 Suy ra: I1    tan t  1 2 2 0 0 0   2   2t  sin 2t  04  2 1 dx . Đặt x  tan t  dx  1  tan 2 t  dt . 1 Tính I 2  2 0 x 12  Đổi cận: x  0  t  0 và x  1  t  4       4 4 2 Suy ra: I 2   1  tan 2 t dt   2 dt  2t 4  0 tan t  1 2 0 0 2 3 3 3 7 Vậy: I   ln 2   I1  I 2   ln 2    2 4 2 4 2.9 Các bài tập áp dụng Tính các tích phân sau: 1 2 4 1 1 1 1) I   dx 2) I   dx 3) I   dx 0 9x  6x  1 2 0 x  2x  2 2 2 x  2x2  x 3 1 1 5 x 1 x2  1 2 3 1 2 2 x 4) I   dx 5) I   4 dx 6) I   dx 0 x2  1 0 x 1 1 x4  x2  1 x3  2 x 2 2 x 2  8 x  10 x 4  5 x 2  3x  7 2 1 0 7) I   2 dx 8) I   3 dx 9) I   3 dx 0 x  4x  5 0 x  x  4x  4 1 x  x  4 x  4 2 2 x 4  8 x3  x  1 x3  3x 2  x  6 0 1 0 x 10) I   dx 11) I   dx 12) I   dx x  x  x  2 2 2 1 2  4x  3 0 2  5x  6 1 2  2x  1 2 2 2 1 x4 1 13) I   dx 14) I   4 dx 15) I  x dx 1  x x 1 3  1 2x  5x  3 2 2 5  x2 x4  1 2 x 2  5 x  17 4x  3 2 1 1 16) I   6 dx 17) I   dx 18) I   dx 1 x 1 x   x  1  x 2  3x  5  2 2 0 2  x 1 0 IV. HIỆU QUẢ CỦA ĐỀ TÀI Chuyên đề này đã được thực hiện giảng dạy khi tôi tham gia dạy lớp 12 cơ bản, 12 nâng cao và luyện thi Đại học. Trong quá trình học chuyên đề này, học Giáo viên: Trần Bá Tuấn Trang - 16
SKKN: MỘT SỐ KINH NGHIỆM KHI TÍNH TÍCH PHÂN HỮU TỶ sinh thực sự thấy tự tin, biết vận dụng khi gặp các bài toán liên quan, tạo cho học sinh niềm đam mê, yêu thích môn Toán, mở ra cho học sinh cách nhìn nhận, vận dụng linh hoạt và sáng tạo các kiến thức đã học, tạo nền tảng cho học sinh tự học, tự nghiên cứu. Kết quả của việc dạy học thực nghiệm lớp 12A1 với lớp dạy không thực nghiệm 12A4 như sau: Đề ra: Tính các tích phân sau: 4x  3 1 1 1 4 3 a) I   x 4 2 dx b) I  1 x 2  4 x  4dx c) I   2 x  3x  4 2 dx 0 0 3x 2  x  2 x 4 1 x 4  8x 3  x 1 3 2 1 d )I   dx e) I   6 dx f )I   2 dx x2 1 1 x 1 0 ( x  5 x  6) 2 1 Kết quả của lớp dạy thực nghiệm 12A1 là Điểm 0 1 2 3 4 5 6 7 8,5 9 10 Số 2 5 7 15 11 1 lượng Kết quả của lớp không dạy thực nghiệm 12A4 là Điểm 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Số 5 6 4 8 4 3 lượng Dựa vào kết quả khảo sát thực nghiệm, ta thấy rằng ở lớp dạy thực nghiệm của lớp 12A1 thì tỉ lệ học sinh đạt điểm trung bình trở lên là 39/41 chiếm tỉ lệ 95,12%. Đặc biệt tỉ lệ học sinh đạt điểm giỏi khá cao. Trong khi đó, ở lớp không dạy thực nghiệm 12A4 thì tỉ lệ học sinh đạt điểm từ trung bình rất thấp, chỉ có 7/30 chiếm tỉ lệ 23,33%, không có học sinh nào đạt điểm khá và giỏi. Qua đó giúp tôi tự tin hơn khi thực hiện đề tài này. V. KẾT LUẬN Dạng toán tích phân nói chung và tích phân hữu tỷ nói riêng rất đa dạng và phong phú. Mỗi bài toán có nhiều cách giải khác nhau, việc lựa chọn sử dụng linh hoạt các kiến thức đã học sẽ làm cho học sinh phát triển tư duy sáng tạo. Chuyên đề này chỉ mang tính chất gợi mở cung cấp cho học sinh cách nhìn mới, phát huy sự sáng tạo. Để đạt được kết quả cao học sinh cần luyện tập nhiều, có thêm nhiều thời gian để sưu tầm các tài liệu tham khảo liên quan. Giáo viên: Trần Bá Tuấn Trang - 17
SKKN: MỘT SỐ KINH NGHIỆM KHI TÍNH TÍCH PHÂN HỮU TỶ Bằng một chút vốn hiểu biết và kinh nghiệm giảng dạy một số năm, tôi đã hệ thống được một số kiến thức liên quan, sưu tầm và tích lũy được một số bài toán phù hợp theo mức độ từ dễ đến khó để cho học sinh tham khảo tự giải. Một bài toán có thể có rất nhiều cách giải, song việc tìm ra một lời gải hợp lý, ngắn gọn thú vị và độc đáo là một việc không dễ. Giáo viên trước hết phải cung cấp cho học sinh nắm chắc các kiến thức cơ bản sau đó là cung cấp cho học sinh cách nhận dạng bài toán, thể hiện bài toán từ đó học sinh có thể vận dụng linh hoạt các kiến thức cơ bản, phân tích tìm ra hướng giải quyết bài toán tạo cho học sinh tác phong tự học, tự nghiên cứu. Trong khuôn khổ thời gian có hạn, tôi cũng chỉ đưa ra được các ví dụ, các bài toán điển hình. Rất mong sự đóng góp ý kiến của các độc giả và đồng nghiệp để chuyên đề này ngày càng được đầy đủ và hoàn thiện hơn. VI. TÀI LIỆU THAM KHẢO [1]. Trần Văn Hạo (Tổng chủ biên) – Vũ Tuấn (Chủ biên) – Lê Thị Thiên Hương – Nguyễn Tiến Tài – Cấn Văn Tuất (2008). Đại số và giải tích 12 (cơ bản), NXB Giáo dục . [2]. Đoàn Quỳnh (Tổng chủ biên) - Nguyễn Huy Đoan (Chủ biên) - Nguyễn Xuân Liêm – Đặng Hùng Thắng (2008). Đại số và giải tích 12 (nâng cao), NXB Giáo dục [3]. Trần Phương (2010). Tuyển tập các chuyên đề và kỹ thuật tính tích phân, NXB Đại học quốc gia Hà Nội . [4]. Phan Huy Khải (2010). Tuyển tập các chuyên đề luyện thi đại học, NXB Đại học quốc gia Hà Nội Sông Ray, ngày 19 tháng 5 năm 2015 Người thực hiện Trần Bá Tuấn Giáo viên: Trần Bá Tuấn Trang - 18

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

THÔNG TIN

TRỢ GIÚP

HỖ TRỢ KHÁCH HÀNG

Theo dõi chúng tôi

Chịu trách nhiệm nội dung:

Nguyễn Công Hà - Giám đốc Công ty TNHH TÀI LIỆU TRỰC TUYẾN VI NA

LIÊN HỆ

Địa chỉ: P402, 54A Nơ Trang Long, Phường 14, Q.Bình Thạnh, TP.HCM

Hotline: 093 303 0098

Email: support@tailieu.vn

Giấy phép Mạng Xã Hội số: 670/GP-BTTTT cấp ngày 30/11/2015 Copyright © 2022-2032 TaiLieu.VN. All rights reserved.