Sáng kiến kinh nghiệm: Một số phương pháp xác định công thức tổng quát của dãy số và xây dựng bài toán về dãy số

Chia sẻ: Hòa Phát | Ngày: | Loại File: DOC | Số trang:21

Thêm vào BST

Báo xấu

72
lượt xem 3
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Mục tiêu của sáng kiến kinh nghiệm này nhằm xác định công thức tổng quát của một số dãy số , từ đó có áp dụng vào một số bài toán cụ thể . Qua đó, người đọc có thể trang bị thêm cho mình phương pháp xác định công thức tổng quát của dãy số. Đặc biệt các thầy cô có thể tự kiểm tra kết quả và xây dựng cho mình một lớp các bài toán về dãy số được trình bày trong đề tài.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Sáng kiến kinh nghiệm: Một số phương pháp xác định công thức tổng quát của dãy số và xây dựng bài toán về dãy số

ĐẶT VẤN ĐỀ Trong chương trình toán học THPT các bài toán liên quan đến dãy số là một phần quan trọng của đại số và giải tích lớp 11 , Học sinh thường phải đối mặt với nhiều dạng toán khó liên quan đến vấn đề này và gặp khó khăn trong vấn đề xác định công thức số hạng tổng quát của dãy số. Đặc biệt ở một số lớp bài toán khi đã xác định được công thức tổng quát của dãy số thì nội dung của bài toán gần như được giải quyết Để đáp ứng được một phần đề tài “ Xác định công thức tổng quát của dãy số “ và kết hợp với sự tiếp cận “ Lý thuyết phương trình sai phân “ qua một số chuyên đề mà bản thân tác giả đã được học Nội dung của đề tài nhằm cung cấp một số phương pháp cơ bản xác định công thức tổng quát của dãy số và có sự phân loại ở một số lớp bài toán . Đây cũng là đề tài và bài giảng mà tác giả đã dạy cho học sinh , đặc biệt là học sinh khá giỏi và lớp chọn, là tài liệu học sinh và đồng nghiệm tham khảo Trong đề tài này tác giả đã sử dung một số kết quả có tính hệ thống của ‘ Lý thuyết phương trình sai phân “ . Tuy nhiên những vấn đề áp dụng kiến thức toán học hiện đại chỉ dừng lại ở một số trường hợp đặc biệt và giới hạn trong trường số thực . Giới hạn của đề tài chỉ dừng lại ở việc xác định công thức tổng quát của một số dãy số , từ đó có áp dụng vào một số bài toán cụ thể . Qua đó, người đọc có thể trang bị thêm cho mình phương pháp xác định công thức tổng quát của dãy số. Đặc biệt các thầy cô có thể tự kiểm tra kết quả và xây dựng cho mình một lớp các bài toán về dãy số được trình bày trong đề tài 1
MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP XÁC ĐỊNH CÔNG THỨC TỔNG QUÁT CỦA DÃY SỐ VÀ XÂY DỰNG BÀI TOÁN VỀ DÃY SỐ A. PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN TUYẾN TÍNH CẤP MỘT Phương trình sai phân tuyến tính cấp một là phương trình sai phân dạng u1 = α , a.un+1 + b.un = f n , n N * trong đó a,b, α là các hằng số ,a # 0 và f n là biểu thức của n cho trước Dạng 1 Tìm un thoả mãn điều kiện u1 = α , a.un +1 + b .un = 0 (1.1) trong đó a, b, α cho trước n N * Phương pháp giải Giải phương trình đặc trưng a.λ + b = 0 để tìm λ Khi đó un = qλ n (q là hằng số ) , trong đó q được xác định khi biết u1 = α Bài toán 1: Xác định số hạng tổng quát của cấp số nhân, biết số hạng đầu tiên bằng 1 và công bội bằng 2 Bài giải Ta có un +1 = 2 un , u1 = 1 (1.2) 2
Phương trình đặc trưng có nghiệm λ = 2 Vậy un = c.2n . Từ u1 = 1 suy ra 1 c = Do đó un = 2n −1 2 Dạng 2 Tìm un thoả mãn điều kiện u1 = α , a un +1 + bu n = f n , n N * (2 .1) trong đó f n là đa thức theo n Phương pháp giải Giải phương trình đặc trưng a.λ + b = 0 ta tìm được λ Ta có un = un0 + un* Trong đó un0 là nghiệm của phương trình thuần nhất (1.1) và un* là nghiệm riêng tuỳ ý của phương trình không thuần nhất (2.1) Vậy un0 = q.λ n q là hằng số sẽ được xác định sau Ta xác định un* như sau : 1) Nếu λ #1 thì un* là đa thức cùng bậc với f n 2) Nếu λ =1 thì un* = n.g n với g n là đa thức cùng bậc với f n Thay un* vào phương trình, đồng nhất các hệ số ta tính được các hệ số của un* Bài toán 2: Tìm un thoả mãn điều kiện u1 = 2; un+1 = un + 2n, n N * (2.2) Bài giải Phương trình đặc trưng λ − 1 = 0 có nghiệm λ = 1 Ta có un = un0 + un* trong đó un0 = c.1n = c, un* = n ( an + b ) Thay un* và phương trình (2.2) ta được ( n + 1) � a ( n + 1) + b � � �= n ( an + b ) + 2n (2.3) thay n=1và n=2 vào (2.3) ta được hệ phương trình sau 3
3a + b = 2 � �a =1 � � 5a + b = 4 � b = −1 � Do đó un = n ( n − 1) Ta có un = un + un = c + n ( n − 1) Vì u1 = 2 nên 2 = c + 1( 1 − 1) � c = 2 0 * Vậy un = 2 + n ( n − 1) , hay un = n − n + 2 2 Dạng 3 Tìm un thoả mãn điều kiện u1 = α , a.un +1 + bun = v.µn , n N * (3.1) trong đó f n là đa thức theo n Phương pháp giải Giải phương trình đặc trưng a.λ + b = 0 ta tìm được λ Ta có un = un0 + un* Trong đó un0 = c.λ n , c là hằng số chưa được xác định , un* được xác định như sau : 1) Nếu λ # µ thì un* = A.µ n 2) Nếu λ = µ thì un* = A.n.µ n Thay un* vào phương trình (3.1) đồng nhất các hệ số ta tính được các hệ số của un* . Biết u1 , từ hệ thức un = un0 + un* , tính được c Bài toán 3: Tìm un thoả mãn điều kiện u1 = 1; un +1 = 3.un + 2n , n N * (3.2) Bài giải Phương trình đặc trưng λ − 3 = 0 có nghiệm λ = 3 Ta có un = un0 + un* trong đó un0 = c.3n , un* = a.2n Thay un* = a.2n vào phương trình (3.2) , ta thu được a.2n+1 = 3a.2n + 2n � 2a = 3a + 1 � a = −1 Suy ra un = −2n Do đó un = c.3n − 2n vì u1 = 1 nên c=1 Vậy un = 3n − 2n 4
Dạng 4 Tìm un thoả mãn điều kiện u1 = α , a.un +1 + bun = f1n + f 2 n , n N * (4.1) Trong đó f1n là đa thức theo n và f 2 n = v.µ n Phương pháp giải Ta có un = un0 + u1*n + u2*n Trong đó un0 là nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất aun+1 + bun = 0 , un* là một nghiệm riêng của phương trình không thuần nhất a.un+1 + b.un = f1n , u2n * là nghiệm riêng bất kỳ của phương trình không thuần nhất a.un+1 + b.un = f 2 n Bài toán 4: Tìm un thoả mãn điều kiện u1 = 1; un +1 = 2un + n 2 + 3.2 n , n N * (4.2) Bài giải Phương trình đặc trưng λ − 2 = 0 có nghiệm λ = 2 Ta có un = un0 + u1*n + u2*n trong đó un0 = c.2n , un* = a.n 2 + b.n + c , u2*n = An.2n Thay un* vào phương trình un+1 = 2.un + n 2 , ta được a ( n + 1) + b ( n + 1) + c = 2an 2 + 2bn + 2c + n 2 2 Cho n=1 , n=2 ta thu được hệ phương trình �2a − c = 1 �a = −1 � � �a −b−c = 4 b = −2 �� 2a + 2b + c = −9 � c = −3 � � Vậy u1*n = − n 2 − 2n − 3 thay u2n * vào phương trình un+1 = 2.un + 3.2n Ta được 3 A ( n + 1) 2n+1 = 2 An.2 n + 3.2n � 2 A ( n + 1) = 2 An + 3 � A = 2 Vậy 5
3 u2*n = n.2n = 3n.2n −1 2 Do đó un = c.2 + ( −n − 2n − 3) + 3n.2 . Ta có u1 = 1 nên n 2 n −1 1 = 2c − 2 + 3 � c = 0 Vậy un = 3n.2n−1 − n 2 − 2n − 3 B. PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN TUYẾN TÍNH CẤP HAI Phương trình sai phân tuyến tính cấp một là phương trình sai phân dạng u1 = α , u2 = β , a.un+1 + bun + c.un−1 = f n , n N * trong đó a,b,c, α , β là các hằng số , a # 0 và f n là biểu thức của n cho trước (NX: Phương trình đặc trưng của phương trình sai phân tuyến tính cấp hai luôn có hai nghiệm kể cả nghiệm phức, song nội dung của đề tài chỉ dừng lại trong trường số thực , tức là chỉ xét nghiệm thực ) Dạng 1 Tìm un thoả mãn điều kiện u1 = α , u2 = β , a un +1 + bun + c.un−1 = 0, n N * (5.1) Phương pháp giải Giải phương trình đặc trưng a.λ 2 + b.λ + c = 0 tìm λ Khi đó 1) Nếu λ1 , λ2 là hai nghiệm thực khác nhau thì un = A.λ1n + B.λ2n , trong đó A và B được xác định khi biết u1 , u2 2) Nếu λ1 , λ2 là hai nghiệm kép λ1 = λ2 = λ thì un = ( A + Bn ) .λ , n trong đó A và B được xác định khi biết u1 , u2 Bài toán 5: Tìm un thoả mãn điều kiện sau u0 = 1, u1 = 16, un + 2 = 8.un+1 − 16.un (5.1) 6
Bài giải Phương trình đặc trưng λ 2 − 8λ + 16 = 0 có nghiệm kép λ = 4 Ta có un = ( A + B.n ) .4n (5.2) Cho n=0 , n=1 thay vào (5.2) ta thu được hệ phương trình u0 = 1 = A A =1 � � u1 = ( 1 + B ) .4 = 16 B=3 Vậy un = ( 1 + 3n ) .4 n Dạng 2 Tìm un thoả mãn điều kiện u1 = α , u2 = β , a.un+1 + b.un + c.un −1 = f n , n 2, (6.1) trong đó a # 0, f n là đa thức theo n cho trước Phương pháp giải Giải phương trình đặc trưng a.λ 2 + b.λ + c = 0 để tìm λ . Khi đó ta có un = un0 + un* , trong đó un0 là nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất a.un+1 + b.un + c.un −1 = 0 và un* là một nghiệm tuỳ ý của phương trình a.un+1 + b.un + c.un −1 = f n Theo dạng 1 ta tìm được un0 , trong đó hệ số A, B chưa được xác định , un* được xác định như sau : 1) Nếu λ #1 thì un* là đa thức cùng bậc với f n 2) Nếu λ = 1 là nghiệm đơn thì un* = n.g n , g n là đa thức cùng bậc với fn 3) Nếu λ = 1 là nghiệm kép thì un* = n.2 g n , g n là đa thức cùng bậc với fn , 7
Thay un* vào phương trình , đồng nhất các hệ số, tính được các hệ số của un* . Biết u1 , u2 từ hệ thức un = un0 + un* tính được A, B Bài toán 6: Tìm un thoả mãn điều kiện u1 = 1; u2 = 0, un +1 − 2un + un−1 = n + 1, n 2 (6.2) Bài giải Phương trình đặc trưng λ 2 − 2λ + 1 = 0 có nghiệm kép λ = 1 Ta có un = un0 + un* trong đó un = ( A + B.n ) .1 = A + Bn, un = n ( a.n + b ) 0 n * 2 Thay un* vào phương trình (6,2) , ta được ( n + 1) a ( n + 1) + b � �− 2n ( a.n + b ) + ( n − 1) � a ( n − 1) + b � 2 2 � �= n + 1 2 � � Cho n=1 , n=2 ta thu được hệ phương trình 1 4 ( 2a + b ) − 2 ( a + b ) = 2 a= � � 6 � � 9 ( 3a + b ) − 8 ( 2a + b ) + ( a + b ) = 3 1 b= 2 �n 1 � Vậy un* = n 2 � + � �6 2 � Do đó �n 1 � un = un0 + un* = A + Bn + n 2 � + � �6 2 � Mặt khác 1 1 A + B + + =1 A=4 � 6 2 � � � −11 �A + 2 B + 4 �1 1� � + �= 0 �B = 3 �3 2 � Vậy 11 �n 1 � un = 4 − n + n2 � + � 3 �6 2 � Dạng 3 8
Tìm un thoả mãn điều kiện u1 = α , u2 = β , aun +1 + bun + c.un −1 = d .µ n , n 2 (7.1) Phương pháp giải Giải phương trình đặc trưng a.λ 2 + b.λ + c = 0 để tìm λ Khi đó ta có un = un0 + un* , trong đó un0 được xác định như dạng 1 và hệ số A và B chưa được xác định, un* được xác định như sau 1) Nếu λ # µ thì un* = k .µ n 2) Nếu λ = µ là nghiệm đơn thì un* = k .nµ n 3) Nếu λ = µ là nghiệm kép thì un* = k .n.2 µ n Thay un* vào phương trình , dùng phương pháp đồng nhất thức các hệ số sẽ tính được hệ số k . Biết u1 , u2 từ hệ thức un = un0 + un* tính được A,B Bài toán 7: Tìm un thoả mãn điều kiện u1 = 0; u2 = 0, un +1 − 2un + u n−1 = 3.2 n , n 2 Bài giải Phương trình đặc trưng λ 2 − 2λ + 1 = 0 có nghiệm kép λ = 1 Ta có un = un0 + u1*n trong đó un = ( A + B.n ) .1 = A + Bn, un = k .2 0 n * n Thay un* vào phương trình , ta được k .2n+1 − 2k .2n + k .2n −1 = 3.2 n � k = 6 Vậy un* = 6.2n = 3.2n+1 . Do đó un = un0 + un* = A + bn + 3.2n +1 . (1) Thay u1 = 1, u2 = 0 vào phương trình ta thu được 1 = A + B + 12 � �A = 2 � � 0 = A + 2 B + 24 � �B = −13 Vậy un = 2 − 13n + 3.2n +1 Dạng 4 9
Tìm un thoả mãn điều kiện u1 = α , u2 = β , aun+1 + bun + c.un−1 = f n + g n , n 2 (8.1) trong đó a # 0 , f n là đa thức theo n và g n = v.µ n Phương pháp giải Ta có un = un0 + u1*n + u2*n trong đó un0 là nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất a un +1 + bun + c.un −1 = 0 , u1n* là nghiệm riêng tùy ý của phương trình không thuần nhất aun +1 + bun + c.un −1 = f n u2n * là nghiệm riêng tùy ý của phương trình không thuần nhất a un +1 + bun + c.un−1 = g n Bài toán 8: ( Đề thi OLYPIC 30 4 Toán 11 Lần thứ VIII 2002 ) Tìm un thoả mãn điều kiện u1 = 0; u2 = 0, un+1 − 2un − 3un−1 = n + 2 n , n 2 (8.2) Bài giải Phương trình đặc trưng λ 2 − 2λ − 3 = 0 có nghiệm λ1 = −1, λ2 = 3 Ta có un = un0 + u1*n + u2*n trong đó un0 = A ( −1) + B.3n , u1*n = a + bn, u2*n = k .2n n Thay u1n* vào phương trình un +1 − 2un − 3un−1 = n , ta được a ( n + 1) + b − 2 ( an + b ) − 3 � a ( n − 1) + b � � �= n � ( 4a + 1) n − 4 ( a − b ) = 0 Vậy 1 a=b=− 4 Do đó −1 un* = ( n + 1) 4 10
Thay u2n * vào phương trình un +1 − 2un − 3u n−1 = 2 n , ta được 2 k .2n+1 − 2.k .2n = 3.k .2n −1 = 2n � k = − 3 Do đó 2 1 u2*n = − .2n = − .2n+1 3 3 Vậy 1 1 un = un0 + u1*n + u2*n = A ( −1) + B.3n − ( n + 1) − .2n+1 (8.3) n 4 3 Ta thay u1 = 1, u2 = 0 vào (8.3) ta được hệ phương trình � 1 4 � 61 �− A + 3B − − = 1 �A=− � 2 3 � 48 � � �A + 9 B − 3 − 8 = 0 �B = 25 � 4 3 � 48 Vậy 61 25 1 1 .( −1) + .3n − .( n + 1) − .2 n+1 n un = − 48 48 4 3 C. PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN TUYẾN TÍNH CẤP BA Phương trình sai phân tuyến tính cấp ba là phương trình sai phân dạng u1 = α , u2 = β , u3 = γ , a.un + 2 + bun+1 + c.un + d .un−1 = f n , n 2 (a.1) trong đó a,b,c, d, α , β , γ là các hằng số , a # 0 và f n là biểu thức của n cho trước (NX: Phương trình đặc trưng của phương trình sai phân tuyến tính cấp ba luôn có ba nghiệm kể cả nghiệm phức, song nội dung của đề tài chỉ dừng lại trong trường số thực , tức là chỉ xét nghiệm thực ) Phương pháp giải 11
Nghiệm tổng quát của phương trình sai phân tuyến tính cấp ba có dạng un = un0 + un* , trong đó un0 là nghiệm tổng quát ủa phương trình tuyến tính thuần nhất, un* là một nghiệm riêng của phương trình tuyến tính không thuần nhất Xét phương trình đặc trưng aλ 3 + bλ 2 + cλ + d = 0 (a.2) 1) Xác định công thức nghiệm tổng quát của phương trình sai phân tuyến tính cấp ba thuần nhất a) Nếu (a.2) có ba nghiệm thực λ1 , λ2 , λ3 phân biết thì un0 = a1 .λ1n + a2 .λ2n + a3 .λ3n b) Nếu (a.2) có một nghiệm thực bội 2 và một nghiệm đơn (λ1 = λ2 # λ3 ) thì un0 = (a1 + a2 n)λ1n + a3 .λ3n c) Nếu (a.2) có một nghiệm thực bội 3 (λ1 = λ2 = λ3 ) thì un0 = (a1 + a2 n + a3 n 2 )λ1n 2) Xác định nghiệm riêng un* của phương trình (a.1) Xét f n là đa thức của n ta có a) Nếu λ #1 thì un* là đa thức cùng bậc với f n b) Nếu λ = 1 (nghiệm đơn ) thì un* = n.g n g n là đa thức cùng bậc với f n c) Nếu λ = 1 (bội 2 ) thì un* = n 2 .g n g n là đa thức cùng bậc với fn d) Nếu λ = 1 (bội 3) thì un* = n3 .g n g n là đa thức cùng bậc với fn 12
Xét f n = v.µ ta có n a) Nếu λ # µ thì un* = k .n.µ n b) Nếu λ = µ (nghiệm đơn ) thì un* = k .µ n c) Nếu λ = µ (nghiệm bội s ) thì un* = k .n s .µ n Bài toán 9: Tìm dãy số an biết rằng u1 = 0, u2 = 1, u3 = 3, un = 7un−1 − 11.un− 2 + 5.un −3 , n 4 (9.1) Bài giải Xét phương trình đặc trưng λ 3 − 7λ 2 + 11λ − 5 = 0 có 3 nghiệm thực λ1 = λ2 = 1, λ3 = 5 Vậy an = c1 + c2 n + c3 5n Cho n=1, n=2, n=3 và giải hệ phương trình tạo thành, ta được 1 3 1 c1 = − , c2 = , c3 = 16 4 16 1 3 1 Vậy an = − + ( n − 1) + .5n −1 16 4 16 D. BÀI TẬP ÁP DỤNG Bài toán 10: Cho dãy số an được xác định theo công thức sau a1 = 0; a2 = 1, an +1 = 2an − an −1 + 1, n 2 (10.1) Chứng minh số A = 4.an .an+ 2 + 1 là số chính phương Bài giải Ta có an +1 = 2an − an −1 + 1 (10.2) Trong (9.2) ta thay n bởi n1, ta được an = 2an −1 − an −2 + 1 (10.3) 13
Trừ các vế của (10.1) cho (10.2) ta thu được an+1 − 3an + 3an−1 − an− 2 = 0 (10.4) Phương trình đặc trưng của (10.4) là λ 3 − 3λ 2 + 3λ − 1 = 0 có nghiệm λ = 1 là nghiệm bội bậc ba Vậy nghiệm tổng quát của phương trình (10.4) là an = (c1 + c2 n + c3 n 2 )1n Cho n=0, n=1, n=2 ta được 0 = c1 c1 = 0 1 = c2 + c2 + c3 � � 1 � c2 = c3 = � 3 = c1 + 2c2 + 4c3 2 n ( n + 1) Ta thu được an = và từ đó ta có 2 A = 4an .an + 2 + 1 = ( n 2 + 3n + 1) 2 Điều này chứng tỏ A là một số chính phương Bài toán 11: Cho dãy số { xn } được xác định theo công thức sau x1 = 7; x2 = 50, xn +1 = 4 xn + 5 xn−1 − 1975 ( n 2 ) (11.1) Chứng minh rằng x1996 M1997 Bài giải Xét dãy số { yn } với y1 = 7, y2 = 50 và yn +1 = 4 yn + 5 yn−1 + 22 ( n 2 ) (11.2) Dễ thấy yn xn ( mod1997 ) . Do đó chỉ cần chứng minh y1996 0 ( mod 1997 ) Đặt zn = 4 yn + 11 suy ra z1 = 39, z2 = 211 . Nhận xét rằng zn +1 = 4 yn+1 + 11 = 16 yn + 20 yn −1 + 99 = 4 zn + 20 yn−1 + 55 (11.3) Ta lại có 14
zn −1 = 4 yn −1 + 11 suy ra 20 yn−1 = 5 zn−1 − 55 (11.4) Thế (11.4) vào (11.3) ta được zn +1 = 4 zn + 5 zn−1 Suy ra zn +1 − 4 zn − 5 zn−1 = 0 (11.5) Phương trình đặc trưng của (11.5) là λ 2 − 4λ − 5 = 0 có nghiệm λ1 = −1, λ2 = 5 Nghiệm tổng quát của (11.1) là zn = ( −1) α + 5n β n Ta có 8 α= z1 = −α + 5β = 39 3 � � z2 = α + 25β = 211 25 β= 3 Do đó ta nhận được 8 25 zn = .( −1) + .5n n (11.6) 3 3 Từ (11.6) ta suy ra 8 + 25.51996 z1996 = 3 Ta cần chứng minh z1996 11( mod1997 ) Do 51996 − 1 M1997 51996 − 1 M 3 Nên 51996 − 1M3.1997 . Từ đó , ta có 51996 = 3n.1997 + 1 , và khi đó 15
8 25 ( 3n.1997 + 1) z1996 = + = 25.n.1997 + 11 3 3 Vậy z1996 11( mod 1997 ) E. BÀI TẬP TƯƠNG TỰ Bài 1: Xác định công thức của dãy số { xn } thoả mãn các điều kiện sau 1) x1 = 11, xn +1 = 10.xn + 1 − 9n , ∀n N 2) x0 = 2, x1 = −8, xn+ 2 = −8.xn+1 + 9 xn 3) x0 = 1, x1 = 3, 2. xn+ 2 − 5 xn +1 + 2 xn = −n 2 − 2n + 3 4) x0 = 0, x1 = 1, xn +1 − 4 xn + 4 xn −1 = n 2 − 6n + 5 5) x1 = 1, x2 = 2, xn + 2 − 5 xn+1 + 6 xn = 4 Bài 2: Cho dãy số { an } thoả mãn điều kiện an = an−1 + 2.an −2 nγ N (n 3) a1 = a2 = 1 Chứng minh rằng an là một số lẻ Bài 3: Cho dãy số { bn } xác định bởi bn = 2.bn−1 + bn −2 nγ N (n 3) b1 = 1, b2 = 2 n �5 � Chứng minh rằng bn � �, ∀n N �2 � Bài 4: Cho dãy số { un } thoả mãn điều kiện un + 2 − 2.un+1 + un = 2 nγ N (n 2) u0 = 1, u1 = 0 Chứng minh rằng un là một số chính phương 16
Bài 5: (Tuyển tập đề thi Olympic 30 – 4 Toán 11 Lần thứ VIII – 2002 NXB giáo dục ) Cho dãy số { un } thoả mãn như sau un �Z + , ∀ �N u0 = 1, u1 = 9 un = 10.un−1 − un− 2 ∀n γ N , n 2 Chứng minh : ∀k γ N , k 1 1) uk2 + uk2−1 − 10uk .uk −1 = −8 2) 5.uk − uk −1 M4 va 3.uk2 − 1M2 ( M kí hiệu chia hết ) Bài 6: Cho dãy số { un } thoả mãn điều kiện un + 2 = 2un +1 + 2un − un −1 , n N * Chứng minh rằng tồn tại các hằng số nguyên M sao cho các số M + 4.an+1an đều là số chính phương Bài 7: ( Báo Toán Học và Tuổi Trẻ số 356) Cho dãy số { ui } ( i=1,2,3,4…)được xác định bởi a1 = 1, a2 = −1, an = −an −1 − 2an −2 , n = 3,4,... Tính giá trị của biểu thức A = 2.a2006 2 + a2006 .a2007 + a2007 2 Bài 8: Cho dãy số nguyên dương { un } thoả mãn điều kiện u0 = 20, u1 = 100, un+ 2 = 4.un +1 + 5.u n + 20, n N* Tìm số nguyên dương h bé nhất có tính chất an+ h − an M1998 , n N 17
F. XÂY DỰNG BÀI TOÁN VỀ DÃY SỐ TRUY HỒI Nhận xét : Nội dung của đề tài trên giúp bạn đọc tìm ra công thức tổng quát của một lớp dãy số có tính chất truy hồi một cách chính xác nhất, giúp các Thầy cô kiểm tra kết quả bài toán theo cách giải khác. Bên cạnh đó ta có thể tiến hành xây dựng thêm các bài toán mới về dãy số Dưới đây là một số ví dụ “ xây dựng thêm các bài toán về dãy số có tính quy luật “ chỉ mang tính chất tham khảo. Tác giả mong muốn bạn đọc tìm hiểu và phát triển rộng hơn các bài toán khác về dãy số Ví dụ 1: Xuất phát từ phương trình ( λ − 1) ( λ + 9 ) = 0 � λ 2 + 8λ − 9 = 0 (12.1) phương trình (12.1) có thể được coi là phương trình đặc trưng của một dãy số có quy luật. Chẳng hạn dãy số un được xác định theo công thức sau un+ 2 + 8.un+1 + 9.un = 0 có thể cho u0 = 2, u1 = −8 . Ta có thể phát biểu thành các bài toán sau Bài toán 1: Cho dãy số xn xác định như sau xn + 2 + 8.xn+1 + 9.xn = 0 n N x0 = 2, x1 = −8 Xác định công thức của dãy số xn Bài toán 2: Cho dãy số xn xác định như sau xn + 2 + 8.xn+1 + 9.xn = 0 n N x0 = 2, x1 = −8 Tính giá trị của biểu thức A = x2006 − 5.x2007 + 4 18
Ví dụ 2: Xuất phát từ phương trình ( λ − 1) 2 = 0 � λ 2 − 2λ + 1 = 0 (12.2) phương trình (12.2) có thể được coi là phương trình đặc trưng của một dãy số có quy luật. Chẳng hạn dãy số un được xác định theo công thức sau un+ 2 − 2.un +1 + un = 2 có thể cho u0 = 1, u1 = 0 khi đó vận dụng thuật toán trên xác định được công thức tổng quát của dãy số xn = ( n − 1) 2 Ta có thể phát biểu thành các bài toán sau Bài toán 1: Xác định công thức của dãy số xn thoả mãn các điều kiện sau xn + 2 − 2 xn+1 + xn = 2 n N x0 = 1, x1 = 0 Bài toán 2: Cho dãy số xn xác định như sau xn + 2 − 2 xn+1 + xn = 2 n N x0 = 1, x1 = 0 Chứng minh rằng xn là một số chính phương Bài toán 3: Cho dãy số xn xác định như sau xn + 2 − 2 xn+1 + xn = 2 n N x0 = 1, x1 = 0 Xác định số tự nhiên n sao cho xn+1 + xn = 22685 19
KẾT LUẬN KIẾN NGHỊ Trải qua thực tiễn giảng dạy, nội dung các bài giảng liên quan đến đề tài và có sự tham gia góp ý của đồng nghiệp, vận dụng đề tài vào giảng dậy đã thu được một số kết quả nhất định sau : 1) Học sinh trung bình trở lên nắm vững được một số phương pháp và biết vận dụng ở dạng cơ bản xác định được công thức của dãy số 2) Một số đề thi học sinh giỏi, Học sinh lớp chọn có thể sử dụng phương pháp trình bày trong đề tài để giải bài toán 3) Là một phương pháp tham khảo cho học sinh và các thầy cô giáo 4) Qua nội dung đề tài, đồng nghiệp có thể xây dựng thêm các bài toán về dãy số Xây dựng phương pháp giảng dậy theo quan điểm đổi mới là việc mà toàn xã hội và nghành đang quan tâm. Tuy nhiên, trong một số lớp bài toán bậc THPT ta có thể sử dụng một số kết quả của toán học hiện đại để xây dựng phương pháp giải toán sơ cấp là một vấn đề ít được chú ý. Qua nội dung đề tài tác giả mong muốn có sự tìm hiểu sâu hơn về mối quan hệ giữa “Toán học hiện đại” và “Phương pháp toán sơ cấp ”. 20