intTypePromotion=1
ADSENSE

SKKN: Hướng dẫn học sinh giải một số bất phương trình vô tỷ

Chia sẻ: Trần Thị Ta | Ngày: | Loại File: DOC | Số trang:17

18
lượt xem
1
download
 
  Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Mục đích chủ yếu của bài tập toán là hình thành và phát triển tư duy toán học, tạo cho học sinh vốn kiến thức và biết vận dụng kiến thức vào thực tiễn. Vì vậy xây dựng và hình thành cho học sinh phương pháp giải từng dạng toán là hết sức cần thiết.

Chủ đề:
Lưu

Nội dung Text: SKKN: Hướng dẫn học sinh giải một số bất phương trình vô tỷ

  1. HƯỚNG DẪN HỌC SINH GIẢI MỘT SỐ BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ Phần thứ nhất :  ĐẶT VẤN ĐỀ Xuất phát từ mục đích của việc dạy và học toán ở trường THPT; trong  việc dạy học ta luôn coi mục đích chủ  yếu của bài tập toán là hình thành và  phát triển tư duy toán học, tạo cho học sinh vốn kiến thức và biết vận dụng   kiến thức vào thực tiễn. Vì vậy xây dựng và hình thành cho học sinh phương   pháp giải từng dạng toán là hết sức cần thiết. Bất phương trình vô tỷ  là một trong những nội dung kiến thức quan   trọng trong chương trình toán THPT. Bất phương trình vô tỷ  thường được  dùng để  ra đề  thi đại học và thi học sinh giỏi cấp tỉnh. Để  giải được bất   phương trình vô tỷ  thì học sinh phải nắm vững định nghĩa về  bất phương   trình, định nghĩa về  bất  phương trình vô tỷ  , hai bất phương trình tương  đương, các phép biến đổi tương đương bất phương trình….       Vấn đề  đặt ra là, làm thế  nào để  nâng cao chất lượng giảng dạy và kết  quả  học tập của học sinh. Bước vào năm học 2014­2015 được phân công  giảng dạy môn toán lớp 12, trước khi dạy ôn thi THPT Quóc gia môn toán   phần Bất phương trình vô tỷ, tôi đã chuẩn bị đề tài này, xem như một cải tiến   phương pháp dạy học “ Hướng dẫn học sinh giải một số bất phương trình vô  tỷ”. Phần thứ hai: GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ A. CƠ SỞ LÝ LUẬN *). Định nghĩa  : Hai bất phương trình được gọi tương đương khi chúng  có cùng tập nghiệm. *)Tính chất của phép biến đổi tương đương và hệ quả : +) Cộng (trừ) hai vế của bất phương trình với cùng một biểu thức mà không làm   thay đổi điều kiện của bất phương trình ta được một bất phương trình tương  đương.  +) Nhân (chia) hai vế  của bất phương   trình với cùng một biểu thức ( luôn   dương hoặc  âm)  mà không làm thay  đổi  điều kiện của bất phương trình  tương đương . +) Lũy thừa bậc lẻ hai vế, khai căn bậc lẻ  hai vế của một bất phương trình   tương đương . 1
  2. +) Lũy thừa bậc chẵn hai vế, khai căn bậc chẵn hai vế  khi hai vế  của bất   phương trình cùng dương ta được bất phương trình tương đương . +) Nghịch đảo hai vế của bất phương trình khi hai vế cùng dương ta phải đổi  chiều ta được bất phương trình tương đương .  Từ  tính chất của phép biến đổi tương đương và hệ  quả  ta rút ra một số  kỹ  năng sau trong phép biến đổi tương đương. B. THỰC TRẠNG Trong thực tế giảng dạy tại trường THPT Ba Đình, đặc biệt là học sinh  khối lớp 12 chuẩn bị thi THPT quốc gia, khi giải các bài toán về bất phương   trình vô tỷ các em gặp nhiều khó khăn, chưa định hình được cách giải. Ngoài   ra   còn   hay   vướng   mắc   những   sai   lầm   như   khi   kết   hợp   nghiệm   của   bất   phương trình vô tỷ   hoặc xét thiếu trường hợp hoặc bình phương hai vế  mà  không xét dấu của hai vế  dẫn tới phép biến đổi không tương đương….Tóm  lại kỹ năng giải cũng như  khai thác bài toán về  bất phương trình vô tỷ   của   học sinh còn hạn chế. Kết quả khảo sát về giải bất phương trình vô tỷ  thấp   so với yêu cầu. Cụ thể: Lớp Số  Điểm 8­10 Điểm từ 6,5  Điểm từ 5  Điểm từ 2  Điểm dưới  HS đến dưới 8 đến dưới  đến dưới 5 2 6,5 12A 45 3 6.7 6 13.4 17 37.7 13 28.8 6 13.4 12E 45 2 4.4 7 15.4 16 35.5 12 26.6 8 18.0 C. GIẢI PHÁP THỰC HIỆN  Khi dạy phần bất phương trình vô tỷ   tôi đã hướng dẫn học sinh theo   các phương pháp sau : I. PHƯƠNG PHÁP BIẾN ĐỔI TƯƠNG ĐƯƠNG. 1. Kỹ năng lũy thừa hai vế. 1.1. Một số phép lũy thừa hai vế: a)     2 k 1 f ( x) 2k 1 g ( x) f ( x) g ( x) . g ( x) 0 b)      2 k f ( x) 2k g ( x) . f ( x ) g ( x) g ( x) 0 g ( x) 0 *)       f (x) >g(x) 2  hoặc  f ( x) g ( x) f ( x) 0 g ( x) 0 *)       . f (x)
  3. 1.2. Ví dụ:  Ví dụ 1 : Giải các bất phương trình sau :  x 3 2 x 1        1 x 2x 1 0 2 Giải :  x 3 2 x 1 x 3 0 x 3 x 3 .  2 2 x 3 2x 1 4x 5x 4 0 Vậy bất phương trình có tập nghiệm là: S=  3; .  Ví dụ 2 :Giải các bất phương trình sau : x2 x 1 0 8    x2 x 1 x 3 x 3 0 x . 2 7 x2 x 1 x 3 8 Vậy tập nghiệm của bất phương trình là:  ; . 7 . Ví dụ 2: Giải BPT:  x 4 1 x 1 2 x   (1)   Phân tích : Nếu dùng hệ quả của phép biến đổi tương đương chuyển vế để  cả hai vế của bất phương trình không âm rồi bình phương hai vế ta được bất  phương trình dạng cơ bản . Giải:  1 x 0 1 1 2x 0 4 x  (1) x 4 1 x 1 2x 2 x 4 0 2 2x 1 2x 2 3x 1 x 4 1 x 1 2x 1 4 x 1 2 4 x 1 2 x 2x 1 0 2       4 x 0. 2x 1 0 1 x 2 2 2 2x 3x 1 2x 1 7 x 0 2 Vậy tập nghiệm:S = [­4; 0]. * Chú ý : học sinh dễ mắc sai lầm đó là để nguyên bất phương trình (1) để  bình phương như vậy có thể không được bất phương trình tương đương . 2. Kỹ năng khai căn. 2.1. Đưa biểu thức  ra ngoài căn thức : A( A 0) *   A 2 A A( A 0) 3
  4. *     2 n A 2 n A                            *     2 n 1 A 2 n 1 A 2.2. Lưu ý :     Nhiều học sinh không để  ý đến biểu thức trong căn lúc nào cũng nghĩ đến   việc lũy thừa hai vế .Trong trường hợp nếu biểu thức trong căn ở dạng hằng   đẳng thức không nên lũy thừa hai vế  mà nên áp dụng cách đưa biểu thức ra  ngoài căn  3 2.3. Ví dụ :Giải BPT :  x 2 x 1 x 2 x 1     2 3 2 2 3 (1) x 1 2 x 1 1 x 1 2 x 1 1 x 1 1 x 1 1 2 2 x 1       3 x 1 1 x 1 1 (2) 2 * Với  x 1 1 0 x 1 1 x 2  luôn thỏa mãn bpt (2). Vậy trong trường hợp này tập ngiệm là T1=[2 ;+ ) . x 1 * Với  x 1 1 0 1 x 2  bpt (2) trở thành :  x 1 1 3 3           x 1 1 1 x 1 2  (luôn đúng). 2 2 Vậy tập nghiệm của (1) trong trường hợp này là T2 =[1 ;2). KL : Tập nghiệm của (1) là T= T1 T2 1; . * Chú ý : Bài này ta có thể giải bằng phương pháp bình phương hai vế.. 3. Kỹ năng chia điều kiện.  Nếu bài toán có điều kiện là  x D  mà  D D1 D2 ... Dn  ta có thể chia bài  toán theo n trường hợp sau : +) Trường hợp 1:  x D1 , giải bất phương trình ta tìm được tập nghiệm  T1 . +) Trường hợp 2:  x D2 , giải bất phương trình tìm được tập nghiệm T2.          …………………………………. +)  Trường hợp n:  x Dn , giải bất phương trình tìm được tập nghiệm Tn.      Tập nghiệm của bất phương trình là  T T1 T2 ... Tn .      Cần phải xác định giao, hợp trên các tập con của R thành thạo.  Các ví dụ: 3x 2 x 4 2  Ví dụ 1: Giải BPT:  2  x x 0 Giải : Điều kiện:  4. 1 x 3 4
  5. 2x 2 0 * Với  0 x 4 3       ta có (1) 3x 2 x 4 2x 2 2 3x 2 x 4 2x 2 x 1 9 2 x 7x 9x 0 7                                                                       (2)      9 4 Kết hợp (1) và (2) ta có tập nghiệm là  T1 ; . 7 3 * Với  1 x 0  thì (1) luôn đúng.  Tập nghiệm trong trường hợp này là T2 = [­1 ;0). 9 4 Vậy tập nghiệm của (1) là  T T1 T2 ; 1;0 . 7 3  Ví dụ 2 : Giải BPT :  x 2 8 x 15 x2 2 x 15 4 x 2 18 x 18 .(2) x 5  Giải : Điều kiện :  x 3 x 5  Nhận thấy x = 3 không thỏa mãn bất phương trình.  Nếu x 5  bất phương trình (2) tương đương      ( x 3)( x 5) ( x 3)( x 5) ( x 3)(4 x 6)   x 5 x 5 4x 6 17        Giải bất phương trình này tìm được x     3  Nếu x 5  Bất phương trình (2) tương đương      (3 x)(5 x) (3 x)( x 5) (3 x )(6 4 x)         5 x x 5 6 4 x       Bất phương trình này vô nghiệm  17  Vậy tập nghiệm của bất phương trình là S = ( ; ). 3 x 3 3 4 x Ví dụ 3 : Giải bất phương trình :   x 3 3 x 1 x   Phân tích : Ta thấy rằng bất phương trình này khá phức tạp về  mặt hình  thức .Vậy điều đầu tiên là giảm độ phức tạp của nó đi . Mẫu thức có dạng (ax + b +c dx e ) và thấy hình thức phức tạp nên hãy thử  xem nhân liên hợp có được gì không ? ( x 3) 2 9( x 1) x( x 3) Nhận thấy  x 3 3 x 1 x 3 3 x 1 x 3 3 x 1 Đến đây cả hai vế của bất phương trình xuất hiện x do đó ta có cách giải sau  1 x 4 x 0  Giải : ĐK  x 3  Với đk trên bất phương trình đã cho tương đương với : 5
  6. x 3 3 4 x x 3 3 x 1 3 4 x ( x 3) 2 9( x 1) x x x x 3 3 x 1 x 3 3 x 1 3 4 x 0 (1) x Nếu  0 x 4 và x 3  thì x +3 +3 x 1 3 4 x 0 3 3 1 3 4 0 x 3 3 x 1 3 4 x 0 (1) được thỏa mãn  x x 3 3 x 1 3 4 x  Nếu ­1 x 0  thì  x 3 3 x 1 3 4 x 0 0 x (1) cũng thỏa mãn   Vậy tập nghiệm của bất phương trình ban đầu là S =  1;4 \ 0;3 4. Kỹ năng phân tích thành nhân tử đưa về bất phương trình tích. 4.1. Bất phương trình tích : Chú ý đến hai bất phương trình dạng cơ  bản   sau : f ( x) 0 f ( x) 0 g ( x) 0 f ( x) 0  * f ( x) g ( x) 0                  *)f(x).g(x) 0 f ( x) 0 g ( x) 0 g ( x) 0 f ( x) 0 gx) 0 4.2. Các ví dụ   Ví dụ 1: Giải BPT :  x 1 3x 2 x 1 3x 3 1 0  (1) Giải: Điều kiện :  x 1(*) (1)  x 1 3x 2 x 1 x 1 x x 1 3x 3 x 0 x 1 x 1 3x 2 1 x x 1 3x 2 1 0 x 1 x x 1 3x 2 1 0 x 1 x 0 (do  x 1 3 x 2 1 0  khi  x 1 ). x 1 x x 1 x2 x2 x 1 0  (vô nghiệm). Vậy BPT đã cho vô nghiệm. Ví dụ 2 : Giải bất phương trình  (x2 – 3x). 3x 2    0.      Phân tích: Với những bất phương trình ở dạng f(x).g(x)  0  học sinh thường  f ( x) 0 f ( x) 0 mắc phải sai lầm đó là đưa đến hệ tương đương   hoặc  g ( x) 0 g ( x) 0 Giáo viên phải hướng dẫn học sinh để đưa ra cách giải đúng .  6
  7. 2 2 Với bài toán này điều kiện xác định là  x   . Khi x =   thì bất phương trình  3 3 2 luôn đúng. Khi  x >  thì một thừa số  của tích dương vì vậy ta có cách giải  3 sau       2 Giải: Điều kiện  : x           3 2  Nếu x =   Bất phương trình luôn nghiệm đúng  3 2 x 0  Với x  >  Bất phương trình tương đương x2 – 3x  0 3 x 3  Kết hợp điều kiện ta được x 3   2 Vậy tập nghiệm của bất phương trình là S =   3; 3 x ( x 2) Ví dụ 3 : 1 3 ( x 1) x  Phân tích :  Khi gặp phải bất phương trình có chứa ẩn ở mẫu nhiều khi học  sinh rất hoang mang bởi vì ta chưa  xác định được dấu của mẫu .  Đối với bài toán này việc xác định dấu của mẫu rất đơn giản   Ta cần có điều kiện  x 0  Với điều kiện  x 0  thì  ( x 1) 3 x 0  Do đó ta có  cách giải sau  Giải : Điều kiện  x 0 . Khi  x 0  ta có  ( x 1) 3 x 0  Do đó bất phương trình đã cho tương đương với   x( x 2) ( x 1) 3 x x2 2x x3 3x 2 4 x 1 2( x 1) x( x 1) x3 2x 2 2 x 1 2( x 1) x 2 x 0   ( x 1)( x 2 x 1 2 x2 x) 0 Vì x 0  nên x + 1>0  Khi đó  x 2 x 1 2 x 2 x 0    ( x2 x 1) 2 0 1 5                                             x2 x 1 x 2 1 5  Kết hợp điều kiện ta có nghiệm của bất phương trình là   x 2  5. Kỹ năng nhân chia liên hợp :  5.1. Cách giải:  +) Tìm giá trị của x làm cho hai vế của bất phương trình bằng nhau .      Hướng dẫn học sinh nhẩm nghiệm hoặc ghi biểu thức lên máy để  tìm   nghiệm  7
  8.  +)  Nếu x = a là một giá trị  làm cho hai vế  bằng nhau thì biểu thức của bất  phương trình phải xuất hiện nhân tử chung  (x – a) 5.2. Các ví dụ: Ví dụ 1: Giải BPT :   x 2 15 3x 2 x 2 8  (1) Giải: Ta có (1)  x 2 15 x2 8 3x 2 x 2 15 x 2 8 7 3x 2 3x 2  (2). x 2 15 x2 8 x 2 15 x2 8 2 Từ (2) ta có   3x 2 0 x . 3 * Mặt khác:  x2 1 x2 1 (1)  x 2 15 4 3x 3 x 2 8 3    3( x 1) x 2 15 4 x2 8 3 x 1 x 1        x 1 2 3 2 0 (3) x 15 4 x 8 3 2 2 x 1 x 1 * Lại có : Vì  x nên  x 15 4 x2 8 3 3 x 2 15 4 x2 8 3 x 1 x 1 3 0. x 2 15 4 x2 8 3 Vậy  (3)  x 1 0 x 1 Kết luận : BPT (1) có tập nghiệm là T =  1; . Ví dụ 2 :Giải bất phương trình  x 2 x x 2 3x 2 2 Phân tích: Trong phương trình có chứa hai căn bậc hai, ngoài căn là một tam  thức bậc hai. Có thể  nhẩm được x = 2 là giá trị  làm cho hai vế  của bất  phương trình bằng nhau . Do đó ta có thể dùng phương pháp liên hợp . 2   Giải :  Điều kiện x 3  Bất phương trình tương đương  x 2 3x 2 x2 x 2 0 2( x 2)                                                  ( x 2)( x 1) 0 x 2 3x 2 2                                                  ( x 2) x 1 0 x 2 3x 2 2 Xét f(x) = x 1  x 2 3x 2 1 3 2 Ta có  f / ( x) x 2 3x 2 1 >0  f ( x) f ( ) >0 3 ( x 2 3x 2)  Do đó bất phương trình  x 2 0 x 2 2  Vậy tập nghiệm của bất phương trình là T= ;3 3 8
  9. * Chú ý: 1. Trong bài toán này, việc thêm bớt, nhóm các số  hạng với nhau để  xuất hiện nhân tử chung xuất phát từ việc nhẩm được khi x = 2 thì hai vế của   BPT bằng nhau. 2. Có thể xuất hiện bất phương trình có chỉ số căn khác nhau   Ví dụ 3 : Giải bất phương trình  3 x 6 2 5 x 1 x 2 2 x 4  Phân tích:  Nhiều khi học sinh nhìn thấy với bất phương trình có các chỉ số  căn khác nhau là cảm thấy lúng túng nhưng ta luôn nghĩ đến phương pháp  nhẩm nghiệm để liên hợp . Nhận thấy x = 2 là một  giá trị làm cho hai vế của   bất phương trình bằng nhau . Thay x = 2 ta được  3 x 6 2  và  5 x 1 3  Vì  vậy ta có thể thêm bớt số để có cách giải  1 Giải : Điều kiện  x 5  Bất phương trình tương đương với :            ( 3 x 6 2) 2( 5 x 1 3) x 2 2 x 1 10         (x­2) x 0 3 ( x 6) 2 23 x 6 4 5x 1 3 1  Với đk x  biểu thức trong ngoặc vuông luôn âm . Do đó bất phương trình  5 tương đương  x­2 
  10. II. PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ.  ­ Phương pháp đặt ẩn phụ được sử dụng khi các biểu thức trong bất phương  trình có sự  liên quan . Đặt biểu thức này qua ẩn phụ thì biểu thức khác phải   đươc biểu thị qua ẩn  phụ. ­ Chú ý tới các điều kiện của ẩn. ­ Thông thường phải qua phép biến đổi tương đương mới xác định được biểu   thức cần đặt. .1. Đặt ẩn phụ thông thường (đưa bất phương trình về bất phương trình  đa thức)  x x 1 Ví dụ 1  :Giải BPT :  2 3     x 1 x x 0 Giải : Điều kiện :   (*) x 1 x 1 1 Đặt  t (t 0).  BPT (1) trở thành :  2t 3 2t 3 3t 2 1 0(t 0) x t2 1 t 1 2t 2 t 1 0 0 t . 2 x 1 1 4 Vậy  0 x 1. x 2 3 1 1 Ví dụ 2: Giải bất phương trình  : 5 x 2x 4 2 x 2x 1  Phân tích: Khi bình phương biểu thức  x và nhân thêm 2 thì ta được 2x +  2 x 1 2x 1  Vì vậy ta đặt  x  = t  2 x Giải: Điều kiện : x>0. 1 * Đặt  t x t 2 (theo bất đẳng thức Côsi) 2 x 1 1 t2 x 1 2x 2t 2 2. 4x 2x t 2 2 * BPT (2) trở thành :  5t 2t 2 4 1  kết hợp với  t 2  ta được  t 2. t 2 2 2 3 x x 2 1 2 2 * Khi đó  x 2 . 2 x 2 2 3 0 x 0 x 2 2 2 10
  11. 3 3 KL : Tập nghiệm của bất phương trình là  S = (0 ; 2) ( 2; ) 2 2 Ví dụ 3 : Giải bất phương trình  x 2 x 2 3 x 5x 2 4 x 6 Phân tích :  Nhìn vào bất phương trình ta có thể  nghĩ ngay đến việc bình  phương hai vế hoặc liên hợp . Nhưng nếu ghi biểu thức của bất phương trình   lên máy tính cầm tay thì biểu thức không có nghiệm hữu tỉ  . Do đó việc liên  hợp là không nên. Ta có thể khử căn bậc hai bằng phương pháp lũy thừa Giải : ĐK  x 2 Với ĐK trên bất phương trình tương đương: 3 x( x 2)( x 1) 2 x 2 6 x 2   3 (x2 2 x)( x 1) 2( x 2 2 x) 2( x 1)  (1) 2 x 2 2x  Vì  x 2 nên x + 1 > 0 do đó ( 1)  x 2 x 2 2 x 1 x 1 t 2 x 2 2x 2 Đặt t =      ( t 0)  ta có bất phương trình  2t 3t 2 0 1 x 1 t 2 x 3 13  Vì  t 0 nên t 2   x2 6x 4 0 x 3 13 Kết hợp ĐK suy ra nghiệm của bất phương trình là S =  3 13; )  2 Đặt ẩn phụ không hoàn toàn   Đó là phương pháp đặt ẩn phụ đưa bất phương trình về bất phương trình   gồm cả ẩn cũ và ẩn mới . Ví dụ : Giải bất phương trình  x 3 (3x 2 4 x 4) x 1 0 Phân tích : Đây là bất phương trinh mà nhìn vào biểu thức tương đối phức   tạp . Nếu đổi ẩn hoàn toàn thì bất phương trình trở về bất phương trình bậc  6 . Rõ ràng không dễ  gì mà giải được bất phương trình này . Do đó ta nghĩ   đến phương pháp đặt ẩn phụ không hoàn toàn . Giải : ĐK  x 1 y 0 Đặt  y =  x 1 2 y x 1 Bất phương trình trở thành  x 3 (3x 2 4 y 2 ) y 0 Nếu y = 0 thì x = ­1 bất phương trình luôn đúng  Nếu y > 0 thì x > ­ 1 chia cả hai vế của bất phương trình cho y3 ta được  x 1 x x x x y ( )3 3( ) 2 4 0 ( 1)( 2) 2 0     y y y y x 2 y x Nếu  2 x 2 x 1 x 2 2 2 y 11
  12. x 1 5 Nếu  1 x x 1 1 x y 2 Kết   hợp   với   điều   kiện   ta   có   tập   nghiệm   của   bất   phương   trình   là   T   =  1 5 1; 2  3. Đặt ẩn phụ đưa về hệ   Ví dụ 1 : Giải bất phương trình  3 x 24 12 x 6 Điều kiện : x 12 3 x 24 u x 24 u3 Đặt  (v 0)   12 x v 12 x v2 u3 v2 36(1) Ta có hệ  u v 6( 2) (1)  u3 36 v 2 u 3 36 v 2 Ta có bất phương trình   3 36 v 2 v 6 36 v 2 (6 v ) 3 (v 6)(v 3)(v 10) 0 v 0;3 6;10 x 88; 24 3; Kết hợp đk ta có tập nghiệm của bất phương trình là T =  88; 24 3;13 5 3 Ví dụ 2 : Giải bất phương trình : x x 2 x2 3        (1) 2 Giải: Điều kiện :  x −1   Nhận thấy x = ­1 là nghiệm của bất phương trình 5 (1)  � ( x + 1)( x 2 − x + 2) �( x 2 − x + 2) + ( x + 1)   2 a = x2 − x + 2 0 Đặt :    b = x +1 0 Có :  a 2 −=b−+ 2 −−= x 2 −+x = 2−�� x −+ x 2 2 x 1 ( x 1) 2 0 1 �۳ (a b)(a b) 0 a b  Khi đó bất phương trình trở thành : 5 ab �a+2 �b−+ 2 2a−− �� 2 5ab −�۳ �� b2 0 (a 2b)(2a b) 0 a 2b 0 a 2b   2 Suy ra :  x 2 − x + 2 �2 x + 1 � x 2 − x + 2 �4 x + 4           x 2 − 5 x − 2 0   � 5 − 33 � �5 + 33 �         x �� �−�; �U � ; +�� �  � 2 �� 2 � Kết hợp với điều kiện ta có tập nghiệm của bất phương trình là: � 5 + 33 �  T =  ; + U{ −1}   � 2 � 4. Đặt ẩn phụ đưa về bất phương trình lượng giác. 12
  13.  Ví dụ : Giải BPT :  1 x 2 5 x5 1    Giải : Điều kiện :    x 0;1 . * Đặt   x cos t  với  t 0; . BPT (1) trở thành :  sin 5 t cos 5 t 1. 2 Do  sin 5 t sin 2 t  và  nên   sin 5 t cos 5 t sin 2 t cos 2 t 1  với  t 0; 2 . * Do đó BPT đã cho có nghiệm là  x 0;1 .  Bài tập tự luyện: Giải các BPT: 1)  x 2 3x 3 x 2 3x 6 3.      2)  7 x 7 7x 6 2 49 x 2 7 x 42 181 14 x 3)   x x 4 x2 4x x 2 2 2 .      1 1 4)  1 x x. x x 5)  x x2 1 x x2 1 2 .       6)   x 1 x2 x 1 x2 1 7)   x 2 2x x 3 x 1                     x 8)  x3 35 x3 x 3 35 x 3 30 9) 1 1 x2 2 x 2                       2 1 x2 10) 1 1 x2 1 x 3 1 x 3 3 3 11)  x 3 x 2 x 9 x 18 168 x       12)  4 x3 1 4x 2 7x 1 1 3x 13)  1 x 2 1                           1 x2 1 2x 1 2x 14)  1 2x 1 2x 1 2x 1 2x III. PHƯƠNG PHÁP ĐÁNH GIÁ. Sử dụng các bất đẳng thức cơ bản hoặc sử dụng phương pháp vec tơ 1. Kỹ năng sử dụng BĐT để đánh giá hai vế: 1.1. Bất đẳng thức thông dụng:     * Bất đẳng thức Côsi:  a1 a 2 ...a n Với  a1 0, a 2 0,..., a n 0  ta có  n a1 a 2 ...a n . n Dấu “=” xảy ra khi  a1 a 2 ... a n .     * Bất đẳng thức Bunhiacopski : 13
  14. Với mọi  a1 , a 2 ,..., a n , b1 , b2 ,..., bn  ta luôn có :                     a1b1 a 2 b2 ... a n bn 2 a12 a 22 ... a n2 b12 b22 ... bn2 . a1 a2 an Dấu « = » xảy ra khi  ... . b1 b2 bn 1.2. Các ví dụ : x2 Ví dụ 1  : Giải BPT :  1 x 1 x 2    4 1 x 0 Giải : Điều kiện :    1 x 1  (*) 1 x 0 x4 Khi đó ( 1)  1 x 1 x 2 1 x 2 4 x 2 16 x4 2 x4       1 x2 2 1 x2 1 0 1 x2 1 0 16 16 Điều này luôn đúng với mọi x thỏa mãn điều kiện (*). Vậy nghiệm của BPT là  x 1;1 . x x Ví dụ 2 : Giải BPT :  2 1  (2)   1 2x x 1 Giải : Điều kiện:   x 0   (*).   * Ta có:  2 x 2 x 1 x2 x 1 2 1 1 1 2 x2 x 1 0. Vậy (2)  x x 1 2 x2 x 1 2 x2 x 1 1 x x  (3). Mặt khác: Theo BĐT bunhiacopski ta có: 2 2              2 x 2 x 1 1 1 1 x x 1 x x  (4)  2 1 x x 1 x x 3 5 * Dấu bằng xảy ra khi  x . 1 x x 0 1 x 0 2 1 x 1 ( x 1) 2  Ví dụ 3: Giải bất phương trình sau:  x + < 2x 1 2 4 8 1 Giải : Điều kiện x  2  Áp dụng bất đẳng thức Bunhicỗpki  ta có  1 x 1 1 x 1 1 x 1 2 ( x 1) 2 x + = 1. x +1. 2 x ( ) 2x 1 2 4 2 4 2 4 8 1 x 1 Đẳng thức xảy ra  x = x2 8 x 24 0 phương trình vô nghiệm 2 4 1  Vậy nghiệm của bất phương trình là x  2 2. Kỹ năng sử dụng tích vô hướng của hai vectơ. 14
  15. 2.1. Định nghĩa:  u.v u . v cos(u, v) . a) Biểu thức tọa độ của tích vô hướng:    +)  Trong hệ  tọa độ Oxy, nếu  u ( x; y ), v ( x' ; y ' )  thì  u.v x.x' y. y ' .    +) Trong hệ  tọa độ Oxyz, nếu  u ( x; y; z ), v ( x' ; y ' ; z ' )  thì  u.v x.x' y. y ' z.z ' . b)   u.v u . v .   Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi  u, v  cùng phương. c)  u v u v . Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi  u, v  cùng hướng. x x 2.2. Ví dụ:  Ta quay lại bài thi  ĐH­A­2010:  Giải BPT   1  (1)   1 2 x2 x 1 Giải: Điều kiện:  x 0. Do  2( x 2 x 1) =  (2 x 2 2 x 1 >1 nên bất phương trình (1) tương đương với x x 1 2( x 2 2( x 2 x 1 (1 x) x 1) x     (2)  Trong mặt phẳng tọa độ lấy  a (1 x; x) ,  b (1;1) . Khi đó:            a.b 1 x x; a .b 2 x2 x 1 Vậy (2) trở  thành    ab a.b . Điều này xảy ra khi    a, b  cùng hướng tức là  1 x k 3 5 tồn tại k > 0 sao cho:  a k b x . x k 2 Nhận xét: Ta có thể xây dựng được một lớp các bài toán tương tự trên bằng   cách lấy các vectơ thích hợp. IV. PHƯƠNG PHÁP SỬ DỤNG CHIỀU BIẾN THIÊN CỦA HÀM SỐ    Giả sử hàm số f  đơn điệu trên D, u(x) và v(x) có miền giá trị là tập con của   D. Khi đó  ta có :  f (u ( x)) f (v( x)) u ( x) v( x)   hoặc  u ( x) v( x)           (Tương tự cho các dấu  , , ) 1. Các ví dụ.   Ví dụ 1: Giải BPT :  x 3 x 1 x 3 1 x 2x 0     x 1 0 Giải : Điều kiện :  1 x 1  (*) 1 x 0 *  Khi đó  1 x 1 x 1 x 1 2 x 1 1 x 1 x 1 x 2 1 x     3 2 3 2                     x 1 x 1 2 x 1 1 x 1 x 2 1 x  (2) * Xét hàm số  f (t ) t 3 t 2 2t  với  t 0  : 15
  16.     Có  f ' (t ) 3t 2 2t 2 0 t 0  nên  f (t )  là hàm đồng biến trên  0; . *   Mặt   khác :   (2)   f ( x 1) f ( 1 x ) x 1 1 x x 1 1 x x 0  kết hợp với điều kiện (*) ta được :  1 x 0 . Vậy bất phương trình có tập nghiệm là S =  1;0 Ví dụ 2: Giải bất phương trình  x 2 2 x 3 x 2 6 x 11 3 x x 1   (1) Giải : Điều kiện : 1 x 3   (1)  � x 2 − 2 x + 3 + x − 2 > 3 − x + x 2 − 6 x + 11   � ( x + 1) 2 + 2 + x − 1 > (3 − x) 2 + 2 + 3 − x   Xét hàm số :  f (t ) = t 2 + 2 + t   t 1 Ta có :  f '(t ) = + > 0∀t [ 1;3]   t +2 2 2 t Nên f(t) đồng biến, suy ra f( x­1) > f(3 ­ x) ↔ x – 1 > 3 – x ↔ x > 2 Kết hợp với điều kiện ta có tập nghiệm của bất phương trình là : T = ( 2 ; 3] 2. Một số Bài tập tự luyện : Giải các BPT :  1 1 1, 2 x 2 2 4 x .     2,  x 2 2x 2x 1 3x 2 4x 1 x2 x 3,  x x 1 3 x 2 x 2 1             4,  x 2 4x 5 x 2 10 x 50 5 5,   x 2 4 x x2 6 x 11         6,  3 x x 1 5 2x 40 34 x 10 x 2 x3 1 1 x 9 x 7, 2 x 2 2 4 x .     8,  1 x2 x 2 100 x 2 40 x 40 9,  x 1 2x 3 50 3 x 12     10,  x 2 2x 2x 1 3x 2 4x 1 11,   x 2 4 x x2 6 x 11      12,  3 x x 1 5 2x 40 34 x 10 x 2 x3 D. KIỂM NGHIỆM Khi chưa thực hiện đề  tài này, trong quá trình giảng dạy tôi thấy học   sinh rất hay vướng mắc khi giải các bất phương trình vô tỷ. Sau khi áp dụng  đề  tài này đã giúp học sinh giải được nhiều dạng toán khó về  bất phương   trình vô tỷ. Thông qua giải các bất phương trình vô tỷ, giúp học sinh rèn luyện  khả  năng tư  duy, phát huy tính chủ  động, tích cực, sáng tạo trong học toán,  giúp các em tự tin hơn trong học tập. Thực tế, khi thực hiện đề tài này, chất lượng môn học được nâng lên rõ  rệt. Kết quả cụ thể như sau: Lớp Số  Điểm 8­10 Điểm từ 6,5  Điểm từ 5  Điểm từ 2  Điểm dưới  HS đến dưới 8 đến dưới  đến dưới 5 2 16
  17. 6,5 12A 45 6 13.3 13 28.9 22 48.9 4 9.8 0 0 12E 45 8 17.8 15 33.3 19 42.2 3 6.7 0 0 Phần thứ ba:  KẾT LUẬN VÀ ĐỀ XUẤT Bất phương trình vô tỷ  là dạng toán khó đối với học sinh, vì vậy khi   giảng dạy phần này, cần lựa chọn phương pháp hợp lý và rèn luyện cho học   sinh khả  năng tư  duy, khả  năng hệ  thống kiến thức. Cần chú ý sửa cho học  sinh về cách trình bầy một cách tỷ mỉ. Chất lượng của học sinh phụ thuộc rất nhiều vào bài giảng của thầy,  vì vậy mỗi dạng toán cần có sự phân loại và hệ thống được các phương pháp  giải. Trên đây là một số  kinh nghiệm được rút ra từ  thực tiễn giảng dạy   phần bất phương trình vô tỷ. Trong khuôn khổ có hạn của đề tài không tránh   khỏi thiếu sót. Rất mong các đồng nghiệp trao đổi để  nội dung đề  tài hoàn   chỉnh hơn. Xin chân thành cám ơn.                                                                     Thanh Hóa, ngày    tháng 6 năm 2015 XÁC NHẬN CỦA HIỆU TRƯỞNG                     CAM KẾT KHÔNG COPI                                                                                                                                                                             Mai Thị Mơ 17
ADSENSE

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

 

Đồng bộ tài khoản
2=>2