intTypePromotion=1
zunia.vn Tuyển sinh 2024 dành cho Gen-Z zunia.vn zunia.vn
ADSENSE
 » 
 » 

SKKN: Một số phương pháp xác định công thức tổng quát của dãy số và xây dựng bài toán về dãy số

Chia sẻ: Hòa Phát | Ngày: | Loại File: DOC | Số trang:23

Thêm vào BST
Báo xấu
51
lượt xem 6
download
 
  Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Mục tiêu của sáng kiến kinh nghiệm này nhằm tìm ra những phương pháp truyền đạt phù hợp với học sinh, bên cạnh cũng nhằm tháo gỡ những vướng mắc, khó khăn mà học sinh thường hay gặp phải với mong muốn nâng dần chất lượng giảng dạy học nói chung và môn Đại số và Giải tích 11 nói riêng.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: SKKN: Một số phương pháp xác định công thức tổng quát của dãy số và xây dựng bài toán về dãy số

  1. Trường THPT Trần Hưng Đạo ­ Sáng Kiến Kinh Nghiệm                          Năm học: 2013 –  2014 1.ĐẶT VẤN ĐỀ 1.1 Bối cảnh: Năm học 2013­2014 là năm học tiếp tục thực hiện các cuộc vận động “  Học tập và làm theo tấm gương đạo đức Hồ Chí Minh”, cuộc vận động “ Hai  không”; “ Mỗi thầy, cô giáo là một tấm gương đạo đức, tự học và sáng tạo” ; với  chủ đề " Năm học đổi mới  quản lý và nâng cao chất lượng giáo dục " cùng với  phong trào xây dựng " Trường học thân thiện, học sinh tích cực ". Nghị quyết TW  2 khóa VIII đã khẳng định " Đổi mới mạnh mẽ phương pháp giáo dục và đào tạo,  khắc phục lối dạy học truyền thụ một chiều, rèn luyện nếp tư duy cho người  học, từng bước áp dụng phương pháp tiên tiến, ứng dụng cộng nghệ thông tin   vào quá trình dạy học ". Do đó trong quá trình dạy học đòi hỏi các thầy cô giáo  phải tích cực học tập; không ngừng nâng cao năng lực chuyên môn; đổi mới  phương pháp dạy học theo hướng phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động sáng  tạo của học sinh; bồi dưỡng khả năng tự học, sáng tạo; khả năng vận dụng kiến  thức vào thực tế; đem lại sự say mê, hứng thú học tập cho các em. 1.2 Lý do chọn đề tài: Các vấn đề liên quan tới dãy số là một phần quan trọng của Đại số và Giải  tích toán học. Song khái niệm dãy số học sinh mới chỉ được làm quen trong  chương trình toán lớp 11 phần mở đầu của Giải tích toán học. Các dạng toán liên  quan tới nội dung này thường là khó với các em.   Qua thực tế giảng dạy chương trình chuyên toán lớp 11 những năm qua,  cũng như việc nghiên cứu nội dung thi học sinh giỏi các cấp, tôi nhận thấy một  dạng toán khá cơ bản về dãy số là bài toán tìm số hạng tổng quát. Lý thuyết đại  số và các bài toán về dãy số đã được đề cập hầu hết trong các giáo trình cơ bản  của giải tích toán học.Các phương pháp tìm số hạng tổng quát của dãy số cho bởi  hệ thức truy hồi gần như là bài toán được đề cập tới đầu tiên. Tuy nhiên với  nhiều phương pháp khác nhau bài toán này thực sự không phải là dễ với học sinh. Xuất phát từ các lí do trên tôi chọn đề tài: “Một số phương pháp xác định  công thức tổng quát của dãy số và xây dựng bài toán về dãy số ”. Qua nội  dung các ví dụ trong đề tài nhằm giúp các em học sinh lớp 11 có thêm kiến thức,  phần nào đáp ứng được việc học chuyên đề lớp 11 chuyên toán cũng như việc ôn  thi học sinh giỏi các cấp. 1.3 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu: 1
  2. Trường THPT Trần Hưng Đạo ­ Sáng Kiến Kinh Nghiệm                          Năm học: 2013 –  2014 Đối tượng nghiên cứu: Đối tượng nghiên cứu trong đề tài là học sinh khối 11 qua các năm giảng  dạy từ trước đến nay và hiện nay là lớp 11A1, 11A2. Phạm vi nghiên cứu: Phạm vi nghiên cứu của đề tài là “Chương III: Dãy số . Cấp số cộng và  cấp số nhân” sách giáo khoa Đại số và Giải tích 11 ban nâng cao. 1.4 Mục đích nghiên cứu: Do đây là phần nội dung kiến thức mới nên nhiều học sinh còn chưa quen  với tính tư  duy trừu tượng của nó, nên tôi nghiên cứu nội dung này nhằm tìm ra  những phương pháp truyền đạt phù hợp với học sinh, bên cạnh cũng nhằm tháo  gỡ  những vướng mắc, khó khăn mà học sinh thường hay gặp phải với mong   muốn nâng dần chất lượng giảng dạy học nói chung và môn Đại số  và Giải tích  11 nói riêng. 1.5 Điểm mới trong kết quả nghiên cứu: Điểm mới trong kết quả  nghiên cứu là tính thực tiễn và tính hệ  thống,  không áp đặt hoặc dập khuôn máy móc do đó mà học sinh dễ  dàng áp dụng vào  việc giải quyết các bài toán lạ, các bài toán khó. 2. GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ 2.1 Cơ sở lý luận: a) Phương pháp quy nạp toán học  b) Dãy số tăng, dãy số giảm và dãy số bị chặn * Dãy số  ( un )  gọi là dãy số tăng nếu  un < un+1 , ∀n ﾥ * * Dãy số  ( un )  gọi là dãy số giảm nếu  un > un+1 , ∀n ﾥ * Vậy: Nếu  un+1 − un > 0, ∀n ﾥ * suy ra  ( un )  là dãy số tăng         Nếu  un+1 − un < 0, ∀n ﾥ * suy ra  ( un )  là dãy số giảm * Nếu tồn tại số  M  sao cho  un M , ∀n ﾥ * thì  ( un )  bị chặn trên * Nếu tồn tại số  m  sao cho  un m , ∀n ﾥ * thì  ( un )  bị chặn dưới * Nếu dãy số  ( un )  bị chặn trên và bị chặng dưới thì gọi là dãy só bị chặn 2
  3. Trường THPT Trần Hưng Đạo ­ Sáng Kiến Kinh Nghiệm                          Năm học: 2013 –  2014 c) Cấp số cộng * Dãy số  ( un )  là cấp số cộng  � un+1 = un + d  với  ∀n ﾥ * , trong đó  d  là  số không đổi gọi là công sai của cấp số cộng. * Nếu dãy số  ( un )  là cấp số cộng thì  un = u1 + ( n − 1) d * Nếu dãy số  ( un )  là cấp số cộng thì tổng n                          S n = u1 + u2 + ... + u n = ( u1 + un )      2 d) Cấp số nhân * Dãy số   ( un )  là cấp số  nhân  � un+1 = un .q  với  ∀n ﾥ * , trong đó  q  là số  không đổi gọi là công bội của cấp số nhân. * Nếu dãy số  ( un )  là cấp số nhân thì  un = u1.q n−1 * Nếu dãy số  ( un )  là cấp số nhân vơi  q 1, q 0  thì tổng 1 − qn                          S n = u1 + u2 + ... + un = u1.      1− q e) Một số đinh lí về giới hạn ­ Nếu  q < 1 thì  lim q n = 0 ­ Nếu  q > 1  thì  lim q n = + ­ Nếu các dãy số  an cn , ∀n ﾥ * và  lim an = lim cn = L  thì  lim bn = L bn ­ Nếu dãy số  ( un )  tăng và bị chặn trên thì  ( un )  có giới hạn    Nếu dãy số  ( un )  giảm và bị chặn dưới thì  ( un )  có giới hạn. 2.2 Nội dung nghiên cứu của đề tài. A. Ph¬ng tr×nh sai ph©n tuyÕn tÝnh cÊp mét Ph¬ng tr×nh sai ph©n tuyÕn tÝnh cÊp mét lµ ph¬ng tr×nh sai ph©n d¹ng : u1 = α , a.un+1 + b.un = f n , n N * trong ®ã a,b, α lµ c¸c h»ng sè ,a # 0 vµ f n lµ biÓu thøc cña n cho tríc D¹ng 1 T×m un tho¶ m·n ®iÒu kiÖn u1 = α , a.un +1 + b .un = 0 (1.1) trong ®ã a, b, α cho tríc n N * Ph¬ng ph¸p gi¶i 3
  4. Trường THPT Trần Hưng Đạo ­ Sáng Kiến Kinh Nghiệm                          Năm học: 2013 –  2014 Gi¶i ph¬ng tr×nh ®Æc trng a.λ + b = 0 ®Ó t×m λ Khi ®ã un = qλ (q lµ n h»ng sè ) , trong ®ã q ®îc x¸c ®Þnh khi biÕt u1 = α Bµi to¸n 1: X¸c ®Þnh sè h¹ng tæng qu¸t cña cÊp sè nh©n, biÕt sè h¹ng ®Çu tiªn b»ng 1 vµ c«ng béi b»ng 2 Bµi gi¶i Ta cã un +1 = 2 un , u1 = 1 (1.2) 1 Ph¬ng tr×nh ®Æc trng cã nghiÖm λ = 2 VËy un = c.2 . Tõ u1 = 1 suy ra c = n 2 Do ®ã un = 2 n −1 D¹ng 2 T×m un tho¶ m·n ®iÒu kiÖn u1 = α , aun+1 + bun = f n , n N* (2 .1) trong ®ã f n lµ ®a thøc theo n Ph¬ng ph¸p gi¶i Gi¶i ph¬ng tr×nh ®Æc trng a.λ + b = 0 ta t×m ®îc λ Ta cã un = un + un 0 * Trong ®ã un lµ nghiÖm cña ph¬ng tr×nh thuÇn nhÊt (1.1) vµ un lµ nghiÖm 0 * riªng tuú ý cña ph¬ng tr×nh kh«ng thuÇn nhÊt (2.1) VËy un = q.λ q lµ h»ng 0 n sè sÏ ®îc x¸c ®Þnh sau Ta x¸c ®Þnh un nh sau : * 1) NÕu λ #1 th× un lµ ®a thøc cïng bËc víi f n * 2) NÕu λ =1 th× un = n.g n víi g n lµ ®a thøc cïng bËc víi f n * Thay un vµo ph¬ng tr×nh, ®ång nhÊt c¸c hÖ sè ta tÝnh ®îc c¸c hÖ sè cña un * * Bµi to¸n 2: T×m un tho¶ m·n ®iÒu kiÖn u1 = 2; un +1 = un + 2n, n N* (2.2) Bµi gi¶i Ph¬ng tr×nh ®Æc trng λ − 1 = 0 cã nghiÖm λ = 1 Ta cã un = un + un 0 * trong ®ã un = c.1 = c, un = n ( an + b ) Thay un vµo ph¬ng tr×nh (2.2) ta ®îc 0 n * * 4
  5. Trường THPT Trần Hưng Đạo ­ Sáng Kiến Kinh Nghiệm                          Năm học: 2013 –  2014 ( n + 1) � a ( n + 1) + b � � �= n ( an + b ) + 2n (2.3) thay n=1vµ n=2 vµo (2.3) ta ®îc hÖ ph¬ng tr×nh sau 3a + b = 2 � �a =1 � � 5a + b = 4 � b = −1 � Do ®ã un = n ( n − 1) Ta cã un = un + un = c + n ( n − 1) V× u1 = 2 nªn 2 = c + 1( 1 − 1) � c = 2 0 * VËy un = 2 + n ( n − 1) , hay un = n − n + 2 2 D¹ng 3 T×m un tho¶ m·n ®iÒu kiÖn u1 = α , a.un +1 + bu n = v.µn , n N* (3.1) trong ®ã f n lµ ®a thøc theo n Ph¬ng ph¸p gi¶i Gi¶i ph¬ng tr×nh ®Æc trng a.λ + b = 0 ta t×m ®îc λ Ta cã un = un + un 0 * Trong ®ã un = c.λ , c lµ h»ng sè cha ®îc x¸c ®Þnh , un ®îc x¸c ®Þnh nh 0 n * sau : 1) NÕu λ # µ th× un = A.µ * n 2) NÕu λ = µ th× un = A.n.µ * n Thay un vµo ph¬ng tr×nh (3.1) ®ång nhÊt c¸c hÖ sè ta tÝnh ®îc c¸c hÖ sè * cña un . BiÕt u1 , tõ hÖ thøc un = un + un , tÝnh ®îc c * 0 * Bµi to¸n 3: T×m un tho¶ m·n ®iÒu kiÖn u1 = 1; un +1 = 3.un + 2 n , n N* (3.2) Bµi gi¶i Ph¬ng tr×nh ®Æc trng λ − 3 = 0 cã nghiÖm λ = 3 Ta cã un = un + un 0 * trong ®ã un = c.3 , un = a.2 0 n * n Thay un = a.2 vµo ph¬ng tr×nh (3.2) , ta thu ®îc * n a.2n+1 = 3a.2n + 2n � 2a = 3a + 1 � a = −1 Suy ra un = −2 Do ®ã un = c.3 − 2n v× u1 = 1 nªn c=1 VËy un = 3 − 2 n n n n 5
  6. Trường THPT Trần Hưng Đạo ­ Sáng Kiến Kinh Nghiệm                          Năm học: 2013 –  2014 D¹ng 4 T×m un tho¶ m·n ®iÒu kiÖn u1 = α , a.un +1 + bun = f1n + f 2 n , n N* (4.1) Trong ®ã f1n lµ ®a thøc theo n vµ f 2 n = v.µ n Ph¬ng ph¸p gi¶i Ta cã un = un + u1n + u2 n Trong ®ã un lµ nghiÖm tæng qu¸t cña ph¬ng 0 * * 0 tr×nh thuÇn nhÊt aun+1 + bun = 0 , un lµ mét nghiÖm riªng cña ph¬ng tr×nh * kh«ng thuÇn nhÊt a.un+1 + b.un = f1n , u2n lµ nghiÖm riªng bÊt kú cña ph¬ng * tr×nh kh«ng thuÇn nhÊt a.un+1 + b.un = f 2 n Bµi to¸n 4: T×m un tho¶ m·n ®iÒu kiÖn u1 = 1; un +1 = 2un + n 2 + 3.2n , n N* (4.2) Bµi gi¶i Ph¬ng tr×nh ®Æc trng λ − 2 = 0 cã nghiÖm λ = 2 Ta cã un = un0 + u1*n + u2*n trong ®ã un0 = c.2n , un* = a.n 2 + b.n + c , u2*n = An.2n Thay un vµo ph¬ng tr×nh un+1 = 2.un + n , ta ®îc * 2 a ( n + 1) + b ( n + 1) + c = 2an 2 + 2bn + 2c + n 2 2 Cho n=1 , n=2 ta thu ®îc hÖ ph¬ng tr×nh �2a − c = 1 �a = −1 � � �a −b−c = 4 b = −2 �� �2a + 2b + c = −9 � c = −3 � � VËy u1n = − n − 2n − 3 thay u2n vµo ph¬ng tr×nh un+1 = 2.un + 3.2 Ta ®îc * 2 * n 3 A ( n + 1) 2n+1 = 2 An.2 n + 3.2n � 2 A ( n + 1) = 2 An + 3 � A = 2 VËy 3 u2*n = n.2n = 3n.2n −1 2 Do ®ã un = c.2 + ( −n − 2n − 3) + 3n.2 . Ta cã u1 = 1 nªn 1 = 2c − 2 + 3 � c = 0 n 2 n −1 VËy un = 3n.2 − n − 2n − 3 n −1 2 6
  7. Trường THPT Trần Hưng Đạo ­ Sáng Kiến Kinh Nghiệm                          Năm học: 2013 –  2014 B. Ph¬ng tr×nh sai ph©n tuyÕn tÝnh cÊp hai Ph¬ng tr×nh sai ph©n tuyÕn tÝnh cÊp hai lµ ph¬ng tr×nh sai ph©n d¹ng u1 = α , u2 = β , a.un+1 + bun + c.un−1 = f n , n N * trong ®ã a,b,c, α , β lµ c¸c h»ng sè , a # 0 vµ f n lµ biÓu thøc cña n cho tríc (NX: Ph¬ng tr×nh ®Æc trng cña ph¬ng tr×nh sai ph©n tuyÕn tÝnh cÊp hai lu«n cã hai nghiÖm kÓ c¶ nghiÖm phøc, song néi dung cña ®Ò tµi chØ dõng l¹i trong trêng sè thùc , tøc lµ chØ xÐt nghiÖm thùc ) D¹ng 1 T×m un tho¶ m·n ®iÒu kiÖn u1 = α , u2 = β , aun +1 + bun + c.u n −1 = 0, n N* (5.1) Ph¬ng ph¸p gi¶i Gi¶i ph¬ng tr×nh ®Æc trng a.λ + b.λ + c = 0 t×m λ Khi ®ã 2 1) NÕu λ1 , λ2 lµ hai nghiÖm thùc kh¸c nhau th× un = A.λ1 + B.λ2 , trong ®ã n n A vµ B ®îc x¸c ®Þnh khi biÕt u1 , u2 2) NÕu λ1 , λ2 lµ hai nghiÖm kÐp λ1 = λ2 = λ th× un = ( A + Bn ) .λ , trong ®ã n A vµ B ®îc x¸c ®Þnh khi biÕt u1 , u2 Bµi to¸n 5: T×m un tho¶ m·n ®iÒu kiÖn sau u0 = 1, u1 = 16, un + 2 = 8.un+1 − 16.un (5.1) Bµi gi¶i Ph¬ng tr×nh ®Æc trng λ 2 − 8λ + 16 = 0 cã nghiÖm kÐp λ = 4 Ta cã un = ( A + B.n ) .4 n (5.2) Cho n=0 , n=1 thay vµo (5.2) ta thu ®îc hÖ ph¬ng tr×nh u0 = 1 = A A =1 � � u1 = ( 1 + B ) .4 = 16 B=3 VËy un = ( 1 + 3n ) .4 n 7
  8. Trường THPT Trần Hưng Đạo ­ Sáng Kiến Kinh Nghiệm                          Năm học: 2013 –  2014 D¹ng 2 T×m un tho¶ m·n ®iÒu kiÖn u1 = α , u2 = β , a.u n+1 + b.un + c.u n−1 = f n , n 2, (6.1) trong ®ã a # 0, f n lµ ®a thøc theo n cho tríc Ph¬ng ph¸p gi¶i Gi¶i ph¬ng tr×nh ®Æc trng a.λ + b.λ + c = 0 ®Ó t×m λ . Khi ®ã ta cã 2 un = un0 + un* , trong ®ã un0 lµ nghiÖm tæng qu¸t cña ph¬ng tr×nh thuÇn nhÊt a.un+1 + b.un + c.un −1 = 0 vµ un* lµ mét nghiÖm tuú ý cña ph¬ng tr×nh a.un+1 + b.un + c.un −1 = f n Theo d¹ng 1 ta t×m ®îc un , trong ®ã hÖ sè A, B cha ®îc x¸c ®Þnh , un ®îc 0 * x¸c ®Þnh nh sau : 1) NÕu λ #1 th× un lµ ®a thøc cïng bËc víi f n * 2) NÕu λ = 1 lµ nghiÖm ®¬n th× un = n.g n , g n lµ ®a thøc cïng bËc víi f n * 3) NÕu λ = 1 lµ nghiÖm kÐp th× un = n. g n , g n lµ ®a thøc cïng bËc víi f n , * 2 Thay un vµo ph¬ng tr×nh , ®ång nhÊt c¸c hÖ sè, tÝnh ®îc c¸c hÖ sè cña un . * * BiÕt u1 , u2 tõ hÖ thøc un = un + un tÝnh ®îc A, B 0 * Bµi to¸n 6: T×m un tho¶ m·n ®iÒu kiÖn u1 = 1; u2 = 0, un +1 − 2un + un−1 = n + 1, n 2 (6.2) Bµi gi¶i Ph¬ng tr×nh ®Æc trng λ 2 − 2λ + 1 = 0 cã nghiÖm kÐp λ = 1 Ta cã un = un0 + un* trong ®ã un0 = ( A + B.n ) .1n = A + Bn, un* = n 2 ( a.n + b ) Thay un vµo ph¬ng tr×nh (6,2) , ta ®îc * ( n + 1) a ( n + 1) + b � �− 2n ( a.n + b ) + ( n − 1) � a ( n − 1) + b � 2 2 �= n + 1 2 � � � Cho n=1 , n=2 ta thu ®îc hÖ ph¬ng tr×nh 8
  9. Trường THPT Trần Hưng Đạo ­ Sáng Kiến Kinh Nghiệm                          Năm học: 2013 –  2014 1 4 ( 2a + b ) − 2 ( a + b ) = 2 a= � � 6 � � 9 ( 3a + b ) − 8 ( 2a + b ) + ( a + b ) = 3 1 b= 2 �n 1 � VËy un* = n 2 � + � �6 2 � Do ®ã �n 1 � un = un0 + un* = A + Bn + n 2 � + � �6 2 � Mặt kh¸c 1 1 A + B + + =1 A=4 � 6 2 � � � −11 �A + 2 B + 4 �1 1� �B = 3 � + �= 0 �3 2 � VËy 11 �n 1 � un = 4 − n + n2 � + � 3 �6 2 � D¹ng 3 T×m un tho¶ m·n ®iÒu kiÖn u1 = α , u2 = β , aun+1 + bun + c.un −1 = d .µ n , n 2 (7.1) Ph¬ng ph¸p gi¶i Gi¶i ph¬ng tr×nh ®Æc trng a.λ + b.λ + c = 0 ®Ó t×m λ Khi ®ã ta cã 2 un = un0 + un* , trong ®ã un0 ®îc x¸c ®Þnh nh d¹ng 1 vµ hÖ sè A vµ B cha ®îc x¸c ®Þnh, un ®îc x¸c ®Þnh nh sau * 1) NÕu λ # µ th× un = k .µ * n 2) NÕu λ = µ lµ nghiÖm ®¬n th× un = k .nµ * n 3) NÕu λ = µ lµ nghiÖm kÐp th× un = k .n. µ * 2 n 9
  10. Trường THPT Trần Hưng Đạo ­ Sáng Kiến Kinh Nghiệm                          Năm học: 2013 –  2014 Thay un vµo ph¬ng tr×nh , dïng ph¬ng ph¸p ®ång nhÊt thøc c¸c hÖ sè sÏ * tÝnh ®îc hÖ sè k . BiÕt u1 , u2 tõ hÖ thøc un = un + un tÝnh ®îc A,B 0 * Bµi to¸n 7: T×m un tho¶ m·n ®iÒu kiÖn u1 = 0; u2 = 0, un +1 − 2u n + u n−1 = 3.2n , n 2 Bµi gi¶i Ph¬ng tr×nh ®Æc trng λ 2 − 2λ + 1 = 0 cã nghiÖm kÐp λ = 1 Ta cã un = un0 + u1*n trong ®ã un0 = ( A + B.n ) .1n = A + Bn, un* = k .2n Thay un vµo ph¬ng tr×nh , ta ®îc * k .2n+1 − 2k .2n + k .2n −1 = 3.2 n � k = 6 VËy un = 6.2 = 3.2 . Do ®ã un = un + un = A + bn + 3.2 . (1) Thay * n n +1 0 * n +1 u1 = 1, u2 = 0 vµo ph¬ng tr×nh (1) ta thu ®îc 1 = A + B + 12 � �A = 2 � � 0 = A + 2 B + 24 � �B = −13 VËy un = 2 − 13n + 3.2n +1 D¹ng 4 T×m un tho¶ m·n ®iÒu kiÖn u1 = α , u2 = β , aun+1 + bun + c.un −1 = f n + g n , n 2 (8.1) trong ®ã a # 0 , f n lµ ®a thøc theo n vµ g n = v.µ n Ph¬ng ph¸p gi¶i Ta cã un = un + u1n + u2 n trong ®ã un lµ nghiÖm tæng qu¸t cña ph¬ng 0 * * 0 tr×nh thuÇn nhÊt aun +1 + bun + c.un −1 = 0 , u1n lµ nghiÖm riªng tïy ý cña ph¬ng * tr×nh kh«ng thuÇn nhÊt aun+1 + bun + c.un −1 = f n u2n lµ nghiÖm riªng tïy ý cña * ph¬ng tr×nh kh«ng thuÇn nhÊt aun +1 + bun + c.u n−1 = g n Bµi to¸n 8: ( §Ò thi OLYPIC 30 -4 To¸n 11 LÇn thø VIII- 2002 ) T×m un tho¶ m·n ®iÒu kiÖn u1 = 0; u2 = 0, un +1 − 2un − 3un −1 = n + 2n , n 2 (8.2) 10
  11. Trường THPT Trần Hưng Đạo ­ Sáng Kiến Kinh Nghiệm                          Năm học: 2013 –  2014 Bµi gi¶i Ph¬ng tr×nh ®Æc trng λ 2 − 2λ − 3 = 0 cã nghiÖm λ1 = −1, λ2 = 3 Ta cã un = un0 + u1*n + u2*n trong ®ã un0 = A ( −1) + B.3n , u1*n = a + bn, u2*n = k .2n n Thay u1n vµo ph¬ng tr×nh un+1 − 2un − 3un −1 = n , ta ®îc * a ( n + 1) + b − 2 ( an + b ) − 3 � a ( n − 1) + b � � �= n � ( 4a + 1) n − 4 ( a − b ) = 0 VËy 1 a=b=− 4 Do ®ã −1 un* = ( n + 1) 4 Thay u2n vµo ph¬ng tr×nh un+1 − 2un − 3un −1 = 2 , ta ®îc * n 2 k .2n+1 − 2.k .2n = 3.k .2n −1 = 2n � k = − 3 Do ®ã 2 1 u2*n = − .2n = − .2n+1 3 3 VËy 1 1 un = un0 + u1*n + u2*n = A ( −1) + B.3n − ( n + 1) − .2n+1 (8.3) n 4 3 Ta thay u1 = 1, u2 = 0 vµo (8.3) ta ®îc hÖ ph¬ng tr×nh � 1 4 � 61 �− A + 3 B − − =1 �A = − � 2 3 � 48 � � �A + 9 B − 3 − 8 = 0 �B = 25 � 4 3 � 48 VËy 11
  12. Trường THPT Trần Hưng Đạo ­ Sáng Kiến Kinh Nghiệm                          Năm học: 2013 –  2014 61 25 1 1 .( −1) + .3n − .( n + 1) − .2 n+1 n un = − 48 48 4 3 C. Ph¬ng tr×nh sai ph©n tuyÕn tÝnh cÊp ba Ph¬ng tr×nh sai ph©n tuyÕn tÝnh cÊp ba lµ ph¬ng tr×nh sai ph©n d¹ng u1 = α , u2 = β , u3 = γ , a.un + 2 + bun+1 + c.un + d .un−1 = f n , n 2 (a.1) trong ®ã a,b,c, d, α , β , γ lµ c¸c h»ng sè , a # 0 vµ f n lµ biÓu thøc cña n cho tríc (NX: Ph¬ng tr×nh ®Æc trng cña ph¬ng tr×nh sai ph©n tuyÕn tÝnh cÊp ba lu«n cã ba nghiÖm kÓ c¶ nghiÖm phøc, song néi dung cña ®Ò tµi chØ dõng l¹i trong trêng sè thùc , tøc lµ chØ xÐt nghiÖm thùc ) Ph¬ng ph¸p gi¶i NghiÖm tæng qu¸t cña ph¬ng tr×nh sai ph©n tuyÕn tÝnh cÊp ba cã d¹ng un = un + un , trong ®ã un lµ nghiÖm tæng qu¸t cña ph¬ng tr×nh tuyÕn 0 * 0 tÝnh thuÇn nhÊt, un lµ mét nghiÖm riªng cña ph¬ng tr×nh tuyÕn tÝnh kh«ng * thuÇn nhÊt XÐt ph¬ng tr×nh ®Æc trng aλ 3 + bλ 2 + cλ + d = 0 (a.2) 1) X¸c ®Þnh c«ng thøc nghiÖm tæng qu¸t cña ph¬ng tr×nh sai ph©n tuyÕn tÝnh cÊp ba thuÇn nhÊt a) NÕu (a.2) cã ba nghiÖm thùc λ1 , λ2 , λ3 ph©n biÖt th× un0 = a1 .λ1n + a2 .λ2n + a3 .λ3n b) NÕu (a.2) cã mét nghiÖm thùc béi 2 vµ mét nghiÖm ®¬n (λ1 = λ2 # λ3 ) th× un0 = (a1 + a2 n)λ1n + a3 .λ3n c) NÕu (a.2) cã mét nghiÖm thùc béi 3 (λ1 = λ2 = λ3 ) th× 12
  13. Trường THPT Trần Hưng Đạo ­ Sáng Kiến Kinh Nghiệm                          Năm học: 2013 –  2014 un0 = (a1 + a2 n + a3 n 2 )λ1n 2) X¸c ®Þnh nghiÖm riªng un cña ph¬ng tr×nh (a.1) * XÐt f n lµ ®a thøc cña n ta cã a) NÕu λ #1 th× un lµ ®a thøc cïng bËc víi f n * b) NÕu λ = 1 (nghiÖm ®¬n ) th× un = n.g n , g n lµ ®a thøc cïng bËc * víi f n c) NÕu λ = 1 (béi 2 ) th× un = n .g n g n lµ ®a thøc cïng bËc víi f n * 2 d) NÕu λ = 1 (béi 3) th× un = n .g n g n lµ ®a thøc cïng bËc víi f n * 3 XÐt f n = v.µ ta cã n a) NÕu λ # µ th× un = k .n.µ * n b) NÕu λ = µ (nghiÖm ®¬n ) th× un = k .µ * n c) NÕu λ = µ (nghiÖm béi s ) th× un = k .n .µ * s n Bµi to¸n 9: T×m d·y sè (un ) biÕt r»ng u1 = 0, u2 = 1, u3 = 3, un = 7un−1 − 11.un− 2 + 5.un −3 , n 4 (9.1) Bµi gi¶i XÐt ph¬ng tr×nh ®Æc trng λ 3 − 7λ 2 + 11λ − 5 = 0 cã 3 nghiÖm thùc λ1 = λ2 = 1, λ3 = 5 VËy un = c1 + c2 n + c3 5 n Cho n=1, n=2, n=3 vµ gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh t¹o thµnh, ta ®îc 1 3 1 c1 = − , c2 = , c3 = 16 4 16 1 3 1 VËy un = − + ( n − 1) + .5n −1 16 4 16 D. Bµi tËp ¸p dông Bµi to¸n 10: Cho d·y sè (an ) ®îc x¸c ®Þnh theo c«ng thøc sau 13
  14. Trường THPT Trần Hưng Đạo ­ Sáng Kiến Kinh Nghiệm                          Năm học: 2013 –  2014 a1 = 0; a2 = 1, an +1 = 2an − an −1 + 1, n 2 (10.1) Chøng minh sè A = 4.an .an+ 2 + 1 lµ sè chÝnh ph¬ng Bµi gi¶i Ta cã an+1 = 2an − an−1 + 1 (10.2) Trong (9.2) ta thay n bëi n-1, ta ®îc an = 2an −1 − an −2 + 1 (10.3) Trõ c¸c vÕ cña (10.1) cho (10.2) ta thu ®îc an+1 − 3an + 3an−1 − an− 2 = 0 (10.4) Ph¬ng tr×nh ®Æc trng cña (10.4) lµ λ 3 − 3λ 2 + 3λ − 1 = 0 cã nghiÖm λ = 1 lµ nghiÖm béi bËc ba VËy nghiÖm tæng qu¸t cña ph¬ng tr×nh (10.4) lµ an = (c1 + c2 n + c3 n 2 )1n Cho n=0, n=1, n=2 ta ®îc 0 = c1 c1 = 0 1 = c2 + c2 + c3 � � 1 � c2 = c3 = � 3 = c1 + 2c2 + 4c3 2 n ( n + 1) Ta thu ®îc an = vµ tõ ®ã ta cã 2 A = 4an .an + 2 + 1 = ( n 2 + 3n + 1) 2 §iÒu nµy chøng tá A lµ mét sè chÝnh ph¬ng Bµi to¸n 11: Cho d·y sè ( xn ) ®îc x¸c ®Þnh theo c«ng thøc sau x1 = 7; x2 = 50, xn +1 = 4 xn + 5 xn −1 − 1975 ( n 2) (11.1) Chøng minh r»ng x1996 M1997 Bµi gi¶i XÐt d·y sè ( yn ) víi y1 = 7, y2 = 50 vµ yn +1 = 4 yn + 5 yn −1 + 22 ( n 2) (11.2) DÔ thÊy yn xn ( mod1997 ) . Do ®ã chØ cÇn chøng minh 14
  15. Trường THPT Trần Hưng Đạo ­ Sáng Kiến Kinh Nghiệm                          Năm học: 2013 –  2014 y1996 0 ( mod1997 ) §Æt zn = 4 yn + 11 suy ra z1 = 39, z2 = 211 . NhËn xÐt r»ng zn +1 = 4 yn+1 + 11 = 16 yn + 20 yn −1 + 99 = 4 zn + 20 yn−1 + 55 (11.3) Ta l¹i cã zn −1 = 4 yn −1 + 11 suy ra 20 yn−1 = 5 zn−1 − 55 (11.4) ThÕ (11.4) vµo (11.3) ta ®îc zn +1 = 4 zn + 5 zn−1 Suy ra zn +1 − 4 zn − 5 zn−1 = 0 (11.5) Ph¬ng tr×nh ®Æc trng cña (11.5) lµ λ 2 − 4λ − 5 = 0 cã nghiÖm λ1 = −1, λ2 = 5 NghiÖm tæng qu¸t cña (11.1) lµ zn = ( −1) α + 5n β n Ta cã 8 α= z1 = −α + 5β = 39 3 � � z2 = α + 25β = 211 25 β= 3 Do ®ã ta nhËn ®îc 8 25 zn = .( −1) + .5n n (11.6) 3 3 Tõ (11.6) ta suy ra 8 + 25.51996 z1996 = 3 Ta cÇn chøng minh z1996 11( mod1997 ) Do 15
  16. Trường THPT Trần Hưng Đạo ­ Sáng Kiến Kinh Nghiệm                          Năm học: 2013 –  2014 51996 − 1 M1997 51996 − 1 M 3 Nªn 5 − 1M3.1997 . Tõ ®ã , ta cã 51996 = 3n.1997 + 1 , vµ khi ®ã 1996 8 25 ( 3n.1997 + 1) z1996 = + = 25.n.1997 + 11 3 3 VËy z1996 11( mod 1997 ) E. Bµi tËp t¬ng tù Bµi 1: X¸c ®Þnh c«ng thøc cña d·y sè ( xn ) tho¶ m·n c¸c ®iÒu kiÖn sau 1) x1 = 11, xn +1 = 10.xn + 1 − 9n , ∀n N 2) x0 = 2, x1 = −8, xn+ 2 = −8.xn+1 + 9 xn 3) x0 = 1, x1 = 3, 2. xn+ 2 − 5 xn+1 + 2 xn = −n − 2n + 3 2 4) x0 = 0, x1 = 1, xn +1 − 4 xn + 4 xn −1 = n − 6n + 5 2 5) x1 = 1, x2 = 2, xn + 2 − 5 xn+1 + 6 xn = 4 Bµi 2: Cho d·y sè (an ) tho¶ m·n ®iÒu kiÖn an = an −1 + 2.an −2 nγ N (n 3) a1 = a2 = 1 Chøng minh r»ng an lµ mét sè lÎ Bµi 3: Cho d·y sè (bn ) x¸c ®Þnh bëi bn = 2.bn−1 + bn −2 nγ N (n 3) b1 = 1, b2 = 2 n �5 � Chøng minh r»ng bn � �, ∀n N �2 � Bµi 4: Cho d·y sè (un ) tho¶ m·n ®iÒu kiÖn un + 2 − 2.un+1 + un = 2 nγ N (n 2) u0 = 1, u1 = 0 16
  17. Trường THPT Trần Hưng Đạo ­ Sáng Kiến Kinh Nghiệm                          Năm học: 2013 –  2014 Chøng minh r»ng un lµ mét sè chÝnh ph¬ng Bµi 5: (TuyÓn tËp ®Ò thi Olympic 30 – 4 To¸n 11 LÇn thø VIII – 2002 NXB gi¸o dôc ) Cho d·y sè (un ) tho¶ m·n nh sau un �Z + , ∀ �N u0 = 1, u1 = 9 un = 10.un−1 − un− 2 ∀n γ N , n 2 Chøng minh : ∀k γ N , k 1 1) uk + uk −1 − 10uk .uk −1 = −8 2 2 2) 5.uk − uk −1 M4 va 3.uk − 1M2 2 ( M kÝ hiÖu chia hÕt ) Bµi 6: Cho d·y sè (un ) tho¶ m·n ®iÒu kiÖn un + 2 = 2un +1 + 2un − un −1 , n N* Chøng minh r»ng tån t¹i c¸c h»ng sè nguyªn M sao cho c¸c sè M + 4.an+1an ®Òu lµ sè chÝnh ph¬ng Bµi 7: ( B¸o To¸n Häc vµ Tuæi TrÎ sè 356) Cho d·y sè (ai ) ( i=1,2,3,4…)®îc x¸c ®Þnh bëi a1 = 1, a2 = −1, an = −an −1 − 2an− 2 , n = 3,4,... TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc A = 2.a2006 2 + a2006 .a2007 + a2007 2 Bµi 8: Cho d·y sè nguyªn d¬ng (un ) tho¶ m·n ®iÒu kiÖn u0 = 20, u1 = 100, un + 2 = 4.un +1 + 5.u n + 20, n N* T×m sè nguyªn d¬ng h bÐ nhÊt cã tÝnh chÊt an+ h − an M1998 , n N 17
  18. Trường THPT Trần Hưng Đạo ­ Sáng Kiến Kinh Nghiệm                          Năm học: 2013 –  2014 F. X©y dùng bµi to¸n vÒ d·y sè truy håi NhËn xÐt : Néi dung cña ®Ò tµi trªn gióp b¹n ®äc t×m ra c«ng thøc tæng qu¸t cña mét líp d·y sè cã tÝnh chÊt truy håi mét c¸ch chÝnh x¸c nhÊt, gióp c¸c ThÇy c« kiÓm tra kÕt qu¶ bµi to¸n theo c¸ch gi¶i kh¸c. Bªn c¹nh ®ã ta cã thÓ tiÕn hµnh x©y dùng thªm c¸c bµi to¸n míi vÒ d·y sè. Díi ®©y lµ mét sè vÝ dô “ x©y dùng thªm c¸c bµi to¸n vÒ d·y sè cã tÝnh quy luËt ” chØ mang tÝnh chÊt tham kh¶o. T¸c gi¶ mong muèn b¹n ®äc t×m hiÓu vµ ph¸t triÓn réng h¬n c¸c bµi to¸n kh¸c vÒ d·y sè. VÝ dô 1: XuÊt ph¸t tõ ph¬ng tr×nh ( λ − 1) ( λ + 9 ) = 0 � λ 2 + 8λ − 9 = 0 (12.1) ph¬ng tr×nh (12.1) cã thÓ ®îc coi lµ ph¬ng tr×nh ®Æc trng cña mét d·y sè cã quy luËt. Ch¼ng h¹n d·y sè (un ) ®îc x¸c ®Þnh theo c«ng thøc sau un+ 2 + 8.un+1 + 9.un = 0 cã thÓ cho u0 = 2, u1 = −8 . Ta cã thÓ ph¸t biÓu thµnh c¸c bµi to¸n sau Bµi to¸n 1: Cho d·y sè ( xn ) x¸c ®Þnh nh sau xn + 2 + 8.xn+1 + 9.xn = 0 n N x0 = 2, x1 = −8 X¸c ®Þnh c«ng thøc cña xn Bµi to¸n 2: Cho d·y sè ( xn ) x¸c ®Þnh nh sau xn + 2 + 8.xn+1 + 9.xn = 0 n N x0 = 2, x1 = −8 TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc A = x2006 − 5.x2007 + 4 VÝ dô 2: XuÊt ph¸t tõ ph¬ng tr×nh ( λ − 1) 2 = 0 � λ 2 − 2λ + 1 = 0 (12.2) ph¬ng tr×nh (12.2) cã thÓ ®îc coi lµ ph¬ng tr×nh ®Æc trng cña mét d·y sè cã quy luËt. Ch¼ng h¹n d·y sè (un ) ®îc x¸c ®Þnh theo c«ng thøc sau 18
  19. Trường THPT Trần Hưng Đạo ­ Sáng Kiến Kinh Nghiệm                          Năm học: 2013 –  2014 un+ 2 − 2.un +1 + un = 2 cã thÓ cho u0 = 1, u1 = 0 khi ®ã vËn dông thuËt to¸n trªn x¸c ®Þnh ®îc c«ng thøc tæng qu¸t cña d·y sè xn = ( n − 1) 2 Ta cã thÓ ph¸t biÓu thµnh c¸c bµi to¸n sau Bµi to¸n 1: X¸c ®Þnh c«ng thøc cña d·y sè ( xn ) tho¶ m·n c¸c ®iÒu kiÖn sau xn + 2 − 2 xn+1 + xn = 2 n N x0 = 1, x1 = 0 Bµi to¸n 2: Cho d·y sè ( xn ) x¸c ®Þnh nh sau xn + 2 − 2 xn+1 + xn = 2 n N x0 = 1, x1 = 0 Chøng minh r»ng xn lµ mét sè chÝnh ph¬ng Bµi to¸n 3: Cho d·y sè ( xn ) x¸c ®Þnh nh sau xn + 2 − 2 xn+1 + xn = 2 n N x0 = 1, x1 = 0 X¸c ®Þnh sè tù nhiªn n sao cho xn+1 + xn = 22685 2.3 Các biện pháp đã tiến hành để giải quyết vấn đề. Để thực hiện đề tài này tôi đã tìm đọc rất nhiều tài liệu viết về vấn đề này,  nghiên cứu lời giải cho từng dạng toán, lựa chọn bài tập phù hợp với từng nội  dung để làm nổi bật được nội dung cần phân tích. 2.4. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm. Trong quá trình thực hiện đề tài với việc cho học sinh lên bảng làm một số  bài tập người giáo viên có thể nắm bắt được tình hình tiếp thu bài học. Nhưng để  có được sự kết luận toàn diện nên giữa học kì II năm học 2013 – 2014 khi học  sinh đã học song các phần liên quan đến nội dung của bài viết này tôi đã cho các  lớp 11A1, 11A2 làm bài kiểm tra 45 phút với đề bài tương tự phần khảo sát thực  tiễn chỉ thay đổi về mặt số liệu để thuận tiện cho việc đối chiếu so sánh kết quả  thu được.     19
  20. Trường THPT Trần Hưng Đạo ­ Sáng Kiến Kinh Nghiệm                          Năm học: 2013 –  2014              Trong đó lớp 11A1 là lớp thực nghiệm trong quá trình triển khai đề tài còn  lớp 11A2 là lớp đối chứng không tham gia trong việc triển khai đề tài.               Sau khi chấm bài kiểm tra tôi thu kết quả với mức điểm được tính phần  trăm như sau:  Lớp thực nghiệm 11A1(42 học sinh)  Lớp đối chứng 11A2 (48 học sinh)         Điểm 1 1 – 2,5 3  3 – 4,5 5 – 6,5 7 – 8,59 9– 10 Lớp    Lớp 11A1 0% 2% 18% 20% 60%    Lớp 11A2 4% 28% 52% 14% 2%              Căn cứ vào kết quả kiểm tra. Đối chiếu so sánh kết quả làm bài của lớp  thực nghiệm và lớp còn lại không được tham gia thực nghiệm ta thấy: Với các nội  dung đã trình bày trong bài viết này đã giúp các em học sinh lớp 11 có cái nhìn bao  quát về cách giải các bài toán về dãy số thuộc chương trình trung học phổ thông  không chuyên giúp các em tự tin hơn khi đứng trước các bài toán về dãy số đồng  thời góp phần làm cho học sinh thấy hứng thú hơn nữa với môn Toán vì trong đó  thường có các phép thế tuyệt đẹp các suy luận rất rất logic. 20
ADSENSE

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

THÔNG TIN
TRỢ GIÚP
HỖ TRỢ KHÁCH HÀNG
Theo dõi chúng tôi

Chịu trách nhiệm nội dung:

Nguyễn Công Hà - Giám đốc Công ty TNHH TÀI LIỆU TRỰC TUYẾN VI NA

LIÊN HỆ

Địa chỉ: P402, 54A Nơ Trang Long, Phường 14, Q.Bình Thạnh, TP.HCM

Hotline: 093 303 0098

Email: support@tailieu.vn

Giấy phép Mạng Xã Hội số: 670/GP-BTTTT cấp ngày 30/11/2015 Copyright © 2022-2032 TaiLieu.VN. All rights reserved.

 

Đồng bộ tài khoản
2=>2