intTypePromotion=1
ADSENSE

SKKN: Một số phương pháp xác định giới hạn dãy số

Chia sẻ: Trần Thị Ta | Ngày: | Loại File: DOC | Số trang:30

42
lượt xem
3
download
 
  Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Sáng kiến “Một số phương pháp xác định giới hạn dãy số” nhằm giúp học sinh có hứng thú và giải quyết dễ dàng các bài toán liên quan đến giới hạn dãy số. Mời các bạn cùng tham khảo!

Chủ đề:
Lưu

Nội dung Text: SKKN: Một số phương pháp xác định giới hạn dãy số

  1. MỤC LỤC Nội dung Trang 1. Lời giới thiệu 2 2. Tên sáng kiến 2 3. Tác giả sáng kiến 2 4. Chủ đầu tư tạo ra sáng kiến 2 5. Lĩnh vực áp dụng sáng kiến 3 6. Ngày sáng kiến được áp dụng 3 7. Mô tả bản chất của sáng kiến 3 7.1. Về nội dung sáng kiến 3 PHẦN I: CƠ SỞ LÝ LUẬN 4 1.1. Phương pháp quy nạp toán học 4 1.2. Dãy số 5 PHẦN II: GIỚI HẠN DÃY SỐ 6 2.1.Tính giới hạn của dãy bằng cách xác định CTTQ của dãy 6 2.2.Tính giới hạn của dãy cho bởi hệ  thức truy hồi bằng cách  sử  13 dụng tính đơn điệu và bị chặn. 2.3.Phương pháp lượng giác hóa 18 2.4. Giới hạn của tổng 19 7.2. Về khả năng áp dụng của sáng kiến 27 8. Những thông tin cần được bảo mật 27 9. Các điều kiện cần thiết để áp dụng sáng kiến 27 10. Đánh giá lợi ích thu được (kết quả thực hiện) 27 11. Danh sách những tổ chức/cá nhân đã tham gia áp dụng sáng  28 kiến lần đầu. 1
  2. BÁO CÁO KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU, ỨNG DỤNG SÁNG KIẾN 1.  Lời giới thiệu              Bài toán tìm giới hạn dãy số là một trong các bài toán có trong cấu trúc  đề thi trong các kỳ thi Học sinh giỏi khối 11 của Tỉnh qua các năm và trong cấu   trúc đề thi THPT Quốc Gia qua các năm kể từ khi Bộ GD&ĐT chuyển sang thi  trắc nghiệm. Trong đó xác định giới hạn của dãy bằng cách xác định CTTQ,   lượng giác hóa, sử  dụng tính đơn điệu của dãy và giới hạn của dãy tổng được   khai thác chủ yếu. Trong năm học  tôi được giao nhiệm vụ dạy Toán ở lớp đầu  cao, dạy bồi dưỡng Học sinh giỏi khối 11 nên việc nghiên cứu bài toán tìm giới   hạn dãy số  là bắt buộc. Khi dạy phần giới hạn dãy số  tôi thấy một số  vấn đề  sau cần giải quyết.               Một là: Theo quan điểm của ngành Giáo dục và thời lượng chương trình   dạy học nên nội dung của chương dãy số đã được giảm tải đáng kể. Tuy nhiên  việc giảm tải chỉ tập trung vào bài tập còn lí thuyết thì giảm tải không đáng kể  vì đó là yêu cầu tối thiểu. Nên khi giáo viên dạy lí thuyết chương này khá vất   vả, học sinh học lí thuyết cũng rất vất vả nhưng khi làm bài tập trong Sách giáo  khoa học sinh thấy rất đơn giản vì các bài tập hơi khó đã được giảm tải, các bài   tập còn lại đều tương tự ví dụ đã có trong phần lí thuyết nên hầu hết học sinh   làm bài theo cách rất máy móc ít hiểu rõ vấn đề  do đó khi đề  bài chỉ  thay đổi   một chút là học sinh sẽ cảm thấy khó khăn, chán ngán.              Hai là: Các vấn đề về dãy số  ít xuất hiện trong các đề  thi tuyển sinh   Đại học nên nhiều học sinh không hứng thú với nội dung này. Tài liệu tham  khảo về dãy số  cũng rất ít do đó những học sinh có nhu cầu tìm hiểu sâu thêm  về  dãy số  hoặc những học sinh có ý đinh ôn thi Học sinh giỏi rất khó tìm cho  mình một cuốn tài liệu dễ đọc.     Từ thực trạng của vấn đề trên, tôi chọn nghiên cứu sáng kiến “Một số  phương pháp xác định giới hạn dãy số” nhằm giúp học sinh có hứng  thú và giải quyết dễ dàng các bài toán liên quan đến giới hạn dãy số. 2. Tên sáng kiến: “ Một số phương pháp xác định giới hạn dãy số” 3. Tác giả sáng kiến:             ­ Họ và tên: Đào Xuân Tiến 2
  3.   ­ Địa chỉ tác giả sáng kiến: Trường THPT Yên Lạc 2 – huyện Yên Lạc –   tỉnh Vĩnh Phúc.   ­ Số điện thoại: 0986968630 Email:daoxuantien101186@gmail.com. 4. Chủ đầu tư tạo ra sáng kiến:      Đào Xuân Tiến – Trường THPT Yên Lạc 2 – huyện Yên Lạc – tỉnh   Vĩnh Phúc. 5. Lĩnh vực áp dụng sáng kiến:               Sáng kiến “ Một số phương pháp xác định giới hạn dãy số” được  áp dụng bồi dưỡng HSG khối 11 và ôn thi THPT Quốc Gia.              Những vấn đề tôi trình bày trong bản sáng kiến với mục đích sau:               Một là: Truyền đạt đến học sinh một cái nhìn toàn diện về giới hạn dãy  số theo quan điểm của học sinh trung học phổ thông không chuyên. Hệ thống và   phân tích các bài tập về giới hạn dãy số một cách logic từ khó đến rất khó.               Hai là: Qua việc luyện tập các bài toán về giới hạn dãy số ta sẽ thấy nó   là các phép thế tuyệt đệp, nó là phép quy nạp từ các vấn đề đơn giản đến phức  tạp tổng quát là phép biến đổi điển hình của đại số và giải tích.               Ba là: Hướng dẫn học sinh tìm lời giải một cách tự nhiên cho các bài   toán về giới hạn dãy số chánh sự gượng ép máy móc.     6. Ngày sáng kiến được áp dụng lần đầu hoặc áp dụng thử:     Ngày 28/02/2020 7. Mô tả bản chất của sáng kiến: 7.1. Về nội dung sáng kiến 3
  4. PHẦN I: CƠ SỞ LÝ LUẬN 1.1.Phương pháp quy nạp toán học  n N *  ta luôn có các đẳng thức sau : n(n 1) 1.   1 2 ... n 2 n(n 1)(2n 1) 12 22 ... n 2 2.        6 n 2 (n 1) 2 13 23 ... n3 3.   4 n(4n 2 1) 4.  1 2 3 2 ... (2n 1) 2 3 2n(n + 1)(2n + 1) 5.   22 + 42 + ... + (2n) 2 = .  3 6.   1 3 5 ... (2n 1) n 2 n(n + 1) n(n + 1)(n + 2) 7.   1 + 3 + 6 + 10 + ... + 2 = 6 , ∀n 1. 1 1 1 n 8.   1.2 2.3 ... n(n 1) n 1 1 1 9. 1 ... 2 n 2 n 10.  Cho số thực  x 1 . Chứng minh rằng :  (1 x) n 1 nx  ,  n N* 11. Với mọi số tự nhiên   n 3 , ta có :  2n 2n 1 12.  Với mọi số tự nhiên   n 2 , ta có : 1 1 1 a. 1 ... n 2 3 n 1 1 1 b. 1 ... N n 2 3 2 1 1.3.5...(2n − 1) 1 . c.  2.4.6...2n 3n + 1          13.  Cho số thực  x k2 ,k Z , n N * , ta luôn có : 4
  5. nx (n 1) x .sin sin a.  sin x sin 2 x ... sin .nx 2 2 x sin 2 (n 1) x nx sin . cos b. 1 cos x cos 2 x ... cos .nx 2 2 x sin 2 1.2. Dãy số 1.2.1.Định nghĩa Mỗi hàm số  u   xác định trên tập các số nguyên dương  N *   được gọi là  một dãy số vô hạn (gọi tắt là dãy số). Kí hiệu:  u : N* ᄀ        n u (n)   Trong đó  un = u (n)   và gọi  u1   là số hạng đầu,  un   là số hạng thứ  n  và là số  hạng tổng quát của dãy số . 1.2.2. Dãy số tăng, dãy số giảm và dãy số bị chặn * Dãy số  ( un )  gọi là dãy số tăng nếu  un < un +1 , ∀n ᄀ * . * Dãy số  ( un )  gọi là dãy số giảm nếu  un > un+1 , ∀n ᄀ * . Vậy: Nếu  un+1 − un > 0, ∀n ᄀ * suy ra  ( un )  là dãy số tăng.         Nếu  un+1 − un < 0, ∀n ᄀ * suy ra  ( un )  là dãy số giảm. * Nếu tồn tại số  M  sao cho  un M , ∀n ᄀ * thì  ( un )  bị chặn trên. * Nếu tồn tại số  m  sao cho  un m , ∀n ᄀ * thì  ( un )  bị chặn dưới. * Nếu dãy số  ( un )  bị chặn trên và bị chặn dưới thì gọi là dãy só bị chặn. 1.2.3.Một vài dãy số đặc biệt * Cấp số cộng * Dãy số  ( un )  là cấp số cộng  � un+1 = un + d  , n N * , trong đó (d 0) , d  là số  không đổi gọi là công sai của cấp số cộng. * Nếu dãy số  ( un )  là cấp số cộng thì  un = u1 + ( n − 1) d * Nếu dãy số  ( un )  là cấp số cộng thì tổng n n [ 2u1 + (n − 1)d ]                          Sn = u1 + u2 + ... + un = ( u1 + un ) = .      2 2 *Cấp số nhân * Dãy số  ( un )  là cấp số nhân  � un+1 = un .q  , n N * , trong đó  q  là số không  đổi gọi là công bội của cấp số nhân. 5
  6. * Nếu dãy số  ( un )  là cấp số nhân thì  un = u1.q n−1 * Nếu dãy số  ( un )  là cấp số nhân vơi  q 1, q 0   1 − qn    thì tổng        S n = u1 + u2 + ... + un = u1. 1− q           PHẦN II. GIỚI HẠN DÃY SỐ 2.1.Tính giới hạn của dãy bằng cách xác định CTTQ của dãy * Kiến thức sử dụng:  ­ Các công thức đối với các dãy số quen thuộc.  ­ Tính chất của các dãy số là cấp  số cộng, cấp số nhân. * Bài tập vận dụng 1 1 1 Bài 2.1.1. Cho dãy số  un = + + ... + .  Tìm giới hạn dãy số? 1.2 2.3 n(n + 1) Lời giải: Ta có 1 1 1 1 1 1 1   un = − + − + ... + − =1−   1 2 2 3 n n +1 n +1 Suy ra  lim un = 1.   12 32 52 ... (2n 1) 2 Bài 2.1.2. Cho dãy số  n u .  Tìm giới hạn dãy số? 2 2 4 2 6 2 ... (2n) 2 Lời giải: Ta có 2n(2n 1)(4n 1) 12 22 32 ... (2n) 2 6 (4n 1) un 1 22 44 62 ... (2n) 2 4. n(n 1)(2n 1) 2(n 1) 6 Suy ra  lim un = 1 . Pn Bài 2.1.3. Cho dãy số  ( un )  xác định bởi  un =  trong đó  Pn  là số hoán vị của  Ann+ 2 n  phần tử,  Ank  là số chỉnh hợp chập  k  của  n  phần tử. Đặt  S n = u1 + u 2 +... + un Tìm   limSn . 6
  7. Lời giải: Ta có ( n + 2) ! � u n!.2! 2   Pn = n!,  An +2 = = = n 2! n ( n + 2 ) ! ( n + 1) ( n + 2 ) �1 1 1 1 � � Sn = 2 � + + + ... + � �2.3 3.4 4.5 ( n + 1) ( n + 2 ) � � � Sn = 2 � 3− 2 4−3 5− 4 + + + ... + ( n + 2 ) − ( n + 1) � � �2.3 3.4 4.5 ( n + 1) ( n + 2 ) � 1 1 1 1 1 1 � 1 1 � � S n = 2 � − + − + − + ... + − 2 3 3 4 4 5 � n +1 n + 2 � � �1 1 � � Sn = 2 � − � lim Sn = 1 �2 n + 2� � u1 = 1 un Bài 2.1.4. Cho dãy số  ( un )  thỏa mãn  . Hãy tìm  lim un+1 = un + n; n 1 un+1 Lời giải: Theo đề bài ta có  u1 = 1 u2 = u1 + 1 u3 = u2 + 2                              …     … un = un−1 + ( n − 1) Cộng theo về  n  đẳng thức trên ta được ( n − 1) n = 1 n 2 − n + 2 un = 1 + 1 + 2 + 3 + ... + ( n − 1) = 1 + 2 2 [ ] 1 � un+1 = un + n = [ n 2 + n + 2] 2 1 2 1− + 2 u n −n+2 2 n n = 1  � lim n = lim 2 = lim un+1 n +n+2 1 2 1+ + 2 n n un              Vậy  lim =1 un+1 4n + 1 Bài 2.1.5. Cho dãy số  ( un )  xác định bởi  un = n . Đặt  S n = u1 + u 2 +... + un 2 Tìm   limSn . Lời giải: n 1 Ta có  un = 4. n + n 2 2 7
  8. �1 1 1� � 1 2 n� � S n = � + 2 + ... + n �+ 4 � + 2 + ... + n � �2 2 2 � �2 2 2 � 1 1 1 +) Xét  an = + 2 + ... + n  là tổng  n  số hạng đầu của cấp số nhân có số hạng   2 2 2 1 1 thứ nhất  a1 =  công bội  q = 2 2 n �1 � 1− � � n 1 �2� �1 � � an = . = 1 − � �� lim an = 1 2 1− 1 �2 � 2 1 2 n −1 n +)  bn = + 2 + ... + n −1 + n 2 2 2 2 2 3 n −1 n � 2bn = 1 + 1 + 2 + ... + n −2 + n −1 2 2 2 2 1 1 1 n � 2bn − bn = 1 + + 2 + ... + n−1 − n 2 2 2 2 � �1 �� n n � bn = 2 �1 − � ��− n−1 � �2 �� 2 Theo quy nạp ta dễ dàng chứng minh được:  2n > n 2 , ∀n 5 n 1 n � ∀n �5,  ta có  0 < n < � lim n = 0 � lim bn = 2 2 n 2 Vậy  limSn = 9 Bài 2.1.6. Cho dãy số  ( un )  được xác định như sau: un u1 = 1, u2 = 3, un + 2 = 2un +1 − un + 1, ( n = 1, 2,...) .Tính  lim . n2 Lời giải: Ta có  un + 2 − un +1 = un +1 − un + 1, n = 1, 2,... suy ra  { un + 2 − un +1}  lập thành một cấp số  cộng có công sai bằng 1 nên  un + 2 − un +1 = u2 − u1 + n.1 = n + 2  (1) Từ (1) ta được  un − u1 = un − un −1 + un −1 − un − 2 + ... + u2 − u1 = n + n − 1 + ... + 2 n ( n + 1) � un = 1 + 2 + ... + n = 2 u n ( n + 1) 1 u 1 lim n2 = lim = . Vậy  lim n2 = . n 2n 2 2 n 2 Bài 2.1.7.  2 un n Cho dãy số  u1  và  un 1 .  Tìm giới hạn dãy số  xn un ? 3 2(2n 1)un 1 i 1 Lời giải: 8
  9. 1 ( 2n 1)(2n 1) 1 1  Đặt  Vn vn un un 2 2n 1 2n 1 Suy ra lim  xn 1 Bài 2.1.8. f (1). f (3). f (5)... f (2n − 1) Đặt  f (n) = (n 2 + n + 1)2 + 1 . Xét dãy số  (un )  sao cho  un = .  f (2). f (4). f (6)... f (2n) Tính  lim n un . Lời giải: Ta biến đổi  f ( n) = (n 2 + 1)[(n + 1) 2 + 1] (1) Sử dụng  (1)  ta có: f (2k − 1) (4k 2 − 4k + 2)(4k 2 + 1) (2k − 1) 2 + 1 = = f (2k ) (4k 2 + 1)(4k 2 + 4k + 2) (2k + 1) 2 + 1 12 + 1 32 + 1 (2n − 1) 2 + 1 1 � un = 2 . 2 ... = . 3 + 1 5 + 1 (2n + 1) 2 + 1 2n 2 + 2n + 1 1 1 � lim n un = lim = . 2 1 2 2+ + 2 n n Bài 2.1.9. u1 = 2 Cho dãy  (un )  xác định bởi  , ∀n 1, n ᄀ * .  n(n − 1)un = u1 + 2u2 + ... + ( n − 1)un−1 2 9 Tìm  lim (n3 − n).un . 2 Lời giải: 1 Ta có:  u2 = 3 u1 + 2u2 + ... + nun = n3un (1) Với  n 3, ta có  u1 + 2u2 + ... + (n − 1)un−1 = (n − 1)3 un −1 (2) Từ  (1) và  (2) suy ra  nun = n3un − (n − 1)3 un −1 ( n − 1)3 n −1 2 n � un = 3 un−1 = ( ). un−1 n −n n n +1 n −1 2 n − 2 2 2 2 n n −1 3 � un = ( ) ( ) ...( ) . . ... u2 n n −1 3 n +1 n 4 4 � un = 2 n ( n + 1) 9
  10. 9 1 Do đó:  lim (n3 − n)un = lim18(1 − ) = 18. 2 n Bài 2.1.10.  1 1 1 1 Cho dãy  (un ) biết  un = [ + + ... + ]. , ∀n 2 n +1 + n n + n −1 2− 1 n Tìm  lim un . Lời giải: 1 Ta có:  = n +1 − n n +1 + n 1 n +1 −1 Do đó  un = ( 2 − 1 + 3 − 2 + 4 − 3 + ... + n + 1 − n ) = . n n 1 1 lim un = lim( 1 + − ) = 1. n n Bài 2.1.11.  2.12 + 3.22 + ... + (n + 1).n 2 Cho dãy  (un ) biết  un = . Tìm  lim un . n4 Lời giải: (12 + 22 + ... + n 2 ) + (13 + 23 + ... + n3 ) Ta có:  un = n4 1 n(n + 1)(2n + 1 n 2 (n + 1) 2 � un = 4 [ + ] n 6 4 n(n + 1)(2n + 1) n 2 (n + 1) 2 1 Suy ra  lim un = lim[ + ]= . 6n 4 4n 4 4 *Bài tập tự giải: 1 1 1 Bài 1. Cho dãy số  un ... .  Tìm giới hạn dãy số? 1 .2 .3 2.3.4 n(n 1)(n 2) HD: ∀k ᄀ *  ta có 1 1 (k + 2) − k 1� 1 1 � = . = � −   k (k + 1) (k + 1)(k + 2) � k (k + 1)( k + 2) 2 k (k + 1)(k + 2) 2 � � 1 1 �1 1 � Khi  k = 1 � = � −   1.2.3 2 � 1.2 2.3 � � 1 1 �1 1 � Khi  k = 2 � = � − 2.3.4 2 � 2.3 3.4 � � 10
  11. 1 1 �1 1 � Khi  k = 3 � = � − 3.4.5 2 �3.4 4.5 � � … 1 1� 1 1 � Khi  k = n � = � −   n(n + 1)(n + 2) 2 � n( n + 1) (n + 1)( n + 2) �� Cộng  n  đẳng thức trên theo vế và giản ước ta được 1� 1 1 � n 2 + 3n un = � − =   2� 2 (n + 1)(n + 2) � � 4(n + 1)(n + 2) 1 Suy ra  lim un = .   4 Bài 2. Cho dãy số  (un )  với  1 1 1 1 un = + + + ... + . Tìm giới hạn  2 1+ 2 3 2 +2 3 4 3 +3 4 ( n + 1) n + n n + 1 dãy số? HD: ∀k ᄀ *  ta có 1 1 k +1 − k = = ( k + 1) k + k k +1 k k +1 k +1 + k( k k +1   ) 1 1 1 � = − ( k + 1) k + k k + 1 k k + 1 1 1 1 Khi  k = 1 � = − 2+ 2 1 2 1 1 1 Khi  k = 2 � = − 3 2 +2 3 2 3 … 1 1 1 Khi  k = n � = − ( n + 1) n + n n + 1 n n + 1 Cộng   n đẳng   thức   trên   theo   vế   và   giản   ước   ta   được  1 n + 1 −1 un = 1 − � un = n +1 n +1 Suy ra  lim un = 1.   23 − 1 33 − 1 n3 − 1 Bài 3. Cho dãy số  (un )  với  un = 3 . 3 ... 3 .  Tìm giới hạn dãy số? 2 +1 3 +1 n +1 HD: 23 − 1 2 − 1 22 + 2 + 1 Ta có:  3 = .   2 + 1 2 + 1 22 − 2 + 1 11
  12. 33 − 1 3 − 1 32 + 3 + 1 = .   33 + 1 3 + 1 32 − 3 + 1 … n3 − 1 n − 1 n 2 + n + 1 = .   n3 + 1 n + 1 n 2 − n + 1 Ta có:  (k + 1) 2 − ( k + 1) + 1 = k 2 + 2k + 1 − k − 1 + 1 = k 2 + k + 1   2(n 2 + n + 1) 2 Suy ra  un = . Do đó  lim un = .   3n( n + 1) 3 1 1 1 1 Bài 4. Cho dãy số  un (1 2 ) 1 2 1 2 1 2 . Tìm giới hạn dãy số? 2 3 4 n 1 HD:  lim un = .   2 � 1 1 1 �1 Bài 5. Cho dãy số  un = � + + ... + . . Tìm  �1 + 3 3+ 5 2n − 1 + 2 n + 1 � � n giới hạn dãy số? 2 HD: lim un = .  2 1 1 1 1 1 1 Bài 6. Cho dãy số  un = 1 + + + 1 + + + ... + 1 + + .  12 22 22 32 n 2 ( n + 1) 2 un Tìm giới hạn  lim ?  n k 2 ( k + 1) + ( k + 1) + k 2 2 2 1 1 HD:  ∀k ᄀ ta có   1 + 2 + * = ( k + 1) k 2 ( k + 1) 2 2 k k ( k + 1) + 1� 2 k 2 ( k + 1) + 2k ( k + 1) + 1 � = k ( k + 1) + 1 2 � � = = k 2 ( k + 1) 2 k 2 ( k + 1) 2 k ( k + 1) 1 1 1 1 1+ + =1+ − ( k + 1) k k +1 2 2 k 1 1 1 1 Khi  k = 1 � 1 + 2 + 2 = 1+ − 1 2 1 2 1 1 1 1 Khi  k = 2 � 1 + 2 + 2 = 1 + − 2 3 2 3 …                                             … 1 1 1 1 Khi  k = n � 1 + 2 + =1+ − n ( n + 1) 2 n n +1 12
  13. Cộng  n đẳng thức trên theo vế và giản ước ta được 1 n ( n + 2) un = n + 1 − � un = n +1 n +1 u n(n + 2) Suy ra  lim n = = 1.   n n(n + 1) u1 1 Bài 7. Cho dãy số  (un )  xác định bởi  1 un 1 un , n 1 n(n 1) 1          Tính lim u n ( ĐS : lim u n (2 ) 2) n 2.2.Tính giới hạn của dãy cho bởi hệ  thức truy hồi bằng cách   sử  dụng tính đơn điệu và bị chặn.          * Cơ sở lý thuyết: a) Dãy số tăng và bị chặn trên thì có giới hạn hữu hạn. b)Dãy số giảm và bị chặn dưới thì có giới hạn hữu hạn. ­ Nếu dãy số   (un )   thỏa mãn điều kiện   un M , ∀n ᄀ *    và tồn tại giới hạn  lim un   thì   lim un M ; nếu dãy số   (un )   thỏa mãn điều kiện   un m, ∀n ᄀ *   và  tồn tại giới hạn  lim un  thì  lim un m.   ­ Giả sử dãy số  (un )  có giới hạn hữu hạn thì  lim un = lim un+1 = 0.               Áp dụng tính chất trên ta có thể tính được giới hạn của các dãy cho bởi   hệ thức truy hồi. Dạng bài tập này khá phổ biến trong các đề thi HSG cấp tỉnh,  các đề thi Olympic 30/4, các đề thi HSG cấp Quốc gia và Quốc tế.  Phương pháp này tỏ ra rất hiệu quả khi giải quyết các bài toàn tìm giới hạn của  dãy số cho bởi hệ thức truy hồi. Sau đây ta xét một số ví dụ minh họa. * Bài tập vận dụng 1 1 1 Bài 2.2.1. Cho dãy số  (un )  xác định bởi  un = 1 + + + ... + −2 n  2 3 n , n 2 . Chứng minh dãy số  (un )  là dãy số giảm, bị chặn dưới. Tính  lim un .   Lời giải: 1 2 n( n + 1) − (2n + 2) + 1 Ta có:  un+1 − un = (2 n − 2 n + 1) + =   n +1 n +1 4n 2 + 4n − (2n + 1) < 0, ∀n �� 1 un+1 < un , ∀n �1   n +1 Do đó  un  là dãy số giảm. 13
  14. 1 1 1 Ta có:  > = k +1 − k � > 2( k + 1 − k )   2 k k +1 + k k Suy ra  un > 2( n + 1 − n − 1) = −2, ∀n 1   Vậy  (un )  bị chặn dưới. Ta có  lim un = −2.   u1 2 Bài 2.2.2. Cho dãy số  (un )  xác định bởi  . Tính  lim un .   un 1 2 un , n 1 Lời giải: Trước hết ta sẽ chứng minh dãy số  (un )  tăng và bị chặn trên.  Chứng minh dãy  (un )  tăng bằng quy nạp, tức là  un−1 < un , ∀n 1.   Khi n = 1 ta có  u 2 2 u1 2 2 2 u1 Giả sử   u k 1 u k , khi đó  u k 2 2 uk 1 2 uk uk 1 un , n 1 Nên  (un )  bị chặn dưới bởi  2 . Ta sẽ  chứng minh dãy  (un ) bị chặn bởi 2 bằng  quy nạp, thật vậy. Khi n=1 ta có  u1 2 2 Giả sử  u k 2, k 1 , khi đó  u k 1 2 uk 2 2 4 Vậy dãy số   (un ) bị chặn trên bởi 2. Do đó dãy số   (un ) có giới hạn hữu hạn, giả  sử   lim un = a   thì     a 2   .Từ   hệ   thức   truy   hồi,   lấy   giới   hạn   hai   vế   ta   có   a 1 lim un+1 =  lim  2 u n . Hay  a 2 a a2 a 2 a 2 Vì  a 2  nên a = 2 . limun = 2. Nhận xét:              *Với ví dụ này ta có thể tìm được CTTQ của dãy  (un ) là  un 2 cos , n 1  tuy nhiên việc xác định CTTQ của  (un )  không phải là đơn  2n 1 giản và mất nhiều thời gian. Với kĩ thuật tính giới hạn như  bài giải trên, bài   toán được giải quyết gọn nhẹ.         * Tổng quát hóa bài toán : u1 = a           Cho dãy số  ( un )  xác định bởi   .Với  a  là số thực  un+1 = un + a , n 1 dương  cho trước. Hãy tìm  lim un . u1 u2 1 Bài 2.2.3. Cho dãy số  (un )  xác định bởi  . Tính limun un 1 un un 1 , n 2 Lời giải: Nhận xét: Ta thấy  u1 u 2 1, u3 1 1 2 u 2 ; u 4 u3 u2 2 1 u3 14
  15. Dự đoán dãy số  (un ) là dãy dương và tăng Ta chứng minh bằng quy nạp, tức là  u n 1 u n , n 2 Rõ ràng  u n 0, n 0  . Khi n = 2 ta có u 3 2 u 2 1 Giả sử  u k 1 uk , n 2 . Ta có  u k 1 uk 1 uk uk uk 1 uk 1, k 2 Nên dãy số (un) là dãy số dương tăng   un u1 1, n 1 Hơn nữa, ta thấy  n 3, u n un 1 un 2 un un 2. u n Hay  un2 < 4un � un < 4(do un > 0) � .Nên  (un ) bị chặn trên bởi 4  Do đó dãy số  (un )  có giới hạn hữu hạn. Giả sử limun = a, khi đó  a 1   Từ hệ thức truy hồi suy ra limun+1 = lim u n lim u n 1 Hay  a a a a2 4a . Do đó  a 1 0  nên a = 4 Vậy  lim un = 4 . u1 2010 Bài 2.2.4.  Cho dãy số  (un ) xác định bởi  u n2 2u n .u n 1 2011 0, n 1   Chứng minh rằng dãy  (un )  có giới hạn và tính giới hạn đó. Lời giải: Trước hết ta nhận xét rằng  u n 0 , với mọi n. Thật vậy, ta có  u n = 2010 > 0. Giả sử  u k 0, k 1 , ta chứng minh  u k 1 0 2 u k2 2011 2u Từ hệ thức truy hồi suy ra  k k 1.u u k 2011 0 u k 1 2u k u n2 2011 1 2011 Do đó ta có: u n 1 un  .  2u n 2 un  Theo bất đẳng thức Cosi, ta có: un 2 + 2011 2011                         un+1 = un . = 2011, ∀n 1.   2un un un+1 un 2 + 2011 1 2011 1 1 Mặt khác ta có: = = + + = 1.     un 2un 2 2 2un 2 2 2 2011 2011 1 (vì  un = 2011, �∀� n 1 ) 2un 2 2.2011 2 Nên  (un )   là dãy số giảm và bị chặn bởi   2011  do đó dãy  (un )   có giới hạn hữu  hạn. giả sử  lim un = a  , khi đó  0 < a 2010   un 2 + 2011 un 2 + 2011 a 2 + 2011 Và ta có  un+1 =  . Suy ra  lim un+1 = lim �a = 2.un 2.un 2a Do đó  a = 2011  . Vậy  lim un = 2011.   15
  16. 0 < un < 1 Bài 2.2.5. Cho dãy số  (un )  xác định bởi 1 , ∀n 1.    un+1 (1 − un ) > 4 a) CMR dãy  (un )  là dãy số tăng b) Tính  lim un .   Lời giải: a) Nhận xét rằng  (un ) là dãy bị chặn  Hơn nữa  0 < un < 1 � un > 0  và  un+1 > 0  .Theo bất đẳng thức Cosi, ta có  1 un+1 un    un+1 + (1 − un ) 2 un+1 (1 − un ) > 2 = 1, ∀n 1 4           Do đó  (un )  là dãy số tăng b) Từ câu a) và nhận xét trên suy ra dãy  (un ) có giới hạn. Giả sử  lim un = a   thì  a 0  . Do đó  lim[un+1 (1 − un )] = lim un+1.lim(1 − un ) = a(1 − a) . 1 1 Mặt khác từ giả thiết suy ra  lim[un+1 (1 − un )] �� a (1 − a) �   4 4 1 1 1 � a 2 − a + �0 � (a − ) 2 �0 � a = .        4 2 2 1 Vậy  lim un = .   2 u1 > 0 Bài 2.2.6. Cho dãy số   (un ) xác định bởi  1 a , ∀n 1.  Tính  lim un   un+1 = (un + ) 2 un Lời giải: Nhận xét rằng  (un )  bị chặn dưới bởi  a   1 a Thật vậy, theo bất đẳng thức Cosi ta có  u2 = (u1 + ) a    2 u1 Giả sử  uk a , ∀k 2  , ta chứng minh  uk +1 a  Theo bất đẳng thức Cosi và giả thiết quy nạp ta có: 1 a a uk +1 = (uk + ) uk . = a . Do đó un a , ∀n 2   , nên   (un )   bị  chặn dưới  2 uk uk bởi  a .   un+1 1 a a 1 Mặt khác, ta có = +  mà  u n �∀ a � , n 2 . un 2 2un 2 2un 2 2a un+1 1 a 1 a Do đó:  � ∀ = +� + = 1 un+1 un , n 1    , nên  (un )   là dãy giảm. un 2 2un 2 2 2a      16
  17. Vậy dãy số  (un )  có giới hạn hữu hạn. Giả sử  lim un = α  , khi đó  α > 0   1 a 1 a Từ hệ thức truy hồi suy ra:  lim un+1 = lim (un + ) � α = (α + ) � α = a . 2 un 2 α         Vậy  lim un = a .   * Bài tập tương tự: Bài 1. Cho dãy số  u1 1 và un 1 un2 un 1 un2 un un 1 . Tìm giới hạn  dãy số? 2un HD: Ta có:  un 1 0 un2 un 1 un2 un 1 2 2 1 3 1 3 Mặt khác:  u 2 n un 1 + u 2 n un 1 un un 2 4 2 4 2 1 1 3 3 ≥  un un 2 2 2 2 2 Do đó dãy số giảm và bị chặn dưới nên tồn tại giới hạn. Suy ra limun = 0 1 2020 Bài 2. Cho dãy số u1= 2020 và  un+1 = (un + )  . Tìm giới hạn dãy số ? 2 un un2 6 Bài 3. Cho dãy số u1= 2020 và  u n 1 . Tìm giới hạn dãy số ? 2u n 1 2n Cho dãy số (un )  với  un =  . Tìm giới hạn dãy số ? n! un 3 + 3un Bài 4. Cho dãy số  un+1 = .Tìm giới hạn dãy số? 3un 2 + 1 (un 1)3 HD: Ta có:  un 1 1 0 3un2 1 2un3 2un Xét hiệu  un 1 un 0.  Do đó dãy số giảm và bị chặn dưới nên tồn  3un2 1 tại giới hạn. Suy ra  lim un = 1.   n 1 Bài 5. Cho dãy số  u n 1 1  . Tìm giới hạn dãy số ? n Bài 6. Cho dãy số   u1 = b   và  un 1 u n2 (1 2a )u n a 2  . Xác định a, b để  dãy số  có giới hạn và tìm giới hạn dãy số ? n 1 21 2 2 2n Bài 7. Cho dãy  u n 1 ... . Tìm giới hạn dãy số ? 2n 1 1 2 n 17
  18. u1 1 Bài 8.  Cho dãy  (un )  thỏa mãn các điều kiện:    1   u n 1 (1 u n ) , n 1 2 1 Tính  lim un .                             (ĐS:  lim un = )   2 u1 > 0 Bài 9. Cho dãy  (un )  xác định bởi  1 2020 , un+1 = (2un + ) 3 un 2 Tính  lim un .                               (ĐS:  lim un = 3 2020 ) 2.3.Phương pháp lượng giác hóa * Kiến thức sử dụng: ­ Biểu diễn số  hạng tổng quát của dãy số  bằng công thức lượng giác để  tính  giới hạn: công thức nhân đôi, nhân ba, các hằng đẳng thức lượng giác. ­ Ý tưởng chính: Nhận dạng và dùng công thức lượng giác phù hợp để  biểu   diễn các số  hạng của dãy số. Chú ý các số  hạng đầu là các giác trị  lượng giác   đặc biệt nào ? * Bài tập vận dụng 1 u Bài 2.3.1. Cho dãy số  u1 =   và  u n 1 2u n2 1 . Tìm giới hạn  lim n ? 2 n Lời giải: 1 π 1 2π Ta có:  u1 = = cos , u2 = − = cos ,...   2 3 2 3 2n Bằng phương pháp qui nạp suy ra  u n 1 cos 3 un Vậy  lim = 0  n u1 = 1 Bài 2.3.2. Cho dãy số  1 + un 2 − 1 . Tìm giới hạn dãy số ? un+1 = un Lời giải: 18
  19. π π Ta có:  u1 = 1 = tan , u2 = 2 − 1 = tan ,...   4 8 π Bằng phương pháp qui nạp suy ra  un = tan   2n+1 Vậy  lim un = 0.   un4 u Bài 2.3.3.Cho dãy số u = 2 và  un 1   1 . Tìm giới hạn dãy số  n un4 2 8un 8 n Lời giải: 1 8 8  Ta có:  1 2 an 1 1 8an2 8an4 2(2an2 1) 2 1 un 1 un u n4 1 4n Mặt khác:  a1 cos . Ta có  un 1 cos 2 3 3 un Suy ra  lim 0 n 2 2 2... 2 Bài 2.3.4. Cho dãy số  un . Tìm giới hạn dãy số un ? 2 2 2 ... 2 Lời giải: π Chứng minh:.  un = tan .Vậy  lim un = 0.   2n+1 *Bài tập tương tự: 1 2 2 1 un2 . Tìm giới hạn dãy số 2nu  ? Bài 1. Cho dãy số  u1 và  2 un 1 n 2 3 un u Bài 2. Cho dãy số  u1 3 và  u n 1 .Tìm giới hạn dãy số  n ? 1 3u n n 1 1 1 Bài 3. Cho dãy số  u1 =   và  un+1 = (un + un 2 + n ) . Tìm giới hạn dãy số ? 2 2 4 2.4. Giới hạn dãy tổng các số hạng của một dãy cho trước. * Kiến thức sử dụng: Các bài toán về tìm giới hạn của tổng ta thu gọn tổng đó bằng cách phân tích  hạng tử tổng quát thành hiệu các hạng tử nối tiếp nhau để các hạng tử có thể  triệt tiêu, cuối cùng đưa tổng đó về biểu thức chỉ còn chứa xn , sau đó tìm limxn. * Bài tập vận dụng 19
  20. Bài 2.4.1. Cho   dãy   số   ( xn ) n =1   được   xác   định  như   sau:     x1 = 3, xn +1 = xn2 − 3xn + 4, n = 1, 2,...   + Chứng minh rằng  ( xn ) n =1  là một dãy đơn điệu tăng và không bị  chặn. Tìm giới  + hạn của dãy số  ( yn ) n =1  trong đó  yn  được xác định bởi công thức: + 1 1 1 yn = + +L + , n = 1, 2,K x1 − 1 x2 − 1 xn − 1 Lời giải: Ta có  xn +1 − xn = ( xn − 2 ) 0  suy ra dãy số  ( xn ) n =1  là dãy đơn điệu tăng. 2 + Chứng minh bằng quy nạp  xn n + 2, ∀ n = 1, 2,K (*). Thật vậy (*) đúng với  n = 1. Giả sử (*) đúng với  n = k 1 .  Thế thì  xk +1 = xk ( xk − 3) + 4 ( k + 2 ) ( k − 1) + 4 k + 3. Vậy (*) đúng với  n = k + 1. Theo nguyên lý quy nạp suy ra   xn n + 2   đúng với mọi   n   do đó dãy không bị  chặn.  Theo định nghĩa dãy ta có: 1 1 1 1 1 1 1   = = − � = − . xk +1 − 2 ( xk − 1) ( xk − 2 ) xk − 2 xk − 1 xk − 1 xk − 2 xk +1 − 2 Bằng cách cộng các đẳng thức trên với  k = 1, 2,..., n  ta được  1 1 yn = − x1 − 2 xn +1 − 2 1 1 � 1 � Vì   0 < <   theo   nguyên   lý   giới   hạn   kẹp   � lim � �= 0   suy   ra  xn +1 − 2 n n + �xn +1 − 2 � lim yn = 1. n + Bài 2.4.2: Cho dãy  ( xn )   (n = 1, 2, …) được xác định như sau: x1 = 1  và  xn +1 = xn ( xn + 1)( xn + 2)( xn + 3) + 1   với n = 1, 2, … n 1 Đặt  yn =      (n = 1, 2, ….). Tìm  lim yn i =1 xi + 2 n Lời giải: Ta có  x2 = 5  và  xn > 0  với mọi n = 1, 2, … xn+1 = xn ( xn + 1)( xn + 2)( xn + 3) + 1 = (x 2 n + 3 xn ) ( xn2 + 3xn + 2 ) + 1 = xn2 + 3xn + 1  (1) 20
ADSENSE

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD


intNumView=42

 

Đồng bộ tài khoản
2=>2