zunia.vn

Tuyển sinh 2024 dành cho Gen-Z

zunia.vn

» Khoa Học Tự Nhiên

Sự ổn định của sơ đồ sai phân hữu hạn Quickest cho phương trình đối lưu khuếch tán một chiều

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:3

Báo xấu

10
lượt xem 3
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Bài viết Sự ổn định của sơ đồ sai phân hữu hạn Quickest cho phương trình đối lưu khuếch tán một chiều trình bày một kết quả về điều kiện cần và một kết quả về điều kiện cần và đủ cho sự ổn định của sơ đồ sai phân Quickest đối với phương trình đối lưu khuếch tán một chiều.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Sự ổn định của sơ đồ sai phân hữu hạn Quickest cho phương trình đối lưu khuếch tán một chiều

Tuyển tập Hội nghị Khoa học thường niên năm 2017. ISBN: 978-604-82-2274-1 SỰ ỔN ĐỊNH CỦA SƠ ĐỒ SAI PHÂN HỮU HẠN QUICKEST CHO PHƯƠNG TRÌNH ĐỐI LƯU KHUẾCH TÁN MỘT CHIỀU Nguyễn Hữu Thọ Trường Đại học Thủy lợi, email: nhtho@tlu.edu.vn 1. GIỚI THIỆU CHUNG 1 +¥ 2 Trong báo cáo này sẽ xét một sơ đồ sai u(x , t ) = p ò u (x -Vt + 2 0 Dt x)e -x d x -¥ phân hữu hạn cho phương trình đối lưu khuếch Bằng cách áp dụng kết quả trên một bước tán được gọi là Quickest (Quadratic Upstream chia theo thời gian từ thời điểm tn đến Interpolation for Convective Kinematics with tn +1 = tn + Dt ta có thể viết: Estimated Streaming Terms), sơ đồ đã được +¥ Leonard giới thiệu năm 1979 (xem [1]). Nội dung chính đạt được là kết quả về điều kiện u(x , tn + Dt ) = ò u(h, t )G(x - h; Dt )d h , n -¥ cần và đủ cho sự ổn định của sơ đồ này. trong đó hàm Green được xác định bởi (z -V t )2 2. NỘI DUNG BÁO CÁO 1 - G (z ; t ) = e . 4D t 2.1. Mô tả sơ đồ Quickest D pt Sơ đồ sai phân Quickest được dựa trên Theo [2], để đạt được xấp xỉ sai phân hữu công thức đánh giá giá trị trên một lưới của hạn, chúng ta thế một giá trị xấp xỉ của trường biến được biểu diễn qua các phần tử u(h, tn ) trong tích phân ở trên. của phép hồi quy bậc hai. Giả sử U jn là giá trị xấp xỉ của u(x j , tn ) tại Xét bài toán đối lưu khuếch tán một chiều với vận tốc hằng V theo chiều dương trục Ox điểm các lưới và hệ số truyền tải với hằng số D: x j = j Dx , j = 0, 1, 2,..., ¶u +V ¶u ¶2u = D 2 , t > 0, x Î  (1) với tập các giá trị này ta đặt n := U jn . { } ¶t ¶x ¶x với diều kiện ban đầu: Chúng ta cũng đặt p j (x ; n ) là đa thức nội u(x ; 0) = u 0 (x ) (2) suy tương ứng với các điểm x j , qua U jn và và điều kiện biên: lấy giá trị tại các điểm lân cận . Khi đó sơ đồ u(x , t ) = 0 khi x  +¥ . (3) sai phân hữu hạn có thể được thiết lập từ xấp Chúng ta sẽ xét lưới đều theo x và theo t xỉ nội suy bởi công thức +¥ và đặt: D Dt V Dt U jn +1 = ò p j (h; n )G (x j - h; Dt )d h . m= ,n= , -¥ (Dx ) 2 Dx Nếu sơ đồ xấp xỉ đạt được từ việc xấp xỉ ở đây v là hằng số Courant. n  gần x j bởi đa thức p j (x ; n ) bậc R : Nếu sử dụng biến đổi Fourier theo x, R chúng ta sẽ nhận được nghiệm hiện của bài p j (x ; n ) = å bjr (x - x j )r , toán giá trị ban đầu dưới dạng sau: r =0 126
Tuyển tập Hội nghị Khoa học thường niên năm 2017. ISBN: 978-604-82-2274-1 thì: và công thức xấp xỉ trở thành sơ đồ Quickest: U n +1 = é æ1 ö j U jn +1 = êê1 - nD0 + çç n 2 + m÷÷÷ d 2 + +¥ êë çè 2 ÷ø 1 2 (4) = p -¥ ò p j (x -V Dt + 2 D Dt x; n )e -x d x æ1 n2 ç ö÷ 2 ù n ú ÷ +n çç - - m÷ d D- ú U j Khi đó, bằng cách tính các tích phân ngay èç 6 6 ø÷ úû trước đó, chúng ta đạt được tích phân dạng +¥ 2.2. Sự ổn định của sơ đồ Quickest 1 2 ò x e dx r -x ar = Giả sử bài toán (1)-(2) được xấp xỉ bởi sơ p -¥ đồ sai phân hữu hạn dạng Với r = 1,2,... ta có U jn +1 = QU jn (5) ì ï1 ,r =0 ï ï ïr - 1 { } Đặt U n = I p U jn , với I p là xấp xỉ địa ar = ïí , r = 2k phương trên các giá trị nút. ï ï r ï0 , r = 2k + 1 Định nghĩa. Sơ đồ sai phân hữu hạn (5) ï ï ï î được gọi là ổn định theo chuẩn || . || nếu tồn và nghiệm xấp xỉ có thể được viết dưới dạng: tại các hằng số K , c sao cho U jn +1 = bj 0 - bj 1V Dt + bj 2 éêV 2 (Dt )2 + 2DDt ùú U n £ Kecn Dt U 0 = Ke ctn U0 ë û - bj 3 éêV 3 (Dt )3 + 6VD(Dt )2 ùú ë û trong đó tn = n Dt , và K > 0, c không phụ + bj 4 éêV 4 (Dt )4 + 12V 2D(Dt )3 + thuộc vào các bước chia không gian và các ë + 12D 2 (Dt )2 ùú + ... bước chia thời gian. û Sau đây sẽ trình bày về một số kết quả về Chúng ta sẽ sử dụng các toán tử sai phân sự ổn định của sơ đồ Quickest. Trước hết, trung tâm, sai phân ngược và sai phân bậc 2 trong định lý sau ta sẽ phát biểu một kết quả quen thuộc: về điều kiện cần cho sự ổn định của sơ đồ 1 này, kết quả này là sự mở rộng kết quả của D0U j := (U j +1 -U j -1 ), 2 Leonard trong [1]. D-U j := U j -U j -1, Định lý 1. Nếu sơ đồ Quickest ổn định, khi d 2U j := U j +1 - 2U j + U j -1 đó ta có 1 - 2n để tính toán các hệ số bjr theo các thừa số a) n 2 + 6m £ 1. 3 - 2n của các giá trị nút n . b) n 2 + 6m(1 - 2n ) ³ -2n . Bây giờ chúng ta xét p j (x , n ) là khai triển Để chứng minh định lý này chúng ta sử dụng thừa số khuếch đại đối với sơ đồ có chứa thừa số bậc ba, khi dó có thể chọn Quickest: được các điểm mà từ đó ta có thể nội suy. Nếu khai triển bậc ba đạt được bằng cách nội suy k(q) = 1 - in sin q - (n 2 + 2m)(1 - cos q) U jn-2 theo U jn-1, U jn và U jn+1 , khi đó: n - (1 - n 2 - 6m)(1 - e -iq )(1 - cos q). 3 D0U jn d 2D-U jn Trong [3], các tác giả đã chứng minh được bj 0 = U jn , bj 1 = - , Dx 6Dx 3 điều kiện ổn định cho sơ đồ sai phân (5) (còn 2 n d Uj d D-U jn 2 gọi là điều kiện Von Neumann) đó là: bj 2 = , b = 2Dx 2 j 3 6Dx 3 k(x ) £ 1 với mọi x Î  . 127
Tuyển tập Hội nghị Khoa học thường niên năm 2017. ISBN: 978-604-82-2274-1 Đối với bài toán của chúng ta, nếu xét 3. KẾT LUẬN q = p và sử dụng điều kiện k(p) £ 1 ta sẽ Báo cáo trình bày một kết quả về điều kiện đạt được điều cần chứng minh. cần và một kết quả về điều kiện cần và đủ Bây giờ, sử dụng các biến đổi lượng giác cho sự ổn định của sơ đồ sai phân Quickest cơ bản: đối với phương trình đối lưu khuếch tán một 1 - cos q = 2 sin2 (q / 2) chiều, kết quả này là một sự mở rộng kết quả trong [1]. ( ) và: sin2 q = 4 sin2 (q / 2). 1 - sin2 (q / 2) 4. TÀI LIỆU THAM KHẢO thế vào thừa số khuếch đại, cùng với phép đổi biến: [1] Leonard, B.P. (1979), A stable and accurate convective modelling procedure based on s = sin2 (q / 2) quadratic upstream interpolation, Computer và thông qua các phép biến đổi phù hợp rồi Methods in Applied Mechanics and áp dụng điều kiện Von Neumann ta sẽ nhận Engineering, 19 (1), 59-98. được một kết quả về điều kiện cần và đủ cho [2] Morton, K.W and I.J Sobey (1993). tính ổn định của sơ đồ Quickest như trong Discretization of a convection-diffusion định lý dưới đây. equation. IMA Journal of Numerical Analysis 13, 141-160. Định lý 2. Đặt: [3] Richtmyer, R.D. and K.W. Morton (1967). n Difference methods for initialvalue a = 2nm - (1 - n 2 ) 3 problems. Wiley-Interscience: New York. n = (2m + n 2 )2 - n 2 + 2a(1 - 2n ) d = 4a(2m + n 2 - n - a). Khi đó sơ đồ Quickest sẽ ổn định nếu và chỉ nếu a) -2m + n - d £ 0 ; n2 b) Với (m, n ) Î S thì £ 2m , trong đó: 4d ì ï n üï S =ï í(m, n ) : 0 £ £ 1ïý ï ï î 2d ïþï 128

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

THÔNG TIN

TRỢ GIÚP

HỖ TRỢ KHÁCH HÀNG

Theo dõi chúng tôi

Chịu trách nhiệm nội dung:

Nguyễn Công Hà - Giám đốc Công ty TNHH TÀI LIỆU TRỰC TUYẾN VI NA

LIÊN HỆ

Địa chỉ: P402, 54A Nơ Trang Long, Phường 14, Q.Bình Thạnh, TP.HCM

Hotline: 093 303 0098

Email: support@tailieu.vn

Giấy phép Mạng Xã Hội số: 670/GP-BTTTT cấp ngày 30/11/2015 Copyright © 2022-2032 TaiLieu.VN. All rights reserved.