Tài liệu tham khảo: Một số phương pháp giải hệ phương trình
lượt xem 12
download
Dấu hiệu cho phép ta sử dụng phương pháp này là khi thấy số phương trình trong hệ ít hơn số ẩn. Tuy nhiên có những hệ số phương trình bằng số ẩn ta cũng có thể sử dụng phương pháp này. Ví dụ 1: Giải hệ phương trình nghiệm dương...
Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!
Nội dung Text: Tài liệu tham khảo: Một số phương pháp giải hệ phương trình
- Chuyên đề bồi dưỡng HSG MATHVN.COM MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH KHÔNG MẪU MỰC Hồ Đình Sinh I. DÙNG BẤT ĐẲNG THỨC Dấu hiệu cho phép ta sử dụng phương pháp này là khi thấy số phương trình trong hệ ít hơn số ẩn. Tuy nhiên có những hệ số phương trình bằng số ẩn ta cũng có thể sử dụng phương pháp này. Ví dụ 1: Giải hệ phương trình nghiệm dương: ìx + y + z = 3 ï í ( ) 3 ï(1 + x )(1 + y)(1 + z ) = 1 + xyz 3 î ( ) 3 Giải: VT = 1 + x + y + z + ( xy + yz + zx ) + xyz ³ 1 + 3 3 xyz + 3 3 ( xyz)2 + xyz = 1 + 3 xyz Dấu “=” xảy ra khi x=y=z=1. Ví dụ 2: Giải hệ phương trình: ì x +1 + x + 3 + x + 5 = y -1 + y - 3 + y - 5 ï í ï x + y + x + y = 80 2 2 î Giải: ĐK: x ³ -1;y ³ 5 Ta thấy rằng nếu ta thay x=y-6 thì phương trình thứ nhất VT=VP. Do đó, ta xét các trường hợp sau: Nếu x>y-6 thì VT>VP. Nếu x
- Chuyên đề bồi dưỡng HSG MATHVN.COM 2x 4y 2z 1 = + + x +1 x +1 y +1 z +1 3x 3y 2z 1 = + + y +1 x +1 y +1 z +1 3x 4y z 1 = + + z +1 x +1 y +1 z +1 Áp dụng Cauchy cho 8 số ta có: x 2 y4 z2 1 ³ 88 x +1 ( x + 1)2 ( y + 1)4 ( z + 1)2 x 3 y3 z2 1 ³ 88 y +1 ( x + 1)3 ( y + 1)3 ( z + 1)2 x3 y4 z 1 ³ 88 z +1 ( x + 1) 3 ( y + 1)4 ( z + 1)1 Suy ra x 24 y 32 z16 1 1 1 ³ 89 8 (1 + x ) ( y + 1) ( z + 1) ( x + 1) ( y + 1) ( z + 1) 3 4 2 24 32 16 Þ 89 x 3 y 4 z 2 £ 1 x y z 1 1 Dấu bằng xảy ra Û = = = Ûx=y=z= . x +1 y +1 z +1 9 8 Ví dụ 4: Giải hệ ì4 697 ïx + y = 2 81 í ï x + y + xy - 3 x - 4 y + 4 = 0 2 2 î Giải: Ví dụ này tôi muốn giới thiệu công cụ xác định miền giá trị của x;y nhờ điều kiện có nghiệm của tam thức bậc 2. Xét phương trình bậc 2 theo x: x 2 + x ( y - 3) + y 2 - 4 y + 4 = 0 D x = ( y - 3)2 - 4( y - 2)2 7 Để phương trình có nghiệm thì D x ³ 0 Û 1 £ y £ . 3 4 Tương tự xét phương trình bậc 2 theo y ta có: 0 £ x £ 3 4 2 æ4ö æ7ö 697 Suy ra x + y £ ç ÷ + ç ÷ = 4 2 è3ø è3ø 81 4 7 Þ x = ;y = Tuy nhiên thế vào hệ không thoả mãn dó đó hệ vô nghiệm. 3 3 ìx5 - x 4 + 2x2 y = 2 ï5 íy - y + 2y z = 2 4 2 Ví dụ 5: Giải hệ ïz5 - z 4 + 2z2 x = 2 î Biên soạn: Thầy Hồ Đình Sinh, Tổ Toán, trường THPT Hùng Vương 2
- Chuyên đề bồi dưỡng HSG MATHVN.COM Giải: Ý tưởng của bài toán này là đoán nghiệm của hệ x=y=z=1; Sau đó chứng minh x>1 hay x1 Þ 2 = z5 - z 4 - 2z2 x > z5 - z 4 + 2z2 Þ ( z - 1)( z 4 + 2 z + 2) < 0 2 æ 1ö 3 Do z + 2 z + 2 = ç z 2 - ÷ + ( z + 1)2 + > 0 nên z1 Þ x
- Chuyên đề bồi dưỡng HSG MATHVN.COM ì x 2 + y2 + z 2 = 1 ï í ï( x - y) - 2 z( x - y) + 1 = 0 2 î Từ phương trình thứ nhất ta được: -1 £ z £ 1 Từ phương trình thứ hai : x-y tồn tại Û z 2 - 1 ³ 0 Û z ³ 1 Suy ra z = ±1 . Bài 9: Giải hệ ìx 2 = y + 1 ï2 íy = z +1 ïz 2 = x + 1 î HD: Đây là hệ mà vai trò của x, y, z như nhau. Giả sử x ³ y ³ z. Suy ra z 2 - 1 ³ x 2 - 1 ³ y 2 - 1 Û z 2 ³ x 2 ³ y 2 (*) Xét x £ 0 hoặc z ³ 0 . Từ (*) suy ra x=y=z. Vậy chỉ có trường hợp x>0 và z 1 Þ z < -1 Þ y 2 = z + 1 < 0 vô lý. 1± 5 Vậy hệ có 2 nghiệm là x=y=z= . 2 Bài 10: ( Olympic-tỉnh Gia lai 2009) Giải hệ phương trình ì x 2 + y 2 + z 2 + 2 xy - zx - zy = 3 ï í2 ï x + y + yz - zx - 2 xy = -1 2 î HD: Phương trình đã cho tương đương với ì( x + y )2 - z( x + y) + z 2 - 3 = 0 ï í ï( x - y) - z( x - y) + 1 = 0 2 î ĐS: (1;0;2) , (-1;0;2). II. TÍNH CÁC ĐẠI LƯỢNG CHUNG Ví dụ 1: Cho abc>0. Giải hệ phương trình ì xy = a ï í yz = b ï zx = c î Giải: Do abc>0 nên hệ đã cho tương đương với Biên soạn: Thầy Hồ Đình Sinh, Tổ Toán, trường THPT Hùng Vương 4
- Chuyên đề bồi dưỡng HSG MATHVN.COM éì bc êïz = a êï êïï ab êí y = é ì xy = a c êï êï êï ê í yz = b ê ï x = ac ì xy = a ï ê êî b î xyz = abc ï ï Ûê í yz = b Ûê ê ì xy = a êì ï( xyz )2 = abc bc êï êïz = - î ê í yz = b a êï êï êïï ab ê î xyz = - abc ë êí y = - c êï êï ac êï x = - b êï ëî Ví dụ 2: Giải hệ phương trình ì x + y + xy = 1 ï í x + z + xz = 2 (*) ï y + z + yz = 5 î HD Giải: ì( x + 1)( y + 1) = 2 ï (*) Û í( x + 1)( z + 1) = 3 ï( y + 1)( z + 1) = 6 î Từ đây các em có thể giải tiếp một cách dể dàng. Ví dụ 3: Giải hệ ì x 2 + 2 yz = x ï2 í y + 2 zx = y (*) ï z 2 + 2 xy = z î HD Giải: ì x 2 + 2 yz = x ì x 2 + 2 yz = x ï2 ï (*) Û í x - y 2 + 2 yz - 2 xz = x - y Û í( x - y)( x + y - 2 z - 1) = 0 ï x 2 - z 2 + 2 yz - 2 xy = x - z ï( x - z )( x + z - 2 y - 1) = 0 î î Từ đây các em có thể giải tiếp một cách dể dàng. BÀI TẬP TỰ RÈN LUYỆN: Giải các hệ phương trình sau: Bài 1: ì xy = 2 ì xy + x + y = 11 ì xy + x + y = 7 ì xy + xz = 8 ï ï ï ï a) í yz = 6 b) í yz + y + z = 5 c) í yz + y + z = -3 d) í yz + xy = 9 ï zx = 3 ï zx + z + x = 7 ï xz + x + z = -5 ï xz + zy = -7 î î î î Bài 2: Biên soạn: Thầy Hồ Đình Sinh, Tổ Toán, trường THPT Hùng Vương 5
- Chuyên đề bồi dưỡng HSG MATHVN.COM ì x ( x + y + z ) = 2 - yz ì xy + y + 2 x + 2 = 4 ì x + xy + y = 1 ï ï ï a) í y( x + y + z ) = 3 - xy b) í yz + 2 z + 3 y = 6 c) í y + yz + z = 4 ï z( x + y + z ) = 6 - xy ï xz + z + 3x = 5 ï z + zx + x = 9 î î î Bài 3: ìxyz=x+y+z ì x 2 + 2 yz = x ì y 2 - xz = b ìx2 + y + z = 3 ïyzt=y+z + t ï ï ï ï a) í y 2 + 2 zx = y b)* í z 2 - xy = b (a,b Î R) c) í y 2 + x + z = 3 d) í ï ztx = z + t + x ï z 2 + 2 xy = z ï x 2 - yz = a ïz2 + x + y = 3 î î î ïtxy = t + x + y î III. PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ Đôi khi bài toán sẽ phức tạp nếu ta giải hệ với ẩn (x ,y ,z) nhưng chỉ sau một phép đặt a=f(x), b=f(y); c=f(z) … thì hệ sẽ đơn giản hơn. Ví dụ 1: Giải hệ phương trình: ì x 2 ( y + z )2 = (3x 2 + x + 1) y 2 z 2 ï2 í y ( x + z ) = (4 y + y + 1) x z 2 2 22 ï z 2 ( x + y)2 = (5z 2 + z + 1) x 2 y 2 î Giải: Nếu x=0 suy ra được y=z=0 Þ ( x; y; z) = (0;0;0) là nghiệm của hệ. Với x ¹ 0; y ¹ 0; z ¹ 0 chia cả hai vế cho x 2 y 2 z 2 ta thu được ìæ y + z ö2 11 ÷ = 3+ + 2 ïç ïè yz ø xx ï 2 ïæ x + z ö 11 ÷ = 4+ y + 2 íç ïè xz ø y ï 2 ïæ x + y ö = 5 + 1 + 1 ïç xy ÷ z z2 îè ø 1 1 1 Đặt a = ; b = ; c = Ta nhận được x y z ì( a + b )2 = c 2 + c + 5 (1) ï ï í( b + c ) = a + a + 3 2 2 (2) ï ï( a + c ) = b + b + 4 2 2 (3) î Lấy (2)-(3) ta được: (a-b)[2(a+b+c)+1]=1. Lấy (1)- (3) ta được: (b-c)[2(a+b+c)+1)=1 . Suy ra a-b=b-c Þ a+c=2b thay vào (3) ta được 3b2 - b - 4 = 0 . Từ đây các em có thể giải tiếp. Ví dụ 2: Giải hệ phương trình sau: ì x 3 ( 6 + 21y ) = 1 ï í3 ï x ( y - 6) = 21 î Biên soạn: Thầy Hồ Đình Sinh, Tổ Toán, trường THPT Hùng Vương 6
- Chuyên đề bồi dưỡng HSG MATHVN.COM HD: Nếu giải hệ với ẩn (x;y) thì ở đây ta thật khó để thấy được được phương hướng giải. 1 Nhưng mọi chuyện sẽ rõ ràng khi ta đặt x = . Khi đó dưa về hệ z ì z = 21y + 6 3 ï í3 ï y = 21z + 6 î Đây là hệ đối xứng loại 2. Các em hãy giải tiếp. Ví dụ 3: Giải hệ phương trình sau: ì xy 12 ïx + y = 5 ï ï yz 18 = í ïy + z 5 ï xz 36 = ï î x + z 13 HD: Nghịch đảo 2 vế của từng phương trình sau đó đặt ẩn phụ. Ví dụ 4: Giải hệ phương trình sau: ì2 x + x 2 y = y ï í2 y + y z = z 2 ï2 z + z 2 x = x î Giải: Hệ đã cho tương đương với: ì2 x = y(1 - x 2 ) ï í2 y = z(1 - y ) 2 ï2 z = x (1 - z 2 ) î Khi x = ±1; y = ±1; z = ±1 không là nghiệm của hệ trên nên hệ đã cho tương đương với ì 2x ïy = (1) 1 - x2 ï ï 2y íz = (2) 1 - y2 ï ï 2z ïx = (3) 1 - z2 î æ -p pö Đặt x = tan a ; ç < a < ÷ thì è2 2ø 2 tan a = tan 2a (1) Û y = 1 - tan 2 a 2 tan 2a = tan 4a (2) Û z = 1 - tan 2 2a 2 tan 4a = tan 8a = tan a (3) Û x = 1 - tan 2 4a ka Þ tan a = tan 8a Û a = (k Î Z ) 7 -p p -p ka p -7 7
- Chuyên đề bồi dưỡng HSG MATHVN.COM ì -3p -2p -p p 2p 3p ü Do k Î Z nên k Î {-3; -2; -1;0;1;2;3} Þ a Î í ; ; ;0; ; ; ý î7 7 7 7 7 7þ ì x = tan a ì -3p -2p -p p 2p 3p ü ï Vậy nghiệm của hệ là : í y = tan 2a , với a là các giá trị í ; ; ;0; ; ; ý . î7 7 7 7 7 7þ ï z = tan 4a î BÀI TẬP TỰ RÈN LUYỆN: 1) Giải và biện luận các hệ phương trình: ì xy ì xyz ïx + y = a ïy + z - x = a2 ï ï ï xz ï xyz a) í x + y - z = =a b) í ïx + z b2 ï ï ï yz xyz ïy + z = a ïx + z - y = 2 c2 î î Giải các hệ phương trình sau: ì1 1 1 ï x + yz + xyz = 3 ï ìa + bc + abc = 3 ìa + bc + abc = 3 ï1 1 ï ï 1 1 1 1 HD: Đặt a = ; b = ; c = . Hệ íb + ca + abc = 3 Û í(a - b)(1 - c) = 0 2) í + + =3 y zx xyz x y z ïc + ab + abc = 3 ï(a - c)(1 - b) = 0 ï î î ï1 1 1 ï+ + =3 î z xy xyz ì 5 xy ïx + y =1 ì2 5 ï ì5xy = 6( x + y) ï x + y + x y + xy + xy = - 4 3 2 ï 5 yz ï ï 4) í7 yz = 12( y + z) =1 3) í 5) í y+z ï x 4 + y 2 + xy (1 + 2 x) = - 5 ï3xz = 4( x + z ) ï î ï ï 5zx î 4 =1 ï îz + x ì1 1 ì2 5 ï x + y = 3 - xy ï x + y = 2 xy ì1 6 2 ï + =7 ï ï 7) í x y 6) í 8) í ïx - y = 3 ï 1 + 1 = 7 - 3x y + 2 22 ï x + y = 2 xy î ï x 2 y2 ï îy x 2 xy î ì 11 ïx + y + x + y = 5 ì x 2 + y2 - 3x + 4 y = 1 ì2 x 2 + 2 x + y 2 + y = 6 ï ï 10) í 9) í 11) í î xy( xy + x + y + 1) = 4 ï x 2 + y2 + 1 + 1 = 9 ï3 x - 2 y - 9 x - 8 y = 3 2 2 î ï x 2 y2 î ì x ïx + y + y = 5 ìx + y x-y +3 =4 ì x + x + y + y = 18 2 2 ï ï 12) í x - y x+y 13) í 14) í î xy( x + 1)( y + 1) = 72 ï( x + y) x = 6 ï xy = 2 î ï y î Biên soạn: Thầy Hồ Đình Sinh, Tổ Toán, trường THPT Hùng Vương 8
- Chuyên đề bồi dưỡng HSG MATHVN.COM ì 11 ìx ïx + y + x + y = 4 y 7 + = +1 ì x ( x + 2)(2 x + y) = 9 ï ï 16) í y x xy 17) í 15) í îx + 4x + y = 6 2 ï x 2 + y2 + 1 + 1 = 4 ï î x xy + y xy = 78 ï 2 2 x y î ì x (3x + 2 y)( x + 1) = 12 ì y + xy 2 = 6 x 2 ì1 + x 3 y 3 = 19 x 3 ï ï 18) í 2 19) í í 20) îx + 2y + 4x - 8 = 0 ï1 + x y = 5 x ï y + xy = -6 x 22 2 2 2 î î ì8 x 3 y3 + 27 = 18 y 3 ï (Olympic 2008) 21) í 2 ï4 x y + 6 x = y 2 î ìx+ y + x 3 + 2 x 2 y + 2 xy 2 y3 = 0 ì x + y + x 2 + y2 = 8 ï 22) í 23) í î x ( x + 1) + y( y + 1) = 12 ï x y = -2 î ì x - 3z - 3z 2 x + z 3 = 0 ï 24) í y - 3x - 3x 2 y + x 3 = 0 (Olympic 2008) ï z - 3y - 3y2 z + y3 = 0 î ì 3z - z 3 x= ï 1 - 3z 2 ï ï ±1 3x - x 3 HD: Đk : x; y; z ¹ . Hệ đã cho tương đương với í y = 1 - 3x 2 3 ï ï 3y - y3 ïz = 1 - 3y2 î ì x (4 - y 2 ) = 8 y ï (Olympic 2008) . HD: Đặt x=2tan a . 25) í y(4 - z 2 ) = 8z ï z(4 - x 2 ) = 8 x î IV. DÙNG TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ Ví dụ 1: Giải hệ phương trình sau; ì2 x 3 + 2 y 2 + 3 y + 3 = 0 ï3 í2 y + 2 z + 3z + 3 = 0 2 ï2 z 3 + 2 x 2 + 3 x + 3 = 0 î Giải: Hệ đã cho tương đương với hệ sau ì x = f ( y) ï í y = f (z) ïz = f ( x) î 13 2 Xét hàm số f (t ) = - 2t + 3t + 3 2 Ta có: 2t 2 + 3t + 3 > 0; "t Î R . Biên soạn: Thầy Hồ Đình Sinh, Tổ Toán, trường THPT Hùng Vương 9
- Chuyên đề bồi dưỡng HSG MATHVN.COM 2 1 f '(t ) = - (4t + 3)(2t 2 + 3t + 3) 3 6 3 f '(t ) = 0 Û t = - 4 3 3 Từ đó ta có: f(t) tăng nếu t £ - và f(t) giảm nếu t ³ - 4 4 3 · Xét t £ - thì hàm f(t) tăng: 4 Giả sử hệ có nghiệm ( x0 ; y0 ; z0 ) Nếu x0 < y0 thì f ( x0 ) < f ( y0 ) Þ z0 < x0 Þ f ( z0 ) < f ( x0 ) Þ y 0 < z0 suy ra x0 > z0 > y0 Điều này vô lý. Như vậy hệ chỉ có nghiệm khi x0 = y0 = z0 , thế vào ta đươc 2 x0 + 2 x0 + 3 x0 = 0 Û ( x0 + 1)(2 x0 + 3) = 0 Û x0 = -1 3 2 2 Suy ra hệ có nghiệm x=y=z=-1. 3 · Xét với t ³ -hàm f(t) giảm ; Chứng minh tương tự ta cũng được nghiệm x=y=x=-1 4 3 nhưng nghiệm này loại vì x;y;z ³ - . 4 Kết luận hệ có nghiệm duy nhất x=y=z=-1. Ví dụ 2: Giải hệ phương trình ì x - sin y = 0 ï í y - sin z = 0 ï z - s inx=0 î Giải: Xét hàm số f(x)=sin t, khi đó có dạng ì x = f ( y) ï í y = f (z) ïz = f ( x) î æ p pö æ p pö Hàm f(t) có tập giá trị I = [-1;-1] Ì ç - ; ÷ . Hàm f(t) đồng biến trên ç - ; ÷ . Do đó è 2 2ø è 2 2ø hàm f(t) đồng biến trên I . Giả sử hệ có nghiệm ( x0 ; y0 ; z0 ) . Nếu x0 < y0 thì f ( x0 ) < f ( y0 ) Þ z0 < x0 Þ f ( z0 ) < f ( x0 ) Þ y 0 < z0 suy ra x0 > z0 > y0 . Điều này vô lý. Vì vậy hệ đã cho trở thành ìx = y = z í î x - s inx=0 (*) Xét hàm số g(x)=x-sin x. Miền xác định D=R; Đạo hàm g '( x ) = 1 - cosx ³ 0,"x Î D Þ hàm số đồng biến trên D. Do đó ta có: Với x=0, ta có g(0)=0 Û phương trình (*) nghiệm đúng. Với x>0 ta có g(x)>g(0)=0 Û Phương trình (*) vô nghiệm. Với x
- Chuyên đề bồi dưỡng HSG MATHVN.COM Vậy phương trình (*) có nghiệm x=0. Do đó, hệ có nghiệm x=y=z=0. Ví dụ 3: Giải hệ phương trình: ì x 3 + 3x - 3 + ln( x 2 - x + 1) = y ï3 í y + 3 y - 3 + ln( y - y + 1) = z 2 ï z 3 + 3z - 3 + ln( z 2 - z + 1) = x î HD: Xét hàm f (t ) = t 3 + 3t - 3 + ln(t 2 - t + 1) ì f ( x) = y ï Hệ phương trình có dạng í f ( y ) = z . ï f ( z) = x î 2t - 1 2t 2 + 1 Ta có f ' (t ) = 3t 2 + 3 + = 3t 2 + 1 + 2 > 0 "x Î R. t2 - t +1 t - t +1 Vậy hàm số f (t ) đồng biến trên R. Do x; y; z đóng vai trò như nhau. Nên không mất tính tổng quát, ta giả sử x ³ y ³ z . Từ hệ phương trình ta có: f ( z ) ³ f ( x) ³ f ( y ) ; nên ta suy ra x = y = z. Bây giờ ta giải phương trình g ( x) = x 3 + 2 x - 3 + ln( x 2 - x + 1) = 0 2x -1 2x 2 + 1 Ta có g ' ( x) = 3x + 2 + 2 = 3x + 2 >0 "x Î R. 2 2 x - x +1 x - x +1 Do đó g ( x) là hàm đồng biến và nhận x = 1 là nghiệm. Vậy hệ phương trình có duy nhất nghiệm x = y = z = 1. BÀI TẬP TỰ RÈN LUYỆN: Giải các hệ phương trình sau: ì2 x + 1 = y 3 + y 2 + y ì y 3 - 9 x 2 + 27 x - 27 = 0 ï ï 1) í2 y + 1 = z 3 + z 2 + z 2) í z 3 - 9 y 2 + 27 y - 27 = 0 ï2 z + 1 = x 3 + x 2 + x ï x 3 - 9 z 2 + 27 z - 27 = 0 î î ì y +1 ïx = 1 + x ï ì2x3 + 3 x 2 - 18 = y3 + y ï ï z +1 ï 3) í2 y 3 + 3y 2 - 18 = z 3 + z (Olympic-2009) 4) í y = 1 + (Olympic-2008) y ï2 z 3 + 3z 2 - 18 = x 3 + x ï î ï ïz = 1 + x + 1 ï z î ìx = y 3 + y 2 + y - 2 ì x 3 + x 2 + 3x - 4 = y ï ï 5) í y = z 3 + z 2 + z - 2 6) í y3 + y 2 + 3y - 4 = z ïz = x 3 + x 2 + x - 2 ï z 3 + z 2 + 3z - 4 = x î î ì x3 + 3 x - 3 + ln( x2 - x + 1) = y ï ï Bài 7: í y3 + 3y - 3 + ln( y2 - y + 1) = z ï3 2 ï z + 3z - 3 + ln( z - z + 1) = x î Biên soạn: Thầy Hồ Đình Sinh, Tổ Toán, trường THPT Hùng Vương 11
- Chuyên đề bồi dưỡng HSG MATHVN.COM Giải:Ta giả sử (x,y,z) là no của hệ. Xét hàm số f (t ) = t 3 + 3t - 3 + ln(t 2 - t + 1) 2t - 1 ta có: f '(t ) = 3t 2 + 3 + > 0 nên f(t) là hàm đồng biến 2 2 t - t +1 Ta giả sử: x=Max{x,y,z} thì y = f ( x) ³ f ( y) = z Þ z = f ( y) ³ f (z) = x Vậy ta có x=y=z. Vì phương trình x3 + 2 x - 3 + ln( x2 - x + 1) = 0 có nghiệm duy nhất x=1 nên hệ đã cho có nghiệm là x=y=z=1 ì x2 - 2 x + 6 log (6 - y) = x 3 ï ï Bài 8: Giải hệ: í y2 - 2 y + 6 log3 (6 - z) = y (HSG QG Bảng A năm 2006) ï2 ï z - 2 z + 6 log3 (6 - x) = z î ì x ïlog3 (6 - y) = ï x2 - 2 x + 6 ì f ( y) = g( x) ï y ï ï Giải: Hệ Û ílog3 (6 - z) = Û í f ( z) = g( y) 2 y - 2y + 6 ï ï f ( x) = g( z) î ï z ïlog3 (6 - x) = ï z2 - 2 z + 6 î t Trong đó f (t ) = log 3 (6 - t ) ; g (t ) = với t Î (-¥;6) t - 2t + 6 2 6-t Ta có f(t) là hàm nghịch biến, g '(t ) = > 0 "t Î (-¥;6) Þ g(t) là hàm đb (t ) 3 - 2t + 6 2 Nên ta có nếu (x,y,z) là nghiệm của hệ thì x=y=z thay vào hệ ta có: x log 3 (6 - x) = phương trình này có nghiệm duy nhất x=3 x - 2x + 6 2 Vậy nghiệm của hệ đã cho là x=y=z=3. Người biên soạn: Hồ Đình Sinh Email: sinhqluu@gmail.com Gửi đăng ở www.mathvn.com Biên soạn: Thầy Hồ Đình Sinh, Tổ Toán, trường THPT Hùng Vương 12
CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD
-
Hóa học lớp 12 - Một số công thức kinh nghiệm dùng giải nhanh bài toán Hóa học
9 p | 2229 | 316
-
Một số công thức đạo hàm cơ bản
2 p | 1227 | 268
-
Đề thi thử đại học môn toán 2012_đề số 211
5 p | 474 | 221
-
Một số câu hỏi trắc nghiệm trong chương tích vô hướng của hai véctơ
4 p | 532 | 135
-
MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH ĐA THỨC BẬC CAO MỘT ẨN
10 p | 1049 | 129
-
Một số dạng bài tập về số phức
12 p | 503 | 101
-
Giáo án đại số lớp 10: MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH QUI VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HOẶC BẬC HAI
16 p | 296 | 70
-
Một số bài toán về tích phân
13 p | 316 | 52
-
Tài liệu Hoá 9 - MỘT SỐ OXIT QUAN TRỌNG - Canxi oxit
5 p | 369 | 51
-
Giáo án Số học 6 chương 2 bài 13: Bội và ước của một số nguyên
15 p | 283 | 31
-
Tài liệu Hoá 9 - Một số bazơ quan trọng (tt) B/ CANXI HIĐROXIT – THANG pH
4 p | 174 | 27
-
Tà liệu tham khảo: Một số bài toán tối ưu trên đồ thị
10 p | 159 | 26
-
Bài giảng Đại số 7 chương 1 bài 4: Giá trị tuyệt đối của một số hữu tỉ. Cộng,trừ, nhân, chia số thập phân
12 p | 271 | 26
-
Tài liệu Hoá 9 - Một số bazơ quan trọng NATRI HIĐROXIT
4 p | 205 | 24
-
Tài liệu Hoá 9 - MỘT SỐ AXIT QUAN TRỌNG (TT)
4 p | 225 | 23
-
Tài liệu Hoá 9 - MỘT SỐ MUỐI QUAN TRỌNG
3 p | 134 | 18
-
Tài liệu toán học: Vài đường cong đặc biệt
12 p | 102 | 11
Chịu trách nhiệm nội dung:
Nguyễn Công Hà - Giám đốc Công ty TNHH TÀI LIỆU TRỰC TUYẾN VI NA
LIÊN HỆ
Địa chỉ: P402, 54A Nơ Trang Long, Phường 14, Q.Bình Thạnh, TP.HCM
Hotline: 093 303 0098
Email: support@tailieu.vn