intTypePromotion=1
zunia.vn Tuyển sinh 2024 dành cho Gen-Z zunia.vn zunia.vn
ADSENSE
 » 
 » 

Tài liệu tham khảo Toán: TÍCH PHÂN

Chia sẻ: Mai Linh | Ngày: | Loại File: DOC | Số trang:20

Thêm vào BST
Báo xấu
129
lượt xem 25
download
 
  Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tài liệu tham khảo dành cho giáo viên, học sinh trung học phổ thông đang trong giai đoạn ôn thi đại học chuyên môn toán học.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Tài liệu tham khảo Toán: TÍCH PHÂN

  1. www.VNMATH.com Chuyên đề TÍCH PHÂN CÔNG THỨC Bảng nguyên hàm Nguyên hàm của những Nguyên hàm của những hàm số Nguyên hàm của những hàm số sơ cấp thường thường gặp hàm số hợp gặp ∫ dx = x + C ∫ du = u + C 1 ∫ d ( ax + b) = a ( ax + b) + C x α +1 u α +1 ( ax + b ) dx = 1 ( ax + b ) + C (α ≠ 1) + C ( α ≠ 1) + C ( α ≠ 1) α +1 ∫ ∫ x α dx = u α du = ∫ α α +1 α +1 a α +1 dx du ∫ x = ln x + C ( x ≠ 0) ∫ u = ln u + C ( u ≠ 0) dx 1 = ln ax + b + C ( x ≠ 0 ) ∫ ax + b a ∫ e dx = e + C ∫ e du = e + C x x u u 1 ∫ e ax + b dx = e ax +b + C a ax au + C ( 0 < a ≠ 1) + C ( 0 < a ≠ 1) ∫ ∫ x a u dx = a dx = 1 cos( ax + b ) dx = sin ( ax + b ) + C ∫ ln a ln a a ∫ ∫ cos xdx = sin x + C cos udu = sin u + C 1 sin ( ax + b ) dx = − cos( ax + b ) + C ∫ ∫ sin xdx = − cos x + C ∫ sin udu = − cos u + C a 1 1 dx = tan ( ax + b ) + C ∫ 1 1 ∫ cos x dx = tan x + C ∫ cos u du = tan u + C cos ( ax + b ) 2 a 2 2 1 1 dx = − cot ( ax + b ) + C ∫ 1 1 ∫ sin ∫ sin dx = − cot x + C du = − cot u + C sin ( ax + b ) 2 a 2 2 x u I. ĐỔI BIẾN SỐ TÓM TẮT GIÁO KHOA VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN 1. Đổi biến số dạng 2 b ò f[u(x)]u (x)dx / Để tính tích phân ta thực hiện các bước sau: a Bước 1. Đặt t = u(x) và tính dt = u / (x)dx . Bước 2. Đổi cận: x = a Þ t = u(a) = a, x = b Þ t = u(b) = b . b b Bước 3. ò f[u(x)]u / (x)dx = ò f(t)dt . a a e2 dx ò x ln x . Ví dụ 7. Tính tích phân I = e Giải dx Đặt t = ln x Þ dt = x x = e Þ t = 1, x = e Þ t = 2 2 2 dt ò 2 Þ I= = ln t = ln 2 . 1 t 1 Vậy I = ln 2 . www.VNMATH.com 1
  2. www.VNMATH.com p 4 cos x Ví dụ 8. Tính tích phân I = dx . ò (sin x + cos x) 3 0 Hướng dẫn: p p 4 4 cos x 1 dx . Đặt t = t an x + 1 ò (sin x + cos x) ò (t an x + 1) I= dx = . 3 3 cos2 x 0 0 3 ĐS: I = . 8 3 dx ò (1 + x) Ví dụ 9. Tính tích phân I = 2x + 3 . 1 2 Hướng dẫn: Đặt t = 2x + 3 3 ĐS: I = ln . 2 1 3- x ò Ví dụ 10. Tính tích phân I = dx . 1+x 0 Hướng dẫn: 3 t 2 dt 3- x Þ L 8ò 2 Đặ t t = ; đặt t = t an u L (t + 1)2 1+x 1 p ĐS: I = 3 + 2. - 3 Chú ý: 1 3- x ò Phân tích I = dx , rồi đặt t = 1 + x sẽ tính nhanh hơn. 1+x 0 2. Đổi biến số dạng 1 b ∫ f ( x)dx Cho hàm số f(x) liên tục trên đoạn [a;b], để tính ta thực hiện các bước sau: a Bước 1. Đặt x = u(t) và tính dx = u / (t )dt . Bước 2. Đổi cận: x = a ⇒ t = α , x = b ⇒ t = β . β β b ∫ ∫ f [u (t )]u / (t )dt = ∫ g (t )dt . f ( x )dx = Bước 3. α α a 1 2 1 Ví dụ 1. Tính tích phân I = dx . ò 1 - x2 0 Giải é p ; p ùÞ dx = cos t dt Đặt x = sin t, t Î ê - ë 2 2ú û p 1 x = 0 Þ t = 0, x = Þ t = 2 6 p p p 6 6 6 p p p cos t cos t - 0= . ò ò ò dt = t Þ I= dt = dt = 6 = 0 cos t 6 6 1 - sin 2 t 0 0 0 www.VNMATH.com 2
  3. www.VNMATH.com p Vậy I = . 6 2 ò 4 - x 2 dx . Ví dụ 2. Tính tích phân I = 0 Hướng dẫn: Đặt x = 2 sin t ĐS: I = p . 1 dx ò1 + x Ví dụ 3. Tính tích phân I = . 2 0 Giải æ p pö Đặt x = t an t, t Î ç- ; ÷Þ dx = (t an x + 1)dt 2 ç ÷ ÷ ç 2 2ø è p x = 0 Þ t = 0, x = 1 Þ t = 4 p p 4 4 p 2 t an t + 1 ò dt = 4 . ò 1 + t an Þ I= dt = 2 t 0 0 p Vậy I = . 4 3- 1 dx ò Ví dụ 4. Tính tích phân I = . 2 x + 2x + 2 0 Hướng dẫn: 3- 1 3- 1 dx dx ò ò 1 + (x + 1) I= . = 2 2 x + 2x + 2 0 0 Đặt x + 1 = t an t p ĐS: I = . 12 2 dx ò Ví dụ 5. Tính tích phân I = . 4 - x2 0 p ĐS: I = . 2 3- 1 dx ò Ví dụ 6. Tính tích phân I = . 2 x + 2x + 2 0 p ĐS: I = . 12 3. Các dạng đặc biệt 3.1. Dạng lượng giác p 2 Ví dụ 11 (bậc sin lẻ). Tính tích phân I = x sin 3 xdx . ò cos 2 0 Hướng dẫn: Đặt t = cos x 2 ĐS: I = . 15 www.VNMATH.com 3
  4. www.VNMATH.com p 2 Ví dụ 12 (bậc cosin lẻ). Tính tích phân I = xdx . ò cos 5 0 Hướng dẫn: Đặt t = sin x 8 ĐS: I = . 15 p 2 Ví dụ 13 (bậc sin và cosin chẵn). Tính tích phân I = x sin 2 xdx . ò cos 4 0 Giải p p p p 2 2 2 2 1 1 1 I = ò cos 4 x sin 2 xdx = ò cos 2 x sin 2 2xdx = ò (1 - cos 4x)dx + 4 ò cos 2x sin 2 2xdx 40 16 0 0 0 p p p æ sin 3 2x ö 2 ÷ = p. 2 2 x 1 1 1 (1 - cos 4x)dx + ò sin 2 2xd(sin 2x) = ç - ò sin 4x + = ç16 64 ÷ ÷ è 24 ø0 32 16 0 80 p Vậy I = . 32 p 2 dx Ví dụ 14. Tính tích phân I = ò cos x + sin x + 1 . 0 Hướng dẫn: x Đặt t = t an . 2 ĐS: I = ln 2 . a 1 −t 2 2t 2t Biểu diễn các hàm số LG theo t = tan : sin a = ; cos a = ; tan a = . 1 +t 2 1 +t 2 1 −t 2 2 3.2. Dạng liên kết p xdx ò sin x + 1 . Ví dụ 15. Tính tích phân I = 0 Giải Đặt x = p - t Þ dx = - dt x = 0 Þ t = p, x = pÞ t = 0 p 0 (p - t)dt p t ò ( sin t + 1 - ) Þ I =- ò dt = sin(p - t) + 1 sin t + 1 p 0 p p p dt dt = pò - IÞ I= ò sin t + 1 2 0 sin t + 1 0 æ pö t dç - ÷ p p ç ÷ p p dt dt ÷ p p ç2 4 ø æ pö è p p t =ò =ò = t an ç - ÷÷ = p. 4 0 cos2 t - p = ò ç 2 t t 20 ( ) ( ) ÷ ç2 4 ø æ pö 2 è 20 t sin + cos 2ç ÷ 24 cos ç - ÷ 0 2 2 ÷ ç2 4 ø è Vậy I = p . Tổng quát: www.VNMATH.com 4
  5. www.VNMATH.com p p p ò xf(sin x)dx = 2 ò f(sin x)dx . 0 0 p 2 sin 2007 x Ví dụ 16. Tính tích phân I = ò sin 2007 x + cos2007 x dx . 0 Giải p Đặt x = - t Þ dx = - dt 2 p p x=0Þ t = , x= Þ t =0 2 2 p ( )p sin 2007 -t 0 2 2 cos2007 t ò sin Þ I =- dx = ò sin 2007 t + cos2007 t dx = J (1). p p ( ) ( ) 2007 - t + cos2007 -t p 2 2 0 2 p p (2). Từ (1) và (2) suy ra I = p . 2 Mặt khác I + J = ò dx = 4 2 0 Tổng quát: p p 2 2 p sin n x cos n x ò sin n x + cosn x dx = 4 , n Î Z+ . ò sin n x + cosn x dx = 0 0 p p 6 6 2 cos2 x sin x Ví dụ 17. Tính tích phân I = ò sin x + 3 cos x dx và J = ò sin x + 3 cos x dx . 0 0 Giải 3 (1). I - 3J = 1 - p p 6 6 dx 1 dx ò sin x + ò sin x + p I +J = dx = 20 ( ) 3 cos x 0 3 p 1 Đặt t = x + Þ dt = dx ⇒I + J = ln 3 (2). 3 4 3 1- 3 1 1- 3 Từ (1) và (2)⇒I = ln 3 + ,J= ln 3 - . 16 4 16 4 1 ln(1 + x) Ví dụ 18. Tính tích phân I = ò dx . 1 + x2 0 Giải Đặt x = t an t Þ dx = (1 + t an 2 t)dt p x = 0 Þ t = 0, x = 1 Þ t = 4 p p 4 4 ln(1 + t an t) ( 1 + t an 2 t ) dt = ò ln(1 + t an t)dt . ò Þ I= 2 1 + t an t 0 0 p Đặt t = - u Þ dt = - du 4 p p t=0Þ u= , t = Þ u=0 4 4 www.VNMATH.com 5
  6. www.VNMATH.com p 0 é æ öù 4 p ln ê + t an ç - u ÷ du ò ln(1 + t an t)dt = - òê ú Þ I= 1 ç ÷ ÷ ç4 øú è ë û p 0 4 p p æ 1 - t an u ö æ2 ö 4 4 = ò ln ç1 + ln ç ÷= ÷ ò è1 + t an u ødu du ç ç ÷ ÷ ÷ ÷ ç ç è 1 + t an u ø 0 0 p p 4 4 p I. ò ln 2du - ò ln ( 1 + t an u ) du = 4 ln 2 - = 0 0 p Vậy I = ln 2 . 8 p 4 cos x ò 2007 Ví dụ 19. Tính tích phân I = dx . x +1 p - 4 Hướng dẫn: Đặ t x = - t 2 ĐS: I = . 2 Tổng quát: Với a > 0 , a > 0 , hàm số f(x) chẵn và liên tục trên đoạn [ - aa ] thì ; a a f(x) ò a x + 1 dx = ò f(x)dx . -a 0 Ví dụ 20. Cho hàm số f(x) liên tục trên ¡ và thỏa f(- x) + 2f(x) = cos x . p 2 ò f(x)dx . Tính tích phân I = p - 2 Giải p 2 ò f(- x)dx , x = - t Þ Đặ t J = dx = - dt p - 2 p p p p Þ t = , x = Þ t =- x =- 2 2 2 2 p p 2 2 ò f(- t)dt = J ò[ f(- x) + 2f(x) ] dx Þ I= Þ 3I = J + 2I = p p - - 2 2 p p 2 2 ò cos xdx = 2ò cos xdx = 2 . = p 0 - 2 2 Vậy I = . 3 3.3. Các kết quả cần nhớ www.VNMATH.com 6
  7. www.VNMATH.com a ò f(x)dx = 0 . i/ Với a > 0 , hàm số f(x) lẻ và liên tục trên đoạn [–a; a] thì -a a a ò f(x)dx = 2ò f(x)dx . ii/ Với a > 0 , hàm số f(x) chẵn và liên tục trên đoạn [–a; a] thì -a 0 iii/ Công thức Walliss (dùng cho trắc nghiệm) ì (n ï - 1) !! p p ï , neá n leû u ï 2 2 cos xdx = ò sin xdx = ï n !! ò n n í . ï (n - 1) !! p ï . , neá n chaü u n ï 0 0 ï ï î n !! 2 Trong đó n!! đọc là n walliss và được định nghĩa dựa vào n lẻ hay chẵn. Chẳng hạn: 0 !! = 1; 1!! = 1; 2 !! = 2; 3 !! = 1.3; 4 !! = 2.4; 5 !! = 1.3.5; 6 !! = 2.4.6; 7 !! = 1.3.5.7; 8 !! = 2.4.6.8; 9 !! = 1.3.5.7.9; 10 !! = 2.4.6.8.10 . p 2 10 !! 2.4.6.8.10 256 . Ví dụ 21. ò cos 11 xdx = = = 11!! 1.3.5.7.9.11 693 0 p 2 9 !! p 1.3.5.7.9 p 63p . Ví dụ 22. ò sin 10 xdx = .= .= 10 !! 2 2.4.6.8.10 2 512 0 II. TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN 1. Công thức Cho hai hàm số u(x), v(x) liên tục và có đạo hàm trên đoạn [a; b]. Ta có Þ ( uv ) / dx = u / vdx + uv / dx / / ( uv ) / = u v + uv b b b ò d(uv) = ò vdu + ò udv Þ d ( uv ) = vdu + udv Þ a a a b b b b ò vdu + ò udv Þ ò udv = uv ò vdu . b b Þ uv = - a a a a a a Công thức: b b ò udv = uv ò vdu b (1). - a a a Công thức (1) còn được viết dưới dạng: b b ò f(x)g (x)dx = f(x)g(x) ò f (x)g(x)dx b / / (2). - a a a 2. Phương pháp giải toán b ò f(x)g(x)dx Giả sử cần tính tích phân ta thực hiện a Cách 1. Bước 1. Đặt u = f(x), dv = g(x)dx (hoặc ngược lại) sao cho dễ tìm nguyên hàm v(x) và vi b ò vdu / phân du = u (x)dx không quá phức tạp. Hơn nữa, tích phân phải tính được. a Bước 2. Thay vào công thức (1) để tính kết quả. www.VNMATH.com 7
  8. www.VNMATH.com Đặc biệt: b b b ò P(x) sin axdx, ò P(x) cos axdx, ò e .P(x)dx với P(x) là đa thức thì đặt u = P(x) . ax i/ Nếu gặp a a a b ò P(x) ln xdx ii/ Nếu gặp thì đặt u = ln x . a Cách 2. b b ò f(x)g(x)dx = ò f(x)G (x)dx / Viết lại tích phân và sử dụng trực tiếp công thức (2). a a 1 ò xe dx . x Ví dụ 1. Tính tích phân I = 0 Giải u=x ì du = dx ì ï ï Đặt ï dv = e x dx Þ ï (chọn C = 0 ) í í ï ï v = ex ï î ï î 1 1 ò xe dx = xe ò e dx = (x - 1 x1 Þ x x 1)e x = 1. - 0 0 0 0 e ò x ln xdx . Ví dụ 2. Tính tích phân I = 1 Giải ï du = dx ì ï ì u = ln x ï ï x ï ï Þí Đặ t í ï dv = xdx ï 2 ïv=x ï î ï ï î 2 e e e 2 e2 + 1 x 1 Þ ò x ln xdx = ln x - ò xdx = . 2 21 4 1 1 p 2 Ví dụ 3. Tính tích phân I = sin xdx . òe x 0 Giải u = sin x ì du = cos xdx ì ï ï ï Þï Đặ t í í ï dv = e dx ï v = ex x ï ï î î p p 2 2 p p ò e x cos xdx = e 2 - J . ò ex sin xdx = ex sin x Þ I= 2 - 0 0 0 ì u = cos x ì du = - sin xdx ï ï Đặt ï dv = e x dx Þ ï í í ï ï v = ex ï î ï î p p 2 2 p òe + ò e x sin xdx = - 1 + I Þ J= x cos xdx = e x cos x 2 0 0 0 p p e2 + 1 . Þ I = e - (- 1 + I) Þ I = 2 2 Chú ý: www.VNMATH.com 8
  9. www.VNMATH.com Đôi khi ta phải đổi biến số trước khi lấy tích phân từng phần. p2 4 Ví dụ 7. Tính tích phân I = xdx . ò cos 0 Hướng dẫn: p 2 Đặ t t = x L Þ I = 2ò t cos t dt = L = p - 2 . 0 e ò sin(ln x)dx . Ví dụ 8. Tính tích phân I = 1 ( sin 1 - cos1)e + 1 ĐS: I = . 2 III. TÍCH PHÂN CHỨA GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI Phương pháp giải toán 1. Dạng 1 b ò f(x) dx , ta thực hiện các bước sau Giả sử cần tính tích phân I = a Bước 1. Lập bảng xét dấu (BXD) của hàm số f(x) trên đoạn [a; b], giả sử f(x) có BXD: x x1 x2 a b - 0 0 f(x) + + b x1 x2 b ò f(x) dx = ò f(x)dx - ò f(x)dx + ò f(x)dx . Bước 2. Tính I = a a x1 x2 2 òx 2 Ví dụ 9. Tính tích phân I = - 3x + 2 dx . -3 Giải Bảng xét dấu x -3 1 2 - 0 0 + 2 x - 3x + 2 1 2 59 ò( x ò( x 2 2 I= - 3x + 2 ) dx - - 3x + 2 ) dx = . 2 -3 1 59 Vậy I = . 2 p 2 Ví dụ 10. Tính tích phân I = 5 - 4 cos2 x - 4 sin xdx . ò 0 p ĐS: I = 2 3 - 2 - . 6 2. Dạng 2 b ò[ Giả sử cần tính tích phân I = f(x) ± g(x) ] dx , ta thực hiện a Cách 1. www.VNMATH.com 9
  10. www.VNMATH.com b b b ò[ ò f(x) dx ± ò g(x) dx Tách I = f(x) ± g(x) ] dx = rồi sử dụng dạng 1 ở trên. a a a Cách 2. Bước 1. Lập bảng xét dấu chung của hàm số f(x) và g(x) trên đoạn [a; b]. Bước 2. Dựa vào bảng xét dấu ta bỏ giá trị tuyệt đối của f(x) và g(x). 2 ò( Ví dụ 11. Tính tích phân I = x - x - 1 ) dx . -1 Giải Cách 1. 2 2 2 ò( òx òx- I= x - x - 1 ) dx = dx - 1 dx -1 -1 -1 0 2 1 2 ò xdx + ò xdx + ò (x - ò (x - 1)dx - 1)dx =- -1 0 -1 1 0 2 1 2 æ2 ö æ2 ö x2 x2 x x + ç - x÷ - ç - x÷ = 0. =- + ç2 ç2 ÷ ÷ ÷ ÷ è ø- 1 è ø1 2 2 -1 0 Cách 2. Bảng xét dấu x –1 0 1 2  x – 0 + + x–1 – – 0 + 0 1 2 ò ò ò( x - I= ( - x + x - 1 ) dx + ( x + x - 1 ) dx + x + 1 ) dx -1 0 1 1 2 =-x + ( x - x) 0 + x = 0. 0 2 -1 1 Vậy I = 0 . 3. Dạng 3 b b ò max { f(x), ò min { f(x), Để tính các tích phân I = g(x) } dx và J = g(x) } dx , ta thực hiện các a a bước sau: Bước 1. Lập bảng xét dấu hàm số h(x) = f(x) - g(x) trên đoạn [a; b]. Bước 2. + Nếu h(x) > 0 thì max { f(x), g(x) } = f(x) và min { f(x), g(x) } = g(x) . + Nếu h(x) < 0 thì max { f(x), g(x) } = g(x) và min { f(x), g(x) } = f(x) . 4 ò max { x 2 Ví dụ 12. Tính tích phân I = + 1, 4x - 2 } dx . 0 Giải h(x) = ( x 2 + 1 ) - ( 4x - 2 ) = x 2 - 4x + 3 . Đặ t Bảng xét dấu x 0 1 3 4 h(x) + 0 – 0 + 1 3 4 80 ò( x + 1 ) dx + ò ( 4x - 2 ) dx + ò ( x 2 + 1 ) dx = 2 I= . 3 0 1 3 www.VNMATH.com 10
  11. www.VNMATH.com 80 Vậy I = . 3 2 ò min { 3 , x Ví dụ 13. Tính tích phân I = 4 - x } dx . 0 Giải xx Đặt h(x) = 3 - ( 4 - x ) = 3 + x - 4 . Bảng xét dấu x 0 1 2 h(x) – 0 + 1 2 2 æ x2 ö 1 x 3 ÷ = 2 +5. + ç4x - ò 3x dx + ò ( 4 - x ) dx = I= ç ÷ ÷ è 2 ø1 ln 3 ln 3 2 0 0 1 2 5 Vậy I = +. ln 3 2 IV. BẤT ĐẲNG THỨC TÍCH PHÂN Phương pháp giải toán 1. Dạng 1 b b ò f(x)dx ³ ò f(x)dx £ 0 ) ta chứng minh f(x) ³ 0 (hoặc f(x) £ 0 ) với 0 (hoặc Để chứng minh a a " x Î [ a; b ] . 1 ò 3 1 - x 6 dx ³ 0 . Ví dụ 14. Chứng minh 0 Giải 1 ò 3 3 Với " x Î£Þ 1 ] : x 1 - x ³Þ 0 1 - x 6 dx ³ 0 . 6 6 [ 0; 1 0 2. Dạng 2 b b ò f(x)dx ³ ò g(x)dx ta chứng minh f(x) ³ g(x) với " x Î [ a; b ] . Để chứng minh a a p p 2 2 dx dx Ví dụ 15. Chứng minh . ò 1 + sin 10 x £ ò 1 + sin 11 x 0 0 Giải é pù Với " x Σ£Þ££ ú: 0 sin 11 x sin 10 x 0; sin x 1 0 ê 2û ë 1 1 Þ 1 + sin 10 x ³ 1 + sin 11 x > 0 Þ £ . 1 + sin x 1 + sin 11 x 10 p p 2 2 dx dx Vậy . ò 1 + sin ò 1 + sin £ 10 11 x x 0 0 3. Dạng 3 b ò f(x)dx £ Để chứng minh A £ B ta thực hiện các bước sau a Bước 1. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của f(x) trên đoạn [a; b] ta được m £ f(x) £ M . www.VNMATH.com 11
  12. www.VNMATH.com b Bước 2. Lấy tích phân A = m(b - a) ££ò f(x)dx M(b - a) = B . a 1 ò Ví dụ 16. Chứng minh 2 £ 4 + x 2 dx £ 5. 0 Giải Với " x Σ[ 0; 1 ] : 4 4 + x 2 £Þ£ 4 + x2 £ 5. 5 2 1 ò Vậy 2 £ 4 + x 2 dx £ 5. 0 3p 4 p p dx ò3 - £ £. Ví dụ 17. Chứng minh 2 sin 2 x 4 2 p 4 Giải p 3p ù 2 1 é Với " x Σ£Þ££ ú: sin 2 x ê; sin x 1 1 4 4û 2 2 ë 1 1 Þ 1 £ 3 - 2 sin 2 x £ 2 Þ £ £1 3 - 2 sin 2 x 2 3p 4 1 3p p 3p p dx ( ) ( ) ò3 - Þ £ £1 . - - 2 24 4 4 4 2 sin x p 4 3p 4 p p dx ò3 - £ £. Vậy 2 4 2 2 sin x p 4 p 3 3 cot x 1 ò £ dx £ . Ví dụ 18. Chứng minh 12 x 3 p 4 Giải ép pù cot x , xÎ ê; ú ta có Xét hàm số f(x) = ê4 3ú x ë û -x - cot x ép pù sin 2 x < 0 "x Î ê ; ú / f (x) = ê4 3ú x2 ë û p p p pù "x Î é ; () () Þf £ f(x) £ f ê4 3ú ë û 3 4 ép pù 3 cot x 4 "x Î ê ; ú Þ £ £ ê4 3ú p p x ë û p 3æ ö 4æ p pö 3 çp - p ÷£ cot x dx £ ç - ÷ ò Þ . ç ç ÷ ÷ ÷ ÷ p ç3 4 ø ç è p è3 4 ø x p 4 www.VNMATH.com 12
  13. www.VNMATH.com p 3 3 cot x 1 ò £ dx £ . Vậy 12 x 3 p 4 4. Dạng 4 (tham khảo) b ò f(x)dx £ Để chứng minh A £ B (mà dạng 3 không làm được) ta thực hiện a ì f(x) £ g(x) " x Î [ a; b ] ï ï ïb b ï Þ ò f(x)dx £ B . Bước 1. Tìm hàm số g(x) sao cho í ï g(x)dx = B ïò ïa a ï î ì h(x) £ f(x) " x Î [ a; b ] ï ï ïb b ï Þ A £ ò f(x)dx . Bước 2. Tìm hàm số h(x) sao cho í ï h(x)dx = A ïò ïa a ï î 2 2 p 2 dx Ví dụ 19. Chứng minh £. ò £ 2 4 2007 1- x 0 Giải é 2ù 1 Với " x Σ££ ê ú: 0 x 2007 x2 0; ê 2ú 2 ë û 1 1 1 Þ £ 1 - x 2 £ 1 - x 2007 £ 1 Þ 1 £ £ 2 2007 1 - x2 1- x 2 2 2 2 2 2 dx dx . ò dx £ ò £ò Þ 2007 1 - x2 1- x 0 0 0 Đặt x = sin t Þ dx = cos t dt p 2 x = 0 Þ t = 0, x = Þ t= 2 4 p 2 2 4 p dx cos t dt =. ò ò Þ = cos t 4 1 - x2 0 0 2 2 p 2 dx Vậy £. ò £ 2 4 2007 1- x 0 1 3 +1 xdx 2 +1 ò £ £ Ví dụ 20. Chứng minh . 4 2 x2 + 2 - 1 0 Giải Với " x Î [ 0; 1 ] : 2 - 1 £ x 2 + 2 - 1 £ 3 - 1 x x x Þ £ £ 3- 1 2- 1 2 x +2- 1 1 1 1 xdx xdx xdx ò ò ò Þ £ £ . 3- 1 2- 1 2 x +2- 1 0 0 0 www.VNMATH.com 13
  14. www.VNMATH.com 1 3 +1 xdx 2 +1 ò £ £ Vậy . 4 2 2 x +2- 1 0 V. ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN A. TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG 1. Diện tích hình thang cong Cho hàm số f(x) liên tục trên đoạn [a; b]. Diện tích hình thang cong gi ới h ạn b ởi các đ ường b ò f(x) dx . y = f(x), x = a, x = b và trục hoành là S = a Phương pháp giải toán Bước 1. Lập bảng xét dấu hàm số f(x) trên đoạn [a; b]. b ò f(x) dx . Bước 2. Dựa vào bảng xét dấu tính tích phân a Ví dụ 1. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi y = ln x, x = 1, x = e và Ox. Giải Do ln x ³ 0 " x Î [ 1; e ] nên e e ò ln x ò ln xdx = x ( ln x - e S= dx = 1) = 1. 1 1 1 Vậy S = 1 (đvdt). Ví dụ 2. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi y = - x 2 + 4x - 3, x = 0, x = 3 và Ox. Giải Bảng xét dấu x0 1 3 y – 0 + 0 1 3 ò( - x ò( - x 2 2 S=- + 4x - 3 ) dx + + 4x - 3 ) dx 0 1 1 3 æ x3 ö æ x3 ö 8 = - ç- + 2x 2 + 3x ÷ + ç- ç 3 + 2x + 3x ÷ = 3 . 2 ç3 ÷ ÷ ÷ ÷ è ø0 è ø1 8 Vậy S = (đvdt). 3 2. Diện tích hình phẳng 2.1. Trường hợp 1. Cho hai hàm số f(x) và g(x) liên tục trên đoạn [a; b]. Di ện tích hình phẳng gi ới h ạn b ởi các đ ường b ò f(x) - y = f(x), y = g(x), x = a, x = b là S = g(x) dx . a Phương pháp giải toán Bước 1. Lập bảng xét dấu hàm số f(x) - g(x) trên đoạn [a; b]. b ò f(x) - g(x) dx . Bước 2. Dựa vào bảng xét dấu tính tích phân a 2.2. Trường hợp 2. www.VNMATH.com 14
  15. www.VNMATH.com Cho hai hàm số f(x) và g(x) liên tục trên đoạn [a; b]. Di ện tích hình phẳng gi ới h ạn b ởi các đ ường b ò f(x) - g(x) dx . Trong đó a, b là nghiệm nhỏ nhất và lớn nhất y = f(x), y = g(x) là S = a của phương trình f(x) = g(x) ( a £ a < b £ b ) . Phương pháp giải toán Bước 1. Giải phương trình f(x) = g(x) . Bước 2. Lập bảng xét dấu hàm số f(x) - g(x) trên đoạn [ a; b] . b ò f(x) - g(x) dx . Bước 3. Dựa vào bảng xét dấu tính tích phân a Ví dụ 3. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y = x 3 + 11x - 6, y = 6x 2 , x = 0, x = 2 . Giải Đặt h(x) = (x + 11x - 6) - 6x 2 = x 3 - 6x 2 + 11x - 6 3 h(x) = 0 Û x = 1 Ú x = 2 Ú x = 3 (loại). Bảng xét dấu x0 1 2 h(x) – 0 +0 1 2 ò( x - 6x + 11x - 6 ) dx + ò ( x 3 - 6x 2 + 11x - 6 ) dx 3 2 S=- 0 1 1 2 æ ö æ ö 4 2 4 11x 2 x 11x x 5 = - ç - 2x 3 + - 6x ÷ + ç - 2x 3 + - 6x ÷ = . ç4 ç4 ÷ ÷ ÷ ÷ è ø0 è ø1 2 2 2 5 Vậy S = (đvdt). 2 Ví dụ 4. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y = x 3 + 11x - 6, y = 6x 2 . Giải Đặt h(x) = (x + 11x - 6) - 6x 2 = x 3 - 6x 2 + 11x - 6 3 h(x) = 0 Û x = 1 Ú x = 2 Ú x = 3 . Bảng xét dấu x1 2 3 h(x) 0 + 0 – 0 2 3 ò( x ò( x 3 2 3 - 6x 2 + 11x - 6 ) dx S= - 6x + 11x - 6 ) dx - 1 2 2 3 æ ö æ ö 4 2 4 11x 2 x 11x x 1 = ç - 2x 3 + - 6x ÷ - ç - 2x 3 + - 6x ÷ = . ç4 ÷ç ÷ ÷ ÷ è ø1 è 4 ø2 2 2 2 1 Vậy S = (đvdt). 2 Chú ý: Nếu trong đoạn [ a; b] phương trình f(x) = g(x) không còn nghiệm nào nữa thì ta có thể dùng b b ò f(x) - ò [ f(x) - g(x) dx = g(x) ] dx . công thức a a Ví dụ 5. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi y = x 3 , y = 4x . www.VNMATH.com 15
  16. www.VNMATH.com Giải Ta có x = 4x Û x = - 2 Ú x = 0 Ú x = 2 3 0 2 ò( x ò( x Þ S= 3 3 - 4x ) dx + - 4x ) dx -2 0 0 2 æ ö æ ö 4 4 x x = ç - 2x 2 ÷ + ç - 2x 2 ÷ = 8 . ç4 ç4 ÷ ÷ ÷ ÷ è ø- 2 è ø0 Vậy S = 8 (đvdt). Ví dụ 6. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi y = x 2 - 4 x + 3 và trục hoành. Giải Ta có x - 4 x + 3 = 0 Û t 2 - 4t + 3 = 0, t = x ³ 0 2 é =1 t éx = 1 é = ±1 x Ûê Ûê Ûê ê=3 êx = 3 ê = ±3 t x ë ë ë 3 3 òx - 4 x + 3 dx = 2 ò x 2 - 4x + 3 dx Þ S= 2 -3 0 é ù 1 3 = 2 êò ( x 2 - 4x + 3 ) dx + ò ( x 2 - 4x + 3 ) dx ú ê ú ê0 ú ë û 1 éæ ö ù 16 1 3 ö æ 3 3 x x = 2 êç - 2x 2 + 3x ÷ + ç - 2x 2 + 3x ÷ ú= . ç3 ç3 ÷ ÷ ÷ ÷ êè ø1 ú 3 ø0 è ë û 16 Vậy S = (đvdt). 3 2 Ví dụ 7. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi y = x - 4x + 3 và y = x + 3 . Giải Phương trình hoành độ giao điểm x 2 - 4x + 3 = x + 3 ïx+3³ 0 ì ï é =0 x ï2 Û ï é - 4x + 3 = x + 3 Û ê x íê ê = 5. ï x ïê2 ë ï ê - 4x + 3 = - x - 3 x ïë î Bảng xét dấu x 0 1 3 5 +0–0+ x 2 - 4x + 3 1 3 5 ò( x - 5x ) dx + ò ( - x + 3x - 6 ) dx + ò( x Þ S= 2 2 2 - 5x ) dx 0 1 3 1 3 5 æ3 5x 2 ö ÷ + æ x + 3x - 6x ö + æ - 5x ö = 109 . -3 2 x3 2 x =ç - ç ç ÷ ÷ ç3 ç ç ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ è 2 ø0 è 3 ø1 è 3 2 ø3 2 6 109 Vậy S = (đvdt). 6 2 Ví dụ 8. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi y = x - 1 , y = x + 5 . Giải Phương trình hoành độ giao điểm x 2 - 1 = x + 5 Û t 2 - 1 = t + 5, t = x ³ 0 www.VNMATH.com 16
  17. www.VNMATH.com t= x ³ 0 ì ï ï ìt= x ³ 0 ï ï Ûï ï é2 - 1 = t + 5 Û í t Û x = ±3 í ê ï ït=3 ï ï î ê2 - 1 = - t - 5 ï t ê ï î ë 3 3 ò x + 5 ) dx = 2 ò x 2 - 1 - Þ S= 2 x -1- x + 5 ) dx ( ( -3 0 Bảng xét dấu x 0 1 3 – 0 + 2 x-1 1 3 ò( - x - x - 4 ) dx + ò ( x 2 - x - 6 ) dx Þ S=2 2 0 1 1 3 æx ö æ ö 3 2 3 x2 x x 73 - =2ç - 4x ÷ + ç - - 6x ÷ = - . ç3 ç3 ÷ ÷ ÷ ÷ è ø0 è ø1 2 2 3 73 Vậy S = (đvdt). 3 Chú ý: Nếu hình phẳng được giới hạn từ 3 đường trở lên thì vẽ hình (tuy nhiên thi ĐH thì không có). B. TÍNH THỂ TÍCH KHỐI TRÒN XOAY 1. Trường hợp 1. Thể tích khối tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi các đường y = f(x) ³ 0 " x Î [ a; b ] , y = 0 , b x = a và x = b (a < b) quay quanh trục Ox là V = pò f 2 (x)dx . a Ví dụ 9. Tính thể tích hình cầu do hình tròn (C) : x + y = R 2 quay quanh Ox.2 2 Giải Hoành độ giao điểm của (C) và Ox là x 2 = R 2 Û x = ±R . Phương trình (C) : x 2 + y 2 = R 2 Û y 2 = R 2 - x 2 R R Þ V = pò ( R - x ) dx = 2pò ( R 2 - x 2 ) dx 2 2 -R 0 R æ xö ÷ = 4pR . 3 3 = 2p çR 2 x - ç ÷ ÷ è 3 ø0 3 4pR 3 Vậy V = (đvtt). 3 2. Trường hợp 2. Thể tích khối tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi các đường x = g(y) ³ 0 " y Î [ c; d ] , x = 0 , d y = c và y = d (c < d) quay quanh trục Oy là V = p g2 (y)dy . ò c 2 2 x y Ví dụ 10. Tính thể tích hình khối do ellipse (E) : + 2 = 1 quay quanh Oy. 2 a b Giải y2 Tung độ giao điểm của (E) và Oy là 2 = 1 Û y = ±b . b www.VNMATH.com 17
  18. www.VNMATH.com x2 y2 a 2 y2 + 2 = 1 Û x2 = a 2 - Phương trình (E) : a2 b2 b b b æ2 a 2 y2 ö ÷ = 2p æ 2 - a y ödy 22 ça - ça Þ V = pò ç òè ÷ dy ç ÷ ÷ ÷ ÷ è b2 ø b2 ø -b 0 R æ a 2 y3 ö ÷ = 4pa b . 2 = 2p ça 2 y - ç ÷ ÷ è 3b 2 ø0 3 4pa b 2 Vậy V = (đvtt). 3 3. Trường hợp 3. Thể tích khối tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi các đường y = f(x), y = g(x) , x = a và x = b (a < b, f(x) ³³ 0, g(x) 0 " x Î [ a; b ]) quay quanh trục Ox là b V = pò f 2 (x) - g2 (x) dx . a Ví dụ 11. Tính thể tích hình khối do hình phẳng giới hạn bởi các đ ường y = x 2 , y 2 = x quay quanh Ox. Giải ìx³ 0 é =0 x ï Hoành độ giao điểm ï 4 Ûê í ê =1. ïx =x x ï ë î 1 1 Þ V = pò x - x dx = p ò( x 4 4 - x ) dx 0 0 15 121 3p ( ) =p x- x = . 5 2 10 0 3p Vậy V = (đvtt). 10 4. Trường hợp 4. Thể tích khối tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi các đường x = f(y), x = g(y) , y = c và y = d (c < d, f(y) ³³ 0, g(y) 0 " y Î [ c; d ]) quay quanh trục Oy là d V = pò f 2 (y) - g2 (y) dy . c Ví dụ 12. Tính thể tích hình khối do hình phẳng giới hạn bởi các đường x = - y 2 + 5 , x = 3 - y quay quanh Oy. Giải é =- 1 y Tung độ giao điểm - y + 5 = 3 - y Û ê 2 ê =2 . y ë 2 2 Þ V = pò ( - y 2 + 5 ) - ( 3 - y ) 2 dy -1 2 ò( y =p 4 - 11y 2 + 6y + 16 ) dy -1 2 æ 5 11y 3 ö 153p y =pç - + 3y 2 + 16y ÷ = . ç ÷ ÷ ç5 è ø- 1 3 5 www.VNMATH.com 18
  19. www.VNMATH.com 153p Vậy V = (đvtt). 5 VI. TÍCH PHÂN CHỨA TỔ HỢP 1 11 12 1 10 1. Tính I= ∫ ( 1 − x ) dx Áp dụng kết quả đó hãy tính tổng sau: S = 1 − C10 + C10 − ... + C10 10 2 3 11 0 1 2. Tính: I = ∫ x ( 1 − x ) dx . Áp dụng kết quả đó hãy tính tổng sau: 19 0 10 11 12 1 18 1 19 C19 − C19 + C19 − ... + S= C19 − C19 . 2 3 4 20 21 2n +1 − 1 1 1 1 3. Chứng minh rằng: 1 + Cn + Cn + ... + Cn = 1 2 n n +1 n +1 2 3 BÀI TẬP TỰ GIẢI  π sin x + cos x , biết rằng F  − 4 ÷ = ln 2 1. Tìm nguyên hàm F(x) của hàm số f(x)= sin x − cos x   2. Tính các tích phân sau: e2 2 2 x + 5 - 7x 2 B= ∫ x 2 -1 dx C= ∫ 2 ln 2dx A= ∫ x dx x 0 -2 1 3. Tính các tích phân sau: π 2 e x 23 ln 4 x dx 3 D*= ∫ B= ∫ ∫ dx dx C*= A= ∫ e3 cos x sin xdx x 1 1+ x x +4 x -1 2 1 5 0 4. Tính các tích phân sau: π 10 e sin(ln x) dx 4 K= ∫ lg xdx I= ∫ J= ∫ dx x sin x cot x 2 π 1 1 6 π ln 5 2 dx dx L= ∫ x 2 N= ∫ sin 2 xdx M= ∫ −x ln 3 e + 2e −3 2 x -9 cos 2 x + 4 sin 2 x 1 0 π sin 2 x 2 C= ∫ (1 + cos dx x)2 2 0 5. Tính các tích phân sau: 1 4 dx 3 dx A= ∫ C= ∫ 16 - x dx B= ∫ x 2 + 3 2 4 - x2 3 0 0 3 ln 2 1- e x 2 E= ∫ ∫ dx dx D= 1 + ex x −1 2 0 2 6. Tính các tích phân sau: π 2 2 ln x x sin x e ln x C*= ∫ B*= ∫ A= ∫ dx dx dx 0 1 + cos x 2 1x 2 x 1 1 x2 − 1 eπ 2 3x 4 − 2 x ∫ 4 dx E= ∫ F= D = ∫ cos(ln x)dx * dx * −1 1 + x x3 1 1 7. Tính: π π 1 2 4 x e 4 2 C= ∫ xe dx E= ∫ x ln xdx D= ∫ A= ∫ cos xdx B= ∫ cos xdx x dx 2 3 x 0 1 1 0 0 www.VNMATH.com 19
  20. www.VNMATH.com e 2 4 2 1 ln x + 1 x x F= ∫ G= ∫ x 1 + 2 x dx H= ∫ x 1 + 2 xdx I= ∫ J= ∫ 2 dx dx dx x +1 0 1+ x 2 x 1 0 0 1 8. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường sau: 1 + ln x b. y=2x; y=3−x và x=0 a. x=1; x=e; y=0 và y= x π c. y=sin2xcos3x, trục Ox và x=0, x= . 3 9. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường: y=0, y=x3−2x2+4x−3 (C) và tiếp tuyến với đường cong (C) tại điểm có hoành độ bằng 2. 10. Cho hình phẳng D giới hạn bởi các đường y=tanx, x=0, x=π/3, y=0. a. Tính diện tích hình phẳng D. b. Tính thể tích vật thể tròn xoay sinh ra bởi hình phẳng D quay quanh trục Ox. 11. Tính thể tích vật thể tròn xoay sinh ra bởi hình phẳng giới hạn bởi đường cong y2=x3 và y=0, x=1 khi nó quay quanh: a) Trục Ox. b)Trục Oy. −Hết− www.VNMATH.com 20
ADSENSE

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

THÔNG TIN
TRỢ GIÚP
HỖ TRỢ KHÁCH HÀNG
Theo dõi chúng tôi

Chịu trách nhiệm nội dung:

Nguyễn Công Hà - Giám đốc Công ty TNHH TÀI LIỆU TRỰC TUYẾN VI NA

LIÊN HỆ

Địa chỉ: P402, 54A Nơ Trang Long, Phường 14, Q.Bình Thạnh, TP.HCM

Hotline: 093 303 0098

Email: support@tailieu.vn

Giấy phép Mạng Xã Hội số: 670/GP-BTTTT cấp ngày 30/11/2015 Copyright © 2022-2032 TaiLieu.VN. All rights reserved.

 

Đồng bộ tài khoản
2=>2