Thuyết minh đề tài Các điều kiện tối ưu và phương pháp số cho bài toán điều khiển tối ưu không trơn được cho bởi phương trình đạo hàm riêng

Chia sẻ: Tran Van Kha | Ngày: | Loại File: DOCX | Số trang:10

Thêm vào BST

Báo xấu

38
lượt xem 7
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Mục tiêu của đề tài là đưa ra một số kết quả mới về các điều kiện tối ưu và phương pháp số cho các bài toán điều khiển tối ưu không trơn được cho bởi phương trình đạo hàm riêng.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Thuyết minh đề tài Các điều kiện tối ưu và phương pháp số cho bài toán điều khiển tối ưu không trơn được cho bởi phương trình đạo hàm riêng

THUYẾT MINH ĐỀ TÀI NGHIÊN CƯU XUÂT SĂC ́ ́ ́ Tên đề tài (tiếng Các điều kiện tối ưu và phương pháp số cho bài toán Việt) điều khiển tối ưu không trơn được cho bởi phương trình đạo hàm riêng Tên đề tài (tiếng Optimality conditions and numerical methods for Anh) nonsmooth optimal control problems governed by partial differential equations Thời gian thực hiện 24 tháng , tháng 1/202112/2022 1. Giới thiệu tóm tắt Bài toán chuyển pha (phase transitions) xuất hiện trong nhiều lĩnh vực như khí hậu học (sự tan của băng), khoa học vật liệu (kỹ thuật luyện thép, sự đúc kim loại), khoa học thực phẩm (sự chuyển hóa của thức ăn), (xem Meirmanov [23] và Visintin [31]). Trong nhiều trường hợp, miền ranh giới (mushy region) giữa các pha (băng – nước, rắn – lỏng) có thể biến đổi tự do theo thời gian. Chẳng hạn xét bài toán 2 pha Stefan (twophase Stefan problem) được cho bởi phương trình biến phân sau: ở đó y là hàm mật độ năng lượng trong (internal energy density function), u là nguồn nhiệt trong (internal heat source) và v là enthalpy. Hàm là hàm không trơn và được cho bởi phương trình sau: Khi đó miền ranh giới giữa các pha được cho bởi Với mỗi (, phương trình (1) có nghiệm duy nhất và duy nhất ( (xem [Chương II, 31]). Do hàm liên tục và không khả vi nên ánh xạ nghiệm là liên tục nhưng không khả vi. Sự tối ưu nguồn nhiệt u dẫn tới việc nghiên cứu bài toán điều khiển tối ưu (ĐKTƯ) không trơn ở đó là hệ số Tikhonov và tập ràng buộc được cho, chẳng hạn, bởi
Việc tìm nghiệm tối ưu của bài toán (2) đòi hỏi sự nghiên cứu các điều kiện tối ưu (bậc 1, bậc 2) cũng nhưkhảo sátsự hội tụ và đánh giá sai số của các bài toán rời rạc (dựa trên các phương pháp như phương pháp phần tử hữu hạn—finite element method (FEM), phương pháp rời rạc hóa gradient— gradient discretization method (GDM)) của (2). 2. Tổng quan tình hình nghiên cứu và sự cần thiết tiến hành nghiên cứu 2.1. Tình hình nghiên cứu trong và ngoài nước Các chủ đề nghiên cứu về điều kiện tối ưu và phương pháp số cho bài toán ĐKTƯtrơn với ràng buộc được cho bởi phương trình đạo hàm riêng đã và đang được nhiều nhà toán học trong nước và trên thế giới quan tâm. Sau đây là một số tác giả, những người đang nghiên cứu lĩnh vực này: W. Alt, N. Arada, J. F. Bonnans, E. Casas,C. Christof, C. Clason, V. Dhamo, B.T. Kien, K. Malanowski, V. H. Nhu, N J.P. Raymond,A. Rösch, N. H. Son,R. Temam, B. A. Ton, F. Tröltzsch, D. Wachsmuth,… Gần đây,một vàitài liệu nghiên cứu điều kiện tối ưucho bài toán ĐKTƯ không trơn đã được công bố bởi một số tác giả.Đó là: Meyer và Susu (2017) [25] và Betz (2019) [4]cho bài toán ĐKTƯ với phương trình parabolic nửa tuyến tính không trơn; Christof và các đồng tác giả (2018) [14] cho bài toán ĐKTƯ với phương trình elliptic nửa tuyến tính không trơn;Clason và các đồng tác giả (2018, 2020) [15,16] cho bài toán ĐKTƯ với phương trình elliptic tựa tuyến tính không trơn. Dưới đây là một số công trình liên quan tới hướng nghiên cứu của đề tài. [1] W. Alt and K. Malanowski, The LagrangeNewton method for nonlinear optimal control problems, Comp. Optim. Appl., 2(1993), 77100. [2] W. Alt and K. Malanowski, The LagrangeNewton method for state constrained optimal control problems, Comp. Optim. Appl., 4(1995), 217 239. [3] N. Arada, E. Casas and F. Tröltzsch, Error estimate for the numerical approximation of a semilinear elliptic control problem, Comp. Optim. Appl., 23(2002), 201229. [4] L. M. Betz, Secondorder sufficient optimality conditions for optimal control of nonsmooth, semilinear parabolic equations, SIAM J. Control Optim., 57(2019), 4033–4062. [5] T. Bewley, R. Temam and M. Ziane, Existence and uniqueness of optimal control to the NavierStokes equations, C. R. Acard. Sci. Paris, 330(2000), 10071011. 2
[6] J. F. Bonnans, Secondorder analysis for control constrained optimal control problems of semilinear elliptic systems, Appl. Math. Optim. 38 (1998), 305–325. [7] J. F. Bonnans and H. Zidani, Optimal control problems with partially polyhedric constraints, SIAM J. Control Optim. 37 (1999), 1726–1741. [8] E. Casas and V. Dhamo, Error estimates for the numerical approximation of a quasilinear Neumann problem under minimal regularity of the data, Numer. Math. 117 (2011), 115–145. [9] E. Casas, J.P. Raymond and H. Zidani, Pontryagin's principle for local solutions of control problems with mixed controlstate contraints, SIAM J. Control Optim. Vol 39, 4(2000), 11821203. [10] E. Casas and M. Mateos, Uniform convergence of the FEM. Applications to sate constrained control problems, Comput. Appl. Math., to appear. [11]E. Casas and F. Tröltzsch, Numerical analysis of some optimal control problems governed by a class of quasilinear elliptic equations, ESAIM: COCV, 17(2011), 771800. [12]E. Casas and F. Tröltzsch, First and secondorder optimality conditions for a class of optimal control problems with quasilinear elliptic equations, SIAM J. Control Optim. 48 (2009), 688–718. [13]S. Cherednichenko and A. Rösch, Errorestimates for the discretization of elliptic control problems with pointwise control and state constraints, Comput. Optim. Appl, 44(2009), 2777. [14]C. Christof, C. Clason, C. Meyer, S. Walther,Optimal control of a non smooth semilinear elliptic equation,Mathematical Control and Related Fields 8 (2018), 247276. [15]C. Clason, V. H. Nhu, A. Rösch, Optimal control of a nonsmooth quasilinear elliptic equation, Mathematical Control and Related Fields, accepted 2018(to appear in 2021). [16]C. Clason, V. H. Nhu, A. Rösch,Nogap secondorder optimality conditions for optimal control of a nonsmooth quasilinear elliptic equation, revised 2020. [17]B. T. Kien and V. H. Nhu, Secondorder necessary optimality conditions for a class of semilinear elliptic optimal control problems with mixed pointwise constraints, SIAM J. Control and Optim., 52(2014), 11661202.
[18]B. T. Kien, N. V. Tuyen and J.C. Yao, Secondorder KKT optimality conditions for multiobjective optimal control problems, SIAM J. Control Optim., 56(2018), 40694097. [19]B. T. Kien, X. Qin, C.F. Wen and J.C. Yao,Secondorder optimality conditions for multiobjective optimal control problems with mixed pointwise constraints and free right end point, SIAM J. Control Optim., 58(4), 26582677. [20]K. Kunisch and D. Wachsmuth, Sufficient optimality conditions and semismooth Newton methods for optimal control of stationary variational inequalities, ESAIM: Control, Optimisation and Calculus of Variations 18 (2012), 520–547. [21]K. Malanowski, Sufficient optimality conditions for optimal control subject to state constraints, SIAM J. Control Optim., 35(1997), 205227. [22] K. Malanowski, Secondorder sufficient conditions for state conditioned optimal control problems, J. Optim. Th. Appl.,123(2004), 595617. [23] A. Meirmanov, Mathematical Models for Poroelastic Flows, Atlantis Press, Paris, 2014. [24] C. Meyer, A. Rösch and F. Tröltzsch, Optimal control of PDEs with regulized pointwise state constraints, Comp. Optim. Appl., 33(2006), 209228. [25] C. Meyer and L. M. Susu, Optimal control of nonsmooth, semilinear parabolic equations, SIAM J. Control Optim. 55 (2017), 22062234. [26] A. Rösch and F. Tröltzsch, Sufficient secondorder optimality conditions for an elliptic optimal control problem with pointwise controlstate constraints, SIAM J. Optim. 17 (2006), 776794. [27] A. Rösch and D. Waschsmuth, Semismooth Newton method for an optimal control problem with control and mixed control state constraints, Optim. Meth. Sof.,26(2011), 169186. [28] J.P. Raymond and H. Zidani, Pontryagin's principle for state constrained control problems governed by parabolic equationswith unbounded controls, SIAM J. Control Optim.,36(1998),18531879. [29] N.H. Son, B. T. Kien and A. Rösch, Secondorder optimality conditions for boundary control problems with mixed pointwise constraints, SIAM J. Optim., 26(2016), 19121943. [30] B. A. Ton, An optimal control free boundary problem for the Navier Stokes equations, Nolinear Analysis, 63(2005), 831839. [31] A. Visintin, Models of Phase Transitions, Birkhäuser, Boston, 1996. 4
2.2. Sự cần thiết tiến hành nghiên cứu Qua khảo sát các công trình trên chúng tôi thấy rằng có hai vấn đề chưa được giải quyết. Vấn đề thứ nhất là việc đưa racác điều kiện tối ưu(bậc 1 và bậc 2) cho bài toán ĐKTƯ không trơn được cho bởi phương trình parabolic tựa tuyến tính (chẳng hạn bài toán ĐKTƯ (2)). Vấn đề mở thứ hai là nghiên cứuphương pháp số, trong đó khảo sát sự hội tụ và đánh giá sai số cho các bài toán rời rạc của bài toán ĐKTƯ không trơn. Khi nghiên cứu các điều kiện cực trị cho bài toán ĐKTƯ không trơn, các tác giả trong [4,14,15,25] đã sử dụng lược đồ sau: xấp xỉ bài toán ĐKTƯ gốc bằng các bài toán ĐKTƯ trơn (regulization scheme), sau đó nhận được tính compact của tập các nghiệm tối ưu cho các bài toán xấp xỉ, và cuối cùng thông qua giới hạn thu được hệ các điều kiện cực trị cho bài toán gốc. Tuy nhiên đối với bài toán ĐKTƯ (2), thành phần không trơn xuất hiện trong toán tử đạo hàm cấp cao hơn và đo đó chúng ta không nhận được tính compact của tập các nghiệm tối ưu cho bài toán ĐKTƯ xấp xỉ. Vì vậy lược đồ trên không thể áp dụng trực tiếp cho bài toán (2). Để nghiên cứu sự hội tụ và đánh giá sai số cho các bài toán rời rạc của bài toán ĐKTƯ trơn, một phương pháp được sử dụng rộng rãi là việc áp dụng điều kiện cần tối ưu bậc 1 và điều kiện đủ tối ưu bậc 2 (xem [3,8,10,11,13]). Tuy nhiên theo tìm hiểu của chúng tôi, hiện chưa có một tài liệu nào nghiên cứu sự hội tụ và đánh giá sai số cho bài toán ĐKTƯ không trơn. Do đó để nghiên cứu hai vấn để mở nêu trên, chúng ta cần phải đưa ra các phương pháp mới, công cụ mới và kỹ thuật chứng minh mới, hoặc ít nhất cần phải cải tiến các phương pháp tiếp cận hay các kỹ thuật đã được sử dụngtrước đó.Việc nghiên cứu các vấn đề mở đó sẽ góp phần vào sự phát triển của nhóm nghiên cứu ĐKTƯ ở Việt Nam và đồng thời tạo nên hướng nghiên cứu mới cho nhóm. 3. Mục tiêu của đề tài Mục tiêu của đề tài là đưa ra một số kết quả mới về các điều kiện tối ưu và phương pháp số cho các bài toán ĐKTƯ không trơn được cho bởi phương trình đạo hàm riêng. 4. Nội dungnghiên cứu Nghiên cứu các điều kiện tối ưu (bậc 1 và bậc 2) cho bài toán ĐKTƯ không trơn được cho bởi phương trình đạo hàm riêng.
Nghiên cứu phương pháp số, trong đó bao gồm sự hội tụ và đánh giá sai số của các bài toán rời rạc của bài toán ĐKTƯ không trơn được cho bởi phương trình đạo hàm riêng. 5. Cách tiếp cận, phương pháp nghiên cứu Để thu được kết quả nghiên cứu đã nói ở trên, trước tiên chúng tôi sẽ khảo sát và nghiên cứu thật chi tiết các công trình liên quan trước đó. Trên cơ sở đó, chúng tôi sẽ tiếp cận hai vấn đề cần giải quyết như sau. Về các điều kiện cực trị: Trước hết chúng tôi cần nghiên cứu các tính chất định tính của phương trình đạo hàm riêng liên quan tới bài toán ĐKTƯ. Sau đó sử dụng các công cụ và kỹ thuật mới (hoặc được cải tiến từ các kỹ thuật đã biết) để nhận được các điều kiện tối ưu bậc 1 và bậc 2. Về việc chứng minh tính hội tụ và đánh giá sai số: Chúng tôi sẽ nghiên cứu các bài toán rời rạc (dựa trên các phương pháp rời rạc hóa như FEM và GDM) của phương trình trạng thái, của phương trình liên hợp và của bài toán ĐKTƯ. Sau đó sử dụng các điều kiện cần tối ưu bậc 1 và điều kiện đủ tối ưu bậc 2 (đã được nghiên cứu ở trên) để đưa ra sự hội tụ cũng như đánh giá sai số của nghiệm tối ưu rời rạc so với nghiệm tối ưu của bài toán liên tục. 6. Kế hoạch triển khai TT Họ và tên Cơ quan công tác Chức danh thực hiện đề tài 1 Bùi Trọng Kiên Viện Toán học Chủ nhiệm đề tài 2 Vũ Hữu Nhự Trường Đại học Phenikaa Thành viên chính 3 Nguyễn Quốc Tuấn Trường Đại học Sư phạm Hà Thành viên chính Nội 2 Sản phẩm cần Thời gian Nội dung, công việc chủ yếu đ ạt (bắt đầu, Người thực hiện (các mốc đánh giá chủ yếu) kết thúc) 1 Nghiên cứu các tính chất định tính của phương trình đạo 01 công trình sẽ 12 tháng Bùi Trọng Kiên, hàm riêng liên quan tới bài toán được xuất bản (từ Vũ Hữu Nhự, ĐKTƯ cần xét. cho chủ đề 01/2021 – Nguyễn Quốc Đưa ra các điều kiện cực trị cho nghiên cứu này. 12/2021) Tuấn bài toán ĐKTƯ không trơn. 2 Nghiên cứu bài toán rời rạc của 01 công trình sẽ 12 tháng Bùi Trọng Kiên, phương trình trạng thái, phương được xuất bản (từ Vũ Hữu Nhự, trình liên hợp, bài toán ĐKTƯ. cho chủ đề 01/2022 – Nguyễn Quốc nghiên cứu này. 12/2022) Chứng minh sự hội tụ và đánh Tuấn 6
giá sai số của nghiệm tối ưu rời rạc và nghiệm tối ưu của bài toán ĐKTƯ liên tục. 7. Dự kiến kết quả đề tài 7.1. Dự kiến kết quả nghiên cứu Đưa ra 02 công trình cho các kết quả mới về các điều kiện tối ưu và sự hội tụ và đánh giá sai số.
7.2. Dự kiến công trình công bố Số TT Kết quả công bố Số lượng Ghi chú 1 Tạp chí SCIE của Web of Science 02 Tạp chí uy tín 2 Tạp chí quốc tế khác 0 3 Tạp chí quốc gia có uy tín 0 4 Khác 0 8. Tông kinh phi đăng ky tai tr ̉ ́ ́ ̀ ợ: ̉ 8.1. Tông hợp Chia ra các năm TT Mục chi Nội dung chi Tổng số Năm 2021 Năm 2022 ̣ ̣ ̣ Hôi nghi, hôi 1 6650 thao ̉ Đi công tac ́ 2 6700 trong nươć Đi công tac ́ 3 6800 nươc ngoai ́ ̀ 4 6850 Đoan vao ̀ ̀ Tiền công lao 5 7000 động trực 377.178.600 189.319.400 187.859.200 tiếp Chủ nhiệm 174.210.800 87.105.400 87.105.400 đề tài Thành viên nghiên cứu 202.967.800 102.214.000 100.753.800 chính, thư ký khoa học Chi giao 6 7000 2.821.400 680.600 2.140.800 khoán khác 7 7750 ̉ Quan ly phi ́ ́ 20.000.0000 10.000.000 10.000.000 Tổng cộng: 400.000.000 200.000.000 200.000.000 8
8.2. Chi tiêt: ́ a. Tiền công lao động: Chức Hệ số danh thực TT Họ và tên tiền công hiện đề (hstc) Tổng số Năm 2021 Năm 2022 Tổng số Năm 2021 Năm 2022 tài Bùi 174.210.80 1 Trọng CNĐT 0,79 148 74 74 87.105.400 87.105.400 0 Kiên Vũ Hữu 101.483.90 2 TVC 0,49 139 70 69 51.107.000 50.376.900 Nhự 0 Nguyễn 101.483.90 3 Quốc TVC 0,49 139 70 69 51.107.000 50.376.900 0 Tuấn Tổng cộng: 426 214 212 377.178.600 189.319.400 187.859.200
̉ ̀ ̣ b. Chi tiêt cac khoan con lai: ́ ́ TT Mục chi Nội dung chi Tổng số Năm 2021 Năm 2022 1 7000 Nội dung chi giao khoán khác 2.821.400 680.600 2.140.800 7000 In ấn tài liệu, văn phòng phẩm 2.821.400 680.600 2.140.800 2 7750 Chi phí quản lý gián tiếp 20.000.000 10.000.000 10.000.000 TỔNG CỘNG: 22.821.400 10.680.600 12.140.800 TRUNG TÂM Hà Nội, ngày tháng năm 20 Chủ nhiệm đề tài Bùi Trọng Kiên THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ Kế toán đơn vị