zunia.vn

Tuyển sinh 2024 dành cho Gen-Z

zunia.vn

» Khoa Học Tự Nhiên

Tìm hiểu cơ sở hình học vi phân: Phần 2

Chia sẻ: Dương Hoàng Lạc Nhi | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:39

Báo xấu

18
lượt xem 5
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Phần 2 của cuốn sách "Cơ sở hình học vi phân" tiếp tục cung cấp cho bạn đọc những nội dung về: các mặt cong trong không gian ba chiều; mặt tiếp xúc, pháp tuyến và tính định hướng; các ứng dụng của định lý hàm ngược; dạng cơ bản thứ nhất; độ cong của mặt; độ cong Gauss;... Mời các bạn cùng tham khảo!

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Tìm hiểu cơ sở hình học vi phân: Phần 2

Chương 4 Các mặt cong trong không gian ba chiều Trong chương này chúng ta sẽ giới thiệu một vài cách khác nhau đề ra một cách toán học khái niệm của mặt cong. Mặc dù đơn giản nhất coi mặt cong như là một miếng vá, như thế đã đủ cho hầu hết cuốn sách, nhưng như vậy chưa thể mô tả một cách thỏa đáng cho các đối tượng mà chúng ta muốn gọi là các mặt cong. Chẳng hạn, mặt cầu không phải là một miếng vá, nhưng nó có thể mô tả bởi dán hai miếng vá một cách thích hợp. Ý tưởng đằng sau phép dán này khá đơn giản, nhưng việc thực hiện một cách chính xác hóa ra có một chút phức tạp. Chúng tôi cố gắng làm giảm thiểu những phiền hà này bằng cách đưa những chứng minh cần sự kiên nhẫn ở tiết cuối cùng của chương này; những kết quả đó không được sử dụng ở chỗ khác trong cuốn sách nên nếu muốn có thể bỏ qua. Thật ra, các mặt cong (đối lập với miếng vá) sẽ được sử dụng một cách chính xác chỉ một vài chỗ trong cuốn sách. 4.1 Mặt cong là gì? Một mặt cong là một tập con của R3 mà mỗi lân cận của mỗi điểm tựa như một mảnh của R2 , chẳng hạn bề mặt của quả địa cầu, mặc dù nó gần như là một mặt cầu, nhưng đối với một người đứng trên mặt đất quan sát thì nó dường như là một mặt phẳng. Để hiểu một cách chính xác những nhóm từ ’tựa như’ và ’lân cận’ trước hết chúng ta cần có một vài chuẩn bị. Chúng ta sẽ phát biểu cho Rn với mọi n ≥ 1, mặc dù chỉ cần cho n = 1, 2 hoặc 3. Trước hết, một tập con U của Rn được gọi là mở, nếu với mỗi điểm a trong U , tồn tại một số dương ε sao cho mọi điểm u ∈ Rn cách điểm a một khoảng cách bằng ε đều nằm trong U : a ∈ U và ku − ak < ε ⇒ u ∈ U. Ví dụ, toàn bộ Rn là một tập mở, cũng như đối với Dr (a) = {u ∈ Rn | ku − ak < r}, quả cầu mở tâm a bán kính r > 0. (Nếu n = 1, một quả cầu mở được gọi là một khoảng mở; nếu n = 2 nó được gọi là một đĩa mở.) Tuy nhiên, ¯ r (a) = {u ∈ Rn | ku − ak ≤ r} D 42
CHƯƠNG 4. MẶT CONG 4.1. MẶT CONG LÀ GÌ? không mở, vì với số ε nhỏ như thế nào cũng đều có một điểm cách điểm (a1 + r, a2 , ..., an ) ∈ D¯ r (a) một khoảng cách bằng ε mà nó không nằm trong D ¯ r (a) (chẳng hạn lấy điểm (a1 + r + ε 2 , a2 , ..., an )). Tiếp đến, nếu X và Y tương ứng là các tập con của u ∈ Rm và u ∈ Rn , một ánh xạ f : X → Y được gọi là liên tục tại một điểm a ∈ X nếu các điểm gần với điểm a có ảnh qua f là các điểm trong Y gần với điểm f (a). Chính xác hơn, f liên tục tại a nếu với mỗi ε > 0, tồn tại δ > 0 sao cho u ∈ X và ku − ak < δ ⇒ kf (u) − f (a)k < ε. Và f được gọi là liên tục nếu nó liên tục tại mọi điểm thuộc X. Hợp của hai ánh xạ liên tục là liên tục. Dựa vào định nghĩa của tập mở, ta có khẳng định tương đương sau: f liên tục khi và chỉ khi, với mọi tập mở V trong Rn , tồn tại tập mở U trong Rm sao cho f ánh xạ U ∩ X vào trong V ∩Y. Nếu f : X → Y liên tục và song ánh, và ánh xạ ngược của nó f −1 : Y → X cũng liên tục, thì f được gọi là một đồng phôi và X được gọi là đồng phôi với Y . Bây giờ chúng ta đã có thể đi đến khái niệm mặt cong trong R3 . Định nghĩa 4.1. Một tập con S của R3 được gọi là một mặt cong nếu với mọi điểm P ∈ S, tồn tại một tập mở U trong R2 và một tập mở W chứa P trong R3 sao cho S ∩ W đồng phôi với U . Như vậy mỗi một mặt cong được trang bị bởi các đồng phôi σ : U → S ∩ W , mà chúng ta sẽ gọi là các miếng vá hoặc các tham số hóa. Tập hợp tất cả các miếng vá này được gọi là một bản đồ của S. Mỗi một điểm của S nằm trong ảnh của ít nhất một miếng vá trong bản đồ của S. Lí do cho thuật ngữ này sẽ rõ hơn qua các ví dụ dưới đây. Ví dụ 4.1. Mỗi mặt phẳng trong R3 là một mặt cong với bản đồ là một miếng vá. Thật vậy, giả sử a là một điểm nào đó trên mặt phẳng, p và q là hai véctơ vuông góc với nhau, có độ dài đơn vị và song song với mặt phẳng đã cho. Khi đó mỗi véctơ song song với mặt phẳng là một tổ hợp tuyến tính của p và q, có dạng up + vq với các vô hướng u và v. Với r là một điểm bất kỳ trên mặt phẳng, thì véctơ r − a song song với mặt phẳng, do đó r − a = up + vq, ∴ r = a + up + vq, với các vô hướng u và v nào đó. Như vậy có thể xét mảnh vá là σ(u, v) = a + up + vq, và ánh xạ ngược của nó là σ −1 (r) = ((r − a).p, (r − a).q). Từ các công thức trên có thể thấy ngay rằng σ và σ −1 là các ánh xạ liên tục, do đó σ là một đồng phôi. (Chúng ta sẽ không kiểm tra chi tiết điều này.) Trong ví dụ tiếp theo chúng ta sẽ thấy vì sao cần phải xét đến mặt cong, mà không phải chỉ là các miếng vá. Ví dụ 4.2. Xét mặt cầu đơn vị S 2 = {(x, y, z) ∈ R3 | x2 + y 2 + z 2 = 1} 43
4.1. MẶT CONG LÀ GÌ? CHƯƠNG 4. MẶT CONG là một mặt cong. Tham số hiển nhiên nhất là thông qua vĩ độ θ và kinh độ ϕ: σ(θ, ϕ) = (cos θ cos ϕ, cos θ sin ϕ, sin θ). hinhve!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! Nếu không hạn chế (θ, ϕ), thì σ không phải là một song ánh (và do đó nó không phải là một đồng phôi). Để phủ hết mặt cầu, rõ ràng chọn như sau là đủ π π − ≤ θ ≤ , 0 ≤ ϕ ≤ 2π. 2 2 Tuy nhiên, tập hợp các điểm (θ, ϕ) thỏa mãn các bất đẳng thức trên không phải là một tập con mở của R2 , vì vậy nó không thể coi như là một miếng vá. Tập mở lớn nhất thỏa mãn các bất đẳng thức trên là π π U = {(θ, ϕ) | − < θ < , 0 < ϕ < 2π}, 2 2 nhưng khi đó ảnh của σ : U → R3 không phải là toàn bộ mặt cầu, mà là phần bù của nửa đường tròn lớn C bao gồm các điểm trên mặt cầu có tọa độ (x, 0, z) với x ≥ 0. Do đó, σ : U → R3 chỉ phủ lên một ’mảnh’ của mặt cầu. Một lần nữa, chúng ta sẽ không kiểm tra chi tiết tại sao σ là một đồng phôi giữa U và phần giao của mặt cầu với tập mở W = {(x, y, z) ∈ R3 | x < 0 hoặc y 6= 0}. Vì vậy để chứng tỏ mặt cầu là một mặt cong, chúng ta cần phải xây dựng thêm ít nhất ˜ là mảnh vá nhận được một mảnh vá nữa để phủ nốt phần mặt cầu bị σ bỏ qua. Ví dụ, xét σ bằng cách quay σ một góc π quanh trục Oz và sau đó một góc π/2 quanh trục Ox. Cụ thể, ˜ : U → R3 xác định bởi σ ˜ ϕ) = (− cos θ cos ϕ, − sin θ, − cos θ sin ϕ) σ(θ, 44
CHƯƠNG 4. MẶT CONG 4.1. MẶT CONG LÀ GÌ? (tập mở U cũng giống như trong trường hợp của σ). Ảnh của σ ˜ là phần bù của nửa đường tròn ˜ lớn C bao gồm các điểm trên mặt cầu có tọa độ (x, y, 0) với x ≤ 0 (xem hình vẽ dưới đây). Rõ ràng C và C˜ không giao nhau, vì vậy hợp thành của các ảnh của σ và σ ˜ là toàn bộ mặt cầu. Chú ý rằng hầu hết các điểm của mặt cầu nằm trên ảnh của cả hai mảnh vá. hinhve!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! Một trực giác rõ ràng, tuy nhiên chứng minh không phải là hiển nhiên, đó là mặt cầu không thể phủ bởi duy nhất một mảnh vá (xem Bài tập 4.5). Ví dụ cuối cùng của chúng ta (tại thời điểm này) là một tập con của R3 gần như là, nhưng không phải, một mặt cong. Ví dụ 4.3. Xét mặt nón đúp S = {(x, y, z) ∈ R3 | x2 + y 2 = z 2 }. hinhve!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! Để nhận thấy đây không phải là một mặt cong, giả sử σ : U → S ∩ W là một mảnh vá chứa đỉnh (0, 0, 0) của mặt nón, và giả sử a ∈ U là điểm tương ứng với đỉnh này. Chúng ta có thể giả thiết U là một quả cầu mở với tâm a, vì mọi tập mở U chứa a phải chứa một quả cầu mở như thế. Rõ ràng tập mở W phải chứa một điểm p trong phần bên dưới S− với z < 0 của S và một điểm q trong phần bên trên S+ với z > 0 của S; gọi b và c là các điểm tương ứng thuộc U . Rõ ràng tồn tại một đường cong π nằm trong U đi qua b và c, nhưng không đi qua a. Qua ánh xạ σ ảnh của nó là đường cong γ = σ ◦ π nằm trọn trong S, đi qua p và q, nhưng không đi qua đỉnh. (Chú ý rằng trong trường hợp tổng quát, γ không trơn mà chỉ liên tục, nhưng điều này không làm ảnh hưởng đến khẳng định.) Điều này không thể xảy ra. (Bạn đọc thành thạo về tôpô tập điểm có thể đưa ra lập luận chặt chẽ cho khẳng định này.) hinhve!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! Nếu chúng ta bỏ đi đỉnh thì sẽ nhận được mặt cong S− ∪ S+ . Nó có một bản đồ bao gồm hai miếng vá σ ± : U → R3 , với U = R2 \ {(0, 0)}, xác định bởi ánh xạ ngược của phép chiếu lên mặt phẳng Oxy: √ σ ± (u, v) = (u, v, ± u2 + v 2 ). Như trong ví dụ của mặt cầu, một điểm a của một mặt cong S nói chung nằm trong ảnh của nhiều hơn một miếng vá. Giả sử σ : U → S ∩ W và σ ˜ : U˜ → S ∩ W ˜ là hai miếng vá mà ˜ a ∈ S ∩ W ∩ W . Do σ và σ −1 ˜ ˜ là các đồng phôi, nên σ (S ∩ W ∩ W ) và σ −1 ˜ (S ∩ W ∩ W ˜ ) là các tập mở V ⊆ U và V˜ ⊆ U˜ tương ứng. Đồng phôi hợp thành σ ◦ σ˜ : V˜ → V được gọi là ánh xạ chuyển ˜ Nếu kí hiệu ánh xạ này là Φ, ta có từ σ đến σ. ˜ u, v˜) = σ(Φ(˜ σ(˜ u, v˜)) u, v˜) ∈ V˜ . với mọi (˜ hinhve!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! BÀI TẬP 4.1. Chứng minh đĩa mở trong mặt phẳng Oxy là một mặt cong. 4.2. Chứng minh rằng mặt trụ tròn xoay S = {(x, y, z) ∈ R3 | x2 + y 2 = 1} có thể phủ bởi một miếng vá, vì vậy nó là mặt cong. (Gợi ý: Lấy U là mặt phẳng bỏ đi 1 điểm.) 45
4.2. MẶT TRƠN CHƯƠNG 4. MẶT CONG x 4.3. Định nghĩa các miếng vá σ± : U → R3 cho mặt cầu có bán kính đơn vị từ việc giải phương trình x2 + y 2 + z 2 = 1 biến x theo y và z: x √ σ± (u, v) = (± 1 − u2 − v 2 , u, v), xác định trên tập mở U = {(u, v) ∈ R2 |u2 + v 2 < 1}. Tương tự, giải phương trình theo y y z và z có thể định nghĩa được tương ứng các miếng vá σ± và σ± (với cùng một U ). Chứng minh rằng với sáu miếng vá này mặt cầu có cấu trúc mặt. !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! 4.4. Hyperboloid một tầng là S = {(x, y, z) ∈ R3 |x2 + y 2 − z 2 = 1}. (Hình vẽ của một hyperboloid có thể xem trong Mệnh đề 4.6.) Chứng minh rằng, với mỗi θ, đường thẳng (x − z) cos θ = (1 − y) sin θ, (x + z) sin θ = (1 + y) cos θ nằm trên S, và mỗi điểm của S thì nằm trên một trong những đường thẳng này. Hãy chứng tỏ S có thể phủ bởi một miếng vá, do đó nó là một mặt. (So sánh với trường hợp mặt trụ trong Bài tập 4.2.) Hãy tìm một họ đường thẳng thứ hai trên S, và hãy chứng tỏ rằng bất kỳ hai đường thẳng nào trong cùng một họ thì không cắt nhau, trong khi mỗi đường thẳng thuộc họ thứ nhất thì giao với tất cả các đường thẳng thuộc họ thứ hai ngoại trừ một trường hợp. Vì thế người ta gọi S là mặt thước kép. 4.5. Chứng minh rằng mặt cầu đơn vị không thể phủ bằng một miếng vá. (Cần kiến thức về tôpô tập điểm.) 4.2 Mặt trơn Trong Hình học vi phân chúng ta sẽ dùng các tính toán giải tích để nghiên cứu các mặt (và cũng như các đối tượng hình học khác). Chẳng hạn ... Với lý do đó, chúng ta cần xét các mặt với các cấu trúc bổ sung. Trước hết, với U là một tập con mở của Rm , ánh xạ f : U → Rn được gọi là trơn nếu mỗi trong n thành phần của f , là các hàm U → R, có đạo hàm riêng liên tục ở mọi cấp. Khi đó các đạo hàm riêng của f được tính mỗi thành phần. Ví dụ, nếu m = 2 và n = 3, và f (u, v) = (f1 (u, v), f2 (u, v), f3 (u, v)), thì ³ ∂f ∂f ∂f ´ ³ ∂f ∂f ∂f ´ ∂f 1 2 3 ∂f 1 2 3 = , , , = , , , ∂u ∂u ∂u ∂u ∂v ∂v ∂v ∂v và tương tự cho các đạo hàm cấp cao hơn. Chúng ta thường dùng cách viết ngắn gọn sau: ∂f ∂f = fu , = fv , ∂u ∂v 46
CHƯƠNG 4. MẶT CONG 4.2. MẶT TRƠN ∂ 2f ∂ 2f ∂2f = fuu , = fuv , = fvv , ∂u2 ∂u∂v ∂v 2 và tương tự. Chú ý rằng fuv = fvu , vì tất cả các đạo hàm riêng của các thành phần của f liên tục. Bây giờ thì có thể nói đến tính trơn của các miếng vá σ : U → R3 trong bản đồ của S. Tuy nhiên chúng ta cần thêm một điều kiện nữa. Định nghĩa 4.2. Một miếng vá σ : U → R3 được gọi là chính qui nếu nó trơn và các véctơ σ u và σ v độc lập tuyến tính tại mọi điểm (u, v) ∈ U . Một cách tương đương, σ trơn đồng thời tích véctơ σ u × σ v khác véctơ không tại mọi điểm của U . Cuối cùng chúng ta đi đến định nghĩa của lớp các mặt sẽ được học trong cuốn sách này. Định nghĩa 4.3. Một trơn là một mặt σ mà bản đồ bao gồm các miếng vá chính qui. Ví dụ 4.4. Mặt phẳng trong Ví dụ 4.1 là một mặt trơn. Do σ(u, v) = a + up + vq rõ ràng là trơn và σ u = p, σ v = q độc lập tuyến tính (vì p và q theo cách chọn là các véctơ có độ dài đơn vị vuông góc với nhau). Ví dụ 4.5. Mặt cầu có bán kính đơn vị S 2 trong Ví dụ 4.2, có σ và σ ˜ trơn. Để kiếm tra tính chính qui, tính σ θ = (− sin θ cos ϕ, − sin θ sin ϕ, cos θ), σ ϕ = (− cos θ sin ϕ, cos θ cos ϕ, 0), dẫn đến σ θ × σ ϕ = (− cos2 θ cos ϕ, − cos2 θ sin ϕ, − sin θ cos θ) do đó kσ θ × σ ϕ k = | cos θ|. Hơn nữa nếu (θ, ϕ) ∈ U , thì −π/2 < θ < π/2, do đó cos θ 6= 0. Tương tự, có thể kiểm tra tính chính qui của σ.˜ Trong Bài tập 4.3 chúng ta cho một họ các miếng vá khác phủ mặt cầu đơn vị S 2 , và cũng dễ dàng kiểm tra được tính chính qui của chúng (xem Bài tập 4.7). Cùng với Ví dụ 4.5, chúng ta có hai bản đồ cho S 2 bao gồm các miếng vá chính qui, vì thế câu hỏi đặt ra: bản đồ nào chúng ta dùng để nghiên cứu mặt cầu? Câu trả lời là chúng ta có thể dùng mỗi một, hoặc cả hai. Với tám miếng vá trong Bài tập 4.3 và cùng với Ví dụ 4.5 ta có bản đồ thứ ba. Trong hầu hết các trường hợp (không phải tất cả, xem Định nghĩa 4.5), với mỗi mặt ta có thể dùng thuật ngữ bản đồ cực đại, đó là bản đồ chứa tất cả các miếng vá chính qui σ : U → S ∩ W , trong đó U và W , tương ứng, là các tập con mở của R2 và R3 . Các miếng vá như vậy được gọi là các miếng vá chấp nhận được của S. Bản đồ cực đại không phụ thuộc vào cách chọn nào. Hai kết quả dưới đây có vẻ không thú vị ngay, nhưng chúng rất quan trọng cho hệ quả sau đó. Mệnh đề 4.1. Các ánh xạ chuyển của một mặt trơn là trơn. Chứng minh của khẳng định này sẽ được trình bày trong Tiết 4.7. Kết quả tiếp theo như là điều khẳng định ngược lại. 47
4.2. MẶT TRƠN CHƯƠNG 4. MẶT CONG Mệnh đề 4.2. Giả sử U và U˜ là các tập con mở của R2 và σ : U → R3 là một miếng vá chính qui. Giả sử Φ : U˜ → U là một song ánh trơn với ánh xạ ngược Φ−1 : U → U˜ cũng trơn. Khi đó, ˜ = σ ◦ Φ : U˜ → R3 là một miếng vá chính qui. σ Chứng minh. Miếng vá σ ˜ là trơn do hợp thành của các ánh xạ trơn là trơn. Với tính chính qui, giả sử (u, v) = Φ(˜ u, v˜). Theo qui tắc dây chuyền, ∂u ∂v ∂u ∂v ˜ u˜ = σ σu + σv , ˜ v˜ = σ σu + σv , , ∂ u˜ ∂ u˜ ∂˜ v ∂˜ v vì vậy ³ ∂u ∂v ∂u ∂v ´ ˜ u˜ × σ σ ˜ v˜ = − σu × σv . (4.1) ∂ u˜ ∂˜ v ∂˜ v ∂ u˜ Vô hướng trong vế phải của phương trình trên là định thức của ma trận Jacobi µ ∂u ∂u ¶ J(Φ) = ∂∂vu˜ ∂˜∂v v ∂u ˜ ∂˜ v ˜ là hai ánh xạ giữa các tập mở trong R2 , của Φ. Nhắc lại kiến thức trong giải tích, nếu Ψ và Ψ ˜ ◦ Ψ) = J(Ψ)J(Ψ). J(Ψ ˜ ˜ ◦ Ψ.) (Thật ra, điều này tương đương với qui tắc dây chuyền cho đạo hàm riêng cấp một của Ψ Lấy Ψ = Φ và Ψ˜ = Φ , ta có J(Φ ) = J(Φ) . Đặc biệt, J(Φ) khả nghịch, vì vậy định thức của −1 −1 −1 ˜ chính qui. nó khác không và từ Pt. (4.1) suy ra σ Nếu các miếng vá chính qui σ và σ ˜ như trong mệnh đề trên, chúng ta nói σ˜ là một tham số hóa lại của σ, còn Φ là ánh xạ chuyển. Chú ý rằng σ khi đó cũng là một tham số hóa lại của ˜ vì σ = σ σ, ˜ ◦ Φ−1 . Cũng chú ý rằng, nếu σ : U → S ∩ W và σ ˜ : U˜ → S ∩ W ˜ là hai miếng vá chấp nhận được của ˜ ˜ một mặt trơn S, và nếu V ⊆ U và V ⊆ U là các tập con mở sao cho σ(V ) = σ( ˜ V˜ ) = S ∩ W ∩ W ˜, thì Φ = σ −1 ◦ σ ˜ : V˜ → V là song ánh, trơn và có ánh xạ ngược cũng trơn do Mệnh đề 4.1. Vì vậy, σ˜ là một tham số hóa lại của σ tại những nơi mà cả hai đều xác định. Nhận xét này dẫn đến một nguyên lí rất cơ bản mà chúng ta sẽ sử dụng trong suốt cuốn sách. Đó là, chúng ta có thể định nghĩa một tính chất của bất kỳ mặt cho trước nào nếu chúng ta có thể định nghĩa nó cho mỗi miếng vá chính qui với điều kiện nó không thay đổi khi miếng vá được tham số hóa lại. Để minh họa nguyên lí này, chúng ta định nghĩa cái gọi là ánh xạ trơn f : S1 → S2 , trong đó S1 và S2 là các mặt trơn. Theo nguyên lí chung của chúng ta, có thể giả sử S1 và S2 được phủ bởi chỉ mỗi một miếng vá σ 1 : U1 → R3 và σ 2 : U2 → R3 , và định nghĩa này phải không bị ảnh hưởng bởi tham số hóa lại của σ 1 và σ 2 . Do σ 1 và σ 2 là các song ánh, mỗi ánh xạ f : S1 → S2 cho ta ánh xạ σ −1 2 ◦ f ◦ σ 1 : U1 → U2 , và chúng ta nói rằng f trơn nếu ánh xạ này trơn (chúng ta đã có khái niệm trơn của một ánh xạ giữa các tập con mở của R2 ). Bây giờ giả sử σ ˜ 1 : U˜1 → R3 và σ˜ 2 : U˜2 → R3 là các tham số hóa lại của σ 1 và σ 2 , với Φ1 : U˜1 → U1 và Φ2 : U˜2 → U2 tương ứng là các ánh xạ tham số hóa lại. Chúng ta phải chứng tỏ rằng ánh xạ tương ứng σ ˜ −1 2 ◦f ◦σ ˜1 −1 là trơn nếu σ 2 ◦ f ◦ σ 1 trơn. Điều này đúng, do ˜ −1 σ 2 ◦f ◦σ ˜ −1 ˜1 = σ ˜2 ◦ σ 2 ◦ (σ ˜ −1 ˜1 ◦ σ 2 ) ◦ f ◦ (σ ˜ −1 1 )◦σ˜1 ˜ −1 = (σ 2 ◦σ˜ 2 ) ◦ (σ −1 ˜ −1 2 ◦ f ◦ σ 1 ) ◦ (σ ˜ 1) 1 )◦σ −1 −1 = Φ2 ◦ (σ 2 ◦ f ◦ σ 1 ) ◦ Φ1 , 48
CHƯƠNG 4. MẶT CONG 4.2. MẶT TRƠN và Φ1 , Φ−1 2 2 là các ánh xạ trơn (giữa các tập con mở của R ). Phần kiểm tra hợp thành của các ánh xạ trơn giữa các mặt là ánh xạ trơn dành lại cho bạn đọc. Chúng ta sẽ đặc biệt quan tâm đến những ánh xạ trơn f : S1 → S2 mà là song ánh và ánh xạ ngược f −1 : S2 → S1 là trơn. Những ánh xạ như vậy được gọi là các vi phôi, và nếu có một vi phôi như vậy thì S1 và S2 được gọi là vi phôi với nhau. Sau đây là một tính chất cần thiết: Mệnh đề 4.3. Giả sử f : S1 → S2 là một vi phôi. Nếu σ 1 là một mảnh vá chấp nhận được trên S1 thì f ◦ σ 1 là một mảnh vá chấp nhận được trên σ 2 . Chứng minh. Chúng ta có thể giả sử S1 và S2 được phủ tương ứng bởi mảnh vá σ 1 : U1 → R3 và σ 2 : U2 → R3 . Do f là một vi phôi, f (σ 1 (u, v)) = σ 2 (F (u, v)), trong đó F : U1 → U2 là một song ánh, trơn và F −1 cũng trơn. Từ Mệnh đề 4.2 ta có ngay kết quả. Ví dụ 4.6. Chúng ta xét ánh xạ quấn mặt phẳng lên mặt trụ tròn xoay có bán kính 1 và trục Oz, xét tham số hóa σ 2 : U → R3 cho bởi σ 2 (u, v) = (cos u, sin u, v), U = {(u, v) ∈ R2 |0 < u < 2π}. Nếu chúng ta quấn toàn bộ mặt phẳng lên mặt trụ thì ánh xạ này không phải là một song ánh, do mặt phẳng phải quấn quanh vô hạn lần. Vì vậy chúng ta xét dải dài vô hạn trong mặt phẳng Oyz với độ rộng 2π, có tham số hóa σ 1 : U → R3 được cho bởi σ 1 (u, v) = (0, u, v). Ta quấn dải này quanh mặt trụ sao cho đường thẳng z = v song song với trục Oz như được quấn ’theo eo’ của mặt trụ tại độ cao v so với mặt Oxy. Do chiều rộng của dải bằng chu vi của mặt trụ, mỗi điểm trên dải sẽ tương ứng một điểm trên mặt trụ với góc cực u. Như vậy, ánh xạ quấn này biến điểm (0, u, v) của dải thành điểm (cos u, sin u, v) của mặt trụ, tức là với kí hiệu như trên thì f (0, u, v) = (cos u, sin u, v). Từ đó ta có thể biểu thị F thông qua các tham số đơn giản như sau F (u, v) = (u, v), do f (σ 1 (u, v)) = σ 2 (u, v). Chúng ta kết thúc tiết này với việc xây dựng tổng quát cho mặt cong trơn. Thật ra, có thể chứng tỏ rằng mọi mặt cong trơn đều có thể xây dựng như thế. Như chúng ta đã thấy trong các ví dụ trên, các mặt thường được cho như là các mặt mức {(x, y, z) ∈ R3 |f (x, y, z) = c}, trong đó f là một hàm trơn và c là một hằng số. Chúng ta có thể cho c = 0 bằng cách thay f bởi f − c, chẳng hạn đối với mặt cầu đơn vị S thì mặt mức là x2 + y 2 + z 2 = 1. Trong các ví dụ này, chúng ta có thể xây dựng các bản đồ một cách khá đặc biệt. Kết quả mà chúng ta sẽ bàn dưới đây cho ta điều kiện đủ để một mặt mức là trơn. !!!!!!!!!!!!!! Định lý 4.1. Giả sử cS là một tập con của R3 có tính chất sau: Mỗi một điểm P ∈ S, tồn tại một tập con mở W của R3 chứa P và một hàm trơn f : W → R sao cho (i) S ∩ W = {(x, y, z) ∈ W |f (x, y, z) = 0}; 49
4.2. MẶT TRƠN CHƯƠNG 4. MẶT CONG (ii) Các đạo hàm riêng fx , fy và fz không cùng triệt tiêu tại P . Khi đó, S là một mặt trơn. Chứng minh sẽ được trình bày trong Tiết 4.7. Ví dụ 4.7. Với mặt cầu đơn vị S 2 , ta lấy W = R3 và f (x, y, z) = x2 + y 2 + z 2 − 1. Khi đó, (fx , fy , fz ) = (2x, 2y, 2z), vì vậy k(fx , fy , fz )k = 2 tại mọi điểm của S 2 . Suy ra (fx , fy , fz ) khác không mọi nơi trên S 2 . Từ định lý trên ta có S 2 là một mặt trơn. Ví dụ 4.8. Với mặt nón 2 phía ở Ví dụ 4.3, f (x, y, z) = x2 + y 2 − z 2 . Khi đó, (fx , fy , fz ) = (2x, 2y, −2z), nó triệt tiêu tại đỉnh (0, 0, 0). Bỏ đi đỉnh ta có được mặt trơn, như đã thấy. là một mặt trơn. Trong phần còn lại của cuốn sách, mặt cong được hiểu là mặt cong trơn, và mảnh vá được hiểu là mảnh vá trơn chính qui (hoặc một cách tương đương là mảnh vá chấp nhận được). Nếu không nhấn mạnh gì thì tất cả các mặt cong đều giả thiết là liên thông, tức là bất kì hai điểm nào của S đều tìm được một đường cong đi qua chúng và nằm trọn trong S. Điều giả thiết này không phải là quá nghiêm ngặt, bởi vì không khó khăn lắm có thể chứng minh được rằng mỗi mặt cong là một hợp rời của các mặt cong liên thông, khi đó có thể nghiên cứu riêng lẻ từng thành phần liên thông một. Tất cả các mặt ở trong các ví dụ nói trên đều là các mặt liên thông ngoại trừ mặt nón hai tầng trong Ví dụ 4.3, mặt này là hợp rời của hai nửa nón S± khi bỏ đỉnh của nó đi (để trở thành mặt cong). BÀI TẬP 4.6. Chứng minh rằng, nếu f (x, y) là một hàm trơn, thì đồ thị của nó {(x, y, z) ∈ R3 | z = f (x, y)} là một mặt trơn với bản đồ gồm một mảnh vá chính qui σ(u, v) = (u, v, f (u, v)). 4.7. Kiểm tra sáu mảnh vá của mặt cầu đơn vị ở Ví dụ 4.3 đều chính qui. Tính các ánh xạ chuyển giữa chúng và chứng tỏ rằng các ánh xạ này đều trơn. 4.8. Chứng minh rằng σ(r, θ) = (r cosh θ, r sinh θ, r2 ) là một tham số của hyperbolic paraboloid z = x2 − y 2 ở phần z > 0. (Hình vẽ của một hyperbolic paraboloid có thể tìm thấy trong Mệnh đề 4.6.) Sử dụng Bài tập 4.6 để tìm một tham số hóa khác σ ˜ cho mảnh vá nói trên, chứng tỏ rằng σ ˜ là một tham số hóa lại của σ. Tương tự tìm hai tham số hóa cho phần z < 0 của hyperbolic paraboloid. 4.9. Chứng minh rằng mặt mức x2 y 2 z 2 + 2 + 2 = 1, a2 b c trong đó a, b và c là các hằng số khác không, là một mặt trơn (được gọi là mặt ellipsoid). (Hình vẽ của một ellipsoid có thể tìm thấy trong Mệnh đề 4.6.) 50
CHƯƠNG 4. MẶT CONG 4.3. MẶT TIẾP XÚC, PHÁP TUYẾN VÀ TÍNH ĐỊNH HƯỚNG 4.10. Một mặt xuyến thu được từ phép quay đường tròn C nằm trong mặt phẳng Π xung quanh một đường thẳng L (không cắt C) nằm trong Π. Chọn Π là mặt phẳng Oxz, L là trục Oz, a > 0 là khoảng cách từ tâm của C đến L, và b < a là bán kính của C. Chứng minh rằng mặt xuyến là một mặt trơn, bằng hai cách sau: (i) Thông qua bản đồ gồm các mảnh vá σ(θ, ϕ) = ((a + b cos θ) cos ϕ, (a + b cos θ) sin ϕ, b sin θ), với (θ, ϕ) trong các khoảng mở thích hợp của R2 . (ii) Thông qua việc xem nó như là mặt mức xác định bởi (x2 + y 2 + z 2 + a2 − b2 )2 = 4a2 (x2 + y 2 ). !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! 4.11. Với S là một mặt trơn, ta định nghĩa khái niệm hàm trơn S → R. Chứng minh rằng, nếu S là một mặt trơn, mỗi ánh xạ thành phần của ánh xạ nhúng S → R3 là một hàm trơn S → R. 4.12. Chứng minh rằng phép tịnh tiến và phép biến đổi tuyến tính khả nghịch trong R3 biến các mặt trơn thành các mặt trơn. 4.3 Mặt tiếp xúc, pháp tuyến và tính định hướng Một cách tự nhiên khi nghiên cứu một mặt cong S là tìm hiểu qua các đường cong (trơn) γ nằm trên S. Nếu γ : (α, β) → R3 nằm trong ảnh của mảnh vá σ : U → R3 trong bản đồ của S, thì tồn tại một ánh xạ (α, β) → U , biến t → (u(t), v(t)), sao cho γ(t) = σ(u(t), v(t)). (4.2) Trong đó u và v cần thiết phải là các hàm trơn (xem Bài tập 4.30). Ngược lại, nếu t → (u(t), v(t)) là trơn, thì Pt. (4.2) xác định một đường cong nằm trên S. Tổng quát, nếu γ là một đường cong trên S và giả sử γ(t0 ) là một điểm nào đó của γ nằm trên mảnh vá σ của cS, thì Pt. (4.2) cũng đúng với mọi t thuộc một tập mở nào đó chứa t0 . Vì vậy chúng ta có thể hạn chế về trường hợp đường cong có dạng (4.2). Định nghĩa 4.4. Không gian tiếp xúc tại một điểm P của mặt cS là tập hợp tất cả các véctơ tiếp tuyến tại P của tất cả các đường cong trên cS đi qua P . Mệnh đề 4.4. Giả sử σ : U → R3 là một mảnh vá của mặt S chứa một điểm P của S, và giả sử (u, v) là hệ tọa độ trong U . Khi đó, không gian tiếp xúc với S tại P là không gian véctơ con của R3 sinh bởi các véctơ σ u và σ v (các đạo ánh xác định tại điểm (u0 , v0 ) ∈ U mà σ(u0 , v0 ) = P ). Chứng minh. Giả sử γ là một đường cong trơn trên S, chẳng hạn được cho bởi γ(t) = σ(u(t), v(t)). Kí hiệu d/dt bởi dấu chấm trên. Theo luật hợp thành, ta có γ˙ = σ u u˙ + σ v v. ˙ 51
4.3. MẶT TIẾP XÚC, PHÁP TUYẾN VÀ TÍNH ĐỊNH HƯỚNG CHƯƠNG 4. MẶT CONG Do đó γ˙ là một tổ hợp tuyến tính của σ u và σ v . Ngược lại, mỗi véctơ nằm trong không gian véctơ con của R3 sinh bởi σ u và σ v đều có dạng ξσ u + ησ v , với ξ và η là các vô hướng. Định nghĩa γ(t) = σ(u0 + ξt, v0 + ηt). Khi đó, γ là một đường cong trơn trên S và tại t = 0, tức là tại điểm P trên S, ta có γ˙ = ξσ u + νσ v . Điều này chứng tỏ rằng mọi véctơ sinh bởi σ u và σ v đều là véctơ tiếp xúc tại P của một đường cong nào đó trên S. Do σ u và σ v độc lập tuyến tính, nên không gian tiếp xúc có chiều bằng 2, và vì vậy từ đây về sau ta sẽ gọi là mặt tiếp xúc. Chú ý rằng Định nghĩa 4.4 cho ta thấy mặt tiếp xúc không phụ thuộc vào việc chọn mảnh vá chứa P , cho dù điều này không thật sự hiển nhiên từ Mệnh đề 4.4 (xem Bài tập 4.15). Do mặt tiếp xúc tại P ∈ S đi qua gốc tọa độ của R3 , vì vậy nó hoàn toàn xác định bởi một véctơ có độ dài đơn vị vuông góc với nó, được gọi là véctơ pháp tuyến của S tại P . Dĩ nhiên là có hai véctơ như vậy, nhưng do Mệnh đề 4.4, nếu ta đã chọn mảnh vá σ : U → R3 thì có thể xác định véctơ pháp tuyến bởi σu × σv Nσ = (4.3) kσ u × σ v k (trong đó các đạo ánh xác định được tại điểm trên U tương ứng với P ), rõ ràng véctơ này có độ dài đơn vị và vuông góc với mọi tổ hợp tuyến tính của σ u và σ v . Ta gọi nó là véctơ pháp tuyến chuẩn tắc của mảnh vá σ tại P . Tuy nhiên, không giống như mặt tiếp xúc, Nσ không phải là không độc lập vào việc chọn mảnh vá σ chứa P . Thật vậy, nếu σ : U → R3 là một mảnh vá khác chứa P trong bản đồ của S, như trong chứng minh của Mệnh đề 4.2 thì ˜ u˜ × σ σ ˜ v˜ = det(J(Φ))σ u × σ v , trong đó J(Φ) là ma trận Jacobi của ánh xạ chuyển Φ từ σ đến σ. ˜ Vì vậy véctơ pháp tuyến ˜ là chuẩn tắc của σ ˜ u˜ × σ σ ˜ v˜ σu × σv Nσ˜ = =± = ±Nσ , kσ˜ u˜ × σ ˜ v˜k kσ u × σ v k ở đây dấu là dấu của định thức của J(Φ). Điều này dẫn đến định nghĩa sau đây. Định nghĩa 4.5. Một mặt định hướng được là một mặt với bản đồ có tính chất như sau: Với mỗi ánh xạ chuyển Φ giữa hai mảnh vá trong bản đồ, thì det(J(Φ)) > 0 tại những nơi mà Φ xác định. Lập luận ở phần trên cho chúng ta khẳng định sau đây. Mệnh đề 4.5. Mỗi mặt định hướng được có một cách xác định véctơ pháp tuyến chuẩn tắc tại mỗi điểm, bằng cách lấy các véctơ pháp tuyến chuẩn tắc tại mỗi mảnh vá trong bản đồ của S. Ngoài ra, điều ngược lại cũng đúng: Nếu một mặt S có pháp tuyến chuẩn N xác định tại mọi điểm P ∈ S và nó phụ thuộc liên tục tại P , thì S định hướng được. Rõ hơn, xét bản đồ cực đại của S, giữ lại mảnh vá σ(u, v) nếu σ u × σ v bằng một bội dương của N, nếu ngược lại thì bỏ mảnh vá này đi. Các mảnh vá còn lại lập thành một bản đồ thỏa mãn điều kiện trong Mệnh 52
CHƯƠNG 4. MẶT CONG 4.3. MẶT TIẾP XÚC, PHÁP TUYẾN VÀ TÍNH ĐỊNH HƯỚNG đề 4.5. Chi tiết chứng minh dành lại cho người đọc (lập luận tương tự như trong ví dụ tiếp sau đây). Hầu hết các mặt mà chúng ta sẽ xét đến là định hướng được (xem Bài tập 4.16). Dưới đây là ví dụ một mặt không định hướng được. Ví dụ 4.9. Lá M¨obius là mặt thu được bằng cách quay một đoạn thẳng L xung quanh trung điểm P đồng thời P chạy trên một đường tròn C, cụ thể khi P quay một vòng quanh C thì L quay nửa vòng quanh P . Nếu ta lấy C là đường tròn x2 + y 2 = 1 trong mặt phẳng Oxy, và L là đoạn thẳng có độ dài đơn vị tại thời điểm song song với trục Oz với trung điểm P = (1, 0, 0). Khi P quay một góc θ quanh trục Oz, L phải quay góc θ/2 quanh P trong mặt phẳng chứa P và trục Oz. Do đó điểm (1, 0, t) của L lúc ban đầu sẽ biến thành điểm ³³ θ´ ³ θ´ θ´ σ(t, θ) = 1 − t sin cos θ, ( 1 − t sin sin θ, t cos . 2 2 2 Lấy miền xác định của σ là U = {(t, θ) ∈ R2 | − 1/2 < t < 1/2, 0 < θ < 2π}. Chúng ta có thể lấy mảnh vá thứ hai σ ˜ có công thức như của σ nhưng với miền xác định là U = {(t, θ) ∈ R2 | − 1/2 < t < 1/2, −π < θ < π}. Có thể kiểm tra được rằng hai mảnh vá này lập thành một bản đồ cho lá M¨obius, chúng là các mảnh vá chính qui, vì vậy lá M¨obius nằm tựa trên một mặt trơn S. !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! Chúng ta tính véctơ pháp tuyến chuẩn Nσ tại các điểm nằm trên đường tròn ở giữa (tại t = 0). Tại những điểm như vậy, ta có ³ θ θ θ´ σ t = − sin cos θ, − sin sin θ, cos , σ θ = (− sin θ, cos θ, 0), 2 2 2 vì vậy ³ θ θ θ´ σt × σθ = − cos θ cos , − sin θ cos , − sin . 2 2 2 Véctơ này có độ dài đơn vị, vì vậy nó chính là Nσ . Nếu lá M¨obius định hướng được thì véctơ pháp tuyến chuẩn N xác định tại mọi điểm của S và nó chuyển động trơn trên S. Tại mỗi điểm σ(0, θ) nằm trên đường tròn giữa, ta phải có N = λ(θ)Nσ , trong đó λ : (0, 2π) → R là ánh xạ trơn và λ(θ) = ±1 với mọi θ. Do đó, hoặc λ(θ) = 1 với mọi θ ∈ (0, 2π), hoặc λ(θ) = −1 với mọi θ ∈ (0, 2π). Thay N bởi −N nếu cần thiết, ta có thể giả thiết λ = 1. Tại điểm σ(0, 0) = σ(0, 2π), ta phải có (do tính trơn của N) N = lim+ Nσ = (−1, 0, 0) θ→0 và N = lim− Nσ = (1, 0, 0). θ→2π Điều này là mâu thuẫn, do đó lá M¨obius không định hướng được. BÀI TẬP 53
4.4. CÁC VÍ DỤ VỀ MẶT CHƯƠNG 4. MẶT CONG 4.13. Tìm phương trình của mặt tiếp xúc của mảnh vá dưới đây tại điểm tương ứng: (i) σ(u, v) = (u, v, u2 − v 2 ), (1, 1, 0); (ii) σ(r, θ) = (r cosh θ, r sinh θ), (1, 0, 1). 4.14. Mặt đinh ốc là mặt quét bởi một cánh quạt máy bay, khi cả máy bay và cánh quạt của nó chuyển động đều. (Hình vẽ của một mặt đinh ốc có thể xem trong Ví dụ 9.3.) Nếu máy bay bay dọc theo trục Oz, chứng minh rằng mặt đinh ốc có thể tham số bởi σ(u, v) = (v cos u, v sin u, λu), với λ là một hằng số. Chứng minh rằng cotang của góc tạo bởi véctơ pháp tuyến chuẩn của σ tại P và trục Oz tỉ lệ với khoảng cách từ P đến trục. 4.15. Giả sử σ(u, v) là một mảnh vá. Chứng minh rằng tập hợp các tổ hợp tuyến tính của σ u và σ v là không đổi khi σ được tham số hóa lại. 4.16. Xét mặt S định nghĩa bởi f (x, y, z) = 0, trong đó f là một hàm trơn sao cho fx , fy và fz không đồng thời triệt tiêu tại bất kì điểm nào của S. Chứng minh rằng véctơ ∇f = (fx , fy , fz ) vuông góc với mặt tiếp xúc tại mọi điểm của S, điều này dẫn đến S định hướng được. (So sánh với Bài tập 1.17.) 4.17. Giả sử S là một mặt và F : S → R là một hàm trơn (xem Bài tập 4.11). Chứng minh rằng, với mỗi điểm P ∈ S, tồn tại duy nhất một véctơ ∇S F trong mặt phẳng tiếp xúc tại P sao cho d¯ ˙ (∇S F ).γ(0) = ¯t=0 F (γ(t)) dt với mọi đường cong γ trong S với γ(0) = P . Từ đó chứng tỏ ∇S F = 0 nếu F có một cực đại địa phương hoặc một cực tiểu địa phương tại P . Chứng minh rằng, nếu S là mặt trong Bài tập 4.16, thì ∇S F là hình chiếu vuông góc của ∇F lên mặt tiếp xúc với S, và chứng tỏ rằng, nếu F có một cực đại địa phương hoặc một cực tiểu địa phương tại P , thì ∇F = λ∇f với hằng số λ nào đó. (Đây được gọi là Phương pháp nhân tử bất định của Lagrange.) 4.4 Các ví dụ về mặt Bây giờ chúng ta sẽ trình bày một vài lớp mặt đơn giản nhất. Một số khác sẽ gặp ở phần sau của cuốn sách. Ví dụ 4.10. Một mặt trụ (tổng quát) là mặt S thu được bởi tịnh tiến một đường cong. Nếu đường cong là γ : (α, β) → R3 và a là véctơ có độ dài đơn vị có hướng là hướng của phép tịnh tiến, thì điểm thu được bởi tịnh tiến điểm γ(u) của γ theo véctơ va song song với a là σ(u, v) = γ(u) + va. 54
CHƯƠNG 4. MẶT CONG 4.4. CÁC VÍ DỤ VỀ MẶT Khi đó, với σ : U → R3 , trong đó U = {(u, v) ∈ R2 |α < u < β}, thì rõ ràng σ trơn. Do σ(u, v) = σ(u0 , v 0 ) ⇔ γ(u) − γ(u0 ) = (v 0 − v)a, với σ là một mảnh vá (do đó, là một đơn ánh), vì vậy mỗi đường thẳng song song với a cắt γ không quá một điểm. Cuối cùng, vì σ u = γ, ˙ σ v = a (dấu chấm trên kí hiệu thay cho d/du), suy ra σ là chính qui khi và chỉ khi véctơ tiếp xúc của γ không bao giờ song song với a. !!!!!!!!!!!!!!!!!!!hinh ve Biểu diễn tham số nói trên là đơn giản nhất khi γ nằm trên mặt phẳng vuông góc với a. Thật vậy, điều này luôn luôn có thể đạt được bằng cách thay γ bởi hình chiếu của nó lên mặt phẳng như thế (xem Bài tập 4.22). Điều kiện chính qui rõ ràng được thỏa mãn do γ˙ luôn khác không, tức là do γ là chính qui. Chúng ta có thể lấy mặt phẳng này là Oxy và a = (0, 0, 1) song song với trục Oz. Khi đó, γ(u) = (f (u), g(u), 0) với các hàm trơn f và g nào đó, như vậy tham số hóa trở thành σ(u, v) = (f (u), g(u), v). Như một ví dụ, bắt đầu với đường tròn, ta sẽ có mặt trụ (tròn). Lấy đường tròn có tâm là gốc tọa độ, bán kính bằng 1 và nằm trên mặt phẳng Oxy, nó có thể tham số như sau γ(u) = (cos u, sin u, 0), với miền xác định chẳng hạn 0 < u < 2π và −π < u < π. Từ đó có một bản đồ gồm hai mảnh vá cho mặt trụ như sau σ(u) = (cos u, sin u, v), với miền xác định là các tập mở {(u, v) ∈ R2 |0 < u < 2π}, {(u, v) ∈ R2 | − π < u < π}. Ví dụ 4.11. Một mặt nón (tổng quát) là hợp của tất cả các đường thẳng đi qua một điểm cố định và các điểm của một đường cong. Nếu p là điểm cố định và γ : (α, β) → R3 là đường cong, thì điểm tổng quát trên đường thẳng qua p và một điểm γ(u) của đường cong là σ(u, v) = (1 − v)p + vγ(u). Rõ ràng σ là trơn. Ta có, σ(u, v) = σ(u0 , v 0 ) ⇔ vγ(u) − v 0 γ(u0 ) + (v 0 − v)p = 0, tức là các điểm p, γ(u) và γ(u0 ) không thẳng hàng. Vậy, với σ là một mảnh vá, mỗi đường thẳng qua p không đi qua quá một điểm của γ (đặc biệt, γ không đi qua p). Cuối cùng, ta có ˙ σ v = γ − p (với d/du được kí hiệu bởi dấu chấm trên), để σ chính qui thì v 6= 0, tức σ u = v γ, là đỉnh của mặt nón cần bỏ đi (xem Bài tập 4.3), và trong số các đường thẳng tạo ra mặt nón không có đường nào tiếp xúc với γ. !!!!!!!!!!!!!!!!!!! hinh ve Biểu diễn tham số nói trên là đơn giản nhất khi γ nằm trên một mặt phẳng. Nếu mặt phẳng này chứa điểm p thì mặt nón đơn giản là thành phần của mặt phẳng. Ngược lại, có thể lấy p là gốc tọa độ và mặt phẳng là z = 1. Khi đó, γ(u) = (f (u), g(u), 1) với các hàm trơn f và g nào đó, và tham số hóa có dạng σ(u, v) = v(f (u), g(u), 1). Các Ví dụ 4.10 và 4.11 là những trường hợp đặc biệt của lớp mặt trong ví dụ tiếp sau đây. 55
4.4. CÁC VÍ DỤ VỀ MẶT CHƯƠNG 4. MẶT CONG Ví dụ 4.12. Một mặt kẻ là mặt hợp thành bởi các đường thẳng, chúng được gọi là các đường kẻ của mặt. Giả sử C là đường cong trong R3 giao với tất cả các đường kẻ. Mỗi điểm P của mặt nằm trên một trong các đường kẻ, đường này giao với C tại điểm kí hiệu là Q. Giả sử γ là tham số hóa của C với γ(u) = Q, và nếu δ(u) là một véctơ khác không có hướng trùng với đường kẻ qua γ(u), khi đó P có tọa độ σ(u, v) = γ(u) + vδ(u), với v là một vô hướng nào đó. !!!!!!!!!!!!!!!!!!!! hinh ve Với d/du được kí hiệu bởi dấu chấm trên, ta có ˙ σ u = γ˙ + v δ, σ v = δ. Như vậy, σ là chính qui nếu γ˙ + v δ˙ và δ độc lập tuyến tính. Điều này sẽ thỏa mãn, chẳng hạn nếu γ˙ và δ độc lập tuyến tính và v đủ nhỏ. Vậy, để có được một mặt thì đường cong C không tiếp xúc với đường kẻ nào. Ví dụ 4.13. Một mặt tròn xoay là mặt tạo bởi khi quay một đường cong phẳng, được gọi là đường sinh, xung quanh một đường thẳng nằm trong mặt phẳng (chứa đường cong). Các đường tròn tạo bởi bằng phép quay một điểm nằm trên đường sinh quanh trục quay được gọi là các đường vĩ tuyến của mặt, các đường nằm trên mặt tạo bởi khi quay đường sinh một góc nào đó được gọi là các đường kinh tuyến của nó. (Cách đặt tên này cũng giống như trong địa lý, nếu chúng ta coi quả đất như là mặt tạo bởi phép quay một đường tròn lớn đi qua các cực quanh trục cực, lấy u và v tương ứng là vĩ độ và kinh độ.) Ta chọn Oz là trục quay và Oxz là mặt phẳng chứa đường sinh. Mỗi điểm P của mặt đều thu được bằng cách quay điểm Q nào đó trên đường sinh với một góc v (chẳng hạn) quanh xung quanh trục Oz. Nếu γ(u) = (f (u), 0, g(u)) là tham số hóa của đường sinh chứa Q, khi đó P có tọa độ σ(u, v) = (f (u) cos v, f (u) sin v, g(u)). !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! hinh ve Để kiểm tra tính chính qui, ta tính (với dấu chấm trên là kí hiệu thay cho d/du): σ u = (f˙ cos v, f˙ sin v, g), ˙ σ v = (−f sin v, f cos v, 0), ∴ σ u × σ v = (f g˙ cos v, −f g˙ sin v, f f˙), ∴ kσ u × σ v k2 = f 2 (f˙2 + g˙ 2 ). Như vậy, σ u × σ v sẽ không triệt tiêu nếu f (u) luôn khác không, tức là nếu γ không cắt trục Oz, và nếu f˙ và g˙ không đồng thời bằng không, tức là γ nếu γ là chính qui. Trong trường hợp này chúng ta cũng có thể giả sử f (u) > 0, để f (u) là khoảng cách từ σ(u, v) đến trục quay. Khi đó, σ đơn ánh đòi hỏi γ không tự cắt và góc v của phép quay thuộc một khoảng có độ rộng ≤ 2π. Với những điều kiện này, các mảnh vá có dạng σ lập nên cấu trúc mặt trơn cho mặt tròn xoay. BÀI TẬP 56
CHƯƠNG 4. MẶT CONG 4.5. CÁC MẶT BẬC HAI 4.18. Mặt tròn xoay thu được bởi quay đường cong x = cosh z trong mặt phẳng Oxz quanh trục Oz được gọi là mặt catenoid. Hãy mô tả một bản đồ cho mặt này. (Hình vẽ cho mặt catenoid có thể xem trong Tiết 9.2.) 4.19. Chứng minh rằng σ(u, v) = (sech u cos v, sech u sin v, tanh u) là một mảnh vá chính qui của mặt cầu đơn vị (nó được gọi là phép chiếu Mercator). Chứng minh rằng các kinh tuyến và vĩ tuyến trên mặt cầu tương ứng qua σ với các đường thẳng vuông góc trong mặt phẳng. 4.20. Một loxodrome là một đường cong trên mặt cầu đơn vị giao với các vĩ tuyến với cùng một góc α. Chứng minh rằng với mặt Mercator σ (xem trong Bài tập 4.19), có một loxodrome vận tốc đơn vị thỏa mãn u˙ = cos α cosh u, v˙ = ± sin α cosh u (dấu chấm trên kí hiệu cho phép lấy đạo hàm đối với biến là tham số của loxodrome). Chứng tỏ rằng loxodrome tương ứng qua σ với các đường thẳng trong mặt phẳng Ouv. 4.21. Một mặt conoid đứng là một mặt kẻ với các đường kẻ song song với một mặt phẳng Π và cắt một đường thẳng L vuông góc với Π. Nếu Π là mặt Oxy và L là trục Oz, chứng minh rằng σ(u, v) = (v cos θ(u), v sin θ(u), u) là một mảnh vá chính qui cho mặt conoid, trong đó θ(u) là góc giữa đường kẻ đi qua (0, 0, u) và trục Oz (θ(u) được cho là một hàm trơn theo u). Với θ(u) = u ta có mặt đinh ốc (Bài tập 4.14). !!!!!!!!!!!!!!! hinh ve 4.22. Chứng minh rằng, nếu σ(u, v) là mặt trụ (tổng quát) như trong Ví dụ 4.10 thì: ˜ (u) = γ(u) − (γ(u).a)a nằm trong một mặt phẳng vuông góc với a; (i) Đường cong γ ˜ (u) + v˜a, trong đó v˜ = v + γ(u).a; (ii) σ(u, v) = γ ˜ v˜) = γ (iii) σ(u, ˜ (u) + v˜a là một tham số hóa lại của σ(u, v). 4.5 Các mặt bậc hai Mặt phẳng, trong hệ tọa độ Descarte được cho bởi một phương trình tuyến tính theo x, y và z, là mặt đơn giản nhất. Theo cách hiểu này thì các mặt đơn giản nhất tiếp sau đó là các mặt cho bởi phương trình bậc hai theo x, y và z. Ta đi đến định nghĩa sau. Định nghĩa 4.6. Một mặt bậc hai là một tập con của R3 xác định bởi một phương trình có dạng (rA).r + b.r + c = 0, trong đó r = (x, y, z), A là một ma trận thực đối xứng cấp ba, b ∈ R3 là một véctơ hằng, và c là một số thực. 57
4.5. CÁC MẶT BẬC HAI CHƯƠNG 4. MẶT CONG Cụ thể hơn, lấy   a1 a4 a6 A = a4 a2 a5  , b = (b1 , b2 , b3 ). a6 a5 a3 Khi đó, phương trình của mặt bậc hai là a1 x2 + a2 y 2 + a3 z 2 + 2a4 xy + 2a5 yz + 2a6 xz + b1x + b2 y + b3 z + c = 0. (4.4) Một mặt bậc hai không nhất thiết là một mặt. Chẳng hạn, mặt bậc hai cho bởi x2 + y 2 + z 2 = 0 là một điểm, cho bởi x2 + y 2 = 0 là một đường thẳng. Và thú vị hơn, với xy = 0 ta có hai mặt phẳng cắt nhau, cũng không phải là một mặt. (Một cách trực quan, nó có một "góc" dọc theo đường thẳng giao của hai mặt phẳng này.) Kết quả dưới đây cho ta thấy rằng khi xét một mặt bậc hai có thể đưa về phương trình đơn giản. Mệnh đề 4.6. Bằng một phép dời hình trong R3 , mỗi mặt bậc hai khác rỗng cho bởi 4.4, trong đó các hệ số không đồng thời bằng không, có thể đưa về một trong các dạng sau: x2 y2 z2 (i) ellipsoid: p2 + q2 + r2 =1 x2 y2 z2 (ii) hyperboloid một tầng: p2 + q2 − r2 =1 z2 x2 y2 (iii) hyperboloid hai tầng: r2 − p2 − q2 =1 x2 y2 (iv) paraboloid elliptic: p2 + q2 =z x2 y2 (v) paraboloid hyperbolic: p2 − q2 =z x2 y2 z2 (vi) mặt nón bậc hai: p2 + q2 − r2 =0 x2 y2 (vii) mặt trụ elliptic: p2 + q2 =1 x2 y2 (viii) mặt trụ hyperbolic: p2 − q2 =1 2 (ix) mặt trụ parabolic: xp2 = y (x) mặt phẳng: x = 0 (xi) cặp mặt phẳng song song: x2 = p2 x2 y2 (xii) cặp mặt phẳng cắt nhau: p2 − q2 =0 x2 y2 (xiii) đường thẳng p2 + q2 =0 x2 y2 z2 (xiv) một điểm: p2 + q2 + r2 = 0. 58
CHƯƠNG 4. MẶT CONG 4.5. CÁC MẶT BẬC HAI Chứng minh. Chứng minh dựa vào một lập luận như sau. Nếu A là một ma trận thực đối xứng, thì luôn tồn tại một ma trận P mà P t P = I và det(P ) = 1 sao cho A0 = P t AP là một ma trận đường chéo (P t là ma trận chuyển vị của A). Các phần tử nằm trên đường chéo của A0 là các giá trị riêng của A, các véctơ hàng của P là các véctơ riêng tương ứng. Với ma trận A như trong Định nghĩa 4.6, định nghĩa r0 = (x0 , y 0 , z 0 ), b0 = (b01 , b02 , b03 ), với (x0 y 0 z 0 ) = (x y z)P, (b01 b02 b03 ) = (b1 b2 b3 )P. Viết lại phương trình của mặt bậc hai như sau (x y z)A(x y z)t + (b1 b2 b3 )(x y z)t + c = 0 và thay (x y z) = (x0 y 0 z 0 )P t , (b1 b2 b3 ) = (b01 b02 b03 )P t , ta thu được (x0 y 0 z 0 )A0 (x0 y 0 z 0 )t + (b01 b02 b03 )(x0 y 0 z 0 )t + c = 0, ∴ (r0 A0 ).r0 + b.r0 + c = 0, ∴ a1 x0 2 + a02 y 0 2 + a03 z 0 2 + b01 x0 + b02 y 0 + b03 z 0 + c = 0, trong đó a01 , a02 và a03 là các phần tử trên đường chéo của A0 , tức là các giá trị riêng của A. Do mỗi ma trận thực cấp ba P với P t P = I và det(P ) = 1 đặc trưng cho một phép quay trong R3 , vì vậy mặt bậc hai mới này thu được từ mặt ban đầu bởi một phép dời hình. Do đó, ta vẫn có thể dùng (4.4), nhưng với giả thiết a4 = a5 = a6 = 0, tức là a1 x2 + a2 y 2 + a3 z 2 + b1x + b2 y + b3 z + c = 0. (4.5) Bây giờ, giả sử trong (4.5) có a1 6= 0. Nếu ta định nghĩa x0 = x + b1 /2a1 , tương ứng với một phép tịnh tiến trong R3 , phương trình trên trở thành 2 a1 x0 + a2 y 2 + a3 z 2 + b2 y + b3 z + c0 = 0, trong đó c0 là một hằng số. Nói cách khác, nếu a1 6= 0, chúng ta có thể giả sử b1 = 0, và có thể xét tương tự đối với a2 và a3 . Nếu a1 , a2 và a3 trong Pt. (4.5) đều khác không, thì ta có thể đưa về a1 x2 + a2 y 2 + a3 z 2 + c = 0. Nếu c 6= 0, ta có các trường hợp (i), (ii) và (iii), phụ thuộc vào dấu của a1 , a2 , a3 và c, và nếu c = 0 ta có các trường hợp (vi) và (xiv). Nếu trong ba số a1 , a2 và a3 có duy nhất một số bằng không, chẳng hạn a3 = 0, phương trình trở thành a1 x2 + a2 y 2 + b3 z + c = 0. (4.6) Nếu b3 6= 0, đặt z 0 = z + c/b3 . Như vậy, bằng một phép tịnh tiến (sau đó chia cho b3 ), đưa về trường hợp a1 x2 + a2 y 2 + z = 0. Nó rơi vào hai trường hợp (iv) và (v). 59
4.5. CÁC MẶT BẬC HAI CHƯƠNG 4. MẶT CONG Nếu b3 = 0 trong Pt. (4.6), ta có a1 x2 + a2 y 2 + c = 0. Nếu c = 0 ta có các trường hợp (xii) và (xiii). Nếu c 6= 0, chia hai vế cho c dẫn đến các trường hợp (vii) và (viii). Bây giờ ta xét a2 = a3 = 0, nhưng a1 6= 0. Khi đó a1 x2 + b2 y + b3 z + c = 0. (4.7) Nếu b2 và b3 không đồng thời bằng không, bằng cách quay mặt phẳng Oyz sao cho trục Oy song song với véctơ (b2 , b3 ), chúng ta có thể giả sử b2 6= 0, b3 = 0, và bằng một phép tịnh tiến dọc theo trục Oy ta có thể giả sử c = 0. Do đó phương trình đưa về dạng a1 x2 + y = 0, tức là ứng với trường hợp (ix). Nếu b2 = b3 = 0 trong Pt. (4.7), thì c = 0 hay trường hợp (x) và c 6= 0 dẫn đến trường hợp (xi). Cuối cùng, nếu a1 = a2 = a3 = 0, thì (4.5) là phương trình của một mặt phẳng, vì vậy qua một phép dời hình chúng ta lại đưa về trường hợp (x). Ví dụ 4.14. Xét mặt bậc hai x2 + 2y 2 + 6x − 4y + 3z = 7. Đặt x0 = x + 3, y 0 = y − 1 (một phép tịnh tiến), ta có 2 2 x0 + 2y 0 + 3z = 18. Đặt z 0 = z − 6 (một phép tịnh tiến khác), thu được 2 2 x0 + 2y 0 + 3z = 0. Cuối cùng, đặt x00 = x0 , y 00 = −y 0 , z 00 = −z 0 (quay một góc π quanh trục Ox), dẫn đến 1 00 2 2 00 2 x + y = z 00 , 3 3 đây là một mặt paraboloid elliptic. Nó có thể tham số hóa bởi x00 = u, y 00 = v, z 00 = 31 u2 + 23 v 2 . Tương ứng với x = u − 3, y = 1 − v, z = 6 − 13 u2 − 23 v 2 , và chứng tỏ mặt bậc hai trên là một mặt trơn với bản đồ chỉ gồm một mảnh vá ³ 1 2 2 2´ σ(u, v) = u − 3, 1 − v, 6 − u − v . 3 3 BÀI TẬP 4.23. Hãy viết các tham số hóa cho mỗi mặt bậc hai trong các trường hợp (i)-(xi) của Mệnh đề 4.6 (đối với trường hợp (vi) ta cần bỏ đi gốc tọa độ). 4.24. Mặt bậc hai nào là (a) mặt trụ tổng quát; 60
CHƯƠNG 4. MẶT CONG 4.6. CÁC HỆ TRỰC GIAO BỘ BA (b) mặt nón tổng quát; (c) mặt kẻ; (d) mặt tròn xoay? 4.25. Bằng cách đặt x y x y u= − , v= + , p q p q tìm một mảnh vá phủ mặt paraboloid hyperbolic x2 y 2 − 2 = z. p2 q Từ đó chứng minh rằng mặt paraboloid hyperbolic là mặt kẻ đúp. 4.26. Chứng minh rằng, nếu một mặt bậc hai chứa ba điểm nằm trên một đường thẳng, thì nó sẽ chứa cả đường thẳng. (Tham số đường cong bởi γ(t) = a + bt, thay vào Pt. (4.4) được một phương trình bậc hai theo t) Chứng tỏ rằng, nếu L1 , L2 và L3 là ba đường thẳng không giao nhau trong R3 , thì sẽ có một mặt bậc hai chứa cả ba đường thẳng này. (Lấy ba điểm trên mỗi đường và chỉ ra rằng có một mặt bậc hai đi qua tất cả chín điểm này.) 4.27. Sử dụng Bài tập 4.26 để chỉ ra mỗi mặt kẻ đúp là (phần của) một mặt bậc hai. (Một mặt là mặt kẻ đúp nếu nó là hợp của hai họ đường thẳng mà trong mỗi họ các đường thẳng không cắt nhau, nhưng mỗi đường thẳng của họ thứ nhất đều cắt với mọi đường thẳng trong họ thứ hai, với một số hữu hạn các trường hợp ngoại lệ.) Mặt bậc hai nào là mặt kẻ đúp? 4.6 Các hệ trực giao bộ ba Trong tiết này chúng ta sẽ chỉ ra các mặt bậc hai có thể tạo nên những ví dụ đẹp về các hệ trực giao bộ ba như thế nào. Một hệ như thế được hiểu là gồm ba họ mặt, mỗi họ phụ thuộc vào một tham số, hệ có tính chất, nếu P là một điểm nằm trên một mặt trong mỗi họ thì ba mặt tiếp xúc của các mặt tại P là đôi một trực giao. Ví dụ đơn giản nhất, dĩ nhiên là trường hợp ba họ mặt phẳng song song với ba mặt đôi một trực giao cho trước. Một số ví dụ khác, cũng khá hiển nhiên, xem trong Bài tập 4.28. Nhưng ví dụ thú vị nhất có thể xây dựng bởi ba hệ mặt bao gồm các ellipsoid, các hyperboloid một tầng và các hyperboloid hai tầng, một cách tương ứng. Thật vậy, giả sử p, q và r là các hằng số, và giả sử rằng 0 < p2 < q 2 < r2 . Với (x, y, z) ∈ R3 , t khác với cả ba giá trị p2 , q 2 và r2 , đặt x2 y2 z2 Ft (x, y, z) = + + . p2 − t q 2 − t r 2 − t Cố định một điểm (a, b, c) ∈ R3 , với a, b, c đều khác không. Các tính chất sau là rõ ràng: (i) Ft (a, b, c) là một hàm trơn theo biến t trên mỗi trong các khoảng mở (−∞, p2 ), (p2 , q 2 ), (q 2 , r2 ) và (r2 , ∞); (ii) Ft (a, b, c) → 0 khi t → ±∞; 61

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

THÔNG TIN

TRỢ GIÚP

HỖ TRỢ KHÁCH HÀNG

Theo dõi chúng tôi

Chịu trách nhiệm nội dung:

Nguyễn Công Hà - Giám đốc Công ty TNHH TÀI LIỆU TRỰC TUYẾN VI NA

LIÊN HỆ

Địa chỉ: P402, 54A Nơ Trang Long, Phường 14, Q.Bình Thạnh, TP.HCM

Hotline: 093 303 0098

Email: support@tailieu.vn

Giấy phép Mạng Xã Hội số: 670/GP-BTTTT cấp ngày 30/11/2015 Copyright © 2022-2032 TaiLieu.VN. All rights reserved.