intTypePromotion=1
zunia.vn Tuyển sinh 2024 dành cho Gen-Z zunia.vn zunia.vn
ADSENSE
 » 
 » 

TÍNH CHIA HẾT TRÊN TẬP HỢP SỐ NGUYÊN và SỐ NGUYÊN TỐ

Chia sẻ: Hoang Thuy | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:48

Thêm vào BST
Báo xấu
594
lượt xem 118
download
 
  Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Số nguyên tố là số tự nhiên lớn hơn 1, chỉ có hai ước là 1 và chính nó, hợp số là số tự nhiên lớn hơn 1 và có nhiều hơn 2 ước, số 1 và số 0 không phải là số nguyên tố cũng không phải là hợp số. Mọi số tự nhiên lớn hơn 1 đều phân tích được ra thừa số nguyên tố một cách duy nhất (không kể thứ tự các thừa số).

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: TÍNH CHIA HẾT TRÊN TẬP HỢP SỐ NGUYÊN và SỐ NGUYÊN TỐ

  1. Trư ngTHCS Nguy n ình chi u Năm h c2010-2011 PH N S H C Bài 1: TÍNH CHIA H T TRÊN T P H P S NGUYÊN. S NGUYÊN T . A. Nh c l i và b sung các ki n th c c n thi t: I. Tính chia h t: 1. nh lí v phép chia: V i m i s nguyên a,b (b ≠ 0), bao gi cũng có m t c p s nguyên q, r sao cho : a = bq + r v i 0 ≤ r < b . a g i là s b chia , b là s chia, q là thương và r là s dư. Trong trư ng h p b > 0 và r ≠ 0 có th vi t: a = bq + r = b(q +1)+ r - b. Ví d : M i s nguyên a u có d ng: a = 2q ± 1 (xét phép chia cho b = 2) a = 3q ; 3q ± 1 (xét phép chia cho b = 3) a = 4q ; 4q ± 1 ; 4q ± 2 (xét phép chia cho b = 4). a = 5q; 5q ± 1; 5q ± 2 (xét phép chia cho b = 5) ...................... 2. Tính chia h t: N u a chia b mà s dư r = 0, ta nói : a chia h t cho b hay a là b i c a b (kí hi u a M b) b chia h t a hay b là ư c c a a (kí hi u b\ a) V y: a M b (b\ a) khi và ch khi có s nguyên q sao cho a = bq. 3. Các tính ch t: 1) N u a M b thì ± a M ± b (b ≠ 0) 2) a M a; 0 M a v i m i a ≠ 0 3) a M ± 1 v i m i a 4) N u a M m thì an M m (m ≠ 0, n nguyên dương). 5) N u a M b và b M a thì |a| = |b| 6) N u a M b và b M c (b,c ≠ 0) thì a M c. 7) N u a M c và b M c(c ≠ 0) thì (a ± b) M c. i u ngư c l i không úng. 8) N u a M m ho c b M m thì ab M m(m ≠ 0). i u ngư c l i không úng. 9) N u a M p và a M q, (p, q)= 1 thì a M pq 10) N u a = mn; b = pq và m M p n M q thì a M b 11) N u ab M m và (b,m) = 1 thì a M m 12) N u a ± b M m và a M m thì b M m II. S nguyên t : 1. nh nghĩa: S nguyên t là s t nhiên l n hơn 1, ch có hai ư c là 1 và chính nó. H p s là s t nhiên lơn hơn 1 có nhi u hơn hai ư c. S 1 và s 0 không ph i là s nguyên t cũng không ph i là h p s . 2. nh lí cơ b n c a s h c: M i s t nhiên l n hơn 1 u phân tích ư c ra th a s nguyên t m t cách duy nh t(không k th t các th a s ). S nguyên t ư c coi như là tích ch g m m t th a s là chính nó. Có vô s s nguyên t (không có s nguyên t l n nh t). S hoàn ch nh: là s b ng t ng các ư c c a nó không k b n thân nó. Ví d : 6 , 28, ... , 2n-1(2n - 1) III. M t s phương pháp thông thư ng gi i bài toán v chia h t: Cách 1: ch ng minh A(n) chia h t cho k, có th xét m i trư ng h p s dư khi 1
  2. Trư ngTHCS Nguy n ình chi u Năm h c2010-2011 chia n cho k. Ví d 1: Ch ng minh r ng: a) Tích c a hai s nguyên liên ti p chia h t cho 2. b) Tích c a ba s nguyên liên ti p chia h t cho 3. Gi i : a) Vi t tích c a hai s nguyên liên ti p dư i d ng A(n) = n(n + 1). Có hai trư ng h p x y ra : * n M 2 => n(n + 1) M 2 * n không chia h t cho 2 (n l ) => (n + 1) M 2 => n(n +1) M 2 b) Ch ng minh tương t a. Cách 2: ch ng minh A(n) chia h t cho k, có th phân tích k ra th a s : k = pq . + N u (p, q) = 1, ta ch ng minh A(n) M p và A(n) M q. + N u (p, q) ≠ 1, ta phân tích A(n) = B(n) .C(n) r i ch ng minh: B(n) M p và C(n) M q . Ví d 2: a) Ch ng minh: A(n) = n(n +1)(n + 2) M 6. b) Ch ng minh: tích c a hai s ch n liên ti p chia h t cho 8. Gi i : a) Ta có 6 = 2.3; (2,3) = 1 . Theo ch ng minh trên ã có A(n) chia h t cho 2 và 3. Do ó A(n) chia h t cho 6. b) Ta vi t A(n) = 2n(2n + 2) = 2n. 2(n +1) = 4n(n + 1). 8 = 4 . 2. Vì 4 M 4 và n(n +1) M 2 nên A(n) M 8 Ví d 3 : Ch ng minh r ng n5 - n chia h t cho 10, v i m i s nguyên dương n. (Trích thi HSG l p 9 c p t nh năm h c 2005 - 2006) Gi i : A(n) = n5 - n = n(n4 - 1) = n(n2 - 1)(n2 + 1) = n(n - 1)(n + 1)(n2 +1) M 2 n = 5k + 1 => (n - 1) M 5 n = 5k + 4 => (n + 1) M 5. n = 5k + 2 => n2 + 1 = (5k + 2)2 + 1 = (25k2 + 20k + 4 + 1) M 5 n = 5k + 3 => n2 + 1 = (5k + 3)2 + 1 = (25k2 + 30k + 9 + 1) M 5 V y : A(n) chia h t cho 2 và 5 nên ph i chia h t cho 10. Cách 3: ch ng minh A(n) chia h t cho k , có th bi n i A(n) thành t ng(hi u) u chia h t cho k . ( ã h c trong tính c a nhi u h ng t , trong ó m i h ng t ch t chia h t c a m t t ng l p 6) (Liên h : A(n) không chia h t cho k ...) Ví d 4: Ch ng minh n3 - 13n (n > 1) chia h t cho 6. (Trích thi HSG c p II toàn qu c năm 1970). Gi i : n3 - 13n = n3 - n - 12n = n(n2 - 1) - 12n = (n - 1)n(n + 1) - 12n (n - 1)n(n + 1) là tích c a 3 s t nhiên liên ti p nên chia h t cho 6 ; 12n M 6 . Do ó A(n) M 6 Ví d 5: Ch ng minh n2 + 4n + 5 không chia h t cho 8 , v i m i s n l . Gi i : V i n = 2k +1 ta có: A(n) = n2 + 4n + 5 = (2k + 1)2 + 4(2k + 1) + 5 = 4k2 + 4k + 1 + 8k + 4 + 5 = 4k(k + 1) + 8(k + 1) + 2. A(n) b ng t ng c a ba h ng t , trong ó hai h ng t u u chia h t cho 8 , duy ch có h ng t 2 không chia h t cho 8. V y A(n) không chia h t cho 8. Cách 4: Vi t A(n) ư c dư i d ng: A(n) = k.B(n) thì A(n) chia h t cho k. H qu : N u A(n) = B(n).C(n) mà B(n)và C(n) u không chia h t cho k thì A(n) 2
  3. Trư ngTHCS Nguy n ình chi u Năm h c2010-2011 không chia h t cho k Ví d 6: Ch ng minh : 2 + 22 + 23 + ... + 260 chia h t cho 15. Gi i: Ta có: 2 + 22 +23 + ... + 260 = (2 + 22 + ... + 24) + (25+ ... +28)+ ... +(257 + 260) = 2(1+2+4+8) +25(1+2+4+8) + ... + 257(1+2+4 + 8) = 15.(2 + 25 + ... + 257) M 15. IV. M t s phương pháp c bi t gi i toán chia h t: Cách 5: Dùng nguyên t c Dirichlet: Nguyên t c Dirichlet phát bi u dư i d ng hình nh như sau: N u nh t k chú th vào m chu ng mà k> m thì ph i nh t ít nh t hai chú th vào chung m t chu ng. Ví d 7: Ch ng minh r ng trong m + 1 s nguyên b t kì th nào cũng có hai s có hi u chia h t cho m. Gi i: Chia m t s nguyên b t kì cho m ta ư c s dư là m t trong m s 0; 1 ; 2; 3; ...; m - 1. Theo nguyên t c Dirichlet, chia m + 1s cho m thì ph i có ít nh t hai s có cùng s dư . Do ó hi u c a hai s này s chia h t cho m. ch ng minh A(n) M k ta làm theo Cách 6: Dùng phương pháp qui n p toán h c: trình t sau: Th v i n = 1 ho c 2(T c s n nh nh t ch n ra).N u sai => D ng.N u úng A(1) M k.Ti p t c: Gi s A(k) M k. Ch ng t A(k + 1) M k. N u úng => K t lu n : A(n) M k Ví d 8: Ch ng minh : 16n - 15n - 1 chia h t cho 225. t A(n) = 16n - 15n -1 , ta có : A(1) = 16 - 15 - 1 = 0 M 225 => A(1) úng. Gi s A(k) úng : A(k) = 16k - 15k -1 M 225. Ta ch ng minh A(k + 1) úng, t c là c/m: 16k + 1 - 15(k + 1) - 1 M 225. Th t v y, 16k+1 - 15(k + 1) - 1 = 16. 16k - 15k - 15 - 1 = (15 + 1) 16k - 15k - 15 - 1 = 15.16k + 16k - 15k -15 - 1 = (16k - 15k - 1) + 15(16k - 1) = (16k-15k-1)+15(16 - 1)(16k-1 + ... +1) = (16k - 15k - 1) + 225(16k-1+ ... + 1) M 225 Cách 9: Phương pháp ph n ch ng: ch ng minh A(n) M k ta ch ng minh A(n) không chia h t cho k là sai. B. PH N BÀI T P: Ch ng minh: 1. a) 192007 - 192006 chia h t cho 9. b) 92n + 14 chia h t cho 5. c) T ng c a 3 s t nhiên liên ti p chia h t cho 3, t ng c a 5 s t nhiên liên ti p chia h t cho5. 2. Tích c a m t s chính phương và m t s t nhiên ng li n trư c nó là m t s chia h t cho 12. 3. (n2 - 1)n2(n2 + 1) chia h t cho 60 4. a) n2 + 11n + 39 không chia h t cho 49 b) n2 + 3n +5 không chia h t cho 11 5. a) n4 + 6n3 + 11n2 + 6n chia h t cho 24. b) n4 - 4n3 - 4n2 - 16n (ch n, n > 4) chia h t cho 384. 6. 4n + 15n - 1 chia h t cho 9. 7. n2 + 4n + 3 (n l ) chia h t cho 8. 8. n3 + 3n2 - n - 3 chia h t cho 48. 9) 36n -26n chia h t cho 35 3
  4. Trư ngTHCS Nguy n ình chi u Năm h c2010-2011 2 2 2 2 10) ab(a + b )(a - b ) chia h t cho 30 v i m i s nguyên a,b. 11) a) (62n + 19n - 2n+1) chia h t cho17. b) (7.52n + 12.6n) chia h t cho 19. c) (5n+2 + 26.5n + 82n+1) chia h t cho 59. 12) a)a2 + b2 chia h t cho 7 thì a và b cũng chia h t cho 7. b) a2 + b2 chia h t cho 3 thì a và b cũng chia h t cho 3 NG DƯ T H C . Bài 2: A. Tóm t t lý thuy t: I. nh nghĩa: 1. nh nghĩa: Cho s nguyên m > 0.N u hai s nguyên a và b khi chia cho m có cùng s dư thì ta nói r ng a ng dư v i b theo mô un m và vi t: a ≡ b (modm). 2. Ví d : 3 ≡ 5 (mod2) 14 ≡ 0 (mod 7) ... II. Tính ch t : 1. N u a ≡ b (mod m) thì a - b M m 2. N u a ≡ b (mod m) và b ≡ c (mod m) thì a ≡ c (mod m) 3. N u a ≡ b (mod m) và c ≡ d (mod m) thì a ± c ≡ b ± d (mod m) 4. N u a ≡ b (mod m) và c ≡ d (mod m) thì ac ≡ bd (mod m) 5. N u a ≡ b (mod m) thì an ≡ bn (mod m) 6. N u a ≡ b (mod m) thì ka ≡ kb (mod m) v i k > 0 7. N u ka ≡ kb (mod km) thì a ≡ b (mod m) v i k > 0 8. N u ka ≡ kb (mod m) và (k , m) = 1thì a ≡ b (mod m) . nh lí Fermat: N u p là s nguyên t thì : np ≡ n (mod p) ; n ∈ Z 9. Ho c : N u p là s nguyên t thì : np-1 ≡ 1 (mod p), v i (n,p) = 1 10. nh lí Euler : Cho m là m t s nguyên dương b t kì và (m) là s các s dương nh hơn m và nguyên t v i m. Th thì : n (m) ≡ 1 (mod m) * Cách tính (m) : phân tích m ra th a s nguyên t :    1  1 1 m = a1α. a2β ... anλ . Th thì : (m) = m 1 − 1 − ...1 −    a  a  a1     2 n III. Bài t p ng d ng: Bài 1: Ch ng minh 2100 - 1 chia h t cho 5 Gi i : Ta có 24 ≡ 1(mod 5) =>(24)25 ≡ 125 (mod 5) =>2100 ≡ 1(mod 5) hay 2100 - 1 M 5 Bài 2: Tìm s dư c a phép chia 299 cho 3. Gi i : Có 23 ≡ -1 (mod 3) ⇔ (23)33 ≡ (-1)33 (mod 3) ⇔ 299 ≡ -1 (mod 3) . V y 299 chia 3 dư 2. Bài 3 : Tìm ch s cu i cùng c a 2999 Bài 4: Ch ng minh 22008 không chia h t cho 10. Bài 5: Ch ng minh r ng trong các s t nhiên th nào cũng có s k sao cho 1983k - 1 chia h t cho 105. Gi i: Cách 1: Áp d ng nguyên t c Dirichlet: Cho k l n lư t l y 105 + 1 giá tr liên ti p t 1 tr i, ta ư c 105 + 1 giá tr khác nhau c a 1983k - 1. Chia 105 +1 s này cho 105 , ta có nhi u nh t là 105 s dư, do ó 4
  5. Trư ngTHCS Nguy n ình chi u Năm h c2010-2011 5 theo nguyên t c Dirichlet, ph i có hai s cho cùng s dư khi chia cho 10 . Gi s ó là hai s 1983m -1 và 1983n - 1 (m > n). Th thì hi u c a hai s này ph i chia h t cho 105: (1983m - 1) - (1983n -1) = 1983m - 1983n = 1983n (1983m-n -1) M 105. Do 1983 không chia h t cho 105 => 1983n cũng không chia h t cho 105. Vì v y 10m-n - 1 chia h t cho 105. Như v y tìm ư c s k = m-n sao cho 1983k - 1 chia h t cho 105. Cách 2: Áp d ng nh lí Euler: Vì 1983 không chia h t cho 2 và không chia h t cho 5 , còn 105 = 2555 nên (1983, 5 105) = 1 . Áp d ng nh lí Euler: 1983 (10 ) ≡ 1 (mod 105) 1 1 Mà (10 5 ) = 105(1 - ) (1 - ) = 4. 104. 2 5 4 Nên ta có 19834.10 ≡ 1 (mod 105). s 4.104 là s k ph i tìm. bài áp d ng: 1. Tìm s dư khi :a) chia 8! Cho 11; b) chia 15325 -1 cho 9 c) chia 340 cho 83.; d) chia 21000 cho 25; e) chia 301293 cho 13 2. Ch ng minh r ng : a) 24n - 1 M 15; b) 270 + 370 M 13 c) 122n+1 - 11n+2 M 133; d) 22225555 + 55552222 M 7 e) 14k + 24k + 34k + 44k không chia h t cho 5 Trư ngTHCS Nguy n ình chi u Năm h c2010-2011 K HO CH B I DƯ NG H C SINH GI I 9 Năm h c 2011-2012 Chuyên 1: PHÂN TÍCH A TH C THÀNH NHÂN T Ví d 1: Phân tích a th c thành nhân t a. a (x 2 + 1) − x (a 2 + 1) b. x − 1 + x n+3 − x n . Gi i: a. Dùng phương pháp t nhân t chung a (x 2 + 1) − x (a 2 + 1) = ax 2 + a − a 2 x − x = ax(x − a ) − ( x − a ) = (x − a )(ax − 1) b. Dùng phương pháp t nhân t chung r i s d ng h ng ng th c x − 1 + x n+3 − x n . = x n (x 3 − 1) + ( x − 1) [( )] ( ) = x n (x − 1) x 2 + x + 1 + (x − 1) = (x − 1) x n x 2 + x + 1 + 1 ( ) = (x − 1) x n + 2 + x n +1 + x n + 1 Ví d 2: Phân tích a th c thành nhân t : a. x8 + 3x4 + 4. b. x6 - x4 - 2x3 + 2x2 . Gi i: a.Dùng phương pháp tách h ng t r i s d ng h ng ng th c x8 + 3x4 + 4 = (x8 + 4x4 + 4)- x4 = (x4 + 2)2 - (x2)2 = (x4 - x2 + 2)(x4 + x2 + 2) 5
  6. Trư ngTHCS Nguy n ình chi u Năm h c2010-2011 b.Dùng phương pháp t nhân t chung ,tách h ng t ,nhóm thích h p s d ng h ng ng th c x - x4 - 2x3 + 2x2 = x2(x4 - x2 - 2x +2) 6 [( )] )( = x 2 x 4 − 2x 2 + 1 + x 2 − 2x + 1 [(x ] [ ] ) 2 2 2 2 − 1 + (x − 1) = x 2 (x − 1) (x + 1) + 1 = x2 2 (x − 1) [x ] 2 = x2 2 + 2x + 2 Ví d 3: Phân tích a th c thành nhân t : a. 2a 2 b + 4ab 2 − a 2 c + ac 2 − 4b 2 c + 2bc 2 − 4abc b. x 4 + 2007 x 2 + 2006 x + 2007 Gi i: a.Dùng phương pháp tách h ng t r i nhóm thích h p: 2a 2 b + 4 ab 2 − a 2 c + ac 2 − 4b 2 c + 2bc 2 − 4 abc 2a 2 b + 4ab 2 − a 2 c + ac 2 − 4b 2 c + 2bc 2 − 4abc = 2a 2 b + 4ab 2 − a 2 c − 2abc + ac 2 − 4b 2 c + 2bc 2 − 2abc = = 2ab(a + 2b ) − ac (a + 2b ) + c 2 (a + 2b ) − 2bc (a + 2b ) ( ) = (a + 2b ) 2ab − ac + c 2 − 2bc = (a + 2b )[a(2b − c ) − c (2b − c )] = (a + 2b )(2b − c )(a − c ) b.Dùng phương pháp t nhân t chung r i s d ng h ng ng th c ( ) 4 2 = x − x + 2007 x + 2007 x + 2007 + 206 x + 2007 = x( x − 1)(x + x + 1) + 2007(x ) 2 2 + x +1 x 4 + 2007 x 2 = (x + x + 1)(x − x + 2007 ) 2 2 Ví d 4: Phân tích a th c thành nhân t : a. a 3 + b 3 + c 3 − 3abc b. (a + b + c )3 − a 3 − b 3 − c 3 . Gi i: S d ng các h ng ng th c ( ) a 3 + b 3 = (a + b ) a 2 + b 2 − ab [ ] 2 = (a + b ) (a + b ) − 3ab 3 = (a + b ) − 3ab (a + b ) .Do ó: [ ]− 3ab(a + b) − 3abc 3 a 3 + b 3 + c 3 − 3abc = = (a + b ) + c 3 [ − (a + b )c + c ] − 3ab(a + b + c ) 2 = (a + b + c ) (a + b ) 2 ( ) = (a + b + c ) a 2 + b 2 + c 2 − ab − bc − ca [ ] 3 3 3 b. (a + b + c ) − a 3 − b 3 − c 3 = (a + b + c ) − a 3 − (b + c ) [ ] ( ) 2 = (b + c ) (a + b + c ) + a (a + b + c ) + a 2 − (b + c ) b 2 − bc + c 2 ( ) = (b + c ) 3a 2 + 3ab + 3bc + 3ca = 3(b + c )(a + c )(a + b ) Ví d 5: Cho a + b + c = 0. Ch ng minh r ng :a3 + b3 + c3 = 3abc. 6
  7. Trư ngTHCS Nguy n ình chi u Năm h c2010-2011 3 ⇒ (a + b ) = −c 3 ⇒ a 3 + b 3 + 3ab(a + b ) = −c 3 Gi i: Vì a + b + c = 0 ⇒ a 3 + b 3 + c 3 − 3abc = 0 ⇒ a 3 + b 3 + c 3 = 3abc ab Ví d 6: Cho 4a2 + b2 = 5ab, và 2a > b > 0. Tính P = 2 4a − b 2 Gi i: Bi n i 4a2 + b2 = 5ab ⇔ 4a2 + b2 - 5ab = 0 ⇔ ( 4a - b)(a - b) = 0 ⇔ a = b. a2 1 ab Do ó P = = 2= 2 2 3 4a − b 3a Ví d 7:Cho a,b,c và x,y,z khác nhau và khác 0. Ch ng minh r ng n u: x2 y2 z2 abc xyz + + = 0; + + = 1 thì ; 2 + 2 + 2 = 1 xyz abc a b c ayz + bxz + cxy abc Gi i: + + = 0 ⇒ = 0 ⇒ ayz + bxz + cxy = 0 xyz xyz 2 x2 y2 z 2 x2 y 2 z 2 x y z ayz + bxz + cxy xyz + + = 1 ⇒  + +  = 2 + 2 + 2 + 2. =1⇒ 2 + 2 + 2 =1 a b c abc a b c abc a b c Chuyên 2:.B T NG TH C CÔ – SI 2 2 1. Ch nh minh : a + b ≥ 2ab (V i a , b ≥ 0) (B T Cô-si) Gi i:( a – b )2 = a2 - 2ab + b2 ≥ 0 ⇒ a2 + b2 ≥ 2ab . ng th c x y ra khi a = b 2 2. Ch ng minh: ( a + b ) ≥ 4ab . (V i a , b ≥ 0) Gi i:( a+b )2 = (a2 - 2ab + b2 )+ 4ab = (a-b)2 + 4ab ≥ 0 + 4ab ⇒ ( a + b )2 ≥ 4ab . ng th c x y ra khi a = b. 2 2 2 3. Ch ng minh: 2(a + b ) ≥ ( a+b ) (V i a , b ≥ 0 ) Gi i:2(a2 + b2) – ( a+b )2 = a2-2ab+b2 = (a-b)2 ≥ 0 ⇒ 2(a2 + b2) ≥ ( a+b )2. ng th c x y ra khi a = b. ab 4. Ch ng minh: b + a ≥ 2 .(V i a.b > 0) (a2+b2) a2+b2 (a2+b2) ab ab ⇒ Gi i: + = .Do ab ≤ ≥ 2 .Hay + ≥ 2 . ba ab 2 ab ba ng th c x y ra khi a = b ab 5. Ch ng minh: b + a ≤ - 2 .(V i a.b < 0) a2+b2 a2+b2 a2+b2 ab ab ≥2⇒- Gi i: + = - .Do ≤ -2. Hay + ≤ - 2. |a.b| |a.b| |a.b| ba ba ng th c x y ra khi a = -b. 7
  8. Trư ngTHCS Nguy n ình chi u Năm h c2010-2011 11 4 6. Ch ng minh: a + b ≥ a+b . (V i a , b > 0) (a-b)2 11 4 (a+b).a+(a+b).b-4ab 11 4 ≥0⇒ + ≥ Gi i: + - = = . a b a+b (a+b).ab (a+b).ab a b a+b ng th c x y ra khi a = b. 2 2 2 Ch ng minh r ng: a +b +c ≥ ab+bc+ca . Gi i:2(a2 +b2 +c2) – 2(ab+bc+ca) =(a-b)2 +(b-c)2 +(c-a)2 ≥ 0 7. ⇒ 2(a2 +b2 +c2) ≥ 2(ab+bc+ca) .Hay a2 +b2 +c2 ≥ ab+bc+ca . ng th c x y ra khi a = b;b = c;c = a ⇔ a = b= c. Chuyên 3:TÌM GIÁ TR L N NH T - GIÁ TR NH NH T 2 D NG P = ax + bx + c 2 4ac-b 2 4ac-b 2 Khi x=- b  b • N u a > 0 : P = ax 2 + bx +c = Suy ra MinP = + a x +  4a 2a 4a 2a   2   4 a c+b 2 b • N u a < 0 : P = ax + bx +c = 2 − a x−    4a 2a   4 a c+b 2 Khi x= b Suy ra MaxP = 4a 2a M t s ví d : 2 1. Tìm GTNN c a A = 2x + 5x + 7 5 25 25 Gi i:A = 2x2 + 5x + 7 = 2( x 2 + 2. x + − )+7= 4 16 16 5 25 56 − 25 5 31 5 + 2( x + ) 2 = + 2( x + ) 2 . = 2( x + ) 2 − +7 = 4 8 8 4 8 4 31 5 Suy ra MinA = Khi x = − . 2. 8 4 Tìm GTLN c a A = -2x2 + 5x + 7 3. 5 25 25 Gi i: A = -2x2 + 5x + 7 = - 2( x 2 − 2. x + − )+7= 4 16 16 81 5 25 56 + 25 5 81 5 . = −2( x − ) 2 + − 2( x − ) 2 = − 2( x − ) 2 ≤ +7 = 8 4 8 8 4 8 4 Suy ra MinA = 81 Khi x = 5 . 4. 8 4 Tìm GTNN c a B = 3x + y2 - 8x + 2xy + 16. 2 5. Gi i: B = 3x2 + y2 - 8x + 2xy + 16 = 2(x - 2)2 + (x + y)2 + 8 ≥ 8. x-2=0 x=2   ⇒ MinB = 8 khi : x+y=0 ⇔ y=-2 .     2 2 6. Tìm GTLN c a C = -3x - y + 8x - 2xy + 2. 2 2 Gi i: C = -3x2 - y2 + 8x - 2xy + 2 = 10 -[2(x-2) +(x+y) ] ≤ 10. 8
  9. Trư ngTHCS Nguy n ình chi u Năm h c2010-2011 x-2=0 x=2   ⇒ GTLNC = 10 khi: .   ⇔ x+y=0 y=-2   4: BI N I PHÂN TH C Chuyên • Ví d 1`: 4a 2 + 12 a + 9 3 a. Rút g n Bi u th c B = V ia ≠− 2 2 2a − a − 6 0,5a 2 + a + 2 a 3 − 8 2 b. Th c hi n phép tính: (a ≠ ± 2.) : + a + 2 a (2 − a ) 1 + 0,5a (2a + 3)2 = 2a + 3 4a 2 + 12a + 9 Gi i:a. B = = (2a + 3)(a − 2) a − 2 2a 2 − a − 6 2 3 a 2 + 2a + 4 a + 2 0,5a + a + 2 a − 8 2 2 b. : + = ⋅3 + a + 2 a(2 − a ) a − 8 a(2 − a ) 1 + 0,5a a+2 2 a + 2a + 4 2 a−2 1 = − = = (a − 2)(a + 2a + 4 ) a(a − 2) a(a − 2) a 2 x 2 + y 2 − xy x3 + y3 • Ví d 2 Th c hi n phép tính: A = .( V i x ≠ ± y) :2 x2 − y2 x + y 2 − 2 xy 2 ( x − y) 2 2 3 3 x 2 + y 2 − xy Gi i: A = x +2 y −2 xy : 2 x + y x− y = ⋅ = 2 2 ( ) x + y − 2 xy ( x − y )( x + y ) ( x + y ) x + y − xy 2 2 ( x + y) x −y x4 + x3 + x +1 • Ví d 3 Cho bi u th c : A = . x 4 − x3 + 2x 2 − x + 1 a. Rút g n bi u th c A. b. Ch ng minh r ng A không âm v i m i giá tr c a x . x4 + x3 + x +1 x4 + x3 + x +1 A= =4 x4 − x3 + 2x2 − x +1 x − x3 + x2 + x2 − x +1 2 ( x + 1) ( x3 + 1) (x ) = ( x + 1) 2 2 ( x + 1) − x +1 x3 ( x + 1) + ( x + 1) = = = ( x − x + 1) + ( x − x + 1) ( x − x + 1)( x + 1) ( x − x + 1)( x + 1) ( x + 1) x2 2 2 2 2 2 2 2 (x + 1)2 ; (x + 1)2 ≥ 0; x 2 + 1 > 0 ⇒ A ≥ 0 b. A = x2 +1 a5 + a6 + a7 + a8 Ví d 4 Tính giá tr bi u th c : −5 v i a = 2007.Gi i: a + a − 6 + a − 7 + a −8 ( ) 8 5 6 7 8 a 5 + a 6 + a 7 + a8 a5 + a6 + a7 + a8 a5 + a6 + a7 + a8 a a + a + a + a B = −5 = =3 = 11 11 a + a 2 + a1 + 1 a + a −6 + a −7 + a −8 a3 + a2 + a + 1 + 6+ 7+ 8 a5 a a8 a a ( ) =a a13 1 + a + a 2 + a 3 13 ⇒ B = 200713 = 3 2 a + a + a +1 x 2 − 25 y−2 • Ví d 5: Tính giá tr bi u th c : . :2 3 2 x − 10 x + 25 x y − y − 2 9
  10. Trư ngTHCS Nguy n ình chi u Năm h c2010-2011 2 2 Bi t x + 9y - 4xy = 2xy - x − 3 . Gi i: x2 + 9y2 - 4xy = 2xy - x − 3 ⇔ (x − 3 y )2 + x − 3 = 0 x = 3 y x = 3 ⇔ ⇔ x = 3 y = 1 (x − 5)(x + 5) ⋅ ( y − 2)( y + 1) (x + 5)( y + 1) 8.2 2 x − 25 y−2 8 :2 C= 3 = = = =− 2 2 x ( x − 5) 3.(− 2) x(x − 5) y−2 x − 10 x + 25 x y − y − 2 3 Chuyên 5: PHƯƠNG TRÌNH B C HAI. Bài 1: Cho phương trình n s x: x2 – 2(m – 1)x – 3 – m = 0 (1) a) Gi i phương trình khi m = 2. b) Ch ng t r ng phương trình có nghi m s v i m i m. c) Tìm m sao cho nghi m s x1, x2 c a phương trình th a mãn i u ki n x 12 + x 22 ≥ 10. c > 0 Bài 2: Cho các s a, b, c th a i u ki n:  2 (c + a ) < ab + bc − 2ac Ch ng minh r ng phương trình ax2 + bx + c = 0 luôn luôn có nghi m. Bài 3: Cho a, b, c là các s th c th a i u ki n: a2 + ab + ac < 0. Ch ng minh r ng phương trình ax2 + bx + c = 0 có hai nghi m phân bi t. Bài 4: Cho phương trình x2 + px + q = 0. Tìm p, q bi t r ng phương trình có hai  x1 − x 2 = 5 nghi m x1, x2 th a mãn:  3 3  x1 − x 2 = 35 Bài 5: CMR v i m i giá tr th c a, b, c thì phương trình (x – a)(x – b) + (x – c)(x – b) + (x – c)(x – a) = 0 luôn có nghi m. Bài 6: CMR phương trình ax2 + bx + c = 0 ( a ≠ 0) có nghi m bi t r ng 5a + 2c = b Bài 7: Cho a, b, c là dài các c nh c a m t tam giác. CMR phương trình sau có nghi m: (a2 + b2 – c2)x2 - 4abx + (a2 + b2 – c2) = 0 2b c Bài 8: CMR phương trình ax2 + bx + c = 0 ( a ≠ 0) có nghi m n u ≥ +4 a a Bài 9: Cho phương trình : 3x2 - 5x + m = 0. Xác nh m phương trình có hai nghi m 5 th a mãn: x 12 - x 22 = 9 Bài 10: Cho phương trình: x2 – 2(m + 4)x +m2 – 8 = 0. Xác nh m phương trình có hai nghi m x1, x2 th a mãn: a) A = x1 + x2 -3x1x2 t GTLN b) B = x12 + x22 - t GTNN. c) Tìm h th c liên h gi a x1, x2 không ph thu c vào m. Bài 11: Gi s x1, x2 là hai nghi m c a phương trình b c 2: 3x2 - cx + 2c - 1 = 0. Tính theo c giá tr c a bi u th c: 10
  11. Trư ngTHCS Nguy n ình chi u Năm h c2010-2011 1 1 S= 3 + 3 x1 x 2 Bài 12: Cho phương trình : x2 - 2 3 x + 1 = 0. Có hai nghi m là x1, x2. Không gi i phương trình trên hãy tính giá tr c a bi u th c: 3 x12 + 5 x1 x 2 + 3 x 2 2 A= 4 x1 x 2 + 4 x13 x 2 3 Bài 13: Cho phương trình: x2 – 2(a - 1)x + 2a – 5 = 0 (1) 1) CMR phương trình (1) luôn có hai nghi m v i m i giá tr c a a. 2) Tìm giá tr c a a pt (1) có hai nghi m x1, x2 th a mãn i u ki n: x12 + x22 = 6. 3. Tìm giá tr c a a phương trình có hai nghi m x1, x2 th a mãn i u ki n: x1 < 1 < x2. Bài 14: Cho phương trình: x2 – 2(m - 1)x + m – 3 = 0 (1) a) CMR phương trình (1) có nghi m v i m i giá tr c a m. b) G i x1, x2 là hai nghi m c a phương trình (1) . Tìm GTNN c a M = x12 + x22 Bài 15: Cho a, b là hai s th c th a mãn i u ki n: 111 += ab2 CMR ít nh t m t trong hai phương trình sau ph i có nghi m: x2 + ax + b = 0 và x2 + bx + a = 0. Bài 16: Cho phương trình: x2 – 2(m + 1)x + 2m +10 = 0 (1) a) Gi i và bi n lu n s nghi m c a phương trình (1) theo m. b) Tìm m sao cho 10x1 x2 + x12 + x22 t GTNN. Tìm GTNN ó. Bài 17: Ch ng minh r ng v i m i s a, b, c khác 0, t n t i m t trong các phương trình sau ph i có nghi m: ax2 + 2bx + c = 0 (1) bx2 + 2cx + a = 0 (2) cx2 + 2ax + b = 0 (2) Bài 18: Cho phương trình: x2 – (m - 1)x + m2 + m – 2 = 0 (1) a) CMR phương trình (1) luôn luôn có nghi m trái d u v i m i giá tr c a m. b) V i giá tr nào c a m, bi u th c P = x12 + x22 t GTNN. Bài 19: Cho phương trình: x2 – 2(m - 1)x – 3 - m = 0 (1) 1) CMR phương trình (1) luôn có hai nghi m v i m i giá tr c a m. 2) Tìm giá tr c a m pt (1) có hai nghi m x1, x2 th a mãn i u ki n: x12 + x22 ≥ 10. 3) Xác nh giá tr c a m phương trình có hai nghi m x1, x2 th a mãn i u ki n: E = x12 + x22 t GTNN. Bài 20: Gi s phương trình b c 2: x2 + ax + b + 1 = 0 có hai nghi m nguyên dương. CMR: a2 + b2 là m t h p s . Chuyên 6:Phương trình vô t 11
  12. Trư ngTHCS Nguy n ình chi u Năm h c2010-2011  x ∈ TXD D¹ng1: (*) f ( x ) = g ( x) ⇔ f ( x) = g ( x) ≥ 0 ⇔   f ( x) = g ( x) Chó ý: §iÒu kiÖn (*) ®îc lùa chän tuú theo ®é phøc t¹p cña f(x) ≥ 0 vµ g(x) ≥ 0 − x 2 + 3 x − 2 = 2m + x − x 2 VD: T×m m ®Ó ph¬ng tr×nh sau cã nghiÖm: − x 2 + 3x − 2 ≥ 0 1 ≤ x ≤ 2 2 2 ⇔ − x + 3 x − 2 = 2m + x − x ≥ 0 ⇔  ⇔ x = m +1 x = m +1 §Ó ph¬ng tr×nh cã nghiÖm th× 1 ≤ m + 1 ≤ 2 ⇔ 0 ≤ m ≤ 1  g ( x)conghia & g ( x) ≥ 0 D¹ng2: f ( x) = g ( x) ⇔  2  f ( x) = g ( x) Chó ý: Kh«ng cÇn ®Æt ®iÒu kiÖn f ( x) ≥ 0 x +1 ≥ 0 x ≥ 1 VD: Gi¶i ph¬ng tr×nh: x 2 − 1 − x = 1 ⇔ x 2 − 1 = x + 1 ⇔  ⇔ x = −1 ⇔ 2 2 2 x = −2  x − 1 = ( x + 1) VËy ph¬ng tr×nh cã nghiÖm x=-1  f ( x) co nghia & f ( x) ≥ 0  D¹ng3: f ( x) + g ( x) = h( x) ⇔  g ( x) co nghia & g ( x) ≥ 0 ( f ( x) + g ( x))2 = h( x)  Chó ý: Kh«ng cÇn ®Æt ®iÒu kiÖn h( x) ≥ 0 VD: Gi¶i ph¬ng tr×nh: x + 4 − 1 − x = 1 − 2x x ≤ 1 1 − x ≥ 0   1  ⇔ 1 − x + 1 − 2 x = x + 4 ⇔ 1 − 2 x ≥ 0 ⇔ x ≤ 2   1 − x + 1 − 2 x + 2 (1 − x)(1 − 2 x) = x + 4    (1 − x)(1 − 2 x) = 2 x + 1 1 1 1  − 2 ≤ x ≤ 2 x ≤ 2 1 1   − ≤ x ≤ 2 x + 1 ≥ 0 ⇔ x=0 2 ⇔  x = 0 ⇔ 2   2 x + 7 x = 0 2 7 2  (1 − x)(1 − 2 x) = (2 x + 1)  x = −   2 HoÆc cã thÓ tr×nh bµy theo c¸ch kh¸c nh sau: - T×m ®iÒu kiÖn ®Ó c¸c bt cã nghÜa - BiÕn ®æi ph¬ng tr×nh Chuyên 7: M t s bài t p cơ b n v hình h c Bài 1 : Cho n a ư ng tròn (O) ư ng kính AB . T A và B k ti p tuy n Ax và By . Qua i m M thu c n a ư ng tròn k ti p tuy n th 3 c t các ti p tuy n Ax và By l n lư t t i E và F . 1. Ch ng minh AEMO là t giác n i ti p . 2. AM c t OE t i P , BM c t OF t i Q . T giác MPOQ là hình gì ? T i sao ? 3. K MH ⊥ AB ( H ∈ AB) . G i K là giao c a MH và EB . So sánh MK 12
  13. Trư ngTHCS Nguy n ình chi u Năm h c2010-2011 và KH. Hư ng d n : F 1) EAO = EMO = 900 . Nên AEMO là t giác n i ti p . M 2) D a vào tính ch t hai ti p tuy n c t nhau có E MPO = MQO = 900 và PMQ = 900 nên PMQO là Q K hình ch nh t . P B 3) ∆EMK ∆ EFB (g.g) ⇒ EM = EF mà MF = FB A HO MK FB EM EF ⇒ = MK MF EK AB EF AB ∆ KHB (g.g) ⇒ ∆EAB mà ( Ta = = KH HB MF HB EM EA let) ⇒ = MK KH Vì EM = EA ⇒ MK = KH . Bài 2 : Cho (O) c t (O’) t i A và B . K cát tuy n chung CBD ⊥ AB ( C trên (O) và D trên (O’).) B D C 1. Ch ng minh A , O , C và A ,O’, D th ng O O hàng . 2. Kéo dài CA và DA c t (O’) và (O) theo th t t i I và K . Ch ng minh t giác A CKID n i ti p . I K 3. Ch ng minh BA , CK và DI ng quy . G Hư ng d n : 0 1. CBA = DBA = 90 nên AC và DA là ư ng kính hay A,O, C th ng hàng D ,O’,A th ng hàng . 2. T câu 1) và d a vào góc n i ti p ch n n a ư ng tròn ta thây K , I cùng nhìn CD dư i m t góc vuông nên t giác CDIK n i ti p . 3. A là tr c tâm c a tam giác ADG có AB là ư ng cao hay BA i qua G . Bài 3 : Cho hai ư ng tròn (O) và (O’) c t nhau t i hai i m A,B . Các ư ng AO và AO’c t ư ng tròn (O) l n lư t t i C và D , c t ư ng tròn (O’) l n lư t t i E , F . a) Ch ng minh B , F , C th ng hàng . D b) Ch ng minh t giác CDEF n i ti p . E A c) Ch ng minh A là tâm ư ng tròn n i ti p tam giác BDE . d) Tìm i u ki n DE là ti p tuy n chung c a O’ O (O) và (O’) C F B Hư ng d n : 13
  14. Trư ngTHCS Nguy n ình chi u Năm h c2010-2011 a) CBA + FBA = 1800 nên A , B , F th ng hàng . b) D, E cùng nhìn CF dư i m t góc vuông nên CDEF n i ti p . c) T giác CDEF n i ti p nên EDF = ECF ; ACB = ADB t ó suy ra EDF = ADB . Hay DE là phân giác góc D c a ∆BDE . Tương t EC là phân giác góc E c a ∆BDE . Hai phân giác c t nhau t i A nên A là tâm ư ng tròn n i ti p ∆BDE . d) Gi s DE là ti p tuy n chung c a hai ư ng tròn ta có OO’ // CE cùng vuông góc v i AB : AOO’ = ACB mà ACB = FDE ( DCFE n i ti p ) suy ra : AOO’ = ODE hay t giác ODEO’ n i ti p (1) DE là ti p tuy n thì DE vuông góc v i OD và O’E (2) V y ODEO’ là hình ch nh t : Hay OD = O’E ( Hai ư ng tròn có bán kính b ng nhau ) d Bài 4 : Cho (O,R) ư ng kính AB , ư ng kính CD di ng . Q G i ư ng th ng d là ti p tuy n c a ư ng tròn t i B . ư ng D th ng d c t các ư ng th ng AC , AD theo th t t i P và Q . 1) Ch ng minh t giác CPQD n i ti p m t ư ng tròn . B 2) Ch ng minh AD. AQ = AC.AP . A O 3) T giác ADBC là hình gì ? T i sao ? 4) Xác nh v trí c a CD SCPQD = 3.SACD C Hư ng d n : 1. CPB = CDA ( cùng b ng CBA) nên CPB + CDQ = 1800. 2. ∆ADC ∆APQ (g.g) suy ra AD.AQ = AC.AP . 3. T giác ADBC là hình ch nh t vì có 4 góc vuông. SCPQD = 3.SACD ⇒ SADC = ¼ SAPQ t c là t s 4. ng d ng P c a hai tam giác này là ½ . Suy ra AD = ½ AP hay BC = ½ AP mà tam giác ABC vuông t i B nên C là trung i m c a CP ⇒ CB = CA hay ∆ACB cân ⇒ CD ⊥ AB . Bài 5 : T m t i m S n m ngoài ư ng tròn (O) v hai ti p tuy n SA , SB và cát tuy n SCD c a ư ng tròn ó . 1) G i E là trung i m c a dây CD . Ch ng minh 5 i m S ,A , E , O , B cùng n m trên m t ư ng tròn . 2) N u SA = OA thì SAOB là hình gì ? T i sao A ? D K C 3) Ch ng minh AC . BD = BC.DA = ½ E AB.CD S O Hư ng d n ch ng minh 1) S d ng tính ch t ti p tuy n , ta có A , B cùng nhìn 14 B
  15. Trư ngTHCS Nguy n ình chi u Năm h c2010-2011 SO dư i m t góc vuông , nên t giác SADO n i ti p ư ng tròn ư ng kính SO . D a vào tính ch t ư ng kính vuông góc v i dây cung , ta có SEO = 900 . Nên E thu c ư ng tròn ư ng kính SO . 2) N u SA = OA thì SA = AB = OA = OB và góc A vuông nên t giác SAOB là hình vuông . AC SC ∆SDA ⇒ 2) Ta th y ∆SAC = DA SA BC SC ∆SBD ⇒ ∆SCB = BD SB AC BC Mà SA = SB ⇒ ⇒ AC.BD = AD.BC (1) = AD BD Trên SD l y K sao cho CAK = BAD lúc ó ∆CAK ∆BAD (g.g) ⇒ AC.DB = AB.CK ∆BAC ∆DAK (g.g) ⇒ BC.AD = DK.AB C ng t ng v ta ư c AC.BD + BC.AD = AB( CK+DK )= AB.CD (2) T (1) và (2) suy ra : AC.BD + AC.BD = AB.CD hay AC.BD = ½ AB.CD V y AC.BD = AD.BC = ½ AB.CD . Bài 6 : Cho tam giác ABC vuông A . ư ng tròn ư ng kính AB c t BC t i D . Trên cung AD l y m t i m E . N i BE và kéo dài c t AC t i F . 1) Ch ng minh CDEF n i ti p . 2) Kéo dài DE c t AC K . Tia phân giác c a góc CKD c t EF và CD t i M và N . Tia phân giác c a góc CBF c t DE và CF t i P và Q . T giác MNPQ là hình gì ? T i sao ? 3) G i r1 , r2 , r3 theo th t là ư ng tròn n i ti p các tam giác ABC , ADB , ADC . Ch ng minh : r = r12 + r22 . Hư ng d n : A K 1) D a vào s o cung ta th y F C = DEB ⇒ C + DEF = 1800 Q E M Nên t giác CDEF n i ti p . ∆BCQ ( g.g) ⇒ BPE = 2) ∆BED P C BQC N B D ⇒ KPQ = KQP hay ∆KPQ cân . ∆CNK ∆MK ⇒ EMK = CNK ⇒ BMN = BNM hay ∆BMN cân . ⇒ MN ⊥ PQ và MN c t PQ là trung i m c a m i ư ng . Nên MNPQ là hình thoi. r1 2 r2 2 r2 r1 r2 r ∆DAC ⇒ ⇒ 3) ∆ABC ∆DAB = = = = BC 2 AB 2 AC 2 BC AB AC 15
  16. Trư ngTHCS Nguy n ình chi u Năm h c2010-2011 r 2 +r 2 r 2 +r 2 r2 = 1 2 2 2 = 1 22 ⇔ BC 2 AB + AC BC ⇔ r2 = r12 + r22 . Bài 7 : Cho tam giác ABC có 3 góc nh n n i ti p (O;R) . H các ư ng cao AD , BE c a tam giác . Các tia AD , BE l n lư t c t (O) t i các i m th hai M , N . Ch ng minh r ng : a) B n i m A , E , D , B n m trên m t ư ng tròn . TÌm tâm I c a ư ng tròn ó . b) MN // DE . c) Cho (O) và dây AB c nh , i m C di chuy n trên cung l n AB . Ch ng minh r ng dài bán kính ư ng tròn ngo i ti p tam giác CED không i . Hư ng d n gi i : a) E,D cùng nhìn AB dư i m t góc vuông nên t A giác AEDB n i ti p trong m t ư ng tròn ư ng kính AB có I ( trung i m c a AB ) là tâm N b) Ta th y : ABE = ADE ( ch n cung AE ) mà ABE = AMN ( ch n cung AN ) I OE nên ADE = AMN hay DE // MN . c) K thêm hình như hình v . D a vào góc n i H ti p c a t giác AEBD suy ra ư c CN = CM nên K OC ⊥ MM ⇒ OC ⊥ DE BD C T giác HDCE n i ti p ư ng tròn tâm K ( trung M i m c a HC) ây cũng là ư ng tròn ngo i ti p tam giác CDE ⇒ KD = KE và ID = IE nên IK ⊥ DE hay IK // OC và OI // CK nên OIKC là hình bình hành ⇒ KC = OI không i . Bài 8 : Cho tam giác u n i ti p ư ng tròn (O,R) 1) Tính theo chi u R dài c nh và chi u cao c a ∆ABC . 2) G i M là i m di ng trên cung nh BC ( M ≠ B,C ) Trên tia i c a MB l y MD = MC . Ch ng t ∆MCD u . 3) CMR : M di ng trên cung nh BC thì D di chuy n trên m t ư ng tròn c nh , xác nh tâm và các v trí gi i h n . 4) Xác nh v trí i m M sao cho t ng S = B MA + MB + MC là l n nh t. Tính giá E tr l n nh t c a S theo R . I Hư ng d n : H M AB 3 O 1) AH = và AB = AC = BC = R 3 2 D 16 A C
  17. Trư ngTHCS Nguy n ình chi u Năm h c2010-2011 2) Có MC = MD ( gt) s BMC = ½ s BAC = ½ ( 3600 : 3).2 = 1200 . ⇒ CMD = 600 . V y ∆CMD u 3) ∆IMC = ∆IMD ( c.g.c) ⇒ IC = ID . Khi M di ng trên cung nh BC thì D ch y trên ư ng tròn ( I ; IC ) Khi M ≡ C ⇒ D ≡ C ; M ≡ I ⇒ D ≡ E . 4) ∆ACM = ∆BCD ( g.c.g ) ⇒ AM = BD ⇒ S = MA + MB + MC = 2.AM ≤ 2.AI ⇒ S ≤ 4R . S Max= 4R khi AM là ư ng kính . Bài 9 : Cho ∆ABC ngo i ti p (O) . Trên BC l y M , trên BA l y N , trên CA l y P sao cho BM=BN và CM = CP . Ch ng minh r ng : a) O là tâm ư ng tròn ngo i ti p ∆MNP . b) T giác ANOP n i ti p ư ng tròn . c) Tìm v trí M , N , P sao cho dài NP nh nh t . Hư ng d n : A a) T tính ch t 2 ti p tuy n c t nhau và gi thi t suy ra : DN = EM = FP ⇒ ∆ODA = ∆OEM = ∆OFP ( c.g.c ) P ⇒ON = OM = OP hay O là tâm ư ng tròn ngo i ti p D ∆MNP F N b) T câu a) suy ra OND = OPF nên t giác ANOP n i O ti p . B C c ) K OH ⊥ NP . M E Có NP = 2 .NH = 2. NO .cosHNO = 2.NO.Cos(A/2) = 2.OE .Cos (A/2) . V y NPMin = 2r.cos(A/2) . Khi ó M , N , P trùng v i các ti p i m . Bài 10 : Cho hình vuông ABCD có c nh b ng 3a . L y AE = a trên c nh AD và DF = a trên c nh DC . N i AF và BE c t nhau H . a) Ch ng minh : AF ⊥ BE . b) Tính c nh c a t giác ABFE và ư ng chéo c a nó theo a . c) Tính theo a o n HE , HB . d) Ch ng minh : EDFH n i ti p ư ng tròn . F D C ư ng tròn y c t BF K . Tính theo a o n BK . Nh n xét gì v 3 i m E , K ,C . Hư ng d n : K a) ∆ADF = ∆BAE ⇒DAF = EBA ⇒ BE ⊥ AF . 17 E H A B
  18. Trư ngTHCS Nguy n ình chi u Năm h c2010-2011 b) Pitago : BE = AF = a 10 ; EF = a 5 ; BF = a 13 a 10 9a 10 c) Dùng h th c lư ng : EH = ; HB = 10 10 i b ng 1800 nên EDFH n i ti p. d) D a vào t ng 2 góc BE.BH 9a 13 ∆BFH ⇒ BK = ∆BEK = BF 13 e) D a vào vuông góc : E , K , C th ng hàng . Chuyên d 8:M t s đÒ thi häc sinh giái to¸n 9 1: x + 2 + 3 2x − 5 + x − 2 − 2x − 5 = 2 2 Câu 1: ( 6,0 i m) 1)Gi i phương trình: 1) Tìm giá tr nh nh t c a bi u th c: P = 1 + 4x + 4x2 + 4x2 − 12x + 9 Câu 2: ( 3,0 i m)Ch ng minh r ng: v i m i s t nhiên n ≥ 2 thì 3 8 15 n2 − 1 S = + + + ... + 2 không th là m t s nguyên. 4 9 16 n Câu 3: ( 3,0 i m)Trong m t cu c ua xe môtô, ba tay ua ã kh i hành cùng m t lúc. M i gi , ngư i th hai ch y ch m hơn ngư i th nh t 15km và nhanh hơn ngư i th ba 3km nên ngư i th hai n ích ch m hơn ngư i th nh t 12 phút và s m hơn ngư i th ba 3 phút. Tính v n t c c a ba tay ua môtô trên. Câu 4: ( 3,0 i m)Cho tam giác ABC cân A, ư ng cao AH b ng 10cm, ư ng cao BK b ng 12cm. Tính dài các c nh c a tam giác ABC. Câu 5: ( 5,0 i m)Cho tam giác u ABC c nh b ng a và m t i m M chuy n ng trên ư ng tròn ngo i ti p tam giác ABC. 1) Ch ng minh: n u i m M thu c cung nh AB thì MA + MB = MC. 2) Tìm giá tr l n nh t c a bi u th c P = MA + MB + MC ( khi M thu c cung nh AB). 2: x x −3 2( x − 3) x +3 Bµi 1: (3 ®iÓm) Cho biÓu thøc P = − + x −2 x −3 x +1 3− x 1) Rut g n bi u th c P 2) TÝnh gi¸ trÞ cña P khi x = 14 - 6 5 3) Tìm giá tr nh nh t c a bi u th c P và giá tr tương ng c a x. 1 1 1 Bµi 2: (3 ®iÓm) Gi¶i ph¬ng tr×nh:1) =1 + + x +3 + x +2 x + 2 + x +1 x +1 + x 18
  19. Trư ngTHCS Nguy n ình chi u Năm h c2010-2011 36 4 2) = 28 − 4 x − 2 − y −1 + x−2 y −1 Bµi 3: (3 ®iÓm) 1) Cho bi u th c A = x 2 − 4 x + 20 . Tìm giá tr nh nh t c a A. 2) Cho ( x + x 2 + 3 )( y + y 2 + 3 ) =3. TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc P = x + y. ng th c: ( y + 2 )x2 + 1 Bài 4: (3 i m)1) Tìm các giá tr nguyên x, y th a mãn = y2 2) T×m nghiÖm nguyªn d¬ng cña ph¬ng tr×nh sau: x + y = 1980 Bài 5: ( 3 i m) Cho a, b, c l n lư t là dài các c nh BC, CA, AB c a tam giác ABC. A a Ch ng minh r ng: sin ≤ 2 2 bc Bµi 6: (5 ®iÓm) Cho tam giác u ABC có c nh 60 cm. Trên c nh BC l y i m D sao cho BD = 20cm. ư ng trung tr c c a AD c t các c nh AB, AC theo th t E, F. Tính dài các c nh c a tam giác DEF./. 3: Bài1(1,5 ) a/ Tính 6−2 5 − 6+2 5 b/ Cho a +b +c = 0 , a,b,c ≠0. Ch ng t r ng 111 1 1 1 = |++| ++ a 2 b2 c 2 a b c c/ Hãy ch ng t x = 3 5 + 2 − 3 5 − 2 là nghi m c a phương trình x3 +3x – 4 = 0 Bài2(2 ) a/ Rút g n, tính giá tr bi u 1 1 x − y  1 1  1 2 th c A = ]  +  . .  + + x y 3 xy xy  x y  x + y + 2 xy ( )   x+ y V i x = 2 − 3, y = 2 + 3 b/ Gi i phương trình x + 9 + x − 7 = 4 Bài3(2,5 ) x2 − x + 1 a/ Tìm giá tr l n nh t ,giá tr nh nh t c a bi u th c B = 2 x + x +1 b/ Trên m t ph ng to cho các i m A(0;4) ; B(3;4) ; C(3;0) Vi t phương trình ư ng th ng i qua A, C . Xác nh a ư ng th ng y =ax chia hình ch nh t OABC thành hai ph n , trong ó di n tích ph n ch a i m A g p ôi di n tích ph n ch a i m C Bài4(3 ) Cho hai ư ng tròn (O) và (O’) ngoài nhau . K ti p tuy n chung ngoài AB và ti p tuy n chung trong EF ( A ,E ∈ (O) , B , F ∈ (O’) ) 19
  20. Trư ngTHCS Nguy n ình chi u Năm h c2010-2011 a/ G i M là giao i m c a AB và EF . Ch ng minh r ng : ∆ AOM và ∆ BMO’ ng d ng b/ Ch ng minh r ng AE vuông góc v i BF c/ G i N là giao i m c a AE và BF . Ch ng minh r ng ba i m O , N , O’ th ng hàng Bài5(1 ) Cho hình vuông ABCD . Tính cos MAN bi t r ng M ,N theo th t là trung ii m c a BC, CD §Ò 4.   x 3 3 3 Bµi 1(3®). Cho biÓu thøc: A =     3 + x + 1 +  2 3 x + x 3+3 x − 27   a. Rót gän A. b. TÝnh gi¸ trÞ cña A khi x = 3 +2010 Bµi 2(3®). Cho hµm sè y = 3x +2m-1 (1) a. T×m m ®Ó ®å thÞ hµm sè (1) ®i qua ®iÓm A(1; 5). b. VÏ ®å thÞ hµm sè víi gi¸ trÞ võa t×m ®îc ë c©u a. Gäi giao ®iÓm cña ®å thÞ hµm sè (1) víi trôc 0x lµ B; giao ®iÓm cña ®êng th¼ng h¹ tõ A vu«ng gãc víi 0x lµ C. TÝnh diÖn tÝch tam gi¸c ABC? x y z Bµi 3(2) Cho c¸c sè thùc x, y, z tháa m·n = = 2008 2009 2010 Chøng minh r»ng: z – x =2 ( x − y)( y − z ) Bµi 4(2.5). Cho x + y = 1. T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc B = x3 + y3 + xy b2 a2 Bµi 5(2.5). Cho a, b>0. Chøng minh r»ng: + ≥ a+ b a b ˆ Bµi 6(3) Cho tam gi¸c vu«ng ABC ( B = 900, BC > BA) néi tiÕp ®êng trßn ®êng kÝnh AC. KÎ d©y cung BD vu«ng gãc víi ®êng kÝnh AC. Gäi H lµ giao ®iÓm cña AC vµ BD. Trªn HC lÊy ®iÓm E sao cho E ®èi xøng víi A qua H. §êng trßn ®êng kÝnh EC c¾t c¹nh BC t¹i I ( I kh¸c C). Chøng minh r»ng: a. CI.CA = CB.CE b. HI lµ tiÕp tuyÕn cña ®êng trßn ®êng kÝnh EC Bµi 7(4). Cho tam gi¸c nhän ABC néi tiÕp (0; R). §êng cao AK c¾t ®êng trßn (0) t¹i D; AN lµ ®êng kÝnh cña ®êng trßn (0). a. Chøng minh: BD = CN. ∃ b. TÝnh ®é dµi AC theo R vµ α . BiÕt ABC = α . c. Gäi H, G lÇn lît lµ trùc t©m, träng t©m cña tam gi¸c ABC. Chøng minh r»ng H; G; 0 th¼ng hµng. S CHÍNH PHƯƠNG NH NGHĨA: S chính phương là s b ng bình phương úng c a m t s nguyên. I. II. TÍNH CH T: 20
ADSENSE

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

THÔNG TIN
TRỢ GIÚP
HỖ TRỢ KHÁCH HÀNG
Theo dõi chúng tôi

Chịu trách nhiệm nội dung:

Nguyễn Công Hà - Giám đốc Công ty TNHH TÀI LIỆU TRỰC TUYẾN VI NA

LIÊN HỆ

Địa chỉ: P402, 54A Nơ Trang Long, Phường 14, Q.Bình Thạnh, TP.HCM

Hotline: 093 303 0098

Email: support@tailieu.vn

Giấy phép Mạng Xã Hội số: 670/GP-BTTTT cấp ngày 30/11/2015 Copyright © 2022-2032 TaiLieu.VN. All rights reserved.

 

Đồng bộ tài khoản
2=>2