zunia.vn

Tuyển sinh 2024 dành cho Gen-Z

zunia.vn

» Tài Liệu Phổ Thông

» Trung học phổ thông

Toán 12: Các phương pháp tính nguyên hàm-P3 (Đáp án Bài tập tự luyện) - GV. Lê Bá Trần Phương

Chia sẻ: Ken Tai | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:0

Báo xấu

112
lượt xem 20
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tài liệu "Toán 12: Các phương pháp tính nguyên hàm-P3 (Đáp án Bài tập tự luyện) - GV. Lê Bá Trần Phương" gồm các bài tập kèm theo hướng dẫn giải nhằm giúp các bạn có thể củng cố và nắm vững kiến thức về phương pháp tính nguyên hàm. Mời các bạn cùng tham khảo và ôn tập hiệu quả.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Toán 12: Các phương pháp tính nguyên hàm-P3 (Đáp án Bài tập tự luyện) - GV. Lê Bá Trần Phương

Khóa học Toán 12 – Thầy Lê Bá Trần Phương Chuyền đề 03. Nguyên hàm – Tích phân BÀI 04. CÁC PHƢƠNG PHÁP TÍNH NGUYÊN HÀM (PHẦN 03) ĐÁP ÁN BÀI TẬP TỰ LUYỆN Giáo viên: LÊ BÁ TRẦN PHƢƠNG Các bài tập trong tài liệu này được biên soạn kèm theo bài giảng Bài 04. Các phương pháp tính nguyên hàm (Phần 03) thuộc khóa học Toán 12 – Thầy Lê Bá Trần Phương tại website Hocmai.vn giúp các Bạn kiểm tra, củng cố lại các kiến thức được giáo viên truyền đạt trong bài giảng Bài 04. Các phương pháp tính nguyên hàm (phần 03). Để sử dụng hiệu quả, Bạn cần học trước Bài giảng sau đó làm đầy đủ các bài tập trong tài liệu này. Bài 1: Tìm nguyên hàm của các hàm số sau: dx dx a.  b.  1  x2  x  2x  3 3 2 x2 dx dx c. I   . d. I   x 1 1  x  2 2 3 Giải    a. Đặt : x = sint ; t    ;   dx  costdt  2 2 dx costdt costdt dt Suy ra :     d  tan t  .    cos t cos2t  3 3 3 1  x2 1-sin 2t dx sin t x Khi đó :    d  tan t   tan t  C   C 1  x  2 3 1  sin 2 t 1  x2 b. Vì : x 2  2 x  3   x  1   2  , nên 2 2    dt x 1 Đặt : x  1  2 tan t ; t    ;   dx  2. ; tan t   2 2 2 cos t 2 dx dx dt dt 1 costdt Suy ra :     . x2  2 x  3  x  1  2 2 2 2  tan 2 t   1 .cos 2 t 2cost 2 1-sin 2t 1  costdt costdt   .  . 2 2  sint-1 sint+1  dx 1  costdt costdt  1 sin t  1 Khi đó :  x  2x  3 2  2 2   sint-1 sint+1      2 2 ln sin t  1  C (*)  x  1  sin 2 t  1  2 x 1 sin 2 t 2 Từ : tan t   tan 2 t   . Ta tìm được sint , thay vào (*) ta 2 1  sin t 2 2 x  2x  3 2 tính được I . x2 dx c. I   . x2 1 Vì điều kiện : x  1 , nên ta xét hai trường hợp : Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12 - Trang | 1 -
Khóa học Toán 12 – Thầy Lê Bá Trần Phương Chuyền đề 03. Nguyên hàm – Tích phân  Với x>1 1   2 cos 2tdt Đặt x  ; t   0;   dx   . sin 2t  4 sin 2 2t x 2 dx 1  2 cos 2tdt  2dt 2  sin 2 t  cos 2t  dt Do đó :    3   sin 2t  2 x2 1 1 sin 2t 8sin 3 t cos3 t sin 2 2t. 1 sin 2 2t 1 1 1 2 1  =   cot t. 2  tan t.  .  dt 4 sin t cos t tan t cos 2t  2 Vậy : 1  2  1 1 1  I I   4    cot t.d (cot t )  tan t.d (tan t )  tan t .d (tan t )      cot 2 t  tan 2 t  2 ln tan t   C  4 2 2  1 1  x x 2  1  ln x  x 2  1  C 2 2  Với x0  cos 2t  cost;sint=tant.cost= x      2 2 1  x2 Bài 2: Tính tích phân bất định sau Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12 - Trang | 2 -
Khóa học Toán 12 – Thầy Lê Bá Trần Phương Chuyền đề 03. Nguyên hàm – Tích phân x 3dx a. I   x 2  2  3x 2  dx  8 b. 1 x  x 1  2x  dx d. I   sin 3 x cosx dx 53 2 2 c. cosx.sin 3 x cos 2 x e. I   dx f. I   dx 1  sin 2 x sin 8 x dx dx g. I    a  0 h. I   x2  a  x  1 x  2 Giải a. I   x 2  2  3x 2  dx 8 dt  6 xdx   2t  8 1 8 9 Đặt : t  2  3x   2 2  t  x 2  2  3x 2     t   2t  t  . 2 8  x   3  3  3  2 1  Vậy : I   x 2  2  3x 2  dx  2 t 8 dt   t 9 dt  t 9  t10  C   2  3x 2    2  3x 2   C 1 2 1 8 9 10 3 27 30 27 30 x 3dx b.  1 x x 2 dx 1  t   2tdt   2 1  2t 2 3 x  1 t 2 Đặt : t= 1  x      2  3t 4  t 6  dt . dx  2tdt 1 x t x 3 dx    2  4t 2  6t 4  2t 6  dt  2t  t 3  t 5  t 7  C 4 6 2 Vậy :  1 x 3 5 7 4 6 2  2 1  x  1  x  1  x  1  x  1  x  1  x  1  x  C 2 3 3 5 7  x 1  2x  dx 53 2 2 c. 1 t3 Đặt : t = 3 1  2 x   t  1  2 x   x 2 3 2 2  2 3  2 xdx   t 2 dt 2 1 t3 2  3 2  3 7 4 Do đó : x 5 3 1  2 x 2  dx  .t   t dt    t  t  dt 2 2  4  8 31 1   x 1  2 x  dx  8   t  t 4  dt   t 8  t 5    5t 6  8t 3  t 2  C 53 2 2 3 7 3 Vậy : 88 5  320 = 3  320  5 1  2 x  2 2  8 1  2 x  2  3  1  2 x  C 2 2 d. I   sin 3 x cosx dx Đặt : t = cosx  t 2  cosx  2tdt=-sinxdx . Do đó : sin3 x cosx dx  1  cos2 x  cosx sinxdx=  t 4 1 t 2tdt  2 t 6  t 2  dt . Vậy : I   sin 3 x cosx dx  2  t 6  t 2  dt  t 7  t 3  C  cos3 x cosx  cosx cosx +C 2 2 2 1 7 3 7 2 cosx.sin 3 x e. I   dx 1  sin 2 x Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12 - Trang | 3 -
Khóa học Toán 12 – Thầy Lê Bá Trần Phương Chuyền đề 03. Nguyên hàm – Tích phân sin 2 x  t  1 Đặt : t  1  sin x   2 2sin x cos xdx  dt cosx.sin 3 x 1 sin 2 x.2sin x.cosx.dx 1  t  1 dt 1  1  Suy ra : dx    1   dt . 1  sin 2 x 2 1  sin 2 x 2 t 2 t  cosx.sin 3 x 1  1 dx   1   dt   t  ln t   C  1  sin 2 x  ln 1  sin 2 x    C 1 1 Vậy : I   1  sin x 2 2  t 2 2 cos 2 x f. I   dx sin 8 x cos 2 x cos x  cos x  sin x  1  sin x   1  sin x  sin x 2 2 2 2 2 22 Vì :    sin 8 x sin 8 x sin 8 x  1  dt   sin 2 x dx Đặt : t = cot x    1  1  cot 2 x  1  t 2  sin 2 x cos 2 x  1   1  dx  cot 2 x  6  dx  cot 2 x 1  cot 2 x  . 2  dx  t 2 1  t 2  dt 2 2 Suy ra :  sin x   sin x  8 sin x cos 2 x 1 1  Vậy : I   8 dx     t 2  2t 4  t 6  dt    t 3  t 5  t 7   C . Thay : t = cotx vào . 2 sin x 3 5 7  dx g. I    a  0 x2  a Đặt : t  x  x  a  dt  1  2 x dx  x   x 2  a dx  tdx  dt  dx x2  a x2  a x2  a t x2  a dx dt Vậy : I     ln t  C  ln x  x 2  a  C x2  a t dx h. I    x  1 x  2 xét hai trường hợp : x 1  0  Với :   x  1. Đặt : t  x  1  x  2  x  2  0 1 1 1  1 tdx 2dt dx Suy ra : dt     dx    2  x 1 x2  2  x  1 x  2  t  x  1 x  2  dx dt Vậy : I    2  2ln t  C  2ln x 1  x  2  C  x  1 x  2  t x 1  0  Với :   x  2. Đặt t =   x  1    x  2  x  2  0 1 1 1  1 tdx 2dt dx Suy ra : dt      dx     2    x  1  x  2   2  x  1 x  2  t  x  1 x  2   Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12 - Trang | 4 -
Khóa học Toán 12 – Thầy Lê Bá Trần Phương Chuyền đề 03. Nguyên hàm – Tích phân dx dt Vậy : I    2  2ln t  C  2ln x 1  x  2  C  x  1 x  2 t Bài 3: Tính các tích phân bất định sau: a. I    x.ln x  x 2  1 dx x2  1  Viết lại : I   ln x  x 2  1 .  xdx x2  1 . 1 x   u  ln x  x 2  1    du  x2  1  dx Đặt :   dv  xdx  x  x2  1 x2  1  x2  1 v  x 2  1    Khi đó : I   u.dv  x2  1ln x  x 2  1   dx  x 2  1ln x  x 2  1  x  C   ln  cosx  b. I   dx cos 2 x dx Ta viết lại : I   ln  cosx  . cos 2 x  s inx u  ln  cosx  du     t anx    I   u.dv  t anx.ln  cosx    tan 2 xdx . cosx Đặt :  dx  dv   v= dx   cos 2 x  cos 2 x  t anx  1  Khi đó : I  t anx.ln  cosx      1 dx  t anx.ln  cosx   t anx-x+C  cos x  2  x sin 2 c. xdx  1  cos2x  1 1 1 2 1 Ta có : I   x   dx   xdx   x cos 2 xdx  x  J 1  2  2 2 4 2 Tính : J   x cos 2 xdx du  dx u  x  x 1 x 1 Đặt :   1  J  sin 2 x   sin 2 xdx  sin 2 x  cos2x+C dv  cos2xdx v  sin 2 x 2 2 2 4  2 1 2 1 x 1  1 1  Thay vào (1) : I  x   sin 2 x  cos2x    x 2  x sin 2 x  cos2x   C 4 22 4  4  2  d. I    x3  x2  2 x  3 sinxdx Theo nhận xét trên , ta sử dụng phương pháp hệ số bất định Ta có : I    x3  x2  2 x  3 sinxdx   a1 x3  b1 x 2  c1x  d1  cosx+  a2 x3  b2 x 2  c2 x  d 2  sinx (1) Lấy đạo hàm hai vế của (1)   x3  x2  2 x  3 sinx= a 2 x3   3a1  b2  x2   2b1  c2  x  c1  d2  cosx Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12 - Trang | 5 -
Khóa học Toán 12 – Thầy Lê Bá Trần Phương Chuyền đề 03. Nguyên hàm – Tích phân - a1 x3   3a2  b1  x2   2b2  c1  x  c2  d1  sinx  2 a2  0 a2  1 a1  1; a2  0 3a  b  0 3a  b  1 b  1; b  3   2 1 1 Đồng nhất thức ta được :  1 2   2 2b1  c2  0 2b2  c1  2 c1  4; c2  2  c1  d 2  0  c2  d1  3  d1  1; d 2  4 Khi đó : I    x3  x2  4 x  1 cosx+  3x 2  2 x  4 sinx+C . * Có nhận xét gì khi giải bằng cách lấy tích phân từng phần ba lần ( Do đây là đa thức bậc ba ). Đặt : u  x3  x 2  2 x  3 du   3x  2 x  2  dx 2    I  cosx  x3  x 2  2 x  3    3x 2  2 x  2  cosxdx (1)  dv  s inxdx v  cosx Tính :J=   3x2  2 x  2 cosxdx du1   6 x  2  dx u  3x 2  2 x  2  Đặt :  1   J  s inx  3x 2  2 x  2     6 x  2  s inxdx  2  dv1  cosxdx v1  s inx  Tính : K=   6 x  2  sinxdx u  6 x  2 du  6dx Đặt :  2  2  K  cosx  6x-2   6 cosxdx=  cosx  6x-2   6sin x dv2  s inxdx v2  cosx Thay các kết quả tìm được lần lượt vào (2) và (1) ta tính được I J= sinx  3x2  2 x  2   cosx  6x-2  6sin x   sinx  3x2  2 x  4    6 x  2  cosx I= cosx  x3  x 2  2 x  3  s inx  3x 2  2 x  4   6 x  2 cosx   I    x3  x2  4 x  1 cosx+  3x 2  2 x  4 sinx+C - Như vậy vấn đề đặt ra là : Em nào thấy cách nào dễ hiểu và không bị nhầm lẫn , thì chọn cách đó , không nhất thiết là dài hay ngắn , quan trọng nhất là kết quả phải chính xác . e. I   e2 x sin 2 xdx  1  cos2x  1 2x 1 2x 1 2x 1 Ta có : I   e 2 x sin 2 xdx   e 2 x   dx   e dx   e cos2xdx  e  J 1  2  2 2 4 2 Tính tích phân J=  e2 x cos2xdx . du  2sin 2 xdx u  cos2x  1 1 Đặt :   1 2x  J  e 2 x cos2x+  e 2 x sin 2 xdx  e 2 x cos2x+K 2 v  2 e 2x dv=e dx 2 2 Tính tích phân K=  e2 x sin 2 xdx . du1  2cos 2 xdx u1  sin 2 x  1 1 Đặt :   1 2x  K  e2 x sin 2 x   e2 x cos2xdx  e2 x sin 2 x  J  3 dv1  e dx v1  e 2x 2 2  2 Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12 - Trang | 6 -
Khóa học Toán 12 – Thầy Lê Bá Trần Phương Chuyền đề 03. Nguyên hàm – Tích phân  1 2x  J  K  2 e cos2x 1 Từ (2) và (3) ta có hệ :   J  e 2 x  sin 2 x  cos2x   J  K  1 e2 x sin 2x 4  2 1 2x 1 1 2x 1  1  Thay vào (1) ta được : I= e  . e  sin 2 x  cos2x   e 2 x 1   sin 2 x  cos2x    C 4 2 4 4  2  f. I   xe3x dx du  dx u  x  1 1 1 1 Đặt :    1 3 x  I  xe3 x   e3 x dx  xe3 x  e3 x  C dv  e dx v  e 3x 3 3 3 9  3 g. I   x2e2x dx u  x 2 du  2 xdx  1 2 2x 1 2 2x Đặt :    1 2 x  I  x e   x.e dx  x e  J 2x 1 dv  e dx v  e 2x 2 2  2  xe 2x Tính tích phân J= dx . du1  dx u1  x  1 2x 1 2x 1 2x 1 2x Đặt :   1 2 x  J  xe   e dx  xe  e dv1  e dx v1  e 2x 2 2 2 4  2 1  Thay vào (1) ta được : I= x 2 e 2 x   xe 2 x  e 2 x   C  e 2 x  2 x 2  2 x  1  C 1 1 1 2 2 4  4 * Chú ý : Qua hai ví dụ trên ta thấy số lần lấy tích phân từng phần bằng với số bậc của đa thức P(x). Nghĩa là : số bậc của P(x) càng cao thì số lần lấy tích phân từng phần càng nhiều . h. I    x2  2 x  ln xdx  dx u  ln x du  x Đặt :    dv   x 2  2 x  dx v  1 x 3  x 2  3 Suy ra : 1  1  dx  1  1  I   x3  x 2  ln x    x 3  x 2    x 3  x 2  ln x    x 2 dx   xdx  3  3  x 3  3  1  1 1 I   x3  x 2  ln x  x 3  x 2  C 3  9 2 Giáo viên: Lê Bá Trần Phƣơng Nguồn: Hocmai.vn Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12 - Trang | 7 -

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

THÔNG TIN

TRỢ GIÚP

HỖ TRỢ KHÁCH HÀNG

Theo dõi chúng tôi

Chịu trách nhiệm nội dung:

Nguyễn Công Hà - Giám đốc Công ty TNHH TÀI LIỆU TRỰC TUYẾN VI NA

LIÊN HỆ

Địa chỉ: P402, 54A Nơ Trang Long, Phường 14, Q.Bình Thạnh, TP.HCM

Hotline: 093 303 0098

Email: support@tailieu.vn

Giấy phép Mạng Xã Hội số: 670/GP-BTTTT cấp ngày 30/11/2015 Copyright © 2022-2032 TaiLieu.VN. All rights reserved.