Toán học - Chuyên đề Số học

Chia sẻ: Đinh Ngọc Trâm | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:150

Thêm vào BST

Báo xấu

893
lượt xem 374
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Chuyên đề Số học gồm 7 chương. Chương 1 đề cập đến các khái niệm về Ước và Bội. Số nguyên tố và một số bài toán về nó được giới thiệu trong chương 2. Chương 3 nói sâu hơn về Các bài toán chia hết. Phương trình nghiệm nguyên, Phương trình đồng dư được phác họa trong chương 4 và 5. Hệ thặng su và định lý Thặng dư Trung hoa sẽ được gửi đến chúng ta trong chương 6 trước khi kết thúc chuyên đề bằng Một số bài toán số học hay trên VMF ở chương 7. Mời bạn đọc cùng tham khảo.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Toán học - Chuyên đề Số học

Chuyên đ S H C Di n đàn Toán h c
Chuyên đ S H C Ch b n Tr n Qu c Nh t Hân [perfectstrong] Tr n Trung Kiên [Ispectorgadget] Ph m Quang Toàn [Ph m Quang Toàn] Lê H u Đi n Khuê [Nesbit] Đinh Ng c Th ch [T*genie*] c 2012 Di n đàn Toán h c
L i gi i thi u B n đ c thân m n, S h c là m t phân môn quan tr ng trong toán h c đã g n bó v i chúng ta xuyên su t quá trình h c Toán t b c ti u h c đ n trung h c ph thông. Chúng ta đư c ti p xúc v i S h c b t đ u b ng nh ng khái ni m đơn gi n như tính chia h t, ư c chung l n nh t, b i chung nh nh t... giúp làm quen d dàng hơn v i s kì di u c a nh ng con s cho đ n nh ng v n đ đòi h i nhi u tư duy hơn như đ ng dư, s nguyên t , các phương trình Diophantine mà n i ti ng nh t là đ nh lý l n Fermat..., đâu đâu t t m vi mô đ n vĩ mô, t c u bé l p m t bi bô 4 chia h t cho 2 đ n Giáo sư thiên tài Andrew Wiles (ngư i gi i quy t bài toán Fermat), chúng ta đ u có th th y đư c hơi th c a S h c trong đó. S h c quan tr ng như v y nhưng l thay s chuyên đ vi t v nó l i không nhi u n u đem so v i kho tàng đ s các bài vi t v b t đ ng th c trên các di n đàn m ng. Xu t phát t s thi u h t đó cũng như đ k ni m tròn m t năm Di n đàn Toán h c khai trương trang ch m i (16/01/2012 - 16/01/2013), nhóm biên t p chúng tôi cùng v i nhi u thành viên tích c c c a di n đàn đã chung tay biên so n m t chuyên đ g i đ n b n đ c. Chuyên đ là t p h p các bài vi t riêng l c a các tác gi Nguy n M nh Trùng Dương (duongld) , Nguy n Tr n Huy (yeutoan11), Nguy n Trung Hi u (nguyentrunghieua), Ph m Quang Toàn (Ph m Quang Toàn), Tr n Nguy n Thi t Quân (L Lawliet), Tr n Trung Kiên (Is- pectorgadget), Nguy n Đình Tùng (tungc3sp)... cùng s góp s c i
ii gián ti p c a nhi u thành viên tích c c trên Di n đàn Toán h c như Nguyen Lam Thinh, nguyenta98, Karl Heinrich Marx, The Gunner, perfectstrong... Ki n th c đ c p trong chuyên đ tuy không m i nhưng có th giúp các b n ph n nào hi u sâu hơn m t s khái ni m cơ b n trong S h c cũng như trao đ i cùng các b n nhi u d ng bài t p hay và khó t c p đ d đ n các bài toán trong các kì thi H c sinh gi i qu c gia, qu ct . Chuyên đ g m 7 chương. Chương 1 đ c p đ n các khái ni m v Ư c và B i. S nguyên t và m t s bài toán v nó đư c gi i thi u trong chương 2. Chương 3 nói sâu hơn v Các bài toán chia h t. Phương trình nghi m nguyên, Phương trình đ ng dư đư c phác h a trong các chương 4 và 5. H th ng dư và đ nh lý Th ng dư Trung Hoa s đư c g i đ n chúng ta qua chương 6 trư c khi k t thúc chuyên đ b ng M t s bài toán s h c hay trên VMF chương 7. Do th i gian chu n b g p rút n i dung chuyên đ chưa đư c đ u tư th t s t m cũng như có th còn nhi u sai sót trong các bài vi t, chúng tôi mong b n đ c thông c m. M i s ng h , đóng góp, phê bình c a đ c gi s là ngu n đ ng viên tinh th n to l n cho ban biên t p cũng như cho các tác gi đ nh ng phiên b n c p nh t sau c a chuyên đ đư c t t hơn, đóng góp nhi u hơn n a cho kho tàng h c thu t c a c ng đ ng toán m ng. Chúng tôi hi v ng qua chuyên đ này s giúp các b n tìm thêm đư c c m h ng trong s h c và thêm yêu v đ p c a nh ng con s . M i trao đ i góy ý xin g i v đ a ch email : contact@diendantoanhoc.net. Trân tr ng, Nhóm biên t p Chuyên đ S h c. Di n đàn Toán h c Chuyên đ S h c
M cl c i L i gi i thi u Chương 1 1 Ư c và B i 1.1 Ư c s , ư c s chung, ư c s chung l n nh t 1 1.2 B i s , b i s chung, b i s chung nh nh t 4 1.3 Bài t p đ ngh 6 Chương 2 9 S Nguyên T 2.1 M t s ki n th c cơ b n v s nguyên t 9 2.2 M t s bài toán cơ b n v s nguyên t 13 2.3 Bài t p 19 2.4 Ph l c: B n nên bi t 24 Chương 3 29 Bài toán chia h t 3.1 Lý thuy t cơ b n 29 3.2 Phương pháp gi i các bài toán chia h t 31 Chương 4 57 Phương trình nghi m nguyên iii
iv M cl c 4.1 Xét tính chia h t 57 4.2 S d ng b t đ ng th c 74 4.3 Nguyên t c c c h n, lùi vô h n 86 Chương 5 89 Phương trình đ ng dư 5.1 Phương trình đ ng dư tuy n tính 89 5.2 Phương trình đ ng dư b c cao 90 5.3 H phương trình đ ng dư b c nh t m t n 90 5.4 B c c a phương trình đ ng dư 95 5.5 Bài t p 95 5.6 ng d ng đ nh lý Euler đ gi i phương trình đ ng dư 96 5.7 Bài t p 101 Chương 6 103 H th ng dư và đ nh lý Th ng dư Trung Hoa 6.1 M t s kí hi u s d ng trong bài vi t 103 6.2 H th ng dư 104 6.3 Đ nh lí th ng dư Trung Hoa 117 6.4 Bài t p đ ngh & g i ý – đáp s 125 Chương 7 129 M t s bài toán s h c hay trên VMF . 7.1 m3 + 17. n 129 .3 7.2 c(ac + 1)2 = (5c + 2)(2c + b) 136 141 Tài li u tham kh o Di n đàn Toán h c Chuyên đ S h c
Chương 1 Ư c và B i 1.1 Ư cs ,ư c s chung, ư c s chung l n nh t 1 1.2 B is ,b i s chung, b i s chung nh nh t 4 1.3 Bài t p đ ngh 6 Nguy n M nh Trùng Dương (duongld) Nguy n Tr n Huy (yeutoan11) Ư c và b i là 2 khái ni m quan tr ng trong chương trình s h c THCS. Chuyên đ này s gi i thi u nh ng khái ni m và tính ch t cơ b n v ư c, ư c s chung, ư c chung l n nh t, b i, b i s chung, b i chung nh nh t. M t s bài t p đ ngh v các v n đ này cũng s đư c đ c p đ n cu i bài vi t. 1.1 Ư c s , ư c s chung, ư c s chung l n nh t Trong ph n này, chúng tôi s trình bày m t s khái ni m v ư c s , ư c s chung và ư c s chung l n nh t kèm theo m t vài tính ch t c a chúng. M t s bài t p ví d cho b n đ c tham kh o cũng s đư c đưa ra. 1.1.1 Đ nh nghĩa Đ nh nghĩa 1.1 S t nhiên d = 0 đư c g i là m t ư c s c a s t nhiên a khi và ch khi a chia h t cho d. Ta nói d chia h t a, kí hi u d|a. T p h p các ư c c a a là: U (a) = {d ∈ N : d|a}. 1
2 1.1. Ư c s , ư c s chung, ư c s chung l n nh t Tính ch t 1.1– N u U (a) = {1; a} thì a là s nguyên t . Đ nh nghĩa 1.2 N u U (a) và U (b) có nh ng ph n t chung thì nh ng ph n t đó g i là ư c s chung c a a và b. Ta kí hi u: U SC(a; b) = {d ∈ N : (d|a) ∧ (d|b)} = {d ∈ N : (d ∈ U (a)) ∧ (d ∈ U (b))}. Tính ch t 1.2– N u U SC(a; b) = {1} thì a và b nguyên t cùng nhau. Đ nh nghĩa 1.3 S d ∈ N đư c g i là ư c s chung l n nh t c a a và b (a; b ∈ Z) khi d là ph n t l n nh t trong t p U SC(a; b). Ký hi u ư c chung l n nh t c a a và b là U CLN (a; b), (a; b) hay gcd(a; b). 1.1.2 Tính ch t Sau đây là m t s tính ch t c a ư c chung l n nh t: • N u (a1 ; a2 ; . . . .; an ) = 1 thì ta nói các s a1 ; a2 ; . . . ; an nguyên t cùng nhau. • N u (am ; ak ) = 1, ∀m = k, {m; k} ∈ {1; 2; . . . ; n} thì ta nói các a1 ; a2 ; . . . ; an đôi m t nguyên t cùng nhau. a b (a; b) • c ∈ U SC(a; b) thì ; = . c c c a b • d = (a; b) ⇔ ; = 1. d d • (ca; cb) = c(a; b). • (a; b) = 1 và b|ac thì b|c. • (a; b) = 1 và (a; c) = 1 thì (a; bc) = 1. • (a; b; c) = ((a; b); c). • Cho a > b > 0 – N u a = b.q thì (a; b) = b. – N u a = bq + r(r = 0) thì (a; b) = (b; r). Di n đàn Toán h c Chuyên đ S h c
1.1. Ư c s , ư c s chung, ư c s chung l n nh t 3 1.1.3 Cách tìm ư c chung l n nh t b ng thu t toán Euclide Đ tìm (a; b) khi a không chia h t cho b ta dùng thu t toán Euclide sau: a = b.q + r1 thì (a; b) = (b; r1 ). b = r1 .q1 + r2 thì (b; r1 ) = (r1 ; r2 ). ··· rn−2 = rn−1 .qn−1 + rn thì (rn−2 ; rn−1 ) = (rn−1 ; rn ). rn−1 = rn .qn thì (rn−1 ; rn ) = rn . (a; b) = rn . (a; b) là s dư cu i cùng khác 0 trong thu t toán Euclide. 1.1.4 Bài t p ví d Ví d 1.1. Tìm (2k − 1; 9k + 4), k ∈ N∗ . L i gi i. Ta đ t d = (2k − 1; 9k + 4). Theo tính ch t v ư c s chung ta có d|2k − 1 và d|9k + 4. Ti p t c áp d ng tính ch t v chia h t ta l i có d|9(2k − 1) và d|2(9k + 4). Suy ra d|2(9k + 4) − 9(2k − 1) hay d|17. V y (2k − 1; 9k + 4) = 1. Ví d 1.2. Tìm (123456789; 987654321). L i gi i. Đ t b = 123456789; a = 987654321. Ta nh n th y a và b đ u chia h t cho 9. Ta l i có : a + b = 1111111110 1010 − 10 = . (1.1) 9 ⇔ 9a + 9b = 1010 − 10 M t khác : 10b + a = 9999999999 (1.2) = 1010 − 1. Chuyên đ S h c Di n đàn Toán h c
4 1.2. B i s , b i s chung, b i s chung nh nh t Tr (1.2) và (1.1) v theo v ta đư c b−8a = 9. Do đó n u đ t d = (a; b) . thì 9. .d. Mà a và b đ u chia h t cho 9, suy ra d = 9. D a vào thu t toán Euclide, ta có l i gi i khác cho Ví d 1.2 như sau : L i gi i. 987654321 = 123456789.8+9 thì (987654321; 123456789) = (123456789; 9). 123456789 = 9.1371421. (123456789; 987654321) = 9. 1 Ví d 1.3. Ch ng minh r ng dãy s An = n(n + 1), n ∈ N∗ ch a 2 nh ng dãy s vô h n nh ng s đôi m t nguyên t cùng nhau. L i gi i. Gi s trong dãy đang xét có k s đôi m t nguyên t cùng nhau là t1 = 1; t2 = 3; . . . ; tk = m(m ∈ N∗ ). Đ t a = t1 t2 . . . tk . Xét s h ng t2a+1 trong dãy An : 1 t2a+1 = (2a + 1)(2a + 2) 2 = (a + 1)(2a + 1) ≥ tk M t khác ta có (a + 1; a) = 1 và (2a + 1; a) = 1 nên (t2a+1 ; a) = 1. Do đó t2a+1 nguyên t cùng nhau v i t t c k s {t1 ; t2 ; . . . tk }. Suy ra dãy s An ch a vô h n nh ng s đôi m t nguyên t cùng nhau. 1.2 B i s , b i s chung, b i s chung nh nh t Tương t như c u trúc đã trình bày ph n trư c, trong ph n này chúng tôi cũng s đưa ra nh ng đ nh nghĩa, tính ch t cơ b n c a b i s , b i s chung, b i s chung nh nh t và m t s bài t p ví d minh h a. Di n đàn Toán h c Chuyên đ S h c
1.2. B i s , b i s chung, b i s chung nh nh t 5 1.2.1 Đ nh nghĩa Đ nh nghĩa 1.4 S t nhiên m đư c g i là m t b i s c a a = 0 khi và ch khi m chia h t cho a hay a là m t ư c s c a m. Nh n xét. T p h p các b i s c a a = 0 là: B(a) = {0; a; 2a; . . . ; ka}, k ∈ Z. Đ nh nghĩa 1.5 S t nhiên m đư c g i là m t b i s c a a = 0 khi và ch khi m chia h t cho a hay a là m t ư c s c a m Đ nh nghĩa 1.6 N u 2 t p B(a) và B(b) có ph n t chung thì các ph n t chung đó g i là b i s chung c a a và b. Ta ký hi u b i s chung c a a và b: BSC(a; b). Đ nh nghĩa 1.7 S m = 0 đư c g i là b i chung nh nh t c a a và b khi m là ph n t dương nh nh t trong t p BSC(a; b). Ký hi u : BCN N (a; b), [a; b] hay lcm(a; b). 1.2.2 Tính ch t M t s tính ch t c a b i chung l n nh t: M M • N u [a; b] = M thì ; = 1. a b • [a; b; c] = [[a; b]; c]. • [a; b].(a; b) = a.b. 1.2.3 Bài t p ví d Ví d 1.4. Tìm [n; n + 1; n + 2]. L i gi i. Đ t A = [n; n + 1] và B = [A; n + 2]. Áp d ng tính ch t [a; b; c] = [[a; b]; c], ta có: B = [n; n + 1; n + 2]. D th y (n; n + 1) = 1, suy ra [n; n + 1] = n(n + 1). Chuyên đ S h c Di n đàn Toán h c
6 1.3. Bài t p đ ngh a.b L i áp d ng tính ch t [a; b] = th thì (a; b) n(n + 1)(n + 2) [n; n + 1; n + 2] = (n(n + 1); n + 2) . G i d = (n(n + 1); n + 2). Do (n + 1; n + 2) = 1 nên d = (n; n + 2) = (n; 2). Xét hai trư ng h p: n(n + 1)(n + 2) • N u n ch n thì d = 2, suy ra [n; n + 1; n + 2] = . 2 • N u n l thì d = 1, suy ra [n; n + 1; n + 2] = n(n + 1)(n + 2) . Ví d 1.5. Ch ng minh r ng [1; 2; . . . 2n] = [n + 1; n + 2; . . . ; 2n]. L i gi i. Ta th y đư c trong k s nguyên liên ti p có m t và ch m t s chia h t cho k. Do đó b t trong các s {1; 2; . . . ; 2n} đ u là ư c c a m t s nào đó trong các s {n + 1; n + 2; . . . ; 2n}. Do đó [1; 2; . . . n; 2n] = [n + 1; n + 2; . . . ; 2n]. 1.3 Bài t p đ ngh Thay cho l i k t, chúng tôi xin g i đ n b n đ c m t s bài t p đ ngh đ luy n t p nh m giúp các b n quen hơn v i các khái ni m và các tính ch t trình bày trong chuyên đ . Bài 1. a. Cho A = 5a + 3b; B = 13a + 8b(a; b ∈ N∗ ) ch ng minh (A; B) = (a; b). b. T ng quát A = ma+nb; B = pa+qb th a mãn |mq −np| = 1 v i a, b, m, n, p, q ∈ N∗ . Ch ng minh (A; B) = (a; b). Bài 2. Tìm (6k + 5; 8k + 3)(k ∈ N). Di n đàn Toán h c Chuyên đ S h c
1.3. Bài t p đ ngh 7 Bài 3. T các ch s 1; 2; 3; 4; 5; 6 thành l p t t c s có sáu ch s (m i s ch vi t m t l n). Tìm U CLN c a t t c các s đó. n(n + 1) Bài 4. Cho A = 2n + 1; B = (n ∈ N∗ ). Tìm (A; B). 2 Bài 5. a. Ch ng minh r ng trong 5 s t nguyên liên ti p bao gi cũng ch n đư c m t s nguyên t cùng nhau v i các s còn l i. b. Ch ng minh r ng trong 16 s nguyên liên ti p bao gi cũng ch n đư c m t s nguyên t cùng nhau v i các s còn l i. Bài 6. Cho 1 ≤ m ≤ n(m; n ∈ N). n n a. Ch ng minh r ng (22 − 1; 22 + 1) = 1. b. Tìm (2m − 1; 2n − 1). Bài 7. Cho m, n ∈ N v i (m, n) = 1. Tìm (m2 + n2 ; m + n). Bài 8. Cho A = 2n +3; B = 2n+1 +3n+1 (n ∈ N∗ ); C = 2n+2 +3n+2 (n ∈ N∗ ). Tìm (A; B) và (A; C). Bài 9. Cho sáu s nguyên dương a; b; a ; b ; d; d sao cho (a; b) = d; (a ; b ) = d . Ch ng minh r ng (aa ; bb ; ab ; a b) = dd . 1 Bài 10. Ch ng minh r ng dãy s Bn = n(n + 1)(n + 2)(n ∈ N∗ ) ch a 6 vô h n nh ng s nguyên t cùng nhau. Bài 11. Ch ng minh r ng dãy s 2n − 3 v i m i n ∈ N và n ≥ 2 ch a dãy s vô h n nh ng s nguyên t cùng nhau. Bài 12. Ch ng minh dãy Mersen Mn = 2n − 1(n ∈ N∗ ) ch a dãy s vô h n nh ng s nguyên t cùng nhau. n Bài 13. Ch ng minh r ng dãy Fermat Fn = 22 + 1(n ∈ N) là dãy s nguyên t cùng nhau. n Bài 14. Cho n ∈ N; n > 1 và 2n − 2 chia h t cho n. Tìm (22 ; 2n − 1). Chuyên đ S h c Di n đàn Toán h c
8 1.3. Bài t p đ ngh 21n + 1 Bài 15. Ch ng minh r ng v i m i n ∈ N, phân s t i gi n. 14n + 3 Bài 16. Cho ba s t nhiên a; b; c đôi m t nguyên t cùng nhau. Ch ng minh r ng (ab + bc + ca; abc) = 1. Bài 17. Cho a; b ∈ N∗ . Ch ng minh r ng t n t i vô s n ∈ N sao cho (a + n; b + n) = 1. Bài 18. Gi s m; n ∈ N(m ≥ n) th a mãn (199k−1; m) = (1993−1; n). Ch ng minh r ng t n t i t(t ∈ N) sao cho m = 1993t .n. am − 1 Bài 19. Ch ng minh r ng n u a; m ∈ N; a > 1 thì ;a − 1 = a−1 (m; a − 1). Bài 20. Tìm s nguyên dương n nh nh t đ các phân s sau t i gi n: 1 a. , n1996 + 1995n + 2 2 b. 1996 , n + 1995n + 3 1994 c. 1996 , n + 1995n + 1995 1995 d. 1996 . n + 1995n + 1996 Bài 21. Cho 20 s t nhiên khác 0 là a1 ; a2 ; . . . an có t ng b ng S và U CLN b ng d. Ch ng minh r ng U CLN c a S − a1 ; S − a2 ; . . . ; S − an b ng tích c a d v i m t ư c nào đó c a n − 1. Di n đàn Toán h c Chuyên đ S h c
Chương 2 S Nguyên T 2.1 M t s ki n th c cơ b n v s nguyên t 9 2.2 M t s bài toán cơ b n v s nguyên t 13 2.3 Bài t p 19 2.4 Ph l c: B n nên bi t 24 Nguy n Trung Hi u (nguyentrunghieua) Ph m Quang Toàn (Ph m Quang Toàn) 2.1 M t s ki n th c cơ b n v s nguyên t 2.1.1 Đ nh nghĩa, đ nh lý cơ b n Đ nh nghĩa 2.1 S nguyên t là nh ng s t nhiên l n hơn 1, ch có 2 ư c s là 1 và chính nó. Đ nh nghĩa 2.2 H p s là s t nhiên l n hơn 1 và có nhi u hơn 2 ư c. Nh n xét. Các s 0 và 1 không ph i là s nguyên t cũng không ph i là h p s . B t kỳ s t nhiên l n hơn 1 nào cũng có ít nh t m t ư c s nguyên t . Đ nh lý 2.1– Dãy s nguyên t là dãy s vô h n. 9
10 2.1. M t s ki n th c cơ b n v s nguyên t Ch ng minh. Gi s ch có h u h n s nguyên t là p1 ; p2 ; p3 ; ...; pn ; trong đó pn là s l n nh t trong các nguyên t . Xét s N = p1 p2 ...pn + 1 thì N chia cho m i s nguyên t pi (i = 1, n) đ u dư 1 (*) M t khác N là m t h p s (vì nó l n hơn s nguyên t l n nh t là pn ) do đó N ph i có m t ư c nguyên t nào đó, t c là N chia h t cho m t trong các s pi (**). Ta th y (**) mâu thu n (*). V y không th có h u h n s nguyên t . Đ nh lý 2.2– M i s t nhiên l n hơn 1 đ u phân tích đư c ra th a s nguyên t m t cách duy nh t (không k th t các th a s ). Ch ng minh. * M i s t nhiên l n hơn 1 đ u phân tích đư c ra th a s nguyên t : Th t v y: gi s đi u kh ng đ nh trên là đúng v i m i s m tho mãn: 1 < m < n ta ch ng minh đi u đó đúng đ n n. N u n là nguyên t , ta có đi u ph i ch ng minh. N u n là h p s , theo đ nh nghĩa h p s , ta có: n = a.b (v i a, b < n) Theo gi thi t quy n p: a và b là tích các th a s nh hơn n nên n là tích cu các th a s nguyên t . * S phân tích là duy nh t: Gi s m i s m < n đ u phân tích đư c ra th a s nguyên t m t cách duy nh t, ta ch ng minh đi u đó đúng đ n n: N u n là s nguyên t thì ta đư c đi u ph i ch ng minh. N u n là h p s : Gi s có 2 cách phân tích n ra th a s nguyên t khác nhau: n = p.q.r.... n = p .q .r .... Trong đó p, q, r..... và p , q , r .... là các s nguyên t và không có s nguyên t nào cũng có m t trong c hai phân tích đó (vì n u có s tho mãn đi u ki n như trên, ta có th chia n cho s đó lúc đó thư ng s nh hơn n, thương này có hai cách phân tích ra th a s nguyên t khác nhau, trái v i gi thi t c a quy n p). Không m t tính t ng quát, ta có th gi thi t p và p l n lư t là các s nguyên t nh nh t trong phân tích th nh t và th hai. Vì n là h p s nên n > p2 và n > p 2 . Do p = p ⇒ n > p.p Di n đàn Toán h c Chuyên đ S h c
2.1. M t s ki n th c cơ b n v s nguyên t 11 Xét m = n − pp < n đư c phân tích ra th a s nguyên t m t cách duy nh t ta th y: p|n ⇒ p|n − pp hay p|m Khi phân tích ra th a s nguyên t ta có: m = n − pp = p p.P.Q... v i P, Q ∈ P ( P là t p các s nguyên t ). ⇒ pp |n ⇒ pp |p.q.r... ⇒ p|q.r... ⇒ p là ư c nguyên t c a q.r... Mà p không trùng v i m t th a s nào trong q, r... (đi u này trái v i g a thi t quy n p là m i s nh hơn n đ u phân tích đư c ra th a s nguyên t m t cách duy nh t). V y, đi u gi s không đúng. Đ nh lý đư c ch ng minh. 2.1.2 Cách nh n bi t m t s nguyên t Cách 1 Chia s đó l n lư t cho các nguyên t t nh đ n l n: 2; 3; 5; 7... N u có m t phép chia h t thì s đó không nguyên t . N u th c hi n phép chia cho đ n lúc thương s nh hơn s chia mà các phép chia v n có s dư thì s đó là nguyên t . Cách 2 M t s có hai ư c s l n hơn 1 thì s đó không ph i là s nguyên t . Cho h c sinh l p 6 h c cách nh n bi t 1 s nguyên t b ng phương pháp th nh t (nêu trên), là d a vào đ nh lý cơ b n: Ư c √ nguyên t nh nh t c a m t h p s A là m t s không vư t s quá A. V i quy t c trên trong m t kho n th i gian ng n, v i các d u hi u chia h t thì ta nhanh chóng tr l i đư c m t s có hai ch s nào đó là Chuyên đ S h c Di n đàn Toán h c
12 2.1. M t s ki n th c cơ b n v s nguyên t nguyên t hay không. H qu 2.1– N u có s A > 1 không có m t ư c s nguyên t nào t √ 2 đ n A thì A là m t nguyên t . 2.1.3 S các ư c s và t ng các ư c s c a 1 s Gi s : A = px1 .px2 ......pn xn ; trong đó: pi ∈ P; xi ∈ N; i = 1, n 1 2 Tính ch t 2.1– S các ư c s c a A tính b ng công th c: T (A) = (x1 + 1)(x2 + 1).....(xn + 1) Ví d 2.1. 30 = 2.3.5 thì T (A) = (1 + 1)(1 + 1)(1 + 1) = 8. Ki m tra: (30) = {1; 2; 3; 5; 6; 10; 15; 30} nên (30) có 8 phân t . Tính ch t 2.2– T ng các ư c m t s c a A tính b ng công th c: n pxi +1 − 1 i σ (A) = pi − 1 i=1 2.1.4 Hai s nguyên t cùng nhau Đ nh nghĩa 2.3 Hai s t nhiên đư c g i là nguyên t cùng nhau khi và ch khi chúng có ư c chung l n nh t (ƯCLN) b ng 1. Tính ch t 2.3– Hai s t nhiên liên ti p luôn nguyên t cùng nhau. Tính ch t 2.4– Hai s nguyên t khác nhau luôn nguyên t cùng nhau. Tính ch t 2.5– Các s a, b, c nguyên t cùng nhau khi và ch khi (a, b, c) = 1. Đ nh nghĩa 2.4 Nhi u s t nhiên đư c g i là nguyên t sánh đôi khi chúng đôi m t nguyên t cùng nhau. Di n đàn Toán h c Chuyên đ S h c