Toán học - Hình học tuyến tính: Phần 1

Chia sẻ: Lê Na | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:144

Thêm vào BST

Báo xấu

494
lượt xem 43
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tài liệu có kết cấu gồm 4 chương. Phần 1 gồm nội dung các chương: Chương 1 - Không gian Vectơ, chương 2 - Không gian Afin, chương 3 - Không gian Ơclit. Cuối mỗi chương đều có bài tập vận dụng. Mời các bạn tham khảo Tài liệu để nắm bắt nội dung chi tiết.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Toán học - Hình học tuyến tính: Phần 1

LÒI NÓI ĐẦU MỘI lùn, khi hon MỊ di' p lùi CHÙ- (It; nhói hòi (MU : « Có con dường nào) khác, ngấn hon, de if'.; vào lỉìiìỉi học khùng ? », nhà hình học vĩ đại đã trả lời rang : « KhôntỊ ỉ khàng cô con dường riêng nào dành cho Hoàng gia cả ĩ i). (làu nói dỏ cua 0(7/7 có nghĩa lù nqoùỉ phương pháp dà được trì inh bày (rong lập « XyiiỊỊỪn lý » noi tiếng của ônq, không còn cách nào hay hơn dè trình bày môn Hình học. Trong tập « Nguyên lỵ », Hình học (lược trình bày như ỉa một khoa học SUI) diễn dồa trên một hệ thống tiên dê má sau này Hinbe đã bo sang và hoàn thiện thêm. Hơn hai tiqàn nám sau khi « Nguyên hj » ra đời, mọi cuốn sách giáo khoa vê Hình học đêu lồ sồ sao, chép lại ơcỉit, có thay đồi chùi li vìỉ nội dúm] và thứ tồ mà thôi. Như vậy, đúng là không cỏ con dường nào khác, ngoài con đường mà ơcỉit dã vạch ra, Tuy vạy, lừ khi phát hiện ra những cấu trúc toán học (như cấu trúc không gian vectơ, cẩu trúc nhỏm,...) thì tình hình ỉm nên khác hẳn. Người la dễ dàng nhận thấy rằng khổng gian ơcỉỉt chinh là một không gian tuyên tính trên đỏ (ỉu xác dinh một tích vô hường cùa hai vectơ. Bời vậy mọi định lỵ của hình học ơcỉỉt đều cỏ thề phiên dịch trồc nếp từ một định lý nào đỏ của đại sổ tuyến tính. Trong lúc đủ không gian tuyển tỉnh (còn gọi là khàng qian vectơ) dược xây dồng trên một số tiên đề rai đơn giản và rõ ràng. Bày giờ đối vời một tập hợp nào đó, ta có the dề dànq xảy dồng thành một không gian ơcỉít trên nên là không gian tuyến tính bằng một vài liên tít dơn if Hin. Nhít vậy là đã xuất hiện « con dường dế Dương » mà ơđit cho là không có. Những định lý của hình học (ft Ui trước kia dược chứng minh phức lạp vả day mưu mẹo thì nay, btíny con đường này, cỏ the chửng minh hết sức đơn giản bằng một vài phép tinh. Nyoài ra dồa vào khònq gian luyến tinh người la còn xây (lồng dược ĩihừny hình học khác vời hình học 0'cỉỉt như hình "học afin, hình học xạ ảnh, hỉnh học giả ơcỉỉt, hình học Lobascpski, hình học Riman... Khư : ì
'ày, con dirừnq mủi này tổ ra hơn hằn con đường mồ ơclỉt đã đầ UỊhị. Trong cuốn sách này, hình học sẽ dược trình bày theo cách đỏ và hỉnh vì vậy cuốn sách cùng có the gọt là « Hình học tuyến tỉnh ». Chủng tôi cho rằng nên giảng dạy Hỉnh học kết hợp vời Đại số tuyển inh cho sinh viên ban toán, và bấi vậy nên có một giáo ỉ rinh chung Đại số luyến tính và Hình học tuyến tính ». Bấi vậy ircng cuốn sách với tính chất qiáo khoa này, chủng tôi sẽ rình bày « Hình học cao cấp »'một cách riêng biệt, đe tiện cho việc sử lạng của sinh viên vá thầiỊ giáo. Xhưng, dề cho dễ theo dõi, chứng tôi dành lổng chươnq ì và hai đoạn đầu của chương lĩ đề trình bày những nồi lang chủ yếu của không qian vectơ vồ không gian vectơ ưclỉt — Có một ố vẩn đề khá qua i trọng nhưng chủng tôi vãn cho vào bài tập, đề cuốn 'ách khỏi quá nặng nê. Ngoài phương pháp của Đại sổ tuyến tỉnh, trong cuốn sách này chúng ôi cunq trình bày quan điềm nhóm của Clai về việc xây dựng Hình học : tem Hình học là khoa học nghiền cửu các bất biến của mội nhỏm cúc phép Viển dối nào dỏ của không gian. Bằnq cách đỏ, cuốn sách sẽ nền rõ được vối quan hệ giữa hình học xạ ảnh và các hình học khác. Số các bài tập cuối mỗi chương không nhiều, nhưng cũng cỏ một số bài khỏ. Riêng chương V chỉ có bài tập cho § Ì, vi chúng tôi xem phần lòn lại như một phần phụ lục, không cần thiết phải rèn luyện vê kỹ năng 'inh toán. Chủng tôi cảm ơn các giáo sư Nguyễn Thúc Hào, Nguyễn cảnh Toàn, lồng chi Đoàn Quỳnh và các dồng chi ấ các to Hình học của hai trường Đại học Sir phạm Hà Nội í và Đại học Sư phạm Vinh đõ góp nhiều ý kiến zho nội dung cuốn sách này. Hà N ộ i , ngày 31-3-1976 GÁC TÁC GIẢ
CHƯƠNG I KHÔNG GIAN VECTO* § 1. HỆ TIÊN Đ Ề CỦA KHỐNG GIAN VECTƠ VÀ MỘT SỐ MÔ HÌNH 1. B ị n h n g h ĩ a — Cho một tập hợp V không rồng, các phần tử của nỏ sẽ gọi là các vectơ và kỷ hiệu là a, by x % í/,... Giả sử trên V đà xác định hai phép toán sau đày : a) Phép cộng vcvtơ. Vời mỗi cặp vectơ có thố tự CI, b£ V cỏ một vectơ .vác định c G V gọi là tồng của vectơ a và vcctơ "ĩ và kỳ hiệu c = a ~r b. b) Phép nhản vectơ vời một số thực. Vời mọi vectơ a G V và mọi sổ thực \ cỏ một veciơ xác định b e V gọi là tích củavcctơ a với số thực \, oà kí) hiệu ỉ) = Tai. T ậ p hợp V cùng với hai phép toán đ ỏ sẽ gọi là không gian ưectơ trên trường so thực nếu 6 tiên đ ề sau đây đ ư ợ c thỏa m ã n : V Ị . i?hèp cộng co tính chất kết hợp, tức là với m ọ i ba vectơ át K T,e V ta cỏ : (a +T) 4- T = íT+ (fi r C). Kết quả là ta được một vectơ gọi là tống của ba ưecte o7 b, c và cỏ thê kỷ hiệu là íỉ -ặ- /) H- f mà khôiiặí cần viết thêm c á c dấn ngoặc. (Một cách tòng quát, do tiên đề này ta cỏ thè (tịiríl 5
nghĩa được tong của n vectơ dị, a ,..., tt và kỷ hiệu là «! 4- «2 2 n n a + . . . + ơn hay 2^ i )• *> i=l v . Trong V cỏ một vectơ, kỷ hiệu là 0, sao cho với mọi ưeciơ 2 a e V t a c ó : a + 0 = 0 + a = «. Vectơ 8 thường được gọi là ưectơ không. v . (x + 3 -ịh) a = xa 4- ị^a. v . x(« + ử) = xa + xó. 4 v . X (|Xfl) = 0 ^ ) Õ L 5 v . Ì a = a. 6 Trong các tiên đề V — V , \ , fj> là những sổ thực bất kỳ 3 6 và a, b là những vectơ bất kỳ của V. Chú ý rằng do tiên đề v , hai vectơ bằng nhau \(ụ
không qian không (vì phần tử duy nhất của không gian chỉnh là vectơ không nêu ngay từ đầu ta đã dùng kỷ hiệu 0). Mô hình % V là tập hợp các vectơ tự do trong không gian ơclít với hai phép toán hiều theo nghĩa thông thường. Ta gọi V là không gian các vectơ tự do. Mô hỉnh 3. Gọi Rn là tập hợp các bộ n số thực cổ thứ tự (ưu « 2 » " - » n ) ve Ì hai phép toán định nghĩa như sau : a (í?!, a ,..., ơn) - f (bị, ỉ>2. •••» frn) = ( « 1 + ^1» « 2 + ỉ>2 »•••» «n + 2 b ), n X («!, a , ơ n ) = 2 xa »\a ).2 n Khi đổ R là một mô hình của không gian vectơ, nó gọi là mô n hình sổ thực. . Mô hình k. Tập hợp các đa thức cổ hệ sổ thực với phép cộng hai đa thức và phép nhân đa thức với một sổ được hiếu theo nghĩa thông thường. Mô hình 5. Tập hợp các hàm sổ biến số thực xác định trên một đoạn [a, b] với hai phép toán định nghĩa như sau : ơ+ỡ) (*) = /•(*)+ g ( Ặ . (x . f ) (x) = \ . f (x). § 2. MỘT SỐ H Ệ QUẢ CỦA H Ệ TIÊN Đ Ề V i — V 6 1. Trong không gian vectơ V, chỉ cổ một vectơ không duy nhất. Thật vậy, giả sử cổ hai vectơ khống là 0 và 0' cùng thổa mãn tiên đề v thì một mặtT - f T = 0* (vìT là vectơ không) 2 mặt khác T+ ÍT = T (vì iTlà vectơ không). Vậy T = 2. Với mọi số thực X và mọi vectơ a e V, ta cỏ: 0 a = \9 = 6. Thật vậy, theo liên đề v : 3 õT+ xẩ*= (0 + x)
Thật vây nếu X 0 thì áp dụng tiên đê V 5 và Vo ta có : X — ì X — X. X \ X Ị Vố v ỉ Xít* = 0 nên áp dung hệ quả 2 ta SUY ra .T = 9 . 4. Đối ười mọi vcctơ a G V có mội vù chỉ một vcctơ ? e V sao cho a -h a' SB a* + a — 0 . Thật vậy đ ố i với m ọ i vectơ a ta lấy 0*"= (—1) (í . Khi đ ỏ áp dụng các tiên đồ vc/ơ đối củalhà—"T, /ức /rì — T = T . Thật vậy theo tiên đề v , T 2 + (—1) = —T. Mặt k h á c vì — T là vectơ đổi của T nên 7 +(-~H) = T . V ạ v T = — T . 6. Vcctơ đổi cùa -^a là a, tức là — (—(I) = rĩ. Thật vậy, theo định nghĩa : —• ( — (í) = ( — 1) ( — à) =- —(—í) ((—-1) úp (lung tiên lit? Vr, vá v c ta cỏ — ( i - o ) = ( ( - ì ) . ( - 1 ) ) « * = 17r == 7r. 8
7. (Luật giản ước tủa phép cộng). Nhìn 4- b — a + c thì ĩ = "ĩ- Thật vậy t ừ a 4- z> = fl + c ta suy ra : — a -f « f fr = — a + a -f c f ay T + T = T + T ^ do đó /) = ('. 8. /Vỉớ/> r-ọ/igr cỏ tính chất giao hoàn, tức lủ ươi mọi vectơ "ft và b cùa V in đìu có a + /> = /)-}- a. Thát vạy, ta cỏ : g í T ) -í- ( ( - T ) + ( ~ a)) = 7T + (? + + + (—ã) a T +~7 + (-To =fíT+ (—0) ==T. pír đỏ SUY ra (íi -r />) là vectư đổi của ((~~f>) + (—-«))» tức là - ( ( - ĩ") + ( - 7 5 ) - ( - 1 ) (( - T ) + ( - «))=K -1)í (-15+ If ( - 1 ) (—~fl) = - (—Tí) + (— (—«)) = T - f ~ĩT(tlieo hộ quả 6). 9. Đ ị n h nghĩa . — Vectơ a -Ị- (—6) £/ọz* /à /iií'íỉ của pec/ơ I" wì W ' d ơ T , f>à ký hiệu ìà~a —~b. Như vậy~ĩT—=~a + I- (—/;). Rõ r àng là nếu r — a—Vi thì c + /í —
§ 3. S ự ĐỘC LẬP TUYẾN TÍNH VÀ PHỤ THUỘC TUYẾN TÍNH r Lí Đ ị n h nghĩa — Một hệ gầm m ve.ctơ a a a , m > /, lt 2 m của một không gian vcctơ V gọi là độc lập tuyến tính nếu đẵng thức XiCiị + \a 2 2 + ... + x a m m = e (1) chỉ xảy ra khỉ \ t = \ 2 = ... = x m =0. Nếu có ít nhất là một X i nào đó khác không sao cho đằng thức ( ỉ ) đúng thì hệ đỏ gọi ì à phụ thuộc tuyến tỉnh. Ắp dụng đinh nghĩa cho t r ư ờ n g hợp m = Ì ta cỏ : hệ gôm một ưectơ sẽ độc lập tuyến tỉnh khỉ và chỉ khi ưectơ đó khác với 9. 2. T ừ định nghĩa trên ta dễ d à n g suy ra rằng nếu một h ệ vectơ đã cho phụ thuộc tuyến tính thì m ọ i hệ vectớ chứa hệ đ ỏ cung phụ thuộc luyến tính. Nói một cách k h á c , n ế u một hệ đ a cho độc lập tuyến tỉnh thì m ọ i hệ con của nổ đều độc l ậ p tuyến tính. Đặc biệt, nếu một hệ có chứa v e c t ơ T t h ì hệ đ ỏ phụ thuộc tuyến tỉnh, Do đỏ m ọ i vectơ của một hệ độc lập tuyến tính đ ề u k h á c v ớ i 9. 3. Đ ị n h nghĩa — Một biền thức dạng XịCỉị + \ 2 Ơ 2 + ... 4- \ m am được gói là một to hợp tuyến tính của các vectơ a j , a ,...» 2 ỉ- - a m . Một vectơ b được gọi là biêu thị tuyển tính qua các vectơ «1, .., ~a nhi b là một tổ hợp tuyến tỉnh của các vectơ đỏ, tức là : m a b = Xjflj + \ 2 2 + ••• + ^mữ m (2). T ừ định nghĩa này, đặc biệt, ta suy ra là vectỡTluôn luôn đ ư ợ c biêu thị tuyến tính qua một số vếctơ bất kỳ nào đ ỏ . Thát vậy ta l u ô n luôn có thế viết 0 = XirtỊ + Xtft 2 + ... + x«Ãm, VOI Xị = 0, i = Ì, 2,..., m. 4. ĐỊNH LÝ — Một hệ vecto- sẽ phụ thuộc tuyên tính khi và chỉ khi cổ ít fihất một vecto* của hệ đưọ*c biêu thị tuyến tính qua cấc vecto* còn lại. 10
Chửng minh. N ế u hệ vectơ ị a a ,.-.» Am ị phụ thuộc tuyến u 2 inh thì đẳng thức (1) sẽ xảy ra với ít nhát một hệ số Xi khác .hông. Ta giả sử \ị =1= 0- Khi đỏ từ (1) ta suy ra : •ay, nhàn hai vế với —-— : Ai = — « 2 ~ a 3 — ••• — •—Xi Xj Xj a , tức là ũị biêu thị tuyế n tính qua các vectơcòn l ạ i . m Ngược lại, nế u cỏ một vectơ nào đó, ví dự a í9 biêu thị tuyển till qua các vectơ còn lại : a — \ a t 2 2 -f x 3 f l 3 + ••• 4- >-m«m» thì Q - ai •{- \ 2 2 + ... 4- Ằ a = m m 0. Trong đẳng thức này, hệ sổ la là —Ì, vậy hệ vectơ đã cho phụ thuộc tuyế n tính. 5. ĐỊNH LÝ — Cho hệ vecto* độc lập tuyền tính ị ~aj, a , . . . , a Ị . 2 m )t vecto* b sẽ biều thị tuyển tính qua các vecto* của hộ đó khỉ và ì khi hệ ị b, ƠI, ơ . . , a ị phụ thuộc tuyển tính. 2 v m Chửng minh. Nế u b biêu thị tuyế n tính qua các vectơ của đã cho, thì theo địnhlỷ 4 hệ \% õ7, a ,..., õTỊ phụ thuộc tuyến 2 h. Giả sử ngược l ạ i , nếu hệ \X í , Õ ^ Ị phụ thuộc tuyến h, tức là ta có đẳng thức : + \Ơ 2 2 + ... + \ a m m + \ m + 1 T=T, ng đó ít nhất là một hệ sổ X, =1= 0. Nếu \ = 0 thì ta sẽ cỏ m + 1 lg thức ( 1 ) , trong đó cỏ ít nhất là một hệ số X, =j= 0. Điều đỏ với giả thiết ban đầu của định lý là hệ ịõT, í , . . . , ô i Ị độc lập ẩn tỉnh. Váy x m + 1 =1= 0. Từ đỏ lập luận giống như phần đầu chửng minh định lý 4, ta suy ra T h i ề u thị tuyến tỉnh qua vectơ o ỉt a ,..., a . 2 m r 6. Định nghĩa — Cho hai hệ ưectơ : Ị di, a 2 , ữ s ị (a) ị bi, fc ,bị 2 ị (b) li
Nếu mỏi véc iff của hệ (a) đen bưu thị ÌUIỊCII tinh qua rác véc- iơ của hệ (b) thì ta nài rằng hè (a) hữu thị tuyên tinh iịiui h(> ( h ) , Nếu hệ (a) hữu thị tuyên tính qua hệ (ỉ)) im hà (lì) hi ru thì tuyến tinh qua hừ (li) thi hai hi'' dó gọi làttrtrnọ (ỉtrưng VUI n h a u . Dỗ (làng tháy rằng sự biêu thi tuyến tỉnh của các hộ c ỏ tỉnh chát truyền ứng : nếu hộ (a) biếu thị tuyến tỉnh qua hộ (b), và h ệ (b) biền thị tuyến tính qua một hệ thứ ha, thì hộ (a) biêu thị tuyến lỉnh qua h ệ thử ba. T ừ đ ó suy ra rằng sự t ư ơ n g (lương giữa các h ệ vector cũng cỏ tinh chát truyền ứng : hai hệ vcclư c ù n g tương đ ư ơ n g với một hộ thử ha thì tương (tương vói nhau. 8. ĐỊNH LÝ — Cho hai hệ vccto* Ị 1 n ê n s 3,.... bi đề 2 đ ư ợ c h ệ ịa u V, 2 ...,7T,ị (a') * thì r ổ ràng h ệ (a') tương đ ư ơ n g với h ệ (ử). N h ư vậy định l ỷ đủng cho trường hợp s = 1. Bày giờ ta giả sử định ly đúng trong trường hợp h ệ (a) gồm s — Ì véc tơ (s > 2), ta chửng minh định lý đ ú n g trong trường 1«>
yhợịt hệ (a) gom vccto. Ký itìệv hẹ (a) n h ư trong phát biêu của định li r ồ i ta xói hệ con của (a) gom .s Ì vcctơ đầu tiên : («1, í , ỡ T _ t ) (c) (Hệ (c) là hệ COI: (nia (a) nén cũng độc l ộ p tuyến t í n h và cổ hiên n ỏ cũng biêu thị tuyến tỉnh qua hệ (b). B ả i vậy theo giả htèl của phép qui nạp ta cỏ s — Ì < /. N h ư n g nếu s — Ì = t giả thiết qui nạp, hệ (c) và (Ị)) t ư ơ n g đương, do đó suy Iff* h ệ i'i) - ' l tuyến tính qua hệ (c), và bởi vậy o biêu thị f 5 s l u y ế n t í n h qua Họ ì nên hệ (íi) k h ô n g độc lạp tuyến tính, irâi với í^iả thiết. Như vậy 1 < / hay .s ^ í. I Ta chứng minh tiếp phần sau cùa iịnS lý. I Ì heo giả thiết qui nạp ta cỏ thề chọn được t — — 1) vec- | ơ của h ệ (b) mà khi thêm vào hệ (c) ta được một h ẹ ỉìTơng giương v ớ i (b). Giả sử hệ đỏ là : ữ «j, «2» •••» s-i, frs»...»J>! ị (d) Ị _ , . f/ hiếu thị tuyển tính qua hệ (b) n ê n cũng biêu thị tuyến s inh qua hệ (d) (vì hai hệ (b) và (d) t ư ơ n g đ ư ơ n g ) , tức là as = Xi «1 -Ị- x 2 a 2 4- ••• 4- X _J S a s l -f x sỉ>s + ... + XtỉT" Tất cả các hệ so x , »•••» \ t không thề bằng k h ô n g tất s I , v i nếu vây thì hệ (a) sẽ phụ thuộc tuyến tính. Ta giả sử *s =Ị=- 0. Khi đó se biêu thị tuyến tinh qua hệ : ữ ị Oi, «2» •••» * > &s - Ì , Ị (e) ĩ"' ơi vậv hệ (d) và h ệ (e) tương đ ư ơ n g và do đỏ h ệ (b) tương ang v ớ i hệ (e). Hệ (e) có được bằng cách thêm vào hệ (a) / vectư b ị , . . . , bị của hệ (b). Định lý đa chứng minh xong. s ị 4. C ơ SỜ CỦA KHÔNG GIAN VÉC ro*, số CHIỀU n 1. Đ ị n h nghĩa — Mội hệ t = ị c e e ị gôm lĩ uectơ u 2t n không gian ưectơ V, (n là số nguyên > í ) gọi là cơ sở của tỳ gian. đó nen nỏ là một hệ độc lập tuyên tính và mọi véc- w V đhi cỏ the biêu thị tuyến tính qua các vectơ của hệ đó.
Vỉ dụ— Trong không gian các vectơ tự do (mô hình 2, § ì.ỳ bất kỳ một hệ gồm bu vectơ khạng song song với cùng một mặt phang đều là một cơ sở của không gian đó. — Trong mô hình số thực R (mò hình 3, § 1 ) , n vector n (Ì, 0, 0, 0), (0, Ì, 0 0),..., (0,0,..., 0, l)tạo thành một c ạ sơ. 2. Ta chú ý rằng cỏ những không gian vectư mà ta khống thề tìm được một hệ hữu hạn vectư nào làm cơ sử. Chẳng hạn ta lấy mô hình 4, § 1. Gác vectơ là những đa thức. Giả sử ta cỏ Tì đa thức nào đó. Khi đỏ nếu gọi .V là bậc lớn nhất trong* các bậc của chúng thì một đa thức bậc m > N sẽ không biếu thị tuyến tỉnh qua các đa thức nối trên. Không gian không (mô hình Ì, § 1) cũng không cỏ cơ sở, nhưng lại vì một lý do khác. Không gian này chỉ gồm một véc- tơ 0 nên mọi hệ vectơ của nỏ đều phụ thuộc tuyến tính và bởi vậy không thề là cơ sở của nỏ. 3. ĐỊNH LÝ — Nếu không gian vecto* V có một co* Bỗ* gồm n vecto* thì mọi co* sỏ* khác của n ỏ cũng gom lĩ vecto*. Chửng minh, Giả sử e = ị e e , lt 2e ị và e' = ị e'ị, c\, n F* ị là hai cơ sở của không gian vectơ V. Khi đó vì các hệ e m và é' đều độc lập và mỗi vectơ của e đều biêu thị tuyến tính qua hệ £* nên áp dụng định lý 8, § 3 ta cỏ rì ^ m. L ạ i vì mỗi vectơ của é' đều biêu thị tuyến tình qua hệ e nên cũng áp dụng định lỷ đó ta cỏ m ^ n. Vậy m = lì. Định lý vừa chửng minh là cơ sở cho định nghĩa sau đày : 4. Đ ỉ n h nghĩa — Nếu không gian vectơ V có một cơ sử gôm n vectơ thi ri sẽ gọi là số chiều của V và ký hiệu dim V = n. Không gian có Hố chiêu lĩ thưởng gọi là không gian ve dơ lì chữa và kỷ hiệu là Vu. Sổ chiều của khổng gian không qui ước bằng 0. Ngoài các loại khống gian đỏ, các không gian khác được xem là có sổ chiều vô han. Trong sách này chỉ xét các không Ị gian vectơ cỏ sổ chiều hữu hạn. ' 5. ĐỊNH LÝ — Trong không gian vecto* Tì chiều Vn mọi hệ gồm n -Ị- í vecto* đều phụ thuộc tuyến tính.
Chứng minh. Giả sử è = ị ^I,e , 2 e ị là một cơ sở của n không gian vectơ V và A = ị a ơi a ị ị là một hệ gom lt n+ n + Ì vectơ bất kỳ. Vi e là cơ sở nên hệ A biều thị tuyến tỉnh qua hệ E và vì số vectơcủa A nhiều hơn của £ nên theo định lý 8, § 3 hệ A không thề độc lập tuyến tính được. 6. ĐỊNH LÝ — Trong không gian vecto* Tì chiều Vn mọi hệ vecto* độc lập tuyên tỉnh gom /ỉ vecto* đều là co* sỏ* của không gian đổ. Chứng minh. Giả sử Ị ai, a 2 , a „ Ị là một hệ độc lập tuyến tỉnh của không gian vectơ n chiêu Vn . Khi đó nếu b là một vectơ bất kỳ của Vn thì theo định lỷ 5 hệ vectơ Ị du dị,a » n bị phụ thuộc tuyến tính, và do đó theo định lý 5, § 3, v e c t ơ ^ sẽ biếu thị tuyến, tỉnh qua các vectơ (lị, a , . . . » a . Như vậy2 n ị ai, a 2 , ơ n Ị là một cơ sở của v„. § 5. TỌA ĐỘ CỦA VECTƠ ĐỐI v ớ i MỘT cơ sử 1. Trong không gian vectơ lĩ chiều v n (/ỉ > 1) ta xét một cơ sở £ = ị e ít e , .... e ị (ta sẽ viết gọn cơ sở đỏ là 2 n e = ị d ị. Khi đò mỗi vectơ X G v đều biếu thị tuyến tỉnh qua n các vectơ của cơ sở £, tức là n õ T = V Xi ẽT = Xị Tì -I x 2 +...+ #nẽT (1) Ta chứng tỏ rằng to hợp tuyến tính trong (1) là duy nhất. Thật vậy nếu X còn cỏ thề viết dưới dạng : n
n thì , X — ,T == 2^ ( 'i — a yd = ~ti* i=l Vì hệ £ độc lập tuvến tính n ê n Xi — ụ, v ớ i m ọ i ì. T ừ đỏ ta di đ ế n định nghĩa sau đáy : Đ ị n h nghĩa — Bộ Tì số thực cỏ thứ tự ( x ì t xt 2 a*n) cỏ trong đẵng thức (1) gọi là tọa độ của vectơ X đổi với cơ sử £ đã cho. Ta sẽ dùng ký hiệu X = (.1*1, .r , 2 ; r ) hay n a; (.Ti, .r » •••» 2 a*n) đề chỉ rằng (a*i, . T , .... a- ) là tọa độ 2 n cùa vectơ X. Nếu không sợ bị nhầm ta còn viết X — (.ri) hay X (Xi). Theo định nghĩa đỏ, tọa độ của các vectơ oi, e , a e„ l ầ n lượt là ( Ì , 0, o i 0 ) , (0, Ì , 0, 0), (0, 0, 0, í). 2. Khi đa chọn một co sở £ của v thì m ỗ i vectơ X G V n chỉ n cỏ một tọa độ duy nhất, và ngược l ạ i ta dễ d à n g tháy rằng nếu '••ho trước một bộ /ỉ sổ thực có t h ứ t ự thì luôn luôn cỏ một vec- tơ duy ''hất nhím bộ sổ đỏ làm tọa đ ộ . N h ư vậy sau k h i đã chọn một cơ sớ tin ;Ị'*'C cho một vectơ t ư ơ n g đ ư ơ n g với việc cho tọa độ của n ó . 3. Trong không gian vectơ V v ớ i cơ sở £ cho hai vectơ : X = (.ỉ Ì , X21 •••» i'nji 1T= (ơi. ỉ/2. .... ỉ/n). Khi đỏ ta chửng minh được dễ d à n g rằng : X + y = ( X j - f í/!, a- 2 + y » •••» 2 + ỉ/n) Và do đỏ suy ra * — ~ĩ = (*1 — ỉ / l . Xì — Ư2> •••> .Vn — ỉ/n) và T = (0, 0, 0, .... 0). 4. ĐỊNH LÝ — Cho hệ m vecto- í a u a, 2 Um Ị , trong đó tọa độ của vecto- (ti đỗi V
ơ ^11 12 ••« Hin fl #21 #22 2n ^litl Íỉin2 • • "inn CÓ họng b ẵ n g in. Chứng minh. Thật vậy nếu hạng của ma trận bẻ hơn m thì giữa các dòng của ma trân đỏ cỏ ít nhất Ì đòng là tồ hợp tuyến tỉnh của các dòng còn l ạ i . Từ đó suy ra cỏ ít nhất một vectơ của hê đã cho biền thị luyến tỉnh được qua các vectơ còn lai của hệ, tức là hệ đã cho phu thuộc tuyến tính, trái với giả thiết. Biêu ngược l ạ i cung chửng minh tương tự. Hệ quả. Trong không gian V n vời cơ sở đã chọn, cho n vectơ í, An, trong đó Ui = (du, a ì2l H i n ) , í = í, 2, .... TI. Mầu kiện cần oà đủ đề hệ vcctơ Ị « 1 , f í » " n Ị độc lập tuyến tinh 2 lè định thức của ma trận [Oìị] khác khổng : đét [ctìị ì =1= 0. H Ỵ . Trong không gian Vn cho hai cơ sử £ = Ị e v e> 2 Cnị Im-?! = ịe'i, c\ e\\. Giả.sử (dìu Í7i2, ain) là tọa độ của "đpi với cơ sở £, ỉ* = Ì, 2, /ỉ. Ta thiết lập ma trận fl l 2 #22 ... ÍĨ2n ttnl Íỉn2 . . . íínn Ma trận .4 được gọi là ma trận chuyên từ cơ sở £ sang cơ sử e'. Theo hệ quả định lý 4 đét .4 =/= 0, tức .4 là ma trận không #iiy biến. Nếu đã chọn cơ sở c ròi thì mỗi cơ sở e' sẽ ứng với một tea trận chuyền duy nhất, và ngiuợc lại mỗi ma trận "vuông cẩfc Míhỏng suy biến sẽ là ma trán chuyền từ cơ sử £ sang một cơ B ĩ e' hoàn toàn xác định. 6. Còng thức đồi tọa độ. Ta xét không gian vectư V n với hai m sử £ và e' như dà nói ỏ' mục 5. Giả s ử véc tư X G Vu cỏ tọa 17
ộ đổi với cơ sở £ và e' lằn lượt là ( x x *a*n) l t 2 và ịx* x \ »•.., u 'n). Ta hãy tim sự liên hệ giữa các Xi và x\. Theo giả thiết 1 ì cỏ : n n 1 ãT= V oe= y xi ẽT (2) j=l 1=1 Nhưng vi tọa độ của e'i đổi với cơ sở e là (an, j=l i=l từ đỏ ta rút ra : n Oiị X i (4) i=l (4) gọi là cồng thức đoi tọa độ khi chuyền từ cơ sở £' sang e. 7. Đề eho gọn, ta sẽ đưa vào cách viết theo ma trận của công thức (4). Ta ký hiệu [x] là ma trận sau đáy : •Ti *2 [*]• = Xa 1ft
B ỏ là ma trận gồm Ì cột là tọa độ của vectơ X đ ổ i v ớ i cơ sở £, n ỏ g ọ i là ma trận cột tọa độ của X đ ổ i vời e. T ư ơ n g tự, kỷ. hiệu [x'] là ma trận cột tọa độ của X đ ố i v ớ i £'. Khỉ đó công thức (4) đưảc viết là 9 [X] = A* [x ị (5) trong đó A là ma trận chuyền t ừ £ sang t \ và Ả* là ma trận chuyến vị của ma trận Ả. vế phải của (5) là tích của ma trận A* với ma trận ịx']. Vì A*, cũng n h ư A, là ma trận không suy biến nên t ừ (5) ta suy ra : A [;r'] = A*~ [x] (6) (5) và (6) cung chính là công thức đoi tọa độ từ cơ sở £ sang e'. 8. ơ mục 7 ta đã chửng minh rằng còng thức đoi tọa độ luôn luôn cỏ dạng [x"]=Bfx] (7) trong đó B là một ma trận vuông cấp lì không suy biển. Ngưảc lại nếu trong Vn cho trước một cơ sở e thì với mỗi một ma trộn vuông cấp lĩ không say biển Zi, bao giờ ta cũng xác định đưảc một cơ sở £' duy nhất sao cho công thức đ ổ i tọa độ từ e sang é' là công thức (7). Điều đ ỏ dĩ nhiên, vì ta chỉ cần chọn cơ sở é' sao cho B*~ là ma t r ậ n chuyền t ừ e sang e\ Theo mục 5, l cơ sở e' n h ư vậy đưảc h o à n toàn xác đinh. § 6. KHÔNG GIAN CON CỦA KHÔNG GIAN VECTƠ Ì. Đ ị n h nghĩa — Cho một không gian vecỉơ V. Một tập hợp con M của V sẽ gọi là không gian con của V nếu tập hợp M cùng vơi hai phép toán của V lại làm thành một không gian vectơ. Theo định nghĩa này thi bản thân V lồ một khônff gian con của V và tập hảp chỉ gồm cỏ 0 của V cưng là một không gian con của V. Nếu trong không gian vectơ V ta lấy một hệ tùy Ỷ ị ơi, a . 2
a ị các vectơ của V và gọi M là tập hợp các ;C £ V sao cho X m cỏ dạng : m : —*• —*• X = > \ i «i i=l thì khi đó rổ r à n g tập hợp M l à m t h à n h một không gian con của V, M gọi là không gian con sinh bởi các vectơ Oi, a a . Nếu 2 t m các vectơ đó làm thành một hệ độc lập tuyến tính thì M là một không gian vectơ m chiêu cố cơ sở là ị a ít tt ,a ị 2 m 9 2. ĐỊNH LÝ — Điều kiện căn và đủ đề một tập họ-p con không rỗng M của không gian vecto" V làm thành một không gian con của V là : vó-ỉ mọi X và y thuộc M và mọi số thực X , \l thì \ X + + ụ* y cũng thuộc M. Chửng minh. Điều kiện cần rắt h i ề n nhiên. Đề chửng minh điều kiện đ ủ , ta phải thử l ạ i 6 tiên đề Vi — v đ ổ i với táp hợp 6 M thỏa m ã n điêu kiện nói trong đ ị n h l ỹ ( v ớ i các phép toán xác định n h ư trong V) Các tiên đ i Vi, v — v đúng trong V nên 3 6 cũng đúng trong M. Ngoài ra tập hợp M phải chửa vectơ 9 vi 0 = 0:r - f Oa; v ớ i một vectơ n à o đó X e M. Vậy trong M cỏ vectơ không, tức là tiên đề v cũng đúng. Định lý đã được chửng minh. 2 3. Đ ị n h nghĩa — Trong không gian vectơ V cho các không gian con M M , . . . , Mk (k > 1). Tập hợp M gôm tất cả các vectơ u 2 X cỏ dạng : X = Xi + x 2 + ... + Xk (1) trong đỏ Xi e Mi, ỉ = í , 2,...,.k sẽ gọi là tồng của các khổng gian con Mu i = Ì, 2, ...y k và ký hiệu là : k M = M + M + ... + M k = í 2 V ỵ i- i=l Nếu mỗi vectơãTchĩ cỏ thề biêu thị một cách duy nhất 20
d ư ớ i dạng ( ì ) thi M gọi là tồng trực tiếp của các không gian con Mì và ký hiệu : k M = M 0 M 8 ... (B Mk = o t 2 V Mi. í 1=1 Tập hợp z gồm tắt cả các vectơ nằm trong tất cả các không gian Mi gọi là giao của các Mị và kỷ hiệu z = n Mi. (như v ậ y giao được hiền theo nghĩa thông thường của lý thuyết tập hợp). 4. ĐỊNH LÝ — Tồng, tồng trực tiếp và giao một số hữu hạn các không gian con của một không gian vecto* V đều là các không gian con của không gian vecto* V. Chứng minh. Giả sử Mị, i = Ì, 2, Ả- là các không gian con của không gian vectơ V và Ai = Afj - f M + ... + Afk. Nếu 2 X e M và y G M thì theo đính nghĩa 3 ta cỏ : k .T = Xỉ, v ớ i Xi G Mi, ỉ = Ì, 2 , k i=l k T— V W. v ở i ỹTe Mi. ì — 1*2, /c i=l Từ đ ỏ , n ế u X v à ỊA' l à c á c s ổ t h ự c , t a c ỏ : k k k ™+ * ý ÍT+1^ y ỹĩ= YVx ÍT + Hi ị i=l i=l i=l V ì Mi l à k h ô n g g i a n con c ủ a V n ê n \Xi + Mí/i G Mi. Ẹ ở i vậy xa; 4- ụ^G M, tức M là k h ô n g gian con của V. Tồng trực tiếp là t r ư ờ n g h ợ p riêng của tống nên cũng l à k h ô n g gian con. 21
Cuối cùng gọi z = n Mi, và X , y E z. Khi đỏ .T G Mi và y G M i i=l với mọi ỉ S Ê Ì, 2,..., n. Bởi vậy xa: -f- Ịiụ G Mị với mọi ỉ, nên x ì 4- ịĩy £ z. Vàv z\ỉ\ khống gian con của V. Định lý đa được chứng minh. 5. Trong tập hợp các không gian con của không gian vectơ V ta định nghĩa quan hệ bé hơn, lởn hơn như sau : Nếu M và AT là không gian con của V và M CI ÁT thi khổng gian con Ai gọi là béhơn khống gian con Af và không gian con ÁP gọi là lớn hơn không gian con M. Ta có : ĐỊNH LÝ — Tồng các k h ô n g gian con là không gian con b é nhất chứa tất cả các không gian con đó. Giao của các không gian con lạ không gian Ió*n nhất bị chứa trong mỗi khôiig gian con đó. Chứng minh. Giả sử M 3 = Mị + Af + . . . + i W trong đỏ 2 k t Mị là khổng gian con của không gian vectơ V, ì = Ì, 2, A\ Khi đỏ dễ thấy M ^> Mi với mọi í, tức M là không gian con chứa tốt cả các không gian con Mị. Bê chửng minh rằng Mìk không gian bỏ nhất trong các không gian con chứa tất cả các Mi, ta hầy giả sử w là không gian con của V sao cho WZDMU ì — 1 , 2 , k , ròi chửng tỏ rằng A/c w. Tì Ta lấy ~XG M. Theo định nghĩa ãT= ãĩ lĩ € Mi, í = ỉ=l == Ì, 2, k. Như vậy~Xi e w và do đỏ"ãT e w. Vậy A / c vv. Ta chửng minh phần thứ hai của định lý. Giả sử z = n Mi i=l Khi đỏ cổ nhiên ZaMi. Bây giờ lại giả sử ĩ / l à khống gian con của V sao cho UcMi. Ta phải chửng minh rằng Z~DIĨ. Điêu đỏ hiền nhiên vì nếu X G u thì .X G Mi, ỉ = Ì, 2, & và do đỏ 22