Toán học - Lịch sử hình học: Phần 1

Chia sẻ: Lê Na | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:82

Thêm vào BST

Báo xấu

214
lượt xem 76
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tài liệu Lịch sử hình học của tác giả Như Văn Cương trình bày khái quát về lịch sử phát triển của môn hình học từ khi mới hình thành đến những năm đầu của thế kỷ 20 với các môn chủ yếu: Hình học giải tích, hình học vi phân, hình học xạ ảnh, Riman, hình học hoạ hình, tôpô học... Tài liệu gồm 2 phần, phần 1 sau đây gồm nội dung 5 chương đầu. Mời các bạn tham khảo.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Toán học - Lịch sử hình học: Phần 1

Đ Ạ I HỌC VINH THƯ V I Ệ N NHƯ C Ư Ơ N G 516.9 VA-C/77 ÌDT. 006348 Lịch sử HÌNH HOC N H À XUẤT BAN KHOA HỌC V À KỸ THUẬT
VĂN NHƯ CƯƠNG LỊCH sử HÌNH HỌC NHÀ XUẤT BẢN KHOA HỌC VÀ K Ỹ T H U Ậ T Hà N ộ i — 1977
LỜI NÓI BẦU Nhà xuất bản khoa học và kỹ thuật có ý định cho ra mắt độc giả một bộ sách về lịch sứ toán học, theo từng bộ môn: hình học, đại sò, số học, giải tích toán học,... Đó là một ý định rất phù hợp với thực tề, vì hiện nav nhầng^tài liệu về lịch sứ toán học bằng tiếng Việt hầu như- chưa cỏ (nói đúng hơn mái chi có một cuồn địcli « Lịch sư toán học » cùa Nhà xuất bản Giáo đục, dịch từ nguyên bản tiếng Nga của tác giả Rvpnhicôp). Sự ít ỏi đó là một thiều sót, mà ta nin nhanh chóng khắc phục, bài vì nó sẽ ánh hưởng không it đến việc học tập, tìm hiếu và nghiên cứu toán học cùa các tầng lớp thanh niên. Tác giả nhận viết cuồn «Lịch sư hình học» vái một nỗi lo lắng băn khoăn xuất phát từ sự hiếu biềt còn ít ỏi của mình cá về mặt hình học lần về mặt lịch sư toán học. Bời vậy, viết cuốn sách nhỏ này, tác giả không có tham vọng lởn, mà chi tự dặt cho mình mút mục tiêu khiềtìt (Ồn. Đó là, nêu lên một cách khái quát, trên nhầng phương hướng chính, lịch sử phát triền hình học, từ khi mới hình thành cho dền nhầng năm đần tiên của thế kỷ chúng m. 3
Do đó, tác giả không thề dề cập đền mọi sự kiện của hình học (chẳng hạn nhít- lịch sư phát triển l úa môn lượng giác dược nói tới rất ít tron? cuốn sách này). Tác già cồ gắng tập trung vào những môn chả vèa nhít : hình học giải tích, hình học vi phân, hình Mbc xạ ảnh, hình học hypecbôờic, hình học Riman, một ít về hình học họa hình và tôpô học. Tron? những vấn đề được nói đèn, tác giá cũng không thế nêu lên kết các nhà hình học và những tác phẩm của họ. Tác giả chí có thế nói chi tiết về một số nhà hình học lớn (như ơcờit, Acsimet, Apôờôni, Ođôcx, Đêcac, Pecma, Niutơn, ơờe, Đedac, Lôbasepxki, Riman, Gaux, V.V...J mà cóng trình của họ đóng một vai trò lớn trong toàn bộ sự phát triền của hình học. Tác giả không có trong tay mình những tác phàm gốc, và thường phải thông qua một tác giả thứ hai, có khi là thứ ba. Điều đó cố nhiên làm cho nhận định cùa mình kém phàn khách quan. Nhưng trong điếu kiện hiện nay cùa chúng ta, điều đá rất khó khấc phục. Mong rằng cuồn sách nhỏ này thỏa mãn được phẩn nào sự tờm hiểu của độc giả. Tác giả
Chương I SỰ HÌNH THÀNH NHỮNG KHÁI NIỆM ĐẦU TIÊN VỀ HÌNH HỌC. HÌNH HỌC THỜI AICẬP VÀ BABILON CỒ ]. Những tài l i ệ u lịch s ử về t h ờ i kỳ ban đầu cùa toári^iọc n ó i chung, và cỏa hình học nói r i ê n g , còn lưu lại đến ngày nay cho chúng ta thật là ít ỏ i và r ờ i rạc. B ó i vậy?, q u ả là k h ó k h ă n n ế u c h ú n g ta muốn vẽ nên một bức tranh chi t i ế t và chính xác về sự xuất hiện và p h á t t r i ể n cùa m ò n h ì n h học, đặc biệt là t r o n g n h ữ n g giai đ o ạ n đ ầ u cỏa nó. T u y vậy t ì n h h ì n h k h ô n g đ ế n n ỗ i l à m cho c h ú n g ta h o à n t o à n b ó tay. D ự a vào n h ữ n g t h à n h t ự u n g h i ê n c ứ u tịch sử t o á n học, đặc b i ệ t là trong n h ữ n g n ă m gần đ â y , ta có t h ề t h u đ ư ợ c m ộ t b ứ c p h á c họa t ư ơ n g ' đ ố i tổng q u á t về thời kỳ SO" khai cùệ hình h ọ c . M ặ c đ ầ u n h i ề u chi t i ế t cỏa n ó còn p h ả i b à n c ã i , n ó i chung ta v i n có t h ề n h ì n n h ậ n đ ư ợ c vấn đề t r ê n n h ữ n g nét l ớ n . C ũ n g n h ư k h á i n i ệ m ve số, n h ữ n g khái n i ệ m đầu t i ê n v ề h ì n h học x u ấ t h i ệ n t r o n g t h ờ i kỳ s ơ khai cỏa loài n g ư ờ i . Sự nẩy sinh n h ữ n g k h á i n i ệ m đ ó gắn liền 5
mật t h i ế t v ớ i / h o ạ t động t h ự c t i ễ n phong p h ú c ù a loài người. Từ khi con người không còn đi h á i , lượm n h ữ n g t h ứ c ăn có sẵn t r á n g t h i ê n n h i ê n , mà t ự mình sản x u ấ t đ ề tạo ra n h ữ n g đ i ề u k i ệ n sống cỏn t h i ế t chõ m ì n h , n g ư ờ i ta b ắ t đỏu phải tiếp xúc nhiều đến cá'.: đ ạ i l ư ợ n g và các quan h ệ k h ô n g gian của c á c v ậ t thế. Những khái n i ệ m này ngày càng trỏ- n ê n phong p h ú , hoàn thiện và n g à y c à n g được con n g ư ờ i hiếu biẻt mệt cách kỹ càng do những hoạt động ngày càng" nhiều mặt cùa h ọ đ ề đ ấ u t r a n h cải tạo thiên nhiên, Công v i ệ c cày cấy mặc dỏu c ò n t h ô sơ vẫn đòi hòi p h ả i đ o đạc c á c đ á m đ ấ t , c â n đ o n g và p h â n chia l ư ơ n g thực, hàng h ó a . . . C ô n g v i ệ c x â y cất nha cưa đòi hỏi phải tìm ra n h ữ n g quy tắc đ ể v ạ c h c á c đ ư ờ n g thẳng, dựng những chiếc cột hay bức tưÒỊjig t h ẳ n g đứng... Đ ề có t h ể tính t o á n t h ờ i v ụ , cỏn quan sát sự d i c h u y ế n của m ặ t t r ă n g , m ặ t t r ờ i , c á c vì sao, và do đó đ ư a đến v i ệ c đ o đạc c á c g ó c , v . v . . . T ấ t cả n h ữ n g điều đó đều khống t h ể t h ự c h i ệ n đ ư ợ c nếu không biết đến những kiên t h ứ c c ơ ' b ả n về h ì n h học. Loài n g ư ờ i t h ờ i đồ đá m ớ i đ ã có những hiểu biết khá phong p h ú v ề c á c h ì n h d ạ n g h ì n h học. Các hình trang t r í t r ê n đ ồ £ ố m , và về sau t r ê n đ ồ đ ồ n g , do khai quật đ ư ợ c , đ ã c h ứ n g .tỏ đ i ề u đ ó . N h ữ n g trang t r í đ ó t h ư ờ n g gồm n h ữ n g h ì n h h ì n h học b ằ n g nhau, đ ố i x ứ n g , hoặc đống dạng, đWc sắp xếp một cách hài hòa, đ ẹ p mắt. N h ư v ậ y là loài n g ư ơ i t h ờ i bấy g i ờ đ ã nắm được đền một mức độ nào đó các h ì n h dạng hình học và c á c quy tắc đ ề d ự n g c h ú n g
Hình I N g h ệ thuật trang trí ờ v ù n g lưu vực sông Tigrơ và Ephơrtil 7
2. Phương đông (trong đ ó c h ù y ế u là A i cập v à B a b i í o n ) đ ư ợ c xem là cái n ô i c ù a h ì n h h ọ c . N h ữ n g t à i l i ệ a p h á t h i ệ n đ ư ợ c trong; n h ữ n g n ă m gần đ â y đ ã cho p h é p c h ú n g ta x á c đ ị n h đ ư ợ c t r ì n h đ ộ v ề h ì n h học cùa n g ư ờ i A i cập và Babilon c á c h đ â y 3, 4 n g à n n ă m t r ư ớ c c ô n g n g u y ê n . Đ ó là t h ờ i kỳ p h á t t r i ề n nhất của h a i n ề n văn hóa P h ư ơ n g Đ ô n g : nền văn hóa Ai cập ( v ù n g l ư u v ự c sông N i n ) và nền vãn hóa Babiỉon ( v ù n g l ư u v ự c s ô n g T i g r ơ và sông E p h ơ r a t ) . Đ ồ n g t h ờ i v ớ i hai n ề n v ă n hóa đ ó c ò n có nền văn hóa Ân độ ( v ù n g l ư u v ự c s ô n g A n và s ô n g H ằ n g ) , nền văn hóa Trung hoa ( v ù n g s ô n g H o à n g và sồng D ư ơ n g t ứ ) , và m u ộ n h ơ n m ộ t ít, có c á c nền văn hóa Trung Á, Đông Dương và Inđônêxia. Ta k h ô n g b i ế t gì n h i ề u l ắ m v ề h ì n h học t h u ộ c c á c n ề n v ă n hóa n à y v ì c h ư a t ỉ m thấy n h ữ n g tài l i ệ u có căn c ứ . N h ư n g , dựa v à o t r ì n h đ ộ chung, có t h ề chắc chắn r ằ n g t o á n học ỏ- v ù n g n à y so v ớ i A i Cập và Babilon t h ì k h ô n g phát t r i ể n bằng. N h ữ n g h i ể u b i ế t của c h ú n g ta về t o á n học A i cập c h ù y ế u d ự a v à o hai bản c h é p tay. N h ữ n g b ả n n à y v i ế t t r ê n m ộ t t h ứ v ỏ c â y giống n h ư giấy, và đ ư ợ c cất d ấ u t r o n g n h ữ n g h ẩ m m ộ c ổ . Bản t h ứ nhất g ọ i là b ả n R a i đ (Rhind) (lấy t ê n n g ư ờ i đ ã t ì m ra nó n ă m 1858), có k í c h t h ư ớ c 5,25 m X 33 em bao gồm 84 b à i t o á n . H i ệ n nay một phần b ả n đó đ ư ợ c l ư u t r ữ t ạ i v i ệ n bảo t à n g « A n h q u ố c í; b L u â n đ ô n , và mót' p h ầ n & N i u I o o c . B ả n t h ứ hai gọi là b ả n M a x c ơ v a do G ồ l ê n i s ô p t ì m t h ấ y v à o c u ố i t h è kỷ t r ư ớ c , có k í c h t h ư ớ c 5,44 ra X 8 em, g ồ m 25 b à i t o á n và h i ệ n đ ư ợ c l ư u t r ữ t ạ i v i ệ n bảo t à n g nghệ t h u ậ t Puskin ( M a x c ơ v a ) . Cả hai b ả n đềtị đ ư ợ c p h i ê n dịch ra n g ô n n g ữ n g à y nay. N ộ i dung c á c b à i t o á n t r o n g 8 9
bai b ả n đ ó p h ầ n l ớ n b à n về số học. T u y v ậ y n h ữ n g v ấ n đ ề h ì n h học t r o n g đó cũng g i ú p c h ú n g ta h ì n h dung m ộ t p h ầ n n à o c á c k i ế n t h ứ c cùa n g ư ờ i A i cập h ồ i bấy g i ờ . N g ư ờ i A i cập cổ đ ã b i l t các p h ư ơ n g p h á p t í n h d i ệ n ' t í c h và t h ề t í c h . D i ệ n t í c h h ì n h c h ữ n h ậ t , h ì n h tam g i á c , h ì n h thang, đ ư ợ c t í n h theo c ô n g t h ứ c đ ú n g n h ư n g à y nay. D i ệ n t í c h h ì n h c h ữ n h ậ t v ớ i các cạnh t u ầ n t ụ In a, b, c, à đ ư ợ c t í n h theo c ô n g t h ứ c 1 s = - (a 4 - c) X (d - ì - b) (công t h ứ c n à v t r o n g t r ư ờ n g 2 2 hợp tổng q u á t t h ỉ gặp p h ả i sai số khá l ớ n ! Có l ẽ nó đ ư ọ x áp d ụ n g cho các h ì n h t ứ giác gần giống v ớ i hình chữ nhật). Đ ể tính d i ệ n t í c h h ì n h t r ò n có đ ư ờ n g k í n h d, n g ư ò i Q ta x e m n ó b ằ n g d i ệ n t í c h h ì n h v u ô n g có cạnh - d : 9 s — ^ n h ư v ậ y là ứ n g v ớ i số 7T là 8 4 X ^ ^ ^ 3 , 1 6 0 5 ; sai số nhỏ hơn 2%. T h ề t í c h c á c h ì n h h ộ p , h ì n h lập p h ư ơ n g , h ì n h l ă n g t r ụ , h ì n h t r ụ đ ể u đ ư ợ c t í n h bằng c á c h l ấ y d i ệ n t í c h đ á y n h â n v ớ i chiều cao. M ộ t t h à n h t ụ u s á n g c h ó i n h ấ t và cũng đ á n g l à m cho c h ú n g ta ngạc n h i ê n n h á t cùa n g ư ờ i A i cập Ih c ô n g t h ứ c t í n h t h ể t í c h h ì n h c h ó p c ụ t có đ á y là h ì n h v u ô n g : z h V-^ (a* + ab + b )X - -, 3 t r o n g đ ó , a, b lần l ư ợ t là cạnh cùa đ á y t r ê n và đáy d ư ỏ - i , h là c h i ề u cao cùa h'.nh c h ó p c ụ t . C ô n g t h ứ c này đ ã l à m cho m ộ t sổ n g ư ờ i d ụ đ o á n r ằ n g n g ư ờ i A i cập đ ã b i ế t đ è n đ ị n h lý Pythago. Đ i ề u í!
đó còn đ á n g ngõ'. Cũng có m ộ t số t r u y ề n t h u y ế t khống có căn cứ l ắ m cho rằng n g ư ờ i A i cập đ ã b i ế t d ự n g góc v u ô n g n h ờ m ộ t s ợ i dây kín gồm 3 4-4 + 5 = 12 đ o ạ n Z 2 a bằng nhau (áp dụng c ô n g t h ứ c Pythago : 3 4 == > )• 3. T ì n h h ì n h t o á n h o e của Babilon cổ đ ư ơ c s á n g T ồ n h ờ n h ữ n g t à i l i ệ u t ì m t h ầ y t r o n g các c ô n g t r ì n h k h á o cổ ờ v ù n g n à y . N h ữ n g t.ìi l i ệ u n à y t h ư ờ n g là n h ữ n g v ă n bản t r ê n n h ữ n g b à n bằnc; đ ầ t sét n u n g (giống; n h ư đó s à n h của ta) c h ữ đ ư ợ c khắc bắng m ũ i đ a o n h ọ n . N g ư ờ i ta t ì m thầy khoảng 50 v ạ n b á n n h ư t h ề , t r o n g số đ ó có 150 bần v ớ i c á c b à i t o á n có l ờ i và 200 b à n g số. N h ữ n g cố gắng đ ề t ì m c á c h đọc và p h â n t í c h c á c Tài l i ệ u đó đ ã mờ r a t r ư ớ c mắt c h ú n g ta m ộ t t h ế g i ớ i t o á n học của n g ư ờ i Babilon v à o k h o á n g 4000 n ă m t r ư ớ c công n g u y ê n . T r o n g công v i ệ c n à y N â y g h ê b a u e là n g ư ờ i có n h ữ n g đ ó n g góp l ớ n . Các c ô n g t r ì n h c ù a ônơ v à o những năm 30 cùa Thè kỷ này đã Lìm cho công cuộc nghiên cứu các b á n đát sét nun? p h á t triển mạnh mẽ. * "V Những kiến thức hình học cùa n g ư ờ i Babiloií phần lớn có liên quan đ e n việc đ o đạc các h ì n h đem giàn thường gặp khi phân chia mộng đầt, xây dựng nhà cửa, dầp đ ậ p , đào sông . . . Bên cạnh các công thức đ ú n g , h ọ c ô n sử dụng c á c c ô n g t h ứ c gần đ ú n g . Ví d ụ : t h ể t í c h h ì n h c h ó p cụt đ á y v u ô n g được t í n h theo c ô n g t h ứ c : V — (a 2 a 4- 6 ) T h ề t í c h h ì n h n ó n cụt cũng 2 được tính t ư ơ n g t ự như, thề, Đ ộ dài đ ư ờ n g tròn đ ư ợ c xem gầp ba l ầ n đường k í n h , n h ư v ậ y là ứ n g v ớ i giá t r ị t h ô s ơ cùa số r. l à 3. C2 Diện tích hình tròn đưọc tính là 5=" -(trongđó c 10.
là đ ộ đ à i đ ư ờ n g tròn. Trong một số bản khác, u Thay có giá trị gần đúng TI = 3 --=3,125. 8 Đặc biệt người Babilon đã biết công thức Pythago. Không rõ bằng cách nào họ đã đi t ớ i định lý n ổ : tiếng ấy, nhưng trên một số bản còn ghi lại những bộ ba số Pythago (tức là ba số hồp thành ba cạnh của tam giác v u ô n g ) . M ộ t t r o n g n h ữ n g b ả n n h ư v ậ y c ó 15 gióng gồm c á c số Pvthago. B ê n cạnh n h ữ n g gióng gồm những số đơn giản n h ư 60, 45, 75 (tức 15.4, 15.3 và 15.5) ta còn thấy những gióng rất phức tạp như 72, 65, 97 v à 3456, 3367, 482'j. * T r o n g m ộ t số b ả n , c ó v ẽ c á c h ì n h đ a g i á c đ ề u 5 cạnh, 6 cạnh, 7 cạnh, và kể bên ghi các hằng số : 1,40 bên cạnh S3; 2,37 bên cạnh Se; 341 bên cạnh Sĩ M . E . Boruinx đã giải thích ý n g h ĩ a c á c số đ ó n h ữ sau : cliúng cho biết điện tích các đa giác đểu tương ứng nếu cạnh bằng đ ơ n v ị f v i ệ c tính toán dựa trên công t h ứ c c gần đúng a n
B i ế t đ ư ọ ' c c á c h ằ n g số Sạ, S 3 , Si, n g ư ờ i B a b i l o n có t h ề t ì m đ ư ợ c đ i ệ n t í c h m ộ t đa giác đ ề u đ ồ n ? d ạ n g v ớ i m ộ t t r o n g c á c đa giác đ ó m à cạnh k h ô n g b ằ n g 1. M u ố n vậy c h i v i ệ c n h â n hằng số t ư ơ n g ứ n g v ử i b.ìnli p h ư ơ n g đ ộ đ à i của c ạ n h . N h ư vậy là h ọ đ ã b i ế t m ộ t số t í n h chất cùa h ì n h đồng d ạ n g . T u y vậy t r o n g các tài l i ệ u h i ệ n có ta k h ô n g t ì m thấy k h á i n i ệ m đ ồ n g dạng và c á c t í n h chất đ ơ n g i ả n . 4 . N h ư vậy ta t h ấ y r ằ n g h ì n h học t h ờ i A i c ậ p và Babilon đ i f ợ c hình thành n h ư là tập hợD m ộ t số khái n i ệ m v à c á c c ô n g t h ứ c t í n h t o á n cho phép đo đạc t r ê n các h ì n h . C ă n c ứ vào n h ặ n g t à i l i ệ u h i ệ n có thì h ì n h học ờ Babilon đ ã p h á t t r i ề n 6- m ứ c đ ộ cao h ơ n h ì n h học ớ A i cập. T u y v ậ y , & cả hai n ơ i đ ó , h ì n h học c ò n xa m ớ i đ ạ t đ ế n t r ì n h đ ộ của m ộ t khoa học suy d i ễ n , n h ư sau n à y đ ã h ì n h t h à n h ỏ- H y l ạ p . T h ậ t v ậ y , mặc dầu đ ã t í c h l ũ y đ ư ợ c m ộ t số k h á l ớ n k h á i n i ệ m và m ộ t số l ớ n c ô n g t h ứ c « p h ứ c t ậ p , n h ư n g sự liên h ệ lôgic giặa c h ú n g v ẫ n c h ư a h ì n h t h à n h , và do đó các bài toán riêng l ẻ c h ư a đ ư ợ c thống nhất l ạ i trong m ộ t h ệ t h ố n g chung. H ì n h học ờ A i cập và Babilon đ ã ảnh h ư ờ n g n h i ề u đ è n sự p h á t t r i ề n h ì n h học cùa t h ế g i ớ i sau này. C h í n h n h ặ n g n g ư ờ i H y lạp sau n à y đ ã k ề l ạ i rằng h ọ đ ã t h u t h ậ p đ ư ợ c k h á n h i ề u h i ể u b i ế t v ề t o á n học khi đ i qua A i cập và Babilon. N 12
Chương ỉỉ HÌNH HỌC Ở HY LẠP CÒ 1. Vào t h ế kỳ V t r ư ớ c C N ( c ô n g n g u y ê n ) á c h thống t r ị c ù a n g ư ờ i Ba t ư & các quốc gia H y l ạ p b ắ t đ ầ u sụp đ ổ . Sau k h i đ ã thống nhất l ự c l ư ợ n g do t h à n h Aten đ ữ n g đ ầ u , n g ư ờ i H y lạp n ổ i lên đ á n h đuổi n g ư ờ i Ba t ư v à đ ã hai l ầ n g i à n h t h ắ n g l ợ i : m ộ t l ầ n ỏ- M a r a t ô n g v à o n ă m 490 t r ư ớ c C N , và l ầ n t h ữ 2, m ư ờ i n ă m sau ờ X a l a m i n . Chịền thắng sau n à y đ ã k ế t t h ú c cuộc c h i ế n t r a n h d ữ d ộ i giữa* các đ ộ i q u â n của c á c quốc gia d â n chủ chủ n ô ỏ- H y lạp v à đ ộ i q u â n n ô l ệ của h o à n g đ ế Ba t ư . Sau k h i c h i ề n thắng n g ư ờ i Ba t ư , Aten t r ơ t h à n h t r u n g t â m c h í n h t r ị và v ă n hóa c ù a Hy lạp T ừ cuối t h ế kỷ V t r ư ớ c C N đ è n đ ầ u t h è kỷ I V t r ư ớ c C N là t h ờ i đ ạ i h o à n g k i m của A t e n . Rất n h i ề u n h à b á c học có t ê u t u ổ i t ừ k h ắ p n ơ i đ ã t ớ i đ â y l à m v i ệ c :
Anstôten-đẵ xây đựng viện hàn lâm nổi tiêng, hình ảnh t ư ơ n g lai của các trường đại học. 2. Hỉnh học Hy lạp t ừ thê kỳ I V t r ư ớ c CN đã có nhiều biến chuyển sâu sắc. T r ư ớ c đó n g ư ờ i Hy lạp đã tícn lũy được mỷt số kiến thức t ư ơ n g t ự n h ư n g ư ờ i P h ư ơ n g Đông. N h ư n g t ừ thế kỷ I V t r ư ớ c CN trỏ" đi, hình học nhanh chóng t r ớ thành mỷt khoa học suy diễn và t r ừ u t ư ợ n g . Sự chứng minh bằng lôgic 1 đã trỏ thành p h ư ơ n g pháp cơ bản đề khẳng định tính chân thật cùa mỷt mệnh đề toán học. T r ư ớ c kia các nhà toán học đặt câu hỏi "làm thế nào ? » t r ư ớ c mỷt bài thì bây giờ họ đặt thêm câu hỏi «tại sao ? ».\ Mỏ' đầu t h ờ i kỳ mới này của hình học chúng ta thấy nổi lên tên tuổi của Thales ố thành Milê, mỷt nhà buôn, nhà hoạt đỷng chính'trị, nhà triết học, toán học, y thiên văn họCj n g ư ờ i đặt n ề n m ố n g cho khoa học và triết học Hy lạp, sống ^ ^ " k h o ả n g 624 t r ư ớ c CN đến 548 trước CN. Ông và các học trò n h ư Anaximan và Anaximen thuỷc vào trường phái duy vật thô sơ, cho rằng những hiện tượng t ự nhiên đểu là vật chất và đểu bắt nguồn t ừ mỷt «nguyên thể)) duy n h á t . Thales cho rằng «nguyên thế)) cùa vật chất là n ư ớ c , còn Anaximen thì cho đó là không khí. Trong phạm vi hình học,"^hales đã chứng minh đ ư ợ c : góc nỷi t i ế p trong nưa đường tròn là góc v u ô n g ; các góc ờ đáy của tam giác cân bằng nhau; eác góc vuông đều bảng nhau. Thales cũng biệt cách xác định mỷt tam giác bửi mỷt cạnh và hai góc kề v ớ i nó, t ừ đó ỏng*tó thẻ tính được chiểu cao cùa mỷt vật biết bóng của nó trên mặt đất, hoặc tính được khoảng cách đến mỷt vật không t ớ i gần đ ư ợ c . 14
Đ á n g t i ế c ià c h ú n g ta k h ô n g h ề b i ề t gì vè các c h ử n g m i n h củạ Thales. Có l ẽ ó n g cũng sử dụng rộng rãi g i ư ơ n g p h á p £ằp và chốxiỉ; c á c h ì n h , vì theo n h ư l ờ i cùa P r ô c ( t h ế ký V sau C N , n h à b ì n h l u ậ n n ổ i tiêng vé t o á n học cổ H y l ạ p ) : « K h i t h ì ô n g ( t ứ c Thales) xem xét v ấ n đ ề m ộ t c á c h tống q u á t , k h i t h ì c h ù yêu dựa vào t r ự c giác V . 3. N h ư n g có l ẽ Pythago m ớ i là n g ư ờ i mang l ạ i n h i ề u b i ề n đ ầ i s â u sắc cho h ì n h h ọ c . Theo l ờ i của P r ô c , Pythago n g h i ê n c ứ u h ì n h học " x u ấ t p h á t t ừ m ộ t số - c ơ sò* đ ầ u t i ê n của n ó . và cố gắng c h ứ n g m i n h c á t đ ị n h lý b ằ n g suy l u ậ n l ô g i c , c h ứ k h ô n g p h ả i bằng c á c h dựa v à o t r ự c g i á c ,,. N h ư v ậ y Pythago là n g ư ờ i đ ầ u t i ê n xây d ự n g h ì n h . J i ọ c n h ư là m ộ t khoa học suy d i ễ n . Sau đ â y là m ộ t so c h i t i ế t ít ói m à c h ú n g ta b i ế t đ ư ợ c v ề cuộc đ ờ i của Pythago, con n g ư ờ i gần n h ư t r ờ t h à n h t h ẩ n t h o ạ i . Ổng sinh ố đ ả o X a m ô s , m ộ t đảo b u ô n b á n g i à u c ó , và khoảng n ă m 530 t r ư ớ c C N ô n g t ớ i K r ô t ó n (nam Ý) ớ đây ông đ ã l ậ p n ê n m ộ t h ộ i l ấ y tên là « h ộ i Pythạgo theo đ u ổ i n h ữ n g mục t i ê u v ề t o á n h ọ c . t ô n g i á o , đ ạ o đ ứ c và c h í n h t r ị . H o ạ t đ ộ n g của h ộ i r ầ t bí m ậ t , và t ấ t cả n h ữ n g p h á t m i n h khoa học của h ộ i đ ề u đ ư ợ c g á n cho m ộ t m ì n h Pythago. Vào đ ầ u t h ế kỳ V t r ư ớ c C N , sau n h ữ n g hoạt động c h í n h t r ị thất b ạ i , h ộ i bị đ u ổ i ra k h ỏ i các t h à n h phố nam Ý, và c h ấ m d ứ t s ự t ầ n t ạ i của m ì n h . J T u y v ậ y , sau đ ó & X i b a r i t , K r ô t ô n , Tarent và ỉy m ộ t sò t h à n h p h ố H y lạp có n h i ề u n h à b á c học xuất sắc t ự x ư n g m ì n h là Phithagorit, t r o n g số đ ó có A c k h i t ỏ' Tarent và T h c ô đ o ố- K i r e n . 15
Pythago và các nhà Pythagorít đã có những phát minh sau đây : I ì . Định lý về tổng số góc t r o n g m ộ t tam giác; 2. Chia m ặ t phảng t h à n h các đa giác đ ề u (tam giác đ ề u , h ì n h v u ô n g , lục giác đều); 3. G i ả i p h ư ơ n g t r ì n h bậc hai bằng h ì n h học (áp đ ụ n g các p h é p t í n h về d i ệ n t í c h ) ; 4. D ự n g m ộ t đa giác có d i ệ n t í c h cho trước và đồng dạng v ớ i m ộ t đa giác cho t r ư ớ c ; 5. T ồ n t ạ i các đ o ạ n t h ỳ n g v ô ư ớ c (ý nghĩa chã p h á t m i n h n à y có t h ề so s á n h v ớ i p h á t m i n h ra h ì n h học Phi ơ đ i t ỏ- t h ế k ỹ X I X hoặc t h u y ế t t ư ơ n g đ ồ i ỏ- t h ế kỳ X X ) ; 6. Có n ă m l o ạ i k h ố i đa d i ệ n đ ề u ( p h á t m i n h n à y c h ứ n g t ò các kiên t h ứ c về h ì n h học k h ô n g gian t h ờ i bầy g i ờ đ ã k h á phong p h ú ) ; 7. Đ ị n h lý Pythago ( t r ư ớ c đ â y c h ỉ m ớ i b i ế t m ộ t số t r ư ờ n g h ợ p r i ê n g cùa đ ị n h lý n à y . T h ậ t k h ó m à đ á n h giá h ế t t ầ m quan t r ọ n g của đ ị n h lý n ế u ta k h ô n g n h ớ rằng sự mồ" rộng c ù a n ó n ằ m t r o n g đ ị n h nghĩa của t ấ t cả các k h ô n g gian metric) ( ì ) . 8. T í n h cực t r ị của đ ư ờ n g t r ò n và m ặ t cầu ( p h á t m i n h n à y có t h ề xem n h ư là n ề n m ó n g của lý t h u y ế t đỳng chu). 4. M u ố n h i ể u b i ế t t r ì n h đ ộ suy l u ậ n t r o n g hình học ỏ" t h ờ i bấy g i ờ , c h ú n g ta cần có n h ữ n g n g u y ê n b ả n . T i ế c thay, h i ệ n nay c h ú n g ta c h i m ớ i t ì m đ ư ợ c m ộ t (ì) Không gian metric là những không gian mà trong đó có thè đo được khoảng cách giữa hai điểm bất kỳ. Các số đo này phải thỏa mãn một số tiên để nào dó gọi là tiên đê của không gian metric- 16
đ o ạ n tài l i ệ u q u ý giá về h ì n h học của H y p ô c r a t ó 1 t h à n h K h i ô x , cũng là m ộ t Pythagorit (khoáng t h ế kỷ V t r ư ớ c C N ) . T r o n g đ o ạ n tài l i ệ u n à y , H y p ô c r a t t r ì n h b à y vần đ ề cầu p h ư ơ n g của c á c •< : nguyệt h ì n h ì) là 1 n t ì ữ n g h ì n h g i ớ i hạn bò ! các cung t r ò n . Đ â y là l ầ n đ ầ u tiên trong t o á n học, n g ư ờ i ta xét v ấ n đ ề cầu p h ư ơ n g cùa các h ì n h g i ớ i hạn b ớ i đ ư ờ n g cong. H y p ô c r a t đ ã c h ứ n g m i n h rằng d i ệ n t í c h hai h ì n h viên p h â n đổng d ạ n g t i l ệ v ớ i hai d à y cung c ă n g c h ú n g . D ự a t r ê n c ơ sỏ" đ ó ô n g đ ã n ê u lèn c á c h t í n h d i ệ n t í c h của m ộ t sể nguyệt hình. Suy l u ậ n t o á n học của H y p ô c r a t đ ạ t đ ế n t r ì n h đ ộ cao, trong đ ó đ ã áp d ụ n g m ộ t c á c h t r i ệ t đ ể các quy tắc suy d i ễ n chặt chẽ đ ề t ừ k ế t q u ả n à y suy ra k ế t q u ả k h á c . Đ ó chắc chắn cũng là t r ì n h đ ộ chung cùa h ì n h học t h ờ i bấy g i ờ . 5. V ấ n đ ể cầu p h ư ơ n g các nguyệt h ì n h , dẫn đ ế n v ấ n đ ề c ầ u p h ư ơ n g đ ư ờ n g t r ò n , là m ộ t trong ba b à i t o á n k h ô n g g i ả i đ ư ợ c đ ẩ u t i ê n t r o n g l ị c h s ử t o á n học, xuất h i ệ n v à o t h ế kỷ V t r ư ớ c công n g u y ê n . Ba bài t o á n đ ó là : ì . Gấp đ ô i m ộ t h ì n h lập p h ư ơ n g : t ứ c là d ự n g m ộ t h ì n h lập p h ư ơ n g có t h ể t í c h gấp đ ô i t h ế tích h ì n h lập p h ư ơ n g cho t r ư ớ c ; 2. Chia ba m ộ t góc : t ứ c là d ự n g m ộ t góc có đ ộ l ớ n b ằ n g m ộ t p h ầ n ba đ ộ l ơ n cùa m ộ t g ó c cho t r ư ớ c ; 3. Cẩu p h ư ơ n g h ì n h t r ò n : t ứ c là d ự n g m ộ t h ì n h v u ô n g có d i ệ n t í c h bằng đ i ệ n t í c h h ì n h t r ò n cho t r ư ớ p . Tít cả c á c p h é p d ự n g đ ó đ ể u đ ờ i h ỏ i phải t h ự c h i ệ n b ằ n g t h ư ớ c và compa. M ã i đ ế n t h ế kỳ X I X n g ư ờ i ta m ớ i c h ứ n g m i n h đ ư ơ c r ằ n g đ ó là jỊàữttg.-bà4tearr k h ô n g ! g i ả i đ ư ợ c , t ứ c là ta ì LSHH 17
không thề bằng một số hữu hạn phép dựng bằng t h ư ớ c và compa tìm thầy đ ư ợ c hình đòi h ỏ i : Tuy vậy việc nghiên cứu các bài toán đó đã giúp các nhà toán học Hy lạp tìm ra giao tuyên côníc ( ì ) , các đường cong bậc 3, bậc 4, v.v... Hypôcrat đã đưa bài toán t h ứ nhất về việc tìm hai đ ạ i l ư ợ n g trung bình nhân kép, tức là hai đại lượng X và y sao cho : a X y X y b K h i 2a—b, thì X sẽ là cạnh cặa hình lập p h ư ơ n g có thể tích gấp đôi hình lập p h ư ơ n g cạnh a. Ngay sau đó, Ackhit (khoảng năm 428-7365 t r ư ớ c CN) chi ra răng đ ạ i lượng X n h ư vậy có thề tìm thấy bằng cách xét giao tuyền cùa ba mặt : mặt nón, mặt trụ và mặt xuyến. N h ữ n g cố găng về sau cặa các nhà bác học nhằm vào việc tìm các p h ư ơ n g pháp dựng đoạn trung bình nhân k é p . Từ- đẳng thức Hypôcrat ta suy ra : ay = X 3 và xy = ab hay y z = bx. Nêu đ ự n g đ ư ợ c tọa độ X, y cặa giao điềm hai đường cong có p h ư ơ n g trình n h ư vậy thì sẽ giải đ ư ợ c bài toán. Chì mãi đến nửa sau thế kỹ I V t r ư ớ c CN, Menêc mới giải thích đ ư ợ c rằng những đường cong đó là giao tuyến cônic. Õng xét ba loại hình nón tròn xoay với góc ổ" đinh là vuông, tù, nhọn. Bằng cách vẽ một mặt phảng ( ì ) Giao tuyên cônic là những đường có được bằng cách cắt mặt nón b ổ i một mặt phắng không đi qua đinh mặt nón. Đ ó là cịc đường elip, parabôl hoặc hypecbôl. 18
v u ô n g g ó c v ớ i m ộ t đ ư ờ n g sinh ông n h ậ n đượ'e- ba l o ạ i đ ư ờ n g cong m à bầy g i ờ ta gọi là p.nrabôl, h y p e c b ô l và e l i p . 6. C ù n g v ớ i l o ạ i p h á t m i n h ra các đ o ạ n thắng v ô ư ớ c ( t ứ c là c á c đ ạ i l ư ợ n g vô t ỉ ) cũn? n h ư v i ệ c x á c đ ị n h t h ề t í c h của h ì n h c h ó p , chu v i của đ ư ờ n g t r ò n . . . l ầ n đ ầ u t i ê n t o á n học gặp p h ả i khái n i ệ m vô h ạ n . ố* đ â y l ậ p t ứ c - x u ấ t h i ệ n n h ữ n g k h ó k h ă n v à gây ra m ộ t cuộc k h ù n g ììoảng sâu sắc đ ầ u t i ê n , làm lung lay n ề n t ả n g cùa toán học. Đ ế xác đ ị n h t i số của hai đ o ạ n t h ẳ n g , n g ư ờ i ta đ ã d ù n g m ộ t thuật t í n h mà ta g ọ i là t h u ậ t t í n h ơclit. T h u ậ t t í n h n à y cho p h é p t ì m đ ư ợ c ư ớ c c h u n g / c ủ a hai đ o ạ n t h ẳ n g a, b cho t r ư ớ c . N ế u a — mị và b = nf t h ì a : b — in : n. N h ư n g n ế u (ỉ, b là các đ o ạ n t h ẳ n g v ô ư ớ c v ớ i nhau t h ì t h u ậ t t í n h n ó i t r ê n sẽ t r ờ n ê n vô h ạ n , và n g ư ờ i ta k h ô n g t h ể b i ế t đ ư ợ c các tỉ số đ ó có bằng nhau hay k h ô n g . Đ ể g i ả i t h í c h v ấ n đ ề đ ó , m ộ t số n h à Pythagorit đ ã g i ả t h i ế t rằng các đ o ạ n thẳng vô ư ớ c có m ộ t ư ớ c chung vô c ù n g b é , đ ó là n h ữ n g phần t ử đ ơ n g i ả n n h ấ t , xem là n h ữ n g đ i ể m . Theo h ọ đ o ạ n t h ẳ n g là t ậ p h ợ p g ồ m vô hạn các phần t ử k h ô n g c ò n chia n h ỏ đ ư ợ c n h ư v ậ y . K h i xác đ ị n h t h ề t í c h hoặc d i ệ u t í c h cùa c á c h ì n h k h ô n g g i ớ i hạn b ớ i n h ữ n g mặt phang hoặc đ ư ờ n g t h ẳ n g , n g ư ờ i ta buộc p h ả i d ù n g đ ế n m ộ t q u á t r ì n h v ô h ạ n . Ở t h ế kỳ V , A n t i p h ô n đ ã g i ả i q u y ế t b à i t o á n cầu p h ư ơ n g H ì n h t r ò n n h ư sau «Ta hãy n ộ i t i ế p t r o n g đ ư ờ n g t r ò n m ộ t đa giác đ ề u ; đ ố i v ờ i đa giác đ ể u n à y ta có t h ề bằng t h ư ớ c và compa d ư n g m ộ t h ì n h v u ô n g có c ù n g d i ệ n t í c h . Bây g i ờ ta l ạ i n ộ i t i ế p t r o n g đ ư ờ n g t r ò n J9