1
TOÁN HỌC
ĐA GIÁC
2
I.LÝTHUYẾT3
1.Đagiác.....................................................................................................3
2.Đagiácđơn..............................................................................................3
3.Đagiáclồi................................................................................................3
4.Đườngchéocủađagiác...........................................................................4
5.Đagiácđều..............................................................................................4
II.MỘTSỐKẾTQUẢTÍNHTOÁNTRONGĐAGIÁC.............................4
III.PHÂNLOẠICÁCBÀITOÁNLIÊNQUANĐẾNTÍNHTOÁNTRONG
ĐAGIÁC........................................................................................................5
IV.MỘTSỐBÀITOÁN................................................................................6
1.Tínhsốcạnhcủamộtđagiác...................................................................6
2.Tínhsốđogóctrongđagiác..................................................................10
3.BàiToánliênquanđếnđườngchéocủamộtđagiác.............................15
4.Diệntíchđagiác....................................................................................21
4.1Hàmdiệntích:..................................................................................21
4.2Diệntíchđagiácđơn........................................................................21
4.3Diệntíchcủacáchìnhphẳng............................................................21
a.Hìnhđơngiản:....................................................................................21
b.Hìnhkhảdiện.....................................................................................21
c.Cáctínhchấtcủadiệntíchđagiác......................................................21
4.4Cáccôngthứctínhdiệntích.............................................................22
5.Cáckhoảngcáchtrongđagiác..............................................................27
6.Mộtsốbàitoáncơbảnkhác..................................................................30
IV.KẾTLUẬNCHUNG..............................................................................33
1.Kếtluận:.................................................................................................33
2.Lờicảmơn.............................................................................................33
V.TÀILIỆUTHAMKHẢO........................................................................33
3
I. LÝ THUYẾT
1. Đa giác.
Đagiácncạnhlàđườnggấpkhúcncạnh(n
3)A1A2…An+1saochođỉnhđầu
AavàđỉnhcuốiAn+1trùngnhau,cạnhđầuA1A2vàcạnhcuốiAnAn+1(cũng
coilàhaicạnhliêntiếp)khôngnằmtrênmộtđườngthẳng.
ĐagiácnhưthếkíhiệulàA1A2…An.Đagiácncạnhcòngọilàn–giác.Các
điểmAigọilàcácđỉnhcủađagiác,cácđoạnthẳngAiAi+1gọilàcáccạnh
củađagiác.GócAi-1AiAi+1gọilàgócđagiácởđỉnhAi.
2. Đa giác đơn
ĐN:đagiácđơnlàđagiácmàbấtkì2cạnhkhôngliêntiếpnàocũngkhông
cóđiểmchung.
3. Đa giác lồi
ĐN: Đagiáclồilàđagiácmànónằmvềmộtphíađốivớiđườngthẳngchứa
bấtlìmộtcạnhnàocủađagiácđó.
4
4. Đường chéo của đa giác
ĐN: Mộtđoạnthẳngnối2đỉnhkhôngkềnhaucủamộtđagiácgọilàđường
chéocủađagiácđó.
ĐL: Bằng một đường chéo thích hợp mọi n– giác đơn có thể phân hoạch
thành2đagiáccósốcạnhbéhơnn.
5. Đa giác đều.
ĐN: Đagiácđềulàđagiáccótấtcảcáccạnhvàcácgócbằngnhau.
II. MỘT SỐ KẾT QUẢ TÍNH TOÁN TRONG ĐA GIÁC
VD1:Chohìnhn_giáclồi.
a.Chứngmínhrằngtổngcácgóccủahìnhn_giácbằng(n-2)1800.
b.Tínhtổngcácgócngoàicủahìnhn_giác.
Giải:
a.Vẽcácđườngchéoxuấtpháttừmộtđịnhcủan_giácđó.
Khiđócácđườngchéovàcáccạnhcủađagiáctạothànhn–2tamgiác.
Tổngcácgóccủahìnhn_giácbằngtổngcácgóccủa(n-2)tamgiácvàtổng
(n-2).1800.
b.Tổngsốđogóctrongvàgócngoàitạimộtđỉnhcủahìnhn_giácbằng
1800.
Tổngsốđocácgóctrongvàgócngoàitạinđỉnhcủahìnhn_giácbằng
n.1800.
Tổngsốđocácgóctrongcủahìnhn_giácbằng(n-2).1800.
Vậytổngsốđocácgócngoàicủahìnhn_giácbằngn.1800–(n-2).1800=
3600=4v
Tổngsốđocácgócngoàicủa1hìnhn_giáckhôngphụthuộcvàosố
cạnhcủađagiác.
VD2:Chứngminhhìnhn_giáccótổngtấtcả
฀
A
đườngchéo.
5
Giải:
Cách1:Từmỗiđỉnhcủahìnhn_giáctacóthểvẽđược(n-1)đoạn
thẳngnốitừđỉnhđóvới(n-1)đỉnhcònlạicủađagiác(trongđócó2đoạn
thẳngtrùngvớihaicạnhcủađagiác).
Quamỗiđỉnhcủahìnhn_giácvẽđượcn–1–2=n–3đườngchéo.
Dođóhìnhn_giácvẽđượcn(n-3)đườngchéo.
Vì mỗi đường chéo được tính 2 lầnnên trong hình n_ giác có tất cả
( 3)
2
n n
đườngchéo.
Cách2:Từmỗiđỉnhcủahìnhn_giáctacóthểvẽđượcn-1đoạnthẳng
nốiđỉnhđóvớin–1đỉnhcònlạicủađagiác.
+Vớinđỉnhtavẽđượcn(n-1)đoạnthẳng(trongđómỗiđoạnthẳng
đượctính2lần)=>sốđoạnthẳngthựcsựlà
( 1)
2
n n
.
+Mặtkháctrongsốnàycónđoạnthẳnglàcạnhcủahìnhn_giác.
Vậyhìnhn_giáccó
( 1)
n n
-n=
( 3)
2
n n
đườngchéo.
III. PHÂN LOẠI CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN TÍNH TOÁN
TRONG ĐA GIÁC
1.Tínhsốcạnhcủamộtđagiác.
2.Tínhsốđogóctrongmộtđagiác.
3.Bàitoánliênquanđếnđườngchéocủađagiác.
4.Diệntíchđagiác.
5.Cáckhoảngcáchtrongđagiác.
6.Mộtsốbàitoáncơbản.