Tóm tắt kiến thức cơ bản Toán 9

Chia sẻ: KIều SƠn Hoàng | Ngày: | Loại File: DOC | Số trang:21

Thêm vào BST

Báo xấu

899
lượt xem 157
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tài liệu Tóm tắt kiến thức cơ bản Toán 9 giúp các bạn hệ thống lại những kiến thức theo chương trình học môn Toán của lớp 9 như căn bậc hai - căn bậc ba; hàm số bậc nhất; hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn; hàm số y = ax2 (a#0); phương trình bậc hai một ẩn; hệ thức lượng trong tam giác vuông; đường tròn; góc với đường tròn.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Tóm tắt kiến thức cơ bản Toán 9

T¸c gi¶: §Ëu ThiÕt HiÕu Trêng THCS NghÜa ThuËn – TX Th¸i Hßa – NghÖ An Tãm t¾t kiÕn thøc c¬ b¶n PhÇn ®¹i sè Ch¬ng I c¨n bËc hai - c¨n bËc ba 1/ Kh¸i niÖm c¨n bËc hai: + C¨n bËc hai cña mét sè a kh«ng ©m lµ sè x sao cho x 2 = a. + Sè d¬ng a cã ®óng hai c¨n bËc hai lµ hai sè ®èi nhau: Sè d¬ng ký hiÖu lµ a vµ sè ©m lµ - a . + Sè 0 cã ®óng mét c¨n bËc hai lµ chÝnh sè 0, viÕt 0 0. + Sè a ©m kh«ng cã c¨n bËc hai, viÕt a víi a < 0 kh«ng cã nghÜa. 2/ C¨n bËc hai sè häc: Víi sè d¬ng a, sè a ®îc gäi lµ c¨n bËc hai sè häc cña a. Sè 0 còng ®îc gäi lµ c¨n bËc hai sè häc cña 0. + Víi hai sè a vµ b kh«ng ©m, a < b a < b. 3/ C¨n thøc bËc hai: + NÕu A lµ mét biÓu thøc ®¹i sè th× A ®îc gäi lµ c¨n thøc bËc hai cña A, cßn A ®îc gäi lµ biÓu thøc lÊy c¨n hay biÓu thøc díi dÊu c¨n. + §iÒu kiÖn cã nghÜa hay ®iÒu kiÖn x¸c ®Þnh cña A lµ A 0. + Víi mäi sè A, ta cã A2 A (h»ng ®¼ng thøc A2 A ). 4/ Khai ph¬ng mét tÝch, mét th¬ng: + Víi hai sè a vµ b kh«ng ©m, ta cã ab a. b . KÕt qu¶ nµy cã thÓ më réng cho tÝch cña nhiÒu sè kh«ng ©m. a a + Víi sè a kh«ng ©m vµ sè b d¬ng ta cã b b
5/ B¶ng c¨n bËc hai: + Muèn t×m c¨n bËc hai cña mét sè lín h¬n 1 vµ nhá h¬n 100, ta tra b¶ng c¨n bËc hai trªn giao cña dßng (phÇn nguyªn) vµ cét (phÇn mêi) råi theo dßng ®ã ®Õn cét hiÖu chØnh (phÇn tr¨m) nÕu cÇn, ta ®- îc gi¸ trÞ gÇn ®óng cña c¨n bËc hai cÇn t×m. + Muèn t×m c¨n bËc hai cña sè N lín h¬n 100 (hoÆc nhá h¬n 1), ta cÇn ph¶i theo híng dÉn: khi dêi dÊu phÈy sang tr¸i (hoÆc sang ph¶i) ®i 2, 4, 6 ... ch÷ sè th× ph¶i dêi dÊu phÈy trong sè N ®i 1, 2, 3 ... ch÷ sè sang tr¸i (hoÆc sang ph¶i) vµ sÏ ®îc N cÇn t×m. 6/ BiÕn ®æi ®¬n gi¶n c¨n thøc bËc hai: Víi hai biÓu thøc A, B mµ B 0 ta cã: A2 B A. B + Víi A 0 vµ B 0 th× A B A2 B + Víi A < 0 vµ B 0 th× A B A2 B + Víi c¸c biÓu thøc A, B mµ A.B 0, B 0 th×: A AB B B + Víi c¸c biÓu thøc A, B mµ A.B 0, ta cã: A A B B B + Víi c¸c biÓu thøc A, B, C mµ A 0, A B2 ta cã: C C ( A  B) A B A B2 + Víi c¸c biÓu thøc A, B, C mµ A 0,B 0,A B ta cã: C C( A B) A B A B 7/ C¨n bËc ba: + C¨n bËc ba cña mét sè a lµ sè x sao cho x3 = a. 2
+ Mçi sè a ®Òu cã duy nhÊt mét c¨n bËc ba. + KÝ hiÖu c¨n bËc ba cña a lµ 3 a tøc lµ ( 3 a ) 3 = a. + C¨n bËc ba cña sè d¬ng lµ mét sè d¬ng, c¨n bËc ba cña mét sè ©m lµ mét sè ©m, c¨n bËc ba cña sè 0 lµ sè 0. +a>b 3 a 3 b + Víi mäi sè a, b, 3 a .3 b 3 ab 3 a a + Víi mäi sè a, b mµ b 0 th× 3 b 3 b 3
Ch¬ng II Hµm sè bËc nhÊt 1/ NÕu ®¹i lîng y phô thuéc vµo ®¹i lîng thay ®æi x sao cho víi mçi gi¸ trÞ cña x ta lu«n x¸c ®Þnh ®îc chØ mét gi¸ trÞ t¬ng øng cña y, th× y ®îc gäi lµ hµm sè cña x, vµ x ®îc gäi lµ biÕn sè. 2/ TËp hîp tÊt c¶ c¸c ®iÓm biÓu diÔn c¸c cÆp gi¸ trÞ t¬ng øng (x: f(x)) trªn mÆt ph¼ng to¹ ®é®îc gäi lµ ®å thÞ cña hµm sè y = f(x) 3/ Hµm sè y = f(x) ®îc gäi lµ hµm sè ®ång biÕn trªn (a, b) nÕu gi¸ trÞ cña biÕn x t¨ng lªn th× gi¸ trÞ t¬ng øng f(x) còng t¨ng lªn, tøc lµ víi bÊt k× c¸c gi¸ trÞ x1, x2 (a, b) mµ x1< x2 th× f(x1) < f(x2) + Hµm sè y = f(x) ®îc gäi lµ hµm sè nghÞch biÕn trªn (a, b) nÕu gi¸ trÞ cña biÕn x t¨ng lªn th× gi¸ trÞ t¬ng øng f(x) l¹i gi¶m ®i, tøc lµ víi bÊt k× c¸c gi¸ trÞ x1, x2 (a, b) mµ x1 < x2 th× f(x1) > f(x2) 4/ Hµm sè bËc nhÊt lµ hµm sè ®îc cho bëi c«ng thøc y = ax + b trong ®ã a, b lµ c¸c sè cho tríc vµ a 0 + Hµm sè bËc nhÊt y = ax + b x¸c ®Þnh víi mäi gi¸ trÞ x thuéc R, ®ång biªt khi a > 0, vµ nghÞch biÕn khi a < 0. 5/ §å thÞ cña hµm sè y = ax + b (a 0) lµ m«t ®êng th¼ng c¾t trôc tung t¹i ®iÓm cã tung ®é b»ng b va song song víi ®êng th¼ng y = ax nÕu b 0 trïng víi ®êng th¼ng y = ax nÕu b = 0. + §Ó vÏ ®å thÞ cña hµm sè y = ax + b (a 0) ta x¸c ®Þnh hai ®iÓm ®Æc biÖt lµ giao ®iÓm cña ®å thÞ víi hai trôc to¹ ®é: ®ã lµ ®iÓm P(0; b b) vµ ®iÓm Q(- ; 0) råi vÏ ®êng th¼ng ®i qua hai ®iÓm P vµ Q. a 6/ Hai ®êng th¼ng y = ax + b (a 0) vµ y = a’x + b’ (a’ 0) song song víi nhau khi vµ chØ khi a = a’, b b’ vµ trïng nhau khi vµ chØ khi a = a’ vµ b = b’. 4
* Hai ®êng th¼ng y = ax + b (a 0) vµ y = a’x + b’ (a’ 0) c¾t nhau khi vµ chØ khi a a ’. 7/ Gãc t¹o bëi ®êng th¼ng y = ax + b vµ trôc Ox ®îc hiÓu lµ gãc t¹o bëi tia Ax vµ tia AT, trong ®è A lµ giao ®iÓm cña ®êng th¼ng = ax + b víi trôc Ox, T lµ ®iÓm thuéc ®êng th¼ng = ax + b vµ cã tung ®é d¬ng (h×nh díi) y y T y =ax +b y =ax +b T A O O A a >0 x x a
Ch¬ng IiI hÖ hai ph¬ng tr×nh bËc nhÊt hai Èn 1/ Ph¬ng tr×nh bËc nhÊt hai Èn: + Ph¬ng tr×nh bËc nhÊt hai Èn x vµ y lµ ph¬ng tr×nh cã d¹ng ax + by = c (1) trong ®ã a, b vµ c lµ cÊ sè ®· cho biÕt (a 0 hoÆc b 0). + NÕu t¹i x = x0 vµ y = y0 mµ vÕ tr¸i cña ph¬ng tr×nh (1) cã gi¸ trÞ b»ng vÕ ph¶i th× cÆp sè (x0; y0) ®îc gäi lµ nghiÖm cña ph¬ng tr×nh ®ã. §ång thêi mçi nghiÖm (x0; y0) cña ph¬ng tr×nh (1) ®îc biÓu diÔn bëi mét ®iÓm cã to¹ ®é(x0; y0) trong mÆt ph¼ng to¹ ®é Oxy. + Ph¬ng tr×nh bËc nhÊt hai Èn ax + by = c lu«n cã v« sè nghiÖm. TËp nghiÖm cña nã ®îc biÓu diÔn bëi ®êng th¼ng ax + by = c, kÝ hiÖu lµ ®êng th¼ng (d). 2/ HÖ hai ph¬ng tr×nh bËc nhÊt hai Èn: HÖ hai ph¬ng tr×nh bËc nhÊt hai Èn lµ hÖ ph¬ng tr×nh cã d¹ng ax by c (I) a' x b' y c' Trong ®è ax + by = c vµ a’x + b’y = c’ lµ c¸c ph¬ng tr×nh bËc nhÊt hai Èn. + NÕu hai ph¬ng tr×nh cña hÖ (I) cã nghiÖm chung (x 0; y0) th× (x0; y0) ®îc gäi lµ nghiÖm cña hÖ. + NÕu hai ph¬ng tr×nh cña hÖ (I) kh«ng cã nghiÖm chung th× ta nãi hÖ (I) v« nghiÖm. Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh lµ t×m tÊt c¶ c¸c nghiÖm (t×m tËp nghiªm) cña nã. 6
3/ Hai hÖ ph¬ng tr×nh ®îc gäi lµ t¬ng ®¬ng víi nhau nÕu chóng cã cïng tËp nghiÖm, tøc lµ mçi nghiÖm cña hÖ ph¬ng tr×nh nµy còng lµ nghiÖm cña hÖ ph¬ng tr×nh kia vµ ngîc l¹i. Trong mét hÖ ph¬ng tr×nh hai Èn, cã thÓ céng hoÆc trõ tõng vÕ hai ph¬ng tr×nh cña hÖ ®Ó ®îc mét ph¬ng tr×nh míi. Ph¬ng tr×nh míi nµy cïng víi mét trong hai ph¬ng tr×nh cña hÖ lËp thµnh mét hÖ t¬ng ®¬ng víi hÖ ®· cho. 4/ Dïng quy t¾c thÕ biÕn ®æi hÖ ph¬ng tr×nh ®· cho ®Ó ®îc mét hÖ ph¬ng tr×nh míi rong ®ã cã mét ph¬ng tr×nh mét Èn; gi¶i ph- ¬ng tr×nh mét Èn nµy råi tõ ®ã suy ra nghiÖm cña hÖ ®· cho. 5/ Nh©n c¸c vÕ cña hai ph¬ng tr×nh víi hÖ sè thÝch hîp (nÕu cÇn) sao cho c¸c hÖ sè cña mét Èn nµo ®ã trong hai ph¬ng tr×nh cña hÖ b»ng nhau hoÆc ®èi nhau; dïng quy t¾c céng ®¹i sè ®Ó ®îc hÖ ph¬ng tr×nh míi mµ hÖ sè cña mét trong hai Èn b»ng 0, tøc lµ ®îc mét ph¬ng tr×nh mét Èn; gi¶i ph¬ng tr×nh mét Èn nµy råi tõ ®ã suy ra nghiÖm cña hÖ ®· cho. 6/ Gi¶i bµi to¸n b»ng c¸ch lËp hÖ ph¬ng tr×nh: Bíc 1: LËp hÖ ph¬ng tr×nh - Chän hai Èn sè vµ ®Æt ®iÒu kiÖn thÝch hîp cho c¸c Èn sè. - BiÓu diÔn c¸c ®¹i lîng cha biÕt theo c¸c Èn sè vµ c¸c ®¹i lîng ®· biÕt. - LËp hÖ hai ph¬ng tr×nh biÓu diÔn mèi quan hÖ gi÷a c¸c ®¹i l- îng. Bíc 2: Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh võa lËp ®îc. Bíc 3: Tr¶ lêi: KiÓm tra xem trong c¸c nghiÖm cña hÖ ph¬ng tr×nh nghiÖm nµo tho¶ m·n ®iÒu kiÖn cña Èn, thÝch hîp víi bµi to¸n råi kÕt luËn. 7
Ch¬ng Iv Hµm sè y = ax2 (a 0). ph¬ng tr×nh bËc hai mét Èn 1/ Hµm sè y = ax2 (a 0) x¸c ®Þnh víi mäi gi¸ trÞ cña x thuéc R. 2/ Hµm sè y = ax2 cã c¸c tÝnh chÊt: a) NÕu a > 0 th× hµm sè nghÞch biÕn khi x < 0 vµ ®ång biÕn khi x > 0 b) NÕu a < 0 th× hµm sè ®ång biÕn khi x < 0 vµ nghÞch biÕn khi x > 0 c) NÕu a > 0 th× gi¸ trÞ nhá nhÊt cña hµm sè lµ y = 0 (khi x = 0) d) NÕu a < 0 th× gi¸ trÞ lín nhÊt cña hµm sè lµ y = 0 (khi x = 0) 3/ §å thÞ hµm sè lµ mét ®êng cong (®îc gäi lµ parabol víi ®Ønh O(0; 0)) ®i qua gèc to¹ ®é vµ nhËn Oy lµm trôc ®èi xøng. + NÕu a > 0 th× ®å thÞ n»m phÝa trªn trôc hoµnh, O(0; 0) lµ ®iÓm thÊp nhÊt cña ®å thÞ. + NÕu a < 0 th× ®å thÞ n»m phÝa díi trôc hoµnh, O(0; 0) lµ ®iÓm cao nhÊt cña ®å thÞ. §Ó vÏ parabol ta cã thÓ dùa vµo b¶ng víi mét gi¸ trÞ t¬ng øng cña x vµ y. Ngoµi ra cã thÓ vÏ b»ng c¸c c¸ch ®îc m« t¶ trong s¸ch gi¸o khoa trang 37 nÕu trªn trang vë cã dßng kÎ hoÆc biÕt mét ®iÓm kh¸c O(0; 0) cña nã. 4/ a) Ph¬ng tr×nh bËc hai mét Èn (nãi gän lµ ph¬ng tr×nh bËc hai) lµ ph¬ng tr×nh cã d¹ng ax2 + bx + c = 0. (1) 8
b) Cã hai c¸ch c¬ b¶n ®Ó gi¶i (1): + Ph©n tÝch vÕ tr¸i (1) ra thõa sè: x1 m a(x – m)(x – n) = 0 x2 n + B»ng c¸ch biÕn ®æi t¬ng ®¬ng ®Ó ®a (1) vÒ d¹ng 2 b b2 4ac x (2) 2a 4a 2 Tõ ®ã tuú theo dÊu cña vÕ ph¶i cña (2) mµ kÕt luËn vÒ nghiÖm cña ph¬ng tr×nh ®· cho. 5/ §Æt = b2 – 4ac. Gäi lµ biÖt thøc cña ph¬ng tr×nh (1) + NÕu > 0 th× (1) cã hai nghiÖm ph©n biÖt b b x1 = ; x2 = 2a 2a b + NÕu = 0 th× (1) cã nghiÖm kÐp x1 = x2 = 2a + NÕu < 0 th× (1) v« nghiÖm. 6/ §èi víi (1) ta cã c«ng thøc nghiÖm thu gän: b NÕu ®Æt b’ = vµ ' = b’2 – ac: 2 + NÕu ' > 0 th× ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm ph©n biÖt b' ' b' ' x1 = ; x2 = a a b' + NÕu ' = 0 th× ph¬ng tr×nh cã nghiÖm kÐp x1 = x2 = a + NÕu ' < 0 th× ph¬ng tr×nh v« nghiÖm. 7/ NÕu x1 vµ x2 lµ hai nghiÖm cña ph¬ng tr×nh ax2 + bx + c = 0 (a 0) th× cã ®Þnh lý Vi-Ðt: 9
b c x1 + x2 = - ; x1.x2 = a a + NÕu ph¬ng tr×nh ax2 + bx + c = 0 (a 0) cã a + b + c = 0 th× c ph¬ng tr×nh cã mét nghiÖm x1 = 1 vµ mét nghiÖm x2 = a NÕu ph¬ng tr×nh ax2 + bx + c = 0 (a 0) cã a - b + c = 0 th× ph- c ¬ng tr×nh cã mét nghiÖm x1 = -1 vµ mét nghiÖm x2 = - . a 8/ a) §Ó gi¶i ph¬ng tr×nh trïng ph¬ng ax4 + bx2 + c = 0 (a 0), th- êng ®Æt Èn phô t = x2 (t 0) vµ ®a vÒ ph¬ng tr×nh bËc hai Èn t. LÊy nh÷ng nghiÖm kh«ng ©m cña ph¬ng tr×nh nµy vµ tõ ®ã suy ra nghiÖm cña ph¬ng tr×nh ®· cho. b) Gi¶i ph¬ng tr×nh chøa Èn ë mÉu theo bèn bíc: + T×m ®iÒu kiÖn x¸c ®Þnh cña ph¬ng tr×nh + Quy ®ång mÉu thøc ë hai vÕ råi khö mÉu thøc + Gi¶i ph¬ng tr×nh võa thu ®îc + T×m c¸c nghiÖm tho¶ m·n ®iÒu kiÖn. c) Ph¬ng tr×nh tÝch lµ ph¬ng tr×nh cã d¹ng A(x).B(x) = 0. §Ó gi¶i ta gi¶i riªng biÖt ®èi víi hai ph¬ng tr×nh A(x) = 0 vµ B(x) = 0. NghiÖm cña ph¬ng tr×nh ®· cho sÏ lµ hîp c¸c nghiÖm cña hai ph¬ng tr×nh trªn. 9/ §Ó gi¶i to¸n b»ng c¸ch lËp ph¬ng tr×nh ta tiÕn hµnh theo c¸c bíc: Bíc 1: LËp ph¬ng tr×nh: + Chän Èn sè vµ nªu ®iÒu kiÖn cÇn thiÕt cho c¸c Èn; + BiÓu thÞ c¸c d÷ liÖu cÇn thiÕt qua Èn sè; + LËp ph¬ng tr×nh biÓu thÞ t¬ng quan gi÷a Èn sè vµ c¸c d÷ liÖu ®· biÕt. 10
Bíc 2: Gi¶i ph¬ng tr×nh võa lËp ®îc. Bíc 3: Chän c¸c nghiÖm thÝch hîp, tõ ®ã ®a ra ®¸p sè. PhÇn h×nh häc Ch¬ng I HÖ thøc lîng trong tam gi¸c vu«ng 1/ HÖ thøc vÒ c¹nh vµ ®êng cao cña tam gi¸c vu«ng: + b2 = ab’; c2 = ac’ A + h2 = b’c’ c h b + ah = bc 1 1 1 B c’ b’ + h2 b2 c2 a 2/ Tû sè lîng gi¸c cña gãc nhän: 11
C¹nh ®èi c¹nh kÒ c¹nh sin = C¹nh huyÒn ®èi C¹nh kÒ cos = C¹nh huyÒn C¹nh huyÒn C¹nh kÒ A tg = C¹nh ®èi C¹nh ®èi cotg = C¹nh kÒ + = 900 ( vµ lµ hai C gãc phô nhau) th×: B sin = cos , cos = sin tg = cotg , cotg = tg 3/ HÖ thøc gi÷a c¹nh vµ gãc cña mét tam gi¸c vu«ng: A Trong tam gi¸c vu«ng ABC, Aˆ = 900 ta cã hÖ thøc: c h b C c’ b’ B a + b = a sin B = a cos C b = c tg B = c cotg C + c = a sin C = a cos B c = b tg C = b cotg B 4/ HÖ thøc liªn hÖ gi÷a c¸c tØ sè lîng gi¸c: sin cos s + sin 1; cos 1; tg = ; cotg = ; cos sin 1 1 + 1 + tg2 = ; 1 + cotg2 = . cos 2 sin 2 12
Ch¬ng II ®êng trßn 1/ §Þnh nghÜa, sù x¸c ®Þnh, tÝnh chÊt dèi xøng cña ®êng trßn: 13
a) §Þnh nghÜa: C TËp hîp c¸c ®iÓm c¸ch ®iÓm O R cè ®Þnh mét kháng R kh«ng ®æi ( R > 0) gäi lµ ®êng trßn t©m O b¸n kÝnh R. A B O Ký hiÖu lµ: (O; R) hoÆc (O) Cung trßn lµ mét phÇn cña ®êng trßn ®îc giíi h¹n bëi hai ®iÓm. Hai ®iÓm nµy gäi lµ hai mót cña cung. Ch¼ng h¹n cung AC (AC), cung BC (BC) D©y cung lµ mét ®o¹n th¼ng nèi hai mót cña mét cung. Ch¼ng h¹n d©y cung BC. §êng kÝnh lµ d©y ®i qua t©m. §Þnh lý: §êng kÝnh lµ d©y cung lín nhÊt cña ®êng trßn. b) Sù x¸c ®Þnh cña ®êng trßn: §Þnh lý: Qua ba ®iÓm kh«ng th¼ng hµng, bao giê còng chØ vÏ ®îc mét ®êng trßn vµ chØ mét mµ th«i. c) TÝnh chÊt ®èi xøng: §Þnh lý 1: §êng kÝnh vu«ng gãc víi mét d©y th× ®i qua trung ®iÓm cña d©y Êy. §Þnh lý 2: (§¶o cña 1). §êng kÝnh ®i qua trung ®iÓm cña mét d©y (d©y kh«ng lµ ®êng kÝnh) th× vu«ng gãc víi d©y Êy. §Þnh lý 3: Trong mét ®êng trßn: Hai d©y b»ng nhau th× c¸ch ®Òu t©m. Hai d©y c¸ch ®Òu t©m th× b»ng nhau. D©t lín h¬n th× gÇn t©m h¬n. D©y gÇn t©m h¬n th× lín h¬n. 2/ VÞ trÝ t¬ng ®èi cña ®êng th¼ng vµ ®êng trßn: 14
a) §êng th¼ng cã thÓ c¾t, tiÕp xóc hoÆc kh«ng c¾t ®êng trßn. b) TiÕp tuyÕn cña ®êng trßn: §Þnh nghÜa: TiÕp tuyÕn cña ®êng trßn lµ ®- a êng th¼ng chØ cã mét ®iÓm chung víi ®êng trßn ®ã. C¸c ®Þnh lý vÒ tiÕp tuyÕn: O §Þnh lý 1: NÕu mét ®êng th¼ng a lµ tiÕp tuyÕn cña mét ®êng trßn th× nã vu«ng gãc víi tiÕp tuyÕn qua tiÕp ®iÓm. §Þnh lý 2: NÕu mét ®êng th¼ng a ®i qua mét ®iÓm cña ®êng trßn vµ vu«ng gãc víi b¸n kÝnh qua ®iÓm ®ã th× ®êng th¼ng Êy lµ tiÕp tuyÕn cña ®êng trßn. 3/ TÝnh chÊt hai tiÕp tuyÕn c¾t nhau: NÕu hai tiÕp tuyÕn cña mét ®êng trßn c¾t nhau t¹i mét ®iÓm: §iÓm ®ã c¸ch ®Òu hai tiÕp ®iÓm. Tia kÎ tõ ®iÓm ®ã ®i qua t©m lµ tia ph©n gi¸c cña gãc t¹o bëi hai tiÕp tuyÕn. Tia kÎ tõ ®iÓm ®ã ®i qua t©m lµ tia ph©n gi¸c cña gãc t¹o bëi hai b¸n kÝnh ®i qua hai tiÕp ®iÓm. 4/ VÞ trÝ t¬ng ®èi cña hai ®êng trßn: (Ba vÞ trÝ t¬ng ®èi) Hai ®êng trßn c¾t nhau (cã hai ®iÓm chung) §Þnh lý: Hai ®êng trßn c¾t nhau th× ®êng nèi t©m vu«ng gãc víi d©y chung vµ ®i qua trung ®iÓm cña d©y chung Êy. 15
OO’ AB, t¹i H lµ trung ®iÓm cña AB. Hai ®êng trßn tiÕp xóc nhau lµ hai ®êng trßn chØ cã mét A ®iÓm chung, ®iÓm chung ®ã R gäi lµ tiÕp ®iÓm. r H O O’ OO’ = R + r (tiÕp xóc ngoµi); OO’ = R = r > 0 (tÕp xóc trong) Hai ®êng trßn kh«ng c¾t B nhau (kh«ng cã ®iÓm chung. + Ngoµi nhau: OO’ > R + r. + §ùng nhau: OO’ < R + r Chó ý: + §êng trßn ®i qua 3 ®Ønh cña tam gi¸c gäi lµ ®êng trßn ngo¹i tiÕp tam gi¸c hay tam gi¸c néi tiÕp ®êng trßn. + §êng trßn tiÕp xóc víi ba c¹nh cña mét tam gi¸c gäi lµ ®êng trßn néi tiÕp tam gi¸c hay tam gi¸c ngo¹i tiÕp ®êng trßn. T©m ®êng trßn néi tiÕp tam gi¸c lµ giao ®iÓm cña ba ®êng ph©n gi¸c cña tam gi¸c. + §êng trßn bµng tiÕp tam gi¸c lµ ®êng trßn tiÕp xóc víi mét c¹nh cña tam gi¸c vµ tiÕp xóc víi phÇn kÐo dµi cña hai c¹nh kia. T©m cña ®- êng trßn bµng tiÕp lµ giao ®iÓm cña hai tia ph©n gi¸c cña hai gãc ngoµi víi tia ph©n gi¸c gãc trong cßn l¹i. + Hai ®êng trßn trong nhau kh«ng cã tÕp tuyÕn chung. Hai ®êng trßn (kh«ng trong nhau) cã thÓ cã nhiÒu tiÕp tuyÕn chung. Ch¬ng III Gãc víi ®êng trßn 16
1/ Gãc ë t©m. Cung vµ d©y: a) §Þnh nghÜa: Gãc ë t©m lµ gãc cã ®Ønh trïng víi t©m ®êng trßn Sè ®o cña cung nhá b»ng sè ®o gãc ë t©m ch¾n cung ®ã. Sè ®o cña cung lín b»ng hiÖu gi÷a 360 0 víi sè ®o cña cung nhá cã chung hai ®Çu mót v¬Ýi cung lín ®ã. Sè ®o cña nöa ®êng trßn b»ng 3600. b) So s¸nh hai cung: (chØ so s¸nh hai cung trªn mét ®êng trßn hay hai ®êng trßn b»ng nhau). Hai cung ®îc gäi lµ b»ng nhau nÕu chóng cã sè ®o b»ng nhau. Trong hai cung, cung nµo cã sè ®o lín h¬n gäi lµ cung lín h¬n. c) §iÓm n»m trªn cung: §iÓm C n»m trªn cung AB th× sè ®o cung AB b»ng tæng sè ®o cung AC víi sè ®o cung CB. d) Liªn hÖ gi÷a cung vµ d©y: §Þnh lý 1: Víi hai cung nhá trong mét ®êng trßn hay hai ®êng trßn b»ng nhau: Hai cung b»ng nhau th× hai d©y b»ng hau, Hai d©y b»ng nhau th× hai cung b»ng nahu. §Þnh lý 2: Víi hai cung nhá trong mét ®êng trßn hay hai ®¬ng trßn b»ng nhau: Cung lín h¬n c¨ng d©y lín h¬n. D©y lín h¬n c¨ng cung lín h¬n. 2/ Gãc néi tiÕp – Gãc gi÷a tiÕp tuyÕn vµ d©y cung: a) Gãc néi tiÕp: Gãc néi tiÕp lµ gãc cã ®Ønh n»m trªn ®- 17 A
êngtrßn vµ hai c¹nh chøa hai d©y cung cña ®êng trßn ®ã. Ch¼ng h¹n gãc BAC lµ gãc néi tiÕp cña ®êng trßn (O). . O §Þnh lý: Trong mét ®êng trßn sè ®o cña gãc néi tiÕp b»ng nöa sè ®o cung bÞ ch¾n. B 1 C s® BAˆ C s® BC 2 * HÖ qu¶: Trong mét ®êng trßn: + C¸c gãc néi tiÕp b»ng nhau, ch¾n c¸c cung b»ng nhau’ + C¸c gãc néi tiÕp cïng ch¾n mét cung hay ch¾n c¸c cung b»ng nhau th× b»ng nhau. + Gãc néit iÕp (nhá h¬n 90 0) cã s® b»ng nöa s® cña gãc ë t©m cïng ch¾n mét cung. + Gãc néi tiÕp ch¾n nöa ®êng trßn lµ gãc vu«ng. b) Gãc t¹o bëi tia tiÕp tuyÕn vµ mét d©y cung: C * Gãc CAB lµ gãc t¹o bëi tia tiÕp tuyÕn AC vµ d©y AB A B * §Þnh lý. Sè ®o cña gãc t¹o bëi tia tiÕp tuyÕn vµ d©y cung b¨ng nöa sè ®o cña cung bÞ ch¾n. 1 s® BAˆ C s® AB 2 D HÖ qu¶: Trong mét ®êng trßn gãc t¹o bëi tia tiÕp tuyÕn vµ d©y cung vµ gãc néi tiÕp cïng ch¾n mét cung th× b»ng nhau. CAˆ B ADˆ B c) Gãc cã ®Ønh ë bªn trong hay bªn ngoµi ®êng trßn: 18
Gãc cã ®Ønh ë bªn trong ®êng trßn, cung chøc gãc. D + Gãc BEC lµ gãc cã ®Ønh ë bªn A trong ®êng trßn. Gãc PNQ còng gäi lµ gãc cã ®Ønh ë bªn trong ®êng C E trßn. N + §Þnh lý 1: Sè ®o cña gãc cã ®Ønh ë bªn trong ®êng trßn b»ng nöa tæng P Q sè ®o hai cung bÞ ch¾n. B 1 s® CEˆ B (s® CB + s® CD) 2 Gãc cã ®Ønh ë bªn ngoµi ®êng trßn. M C + Gãc BMD lµ gãc cã ®Ønh ë bªn ngoµi ®êng trßn. A + §Þnh lý 2: Sè ®o gãc cã ®Ønh ë D bªn ngoµi ®êng trßn b»ng nöa hiÖu sè ®o hai cung bÞ ch¾n. 1 s® BMˆ D (s® BD – s®AC) B 2 Cung chøa gãc: Quü tÝch c¸c M ®iÓm M nh×n ®o¹n th¼ng AB cho tr- íc díi gãc (00 < < 1800) lµ hai cung chøa gãc dùng trªn ®o¹n AB O A B 19
3/ Tø gi¸c néi tiÕp. §êng trßn néi ngo¹i tiÕp: a) Tø gi¸c néi tiÕp: Mét tø gi¸c cã bèn ®Ønh n»m trªn mét ®êng trßn gäi lµ tø gi¸c néi tiÕp ®êng trßn (gäi t¾t lµ tø gi¸c néi tiÕp). §Þnh lý: Trong mét tø gi¸c néi tiÕp tæng hai gãc ®èi diÖn b»ng 1800. §Þnh lý ®¶o. NÕu mét tø gi¸c cã tæng hai gãc ®èi diÖn b»ng 180 0 th× néi tiÕp ®îc ®êng trßn. b) §êng trßn ngo¹i tiÕp, ®êng trßn néi tiÕp. §êng trßn ®i qua c¸c ®Ønh cña mét ®a gi¸c ®îc gäi lµ ®êng trßn ngo¹i tiÕp ®a gi¸c vµ ®a gi¸c ®îc gäi lµ ®a gi¸c néi tiÕp ®êng trßn. §êng trßn tiÕp x¸c víi tÊt c¶ c¸c c¹nh cña mét ®a gi¸c ®îc gäi lµ ®- êng trßn néi tiÕp ®a gi¸c vµ ®a gi¸c ®îc gäi lµ ®a gi¸c ngo¹i tiÕp ®êng trßn. §Þnh lý: BÊt kú ®a gi¸c ®Òu nµo còng chØ cã mét vµ chØ mét ®- êng trßn ngo¹i tiÕp, cã mét vµ chØ mét ®êng trßn néi tiÕp. 4/ Chu vi, diÖn tÝch h×nh trßn: a) §é dµi ®êng trßn, cung trßn. * §é dµi ®êng trßn: C = 2 R. * Trªn ®êng trßn b¸n kÝnh R, ®é dµi  cña cung trßn n lµ: Rn  180 b) DiÖn tÝch h×nh trßn vµ qu¹t trßn. DiÖn tÝch h×nh trßn: S = R2 DiÖn tÝch h×nh qu¹t trßn b¸n kÝnh R cung n0 20