Toán 10 (Chân trời sáng tạo) - Ôn tập chương 9: Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:50

Thêm vào BST

Báo xấu

1
lượt xem 0
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tài liệu "Toán 10 (Chân trời sáng tạo) - Ôn tập chương 9: Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng" được xây dựng dành cho học sinh lớp 10 nhằm ôn tập các kiến thức cơ bản và nâng cao về hình học tọa độ. Tài liệu gồm phần tóm tắt lý thuyết, công thức tính nhanh, bài tập có lời giải giúp học sinh làm chủ dạng toán hình học trong mặt phẳng. Mời các bạn cùng tham khảo tài liệu để rèn luyện kỹ năng giải bài theo phương pháp tọa độ.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Toán 10 (Chân trời sáng tạo) - Ôn tập chương 9: Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng

ÔN TẬP CHƯƠNG 9. PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG • TOÁN 10 • |FanPage: Nguyễn Bảo Vương PHẦN 1. LÝ THUYẾT – BÀI TẬP MẪU PHẦN HÌNH HỌC VÀ ĐO LƯỜNG Chương IX. PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG Bài 1. TOẠ ĐỘ CỦA VECTƠ A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ 1. Tọa độ của vectơ đối với một hệ trục tọa độ Trục tọa độ (gọi tắt là trục) là một đường thẳng trên đó đã xác định một điểm O (gọi là điểm gốc) và một  vectơ e có độ dài bằng 1 gọi là vectơ đơn vị của trục.  Ta kí hiệu trục đó là (O; e ) . Hệ trục tọa độ     Hệ trục tọa độ (O; i , j ) gồm hai trục (O; i ) và (O; j ) vuông góc với nhau. Điểm gốc O chung của hai   trục gọi là gốc tọa độ. Trục (O; i ) được gọi là trục hoành và kí hiệu là Ox , trục (O; j ) được gọi là trục     tung và kí hiệu là Oy . Các vectơ i và j là các vectơ đơn vị trên Ox và Oy . Hệ trục tọa độ (O; i , j ) còn được kí hiệu là Oxy . Tọa độ của một vectơ     Trong mặt phẳng Oxy , cặp số ( x; y ) trong biểu diễn a  xi  yj được gọi là toạ độ của vectơ a , kí hiệu   a  ( x; y ), x gọi là hoành độ, y gọi là tung độ của vectơ a .     Chú ý : a  ( x; y )  a  xi  yj .      x  x Nếu cho a  ( x; y) và b   x ; y  thì a  b    . y  y Tọa độ của một điểm  Trong mặt phẳng toạ độ, cho một điểm M tuỳ ý. Tọa độ của vecto OM được gọi là tọa độ của điểm M.  Nhận xét: Nếu OM   x; y  thì cặp số  x; y  là tọa độ của điểm M , kí hiệu M  x; y  , x gọi là hoành độ, y gọi là tung độ của điểm M .     M   x; y   OM  x.i  y. j Chú ý: Hoành độ của điểm M còn được kí hiệu là x M , tung độ của điểm M còn được kí hiệu là yM . Khi đó ta viết M  xM ; yM  . 2. Biểu thức toạ độ của các phép toán vectơ   Cho hai vectơ a   a1 ; a2  , b   b1 ; b2  và số thực k . Ta có các công thức sau:        a  b   a1  b1 ; a2  b2  ; a  b   a1  b1 ; a2  b2  ; ka   ka1 ; ka2  ; a  b  a1b1  a2 b2 . 3. Áp dụng của tọa độ vectơ Liên hệ giũa tọa độ của điểm và tọa độ của vectơtrong mặt phẳng  Cho hai điểm A  xA ; y A  và B  xB ; yB  . Ta có: AB   xB  x A ; y B  y A  . Tọa độ trung điểm của đọan thẳng và trọng tâm của tam giác Cho hai điểm A  xA ; y A  và B  xB ; yB  . Tọa độ trung điểm M  xM ; yM  của đoạn thẳng AB là: x A  xB y  yB xM  , yM  A . 2 2 1
Cho tam giác ABC có A  xA ; y A  , B  xB ; yB  , C  xC ; yC  . Toạ độ trọng tâm G  xG ; yG  của tam giác ABC x A  x B  xC y  yB  yC là: xG  , yG  A . 3 3 Ứng dụng biểu thức tọa độ của các phép toán vectơ   Cho hai vectơ a   a1 ; a2  , b   b1 ; b2  và hai điểm A  xA ; y A  , B  xB ; yB  . Ta có:   - a  b  a1b1  a2b2  0 ;   - a và b cùng phương  a1b2  a2b1  0 ;  - | a | a12  a2 2 2 2 - AB   xB  x A    y B  y A      a b a1b1  a2b2    - cos(a; b )     (a , b khác 0) . | a || b | a12  a2  b12  b2 2 2 B. BÀI TẬP MẪU Bài 1. Trong mặt phẳng Oxy , cho ba điểm M , N , P được biểu diễn như Hình 5. a) Tìm toạ độ của các điểm M , N , P .        b) Hãy biểu thị các vectơ OM , ON , OP qua hai vectơ i và j .        c) Tìm toạ độ các vectơ PM , PN , PO, NM . Giải a) Theo Hình 5 ta có toạ độ các điểm M , N , P lần lượt là: M (1;3), P(3;0), N (2; 1) .            b) Ta có: OM  i  3 j ; ON  2i  j ; OP  3i  0 j . c) Ta có:    PM  xM  x P ; yM  y p  (1  3;3  0)  (2;3)  PN   x N  xP ; yN  yP   (2  3; 1  0)  (5; 1)  PO   xO  xP ; yO  yP   (0  3; 0  0)  (3; 0)  NM   x M  x N ; yM  yN   (1  (2);3  (1))  (3; 4)   Bài 2. Cho hai vectơ a  (3; 4), b  (1;5) .       a) Tìm tọa độ của vectơ: a  b , a  b ,10a , 2b .     b) Tính các tích vô hướng: a  b , (2a )  (5b ) . Giải a) Ta có:     a  b  (3  (1); 4  5)  (2;9); a  b  (3  (1); 4  5)  (4; 1) ;   10a  (10.3;10.4)  (30; 40); 2b  (2.(1); 2.5)  (2; 10) . b) Ta có:
  a  b  3  (1)  4  5  3  20  17     2a  (6; 8) và 5b  (5; 25) nên (2a )  (5b )  (6)  (5)  (8)  25  30  200  170.    Bài 3. Cho ba vectơ m  (6;1), n  (0; 2), p  (1;1) . Tìm toạ độ của các vectơ:    a) m  n  p .    b) (m  n ) p . Giải    a) Ta có: m  n  p  (6  0  1;1  2  1)  (7; 2) .      b) Ta có: (m  n ) p  (6.0  1.2) p  2 p  (2; 2) . Bài 4. Cho tam giác DEF có toạ độ các đỉnh là D(2; 2), E (6; 2) và F (2;6) . a) Tìm tọa độ trung điểm M của cạnh EF . b) Tìm toạ độ trọng tâm G của tam giác DEF . Giải x  xF 6  2 y  yF 2  6 a) Ta có: xM  E   4, yM  E   4. 2 2 2 2 Vậy toạ độ trung điểm M của cạnh EF là M (4; 4) . x  xE  xF 2  6  2 10 y  yE  yF 2  2  6 10 b) Ta có: xG  D   , yG  D   . 3 3 3 3 3 3  10 10  Vậy toạ độ trọng tâm G của tam giác DEF là G  ;  .  3 3 Bài 5. Cho tam giác ABC có toạ độ các đỉnh là A(2; 2), B(6;3) và C (5;5) . a) Tìm toạ độ điểm H là chân đường cao của tam giác ABC kẻ từ A . b) Tính độ dài ba cạnh của tam giác ABC và số đo của góc C . Giải     a) Xét điểm H ( x; y) , ta có: AH  ( x  2; y  2), BH  ( x  6; y  3), BC  (1; 2) . H ( x; y) là chân đường cao của tam giác ABC kẻ từ A nên ta có:    AH  BC  ( x  2)  (1)  ( y  2)  2  0   x  2 y  2  0 (1)   Hai vectơ BH , BC cùng phương  ( x  6)  2  ( y  3)  (1)  0  2 x  y  15  0 (2)  28  x  2 y  2  0 x  5  Từ (1) và (2) ta được hệ phương trình   2 x  y  15  0  y  19   5  28 19  Vậy H  ;  .  5 5      b) Ta có: AB  (4;1), CB  (1; 2), CA  (3; 3) .    Suy ra: AB | AB | 42  12  17, BC | BC | (1)2  22  5 ,          CA  CB (3)  1  (3)  (2) 10 ˆ AC | AC | 32  32  3 2 . cos C  cos(CA, CB )    . CA  CB 3 2 5 10 ˆ Vậy C  7134 . BÀI 2. ĐƯỜNG THẲNG TRONG MẶT PHẲNG TOẠ ĐỘ A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ 1. Phương trình đường thẳng Vectơ chỉ phương và vectơ pháp tuyến của đường thẳng     Vectơ u được gọi là vectơ chỉ phương của đường thẳng  nếu u  0 và giá của u song song hoặc trùng với  . 3
    Vectơ n được gọi là vectơ pháp tuyến của đường thẳng  nếu n  0 và n vuông góc với vectơ chỉ phương của  . Chú ý:    - Nếu đường thẳng  có vectơ pháp tuyến n  (a; b) thì  sẽ nhận u  (b; a ) hoặc u  (b; a ) là một vectơ chỉ phương.   - Nếu u là vectơ chỉ phương của đường thẳng  thì ku (k  0) cũng là vectơ chỉ phương của  .   - Nếu n là vectơ pháp tuyến của đường thẳng  thì kn (k  0) cũng là vectơ pháp tuyến của  . Phương trình tham số của đường thẳng  x  x0  tu1 Trong mặt phẳng Oxy , ta gọi:  (với u12  u2  0, t   ) 2  y  y0  tu2  là phương trình tham số của đường thẳng  đi qua điểm M 0  x0 ; y0  có vectơ chỉ phương u   u1 ; u2  . Chú ý: Cho t một giá trị cụ thể thì ta xác định được một điểm trên đường thẳng  và ngược lại. Phương trình tổng quát của đường thẳng Trong mặt phẳng Oxy , mỗi đường thẳng đều có phwơng trình tổng quát dạng ax  by  c  0, với a và b không đồng thời bằng 0 . Chú ý: - Mỗi phương trình ax  by  c  0 ( a và b không đồng thời bằng 0 ) đều xác định một đường thẳng có  vectơ pháp tuyến n  (a; b) . - Khi cho phương trình đường thẳng ax  by  c  0 , ta hiểu a và b không đồng thời bằng 0. 2. Vị trí tương đối của hai đường thẳng   Nếu n1 và n2 cùng phương thì 1 và  2 song song hoặc trùng nhau. Láy một điểm P tuỳ ý trên 1 . - Nếu P   2 thì 1   2 . - Nếu P   2 thì 1 / /  2 .   Nếu n1 và n2 không cùng phương thì 1 và  2 cắt nhau tại một điểm M  x0 ; y0  với  x0 ; y0  là nghiệm  a x  b1 y  c1  0  của hệ phương trình:  1  a2 x  b2 y  c2  0  Chú ý:     a) Nếu n1  n2  0 thì n1  n2 , suy ra 1   2 .   b) Để xét hai vectơ n1  a1 ; b1  và n2  a2 ; b2  cùng phương hay không cùng phương, ta xét biểu thức a1b2  a2b1 : - Nếu a1b2  a2b1  0 thì hai vectơ cùng phương. - Nếu a1b2  a2b1  0 thì hai vectơ không cùng phương. Trong trường hợp tất cả các hệ số a1 , a2 , b1 , b2 đều khác 0 , ta có thể xét hai trường hợp: a b - Nếu 1  1 thì hai vectơ cùng phương. a2 b2 a b - Nếu 1  1 thì hai vectơ không cùng phương. a2 b2 3. Góc giữa hai đường thẳng Khái niệm góc giữa hai đường thẳng Hai đường thẳng 1 và  2 cắt nhau tạo thành bốn góc. - Nếu 1 không vuông góc với  2 thì góc nhọn trong bốn góc đó được gọi là góc giữa hai đường thẳng 1 và  2 . - Nếu 1 vuông góc với  2 thì ta nói góc giữa 1 và  2 bằng 90 . Công thúc tính góc giữa hai đường thẳng
Cho hai đường thẳng 1 : a1 x  b1 y  c1  0  a12  b12  0  ,  2 : a2 x  b2 y  c2  0  a2  b2  0  có vectơ pháp 2 2   tuyến lần lượt là n1 và n2 . a1a2  b1b2 Ta có công thức: cos  1 ,  2   . a  b12  a2  b2 2 1 2 2 Chú ý: Ta đã biết hai đường thẳng vuông góc khi và chỉ khi chúng có hai vectơ pháp tuyến vuông góc. Do đó: - Nếu 1 và  2 lần lượt có phương trình a1 x  b1 y  c1  0 và a2 x  b2 y  c2  0 thì ta có:  1 ,  2   90  a1a2  b1b2  0 . - Nếu 1 và  2 lần lượt có phương trình y  k1 x  m1 và y  k2 x  m2 thì ta có:  1 ,  2   90  k1  k2  1. Nói cách khác, hai đường thẳng có tích hệ số góc bằng -1 thì vuông góc với nhau. 4. Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng Trong mặt phẳng Oxy , cho đường thẳng  có phương trình ax  by  c  0  a 2  b 2  0  và điểm M 0  x0 ; y0  . Khoảng cách từ điểm M 0 đến đường thẳng  , kí hiệu là d  M 0 ;   được tính bởi công ax0  by0  c thức: d  M 0 ,    . a2  b2 B. BÀI TẬP MẪU Bài 1. Viết phương trình tham số và phương trình tổng quát của đường thẳng d trong các trường hợp sau:  a) Đường thẳng d đi qua điểm A(5; 4) và có vectơ chỉ phương u  (1;3) ;  b) Đường thẳng d đi qua điểm B(1; 2) và có vectơ pháp tuyến n  (1;4) ; c) Đường thẳng d đi qua hai điểm C (2;2), D(4;6) . Giải  a) Đường thẳng d đi qua điểm A(5; 4) và có vectơ chỉ phương u  (1;3) nên ta có phương trình tham số x  5  t của d là:   y  4  3t   Đường thẳng d có vectơ chỉ phương u  (1;3) nên có vectơ pháp tuyến n  (3; 1) . Phương trình tổng quát của d là: 3( x  5)  ( y  4)  0  3x  y  11  0 .  b) Đường thẳng d đi qua điểm B(1; 2) và có vectơ pháp tuyến n  (1;4) nên có vectơ chỉ phương   x  1  4t u  (4;1) . Phương trình tham số của d là:  y  2  t Phương trình tổng quát của d là: ( x  1)  4( y  2)  0  x  4 y  7  0 .  1  1  c) Đường thẳng d đi qua hai điểm C (2;2), D(4;6) nên có vectơ chỉ phương u  CD  (2;4)  (1; 2) 2 2  và có vectơ pháp tuyến n  (2; 1) . x  2  t Phương trình tham số của d là:  .  y  2  2t Phương trình tổng quát của d là: 2( x  2)  ( y  2)  0  2 x  y  2  0 . Bài 2. Viết phương trình tổng quát của các đường thẳng là đồ thị các hàm số bậc nhất sau: 2 a) d1 : y  x  4 b) d 2 : y   x  1 c) d3 : y   x . 3 Giải a) Ta có y  x  4  x  y  4  0 . Vậy phương trình tổng quát của d1 là x  y  4  0 . 5
2 b) Ta có y   x  1  2 x  3 y  3  0 . 3 Vậy phương trình tổng quát của d 2 là 2 x  3 y  3  0 . c) Ta có y   x  x  y  0 . Vậy phương trình tổng quát của d3 là x  y  0 . Bài 3. Cho đường thẳng d có phương trình 4 x  2 y  1  0 . Xét vị trí tương đối của d với mỗi đường thẳng sau:  1 x    t a) 1 : x  2 y  4  0 b)  2 : 2 x  y  9  0 c)  3 :  4  y  2t  Giải   a) d và 1 có vectơ pháp tuyến lần lượt là n1  (4; 2) và n2  (1; 2) .   Ta có: a1b2  a2b1  4  (2)  2 1  10  0 , suy ra n1 và n2 là hai vectơ không cùng phương. Vậy d và 1 cắt nhau tại một điểm M . 4 x  2 y  1  0  3 Giải hệ phương trình  ta được M  1;  .  x  2y  4  0  2   b) d và  2 có vectơ pháp tuyến lần lượt là n1  (4; 2) và n2  (2;1) . 4 2   Ta có  suy ra n1 và n2 là hai vectơ cùng phương. Vậy d và  2 song song hoặc trùng nhau. Lấy 2 1  1 1 điểm N  0;   thuộc d , thay toạ độ của N vào phương trình  2 , ta được 2.0   9  0 , suy ra N  2 2 không thuộc  2 . Vậy d / / 2 .  1 x    t c) Ta có  3 :  4  y  2t  1 Suy ra: phương trình tổng quát của 3 : 2 x  y  0. 2   4 2   d và 3 có vectơ pháp tuyến lần lượt là n1  (4; 2) và n2  (2;1) . Ta có  suy ra n1 và n2 là hai 2 1 vectơ cùng phương. Vậy d và 3 song song hoặc trùng nhau.  1  Lấy điểm P   ;0  thuộc d , thay toạ độ của P vào phương trình tổng quát của  3 , ta được  4   1 1 2     0   0 , suy ra N thuộc  3 . Vậy d   3 .  4 2 Bài 4. Tính số đo của góc giữa hai đường thẳng d1 và d 2 trong các trường hợp sau: a) d1 : x  2 y  2023  0 và d 2 : 6 x  2 y  2024  0 ; b) d1 : 5 x  3 y  9  0 và d 2 : 3x  5 y  101  0 ; c) d1 : 4 x  3 y  5  0 và d 2 : 8 x  6 y  2025  0 . Giải |1.6  2.2 | 10 2 a) Ta có: cos  d1 , d 2     . Suy ra  d1 , d 2   45 . 2 2 1 2  6 2 2 2 200 2 b) Ta có: a1  a2  b1  b2  5  3  3  5  0 , suy ra  d1 , d 2   90 .
  4 3   c) d1 và d 2 có vectơ pháp tuyến lần lượt là n1  (4;3) và n2  (8;6) . Ta có  , suy ra n1 và n2 là hai 8 6 vectơ cùng phương. Vậy d1 và d 2 song song hoặc trùng nhau. Do đó  d1 , d 2   0 . Bài 5. Tính khoảng cách từ các điểm A(4;5), B(2;0) đến đường thẳng  : 6 x  8 y  13  0 . Giải | 6.4  8.5  13 | 29 | 6.2  8.0  13 | 1 Ta có: d ( A, )    2,9; d ( B, )    0,1 . 2 6 8 2 10 62  82 10 Bài 3. ĐƯỜNG TRÒN TRONG MẠT PHẲNG TOẠ ĐỘ A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ 1. Phương trình đường tròn Phương trình ( x  a)2  ( y  b) 2  R 2 phương trình đường tròn tâm I (a; b) bán kính R .   Nhận xét: Ta có ( x  a)2  ( y  b)2  R 2  x 2  y 2  2ax  2by  a2  b2  R 2  0. Vậy phương trình đường tròn ( x  a)2  ( y  b) 2  R 2 có thể được viết dưới dạng x 2  y 2  2ax  2by  c  0 , trong đó c  a 2  b2  R 2 . Ngược lại, phương trình x 2  y 2  2ax  2by  c  0 là phương trình của đường tròn (C ) khi và chỉ khi a 2  b2  c  0 . Khi đó đường tròn (C ) có tâm I (a; b) và bán kính R  a 2  b 2  c . 2. Phương trình tiếp tuyến của đường tròn Phương trình tiếp tuyến của đuờng tròn tâm I (a; b) tại điểm M 0  x0 ; y0  nằm trên đường tròn là:  a  x  x  x    b  y  y  y   0. 0 0 0 0 B. BÀI TẬP MẪU Bài 1. Viết phương trình đường tròn (C ) trong các trường hợp sau: a) (C) có tâm I (3; 2) , bán kính R  7 ; b) (C) tâm J (1; 1) , bán kính R  5 . Giải a) Đường tròn (C ) tâm I (3; 2) , bán kính R  7 có phương trình ( x  3)2  ( y  2)2  49 b) Đường tròn (C ) tâm J (1; 1) , bán kính R  5 có phương trình ( x  1)2  ( y  1)2  25. Bài 2. Phương trình nào trong các phương trình sau đây là phương trình đường tròn? Tìm toạ độ tâm và bán kính của đường tròn đó. a) x 2  y 2  2 x  4 y  20  0 ; b) x 2  y 2  2 x  4 y  6  0 c) x 2  y 2  4 x  8 y  5  0 ; d) 2 x 2  2 y 2  6 x  8 y  2  0 . Giải a) x 2  y 2  2 x  4 y  20  0 (1) Phương trình (1) có dạng x 2  y 2  2ax  2by  c  0 với a  1; b  2; c  20 Ta có a 2  b2  c  1  4  20  25  0 . Vậy (1) là phương trình đường tròn tâm I (1; 2) , bán kính R  5 . b) x 2  y 2  2 x  4 y  6  0 (2) Phương trình (2) có dạng x 2  y 2  2ax  2by  c  0 với a  1; b  2; c  6 . Ta có a 2  b2  c  1  4  6  1  0 . Vậy (2) không phải là phương trình đường tròn. 7
c) x 2  y 2  4 x  8 y  5  0 (3). Phương trình (3) có dạng x 2  y 2  2ax  2by  c  0 với a  2; b  4; c  5 . Ta có a 2  b2  c  4  16  5  15  0 . Vậy (3) là phương trình đường tròn tâm I (2; 4) , bán kính R  15 . d) 2 x 2  2 y 2  6 x  8 y  2  0 (4).  x 2  y 2  3x  4 y  1  0 (*) 3 Phương trình * có dạng x 2  y 2  2ax  2by  c  0 với a   ; b  2; c  1 . 2 9 29  3  Ta có a 2  b 2  c   4  1   0 . Vậy (4) là phương trình đường tròn tâm I   ; 2  , bán kính 4 4  2  29 R . 2 Bài 3. Viết phương trình tiếp tuyến d với đường tròn (C ) : ( x  1)2  ( y  3) 2  25 tại điểm M (5;6) . Giải Ta có: (5  1) 2  (6  3) 2  25 , nên điểm M thuộc đường tròn (C ) . Đường tròn (C ) : ( x  1) 2  ( y  3) 2  25 có tâm I (1;3) Phương trình tiếp tuyến d với (C ) tại M (5;6) là: (1  5)( x  5)  (3  6)( y  6)  0  4 x  3y  38  0. Bài 4. Một nông trại tưới nước theo phương pháp vòi phun xoay vòng trung tâm như Hình 3. Cho biết tâm một vòi phun được đặt tại toạ độ (12; 9) và vòi có thể phun xa tối đa 36 m . Hãy viết phương trình đường tròn biểu diễn tập hợp các điểm xa nhất mà vòi nước có thể phun tới. Giải Tập hợp các điểm xa nhất mà vòi nước có thể phun tới là đường tròn có tâm I (12; 9) và bán kính R  36 nên có phương trình: ( x  12)2  ( y  9)2  362. Bài 4. BA ĐUỜNG CONIC TRONG MẠT PHẲNG TOẠ ĐỘ A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ 1. Elip Nhận biết elip Cho hai điểm cố định F1 , F2 và một độ dài không đổi 2a lớn hơn F1 F2 . Elip ( E ) là tập hợp các điểm M trong mặt phẳng sao cho F1M  F2 M  2a .
Các điểm F1 và F2 gọi là các tiêu điểm của elip. Độ dài F1 F2  2c gọi là tiêu cự của elip (a  c) . Phương trình chính tắc của Elip Cho elip ( E ) có hai tiêu điểm là F1 , F2 . Chọn hệ trục tọa độ Oxy sao cho F1 (c;0) và F2 (c;0) . x2 y2 Phương trình 2  2  1 , trong đó b  a 2  c 2 gọi là phương trình chinh tắc của elip. a b Chú ý: - ( E ) cắt Ox tại hai điểm A1 (a;0), A2 (a;0) và cắt Oy tại hai điểm B1 (0; b) , B2 (0; b) . - Các điểm A1 , A2 , B1 , B2 gọi là các đỉnh của elip. - Đoạn thẳng A1 A2 gọi là trục lớn, đoạn thẳng B1 B2 gọi là trục nhỏ của elip. - Giao điểm O của hai trục là tâm đối xứng của elip. - Nếu M ( x, y)  ( E ) thì | x | a,| y | b . 2. Hypebol Nhận biết hypebol Cho hai điểm cố định F1 , F2 và một độ dài không đổi 2a nhỏ hơn F1 F2 . Hypebol là tập hợp các điểm M trong mặt phẳng sao cho F1M  F2 M  2a . Các điểm F1 và F2 gọi là các tiêu điểm của hypebol. Độ dài F1 F2  2c gọi là tiêu cự của hypebol (c  a ) . Phương trình chính tắc của Hypebol Hypebol ( H ) có hai tiêu điểm là F1 , F2 . Chọn hệ trục tọ ̣ độ sao cho F1 (c;0) và F2 (c;0) . Phương trình x2 y2   1 trong đó b  c 2  a 2 là phương trình chính tắc của hypebol. a2 b2 Chú ý: - ( H ) cắt Ox tại hai điểm A1 (a;0) và A2 (a;0) . Nếu vẽ hai điểm B1 (0; b) và B2 (0; b) vào hình chữ nhật OA2 PB2 thì a 2  b2  c . - Các điểm A1 , A2 gọi là các đỉnh của hypebol. - Đoạn thẳng A1 A2 gọi là trục thực, đoạn thẳng B1B2 gọi là trục ảo của hypebol. - Giao điểm O của hai trục là tâm đối xúng của hypebol. - Nếu M ( x; y)  ( H ) thì x   a hoặc x  a . 3. Parabol Nhận biết parabol 9
Cho một điểm cố định F và một đường thẳng  cố định không đi qua F . Parabol ( P) là tập hợp các điểm M cách đều F và  . F gọi là tiêu điểm và  gọi là đường chuẩn của parabol ( P) . Phương trình chính tắc của parabol p  p Parabol ( P) với tiêu điểm F  ;0  và đường chuẩn  : x   0 , có phương trình chính tắc: 2  2 2 y  2 px . Chú ý: - O gọi là đỉnh của parabol ( P) . - Ox gọi là trục đối xúng của parabol ( P) . - p gọi là tham số tiêu của parabol ( P) . - Nếu M ( x; y )  ( P) thì x  0 và M  ( x;  y )  ( P) . B. BÀI TẬP MẪU Bài 1. Viết phương trình chính tắc của elip ( E ) có tiêu cự 2c  18 và độ dài trục lớn 2a  24 . Giải Ta có: 2c  18; 2a  24 suy ra c  9, a  12 và b2  a 2  c 2  122  92  63 . x2 y2 Vậy phương trình chính tắc của ( E ) là   1. 144 63 Bài 2. Viết phương trình chính tắc của hypebol có tiêu cự 2c  26 và độ dài trục thực 2a  24 . Giải Ta có: 2c  26; 2a  24 suy ra c  13, a  12 và b2  c 2  a 2  132  122  25 . x2 y 2 Vậy phương trình chính tắc của hypebol là  1. 144 25 Bài 3. Viết phương trình của parabol ( P) có tiêu điểm F (3;0) . Giải
Parabol ( P) có tiêu điểm F (3;0) nên ta có: p  3 , suy ra p  6 Vậy ( P) có phương trình y 2  12 x . 2 Bài 4. Một mái vòm nhà hát có mặt cắt là hình nửa elip. Cho biết khoảng cách giữa hai tiêu điểm là F  F  50 m và chiều dài của đường đi của một tia sáng từ F  đến mái vòm rồi phản chiếu về F là 100 m . Viết phương trình chính tắc của elip đó. Giải Ta có F F  2c  50 , suy ra c  25 . Tổng khoảng cách F M  FM  2a  100 , suy ra a  50 . Ta có b 2  a 2  c 2  502  252  1875 . x2 y2 Vậy elip có phương trình  1. 2500 1875 x2 y2 Bài 5. Một tháp triển lãm có mặt cắt hình hypebol có phương trình  2  1 . Cho biết chiều cao của 182 36 tháp là 100 m và khoảng cách từ nóc tháp đến tâm đối xứng của hypebol bằng khoảng cách từ tâm đối xứng đến đáy. Tính bán kính nóc và bán kính đáy của tháp. Giải Do tính đối xứng của hypebol nên ta có hai bán kính của nóc và đáy tháp đều bằng r . Do điểm M (r;50) nằm trên hypebol nên thay tọa độ của điểm M vào phương trình của hypebol ta có: r 2 50 2 50 2  2  1  r  18 1  2  31( ).m 182 36 36 Vậy bán kính của nóc và đáy của tháp bằng 31m . Bài 6. Cổng chào của một thành phố dạng hình parabol có chiều cao h  25 m và khoảng cách giữa hai chân cổng là d  120 m . Hãy viết phương trình parabol của cổng chào. Giải Ta chọn hệ toạ độ như Hình 9. 11
Gọi parabol có Phương trình của parabol có dạng: y 2  2 px . Ta có M (25;60) là tọ ̣ độ một điểm tại chân 602 cổng chào.Thay toạ độ điểm M vào phương trình ( P) ta có: 602  2 p.25  p   72 50 Vậy phương trình của ( P) là y 2  144 x . PHẦN 2. BÀI TẬP TỰ LUẬN  CÂU HỎI TỰ LUẬN    Câu 1. Trong mặt phẳng Oxy , cho a  1;3 , b   2;1 . Tính a.b   Câu 2. Trong mặt phẳng Oxy , cho A  5; 2  , B 10;8 . Tính tọa độ của vec tơ AB       Câu 3. Trong mặt phẳng Oxy , cho a   x;2  , b   5;1 , c   x;7  . Tìm x nếu vec tơ c  2a  3b Câu 4. Trong mặt phẳng Oxy , cho tam giác ABC có A 1; 2  , B  1;1 , C  5; 1 . Tính cos A .  Câu 5. Viết phương trình đường thẳng đi qua A  1; 2  , nhận n   2; 4  làm véc tơ pháp tuyến Câu 6. Trong mặt phẳng Oxy , cho điểm A  1;3 và đường thẳng d : 2 x  y  2  0 . Khoảng cách từ A đến đường thẳng d Câu 7. Trong mặt phẳng Oxy , cho 2 đường thẳng  : x  y  2  0 và  :  x  1  0 . Tính góc giữa 2 đường thẳng  và   Câu 8. Trong mặt phẳng Oxy , xác định tâm I và bán kính R của đường tròn C  : x2  y2  6 x  2 y  6  0 . Câu 9. Trong mặt phẳng Oxy , viết phương trình đường tròn đường kính AB với A(3; 1), B(1; 5) x2 y 2 Câu 10. Trong mặt phẳng Oxy , xác định tiêu điểm của phương trình elip (E):  1 25 16 x2 y2 Câu 11. Trong mặt phẳng Oxy , xác định tiêu điểm của hypebol  1 16 9 Câu 12. Trong mặt phẳng Oxy , tìm phương trình chính tắc của Hyperbol  H  mà hình chữ nhật cơ sở có một đỉnh là  2; 3 . Câu 13. Trong mặt phẳng Oxy , viết phương trình chính tắc của Parabol biết đường chuẩn có phương 1 trình x   0 . 4    Câu 14. Cho ba vectơ a  (3; 1) , b  (1; 2) , c  (1;7) . Tìm tọa độ vectơ     u  a  2b  3c . Câu 15. Trong mặt phẳng Oxy , cho hình hình hành ABCD có A  2;3 , B  0; 4  , C  5; 4  . Tìm tọa độ đỉnh D
Câu 16. Trong mặt phẳng Oxy , cho hai điểm A 1; 4  , B  4; 2  . Xác định tọa độ giao điểm của đường thẳng đi qua hai điểm A, B với trục hoành Câu 17. Trong mặt phẳng Oxy, cho các điểm A  4; 2  , B  2;1 , C  0;3 , M  3;7  . Giả sử     AM  x. AB  y. AC  x, y    . Tính x  y Câu 18. Trong mặt phẳng Oxy , cho hình bình hành ABCD có đỉnh A  –2;1 và phương trình đường  x  1  4t thẳng chứa cạnh CD là  . Viết phương trình tham số của đường thẳng chứa cạnh  y  3t AB . Câu 19. Trong mặt phẳng Oxy , cho tam giác ABC với A 1;1 , B  0;  2  , C  4; 2  . Viết phương trình tổng quát của đường trung tuyến đi qua điểm B của tam giác ABC Câu 20. Cho đường thẳng d1 : 2 x  3 y  15  0 và d 2 : x  2 y  3  0 . Xác định vị trí tương đối của 2 đường thẳng đã cho. Câu 21. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để khoảng cách từ điểm A  1; 2  đến đường thẳng  : mx  y  m  4  0 bằng 2 5 . Câu 22. Cho đường tròn  C  : x 2  y 2  2 x  4 y  4  0 và điểm A 1;5  . Đường thẳng nào trong các đường thẳng dưới đây là tiếp tuyến của đường tròn  C  tại điểm A . Câu 23. Trong mặt phẳng Oxy , Viết phương trình đường tròn đi qua ba điểm A 1; 2  , B  5; 2  , C 1; 3 Câu 24. Trong hệ trục tọa độ Oxy , cho điểm I 1;1 và đường thẳng  d  : 3x  4 y  2  0 . Viết phương trình đường tròn tâm I và tiếp xúc với đường thẳng  d  Câu 25. Viết phương trình chính tắc của Elip có độ dài trục lớn bằng 8 , độ dài trục nhỏ bằng 6 Câu 26. Viết phương trình chính tắc của Hypebol có tiêu cự 2c  10 và độ dài trục thực 2a  6 1  Câu 27. Viết phương trình chính tắc của Parabol có tiêu điểm F  ;0  2  Câu 28. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hai đường thẳng d1 : 2 x  y  2  0, d 2 : x  y  3  0 và điểm M  3;0  . Xác định phương trình đường thẳng  đi qua điểm M , cắt d1 và d 2 lần lượt tại hai điểm A và B sao cho M là trung điểm của đoạn thẳng AB Câu 29. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, Xác định phương trình đường thẳng  đi qua điểm M  2;1 và tạo với các tia Ox, Oy một tam giác có diện tích bằng 4 Câu 30. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, Xác định phương trình đường thẳng  song song với đường thẳng d : 2 x  y  2022  0 và cắt hai trục tọa độ tại M và N sao cho MN  3 5 Câu 31. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hai điểm A  2; 4  , B  3;5  . Viết phương trình tổng quát của đường thẳng  đi qua điểm I  0;1 sao cho khoảng cách từ A đến đường thẳng  gấp hai lần khoảng cách từ B đến . Câu 32. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có phương trình cạnh BC : x  y  9  0, đường cao qua đỉnh B, C lần lượt có phương trình d1 : x  2 y  13  0 và d 2 : 7 x  5 y  49  0. Tìm tọa độ điểm A Câu 33. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hai điểm A  3; 4  , B  1; 2  và đường thẳng d : x  2 y  2  0. Tìm điểm M thuộc d sao cho MA2  2 MB 2 lớn nhất. 13
Câu 34. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hai điểm A 1; 2  , B  4;1 và đường thẳng d : 2 x  y  5  0. Xác định phương trình đường tròn  C  có tâm thuộc đường thẳng d và đi qua hai điểm A, B Câu 35. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường thẳng d1 : x  3 y  8  0, d 2 : 3x  4 y  10  0 và điểm A  2;1 . Xác định phương trình đường tròn  C  có tâm thuộc đường thẳng d1 , đi qua hai điểm A và tiếp xúc với d 2 Câu 36. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, lập phương trình chính tắc của Elip, biết rằng tứ giác ABCD là hình thoi có bốn đỉnh trùng với các đỉnh của Elip, bán kính đường tròn nội tiếp hình 1 thoi bằng 2 và tâm sai của Elip bằng . 2 Câu 37. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho parabol  P  : y 2  8 x có tiêu điểm F . Biết điểm M  a; b  nằm trên  P  để diện tích tam giác OMF bằng 8 , khi đó a 2  b bằng bao nhiêu? Câu 38. Cho tam giác ABC có đường tròn nội tiếp tiếp xúc với BC , CA , AB tại D , E , F . Cho D (2, 2) , EF : y  1  0 , A (1,5) . Tìm tọa đô các đỉnh B và C Câu 39. Trong mặt phẳng Oxy , cho tam giác ABC , biết B(5; 4) nội tiếp đường tròn tâm I . Các tiếp tuyến tại B và C cắt nhau tại M , đường thẳng AM cắt đường tròn tại E . Gọi K là điểm đối xứng của E qua I . Các đường thẳng KB , EC cắt nhau tại P(4;8) , các đường thẳng EB , KC cắt nhau tại Q . Tìm tọa độ điểm Q , biết M nằm trên đường thẳng d : x  y  1  0 . Câu 40. Trong mặt phẳng Oxy , cho điểm A(0; 2), B(2;3) và đường tròn (C ) : ( x  1) 2  ( y  3) 2  5 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 3MA  2MB , với M là điểm thuộc (C ) . Câu 41. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Đề các vuông góc Oxy , cho đường tròn tâm I (2;3) nội tiếp trong tam giác ABC . Gọi D là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác IBC . Viết phương trình tổng quát của đường thẳng ( AD) biết A(5;1) .   Câu 42. Cho số thực   0     . Góc giữa hai tiếp tuyến được vẽ từ điểm P đến đường tròn có  4 phương trình x  y  6 x  10 y  3sin 3   4 cos  sin 2   34  0 là 2 . Tìm quỹ tích điểm P 2 2 LỜI GIẢI CHI TIẾT    Câu 1. Trong mặt phẳng Oxy , cho a  1;3 , b   2;1 . Tính a.b Lời giải  Ta có: a.b  1.  2   3.1  1.   Câu 2. Trong mặt phẳng Oxy , cho A  5; 2  , B 10;8  . Tính tọa độ của vec tơ AB Lời giải   Ta có: AB  10  5;8  2    5;6  .       Câu 3. Trong mặt phẳng Oxy , cho a   x;2  , b   5;1 , c   x;7  . Tìm x nếu vec tơ c  2 a  3b Lời giải     x  2 x  3.  5   Ta có: c  2a  3b    x  15 . 7  2.2  3.1 
Câu 4. Trong mặt phẳng Oxy , cho tam giác ABC có A 1; 2  , B  1;1 , C  5; 1 . Tính cos A . Lời giải    Ta có AB   2; 1 , AC   4; 3 suy ra      AB. AC   2  .4   1 .  3 5 1  cos A  cos AB , AC =  AB. AC  2 2 2  5 25  5 .  2    1 . 42   3  Câu 5. Viết phương trình đường thẳng đi qua A  1; 2  , nhận n   2; 4  làm véc tơ pháp tuyến Lời giải  Gọi  d  là đường thẳng đi qua A  1; 2  và nhận n   2; 4  làm VTPT   d  : x  1  2  y  2  0  x  2 y  5  0 Câu 6. Trong mặt phẳng Oxy , cho điểm A  1;3 và đường thẳng d : 2 x  y  2  0 . Khoảng cách từ A đến đường thẳng d Lời giải 2. 1  3  2 3 5 d  A, d    . 22   1 2 5 Câu 7. Trong mặt phẳng Oxy , cho 2 đường thẳng  : x  y  2  0 và  :  x  1  0 . Tính góc giữa 2 đường thẳng  và   Lời giải    u .u 1.  1   1 .0 2 cos  ,           ,    45o . u  . u  2 2 1   1 .  1  0 2 2 2 Câu 8. Trong mặt phẳng Oxy , xác định tâm I và bán kính R của đường tròn  C  : x 2  y 2  6 x  2 y  6  0 . Lời giải a  3, b  1, c  6  tâm I  3; 1 , bán kính R  a 2  b 2  c  2 . Câu 9. Trong mặt phẳng Oxy , viết phương trình đường tròn đường kính AB với A(3; 1), B(1; 5) Lời giải Gọi I là trung điểm AB thì I  2; 3  . 2 2 Đường tròn đường kính AB có tâm I  2; 3  và bán kính IA   3  2    1  3  5 nên 2 2 có phương trình  x  2    y  3  5 . x2 y2 Câu 10. Trong mặt phẳng Oxy , xác định tiêu điểm của phương trình elip (E):  1 25 16 Lời giải 2 2 Theo giả thiết ta suy ra a  25; b  16 , khi đó c  a 2  b 2  3 Ta có hai tiêu điểm F1  3;0  và F2  3; 0  . x2 y2 Câu 11. Trong mặt phẳng Oxy , xác định tiêu điểm của hypebol  1 16 9 Lời giải  a 2  16 a  5  2  Ta có : b  9  b  3. Các tiêu điểm là F1   5;0  , F2  5;0  . c 2  a 2  b 2 c  5   15
Câu 12. Trong mặt phẳng Oxy , tìm phương trình chính tắc của Hyperbol  H  mà hình chữ nhật cơ sở có một đỉnh là  2; 3 . Lời giải 2 2 x y Gọi  H  : 2  2  1. a b Tọa độ đỉnh của hình chữ nhật cơ sở là A1   a; b  , A2  a; b  , A3  a; b  , A4   a; b  . a  2 Hình chữ nhật cơ sở của  H  có một đỉnh là  2; 3  , suy ra  . b  3 x2 y2 Phương trình chính tắc của  H  là   1. 4 9 Câu 13. Trong mặt phẳng Oxy , viết phương trình chính tắc của Parabol biết đường chuẩn có phương trình 1 x  0. 4 Lời giải Phương trình chính tắc của parabol  P  : y 2  2 px  p  0  . 1 1 Parabol có đường chuẩn x   0  p    P) : y2  x . 4 2    Câu 14. Cho ba vectơ a  (3; 1) , b  (1; 2) , c  ( 1; 7) . Tìm tọa độ vectơ     u  a  2b  3c . Lời giải   a   3; 1  a   3; 1      Ta có: b  1; 2   2b   2; 4  .    c   1;7    3c   3; 21      Vậy u  a  2b  3c   2; 24  . Câu 15. Trong mặt phẳng Oxy , cho hình hình hành ABCD có A  2;3 , B  0; 4  , C  5; 4  . Tìm tọa độ đỉnh D Lời giải Ta có: ABCD là hình bình hành nên      xD  xC  xA  xB  xD  5  2  0   xD  3 CD  BA     .  yD  yC  y A  yB  y D   4   3  4   yD  5 Vậy tọa độ điểm D  3; 5 . Câu 16. Trong mặt phẳng Oxy , cho hai điểm A 1; 4  , B  4; 2  . Xác định tọa độ giao điểm của đường thẳng đi qua hai điểm A, B với trục hoành Lời giải Gọi M  m;0  là giao điểm của đường thẳng AB và trục hoành. Khi đó A, B, M thẳng hàng.     Ta có: AB   5;  2  , AM   m  1;  4  . m  1 4 A, B, M thẳng hàng    m  9 . 5 2
Vậy M  9; 0  . Câu 17. Trong mặt phẳng Oxy , cho các điểm A  4; 2  , B  2;1 , C  0;3 , M  3;7  . Giả sử      AM  x. AB  y. AC  x, y    . Tính x  y Lời giải      AM  7;5  , AB  6; 1 , AC  4;1 .      Giả sử AM  x. AB  y. AC  x, y    .  13 6 x  4 y  7  x   10  Ta có hệ phương trình   .  x  y  5  y  37   10 13 37 12 Vậy x  y     . 10 10 5 Câu 18. Trong mặt phẳng Oxy , cho hình bình hành ABCD có đỉnh A  –2;1 và phương trình đường thẳng chứa  x  1  4t cạnh CD là  . Viết phương trình tham số của đường thẳng chứa cạnh AB .  y  3t Lời giải  Ta có: A  2;1  AB, uCD   4;3   Tứ giác ABCD là hình bình hành nên AB // CD  u AB  uCD   4; 3 .  x  2  4t Phương trình tham số của đường thẳng chứa cạnh AB :  t   .  y  1  3t Câu 19. Trong mặt phẳng Oxy , cho tam giác ABC với A 1;1 , B  0;  2  , C  4; 2  . Viết phương trình tổng quát của đường trung tuyến đi qua điểm B của tam giác ABC Lời giải 5 3   5 7   Gọi M là trung điểm của cạnh AC  M  ;   BM   ;  . 2 2 2 2  Đường trung tuyến BM nhận n   7;5  làm một véctơ pháp tuyến. Vậy phương trình tổng quát của đường trung tuyến qua điểm B của tam giác ABC là: 7 x  5( y  2)  0  7 x  5 y  10  0 . Câu 20. Cho đường thẳng d1 : 2 x  3 y  15  0 và d 2 : x  2 y  3  0 . Xác định vị trí tương đối của 2 đường thẳng đã cho. Lời giải  Đường thẳng d1 : 2 x  3 y  15  0 có một vectơ pháp tuyến là n1   2;3 và đường thẳng   d 2 : x  2 y  3  0 có một vectơ pháp tuyến là n2  1; 2  . 2 3    Ta thấy  và n1.n2  2.1  3.(2)  4  0 . 1 2 Vậy d1 và d2 cắt nhau và không vuông góc với nhau. Câu 21. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để khoảng cách từ điểm A  1; 2  đến đường thẳng  : mx  y  m  4  0 bằng 2 5 . Lời giải 17
m  2  m  4 Ta có: d  A;    2 5 m2  1  m  2  m  3  5. m 2  1  4m2  6m  4  0   . m  1  2 2 2 Câu 22. Cho đường tròn  C  : x  y  2 x  4 y  4  0 và điểm A 1;5  . Đường thẳng nào trong các đường thẳng dưới đây là tiếp tuyến của đường tròn  C  tại điểm A . Lời giải   Đường tròn  C  có tâm I 1; 2   IA   0;3 .   Gọi d là tiếp tuyến của  C  tại điểm A , khi đó d đi qua A và nhận vectơ IA là một VTPT.  Chọn một VTPT của d là nd   0;1 . Vậy phương trình đường thẳng d là y  5  0 . Câu 23. Trong mặt phẳng Oxy , Viết phương trình đường tròn đi qua ba điểm A 1; 2  , B  5; 2  , C 1; 3 Lời giải Phương trình đường tròn có dạng x 2  y 2  2ax  2by  c  0 . Đường tròn này qua A, B, C nên a  3 1  4  2a  4b  c  0    1 25  4  10a  4b  c  0  b   . 1  9  2a  6b  c  0  2   c  1  Vậy phương trình đường tròn cần tìm là x 2  y 2  6 x  y  1  0 . Câu 24. Trong hệ trục tọa độ Oxy , cho điểm I 1;1 và đường thẳng  d  : 3x  4 y  2  0 . Viết phương trình đường tròn tâm I và tiếp xúc với đường thẳng  d  Lời giải Đường tròn tâm I và tiếp xúc với đường thẳng d  có bán kính 3.1  4.1  2 R  d I,d   1 32  42 2 2 Vậy đường tròn có phương trình là:  x  1   y  1  1 . Câu 25. Viết phương trình chính tắc của Elip có độ dài trục lớn bằng 8 , độ dài trục nhỏ bằng 6 Lời giải x2 y 2 Phương trình Elip dạng:   1, a  b  0. a 2 b2 Do có độ dài trục lớn bằng 8  2 a  a  4 Do có độ dài trục nhỏ bằng 6  2b  a  3 x2 y 2 Vậy phương trình là   1. 16 9 Câu 26. Viết phương trình chính tắc của Hypebol có tiêu cự 2c  10 và độ dài trục thực 2a  6 Lời giải Ta có: 2c  10  c  5; 2a  6  a  3; b  52  32  4 .
x2 y 2 Phương trình chính tắc của Hypebol là:   1. 9 16 1  Câu 27. Viết phương trình chính tắc của Parabol có tiêu điểm F  ;0  2  Lời giải 1  p 1 Parabol có tiêu điểm F  ;0  nên   p  1 2  2 2 Vậy Parabol có phương trình là: y 2  2 x . Câu 28. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho hai đường thẳng d1 : 2 x  y  2  0, d 2 : x  y  3  0 và điểm M  3;0  . Xác định phương trình đường thẳng  đi qua điểm M , cắt d1 và d 2 lần lượt tại hai điểm A và B sao cho M là trung điểm của đoạn thẳng AB Lời giải Ta có A  x A ; y A   d1  y A  2 xA  2 và B  xB ; yB   d 2  yB   xB  3.  xA  xB  2 xM  xA  xB  6  11 16  Lại có M là trung điểm của đoạn AB nên    A ; .  y A  y B  2 yM  2 xA  xB  5 3 3    2 16  2 Phương trình đường thẳng  đi qua điểm M  3;0  nhận AM   ; // 1;8  làm VTCP có  3 3  3 x3 y 0 phương trình là   8 x  y  24  0. 1 8 Câu 29. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , Xác định phương trình đường thẳng  đi qua điểm M  2;1 và tạo với các tia Ox, Oy một tam giác có diện tích bằng 4 Lời giải Gọi   Ox  A  a;0  và   Oy  B  0; b  với a, b  0. x y Khi đó ta có phương trình chính tắc của đường thẳng  :   1. a b 2 1 M  d    1 a  2b  ab a  4 Theo đề bài ta có:   a b   .  S OAB  4 ab  8 ab  8 b  2  Vậy phương trình đường thẳng  có dạng: x  2 y  4  0. Câu 30. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , Xác định phương trình đường thẳng  song song với đường thẳng d : 2 x  y  2022  0 và cắt hai trục tọa độ tại M và N sao cho MN  3 5 Lời giải Vì  / /d nên  có dạng: 2 x  y  c  0,  c  2022  .  c    c   Ta có   Ox  M  ;0  và   Oy  N  0; c  . Do đó ta có MN   ; c  .  2  2  19
c2 Theo đề bài ta có MN  3 5   c 2  3 5  c 2  36  c  6. 4 Vậy phương trình đường thẳng  : 2 x  y  6  0. Câu 31. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho hai điểm A  2; 4  , B  3;5  . Viết phương trình tổng quát của đường thẳng  đi qua điểm I  0;1 sao cho khoảng cách từ A đến đường thẳng  gấp hai lần khoảng cách từ B đến . Lời giải  Gọi n   a; b  với a  b  0 là VTPT của đường thẳng . 2 2 Khi đó ta có:  : a.  x  0   b.  y  1  0 hay ax  by  b  0. 2a  4b  b 3a  5b  b Theo đề bài ta có d  A;    2d  B;     2. 2 2 a b a 2  b2 8a  5b  0  2a  3b  2 3a  4b   .  4a  11b  0 TH1: Với 8a  5b  0, ta chọn a  5  b  8. Khi đó  : 5 x  8 y  8  0. TH2: Với 4a  11b  0, ta chọn a  11  b  4. Khi đó  :11x  4 y  4  0. Câu 32. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho tam giác ABC có phương trình cạnh BC : x  y  9  0, đường cao qua đỉnh B, C lần lượt có phương trình d1 : x  2 y  13  0 và d 2 : 7 x  5 y  49  0. Tìm tọa độ điểm A Lời giải  x  2 y  13  0  x  5 Có B  d1  BC  tọa độ điểm B là nghiệm của hệ:    B  5; 4  . x  y  9  0 y  4 7 x  5 y  49  0  x  2 C  d2  BC  tọa độ điểm C là nghiệm của hệ:    C  2;7  . x  y  9  0 y  7 Đường thẳng AC đi qua C và vuông với d1 có phương trình là AC : 2 x  y  3  0. Đường thẳng AB đi qua B và vuông với d 2 có phương trình là AB : 5 x  7 y  3  0. 2 x  y  3  0 Mà AB  AC  A  tọa độ điểm A là nghiệm của hệ:   A  2;  1 . 5 x  7 y  3  0 Câu 33. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho hai điểm A  3; 4  , B  1; 2  và đường thẳng d : x  2 y  2  0. Tìm điểm M thuộc d sao cho MA2  2 MB 2 lớn nhất. Lời giải Vì M  d  M  2a  2; a  .   2 2 Ta có AM   2a  1; a  4   MA2   2a  1   a  4   5a 2  12a  17.