Tóm tắt Luận án Tiến sĩ Cơ kỹ thuật: Phân tích phi tuyến ứng xử tĩnh và ổn định của tấm bằng vật liệu FGM rỗng

Chia sẻ: Hương Hoa Cỏ Mới | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:27

Thêm vào BST

Báo xấu

37
lượt xem 6
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Mục đích của luận án là trên cơ sở lý thuyết biến dạng cắt bậc nhất và lý thuyết tấm cổ điển xây dựng các hệ thức quan hệ và các phương trình chủ đạo của tấm bằng vật liệu FGM rỗng với hệ toạ độ quy chiếu đặt trên mặt trung hoà. Tấm đặt trên nền đàn hồi Pasternak với các điều kiện biên khác nhau, có kể đến độ không hoàn hảo hình học ban đầu và thành phần biến dạng phi tuyến hình học von Kárman.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Tóm tắt Luận án Tiến sĩ Cơ kỹ thuật: Phân tích phi tuyến ứng xử tĩnh và ổn định của tấm bằng vật liệu FGM rỗng

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC XÂY DỰNG HÀ NỘI Lê Thanh Hải PHÂN TÍCH PHI TUYẾN ỨNG XỬ TĨNH VÀ ỔN ĐỊNH CỦA TẤM BẰNG VẬT LIỆU FGM RỖNG Chuyên ngành: Cơ kỹ thuật Mã số: 9520101 TÓM TẮT LUẬN ÁN TIẾN SĨ Hà Nội - Năm 2022
Công trình được hoàn thành tại Trường Đại học Xây dựng Hà Nội Người hướng dẫn khoa học 1: GS. TS Trần Minh Tú - Trường Đại học Xây dựng Hà Nội Người hướng dẫn khoa học 2: GS. TS Lê Xuân Huỳnh - Trường Đại học Xây dựng Hà Nội Phản biện 1: GS. TSKH Nguyễn Đông Anh Phản biện 2: GS. TS Nguyễn Tiến Chương Phản biện 3: GS. TS Trần Ích Thịnh Luận án sẽ được bảo vệ trước Hội đồng chấm luận án tiến sĩ cấp Trường họp tại Trường Đại học Xây dựng Hà Nội. vào hồi ...... giờ ......', ngày ..... tháng ..... năm 2022 Có thể tìm hiểu luận án tại: - Thư viện Quốc gia và thư viện Trường Đại học Xây dựng Hà Nội.
1 MỞ ĐẦU 1. Tính cấp thiết của đề tài  Vật liệu FGM rỗng (functionally graded porous materials – FGPMs) là một trong những biến thể của vật liệu FGM. Trong cấu trúc loại vật liệu này có chứa các lỗ rỗng với kích thước và mật độ biến thiên theo một quy luật nhất định, như vậy các cơ tính vật liệu có thể được coi là biến đổi trơn theo tọa độ không gian kết cấu. Là loại vật liệu nhẹ với khả năng hấp thụ năng lượng tốt, cũng như hệ số truyền nhiệt thấp, nên chúng thường được sử dụng để chế tạo những cấu kiện chịu tải trọng động, cách âm, cách nhiệt,… Nghiên cứu ứng xử cơ học của kết cấu tấm bằng vật liệu FGM rỗng phục vụ công tác hướng dẫn thiết kế, thi công và bảo trì đã và đang là vấn đề có tính cấp thiết, có ý nghĩa khoa học lẫn thực tiễn.  Phân tích phi tuyến ứng xử của kết cấu tuy phức tạp, đòi hỏi những phương pháp tiếp cận với độ phức tạp về mặt toán học cao, tuy nhiên đây vẫn là hướng nghiên cứu thu hút được sự quan tâm của giới chuyên môn do phản ánh sát hơn sự làm việc thực tế của kết cấu. Trên cơ sở đó luận án lựa chọn đề tài: “Phân tích phi tuyến ứng xử tĩnh và ổn định của tấm bằng vật liệu FGM rỗng”. 2. Mục tiêu nghiên cứu của luận án  Trên cơ sở lý thuyết biến dạng cắt bậc nhất và lý thuyết tấm cổ điển xây dựng các hệ thức quan hệ và các phương trình chủ đạo của tấm bằng vật liệu FGM rỗng với hệ toạ độ quy chiếu đặt trên mặt trung hoà. Tấm đặt trên nền đàn hồi Pasternak với các điều kiện biên khác nhau, có kể đến độ không hoàn hảo hình học ban đầu và thành phần biến dạng phi tuyến hình học von Kárman.  Thiết lập lời giải giải tích cho bài toán phân tích phi tuyến ứng xử uốn của tấm vật liệu FGM rỗng theo hai cách tiếp cận: theo ứng suất và theo chuyển vị.  Thiết lập lời giải giải tích cho bài toán phân tích phi tuyến ổn định và sau ổn định của tấm vật liệu FGM rỗng theo tiếp cận ứng suất.  Viết chương trình tính trên nền Matlab để khảo sát ảnh hưởng của tham số vật liệu, kích thước hình học, hệ số nền đàn hồi, điều kiện biên và tải trọng đến độ võng, đường cong tải-mô men uốn, lực tới hạn và đường cong sau ổn định của tấm bằng vật liệu FGM rỗng. 3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu của luận án  Đối tượng nghiên cứu của luận án là tấm chữ nhật có chiều dày không đổi, đặt trên nền đàn hồi với các điều kiện biên khác nhau. Vật liệu FGM rỗng, cụ thể là bọt kim loại (open-cell metal foam) với các lỗ rỗng biến đổi trơn theo chiều dày tấm theo ba quy luật: phân bố đều, không đều đối xứng và không đều bất đối xứng được khảo sát. Các hằng số vật liệu như vậy cũng biến đổi trơn theo ba quy luật trên, tuy nhiên để đơn giản, hệ số Poisson được xem là không thay đổi theo chiều dày tấm.  Phạm vi nghiên cứu của luận án là: phân tích phi tuyến ứng xử uốn và ổn định của tấm FGM rỗng: xác định độ võng, thành phần nội lực; tải trọng tới hạn và đường cong sau ổn định của tấm vật liệu FGM rỗng. 4. Phương pháp nghiên cứu  Phương pháp nghiên cứu trong luận án là nghiên cứu lý thuyết và thực nghiệm số. Trên cơ sở của lý thuyết biến dạng cắt bậc nhất và lý thuyết tấm cổ điển, các hệ thức quan hệ phi tuyến và các phương trình chủ đạo của tấm vật liệu FGM rỗng trên nền đàn hồi đã được thiết lập có xét đến vị trí thực của mặt trung hoà.  Chương trình tính trên nền Matlab đã được xây dựng nhằm khảo sát ảnh hưởng của các tham số thiết kế đến ứng xử phi tuyến uốn, ổn định và sau ổn định của tấm bằng vật liệu FGM rỗng với các điều kiện biên SSSS, CCCC, SCSC. 5. Những đóng góp mới của Luận án  Luận án đã xây dựng hệ thức cơ bản và các phương trình chủ đạo, để phân tích phi tuyến ứng xử tĩnh và ổn định của tấm bằng vật liệu FGM rỗng không hoàn hảo đặt trên nền đàn hồi, có kể đến vị trí thực của mặt trung hoà, và thành phần phi tuyến hình học von Kárman, dựa trên lý thuyết biến dạng cắt bậc nhất và lý thuyết tấm cổ điển.  Thiết lập lời giải giải tích theo phương pháp ứng suất và phương pháp chuyển vị để khảo sát ứng xử phi tuyến uốn tấm FGM rỗng. Sử dụng phương pháp Bubnov-Galerkin để thu được hệ phương trình đại số phi tuyến xác định độ võng và thành phần nội lực của tấm hoàn hảo với các mức tải trọng và điều kiện biên khác nhau.  Sử dụng hàm ứng suất Airy, kết hợp với phương pháp Bubnov-Galerkin, đã thiết lập được biểu thức hiển của tải tới hạn và quan hệ tải - độ võng của tấm bằng vật liệu FGM rỗng hoàn hảo và không hoàn hảo chịu nén trong mặt trung hòa.  Các kết quả khảo sát cho thấy ảnh hưởng rõ rệt của các tham số vật liệu (quy luật phân bố, hệ số lỗ rỗng), nền đàn hồi, điều kiện biên, kích thước hình học đến ứng xử tĩnh và ổn định của tấm FGM rỗng. Bộ số liệu thu được cùng các nhận xét mang tính kỹ thuật là nguồn tham khảo hữu ích cho công tác thiết kế, thi công và bảo trì các kết cấu sử dụng vật liệu FGM rỗng trong thực tế.
2 6. Bố cục của luận án  Luận án gồm: Mở đầu, bốn chương chính, kết luận, danh mục các công trình khoa học của tác giả, tài liệu tham khảo và phụ lục. CHƯƠNG 1. TỔNG QUAN VẤN ĐỀ NGHIÊN CỨU Chương này giới thiệu tóm tắt về vật liệu FGM rỗng, phương pháp chế tạo và tính chất cơ học của vật liệu, kết cấu bằng vật liệu FGM rỗng và ứng dụng. Tổng quan tình hình nghiên cứu trong và ngoài nước về kết cấu bằng vật liệu FGM và FGM rỗng. Qua nghiên cứu tổng quan, các nghiên cứu phân tích về kết cấu dầm và tấm bằng vật liệu FGM rỗng (metal foam) hay bằng vật liệu FGM có chứa vi bọt rỗng (FGM with porosity) ta có thể thấy rằng còn có ít các công trình nghiên cứu về ứng xử phi tuyến uốn, ổn định và sau ổn định của kết cấu tấm sử dụng vật liệu FGM rỗng. Đặc biệt là chưa có phân tích, so sánh đánh giá một cách đầy đủ về hai cách tiếp cận ứng suất và chuyển vị để giải quyết bài toán uốn, ổn định và sau ổn định của tấm FGM rỗng có kể đến tính phi tuyến hình học. Với tiềm năng sử dụng loại vật liệu này hiện tại và trong tương lai, tác giả luận án đề xuất hướng nghiên cứu của mình với định hướng về phân tích phi tuyến ứng xử uốn của kết cấu tấm FGM rỗng bằng phương pháp giải tích với hai cách tiếp cận: theo chuyển vị và theo ứng suất (sử dụng hàm ứng suất Airy). Phân tích ổn định và sau ổn định tấm FGM rỗng theo tiếp cận ứng suất. Với việc chọn hệ quy chiếu gắn với mặt trung hoà, các phương trình cơ bản và hệ phương trình cân bằng chủ đạo xây dựng theo hai mô hình tấm: lý thuyết biến dạng cắt bậc nhất và lý thuyết tấm cổ điển nhận được sẽ đơn giản hơn so với cách tính trên mặt trung bình hình học. CHƯƠNG 2. CƠ SỞ LÝ THUYẾT TÍNH TOÁN TẤM VẬT LIỆU FGM RỖNG CÓ KỂ ĐẾN YẾU TỐ PHI TUYẾN HÌNH HỌC 2.1. Mở đầu Phân tích phi tuyến ứng xử của các cấu kiện công trình là bài toán phức tạp nhưng rất có ý nghĩa thực tiễn do phản ánh gần hơn sự làm việc thực tế của kết cấu công trình. Với các loại vật liệu mới nói chung và vật liệu FGM rỗng nói riêng thì hướng nghiên cứu này có tính thời sự và tính cấp thiết. Trong chương này, tác giả sẽ trình bày trường chuyển vị, biến dạng và nội lực theo lý thuyết biến dạng cắt bậc nhất và lý thuyết tấm cổ điển cho tấm chữ nhật bằng vật liệu FGM rỗng có xét đến vị trí thực của mặt trung hòa. Các hệ thức cơ bản và phương trình chủ đạo được thiết lập trên cơ sở xét đến độ võng lớn (kể đến thành phần biến dạng phi tuyến von Kárman) với hệ tọa độ quy chiếu gắn với mặt trung hòa. 2.2. Mô hình tấm bằng vật liệu FGM rỗng Để thiết lập các hệ thức và phương trình chủ đạo của tấm FGM rỗng, các tọa độ chiều dày trong hệ tọa độ quy chiếu đi qua mặt trung bình và mặt trung hòa là ztb và zth được thể hiện trên hình (xem Hình 2.1). Hình 2.1. Vị trí mặt trung bình và mặt trung hòa của tấm vật liệu FGM rỗng Khoảng cách giữa mặt trung hòa và mặt trung bình được xác định theo [11,53]: h /2  ztb E ( ztb )dztb  h /2 C (2.1) h /2  E ( ztb )dztb  h /2 Khi đó các đặc trưng cơ học của vật liệu FGM rỗng trong hệ tọa độ gắn với mặt trung hòa được thể hiện theo công thức (2.2) - (2.4): Dạng 1: Phân bố đều:  E ( zth ), G( zth )  E1 , G1 1  e0    2 1 1 2 2   ;    1  e0   1 (2.2)   ( zth )  1 1  e0    e0 e0     Dạng 2: Phân bố không đều - đối xứng:   z  C    zth  C   E ( zth ), G( zth )  E1, G1 1  e0 cos th  ;  ( zth )  1 1  em cos . (2.3)  h   h 
3 Dạng 3: Phân bố không đều – bất đối xứng:    z  C      z  C   E ( zth ), G( zth )  E1, G1 1  e0 cos  th   ;  ( zth )  1 1  em cos  th   . (2.4)  2 h 4   2 h 4  h h trong đó:   C  zth   C; 2 2 2.3. Lý thuyết biến dạng cắt bậc nhất 2.3.1. Trường chuyển vị Sử dụng hệ tọa độ quy chiếu đi qua mặt trung hòa, các thành phần chuyển vị u, v, w của điểm bất kỳ (x, y, zth) trong không gian tấm được giả thiết [91]: u  x, y, zth   u0  x, y   zth x  x, y  ; v  x, y, zth   v0  x, y   zth y  x, y  ; w  x, y, zth   w0  x, y  . (2.5) 2.3.2. Trường biến dạng Theo lý thuyết biến dạng cắt bậc nhất, các thành phần biến dạng có kể đến thành phần phi tuyến hình học von Kárman và xét đến độ không hoàn hảo hình học ban đầu w0* , được thể hiện như dưới đây [51, 90, 91]: 1 1  x  u, x  u0, x  w0, 2 x  w0, x w0, x  zth x , x ;  y  v, y  v0, y  w0, y  w0, y w0, y  zth y , y ; * 2 * 2 2  zth  w, z  0; (2.6)   xy  u, y  v, x  u0, y  v0, x  w0, x w0, y  w0, y w0, *    x  w0, x w0, y  zth  x, y   y , x ; *  xzth  w, x  u, z  w0, x   x ;  yzth  w, y  v, z  w0, y   y . trong đó w0*  w0*  x, y  là độ không hoàn hảo hình học ban đầu và được giả thiết nhỏ hơn chiều dày của tấm. 2.3.3. Trường ứng suất Với giả thiết vật liệu FGM rỗng là đàn hồi tuyến tính, trường ứng suất trong tấm được xác định từ định luật Hooke:    Q Q12 0   x   x   11     xzth    Q55 0   xzth     y   Q21 Q22 0    y ;        0  (2.7)    0 Q44   yzth  Q66   xy    yzth     xy   0   2.3.4. Trường nội lực Các thành phần nội lực trong tấm được xác định từ biểu thức định nghĩa:  0  N   A A12 0   x   x   11    N y    A12 A11 0   0y  ;    0 A66   0   N xy   0  xy  (2.8) M  C 0   x    xzth  C12 0  x   11    Qxzth   A44 s 0   M y   C12 C11 0   y  ;        yzth   0 s    yzth  Q 0    0 0 C66   xy  A44  M xy     Từ (2.8) có thể thấy rằng, việc sử dụng hệ trục quy chiếu đi qua mặt trung hòa cho vật liệu FGM rỗng, tương tác màng - uốn đã bị loại bỏ; từ đó quan hệ giữa ứng lực và biến dạng, cũng như hệ phương trình cân bằng theo chuyển vị trở nên đơn giản hơn, các hệ thức này tương tự như đối với vật liệu đẳng hướng. 2.3.5. Mối liên hệ giữa nội lực và chuyển vị Từ (2.6) và (2.8) ta thu được biểu thức các thành phần nội lực theo các thành phần chuyển vị:  1 2 *   1 2 *  N x  A11  u0, x  w0, x  w0, x w0, x   A12  v0, y  w0, y  w0, y w0, y  ;  2   2   1 2 *   1 2 *  N y  A12  u0, x  w0, x  w0, x w0, x   A11  v0, y  w0, y  w0, y w0, y  ; (2.9)  2   2   N xy  A66 u0, y  v0, x  w0, x w0, y  w0, y w0, * x  w0, x w0, y ; * 
4   M x  C11 x, x  C12 y , y ; M y  C12 x, x  C11 y , y ; M xy  C66  x, y   y , x ; Qxzth  A44 s    x  w0, x ; Q yzth  A44 s   y  w0, y  2.3.6. Hệ phương trình cân bằng Hệ phương trình cân bằng được xác định theo nguyên lý thế năng toàn phần cực tiểu, và có dạng [88]:  u0 : N x, x  N xy , y  0 (2.10)  v0 : N xy , x  N y , y  0 (2.11)   w0 : Qxzth , x  Q yzth , y  N x w0, xx  w0, *   xx  2 N xy w0, xy  w0, xy *    (2.12)  N y w0, yy  w0, * yy  K w w0  K sx w0, xx  K sy w0, yy  q  0  x : M x, x  M xy , y  Qxzth  0 (2.13)  y : M xy , x  M y , y  Q yzth  0 (2.14) 2.3.7. Hệ phương trình cân bằng theo chuyển vị Thay (2.9) vào (2.10-2.14) ta nhận được hệ phương trình cân bằng theo chuyển vị:  A11 u0, xx  w0, x w0, xx  w0, xx w0, *   x  w0, x w0, xx  A12 v0, xy  w0, y w0, xy  w0, xy w0, y  w0, y w0, xy * * *   u0, yy  v0, xy  w0, x w0, yy  w0, y w0, xy  (2.15)  A66  0   w0, yy w0, *  w w *  w w*  w w*   x 0, y 0, xy 0, xy 0, y 0, x 0, yy   A12 u0, xy  w0, x w0, xy  w0, xy w0, *   x  w0, x w0, xy  A11 v0, yy  w0, y w0, yy  w0, yy w0, y  w0, y w0, yy * * *   u0, xy  v0, xx  w0, xx w0, y  w0, x w0, xy  (2.16)  A66  0   w0, xy w0, *  w w *  w w*  w w*   x 0, y 0, xx 0, xx 0, y 0, x 0, xy  s A44 w0, yy  A44 s w0, xx  K w w0  K sx w0, xx  K sy w0, yy  A44 s  x, x  A44 s  y, y  A11u0, x w0, xx  A12u0, x w0, yy  2 A66u0, y w0, xy  A12 v0, y w0, xx  A11v0, y w0, yy A11 2 A A12 2 A 2 A66 v0, x w0, xy  w0, x w0, xx  12 w0, 2 y w0, xx  w0, x w0, yy  11 w0, 2 y w0, yy  2 A66 w0, x w0, y w0, xy 2 2 2 2  1 2 *  *  1 2 *  *  A11  u0, x  w0, x  w0, x w0, x  w0, xx  A12  v0, y  w0, y  w0, y w0, y  w0, xx (2.17)  2   2   1 2 *  *  1 2 *  *  A12  u0, x  w0, x  w0, x w0, x  w0, yy  A11  v0, y  w0, y  w0, y w0, y  w0, yy  2   2   2 A66 u0, y  v0, x  w0, x w0, y  w0, y w0*, x  w0, x w0, *  y w0, xy  q  0 * C11 x, xx  C66 x, yy   C12  C66   y , xy  A44 s  x  A44 s w0, x  0 (2.18)  C12  C66  x, xy  C66 y, xx  C11 y, yy  A44 s  y  A44 s w0, y  0 (2.19) Hệ phương trình (2.15) - (2.19) là năm phương trình cân bằng phi tuyến chủ đạo chứa năm ẩn chưa biết là u0 , v0 , w0 ,  x ,  y . Chúng được sử dụng để nghiên cứu phi tuyến ứng xử uốn và ổn định của tấm FGM rỗng đặt trên nền đàn hồi theo lý thuyết biến dạng cắt bậc nhất. 2.4. Lý thuyết tấm cổ điển Với lý thuyết tấm cổ điển (Classical plate theory - CPT), các góc xoay của pháp tuyến với mặt trung hoà là các đạo hàm bậc nhất của độ võng:  x   w0, x ;  y   w0, y . (2.20) Như vậy, trường chuyển vị được viết lại như trong công thức (2.21): u  x, y, zth   u0  x, y   zth w0, x ; v  x, y, zth   v0  x, y   zth w0, y ; w  x, y, zth   w0  x, y  . (2.21) Các thành phần biến dạng của lý thuyết tấm cổ điển được xác định như trong công thức (2.22):
5 1 1  x  u, x  u0, x  w0, 2 x  w0, x w0, x  zth w0, xx ;  y  v, y  v0, y  w0, y  w0, y w0, y  zth w0, yy ; * 2 * 2 2  zth  w, z  0; (2.22)   xy  u, y  v, x  u0, y  v0, x  w0, x w0, y  w0, y w0, *  x  w0, x w0, y  2 zth w0, xy ; *  xzth  w, x  u, z  0;  yzth  w, y  v, z  0. Hệ phương trình cân bằng theo lý thuyết tấm cổ điển thu được gồm ba phương trình: (2.10) - (2.11) và phương trình (2.23) dưới đây:   w0 : M x, xx  2 M xy , xy  M y , yy  N x w0, xx  w0, *   xx  2 N xy w0, xy  w0, xy *    (2.23)  N y w0, yy  w0, * yy  K w w0  K sx w0, xx  K sy w0, yy  q  0 Hệ phương trình cân bằng theo chuyển vị của lý tấm cổ điển gồm các phương trình: (2.15) - (2.16) và phương trình (2.24) dưới đây: C11 4 w0  K w w0  K sx w0, xx  K sy w0, yy  A11u0, x w0, xx  A12u0, x w0, yy  2 A66u0, y w0, xy 1 1  A12 v0, y w0, xx  A11v0, y w0, yy  2 A66 v0, x w0, xy  2 A11w0, x w0, xx  A12 w0, y w0, xx 2 2 2 1 1  A12 w0,2 x w0, yy  A11w0, y w0, yy  2 A66 w0, x w0, y w0, xy 2 2 2  1 2 *  *  1 2 *  * (2.24)  A11  u0, x  w0, x  w0, x w0, x  w0, xx  A12  v0, y  w0, y  w0, y w0, y  w0, xx  2   2   1 2   1 *  *  A12  u0, x  w0, x  w0, x w0, * x  w0, yy  A11  v0, y  w0, y  w0, y w0, y  w0, yy * 2  2   2   2 A66 u0, y  v0, x  w0, x w0, y  w0, y w0, *  x  w0, x w0, y w0, xy  q  0 * * Hệ phương trình (2.15), (2.16) và (2.24) là ba phương trình vi phân phi tuyến chủ đạo chứa ba ẩn chuyển vị chưa biết là u0 , v0 , w0 . Chúng được sử dụng để nghiên cứu ứng xử phi tuyến tĩnh và ổn định của tấm FGM rỗng đặt trên nền đàn hồi theo lý thuyết tấm cổ điển. 2.5. Tóm tắt chương 2 Trong chương 2, luận án sử dụng hệ trục quy chiếu là mặt trung hoà, xây dựng trường chuyển vị, các hệ thức cơ bản và phương trình chủ đạo của tấm vật liệu FGM rỗng trên nền đàn hồi, trên cơ sở lý thuyết biến dạng cắt bậc nhất và lý thuyết tấm cổ điển. Trường biến dạng có kể đến thành phần phi tuyến hình học von Kármán và xét đến độ không hoàn hảo ban đầu w0* , của tấm vật liệu FGM rỗng. Khi sử dụng mặt trung hòa là hệ trục quy chiếu cho tấm vật liệu FGM rỗng với cơ tính thay đổi theo chiều dày tấm đã giúp loại bỏ tương tác màng - uốn trong quan hệ nội lực - biến dạng; từ đó các hệ thức cơ bản cũng như hệ phương trình cân bằng theo chuyển vị trở nên đơn giản hơn và có dạng tương tự như áp dụng cho vật liệu đẳng hướng. Và do đó, tiết kiệm được thời gian tính toán hơn so với việc tính toán thông qua mặt trung bình. CHƯƠNG 3. PHÂN TÍCH PHI TUYẾN ỨNG XỬ UỐN CỦA TẤM BẰNG VẬT LIỆU FGM RỖNG 3.1. Mở đầu Trong chương này, với cơ sở lý thuyết đã được xây dựng, hai hướng tiếp cận theo chuyển vị và tiếp cận theo ứng suất sẽ được sử dụng để phân tích phi tuyến ứng xử uốn của tấm chữ nhật FGM rỗng đặt trên nền đàn hồi với một số điều kiện biên khác nhau. Trong phân tích tĩnh chỉ xét với tấm hoàn hảo, lúc đó trong các phương trình chủ đạo chỉ cần áp đặt w0*  0 . Hàm xấp xỉ chuyển vị được giả thiết dưới dạng hàm lượng giác kép, hệ phương trình đại số phi tuyến để giải nhận được bằng cách sử dụng phương pháp Bubnov-Galerkin trên cơ sở lý thuyết biến dạng cắt bậc nhất và lý thuyết tấm cổ điển. Ảnh hưởng của ba loại phân bố lỗ rỗng: phân bố đều, không đều đối xứng và không đều bất đối xứng cũng như hệ số mật độ lỗ rỗng, điều kiện biên và các tham số kích thước tấm, tham số nền đến độ võng và các thành phần nội lực sẽ được khảo sát. 3.2. Lời giải theo tiếp cận chuyển vị 3.2.1. Theo lý thuyết biến dạng cắt bậc nhất Với tấm hoàn hảo ( w0*  0 ) chịu uốn, các phương trình cân bằng theo chuyển vị của lý thuyết biến dạng cắt bậc nhất thu được từ (2.15) - (2.19) được viết lại dưới dạng (3.1) - (3.5):
6      A11 u0, xx  w0, x w0, xx  A12 v0, xy  w0, y w0, xy  A66 u0, yy  v0, xy  w0, x w0, yy  w0, y w0, xy  0  (3.1) A12  u0, xy  w0, x w0, xy   A11  v0, yy  w0, y w0, yy   A66  u0, xy  v0, xx  w0, xx w0, y  w0, x w0, xy   0 (3.2) s A44 w0, yy  A44 s w0, xx  K w w0  K sx w0, xx  K sy w0, yy  A44 s  x, x  A44 s  y , y  A11u0, x w0, xx  A12u0, x w0, yy  2 A66u0, y w0, xy  A12 v0, y w0, xx  A11v0, y w0, yy  2 A66v0, x w0, xy (3.3) A A12 2 A A11 2  11 w0, 2 x w0, xx  w0, y w0, xx  12 w0, 2 x w0, yy  w0, y w0, yy  2 A66 w0, x w0, y w0, xy  q  0 2 2 2 2 C11 x, xx  C66 x, yy   C12  C66   y , xy  A44 s  x  A44 s w0, x  0 (3.4)  C12  C66  x, xy  C66 y, xx  C11 y, yy  A44 s  y  A44 s w0, y  0 (3.5) Các loại điều kiện biên được xem xét đều không tự do dịch chuyển trong mặt phẳng tấm bao gồm: - Liên kết khớp 4 cạnh (SSSS): Tại x = 0, a: u0  v0  w0   y  0, M x  0 (3.6) Tại y = 0, b: u0  v0  w0   x  0, M y  0 - Liên kết ngàm 4 cạnh (CCCC): Tại x = 0, a và y = 0, b: u0  v0  w0   x   y  0 (3.7) - Liên kết đối xứng ngàm 2 cạnh, khớp 2 cạnh (SCSC): Tại x = 0, a: u0  v0  w0   y  0, M x  0 (3.8) Tại y = 0, b: u0  v0  w0   x  0 Với các điều kiện biên đã nêu ở trên ta chọn nghiệm chuyển vị dưới dạng các khai triển sau đây [9, 18, 87]: M N M N u0    u0mnU1m ( x)U 2n ( y); v0    v0mnV1m ( x)V2n ( y); (3.9) m 1 n 1 m 1 n 1 M N M N M N x     xmn X m' ( x)Yn ( y);  y     ymn X m ( x)Yn' ( y); w0    w0mn X m ( x)Yn ( y). (3.10) m1 n 1 m1 n 1 m1 n 1 trong đó: u0mn , v0mn , w0mn ,  xmn ,  ymn là các hệ số cần xác định; 2m x  2n  1  y  2m  1  x 2n y U1m ( x)  sin ; U 2n ( y )  sin ; V1m ( x)  sin ; V2n ( y)  sin ; a b a b với m, n  1, 2,3 Bảng 3.1. Các hàm dạng X m ( x ) và Yn ( y ) sử dụng trong khai triển (3.10) Điều kiện biên Tại x = 0, a Tại y = 0, b X m ( x) Yn ( y ) (m, n) m x n y SSSS Xm  Xm '' 0 Yn  Yn''  0 sin sin m, n  1,3,5.. a b m x n y m  1,3,5 SCSC Xm  Xm '' 0 Yn  Yn'  0 sin sin 2 a b n  1, 2,3 m x n y CCCC Xm  Xm ' 0 Yn  Yn'  0 sin 2 sin 2 m, n  1, 2,3.. a b Thay (3.9) - (3.10) vào (3.1) - (3.5), ta được:    u0mnlmn       w0mn w0 pq hmnpq M N M N M N (11)  v0mn lmn (12) (13)  0; m1 n 1 m1 n 1 p 1 q 1    u0mnlmn       w0mn w0 pq hmnpq M N M N M N (21)  v0mnlmn (22) (23)  0; m1 n 1 m1 n 1 p 1 q 1 (3.11)         M N M N M N (33) w0mn lmn   xmn lmn (34)   ymn lmn (35) (31) u0mn w0 pq hmnpq  v0mn w0 pq hmnpq (32) m 1 n 1 m 1 n 1 p 1 q 1 M N M N M N       w0mn w0 pq w0rs gmnpqrs (33)  q  0; m 1 n 1 p 1 q 1 r 1 s 1
7    w0mnlmn   0;    w0mnlmn(53)   xmnlmn(54)   ymnlmn(55)   0 M N M N (43)   xmn lmn (44)   ymn lmn (45) m1 n 1 m1 n 1 () () () trong đó: các hàm số lmn ( x, y ), hmnpq ( x, y ), g mnpqrx ( x, y ) trình bày ở Phụ lục 1 trong luận án. Áp dụng phương pháp Bubnov-Galerkin, bằng cách nhân các biểu thức trong hệ phương trình (3.11) với các hàm riêng tương ứng rồi thực hiện tích phân trên toàn bộ miền A của tấm, ta được: mnij  v0mn Lmnij       w0mn w0 pq H mnpqij  0;    u0mn L(11) M N M N M N (12) (13) m1 n 1 m1 n 1 p 1 q 1 mnij  v0mn Lmnij       w0mn w0 pq H mnpqij  0;    u0mn L(21) M N M N M N (22) (23) m1 n 1 m1 n 1 p 1 q 1 mnij   xmn Lmnij   ymn Lmnij        u0 mn w0 pq H mnpqij  v0 mn w0 pq H mnpqij     w0mn L(33) M N M N M N (34) (35) (31) (32) m 1 n 1 m 1 n 1 p 1 q 1 M N M N M N (3.12)      w0mn w0 pq w0rs Gmnpqrsij (33)  Fij  0; m 1 n 1 p 1 q 1 r 1 s 1 mnij   xmn Lmnij   ymn Lmnij   0;    w0mn L(43) M N (44) (45) m 1 n 1 mnij   xmn Lmnij   ymn Lmnij   0 .    w0mn L(53) M N (54) (55) m 1 n 1 trong đó: các hệ số L(mnij ) () , H mnpqij () , Gmnpqrsij , Fij được trình bày ở Phụ lục 2 trong luận án. Hệ phương trình (3.12) là hệ phương trình đại số phi tuyến. Sử dụng phép giải lặp Newton-Raphson ta nhận   ymn  T được nghiệm gần đúng là véc tơ các hệ số Q  u0mn  v0mn  w0mn   xmn  ; từ đó xác định được các thành phần chuyển vị, biến dạng, nội lực của bài toán phân tích phi tuyến tính tĩnh. Trong các phân tích tuyến tính, bỏ qua các thành phần biến dạng phi tuyến trong công thức (2.6); hệ () () phương trình đại số tuyến tính thu được từ (3.12) sau khi bỏ qua các thành phần phi tuyến H mnpqij , Gmnpqrsij 3.2.2. Theo lý thuyết tấm cổ điển Với các bước tiến hành hoàn toàn tương tự như khi giải theo lý thuyết biến dạng cắt bậc nhất, áp dụng ba điều kiện biên SSSS, CCCC, SCSC không thể tự do dịch chuyển trong mặt phẳng với tấm cổ điển, ta thu được hệ phương trình: mnij  v0mn Lmnij       w0mn w0 pq H mnpqij  0;    u0mn L(11) M N M N M N (12) (13) m1 n 1 m1 n 1 p 1 q 1 mnij  v0mn Lmnij       w0mn w0 pq H mnpqij  0;    u0mn L(21) M N M N M N (22) (23) m1 n 1 m1 n 1 p 1 q 1 (3.13) mnij       u0mn w0 pq H mnpqij  v0mn w0 pq H mnpqij  M N M N M N   w0mn L(33) (31) (32) m 1 n 1 m 1 n 1 p 1 q 1 . M N M N M N     (33) w0mn w0 pq w0rs Gmnpqrsij  Fij  0. m 1 n 1 p 1 q 1 r 1 s 1 trong đó: các hệ số L(mnij ) () , H mnpqij () , Gmnpqrsij , Fij được trình bày tương tự với lý thuyết tấm biến dạng cắt bậc nhất ở Phụ lục 2 trong luận án. Nghiệm của hệ phương trình đại số phi tuyến (3.13) là véc tơ chuyển vị Q  u0mn v0mn w0mn  ; T từ đó xác định được các phần chuyển vị, biến dạng, nội lực của bài toán phân tích phi tuyến tính tĩnh.
8 Trong các phân tích tuyến tính, bỏ qua các thành phần biến dạng phi tuyến trong công thức (2.22); hệ () () phương trình đại số tuyến tính thu được (3.13) sau khi bỏ qua các thành phần phi tuyến H mnpqij , Gmnpqrsij ; 3.3. Lời giải theo tiếp cận ứng suất 3.3.1. Theo lý thuyết biến dạng cắt bậc nhất Sử dụng hàm ứng suất Airy  ( x, y ) được định nghĩa theo: N x  , yy ; N y  , xx ; N xy  , xy . (3.14) Khi đó, hai phương trình (2.10) - (2.11) tự thỏa mãn. Phương trình (2.12) được viết lại theo chuyển vị và hàm ứng suất: s A44 w0, yy  A44 s w0, xx  A44 s  x, x  A44 s  y, y  , yy w0, xx  2, xy w0, xy (3.15) , xx w0, yy  K w w0  K sx w0, xx  K sy w0, yy  q  0 Mặt khác, phương trình tương thích biến dạng của tấm chữ nhật nhận được có dạng [20]:  x0, yy   0y , xx   xy 0 , xy  w0, xy  w0, xx w0, yy 2 (3.16) Các thành phần biến dạng màng có thể được xác định thông qua các thành phần lực dọc và hàm ứng suất: A11 A12 A11 A12  x0  Nx  Ny  , yy  , xx ; A11  A12 2 2 A11  A12 2 2 A11  A12 2 2 A11  A12 2 2 (3.17) A11 A12 A11 A12 1 1  0y  Ny  Nx  , xx  , yy ;  xy 0  N xy   , xy 2 A11  A12 2 2 A11  A12 2 2 A11  A12 2 2 A11  A12 2 A66 A66 Thay (3.17) vào phương trình tương thích (3.16), ta được: , xxxx  2, xxyy  , yyyy  D w0, 2  xy  w0, xx w0, yy  (3.18)  trong đó: D  A11 1  2 .  Hệ gồm các phương trình (3.4) - (3.5), (3.15) và phương trình (3.18) là hệ phương trình chủ đạo để giải bài toán uốn theo phương pháp ứng suất. Đây là hệ phương trình phi tuyến với 4 ẩn số độc lập: w0 , x , y ,  ; (3.19): C11 x, xx  C66 x, yy   C12  C66   y , xy  A44 s  x  A44 s w0, x  0;  C12  C66  x, xy  C66 y, xx  C11 y, yy  A44 s  y  A44 s w0, y  0; s A44 w0, yy  A44 s w0, xx  A44 s  x, x  A44 s  y, y  , yy w0, xx  2, xy w0, xy  , xx w0, yy (3.19)  K w w0  K sx w0, xx  K sy w0, yy  q  0; , xxxx  2, xxyy  , yyyy  D w0, 2  xy  w0, xx w0, yy .  Các loại điều kiện biên được xem xét đều không tự do dịch chuyển trong mặt phẳng tấm bao gồm: - Liên kết khớp 4 cạnh: (SSSS): Tại x = 0, a: u0  w0   y  0, M x  N xy  0 ; (3.20) Tại y = 0, b: v0  w0   x  0, M y  N xy  0 - Liên kết ngàm 4 cạnh: (CCCC): Tại x = 0, a: u0  w0   x   y  0, N xy  0 (3.21) Tại y = 0, b: v0  w0   x   y  0, N xy  0 - Liên kết đối xứng ngàm 2 cạnh, khớp 2 cạnh: (SCSC): Tại x = 0, a: u0  w0   y  0, N xy  M x  0 (3.22) Tại y = 0, b: v0  w0   x   y  0, N xy  0 Trong tiếp cận ứng suất các điều kiện u0  0 (tại x  0, a ) và v0  0 (tại y  0, b ) được thỏa mãn theo nghĩa trung bình: ba ba   u0, x dxdy  0;   v0, y dxdy  0. (3.23) 00 00 trong đó các đạo hàm riêng của chuyển vị màng u0,x và v0, y được rút ra từ quan hệ chuyển vị-biến dạng và biểu thức (3.17):
9 1 2 A11 A 1 2 u0, x   x0  w0, x  , yy  2 12 2 , xx  w0, x; 2 A11  A12 2 2 A11  A12 2 (3.24) 1 2 A11 A 1 2 v0, y   0y  w0, y  2 , xx  2 12 2 , yy  w0, y; 2 A11  A12 2 A11  A12 2 Theo đó, các hệ thức trong (3.23) trở thành: b a  A11 A12 1    A2 , yy  , xx  w0, x  dxdy  0; 2  0 0  11  A12  A12 2 2 2 2 A11  (3.25) b a A11 A12 1 2     A2  A2 , xx  A2  A2 , yy  2 w0, y  dxdy  0. 0 0  11 12 11 12  Với cả ba trường hợp điều kiện biên được xem xét, hàm ứng suất được chọn dưới dạng: y2 x2    ( x, y )  N x 0  N y0 (3.26) 2 2 trong đó: N x 0 , N y 0 là phản lực trên các cạnh của tấm do các cạnh không thể dịch chuyển trong mặt phẳng. Với hàm ứng suất được chọn như (3.26), ta xác định được: , xx  , xx  N y 0 ; (3.27) , yy  , yy  N x 0 . Thay (3.26) vào (3.24), ta được: b a     A2 A11 , yy  N x0   A2 A12A2 , xx  N y0   12 w0,2 x  dxdy  0; 0 0  11  2 A12 11 12  (3.28) b a 1 2  A11   A12      A2  A2 , xx  N y 0  A2  A2 , yy  N x0  2 w0, y  dxdy  0. 0 0  11 12 11 12  Từ đó ta xác định được các thành phần phản lực: ba 1  A A12 2  N x0    , yy  11 w0, x 2  ab 0 0  w0, y  dxdy; 2 2  (3.29) ba 1  A A11 2  ab 0 0  N y0  , xx  12 w0, 2 x w0, y  dxdy 2 2  Trong phương pháp ứng suất, các dạng nghiệm chuyển vị w0 ,  x ,  y vẫn được chọn dưới dạng khai triển tương tự như trong công thức (3.10). Lưu ý rằng, với cách chọn nghiệm không đổi so với phương pháp chuyển vị, sau khi thay các thành phần chuyển vị này vào hai phương trình (3.4) - (3.5), kết quả thu được vẫn là hai phương trình cuối của (3.12). Do đó, dưới đây ta sẽ tập trung xác định hàm ứng suất  theo w0 và thay vào phương trình (3.15) để thu được hệ chỉ gồm 3 phương trình theo w0 ,  x ,  y . Thay dạng nghiệm w0 từ (3.10) vào (3.18), ta được  : * Khi điều kiện biên là SSSS: Phương trình (3.18) trở thành:   p q r s  p  r   x  q  s   y    p   s    2 2       cos cos    a b a b  a   b    a b         p q r s 2  p  r   x  q  s   y    p   s   2        cos cos    a b a b  a   b    a b   D M N M N      4     0 pq rs  w w  4 p 1 q 1 r 1 s 1   p q r s  p 2  s  2    p  r  x  q  s  y  (3.30)        cos cos    a b a b  a   b    a b       p q r s  p 2  s 2    p  r  x  q  s  y         cos cos    a b a b  a   b    a b  
10 Từ đó, chọn nghiệm cho hàm ứng suất với  có dạng:   K1 cos  p   r x cos  q   s y        K cos    x cos    y   2 p r q s         w0 pq w0rs   (3.31) p q r s  K3 cos  p   r x cos  q   s y         K 4 cos  p   r x cos  q   s y        p r q s trong đó:  p  , r  ; q  , s  ; a a b b Theo đó, ta xác định được:   2    p  r  2 2  q  s 2  2   p  r  x  q  s  y  K  1  cos cos  a2 b2  a b      2     p  r 2  2  q  s 2  2   p  r  x  q  s  y   K 2    cos cos    a 2 b 2  a b  M N M N      4   4      w0 pq wrs    2 (3.32) p 1 q 1 r 1 s 1  K    p  r   2 q  s  2  2 2  cos  p  r   x  q  s   y   cos  3  a2 b2  a b       2    p  r  2 2  q  s   2 2  p  r  x  q  s  y   K 4    cos cos    a 2 b 2  a b      Đồng nhất các hệ số trong hai phương trình (3.31) và (3.32) ta thu được các hệ số K1 , K 2 , K3 , K 4 : K1  D 4   p r  q  s   2p  s2  ; (Khi p  r và q  s : K1  0 ); 2      2 2   p   r   q   s  K2  D 4   p r  q  s   2p  s2  ; K3  D 4   p r  q  s   2p  s2 ; K4  D 4   p r  q  s   2p  s2 .   2 2 2              2 2  2 2  2 2   p   r   q   s    p   r   q   s    p   r   q   s  Tiến hành tương tự với hai dạng điều kiện biên SCSC và CCCC, ta có: * Khi điều kiện biên là SCSC:     K1 cos  p   r x cos 2  q   s y  K 2 cos  p   r x cos 2  q   s y               w0 pq w0rs   K3 cos  p   r x cos 2  q   s y  K 4 cos  p   r x cos 2  q   s y   (3.33)            p q r s   K5 cos  p   r x cos 2  s y  K6 cos  p   r x cos 2  s y  trong đó các hệ số K1  K 6 được xác định bởi: K1  D 4   p r  q  s   2p  s2  ; (Khi p  r và q  s : K1  0 ); 2      2 2   p   r  4 q   s  K2  D 4  p r  q  s   2p  s2   ; K3   D 4   p r  q  s   2p  s2  ; 2 2          2 2  2 2   p   r  4 q   s    p   r  4  q   s 
11 K4   D 4   p r  q  s   2p  s2  ; K5  D 2 2 2  p s ; K6   D 2 2 2  p s . 2 2 2          2 2  2   2 2   p   r  4 q   s    p   r  4 s2     p   r  4  s  * Khi điều kiện biên là CCCC:  K1 cos 2  p   r x cos 2  q   s y          K cos 2    x cos 2    y  2 p r q s          K3 cos 2  p   r x cos 2  q   s y          w0 pq w0rs   K 4 cos 2  p   r x cos 2  q   s y     (3.34)     p q r s   K5 cos 2 p x cos 2  s y  K 6 cos 2 p x cos 2  q   s y      K cos 2 x cos 2    y  K cos 2    x cos 2  y   7 p q s 8 p r s       K cos 2    x cos 2  y  9 p r s    trong đó các hệ số K1  K 9 được xác định bởi: K1  D 16   p r  q  s   2p  s2  ; (Khi p  r và q  s : K1  0 ); 2      2 2   p   r   q   s  K2  D 16   p r  q  s   2p  s2 ; K3   D 16   p r  q  s   2p  s2  ; K4   D 16  p r  q  s   2p  s2 ;    2 2 2              2 2  2 2  2 2   p   r   q   s    p   r   q   s    p   r   q   s  D D 2 2 D 2 2   2p  s2  p s  p s K5  4 ; K6  8 ; K7  8 ;   2 2 2  2     2  2 2  2p   s2  p   q   s   p   q   s  D 2 2 D 2 2  p s  p s K  8 ; K  8 . 8 2 9 2         2 2   p   r   s2     p   r   s2   Thay các biểu thức xác định  trong (3.31) - (3.34), vào (3.27), ta biểu diễn được các thành phần phản lực: N x 0   w0 pq w0rs K (1) pqrs ; N y 0   w0 pq w0rs K pqrs . (2) (3.35) p q r s p q r s trong đó: các hệ số K (1) (2) pqrs , K pqrs được trình bày trong Phụ lục 5 trong luận án. Thay  và N x 0 , N y 0 vào (3.26) ta xác định được hàm ứng suất  ( x, y ); sau đó thay vào (3.15), ta được:   w0mnlmn (33)   xmn lmn (34)   ymn lmn (35)    w0mn w0 pq w0rs gmnpqrs (33) q 0 (3.36) m n m n p q r s () trong đó: lmn ( x, y ) tương tự như trong phương pháp chuyển vị được trình bày ở Phụ lục 1, các hàm số (3) g mnpqrs ( x, y ) được trình bày ở Phụ lục 5 trong luận án. Từ đây, ta có hệ ba phương trình bao gồm hai phương trình cuối của (3.12) và (3.36) xác định w0 ,  x ,  y . Nhân các biểu thức trong phương trình (3.36) với các hàm riêng tương ứng rồi thực hiện tích phân trên toàn bộ miền A của tấm, ta được: mnij   xmn Lmnij   ymn Lmnij    w0mn w0 pq w0rs Gmnpqrsij  Fij  0   w0mn L(33) (34) (35) (33) (3.37) m n m n p q r s
12 Ta có hệ ba phương trình bao gồm hai phương trình cuối của (3.12) và (3.37) xác định w0 ,  x ,  y . mnij   xmn Lmnij   ymn Lmnij   0;    w0mn Lmnij   xmn Lmnij   ymn Lmnij   0;    w0mn L(43) M N M N (44) (45) (53) (54) (55) m 1 n 1 m 1 n 1 (3.38)   m n w0mn L(33) mnij   xmn L(34) mnij   ymn L(35) mnij    w m n p q r s (33) 0mn w0 pq w0rs Gmnpqrsij  Fij  0. trong đó: L(mnij ) , Fij tương tự như trong phương pháp chuyển vị được trình bày ở Phụ lục 2 trong luận án ab (33) và Gmnpqrsij    g mnpqrs (33) X iY j dxdy. 00 Nghiệm gần đúng của hệ phương trình đại số phi tuyến (3.38) nhận được bằng phương pháp giải lặp   Newton-Raphson, là véc tơ các hệ số w0mn ; xmn ; ymn ; từ đó xác định được các phần chuyển vị, biến dạng, ứng suất, nội lực của bài toán phân tích phi tuyến tĩnh. Trong các phân tích tuyến tính, bỏ qua các thành phần biến dạng phi tuyến trong công thức (2.17). Hệ phương (33) trình đại số tuyến tính thu được sau khi bỏ qua các thành phần phi tuyến Gmnpqrsij trong (3.38). 3.3.2. Theo lý thuyết tấm cổ điển Với các bước tiến hành hoàn toàn tương tự như khi giải theo lý thuyết biến dạng cắt bậc nhất, áp dụng ba điều kiện biên SSSS, CCCC, SCSC không thể tự do dịch chuyển trong mặt phẳng với tấm cổ điển, ta thu được:  w0mn L(33) mnij   w0mn w0 pq w0rs Gmnpqrsij  Fij  0; (33) (3.39) m n m n p q r s Nghiệm của phương trình đại số phi tuyến (3.39) là thành phần chuyển vị w0mn từ đó xác định được các phần chuyển vị, biến dạng, nội lực của bài toán phân tích phi tuyến tĩnh. Trong các phân tích tuyến tính, bỏ qua các thành phần biến dạng phi tuyến trong công thức (2.22), phương trình (33) đại số tuyến tính thu được sau khi bỏ qua các thành phần phi tuyến Gmnpqrsij trong (3.39). 3.4. Kết quả số và thảo luận Với nghiệm giải tích đã thiết lập ở phần trên, chương trình tính trên nền Matlab mang tên “NONLINEAR BENDING_FGP PLATES” được viết để thực hiện các ví dụ số. Các kết quả phân tích là phi tuyến trừ những trường hợp riêng sẽ được nói trước. Hai mô hình lý thuyết tấm: lý thuyết tấm bậc nhất (FSDT) và lý thuyết tấm cổ điển (CPT), cùng với hai cách tiếp cận: tiếp cận ứng suất (US) và tiếp cận chuyển vị (CV), được sử dụng đồng thời trong các tính toán. Các công thức không thứ nguyên sau đây được sử dụng: 2 1 a b K a4 K a 2 K sy b q a4 w w0  ,  ; K0  w ; J 0  sx  ; E0  1.0 GPa; P  0 . (3.40) h 2 2 E0 h3 E0 h3 E0 h3 E1h 4 3.4.1. Ví dụ kiểm chứng Trong phần này, tác giả tiến hành kiểm chứng độ tin cậy của chương trình máy tính tự viết và lời giải giải tích theo tiếp cận ứng suất và tiếp cận chuyển vị. Do hiện tại chưa có công bố nào về phân tích uốn phi tuyến của tấm chữ nhật vật liệu FGM rỗng, do đó, ví dụ kiểm chứng được thực hiện với trường hợp riêng của vật liệu FGM rỗng: vật liệu đẳng hướng  e0  0  . Các ví dụ kiểm chứng bao gồm: Ví dụ 1: Kiểm chứng độ võng không thứ nguyên của tấm đẳng hướng điều kiện biên khớp 4 cạnh. Các kết quả được so sánh với các nhóm tác giả: Putcha và Reddy [80] sử dụng phương pháp phần tử hữu hạn dựa trên lý thuyết biến dạng cắt bậc cao 5 ẩn chuyển vị, Kapoor và Kapania [45] sử dụng phương pháp đẳng hình học dựa trên lý thuyết biến dạng cắt bậc nhất. Ví dụ 2: Kiểm chứng độ võng không thứ nguyên của tấm đẳng hướng điều kiện biên SCSC. Các kết quả tính toán trong luận án được so sánh với Lei [57] sử dụng phương pháp phần tử biên (boundary element method) dựa trên lý thuyết tấm bậc nhất, Azizian và Dawe [13] sử dụng phương pháp dải hữu hạn (finite strip method) sử dụng lý thuyết tấm Mindlin. Ví dụ 3: Kiểm chứng độ võng không thứ nguyên của tấm đẳng hướng với các điều kiện biên SSSS, SCSC, CCCC. Các kết quả được so sánh với kết quả của Talha và Singh [103] sử dụng phương pháp PTHH (phần tử C0, 13 bậc tự do tại mỗi nút) dựa trên lý thuyết biến dạng cắt bậc cao với 7 ẩn số chuyển vị độc lập. Các ví dụ kiểm chứng đều cho thấy sai số nhỏ giữa kết quả của luận án và các kết quả đã công bố, như vậy độ tin cậy của các phương pháp tiếp cận cũng như chương trình tính trên nền Matlab có thể khẳng định. 3.4.2. Khảo sát ảnh hưởng của các tham số: vật liệu, tải trọng phân bố, điều kiện biên, nền đàn hồi và tham số hình học
13 Xét tấm chữ nhật vật liệu FGM rỗng - metal foam (E1 = 200GPa,  = 1/3) đặt trên nền đàn hồi Pasternak (các hệ số nền là K0, J0), dưới tác dụng của tải trọng phân bố đều q0  PE1h 4 /a 4 . a. Khảo sát độ hội tụ của lời giải giải tích Bảng 3.5 trong luận án trình bày các kết quả phân tích phi tuyến độ võng không thứ nguyên w của tấm vuông vật liệu FGM rỗng (Dạng 2, h = 0.1 m, a/h = 10 (FSDT), a/h = 50 (CPT), b/a = 1, e0 = 0.5, P = 10, K0 = J0 = 0) với các loại điều kiện biên khác nhau. Số số hạng trong các khai triển chuỗi lượng giác kép tăng từ M, N = 1 đến M, N = 4. Có thể thấy rằng nghiệm giải tích có sự hội tụ rõ ràng khi tăng M, N; và với chương trình tính bằng Matlab thực hiện trên máy tính cá nhân, các kết quả có thể được xem là hội tụ khi lấy M, N = 3 (sai số lớn nhất về độ võng không thứ nguyên w khi lấy M, N = 3 so với khi lấy M, N = 4 là 0.78% trong trường hợp biên CCCC- CV). Do đó, trong các khảo sát tiếp theo sẽ tính toán với giá trị M, N = 3. b. Khảo sát ảnh hưởng của tỷ số a/h và điều kiện biên Độ võng không thứ nguyên w của tấm FGM rỗng (phân bố đối xứng): e0  0.5 , h = 0.1 m , b / a  1 , P  10, K 0  J 0  0 , với các tỷ số kích thước tấm a/h, và các điều kiện biên khác nhau. Đồ thị biến thiên của độ võng theo tỷ số a/h với hai lý thuyết tấm được trình bày trên Hình 3.1. Các kết quả phân tích phi tuyến của luận án được thực hiện đồng thời theo hai cách tiếp cận chuyển vị và tiếp cận ứng suất, ta thấy: - Về ảnh hưởng của điều kiện biên: rõ ràng là các biên SSSS có độ võng lớn nhất, sau đó đến biên SCSC, biên CCCC có độ võng nhỏ nhất; các biên hạn chế chuyển vị trong mặt phẳng có độ võng bé hơn so với biên không hạn chế chuyển vị trong mặt phẳng. - Về ảnh hưởng của tỷ số a/h: đối với lý thuyết tấm FSDT, khi tăng tỷ số a/h, độ võng không thứ nguyên w giảm nhanh khi a/h còn nhỏ (tấm dày, a/h ≤ 10); sau đó độ võng w giảm chậm lại và thay đổi rất ít khi a/h lớn (a/h ≥ 30). Trong khi đó với lý thuyết tấm CPT thì độ võng w không phụ thuộc vào tỷ số a/h. Kết quả tính toán theo FSDT tiệm cận dần đến quả tính toán theo CPT khi tỷ số a/h tăng, như vậy có thể thấy rằng, lý thuyết tấm cổ điển chỉ phù hợp trong trường hợp tấm mỏng. Các khảo sát số tiếp theo, các phân tích uốn cho tấm dày được thực hiện với lý thuyết FSDT để đảm bảo độ chính xác, còn lý thuyết tấm CPT sẽ được thực hiện cho tấm mỏng. (a) (b) Hình 3.1. Biến thiên độ võng w của tấm FGM rỗng theo tỷ số kích thước tấm a/h với các điều kiện biên khác nhau: (a) - Phân tích phi tuyến; (b) - Phân tích tuyến tính c. Khảo sát ảnh hưởng của tham số tải trọng uốn P đến độ võng và các thành phần mô men uốn Xét tấm vuông, vật liệu FGM rỗng: h = 0.1 m, b/a = 1, e0 = 0.5, P = 10, K0 = J0 = 0, điều kiện biên khớp 4 cạnh (SSSS). Hình 3.2 - Hình 3.4 biểu diễn đường cong tải - độ võng  P  w  và đường cong tải - mô men uốn ( P  M x , M y ), ( P  M xy ). Các đường thẳng thể hiện phân tích tuyến tính, đường cong là phân tích phi tuyến. (a) (b) Hình 3.2. Biến thiên độ võng w của tấm FGM rỗng theo tham số tải trọng phân bố đều P với các quy luật phân bố lỗ rỗng khác nhau: (a) - FSDT; (b) - CPT)
14 (a) (b) Hình 3.3. Biến thiên mô men uốn M x , M y của tấm FGM rỗng theo tải trọng phân bố đều P với các quy luật phân bố lỗ rỗng khác nhau: (a) - FSDT; (b) - CPT) (a) (b) Hình 3.4. Biến thiên mô men uốn M xy của tấm FGM rỗng theo tải trọng phân bố đều P với các quy luật phân bố lỗ rỗng khác nhau: (a) - FSDT; (b) - CPT) Quan sát hình vẽ 3.2 đến 3.4, ta thấy: - Độ võng và mô men uốn tính toán theo phi tuyến luôn thấp hơn tính toán theo tuyến tính; khi tải uốn phân bố càng tăng, chênh lệch về kết quả tính theo tuyến tính và phi tuyến càng lớn. - Trong phân tích tuyến tính, các kết quả khảo sát về độ võng và mô men theo hai cách tiếp cận ứng suất và chuyển vị hoàn toàn trùng khớp. Quy luật phân bố lỗ rỗng chỉ ảnh hưởng lên độ võng: Phân bố đối xứng có độ võng bé nhất, hai dạng phân bố lỗ rỗng còn lại cho kết quả độ võng không mấy khác biệt; trong khi mô men uốn lại không đổi khi thay đổi quy luật phân bố lỗ rỗng. - Trong phân tích phi tuyến thì khác, các kết quả khảo sát về độ võng và mô men theo hai cách tiếp cận ứng suất và tiếp cận chuyển vị đều tăng theo quy luật phi tuyến với các giá trị tăng dần của tham số tải trọng P. Tuy nhiên khi P tăng, sai lệch giữa kết quả tính toán theo hai cách tiếp cận đối với mô men uốn là lớn hơn so với độ võng. Ví dụ như, với phân bố lỗ rỗng đều, khi P = 5, sai lệch về độ võng và mô men uốn giữa hai cách tiếp cận lần lượt là 0.08% và 0.42% thì khi P = 30, các sai lệch tương ứng là 1.53% và 7.56%. d. Khảo sát ảnh hưởng của tham số nền đàn hồi Xét tấm vuông FGM rỗng (phân bố đối xứng, h = 0.1 m, a/h = (10, 50), b/a = 1, e0 = 0.5) với các tham số tải trọng P khác nhau. Ba cặp tham số nền đàn hồi được xem xét bao gồm: K0 = 0, J0 = 0; K0 = 300, J0 = 0 và K0 = 300, J0 = 100. Các đường cong tải - độ võng  P  w  tương ứng cho ba trường hợp nền được thể hiện bằng đồ thị trên Hình 3.5 cho thấy rõ ràng là khi tăng các tham số nền K0, J0, độ võng của tấm giảm đáng kể; và ảnh hưởng của hệ số nền J0 lớn hơn so với hệ số nền K0. (a) (b) Hình 3.5. Biến thiên độ võng w của tấm FGM rỗng theo tải trọng phân bố đều P với các hệ số nền khác nhau: (a) - FSDT; (b) - CPT) e. Khảo sát ảnh hưởng của hệ số lỗ rỗng
15 Xét tấm vuông FGM rỗng (h = 0.1 m, a/h = (10, 50), b/a = 1, P = 10, K0 = J0 = 0). Ba quy luật phân bố lỗ rỗng được xem xét bao gồm: phân bố đều, phân bố không đều đối xứng và phân bố không đều bất đối xứng. Hình 3.6 và Hình 3.7 biểu diễn biến thiên của độ võng không thứ nguyên w theo hệ số rỗng của ba dạng phân bố lỗ rỗng. Kết quả cho thấy: hệ số rỗng tăng làm cho độ cứng của tấm giảm, dẫn tới độ võng không thứ nguyên tăng theo, với tất cả các dạng phân bố lỗ rỗng. Hệ số rỗng càng lớn thì ảnh hưởng của dạng phân bố lỗ rỗng càng rõ rệt. Trong phân tích tuyến tính, các kết quả độ võng trong hai trường hợp phân bố đều và phân bố bất đối xứng gần như nhau. (a) (b) Hình 3.6. Biến thiên độ võng w của tấm dày (a/h = 10) theo hệ số rỗng e0 với các quy luật phân bố lỗ rỗng khác nhau: (a) - Phân tích phi tuyến; (b) - Phân tích tuyến tính (a) (b) Hình 3.7. Biến thiên độ võng w của tấm mỏng (a/h = 50) theo hệ số rỗng e0 với các quy luật phân bố lỗ rỗng khác nhau: (a) - Phân tích phi tuyến; (b) - Phân tích tuyến tính f. Khảo sát ảnh hưởng của tỷ số b/a Xét tấm FGM rỗng với dạng phân bố lỗ rỗng không đều đối xứng, có h = 0.1 m, P = 10, K0 = J0 = 0 (a/h = 10 cho tấm dày, a/h = 50 cho tấm mỏng) chịu các điều kiện biên khác nhau. Đồ thị biến thiên của độ võng theo tỷ số kích thước cạnh b/a được trình bày tương ứng trên Hình 3.8 và Hình 3.9. Các kết quả phân tích phi tuyến của luận án được thực hiện đồng thời theo hai cách tiếp cận chuyển vị và ứng suất. Đồ thị trên các hình này cho thấy: - Với cả 3 dạng điều kiện biên được khảo sát, khi tăng tỷ số b/a, độ võng không thứ nguyên w tăng; - Về ảnh hưởng của điều kiện biên, khi b/a nhỏ (b/a ≤ 0.5), hai điều kiện biên SCSC và CCCC có kết quả độ võng gần như nhau. Khi b/a lớn (b/a →2), điều kiện biên SCSC có kết quả độ võng xấp xỉ bằng trường hợp điều kiện biên SSSS khi phân tích phi tuyến; trong khi, chúng lệch nhau khá nhiều khi phân tích tuyến tính. (a) (b) Hình 3.8. Biến thiên độ võng w của tấm dày (a/h = 10), vật liệu FGM rỗng theo tỷ số kích thước cạnh b/a với các điều kiện biên khác nhau: (a) - Phân tích phi tuyến; (b) - Phân tích tuyến tính
16 (a) (b) Hình 3.9. Biến thiên độ võng w của tấm mỏng (a/h = 50), vật liệu FGM rỗng theo tỷ số kích thước cạnh b/a với các điều kiện biên khác nhau: (a) - Phân tích phi tuyến; (b) - Phân tích tuyến tính 3.5. Tóm tắt chương 3 Trong chương 3, luận án xây dựng lời giải tích theo hai cách tiếp cận: tiếp cận ứng suất và tiếp cận chuyển vị, để phân tích phi tuyến ứng xử uốn của tấm chữ nhật FGM rỗng đặt trên nền đàn hồi với một số điều kiện biên khác nhau. Dựa trên lý thuyết biến dạng cắt bậc nhất và lý thuyết tấm cổ điển, nghiệm giải tích thu được bằng phương pháp Bubnov-Galerkin kết hợp với phương pháp giải lặp Newton-Raphson cùng với chương trình tính tự viết trên nền Matlab được kiểm chứng với các kết quả đã công bố cho thấy đủ tin cậy. Ảnh hưởng của các tham số vật liệu, kích thước hình học, hệ số nền đàn hồi, tải trọng uốn và điều kiện biên đến độ võng, đường cong tải - độ võng và mô men uốn nội lực trong tấm đã được chỉ ra chi tiết qua các ví dụ số. Các kết quả chính là: - Các phân tích phi tuyến theo hai cách tiếp cận chuyển vị và ứng suất cho kết quả xấp xỉ nhau. Độ võng theo phân tích phi tuyến luôn nhỏ hơn phân tích tuyến tính. - Hệ số rỗng tăng làm giảm độ cứng uốn của tấm FGM rỗng. Tấm có lỗ rỗng phân bố không đều, đối xứng sở hữu độ cứng lớn nhất; hai dạng phân bố lỗ rỗng còn lại có độ cứng gần như nhau. - Hệ số lỗ rỗng càng tăng thì ảnh hưởng của dạng phân bố lỗ rỗng đến ứng xử tĩnh của tấm càng rõ rệt. Các kết quả chính của luận án được thể hiện ở các bài báo số [6, 7] và [10] trong danh mục các công trình khoa học đã công bố của tác giả. CHƯƠNG 4. PHÂN TÍCH ỔN ĐỊNH VÀ SAU ỔN ĐỊNH CỦA TẤM BẰNG VẬT LIỆU FGM RỖNG 4.1. Mở đầu Trong chương này, dựa trên lý thuyết biến dạng cắt bậc nhất và lý thuyết tấm cổ điển, lời giải giải tích theo phương pháp tiếp cận ứng suất được thiết lập để nghiên cứu ổn định và sau ổn định của tấm vật liệu FGM rỗng chịu tác dụng của tải nén trong mặt phẳng trung hoà, được đặt trên nền đàn hồi với các điều kiện biên SSSS, CCCC, SCSC và có thể tự do dịch chuyển trong mặt phẳng tấm. Các hệ thức và phương trình chủ đạo có kể đến cả tính không hoàn hảo hình học ban đầu, tính phi tuyến hình học theo nghĩa von Kárman. Các phương trình này sau đó được giải bằng phương pháp Bubnov-Galerkin để thu được các biểu thức dạng hiển của tải tới hạn và đường cong tải - độ võng phi tuyến sau ổn định. Phân tích ổn định cũng sẽ chỉ ra ảnh hưởng của dạng phân bố, hệ số mật độ lỗ rỗng, điều kiện biên, hệ số nền và tham số kích thước tấm đến ổn định và sau ổn định của tấm vật liệu FGM rỗng. 4.2. Phân tích ổn định theo lý thuyết biến dạng cắt bậc nhất Sử dụng hàm ứng suất Airy  ( x, y ) được định nghĩa theo (3.14), khi đó hai phương trình cân bằng (2.10) - (2.11) tự thoản mãn. Sử dụng các quan hệ (2.8) và (3.14) ba phương trình cân bằng (2.12) – (2.14) được viết lại theo các thành phần chuyển vị và hàm ứng suất: s A44 w0, yy  A44 s w0, xx  A44 s  x, x  A44 s  y , y  K w w0  K sx w0, xx  K sy w0, yy       (4.1) , yy w0, xx  w0, * xx  2, xy w0, xy  w0, xy  , xx w0, yy  w0, yy  0; * * C11 x, xx  C66 x, yy   C12  C66  y , xy  s A44x  s A55 w0, x  0; (4.2)  C12  C66  x, xy  C66 y, xx  C11 y, yy  s A44y  s A44 w0, y 0 (4.3) Mặt khác, phương trình tương thích biến dạng của tấm chữ nhật nhận được có dạng [20]:  x0, yy   0y , xx   xy 0 , xy  w0, xy  w0, xx w0, yy  2 w0, xy w0, xy  w0, xx w0, yy  w0, yy w0, xx 2 * * * (4.4) Dựa trên các quan hệ (2.8) và (3.14), các thành phần biến dạng màng có thể được xác định thông qua các thành phần lực dọc và hàm ứng suất theo (3.17). Thay (3.17) vào phương trình tương thích (4.4), ta được:  4  D w0, 2 xy  w0, xx w0, yy  2w0, xy w0, xy  w0, xx w0, yy  w0, yy w0, xx * * *  (4.5)  trong đó:  4  , xxxx  2, xxyy  , yyyy ; D  A11 1  2 . 
17 Hệ gồm bốn phương trình: (4.1) – (4.3) và phương trình (4.5), là hệ phương trình chủ đạo để để giải bài toán ổn định và sau ổn định của tấm không hoàn hảo vật liệu FGM rỗng. Trong các công thức này, khi cho w0*  0 ta thu được tấm hoàn hảo. Đây là hệ phương trình phi tuyến với 4 ẩn số độc lập: w0 , x , y ,  . Trong luận án, với bài toán ổn định, các trường hợp điều kiện biên được xem xét đều có thể tự do dịch chuyển trong mặt phẳng tấm, bao gồm: - Liên kết khớp 4 cạnh (SSSS): Tại x = 0, a: w0   y  0; N xy  M x  0; N x  N x 0 ; (4.6) Tại y = 0, b: w0   x  0; N xy  M y  0; N y  N y 0 - Liên kết ngàm 4 cạnh (CCCC): Tại x = 0, a: w0   x   y  0; N xy  0; N x  N x 0 (4.7) Tại y = 0, b: w0   x   y  0; N xy  0; N y  N y 0 - Liên kết đối xứng ngàm 2 cạnh, khớp 2 cạnh (SCSC): Tại x = 0, a: w0   y  0; N xy  M x  0; N x  N x 0 (4.8) Tại y = 0, b: w0   x   y  0; N xy  0; N y  N y 0 trong đó N x 0 , N y 0 là các lực dọc màng tác dụng lên các cạnh của tấm chữ nhật theo phương x, y tương ứng. Với bài toán ổn định của tấm FGM rỗng chịu tải trọng nén tác dụng trên các cạnh, nằm trong mặt trung hoà ta thường khảo sát các dạng mất ổn định (m, n) khác nhau với lực mất ổn định Nbl( m,n) tương ứng, từ đó tìm được lực tới hạn là giá trị bé nhất trong các lực mất ổn định. Nghiệm chuyển vị được giả thiết phù hợp với từng điều kiện biên cụ thể. * Trường hợp điều kiện biên là SSSS, ta chọn nghiệm chuyển vị dưới dạng: w0  w0mn sin  x sin  y;  x   xmn cos  x sin  y;  y   ymn sin  x cos  y. (4.9) m n trong đó:   ,  ; m, n là số nửa bước sóng hình sin theo phương x, y phản ánh mode (dạng) a b vồng; w0mn ,  xmn ,  ymn là các hệ số cần xác định. Hàm biểu diễn tính không hoàn hảo w0*  w0*  x, y  của tấm được giả sử như hàm độ võng w0 , có dạng như sau: w0*   h sin  x sin  y. (4.10) Thay (4.9) và (4.10) vào (4.5), ta thu được:   4  D w02mn  2 hw0mn  2  2   cos 2 x  cos 2 y  (4.11) 2 Từ đó, chọn hàm ứng suất có dạng: y2 x2   f1 cos 2 x  f 2 cos 2  y  N x0  N y0 (4.12) 2 2 trong đó: f1  D 2 32 2 w 2 0mn  2 hw0mn ; f 2   D 2 32 2 w 2 0mn  2 hw0mn . Thay các dạng nghiệm độ võng, góc xoay trong (4.9) vào hai phương trình (4.2) – (4.3), ta xác định được các thành phần góc xoay:  xmn  D1w0mn ;  ymn  D2 w0mn . (4.13) trong đó: B C  B2C1 A C  AC D1  1 2 ; D2  2 1 1 2 ; A1  C11 2  C66  2  A44 s ; A1B2  A2 B1 A1B2  A2 B1  A2  B1   C12  C66   ; B2  C66 2  C11 2  A44 s ; C1  A44 s  ; C2  A44 s .  Thay các kết quả tìm được từ (4.12) và (4.13) vào phương trình (4.1), sau đó áp dụng phương pháp Bubnov-Galerkin, ta thu được kết quả:  c1a w0mn  N x 0 2  N y 0  2 w 0mn    h   c2a w02mn  2 hw0mn w 0mn   h  0 (4.14)  4   4 D trong đó: c1a   s A44   K sy   2  s A44   K sx    D1  D2   2 s A44  K w ; c2a  16 .
18 Trong trường hợp này các lực nén trước khi vồng được cho bởi: Tại x  0, a : N x 0   1 N 0 h; Tại y  0, b : N y 0   2 N 0 h. (4.15) Thay các giá trị N x 0 và N y ,0 vào phương trình (4.14), suy ra: N0  1   2  2 c1a 2 W W    h  c2a 1   2  2 2 W 2   2W h ; W  w0mn h (4.16) Đây là phương trình cơ bản dùng để nghiên cứu ổn định phi tuyến, bao gồm xác định tải trọng tới hạn và các đường cong tải - độ võng của tấm chữ nhật FGM rỗng khi xét và không xét đến ảnh hưởng của tính không hoàn hảo hình học ban đầu. Với tấm hoàn hảo,   0; vì w0mn  0 W  0 , do đó tải trọng nén thu được như trong   công thức (4.17): c1a c2a N0*   W 2h  1 2   2 2 h 1   2  2 2 (4.17) Từ đó, lực mất ổn định thu được: c1a Nbl  (  1   2  2 h 2  (4.18) Lực mất ổn định Nbl thu được từ phương trình (4.18) phụ thuộc vào các giá trị của m và n tương ứng với các mode vồng. Lực tới hạn là giá trị nhỏ nhất trong các lực mất ổn định nêu trên  m,n  . Lực tới hạn  Ncr  min Nbl  này cũng có thể nhận được khi giải bài toán ổn định tuyến tính theo phương pháp cân bằng lân cận. Như vậy, đối với tấm hoàn hảo   0 , hàm N0* đạt cực tiểu tại w0 mn  0 và Nbl  N0* điểm thấp w0 mn  0 nhất trên đồ thị tải trọng - độ võng là giá trị tải vồng theo kiểu rẽ nhánh. Ngược lại, với tấm không hoàn hảo, các đường tải trọng - độ võng luôn xuất phát từ gốc tọa độ và không tồn tại điểm rẽ nhánh, do đó không xác định được lực tới hạn theo tiêu chuẩn rẽ nhánh như tấm hoàn hảo. Trường hợp điều kiện biên là CCCC, ta chọn nghiệm chuyển vị dưới dạng: w0  w0mn sin 2  x sin 2  y;  x   xmn sin 2 x sin 2  y (4.19)  y   ymn sin 2  x sin 2 y; w0*   h sin 2  x sin 2  y. Thực hiện các phép biến đổi như trên ta thu được: N0  1   2  2 c1b 2  W  h W   c2b 1   2  2 2 W 2   2W h (4.20) Từ đó, ta xác định được liên hệ giữa tải nén và độ võng trong trường hợp tấm hoàn hảo: c1b c2b N0*   W 2h  1 2   2 2 h 1   2  2 2 (4.21) c1b và lực mất ổn định: Nbl    1 2   2 2 h  (4.22) Trường hợp điều kiện biên là SCSC, ta chọn nghiệm chuyển vị dưới dạng: w0  w0mn sin  x sin 2  y;  x   xmn cos  x sin 2  y;  y   ymn sin  x sin 2  y; w0*   h sin  x sin 2  y. (4.23) Tiến hành tương tự như các điều kiện biên SSSS và CCCC; trong trường hợp điều kiện biên SCSC, ta thu được liên hệ tải nén và độ võng cho tấm không hoàn hảo: N0  2 c1c 3 1  4 2   W  2 W  h  3 1 2 c2c  4 2  2 W 2  2W h  (4.24)  Với tấm hoàn hảo: c1c c2c N0*   W 2h 3  1 2  4 2  2 h 31  4 2  2 2 (4.25) Từ đó, ta xác định được lực mất ổn định và lực tới hạn: Nbl  3  c1c 1 2  4 2  2 h  m, n    Ncr  min Nbl   (4.26)