Tóm tắt luận án Tiến sĩ ngành Cơ học: Phân tích dao động phi tuyến bằng cách tiếp cận trung bình có trọng số

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:30

Thêm vào BST

Báo xấu

35
lượt xem 3
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Mục tiêu của luận án phát triển một kỹ thuật kết hợp phương pháp tuyến tính hóa tương đương và trung bình có trọng số để phân tích đáp ứng của một số hệ dao động phi tuyến tự do không cản. Mời các bạn cùng tham khảo nội dung chi tiết.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Tóm tắt luận án Tiến sĩ ngành Cơ học: Phân tích dao động phi tuyến bằng cách tiếp cận trung bình có trọng số

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO VIỆN HÀN LÂM KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ VIỆT NAM HỌC VIỆN KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ ----------------------------- Đặng Văn Hiếu PHÂN TÍCH DAO ĐỘNG PHI TUYẾN BẰNG CÁCH TIẾP CẬN TRUNG BÌNH CÓ TRỌNG SỐ Chuyên ngành: Cơ học vật rắn Mã số: 9440107 TÓM TẮT LUẬN ÁN TIẾN SĨ NGÀNH CƠ HỌC Hà Nội, 2021
Công trình được hoàn thành tại: Học viện Khoa học và Công nghệ - Viện Hàn lâm Khoa học và Công nghệ Việt Nam. Người hướng dẫn khoa học 1: PGS.TS. Ninh Quang Hải Người hướng dẫn khoa học 2: TS. Dương Thế Hùng Phản biện 1: … Phản biện 2: … Phản biện 3: …. Luận án sẽ được bảo vệ trước Hội đồng đánh giá luận án tiến sĩ cấp Học viện, họp tại Học viện Khoa học và Công nghệ - Viện Hàn lâm Khoa học và Công nghệ Việt Nam vào hồi … giờ ..’, ngày … tháng … năm 20… Có thể tìm hiểu luận án tại: - Thư viện Học viện Khoa học và Công nghệ - Thư viện Quốc gia Việt Nam
1 MỞ ĐẦU 1. Tính cấp thiết của luận án Dao động là một hiện tượng hay gặp trong tự nhiên và kỹ thuật. Thực tế, hầu hết tất cả các dao động của các hệ kỹ thuật đều là phi tuyến, dao động tuyến tính chỉ là sự lý tưởng hóa một hiện tượng dao động mà ta gặp. Chỉ một lớp rất nhỏ của bài toán dao động phi tuyến là có lời giải chính xác. Các phương pháp giải tích gần đúng là một công cụ hiệu quả để tìm nghiệm của bài toán dao động phi tuyến. Trong số các phương pháp giải tích gần đúng, phương pháp tuyến tính hóa tương đương (the Equivalent Linearization method) [1], là một phương pháp đơn giản nhưng hiệu quả để phân tích các bài toán dao động phi tuyến. Tuy nhiên, cũng như các phương pháp giải tích gần đúng khác, phương pháp tuyến tính hóa tương đương với trung bình cổ điển thường có những nhược điểm đó là khi tính phi tuyến của bài toán tăng sẽ dẫn đến kết quả của phương pháp này thường không chính xác, đôi khi không thể chấp nhận được. Nhiều tác giả đã cố gắng cải thiện nhược điểm này của phương pháp tuyến tính hóa tương đương, trong đó năm 2015, GS. Nguyễn Đông Anh [2] đã đề xuất một phương pháp lấy trung bình mới của một hàm tiền định thay vì sử dụng giá trị trung bình cổ điển, phương pháp trung bình này được gọi là trung bình có trọng số. Giá trị trung bình có trọng số đã khắc phục được phần nào nhược điểm của phương pháp tuyến tính hóa tương đương với trung bình cổ điển. Với những phân tích ở trên, tác giả đã lựa chọn đề tài “Phân tích dao động phi tuyến bằng cách tiếp cận trung bình có trọng số” để làm đề tài nghiên cứu.
2 2. Mục tiêu nghiên cứu của luận án Luận án phát triển một kỹ thuật kết hợp phương pháp tuyến tính hóa tương đương và trung bình có trọng số để phân tích đáp ứng của một số hệ dao động phi tuyến tự do không cản. 3. Các nội dung nghiên cứu chính của luận án Nội dung nghiên cứu chính của Luận án được trình bày trong bốn Chương. Cụ thể, Chương 1 trình bày tổng quan về dao động phi tuyến và một số phương pháp giải tích gần đúng giải bài toán dao động phi tuyến. Chương 2 trình bày những ý tương cơ bản của phương pháp tuyến tính hóa tương đương cho hệ dao động tiền định, giá trị trung bình có trọng số và một số tính chất của trung bình có trọng số. Chương 3, Luận án áp dụng phương pháp đề xuất để phân tích đáp ứng của một số hệ dao động phi tuyến tự do không cản một bậc tự do. Chương 4 trình bày hai bài toán dao động phi tuyến của hệ liên tục đó là dao động phi tuyến của dầm micro tựa trên nền đàn hồi và dao động phi tuyến của dầm nano chịu tác dụng của lực tĩnh điện. CHƯƠNG 1. TỔNG QUAN Chương này trình bày tổng quan về dao động phi tuyến và một số phương pháp giải tích gần đúng giải bài toán dao động phi tuyến; tình hình nghiên cứu dao động phi tuyến trên thế giới và trong nước. Các phân tích cho thấy phương pháp tuyến tính hóa tương đương là một công cụ hiệu quả để phân tích các bài toán dao động phi tuyến. Được đề xuất với mục đích phân tích đáp ứng của bài toán dao động phi tuyến chịu kích động ngẫu nhiên, phương pháp tuyến tính hóa tương đương
3 dễ dàng áp dụng được cho các hệ dao động phi tuyến tiền định. Tuy nhiên, sai số của phương pháp tuyến tính hóa tương đương nhiều khi khá lớn đặc biệt đối với các hệ dao động phi tuyến mạnh. Trung bình có trọng số đã khắc phục được những nhược điểm của trung bình cổ điển trong việc cải thiện độ chính xác của phương pháp tuyến tính hóa tương đương. Trên cơ sở đó, Luận án đã lựa chọn được đề tài nghiên cứu và đề ra những nội dung nghiên cứu cụ thể. CHƯƠNG 2 PHƯƠNG PHÁP TUYẾN TÍNH HÓA TƯƠNG ĐƯƠNG CHO HỆ DAO ĐỘNG PHI TUYẾN TIỀN ĐỊNH VÀ GIÁ TRỊ TRUNG BÌNH CÓ TRỌNG SỐ Trong chương này, Luận án trình bày những ý tưởng cơ bản của phương pháp tuyến tính hóa tương đương cho hệ dao động phi tuyến tiền định và giá trị trung bình có trọng số cùng một số tính chất của trung bình có trọng số. 1.1. Phương pháp tuyến tính hóa tương đương cho hệ dao động phi tuyến tiền định Xét dao động phi tuyến tiền định của hệ một bậc tự do được mô tả bởi phương trình vi phân phi tuyến sau đây: X  g ( X , X )  F (t ) (2.1) với X , X và X lần lượt là dịch chuyển, vận tốc và gia tốc; g ( X , X ) là một hàm phi tuyến phụ thuộc vào dịch chuyển và vận tốc; còn F (t ) là lực kích động ngoài. Dạng tuyến tính của phương trình (2.1) được giới thiệu như sau:
4 X   X   X  F (t ) (2.2) Các hệ số  và  được xác định từ tiêu chuẩn độ lệch trung bình bình phương:  g( X , X )   X   X  2 e2 ( X , X )   Min (2.3)  , Theo đó: g( X , X ) X X 2  g( X , X ) X XX  2 (2.6) X2 X 2  XX g( X , X ) X X 2  g( X , X ) X XX   2 (2.7) X 2 X 2  XX Trong các biểu thức (2.3)-(2.7), ký hiệu là toán tử trung bình theo thời gian. 2.2. Trung bình có trọng số Định nghĩa : Trung bình có trọng số của một hàm phụ thuộc thời gian x(t) được xác định bởi [2]:  x(t ) w   h(t ) x(t )dt (2.12) 0 với h(t) là hàm phụ thuộc vào thời gian, được gọi là hàm hệ số trọng số, hàm này thỏa mãn điều kiện:   h(t )dt  1 0 (2.13) Đối với các bài toán dao động, ta chỉ xem xét các hàm tuần hoàn x(t ) , một dạng của hàm hệ số trọng số được xét như sau [2]:
5 h(t )  s 2 2te st , s  0 (2.15) trong đó, tham số s được gọi là tham số điều chỉnh. Giá trị trung bình có trọng số có một số tính chất; cụ thể, khi s  0 , giá trị trung bình có trọng số sẽ trở thành giá trị trung bình cổ điển; giá trị trung bình có trọng số của hàm tuần hoàn được tính thông qua phép biến đổi Laplace; trung bình có trọng số bảo toàn đặc tính tuyến tính của trung bình cổ điển; và giá trị trung bình có trọng số chứa nhiều thông tin về hàm tuần hoàn hơn giá trị trung bình cổ điển. Kết luận Chương 2 Chương 2 trình bày những ý tưởng cơ bản của phương pháp tuyến tính hóa tương đương cho hệ dao động phi tuyến tiền định và khái niệm về giá trị trung bình có trọng số. Các phân tích cho thấy giá trị trung bình có trọng số có những ưu điểm so với giá trị trung bình cổ điển, điều này sẽ tạo nên những tín hiệu tích cực khi sử dụng giá trị trung bình có trọng số để phân tích các bài toán dao động phi tuyến. Một số kết quả của Chương 2 đã được công bố trong bài báo [T1] trong mục “Danh mục công trình liên quan tới Luận án” trong việc làm rõ một số tính chất của trung bình có trọng số và ưu điểm của nó so với trung bình cổ điển. CHƯƠNG 3. DAO ĐỘNG PHI TUYẾN CỦA HỆ MỘT BẬC TỰ DO Trong Chương 3, phương pháp tuyến tính hóa tương đương với trung bình có trọng số sẽ được áp dụng để phân tích một số hệ dao động
6 phi tuyến một bậc tự do không cản. Kết quả thu được đối với các hệ dao động đều được kiểm chứng với các kết quả đã công bố hoặc kết quả số. 3.1. Dao động phi tuyến Duffing Xét dao động phi tuyến Duffing dạng tổng quát được mô tả bởi: X  1 X  3 X 3  5 X 5  7 X 7     2 n 1 X 2n 1  0 (3.4) trong đó, 1 , 3 , 5 , 7 , ,  2n 1 là các hằng số, n là số tự nhiên, phương trình (3.4) thỏa mãn điều kiện đầu: X (0)  A, X (0)  0 (3.5) Sử dụng phương pháp tuyến tính hóa tương đương, bình phương tần số xấp xỉ của dao động có thể tìm được: X4 X6 X8 X 2n 2  2  1   3  5  7     2 n 1 (3.9) X2 X2 X2 X2 Dựa trên nghiệm điều hòa của phương trình tuyến tính X  A cos(t ) , các giá trị trung bình trong biểu thức (3.9) có thể được tính toán theo định nghĩa giá trị trung bình có trọng số trong Chương 2 và phép biến đổi Laplace. 3.1.1. Dao động Duffing bậc 3 Khi n = 1, ta có dao động Duffing bậc 3: X  1 X  3 X 3  0 (3.15) Tần số xấp xỉ của dao động được cho bởi: s8  28s 6  248s 4  416s 2  1536 Luân án  1   3 A2 (3.16) ( s 4  2s 2  8)( s 2  16)2
7 5 4 EBM Sai số tương đối (%) Luận án, s=2 3 Luận án, s=1 Luận án, s=3 2 1 0 0 5 10 15 20 Biên độ ban đầu, A Hình 3.1. Sự thay đổi của sai số tương đối của các tần số xấp xỉ theo biên độ ban đầu của dao động Duffing bậc 3 với α1=10 và α3=10 4.45 4.4 Luận Án EBM 4.35 Chính Xác Tần số, ω 4.3 4.25 4.2 4.15 4.1 0 2 4 6 8 10 Tham số điều chỉnh, s Hình 3.3. Sự thay đổi của tần số dao động theo tham số điều chỉnh s của dao động Duffing bậc 3 với α1=10, α3=10 và A=1 Hình 3.1 và 3.2 khảo sát sự thay đổi của sai số tương đối của tần số xấp xỉ thu được trong Luận án ( Luânán ) và tần số xấp xỉ thu được nhờ phương pháp cân bằng năng lượng ( EBM ) [35] theo biên độ ban đầu của dao động A. Một số giá trị của tham số điều chỉnh s đã được lựa chọn (s = 1, 2 và 3). Từ các hình vẽ này, ta thấy rằng với các giá trị
8 s = 1 và s = 2, tần số xấp xỉ thu được trong Luận án tốt hơn nhiều so với tần số xấp xỉ thu được nhờ phương pháp cân bằng năng lượng. Cụ thể, khi biên độ ban đầu tăng lên, sai số của phương pháp cân bằng năng lượng lên tới 2.2%, trong khi sai số của phương pháp sử dụng trong Luận án chỉ là 1.18% với s = 1 và 0.15% với s = 2. Tuy nhiên, khi s tăng lên chẳng hạn s = 3, sai số xấp xỉ của phương pháp sử dụng trong Luận án lại lên tới 4.4%. Với α1 = 10, α3 = 10 và A = 1, Hình 3.3 thể hiện sự thay đổi của tần số xấp xỉ của dao động theo tham số điều chỉnh s. Từ hình vẽ này ta thấy rằng tần số xấp xỉ thu được từ Luận án sẽ bằng với tần số chính xác ( Chính xác  4.1672 ) [43] ứng với các giá trị của tham số điều chỉnh s = 0.5 và s = 2.5. Qua khảo sát thấy rằng giá trị tối ưu của tham số điều chỉnh s thay đổi theo từng hệ, với mong muốn lựa chọn s là một số tự nhiên, trong Luận án này đã sử dụng giá trị s = 2 với mục đích so sánh. Hơn nữa, cũng từ hình vẽ này ta thấy rằng khi tham số s tăng, tần số xấp xỉ của dao động sẽ tăng và dẫn tới sự chính xác của nghiệm thu được sẽ giảm. 3.1.2. Dao động Duffing bậc 5 Khi n = 2, ta có dao động Duffing bậc 5: X  1 X  3 X 3  5 X 5  0 (3.19) Với s = 2, tần số xấp xỉ của dao động phi tuyến Duffing bậc 5 được cho bởi: Luân án  1  0.723 A2  0.5755 A4 (3.20) So sánh tần số xấp xỉ thu được trong Luận án và tần số xấp xỉ thu được nhờ phương pháp cân bằng năng lượng với tần số chính xác
9 của dao động phi tuyến Duffing bậc 5 được thể hiện trong Hình 3.5. Ta thấy rằng khi biên độ ban đầu A tăng, sai số của phương pháp cân bằng năng lượng [35] lên tới 2.26%, trong khi sai số của phương pháp sử dụng trong Luận án chỉ là 1.52% với bộ thông số của hệ được lựa chọn như trong Hình 3.5. 2.5 2 Sai số tương đối (%) 1.5 1 EBM 0.5 Luận án, s=2 0 0 5 10 15 20 Biên độ ban đầu, A Hình 3.5. Sự thay đổi của sai số tương đối của các tần số xấp xỉ theo biên độ ban đầu của dao động Duffing bậc 5 với α1=1, α3=10 và α5=100 1000 950 Luận án EBM 900 Chính xác Tần số, ω 850 800 750 700 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Tham số điều chỉnh, s Hình 3.6. Sự thay đổi của tần số dao động theo tham số điều chỉnh s của dao động Duffing bậc 5 với α1=10, α3=100, α5=100 và A=10
10 Với α1 = 1, α3 = 100, α5 = 100 và A = 10, sự thay đổi của tần số xấp xỉ của dao động theo tham số điều chỉnh s được thể hiện trong Hình 3.6. Từ hình vẽ này, ta thấy rằng tần số xấp xỉ thu được từ Luận án bằng với tần số chính xác ( Chính xác  751.6951 ) ứng với các giá trị của tham số điều chỉnh s  1 và s  2 . Sai số của nghiệm xấp xỉ thu được sẽ tăng với những giá trị lớn hơn của tham số điều chỉnh s. 3.2. Dao động phi tuyến mở rộng Trong phần này, Luận án tập trung phân tích dao động phi tuyến mở rộng được mô tả bởi phương trình sau đây:  un u  u   um   0. (3.27)  up với điều kiện ban đầu: u(0)  A, u(0)  0. (3.28) trong đó,  ,  ,  ,  và  là các hằng số; m, n và p là các số mũ dương. Theo phương pháp tuyến tính hóa tương đương, tần số xấp xỉ của dao động được cho bởi:  A2 cos 2 (t )   A p  2 cos p  2 (t )   w w     Am 1 cos m 1 (t )   Am  p 1 cos m  p 1 (t )   w w   An 1 cos n 1 (t )     w . (3.35)  A cos (t )   A p  2 cos p  2 (t ) 2 2 w w với   cos k (t )  s  te cos k (t )dt   s 2 e s cos k ( )d .  st  2 2 (3.36) w 0 0
11 3.2.1. Dao động Duffing – điều hòa Khi   1 ,   1 ,   1 ,   1 và   1 ; và các số mũ m  3 , n  1 và p  2 ; theo đó, phương trình dao động (3.27) có dạng: u u  u  u3   0. (3.37) 1 u2 Từ phương trình (3.33), tần số xấp xỉ của dao động được cho bởi: 1 Luân án  1  0.72 A2  . (3.38) 1  0.72 A2 So sánh nghiệm xấp xỉ (3.39) với nghiệm số sử dụng phương pháp Runge – Kutta bậc 4 được thể hiện trong Hình 3.12. Sự chính xác của nghiệm xấp xỉ thu được so với nghiệm số của dao động phi tuyến Duffing – điều hòa có thể được quan sát từ hình vẽ này. Hình 3.12. So sánh nghiệm giải tích với nghiệm số của dao động Duffing – điều hòa 3.2.2. Dao động Duffing với thế năng dạng giếng đôi Với   1 ,   1 ,   0 và m  3 , ta có dao động Duffing với thế năng dạng giếng đôi:
12 u  u  u3  0. (3.40) Nghiệm của phương trình (3.40) phụ thuộc vào điều kiện đầu. Với mục đích so sánh, chu kỳ TLuân án thu được bởi Luận án, chu kỳ xấp xỉ thu được bởi Momeni và cộng sự [36] sử dụng phương pháp cân bằng năng lượng TEBM và chu kỳ chính xác của dao động TChính xác [26] được liệt kê trong Bảng 3.3 và 3.4 với một vài giá trị khác nhau của biên độ ban đầu A. Bảng 3.3. So sánh các tần số xấp xỉ với tần số chính xác của dao động Duffing với thế năng dạng giếng đôi ( A  2 ) A TChính xác [26] TEBM [36] Sai số (%) TLuân án Sai số (%) 1.42 15.0844 8.7784 41.8047 9.3477 38.0306 1.45 11.2132 8.2725 26.2253 8.7656 21.8278 1.5 9.2237 7.5778 17.8442 7.9797 13.4869 1.7 6.3528 5.8150 8.4655 6.0438 4.8639 2 4.6857 4.4429 5.1817 4.5825 2.2024 5 1.5286 1.4914 2.4335 1.5239 0.3074 10 0.7471 0.7304 2.2353 0.7457 0.1873 50 0.1484 0.1451 2.2237 0.1481 0.2021 100 0.0742 0.0726 2.1563 0.0741 0.1347 100 0.0074 0.0073 1.3513 0.0074 0.0000 Bảng 3.4. So sánh các chu kỳ xấp xỉ với chu kỳ chính xác của dao động Duffing với thế năng dạng giếng đôi ( 1  A  2 ) A TChính xác [26] TEBM [36] Sai số (%) TLuân án Sai số (%) 1.05 4.3061 4.3045 0.0373 4.3349 0.0067 1.1 4.1781 4.1748 0.0781 4.2309 0.0126 1.15 4.0582 4.0530 0.1267 4.1309 0.0179 1.2 3.9460 3.9384 0.1923 4.0347 0.0225 1.25 3.8417 3.8303 0.2961 3.9420 0.0261 1.3 3.7468 3.7282 0.4964 3.8529 0.0283 1.35 3.6688 3.6316 1.0139 3.7671 0.0268
13 1.4 3.6897 3.5399 4.0576 3.6845 0.0014 1.41 3.8506 3.5222 8.5261 3.6684 0.0473 1.41 3.9755 3.5164 11.548 3.6652 0.0781 2 3.3. Dao động phi tuyến với sự không liên tục Trong phần này, một số hệ dao động phi tuyến với sự không liên tục (nonlinear oscillator with discontinuity) được xem xét: + Trường hợp 1: u   u   u u  0, (3.63) + Trường hợp 2: u   u3   u u  0, (3.70) Nghiệm xấp xỉ thu được bởi Luận án và nghiệm xấp xỉ thu được bởi phương pháp nhiễu đồng luân [11] được so sánh với nghiệm số sử dụng phương pháp Runge-Kutta bậc 4 và thể hiện trong các Hình 3.20 (Trường hợp 1) và Hình 3.23 (Trường hợp 2). Hình 3.20. So sánh các nghiệm giải tích với nghiệm số của dao động phi tuyến với sự không liên tục với   10 ,   100 và A = 1
14 Hình 3.23. So sánh các nghiệm giải tích với nghiệm số của dao động phi tuyến với sự không liên tục với   10 ,   10 và A  10 Kết luận Chương 3 Trong Chương 3, Luận án đã áp dụng phương pháp tuyến tính hóa tương đương và trung bình có trọng số để phân tích đáp ứng của một số hệ dao động phi tuyến không cản một bậc tự do. Sự chính xác của nghiệm giải tích xấp xỉ thu được bởi Luận án đã được kiểm chứng bởi so sánh kết quả thu được với kết quả chính xác, các kết quả đã công bố sử dụng các phương pháp gần đúng khác và các kết quả số sử dụng giải thuật Runge-Kutta bậc 4. Kết quả thu được khẳng định rằng trung bình có trọng số đã khắc phục được những nhược điểm của phương pháp tuyến tính hóa tương đương với trung bình cổ điển. Phương pháp sử dụng trong Luận án không chỉ có hiệu lực đối với các hệ phi tuyến yếu, mà còn có hiệu lực đối với các hệ phi tuyến trung bình và mạnh. Các kết quả của Chương 3 đã được công bố trong bài báo [T1], [T2], [T3], [T4], [T5] trong mục “Danh mục công trình liên quan tới Luận án”
15 CHƯƠNG 4 DAO ĐỘNG PHI TUYẾN CỦA DẦM MICRO VÀ NANO Trong Chương này, Dao động phi tuyến của dầm micro tựa trên nền đàn hồi theo lý thuyết ứng suất cặp sửa đổi và dao động phi tuyến của dầm nano chịu tác dụng của lực tĩnh điện (dao động phát sinh trong các hệ vi cơ điện tử) sử dụng lý thuyết độ dốc biến dạng phi cục bộ sẽ được khảo sát. 4.1. Dao động phi tuyến của dầm micro tựa trên nền đàn hồi Xét một dầm micro đẳng hướng với chiều dài L và kích thước mặt cắt ngang b  h như trong Hình 4.1. Dầm micro tựa trên nền đàn hồi phi tuyến với các tham số nền kL, kP và kNL tương ứng với lớp tuyến tính Winkler, lớp cắt Pasternak và lớp phi tuyến. Hình 4.1. Mô hình dầm micro tựa trên nền đàn hồi Dựa trên lý thuyết ứng suất cặp sửa đổi và lý thuyết dầm Euler- Bernoulli, phương trình chuyển động của dầm micro theo dịch chuyển ngang w được cho bởi:
16   2w  EI   Al  xw   EA  w  4 L 2  dx  2  2   4 2 L  x    x 0 (4.29)  w 2 2 w k L w  k P 2  k NL w3   A 2  q. x t Để thuận tiện cho việc tính toán, các biến không thứ nguyên sau đây được giới thiệu: x w I  AL4 l 6 2 x , w , r  ,tt ,   ,   1 , L r A EI h 1  (4.33) k L4 k L2 k r 2 L4 qL4 K L  L , K P  P , K NL  NL ,q . EI EI EI EIr Sử dụng phương trình (4.33), phương trình chuyển động (4.29) được đưa về dạng không thứ nguyên như sau:  4 w  1  w   2 w 2 w 2 w 1 2 x 4  2 0  x       dx   K w  K  K w3   q.  x x 2 t 2 2 L P NL (4.34) Sử dụng phương pháp tuyến tính hóa tương đương và trung bình có trọng số, tần số phi tuyến xấp xỉ của dầm micro được cho bởi: - Với dầm micro hai đầu tựa bản lề: 4 3  NL  ( 4    2 K P  K L )  0.72   K NL   2 . (4.55)  4 4  - Với dầm micro hai đầu ngàm:  16 4    4 35  NL    4    2 K P  K L   0.72   K NL   2 . (4.56)  3 3   3 48 
17 So sánh tỉ số tần số NL / L (tỉ số giữa tần số phi tuyến NL và tần số tuyến tính L ) của dầm vĩ mô (macrobeams) sử dụng các phương pháp khác nhau được thể hiện trong Bảng 4.1. Có thể thấy kết quả thu được bởi Luận án tốt hơn kết quả của Şimşek (đặc biệt là đối với dầm hai đầu ngàm). Bảng 4.1. So sánh các tỉ số tần số của dầm vĩ mô Biên Dầm hai đầu tựa bản lề Dầm hai đầu ngàm độ Azrar Simsek Luận án Azrar Simsek Luận án ban vcs [49] [65] (sai số vcs [49] [65] (sai số đầu (sai số %) %) (sai số %) %) α 1 1.0891 1.0897 1.0863 1.0221 1.0231 1.0222 (0.06) (0.26) (0.09) (0.01) 2 1.3177 1.3228 1.3114 1.0856 1.0897 1.0862 (0.39) (0.48) (0.37) (0.06) 3 1.6256 1.6393 1.6186 1.1831 1.1924 1.1853 (0.84) (0.43) (0.79) (0.19) 4 - 2.0000 1.9697 1.3064 1.3228 1.3115 (-) (-) (1.26) (0.39) Hình 4.5. Sự thay đổi của tỉ số tần số và tần số phi tuyến của dầm micro hai đầu tựa bản lề theo tham số chiều dài vật liệu với KL = 50, KP = 30 và KNL=50 Ảnh hưởng của tham số tỉ lệ chiều dài vật liệu đến đáp ứng dao động phi tuyến của dầm micro được thể hiện trong các Hình 4.5 và 4.6.
18 Ta có thể thấy rằng tham số tỉ lệ chiều dài vật liệu làm giảm tỉ số tần số của dầm micro mặc dù cả tần số tuyến tính và tần số phi tuyến của dầm micro đều tăng khi tham số tỉ lệ chiều dài vật liệu tăng. Hình 4.6. Sự thay đổi của tỉ số tần số và tần số phi tuyến của dầm micro hai đầu ngàm theo tham số chiều dài vật liệu với KL = 50, KP = 30 và KNL=50 Ảnh hưởng của tỉ số độ cứng chống uốn (    Al 2 EI ) đến tỉ số tần số của dầm micro được thể hiện trong Hình 4.10. Có thể thấy rằng tỉ số độ cứng chống uốn làm giảm tỉ số tần số của dầm micro, ảnh hưởng này tương tự như ảnh hưởng của tham số tỉ lệ chiều dài vật liệu. Hình 4.10. Sự thay đổi của tỉ số tần số của dầm micro theo tỉ số độ cứng chống uốn với KL = 10, KP = 10, KNL = 10 và S=20; (a) - hai đầu bản lề, (b) - hai đầu ngàm