Tóm tắt Luận án Tiến sĩ Vật lý: Nghiên cứu sự phá vỡ đối xứng tự phát trong một số hệ quang học phi tuyến

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:27

Thêm vào BST

Báo xấu

14
lượt xem 4
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Nội dung của Luận án này nghiên cứu ảnh hưởng của công suất xung, hằng số lan truyền lên sự phá vỡ đối xứng tự phát trong hai hệ quang học bảo toàn: thứ nhất là hệ ống dẫn sóng với sự có mặt của phi tuyến Kerr và thế tuyến tính Gauss kép, thứ hai là hệ hai ống dẫn sóng liên kết tuyến tính và phi tuyến Kerr biến điệu dạng hàm delta. Mời các bạn cùng tham khảo!

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Tóm tắt Luận án Tiến sĩ Vật lý: Nghiên cứu sự phá vỡ đối xứng tự phát trong một số hệ quang học phi tuyến

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH ------------------------------ NGUYỄN DUY CƯỜNG NGHIÊN CỨU SỰ PHÁ VỠ ĐỐI XỨNG TỰ PHÁT TRONG MỘT SỐ HỆ QUANG HỌC PHI TUYẾN Chuyên ngành: QUANG HỌC Mã số: 9440110 TÓM TẮT LUẬN ÁN TIẾN SĨ VẬT LÍ NGHỆ AN - 2020 i
Công trình được hoàn thành tại: Trường Đại học Vinh Người hướng dẫn khoa học: 1. GS.TS. Đinh Xuân Khoa 2. GS.TSKH. Marek Trippenbach Phản biện 1: ............................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................... Phản biện 2: ............................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................... Phản biện 3: ............................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................... Luận án sẽ được bảo vệ trước Hội đồng chấm luận án cấp Trường họp tại ....... ................................................................................................................................................................................................................... vào hồi………..….giờ…………phút, ngày………tháng……….năm 2020 Cóthể tìm hiểu luận án tại thư viện Quốc gia và Trung tâm Thông tin - Thư viện Nguyễn Thúc Hào - Trường Đại học Vinh ii
MỞ ĐẦU Lýdo chọn đề tài Sự phávỡ đối xứng tự phát làhiện tượng thường thấy trong tự nhiên cũng như trong nhiều lĩnh vực vật lý khác nhau như: trong vật lýhạt cơ bản, vật liệu từ hay trong hệ ngưng tụ Bose - Einstein, v.v… Trong quang học, hiện tượng phávỡ đối xứng tự phát cóthể được hiểu như là kết quả của sự tương tác giữa các số hạng phi tuyến với các cấu trúc ống dẫn sóng. Khi thành phần phi tuyến mạnh, nósẽ triệt tiêu các liên kết tuyến tính giữa các lõi trong ống dẫn sóng song song dẫn tới hệ tồn tại trạng thái bất đối xứng. Trong hệ cộng hưởng vòng quang học, sự phávỡ đối xứng tự phát làsự cạnh tranh giữa hiệu ứng tuyến tí nh vàhiệu ứng phi tuyến, vídụ như giữa khuếch đại tuyến tính vàmất mát phi tuyến, dẫn tới xuất hiện trạng thái không đối xứng, thậm chícó trường hợp xuất hiện trạng thái hỗn loạn. Sự phávỡ đối xứng trong quang học cónhiều ứng dụng trong công nghệ quang tử. Trong ống dẫn sóng hiệu ứng chuyển đổi năng lượng quang giữa các kênh cóthể được sử dụng làm cơ sở cho việc thiết kế các thiết bị chuyển mạch toàn quang, bộ khuếch đại phi tuyến, ổn định trong mạch phân chia bước sóng, cổng logic vàtruyền dẫn lưỡng ổn định. Bộ ghép hai sợi quang phi tuyến dùng để nén solitons hiệu quả bằng cách điều khiển độ tán sắc trong hai sợi. Trong hệ vòng quang, sự phávỡ đối xứng tự phát trong hệ cũng cónhiều ứng dụng trong các thiết bị quang tử. Vídụ như hệ vòng quang học kết hợp với ống dẫn sóng, do hiện tượng giao thoa trong vòng quang màmột số bước sóng được giữ lại trong đó, hệ này được ứng dụng trong mạch chọn sóng. Một số hệ cộng hưởng vòng quang do sự phávỡ đối xứng nên hình thành trạng thái hỗn loạn. Trạng thái này cónhiều ứng dụng trong thông tin quang như đồng bộ, bảo mật thông tin hay phát tín hiệu số ngẫu nhiên “0”, “1”. Đặc biệt động lực học dao động hỗn loạn cực nhanh của laser ứng dụng giải quyết triệt để bài toán giả định trítuệ nhân tạo. Với nhiều ứng dụng quan trọng như vậy, sự phávỡ đối xứng tự phát đã và đang được các nhàkhoa học trên thế giới quan tâm nghiên cứu với nhiều loại hệ quang học khác nhau cả trong lý thuyết vàthực nghiệm. Trong ống dẫn sóng với sự có mặt của phi tuyến Kerr không đổi, sự phávỡ đối xứng tự phát đã được nghiên cứu với nhiều loại thế tuyến tính khác nhau như: thế kép dạng bậc vuông, thế kép dạng chữ H, thế kép dạng bậc ngăn cách bởi hàm delta, v.v... Trường hợp ống dẫn sóng có mặt phi tuyến Kerr biến điệu sự phávỡ đối xứng tự phát cũng được xem xét với nhiều dạng hàm phi tuyến biến điệu khác nhau như: dạng hàm delta, hàm Gauss kép, v.v... Ứng với mỗi hệ ống dẫn sóng trên sẽ cócác vùng tham số điều khiển khác nhau tồn tại các loại trạng thái soliton cũng như đặc trưng rẽ nhánh của sự phávỡ đối xứng tự phát khác nhau. Trong hệ vòng quang, năm 2017 lần đầu tiên nhóm của Marek Treppenbach đã đề xuất một hệ gồm hai vòng cộng hưởng quang học liên kết tuyến tính với sự cómặt của khuếch đại tuyến tí nh vàmất mát phi tuyến. Đầu tiên nhóm đã nghiên cứu quá trình động lực học của hệ với liên kết hằng số, sau đó mở rộng cho liên kết Gauss đơn. Kết quả nghiên cứu cho thấy trong hệ xuất hiện sự phávỡ đối xứng tự phát dẫn đến nhiều loại trạng thái thúvị hứa hẹn cónhiều ứng dụng trong công nghệ như: trạng thái dừng, trạng thái dao động, trạng thái xoáy, trạng thái hỗn loạn. Trên cơ sở các nghiên cứu đó, chúng tôi nhận thấy có thể mở rộng nghiên cứu sự phávỡ đối xứng tự phát trong các hệ quang học nói trên. Việc nghiên cứu sự phávỡ đối xứng tự 1
phát trong các hệ một cách hệ thống, đầy đủ thìrất cần thiết trong định hướng cho nghiên cứu thực nghiệm vàphong phúcác ứng dụng trong kỹ thuật hiện nay. Với tính cấp thiết của vấn đề nghiên cứu vàcác lý do nêu trên, chúng tôi chọn đề tài nghiên cứu “Nghiên cứu sự phávỡ đối xứng tự phát trong một số hệ quang học phi tuyến”. Mục đích nghiên cứu - Nghiên cứu ảnh hưởng của công suất xung, hằng số lan truyền lên sự phávỡ đối xứng tự phát trong hai hệ quang học bảo toàn: thứ nhất làhệ ống dẫn sóng với sự cómặt của phi tuyến Kerr vàthế tuyến tính Gauss kép, thứ hai làhệ hai ống dẫn sóng liên kết tuyến tính vàphi tuyến Kerr biến điệu dạng hàm delta. - Nghiên cứu ảnh hưởng của các tham số điều khiển như cường độ liên kết, tham số khuếch đại, tham số mất mát, độ rộng của hàm liên kết lên sự phávỡ đối xứng tự phát và quá trình động lực học của hệ không bảo toàn đó là hệ gồm hai vòng cộng hưởng quang học liên kết tuyến tính với sự cómặt của khuếch đại tuyến tính vàmất mát phi tuyến. Đối tượng nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu làcác hệ quang học có phi tuyến kiểu Kerr vàhệ cộng hưởng vòng quang học kích thước cỡ micro mét với sự cómặt của khuếch đại tuyến tính vàmất mát phi tuyến. Phương pháp nghiên cứu: Phương pháp số và phương pháp giải tích. 2
Chương 1 MỘT SỐ KHÁI NIỆM CƠ BẢN TRONG LÝ THUYẾT PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN ĐẠO HÀM RIÊNG PHI TUYẾN Trong Chương 1 này tác giả đã trì nh bày các nội dung sau đây: khái quát về một số khái niệm trong lý thuyết phương trình đạo hàm riêng phi tuyến, phương trình Schrodinger miêu tả một số hiện tượng trong các hệ quang học khác nhau; các hiệu ứng phi tuyến bậc ba liên quan được trì nh bày như hiệu ứng phi tuyến Kerr, hiện tượng hấp thụ hai photon; các phương pháp tính toán đối với phương trình Schrodinger được nghiên cứu trì nh bày chi tiết, trong đó quan tâm đến lời giải soliton vàtính chất ổn định của chúng. Phương pháp để tìm kiếm lời giải soliton được chúng tôi áp dụng đó là phương pháp thời gian ảo. Phương pháp dùng để tìm kiếm trạng thái cuối cùng với kỹ thuật tiến triển dưới tác dụng của nhiễu loạn nhỏ đó là phương pháp Split - Step Fourier; một số phương pháp để kiểm tra tí nh chất ổn định của các trạng thái soliton như phương pháp Split - Step Fourier, phương pháp tuyến tính hóa trị riêng của các mode nhiễu loạn, phương pháp Vakhitov – Kolokolov. Các nội dung được liên kê trên đây là kiến thức cơ sở, phương pháp tính toán để nghiên cứu sự phá vỡ đối xứng trong một số hệ quang học. Tiếp theo tác giả trì nh bày một số nội dung liên quan đến sự phávỡ đối xứng tự phát như: bản chất của sự phávỡ đối xứng, đặc trưng rẽ nhánh của sự phávỡ đối xứng, trạng thái hỗn loạn, kịch bản dẫn tới trạng thái hỗn loạn. Những nội dung này được chúng tôi trì nh bày ngắn gọn sau đây, bởi vì chúng liên quan trực tiếp đến các kết quả nghiên cứu của Chương 2 và Chương 3. 1.1. Bản chất của sự phávỡ đối xứng tự phát Ta hãy tưởng tượng có một đoạn dây thép thẳng đàn hồi đặt thẳng đứng trong không gian. Rõ ràng nó có tính đối xứng trục. Ta cóthể quay nóxung quanh trục đối xứng một góc bất kỳ mànóvẫn giữ nguyên hì nh dạng. Bây giờ ta ấn đoạn dây này từ trên xuống dọc theo trục của nó. Rõràng hệ dây vàlực vẫn có tính đối xứng trục, khi lực ấn lànhỏ. Khi ấn với một lực mạnh thì đoạn dây bị cong đi theo một hướng nào đó mà ta không biết được, song chắc chắn đối tượng xem xét đã mất tính đối xứng trục. Đó chính là sự phávỡ đối xứng tự phát. Nếu độ lớn của lực làmột tham số, thì hệ được xem xét sẽ mất đi đối xứng ban đầu ở một giátrị nào đó của tham số được gọi làgiátrị tới hạn. 3
Hình 1.6. Hiện tượng phá vỡ đối xứng trục của dây thép thẳng. 1.2. Đặc trưng rẽ nhánh trong hệ phi tuyến bảo toàn Chúng ta xét vídụ cụ thể phương trình Schrödinger phi tuyến rút gọn mô tả sự lan truyền xung ánh sáng trong hệ quang học phi tuyến đồng nhất có cấu trúc giếng thế tuyến tính kép (do chiết suất thay đổi theo không gian) códạng như sau: 𝜕𝜓 1 𝑖 = − 𝜓𝑥𝑥 + 𝜎|𝜓|2 𝜓 + 𝑈(𝑥)𝜓 , (1.1) 𝜕𝑧 2 Công suất xung được tính theo mô đun của hàm bao biến thiên chậm: +∞ +∞ 𝑁 = ∫−∞ |𝜓(𝑥, 𝑧)|2 𝑑𝑥 = ∫−∞ |𝑢(𝑥)|2 𝑑𝑥, (1.2) Sự bất đối xứng của solitons được đặc trưng bởi độ bất đối xứng được kýhiệu 𝜈: +∞ 0 N+ −N− (∫0 |u(x)|2 dx−∫−∞|u(x)|2 dx) ν= = +∞ . (1.3) N ∫−∞ |u(x)|2 dx Sự xuất hiện các solitons không đối xứng ổn định với điều kiện làcông suất xung vượt mức giátrị tới hạn, loại phávỡ đối xứng này được gọi làtrên tới hạn. 𝑁𝑏𝑖𝑓 Hình 1.7. Sự rẽ nhánh trên tới hạn của các trạng thái solitons trong mô hình một chiều. Trong trường hợp thứ hai, các solitons không đối xứng ổn định xuất hiện tại giátrị công suất xung nhỏ hơn giá trị tới hạn, loại phávỡ này gọi làrẽ nhánh dưới tới hạn. 𝑁𝑏𝑖𝑓 4
Hình 1.8. Sự rẽ nhánh dưới tới hạn của các trạng thái solitons trong mô hình hai chiều. 1.3. Trạng thái hỗn loạn Trạng thái hỗn loạn được hiểu làtrạng thái lộn xộn, không trật tự. Tuy nhiên, để hiểu một cách chí nh xác chúng ta cần phân biệt hỗn loạn với ngẫu nhiên. Theo đó, đối với hỗn loạn nếu biết hiện tại (có thể làtrạng thái đầu) thì tương lai (có thể là trạng thái cuối) sẽ xác định vànếu có một nhiễu loạn nhỏ ở hiện tại (trạng thái đầu) thì tương lai (trạng thái cuối) sẽ không xác định được nữa. Ngược lại, ngẫu nhiên thì nếu biết trước hiện tại (có thể trạng thái ban đầu) thì tương lai (trạng thái cuối) sẽ không xác định được, mang tí nh chất ngẫu nhiên. Hỗn loạn có tí nh chất rất quan trọng đó là tính chất nhạy cảm với điều kiện ban đầu. “Hiệu ứng cánh bướm” là một vídụ nói về tí nh chất này. Hiệu ứng cánh bướm đó là nếu chúng ta thực hiện một thay đổi nhỏ ở trạng thái ban đầu của hệ phi tuyến cóthể dẫn tới kết quả là thay đổi lớn của trạng thái sau đó. Hình 1.9. Quỹ đạo của hệ Lorenz khi các giátrị tham số ρ = 28, σ = 10, β = 8/3. 1.4. Một số kịch bản dẫn đến hỗn loạn Hình vẽ 1.10 miêu tả ba kịch bản dẫn tới hỗn loạn thường được quan sát trong nhiều hệ động lực học khi một tham số của hệ thay đổi. Hình (a) làkịch bản nhân đôi tần số dẫn tới hỗn loạn; hì nh (b) làkịch bản gần tuần hoàn dẫn tới hỗn loạn; hình (c) làkịch bản không liên tục (không trơn) dẫn đến hỗn loạn. 5
Hình 1.10. Ba kịch bản dẫn tới trạng thái hỗn loạn. Trong hì nh vẽ 1.10, các kíhiệu “S” nghĩa là trạng thái dừng, “P1”, “P2”,…lần lượt làtrạng thái dao động một tần số, hai tần số,…, “C” là trạng thái hỗn loạn, “QP” làtrạng thái gần tuần hoàn, “IM” là trạng thái không liên tục (không trơn). Chương 2 SỰ PHÁ VỠ ĐỐI XỨNG TỰ PHÁT TRONG MỘT SỐ HỆ QUANG HỌC PHI TUYẾN BẢO TOÀN Chương này chúng tôi xét ảnh hưởng của công suất xung vàhằng số lan truyền lên sự phávỡ đối xứng tự phát trong hai hệ quang học bảo toàn. Đồng thời xét tí nh chất ổn định của các trạng thái solitons tồn tại trong hai hệ đó. 2.1. Hệ ống dẫn sóng có phi tuyến Kerr đồng nhất và thế tuyến tính kép 2.1.1. Mô hình và phương trình mô tả hệ Chúng tôi nghiên cứu sự lan truyền ánh sáng trong ống dẫn sóng với sự cómặt của hiệu ứng phi tuyến Kerr đồng nhất đồng thời bị bẫy trong ống dẫn sóng có chiết suất biến đổi theo không gian. Phương trình Schrödinger phi tuyến rút gọn mô tả sự lan truyền ánh sáng códạng sau đây: 𝜕𝜓 1 𝑖 = − 𝜓𝑥𝑥 + 𝜎|𝜓|2 𝜓 + 𝑈(𝑥)𝜓, (2.1) 𝜕𝑧 2 trong đó 𝜓 = 𝜓(𝑥, 𝑧) là hàm bao biến thiên chậm; 𝜓𝑥𝑥 là đạo hàm bậc hai của 𝜓(𝑥, 𝑧) theo tọa độ không gian 𝑥; 𝜎 làhệ số phi tuyến (𝜎 = −1 ứng với phi tuyến tự hội tụ, 𝜎 = +1 ứng với phi tuyến tự phân kỳ); thế tuyến tính (do chiết suất của ống dẫn sóng biến đổi theo không gian) códạng hàm Gauss kép: 1 (𝑥+1)2 (𝑥−1)2 𝑈(𝑥) = − [𝑒𝑥𝑝 (− ) + 𝑒𝑥𝑝 (− )], (2.2) 𝑎 √𝜋 𝑎2 𝑎2 trong đó a là độ rộng của hàm thế. 6
Hình 2.1. Thế tuyến tính Gauss kép được chuẩn hóa 𝑈(𝑥)⁄|𝑈(𝑥)|𝑚𝑎𝑥 theo tọa độ không gian 𝑥. Hình vẽ 2.1 mô tả thế tuyến tí nh dạng hàm Gauss kép (có biểu thức (2.2)) với các độ rộng 𝑎 khác nhau. Khi độ rộng của thế tăng lên chúng ta thấy rằng hàm thế Gauss kép dần tới hàm thế Gauss đơn bắt đầu tại giátrị độ rộng 𝑎 ≈ 1.35. Lưu ý rằng sự phávỡ đối xứng không xảy ra trong trường hợp một kênh. Chúng tôi tìm kiếm các trạng thái solitons của hệ có dạng 𝜓(𝑥, 𝑧) = 𝑢(𝑥)𝑒 𝑖𝜇𝑧 trong đó 𝜇 làhằng số lan truyền, 𝑧 làchiều dài lan truyền và𝑢(𝑥) làhàm thỏa mãn phương trình: 1 −𝜇𝑢 + 𝑢𝑥𝑥 − 𝑈(𝑥)𝑢 − 𝜎𝑢3 = 0, (2.3) 2 trong đó 𝑢𝑥𝑥 là đạo hàm bậc hai của 𝑢(𝑥) theo tọa độ không gian 𝑥 và𝑢 = 𝑢(𝑥). Công suất của xung của hệ làmột đại lượng bảo toàn cóbiểu thức: +∞ +∞ 𝑁 = ∫−∞ |𝜓(𝑥, 𝑡)|2 𝑑𝑥 = ∫−∞ |𝑢(𝑥)|2 𝑑𝑥 . (2.4) Độ bất đối xứng được định nghĩa như sau: +∞ 0 N+ −N− (∫0 |𝑢(𝑥)|2 𝑑𝑥−∫−∞|𝑢(𝑥)|2 𝑑𝑥) Θ= = +∞ , (2.5) N ∫−∞ |𝑢(𝑥)|2 𝑑𝑥 nóđặc trưng cho sự bất đối xứng của solitons. 2.1.2. Hệ nghiên cứu với phi tuyến tự hội tụ vàthế tuyến tính kép Xét trường hợp phi tuyến trong ống dẫn sóng làtự hội tụ thì𝜎 = −1, phương trình môtả hệ trở thành: 𝜕𝜓 1 𝑖 = − 𝜓𝑥𝑥 − |𝜓|2 𝜓 + 𝑈(𝑥)𝜓. (2.6) 𝜕𝑧 2 Trong hình vẽ 2.4, các đường màu xanh lam (đậm nét) tương ứng tập hợp các trạng thái của solitons ổn định, đường màu đỏ (đứt nét) là tập hợp của các solitons không ổn định (tính chất ổn định của chúng tôi sẽ xem xét ở ngay sau đây). Ở đây, chúng tôi nhận thấy tồn tại giá trị công suất tới hạn 𝑁𝑏𝑖𝑓 = 0.925 (hay hằng số lan truyền tới hạn 𝜇𝑏𝑖𝑓 = 0.646), màkhi 𝑁 > 𝑁𝑏𝑖𝑓 (hay 𝜇 > 𝜇𝑏𝑖𝑓 ) thì solitons của hệ trở nên bất đối xứng. Một trường hợp soliton đối xứng được biểu diễn bằng điểm A, soliton bất đối xứng được biểu diễn bằng điểm C, D ở hì nh vẽ 2.4b. Lưu ý rằng tại các 7
giátrị công suất 𝑁 lớn hơn công suất tới hạn 𝑁𝑏𝑖𝑓 cũng tồn tại soliton đối xứng, tập hợp các trạng thái đó được biểu diễn bằng đường nét đứt màu đỏ trên hình vẽ 2.4, một trường hợp trong số đó là trạng thái tại điểm B, hình dạng đối xứng của chúng cũng giống như trạng thái tại điểm A. Điểm khác biệt ở đây là trạng thái soliton của chúng không ổn định khi lan truyền với nhiễu loạn nhỏ. (a) C (b) A B D 𝝁𝒃𝒊𝒇 𝑵𝒃𝒊𝒇 Hình 2.4. Hình (a), (b) lần lượt là độ bất đối xứng như là hàm của hằng số lan truyền 𝜇, vàcông suất xung 𝑁. Tiếp theo, chúng tôi kiểm tra tính chất ổn định của các solitons bằng ba phương pháp khác nhau: phương pháp tiến triển solitons trong không gian thực với nhiễu loạn nhỏ bởi phương pháp SSF, phương pháp tuyến tí nh hóa trị riêng của mode nhiễu loạn, phương pháp V-K. Tất nhiên các kết quả thu được đều giống nhau, đó như là điều khẳng định các phương pháp đều chính xác. Sau đây chúng tôi trình bày chỉ phương pháp tiến triển trong không gian thực. Kết quả xét cho các trạng thái tại các điểm A, B, C và D. (B) (A) (C, D) (b) (A) z (a) (B) (C, D) (c) (d) z z 8
Hình 2.5. Hình (a) làcông xuất xung phụ thuộc vào hằng số lan truyền; hì nh (b) làtiến triển trong không gian trạng thái soliton đối xứng với 𝑁 = 0.5, 𝑎 = 0.5; hình (c), (d) lần lượt làtiến triển trạng thái soliton đối xứng vàtrạng thái soliton đối xứng khi 𝑁 = 2, 𝑎 = 0.5. Chúng tôi tiếp tục thực hiện mười giátrị khác nhau của độ rộng hàm thế Gauss 𝑎, mỗi giátrị chúng tôi thu được một điểm ngưỡng 𝑁𝑏𝑖𝑓 và 𝜇𝑏𝑖𝑓 kết quả thu được như hình vẽ 2.9. Hình 2.9. Hình (a) công suất xung vào ngưỡng 𝑁𝑏𝑖𝑓 như là hàm của độ rộng 𝑎 (đường cong chấm tròn); hình (b) hằng số lan truyền ngưỡng 𝜇𝑏𝑖𝑓 như là hàm của độ rộng 𝑎 (đường cong chấm tròn). Như vậy, mỗi trường hợp độ rộng của thế Gauss 𝑎 xác định, nếu công suất xung 𝑁 nhỏ hơn giá trị tới hạn 𝑁𝑏𝑖𝑓 thìtrạng thái của hệ là đối xứng ổn định, nếu công suất xung 𝑁 lớn hơn giá trị tới hạn 𝑁𝑏𝑖𝑓 thìtrạng thái của hệ chuyển sang trang thái bất đối xứng ổn định, lưu ý rằng ở vùng giátrị công suất 𝑁 lớn hơn giá trị tới hạn đó cũng tồn tại trạng thái đối xứng nhưng không ổn định. Từ tính chất đó và hình vẽ 2.9, chúng tôi suy ra được vùng (1) (vùng gạch chéo) tồn tại đồng thời trạng thái solitons không đối xứng ổn định và trạng thái solitons đối xứng không ổn định, vùng (2) (vùng không gạch chéo) tồn tại trạng thái solitons đối xứng ổn định. 2.1.3. Hệ nghiên cứu với phi tuyến tự phân kỳ vàthế tuyến tí nh kép Chúng tôi xét trường hợp phi tuyến tự phân kỳ nghĩa là 𝜎 = +1 phương trình (2.1) trở thành: 𝜕𝜓 1 𝑖 = − 𝜓𝑥𝑥 + |𝜓|2 𝜓 + 𝑈(𝑥)𝜓. (2.7) 𝜕𝑧 2 Bằng cách cố định độ rộng của thế Gauss kép 𝑎, thay đổi tăng dần giátrị công suất của xung 𝑁. Thực hiện với nhiều giá trị độ rộng 𝑎 khác nhau, chúng tôi nhận thấy rằng giátrị độ bất đối xứng Θ luôn luôn bằng không, một vídụ với độ rộng thế 𝑎 = 1.0 được miêu tả như hình vẽ 2.10. Điều đó có nghĩa là luôn thu được trạng thái đối xứng, không xuất hiện sự phávỡ đối xứng. Nguyên nhân được giải thích như sau: phi tuyến tự phân kỳ cũng giống như tán sắc ánh sáng nó luôn làm cho chùm sáng mở rộng trong không gian, kết quả chùm sáng luôn có dạng đối xứng. Trong khi đó phi tuyến tự hội tụ làm cho chùm sáng hội tụ tại điểm nào đó trong không gian. 9
Hình 2.10. Sự phụ thuộc của độ bất đối xứng Θ vào công suất xung trong trường hợp phi tuyến tự phân kỳ, độ rộng thế tuyến tí nh Gauss kép 𝑎 = 1.0. Một số kết quả tính toán minh họa được môtả bởi các hì nh vẽ dưới đây: hình vẽ 2.11 môtả các trạng thái solitons ứng với các độ rộng khác nhau 𝑎 = 1/3 và𝑎 = 1.0, hình vẽ 2.12 miêu tả sự tiến triển của solitons trong không gian thực, kết quả cho thấy các trạng thái soltion đối xứng của hệ có tính ổn định cao. Chúng tôi cũng tiến hành khảo sát nhiều giá trị độ rộng của hàm thế Gauss kép khác nhau và kết quả đều không có sự phá vỡ đối xứng trong hệ phi tuyến tự phân kỳ, các trạng thái solitons có tính ổn định cao. (a) (b) Hình 2.11. Các trạng thái solitons trong thế Gauss kép ứng với độ rộng khác nhau, hình (a) tương ứng độ rộng a =1/3, công suất 𝑁=2 và hình (b) tương ứng với a =1.0, công suất 𝑁=2. (a) (b) 10
Hình 2.12. Tiến triển trong không gian thực các trạng thái solitons, hình (a) ứng với trường hợp độ rộng a =1/3, công suất xung 𝑁=2, hì nh (b) ứng với trường hợp độ rộng a =1.0, công suất xung 𝑁=2. 2.2. Hệ hai ống dẫn sóng song song với phi tuyến biến điệu và liên kết tuyến tính 2.2.1. Hệ phương trình một chiều mô tả hệ nghiên cứu Hệ nghiên cứu được mô tả bởi hệ phương trình Schrödinger phi tuyến viết ở dạng rút gọn như sau: 𝜕𝜙 1 𝜕2 𝜙 𝑖 =− + 𝑔(𝑥)|𝜙|2 𝜙 − 𝑘𝜓 𝜕𝑧 2 𝜕𝑥 2 { 𝜕𝜓 1 𝜕2 𝜓 , (2.8) 2 𝑖 =− + 𝑔(𝑥)|𝜓| 𝜓 − 𝑘𝜙 𝜕𝑧 2 𝜕𝑥 2 trong giới hạn ống dẫn sóng quang, 𝜙 và𝜓 là các hàm bao biến thiên chậm của xung ánh sáng lan truyền trong hai ống, 𝑥 làtọa độ ngang, 𝑔(𝑥) làhệ số phi tuyến địa phương phụ thuộc tọa độ không gian 𝑥 và𝑘 là hệ số liên kết, z khoảng cách lan truyền. Tổng công suất xung của hệ thì bảo toàn: +∞ 𝑁 ≡ ∫−∞ [|𝜙(𝑥)|2 + |𝜓(𝑥)|2 ]𝑑𝑥, (2.9) và Hamilton của hệ cũng bảo toàn: 1 +∞ 𝐻 ≡ ∫−∞ [|𝜙𝑥 |2 + |𝜓𝑥 |2 + 𝑔(𝑥)(|𝜙|4 + |𝜓|4 ) − 2𝑘(𝜙𝜓 ∗ + 𝜙 ∗ 𝜓)]𝑑𝑥 2 (2.10) trong đó dấu “*“ là kí hiệu của liên hợp phức hàm bao. Xét phi tuyến địa phương 𝑔(𝑥) có dạng hàm delta: 𝑔(𝑥) = −𝛿(𝑥). (2.11) 2.2.2. Các trạng thái solitons, giản đồ rẽ nhánh và tính chất ổn định của các trạng thái Bằng phương pháp giải tích, chúng tôi đã tính toán được các loại trạng thái solitons khác nhau. Từ đó xét được ảnh hưởng của các tham số lên sự phá vỡ đối xứng của hệ. (a) (b) (c) Hình 2.13. Các loại trạng thái solitons: hình (a) làtrạng thái đối xứng, hình (b) trạng thái phản đối xứng và hình (c) trạng thái không đối xứng của hệ trong trường hợp hệ số liên kết 𝜅 = 1 vàhằng số lan truyền 𝜇 = 4. Qua hình vẽ 2.13a cho thấy hàm bao của hai trạng thái trong hai ống dẫn sóng trùng nhau miêu tả trạng thái đối xứng, hình 2.13b thì hai hàm bao đối xứng nhau qua trục nằm ngang miêu tả trạng thái phản đối xứng, còn đối với hình 2.13c hai hàm bao lệch nhau miêu tả trạng thái không đối xứng. 11
Tổng công suất xung dạng (2.9) của các trạng thái đối xứng và phản đối xứng là 𝑁𝑠𝑦𝑚𝑚 = 𝑁𝑎𝑛𝑡𝑖𝑠𝑦𝑚𝑚 = 2. Tổng công suất của trạng thái bất đối xứng là: 3    2 2 N a sym m  .   2 2 2 (2.12) với giá trị giới hạn 𝑁𝑎𝑠𝑦𝑚𝑚 (𝜇 → ∞) = 1. Các tổng công suất của các solitons đối xứng và bất đối xứng phụ thuộc vào hằng số lan truyền 𝜇, được vẽ ở hình 2.14a dưới đây. Giá trị của năng lượng được tính dựa theo công thức (2.10), áp dụng tính cho tất cả trạng thái được xem xét, có biểu thức tổng quát là: 2 2 2 2 4 2 2  A  C E  2 A  2 C  A  A (C )  4 A  (A ) C   2 * 2 * 2 2 C   (2.13) Các trạng thái đối xứng, phản đối xứng và bất đối xứng tương ứng năng lượng là 𝐸𝑠𝑦𝑚𝑚 = −𝑘 và𝐸𝑎𝑛𝑡𝑖𝑠𝑦𝑚𝑚 = 𝑘, và 3 2(𝜇+𝜅) 2(𝜇−𝜅) 𝐸𝑎𝑠𝑦𝑚 = − 𝜅 [√ +√ ]. (2.14) 8 2(𝜇−𝜅) 2(𝜇+𝜅) 5 Tại điểm rẽ nhánh 𝜇𝑏𝑖𝑓 = 𝜅 thay vào biểu thức (2.14) suy ra 𝐸𝑠𝑦𝑚𝑚 = −𝑘. 4 Hình 2.14. Hình (a) miêu tả công suất xung vàhình (b) miêu tả năng lượng của các trạng thái đối xứng, phản đối xứng và không đối xứng theo hằng số lan truyền 𝜇. Độ bất đối xứng giữa hai ống dẫn sóng được định nghĩa là: +∞ ∫−∞ [|𝑢2 (𝑥)|−|𝑣 2 (𝑥)|]𝑑𝑥 Θ = +∞ . (2.15) ∫−∞ [|𝑢2 (𝑥)|+|𝑣 2 (𝑥)|]𝑑𝑥 Thế các giátrị 𝑢(𝑥), 𝑣(𝑥) đã xác định ở trên vào (2.15) vàtính tính phân chúng ta suy ra:    3 .   2 2 2 2 4 5   3   2  2  2     (2.16)   2      Nó được vẽ như là hàm của tổng công suất vàhằng số lan truyền trong hình 2.15. Lưu ý rằng   1 khi hằng số lan truyền 𝜇 → +∞. Tất cả các trạng thái bất đối xứng là không ổn định trong mô hình với phi tuyến biến điệu là hàm delta dạng (2.11). 12
Hình 2.15. Hình (a), (b) miêu tả độ bất đối xứng  được định nghĩa theo biểu thức (2.15) theo hằng số lan truyền 𝜇 vàtổng công suất 𝑁. Để xác định tính chất ổn định của các trạng thái chúng tôi sử dụng tiêu chuẩn ổn định V-K. Từ hình vẽ 2.14a chúng ta thấy hệ số góc của đường cong tổng công suất 𝑁 theo hằng số lan truyền 𝜇 luôn luôn âm, do đó theo tiêu chuẩn V-K các trạng thái không đối xứng luôn luôn không ổn định. Trong các hình vẽ trên, đường liền nét và nét đứt tương ứng với trạng thái ổn định và không ổn định. Từ hình vẽ 2.15 chúng tôi suy ra được: thứ nhất công suất tới hạn và hằng số lan truyền tới hạn lần lượt là 𝑁𝑏𝑖𝑓 = 2 và𝜇𝑏𝑖𝑓 = 1.25; thứ hai solitons đối xứng vàsolitons phản đối xứng của hệ tồn tại chỉ khi công suất 𝑁 = 2, hệ tồn tại solitons bất đối xứng khi công suất 1 < 𝑁 < 2 (hay khi hằng số lan truyền 𝜇 > 1.25), thứ ba các trạng thái solitons bất đối xứng không ổn định, đối chiếu với cách phân loại sự rẽ nhánh chúng ta thấy SSB của hệ này thuộc loại dưới tới hạn. Chương 3 SỰ PHÁ VỠ ĐỐI XỨNG TỰ PHÁT TRONG HỆ HAI VÒNG CỘNG HƯỞNG QUANG KÍCH THƯỚC CỠ MICRO MÉT 3.1. Môhình nghiên cứu vàhệ phương trình mô tả Hệ phương trình miêu tả hệ cộng hưởng giữa hai vòng quang học là: 𝑖𝜕𝑡 𝜓1 = −𝜕𝑥2 𝜓1 + 𝑖𝛾𝜓1 + (1 − 𝑖𝛤)|𝜓1 |2 𝜓1 + 𝐽(𝑥)𝜓2 { , (3.1) 𝑖𝜕𝑡 𝜓2 = −𝜕𝑥2 𝜓2 + 𝑖𝛾𝜓2 + (1 − 𝑖𝛤)|𝜓2 |2 𝜓2 + 𝐽(𝑥)𝜓1 trong đó 𝜓1 , 𝜓2 lần lượt là hàm sóng miêu tả trạng thái ánh sáng trong vòng thứ nhất vàvòng thứ hai. Tùy thuộc vào vị trí tương đối giữa hai vòng màhàm số liên kết 𝐽(𝑥) có thể là hằng số (gọi tắt là liên kết hằng số) được nghiên cứu bởi Nguyễn Việt Hưng và cộng sự, hàm liên kết dạng Gauss đơn (gọi tắt là liên kết Gauss đơn) được nghiên cứu bởi Aleksandr Ramaniuk và cộng sự, hay hàm liên kết Gauss kép (gọi tắt là liên kết Gauss kép) đã được chúng tôi nghiên cứu và công bố trong các công trình. Hàm liên kết Gauss đơn và Gauss kép gọi là liên kết địa phương tức là chúng tương ứng liên kết tại một điểm và hai điểm. Các dạng hàm liên kết đó được miêu tả bởi các biểu thức sau đây: với liên kết hằng số: 𝐽(𝑥) = 𝑐 = ℎằ𝑛𝑔 𝑠ố, (3.2) 𝐽0 𝑥2 với liên kết Gauss đơn: 𝐽(𝑥) = 𝑒𝑥𝑝 (− 2), (3.3) √ 𝜋𝑎 𝑎 13
𝜋 2 𝜋 2 𝐽0 (𝑥− ) (𝑥+ ) 2 2 với liên kết Gauss kép: 𝐽(𝑥) = {𝑒𝑥𝑝 (− ) + 𝑒𝑥𝑝 (− )} . √𝜋𝑎 𝑎2 𝑎2 (3.4) Trong đó 𝐽0 là cường độ liên kết đặc trưng cho liên kết mạnh hay yếu giữa các vòng; 𝑎 là độ rộng của hàm liên kết, nó phụ thuộc vào độ nghiêng tiếp xúc của các vòng. Độ rộng đóhẹp hay rộng khi so sánh với chu vi của các vòng quang, độ rộng rất hẹp nếu 𝑎 ≪ 𝜋, độ rộng rất rộng nếu 𝑎 ≫ 𝜋. Hì nh 3.1. Mô hình nghiên cứu gồm hai vòng cộng hưởng quang học với sự có mặt của khuếch đại tuyến tính, mất mát phi tuyến và liên kết tuyến tính với nhau. Trong hì nh vẽ 3.1, các kýhiệu 𝛾 vàΓ lần lượt là tham số khuếch đại và tham số mất mát trong mỗi vòng; 𝑗1 , 𝑗2 , 𝑗⊥ lần lượt là mật độ dòng trong vòng 1, vòng 2 và mật độ dòng ngang trao đổi giữa hai vòng. Mục đích của chương này là nghiên cứu SSB trong hai vòng cộng hưởng quang học nói trên. Để nghiên cứu SSB của hệ chúng ta cần sử dụng một số đại lượng vật lý đặc trưng được định nghĩa sau đây: Công suất ánh sáng trong mỗi vòng: 2𝜋 𝑁𝑖 (𝑡) = ∫0 |𝜓𝑖 (𝑥, 𝑡)|2 𝑑𝑥, (3.5) với 𝑖 = 1, 2 là chỉ số chỉ tương ứng công suất trong vòng 1 và vòng 2 mô tả bởi hai hàm sóng 𝜓1 , 𝜓2 . Tổng công suất ánh sáng trong hai vòng: 2𝜋 𝑁(𝑡) = ∫0 [|𝜓1 (𝑥, 𝑡)|2 + |𝜓2 (𝑥, 𝑡)|2 ]𝑑𝑥. (3.6) Biến đổi Fourier của tổng công suất: 𝑁̃ (𝜔) = ℱ(𝑁(𝑡)). (3.7) với ℱ làkíhiệu của phép biến đổi Fourier, 𝜔 là tần số trong miền không gian Fourier. Mật độ dòng quang giữa bên trong mỗi vòng quang học: 1 𝜕𝜓 𝜕𝜓∗ 𝑗𝛼 (𝑥, 𝑡) = (𝜓𝛼∗ 𝛼 + 𝜓𝛼 𝛼 ), với 𝛼 = 1,2. (3.8) 2𝑖 𝜕𝑥 𝜕𝑥 Mật độ dòng ngang giữa các vòng quang học: 𝐶 𝑗⊥ (𝑥, 𝑡) = (𝜓1∗ 𝜓2 + 𝜓2∗ 𝜓1 ), (3.9) 2𝑖 và tổng dòng giữa hai vòng là: 2𝜋 𝐽⊥ (𝑥, 𝑡) = ∫0 𝑗⊥ (𝑥, 𝑡)𝑑𝑥. (3.10) Nguồn tô-pô đặc trưng sự xoáy của trạng thái ánh sáng trong các vòng được định nghĩa: 14
1 2𝜋 𝜕 𝜅 = ∫0 𝑎𝑟𝑔(𝜓𝑖 )𝑑𝑥. (3.11) 2𝜋 𝜕𝑥 Đây là một đại lượng được lượng tử hóa, nếu 𝜅 = 0 thìứng với trạng thái không xoáy vànếu 𝜅 nguyên khác không thì ứng với trạng thái xoáy. Độ bất đối xứng trong mỗi vòng: 𝜋 0 ∫0 |𝜓𝑖 |2 𝑑𝑥− ∫−𝜋|𝜓𝑖 |2 𝑑𝑥 Θ𝑖 = +𝜋 . (3.12) ∫−𝜋 |𝜓𝑖 |2 𝑑𝑥 với 𝑖 = 1, 2 là chỉ số tương ứng với vòng 1 và vòng 2. Nếu Θ𝑖 = 0 thìtrạng thái của hệ cótính chất đối xứng chẵn 𝑥 → −𝑥, nếu Θ𝑖 ≠ 0 thì trạng thái của hệ mất tính chất đối xứng trên hay gọi là có SSB. Chúng tôi sử dụng phương pháp SSF (cụ thể là kỹ thuật tiến triển) để nghiên cứu SSB của hệ. Điều kiện đầu được chọn là trạng thái dừng trong mỗi vòng khi không có liên kết. Khi các vòng chưa liên kết với nhau (𝐽0 = 0), trạng thái dừng của hệ có dạng sau đây: 𝛾 2 𝑖𝜅𝑥−𝑖( +𝜅 )𝑡 𝜓1,2 (𝑡) = 𝜌1,2 𝑒 Γ , (3.13) trong đó, 𝜌1,2 lần lượt là mô đun của các hàm sóng miêu tả trạng thái ánh sáng trong vòng 1 vàvòng 2, 𝜅 là nguồn tô-pô. Với điều kiện đầu không xoáy (𝜅 = 0) và thêm nhiễu vào (3.13) thì biểu thức đó sẽ trở thành: 𝛾 𝜓1,2 (𝑥, 𝑡 = 0) = √ (1 ± 𝛽sin(k𝑥)), (3.14) Γ trong đó 𝛽 = 0.01 là hệ số nhiễu, k là số nguyên. Khi các vòng liên kết với nhau, sự bất ổn định xảy ra dẫn tới xuất hiện nhiều loại trạng thái như: trạng thái dừng, trạng thái dao động, trạng thái hỗn loạn và các hiện tượng như hiện tượng phá vỡ đối xứng, hiện tượng xoáy. Trước khi chuyển sang phần nghiên cứu chính của chúng tôi về SSB của hệ trong trường hợp liên kết Gauss kép, chúng tôi sẽ trình bày chi tiết về các loại trạng thái và hiện tượng xuất hiện trong hệ. 3.2. Một số loại trạng thái và hiện tượng xuất hiện trong hệ cộng hưởng vòng quang 15
3.2.1. Trạng thái dừng và sự phá vỡ đối xứng Trạng thái dừng là trạng thái mà mô đun hàm sóng mô tả trạng thái không thay đổi theo thời gian. Trong hình 3.3, hình (a) miêu tả tổng công suất không thay đổi theo thời gian của trạng thái cuối cùng. Hình (b) là biến đổi Fourier của tổng công suất, chúng ta thấy chỉ có tần số ω=0 có biến đổi Fourier khác không, đó chính là do tính chất của trạng thái dừng, hay nói các khác trạng thái dừng thì biến đổi Fourier của tổng công suất chỉ thu được giá trị khác không tại tần số ω=0, còn tại các tần số khác biến đổi Fourier đều bằng không. Hình (c) là tiến triển của một hàm sóng theo thời gian, còn hình (d) là mô đun của hai hàm sóng. (a) (b) Mô đun hàm sóng (c) (d) Hình 3.3. Trạng thái dừng trong trường hàm liên kết Gauss đơn với các tham số: 𝛾 = 3, Γ = 1, 𝐽0 = 2, 𝑎 = 1. 3.2.2. Trạng thái dao động Trạng thái dao động là trạng thái mà mô đun hàm sóng biến đổi tuần hoàn theo thời gian. Hình 3.9a miêu tả tổng công suất của ánh sáng trong hai vòng biến đổi theo thời gian. Sự tiến triển của một hàm sóng được miêu tả ở hình vẽ 3.9c. Để biết số lượng tần số của trạng thái dao động, chúng tôi thực hiện biến đổi Fourier của tổng công suất được miêu tả ở hình 3.9b. Qua đó, chúng tôi thấy rằng xuất hiện 7 tần số ω trong không gian Fourier có biến đổi Fourier của tổng công suất khác không. Đây là trường hợp trạng thái dao động với 7 tần số. Hình 3.9d miêu tả mô đun hai hàm sóng tại cùng một thời điểm, cho thấy có sự bất đối xứng chẵn x→-x của các hàm sóng. 16
(a) (b) Mô đun hàm sóng (c) (d) Hình 3.9. Trạng thái dao động của hệ trong trường hợp liên kết hằng số. Hình (a) biểu diễn tổng công suất ánh sáng trong hai vòng theo thời gian, (b) là biến đổi Fourier của tổng công suất, (c) là tiến triển của hàm sóng theo thời gian và (d) là mô đun của các hàm sóng. Các tham số của hệ Γ = 1, 𝛾 = 1 và𝑐 = 1.25. 3.2.3. Trạng thái hỗn loạn Trạng thái hỗn loạn được hiểu là sự phân bố cường độ ánh sáng trong các vòng không đồng đều, lộn xộn và không trật tự. (a) (b) 17
Mô đun hàm sóng (c) (d) Hình 3.11. Trạng thái hỗn loạn xuất hiện trong hệ trong trường hợp liên kết hằng số (trong đó hình nhỏ của hình vẽ (a) là kết quả của), khi các tham số đặc trưng của hệ Γ = 1, 𝛾 = 2 và𝑐 = 2. 3.3. Sự phávỡ đối xứng của hệ với hàm liên kết Gauss kép 3.3.1. Ảnh hưởng của cường độ liên kết lên sự phávỡ đối xứng của hệ Trong mục này chúng tôi nghiên cứu ảnh hưởng của cường độ liên kết lên sự phávỡ đối xứng của hệ với các bộ tham số: cố định bộ các tham số khuếch đại 𝛾 = 3, tham số mất mát Γ = 1 và thay đổi cường độ liên kết 𝐽0 . Các trường hợp độ rộng hàm liên kết khác nhau đã được kiểm tra và cho thấy quá trình biến đổi trạng thái tương tự nhau khi độ rộng của hàm liên kết lệch nhau không quá lớn, chúng có sự khác nhau đáng kể khi độ rộng đó lớn gấp hàng trăm lần nhau. Vì vậy, sau đây chúng tôi sẽ trình bày sự phá vỡ đối xứng của hệ trong hai trường hợp: độ rộng liên kết hẹp (𝑎 = 0.01) và độ rộng liên kết lớn (𝑎 = 1.0) là hai trường hợp đại diện. Kết quả thu được vùng các tham số tồn tại các loại trạng thái và có sự phá vỡ đối xứng được tổng hợp trên các hình vẽ và sơ đồ dưới đây. 3.3.1.1. Sự phá vỡ đối xứng trạng thái của hệ khi liên kết hẹp Sơ đồ 3.1. Sự biến đổi trạng thái vàSSB do ảnh hưởng của cường độ liên kết khi độ rộng hàm liên kết hẹp 𝑎 = 0.01. Trong sơ đồ các ký hiệu có nghĩa như sau:  O-SSB nghĩa là không có sự phá vỡ  S: ký hiệu của trạng thái dừng đối xứng  O: ký hiệu của trạng thái dao động  SSB nghĩa là có sự phá vỡ đối xứng  Chaos: ký hiệu của trạng thái hỗn loạn 18