Tóm tắt luận văn Thạc sĩ Khoa học: Một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức

1<br /> <br /> BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO<br /> ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG<br /> <br /> ĐẶNG CÔNG VĨNH<br /> <br /> MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC<br /> Chuyên ngành: PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP<br /> Mã số:<br /> 60 46 40<br /> <br /> TÓM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC<br /> <br /> Đà Nẵng - Năm 2011<br /> <br /> 2<br /> <br /> Công trình ñược hoàn thành tại<br /> ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG<br /> <br /> Người hướng dẫn khoa học: PGS.TSKH. TRẦN QUỐC CHIẾN<br /> <br /> Phản biện 1: TS. CAO VĂN NUÔI<br /> <br /> Phản biện 2: GS.TSKH NGUYỄN VĂN MẬU<br /> <br /> Luận văn ñược bảo vệ tại Hội ñồng chấm Luận văn tốt nghiệp thạc sĩ khoa học<br /> họp tại Đại học Đà Nẵng vào ngày 23 tháng 10 năm 2011<br /> <br /> * Có thể tìm hiểu luận văn tại:<br /> - Trung tâm Thông tin - Học liệu, Đại học Đà Nẵng<br /> - Thư viện trường Đại học Sư phạm, Đại học Đà Nẵng<br /> <br /> 3<br /> <br /> MỞ ĐẦU<br /> 1. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI<br /> Bất ñẳng thức là một trong những chuyên ñề quan trọng nhất của toán học phổ<br /> thông. Đây là một chuyên ñề ñược nhiều người quan tâm ñến.<br /> Trong chương trình toán học phổ thông, bất ñẳng thức ñược giới thiệu trong<br /> chương trình ñại số 10, ñây là chuyên ñề hay và rất khó ñòi hỏi người học phải có óc tư<br /> duy và sáng tạo rất cao. Trong vài năm trở lại ñây chuyên ñề bất ñẳng thức ñã ñược các<br /> nhà toán học trên thế giới và trong nước ñầu tư, tìm hiểu rất nhiều. Đặc biệt, ở Việt<br /> Nam bất ñẳng thức trong thời gian qua ñã ñược không ít các thầy giáo, các bạn sinh<br /> viên giỏi ñã tìm hiểu và sáng tạo ra các phương pháp chứng minh rất hay, ñộc ñáo.<br /> Với mong muốn sẽ tìm hiểu và hệ thống hoá một cách ñầy ñủ về các phương<br /> pháp chứng minh bất ñẳng thức, nhằm hoàn thiện cho mình một kỹ năng chứng minh<br /> bất ñẳng thức. Qua ñó phục vụ cho công tác giảng dạy sau này. Chính vì các lý do trên<br /> tôi ñã chọn ñề tài “ MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC ” .<br /> Điều kiện ñảm bảo cho việc hoàn thành ñề tài : Được thầy giáo PGS. TSKH<br /> Trần Quốc Chiến hướng dẫn, cung cấp tài liệu và tận tình giúp ñỡ, ñồng thời bản thân<br /> cố gắng nghiên cứu sưu tập tài liệu ñể ñảm bảo hoàn thành ñề tài.<br /> 2. MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU<br /> - Hệ thống và phân loại một số phương pháp chứng minh bất ñẳng thức.<br /> - Tìm hiểu thêm các phương pháp mới về chứng minh bất ñẳng thức và hoàn<br /> thiện các kỹ năng ñã biết nhằm phục vụ cho công tác giảng dạy sau này.<br /> - Đề xuất một số dạng quan trọng trong các kỳ thi ñại học, thi học sinh Giỏi.<br /> 3. ĐỐI TƯỢNG VÀ PHẠM VI NGHIÊN CỨU<br /> 3.1. Đối tượng nghiên cứu<br /> Khảo sát lý thuyết tổng quát, các phương pháp chứng minh bất ñẳng thức dựa<br /> trên phương pháp dồn biến, phương pháp ñường thẳng tiếp tuyến và các bất ñẳng thức<br /> AM – GM, Cauchy – Schwarz, Bernoulli, Chebyshev.<br /> <br /> 4<br /> <br /> 3.2. Phạm vi nghiên cứu<br /> Khảo sát lý thuyết tổng quát và ñặc biệt ứng dụng trong chương trình toán học<br /> phổ thông và toán học dành cho học sinh giỏi các ñội tuyển quốc gia.<br /> 4. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU<br /> Đề tài này ñã sử dụng các phương pháp nghiên cứu sau:<br /> - Phương pháp nghiên cứu tư liệu gồm: Các tài liệu tham khảo dành cho giáo<br /> viên, tạp chí toán học tuổi trẻ, các ñề tài nghiên cứu có liên quan…<br /> - Phương pháp tiếp cận lịch sử: Sưu tầm, phân tích và tổng hợp tư liệu.<br /> - Phương pháp tiếp cận hệ thống.<br /> - Thực nghiệm sư phạm ở trường phổ thông.<br /> 5. Ý NGHĨA KHOA HỌC VÀ THỰC TIỄN CỦA ĐỀ TÀI<br /> - Đề tài ñã hệ thống và phân loại một số phương pháp chứng minh bất ñẳng thức<br /> giải quyết hàng loạt các bài toán bất ñẳng thức khó ở phổ thông, góp phần cho học sinh<br /> và giáo viên có thêm một số phương pháp chứng minh bất ñẳng thức.<br /> - Đề tài ñược trình bày một cách logic, khoa học, rõ ràng và dễ hiểu.<br /> 6. CẤU TRÚC LUẬN VĂN<br /> Mở ñầu:<br /> Chương 1: Kiến thức cơ sở<br /> Trong chương này nêu ñầy ñủ kiến thức cơ sở về bất ñẳng thức như ñịnh nghĩa,<br /> tính chất, kỹ thuật chọn ñiểm rơi trong bất ñẳng thức.<br /> Chương 2: Một số phương pháp chứng minh bất ñẳng thức<br /> Trong chương này hệ thống lại các phương pháp chứng minh bất ñẳng thức dựa<br /> trên các bất ñẳng thức AM – GM, Cauchy – Schwarz, Bernoulli, Chebyshev và các<br /> phương pháp khác như phương pháp dồn biến, phương pháp ñường thẳng tiếp tuyến.<br /> Chương 3: Ứng dụng<br /> Trong chưong này trình bày những ứng dụng của các phương pháp chứng minh<br /> bất ñẳng thức ñã hệ thống ở chương 2.<br /> Kết luận và tài liệu tham khảo.<br /> <br /> 5<br /> <br /> CHƯƠNG 1: KIẾN THỨC CƠ SỞ<br /> 1.1. ĐỊNH NGHĨA<br /> Bất ñẳng thức là các biểu thức ñược nối với nhau bởi các dấu '' > ''; '' < ''; '' ≥ ''; '' ≤ ''<br /> Các mệnh ñề ''A > B''; ''A ≥ B''; ''A < B''; ''A ≤ B'' ñược gọi là các bất ñẳng thức<br /> Trong ñó A, B là các biểu thức, A ñược gọi là vế trái và B là vế phải của bất ñẳng thức<br /> Các bất ñẳng thức A > B; C > D ( hoặc A < B; C < D ) là 2 bất ñẳng thức cùng chiều<br /> Các bất ñẳng thức A > B; C < D ( hoặc A < B; C > D ) là 2 bất ñẳng thức trái chiều<br /> Xét 2 bất ñẳng thức A > B & C < D<br /> + Nếu ta có A > B ⇒ C < D ta nói bất ñẳng thức C > D là hệ quả của bất ñẳng<br /> thức A > B<br /> + Nếu A > B ⇔ C < D ta nói bất ñẳng thức A > B & C > D là hai bất ñẳng<br /> thức tương ñương<br /> 1.2. CÁC TÍNH CHẤT CỦA BẤT ĐẲNG THỨC<br /> 1.<br /> <br /> AA<br /> <br /> 2.<br /> <br /> A > B<br /> ⇒ A>C<br /> <br /> B > C<br /> <br /> 3.<br /> <br /> A > B ⇒ A +C > B+C<br /> <br /> 4.<br /> <br /> A > B<br /> ⇒ A+C > B+D<br /> <br /> C<br /> ><br /> D<br /> <br /> <br /> 5.<br /> <br /> A > B<br /> ⇒ AC > BC<br /> <br /> C<br /> ><br /> 0<br /> <br /> A > B<br /> ⇒ AC < BC<br /> <br /> C < 0<br /> <br /> 6.<br /> <br /> A > B<br /> ⇒ A−C > B−D<br /> <br /> C < D<br /> <br /> 7.<br /> <br /> A > B > 0<br /> ⇒ AC > BD<br /> <br /> C > D > 0<br /> <br /> 8.<br /> <br /> A > B > 0 ⇒ A n > Bn<br /> <br /> ( tính chất bắc cầu )<br /> <br /> ∀n ∈ Z+<br /> <br />