Tóm tắt luận văn Thạc sĩ Khoa học: Ứng dụng dãy Fibonacci trong toán sơ cấp

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO<br /> ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG<br /> <br /> LÊ THỊ THANH HIỀN<br /> <br /> ỨNG DỤNG DÃY FIBONACCI<br /> TRONG TOÁN SƠ CẤP<br /> <br /> Chuyên nghành: Phương pháp Toán sơ cấp<br /> Mã số: 60.46.01.13<br /> <br /> TÓM TẮT<br /> LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC<br /> <br /> Đà Nẵng – Năm 2015<br /> <br /> Công trình được hoàn thành tại<br /> ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG<br /> <br /> Người hướng dẫn khoa học: PGS.TSKH. TRẦN QUỐC CHIẾN<br /> <br /> Phản biện 1: TS Nguyễn Duy Thái Sơn.<br /> <br /> Phản biện 2 : TS Trịnh Đào Chiến.<br /> <br /> Luận văn sẽ được bảo vệ trước Hội đồng chấm luận văn tốt<br /> nghiệp thạc sỹ Khoa học họp tại Đại học Đà Nẵng vào ngày 12<br /> tháng 12 năm 2015<br /> <br /> Có thể tìm hiểu luận văn tại:<br /> - Trung tâm Thông tin – Học liệu, Đại học Đà Nẵng<br /> - Trường Đại Học Sư Phạm, Đại Học Đà Nẵng<br /> <br /> 1<br /> MỞ ĐẦU<br /> 1. Lí do chọn đề tài<br /> Leonardo Pisano Bogollo (khoảng 1170 – 1250), còn đƣợc biết<br /> với tên Leonardo của Pisa, hay phổ biến nhất dƣới cái tên Fibonacci,<br /> là một nhà toán học ngƣời Ý và ông còn đƣợc một số ngƣời xem là<br /> “nhà toán học tài ba nhất thời Trung Cổ”. Ông nổi tiếng trong thế<br /> giới hiện đại vì có công lan truyền hệ đếm Hindu - Ả Rập ở Châu Âu<br /> và đặc biệt là dãy số hiện đại mang tên ông, dãy Fibonacci trong<br /> cuốn sách Liber Abaci – sách về toán đố năm 1202. Liber Abaci cũng<br /> đề ra và giải quyết bài toán liên quan đến sự phát triển dân số của thỏ<br /> dựa trên giả thiết lý tƣởng. Phép giải theo từng thế hệ là một chuỗi<br /> các con số sau này đƣợc biết với tên dãy Fibonacci. Dãy số này đƣợc<br /> các nhà toán học Ấn Độ biết đến từ thế kỷ thứ 6, nhƣng chỉ đến khi<br /> cuốn Liber Abaci của Fibonacci ra đời, mới đƣợc giới thiệu đến<br /> phƣơng Tây.<br /> Dãy Fibonacci đƣợc coi là một dãy số kỳ diệu, nó xuất hiện<br /> một cách tự nhiên ở hầu hết mọi sự vật, hiện tƣợng từ thiên nhiên đến<br /> nhân tạo, chúng ta có thể bắt gặp sự hiện diện của nó ở thực vật cho<br /> đến hệ động vật rất đẹp và đa dạng. Dãy Fibonacci và các tỉ lệ của nó<br /> có vẻ rất lẻ và ngẫu nhiên, nhƣng kỳ lạ là nó đem lại sự cân bằng<br /> hoàn hảo. Hơn nữa, ứng dụng của dãy Fibonacci trong toán học lại<br /> rất phong phú. Vì vậy việc tìm hiểu sâu và giới thiệu dãy Fibonacci<br /> và ứng dụng của nó trong toán sơ cấp là rất thú vị và cần thiết cho<br /> học tập giảng dạy Toán, cũng nhƣ sự hiểu biết của con ngƣời.<br /> 2. Mục tiêu và nội dung nghiên cứu của đề tài<br /> - Giới thiệu dãy Fibonacci, công thức tổng quát của dãy<br /> Fibonacci.<br /> - Giới thiệu các tính chất và các hệ thức của dãy Fibonacci.<br /> - Trình bày ứng dụng dãy Fibonacci trong toán sơ cấp.<br /> <br /> 2<br /> 3. Đối tƣợng và phạm vi nghiên cứu<br /> - Giới thiệu dãy Fibonacci.<br /> - Ứng dụng dãy Fibonacci trong toán sơ cấp.<br /> 4. Phƣơng pháp nghiên cứu<br /> - Thu thập tài liệu, đọc hiểu để trình bày một có hệ thống lý<br /> thuyết và bài tập.<br /> - Tham gia các buổi seminar với thầy hƣớng dẫn để hiểu rõ<br /> hơn về nội dung đề tài nghiên cứu.<br /> 5. Đóng góp của đề tài<br /> Làm rõ sự kỳ thú và chứng minh tính phong phú của dãy<br /> Fibonacci trong các ứng dụng của nó, đặc biệt là trong toán sơ cấp.<br /> 6. Ý nghĩa khoa học và thực tiễn<br />  Ý nghĩa khoa học<br /> Góp phần làm sáng tỏ các định lý, tính chất của dãy Fibonacci<br /> và ứng dụng dãy Fibonacci trong toán sơ cấp.<br />  Ý nghĩa thực tiễn<br /> Góp phần làm tài liệu tham khảo cho những ngƣời yêu thích dãy<br /> Fibonacci và tìm hiểu về ứng dụng dãy Fibonacci trong toán sơ cấp.<br /> 7. Cấu trúc luận văn<br /> Ngoài phần mở đầu và kết luận, nội dung của luận văn dự kiến<br /> đƣợc chia thành ba chƣơng.<br /> Chƣơng 1. Kiến thức cơ sở.<br /> Chƣơng 2. Dãy Fibonacci và các tính chất.<br /> Chƣơng 3. Ứng dụng của dãy Fibonacci trong toán sơ cấp.<br /> <br /> 3<br /> CHƢƠNG 1<br /> KIẾN THỨC CƠ SỞ<br /> 1.1. NGUYÊN LÝ QUY NẠP TOÁN HỌC<br /> Giả sử rằng với mỗi số nguyên dƣơng n ta có mệnh đề logic<br /> S (n) . Ta chứng minh mệnh đề S (n) đúng nhƣ sau<br /> a. Bƣớc cơ sở: S (1) đúng.<br /> b. Bƣớc quy nạp: n <br /> <br /> <br /> <br /> , nếu S (n) đúng thì S (n  1) đúng.<br /> <br /> Khi đó, S (n) đúng n <br /> <br /> <br /> <br /> .<br /> <br /> 1.2. DÃY SỐ<br /> Định nghĩa 1.1. Một hàm số u (n) xác định trên tập hợp các<br /> số tự nhiên<br /> <br /> , đƣợc gọi là một dãy số vô hạn, mỗi giá trị của hàm số<br /> <br /> u (n) gọi là một số hạng của dãy.<br /> <br /> Ta thƣờng ký hiệu dãy u (n) bởi (un ), ký hiệu các giá trị u (0),<br /> u (1) … tƣơng ứng bởi u0 , u1 … và<br /> <br /> un là số hạng tổng quát của dãy.<br /> <br /> Định nghĩa 1.2. Công thức truy hồi của dãy số ( sn ) là phƣơng<br /> trình xác định sn bằng các phần tử s0 , s1 , …, sn 1 trƣớc nó:<br /> <br /> sn  F (s0 , s1 , …, sn 1 ).<br /> Điều kiện ban đầu là gán các giá trị cho một số hữu hạn các<br /> phần tử đầu.<br /> Định nghĩa 1.3. Công thức truy hồi tuyến tính bậc k có dạng<br /> <br /> sn  c1 (n)sn1  c2 (n)sn2  ...  ck (n)snk  f (n),<br /> trong đó ci (n) với i  1, …, k và f (n)<br /> <br /> (S )<br /> <br /> là các hàm theo n với<br /> <br /> ck (n)  0, n  .<br /> <br /> Với công thức (S), công thức truy hồi sau<br /> <br /> sn  c1 (n)sn1  c2 (n)sn2  ...  ck (n)snk<br /> <br /> ( S0 )<br /> <br />