Tóm tắt Luận văn Thạc sĩ Khoa học: Về các nguyên lý biến phân

Chia sẻ: Na Na | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:17

Thêm vào BST

Báo xấu

80
lượt xem 3
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Mục đích của luận văn này là tìm hiểu một số kết quả liên quan đến nguyên lí biến phân Ekeland (cổ điển và vectơ) cùng một số ứng dụng của nguyên lí biến phân này. Luận văn gồm 3 chương: Chương 1 - Kiến thức chuẩn bị, Chương 2 - Nguyên lí biến phân Ekeland, Chương 3 - Các dạng tương đương của nguyên lí biến phân và một số nguyên lí biến phân khác.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Tóm tắt Luận văn Thạc sĩ Khoa học: Về các nguyên lý biến phân

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN ----------------------- HOÀNG THỊ MẤN VỀ CÁC NGUYÊN LÝ BIẾN PHÂN Chuyên ngành: TOÁN GIẢI TÍCH Mã số: 60. 46. 01. 02 LUẬN VĂN THẠC SỸ KHOA HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS. TS. TẠ DUY PHƯỢNG Hà Nội – Năm 2015
Mục lục Mở đầu 3 1 Kiến thức chuẩn bị 5 1.1 Không gian vectơ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.2 Không gian vectơ tôpô . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.3 Không gian mêtric . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.4 Ánh xạ đa trị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.5 Một số kí hiệu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.6 Hàm nửa liên tục dưới . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 2 Nguyên lí biến phân Ekeland 7 2.1 Nguyên lí biến phân Ekeland cổ điển . . . . . . . . . . . . . 7 2.2 Mở rộng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 2.2.1 Nguyên lí biến phân Ekeland cho bài toán cân bằng 7 2.2.2 Nguyên lí biến phân Ekeland vectơ . . . . . . . . . . 8 3 Các dạng tương đương của nguyên lí biến phân và một số nguyên lí biến phân khác 9 3.1 Dạng hình học của nguyên lý biến phân Ekeland . . . . . . 9 3.1.1 Định lí Bishop-Phelps . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 3.1.2 Định lí cánh hoa (the flower- pental theorem) . . . . 9 3.1.3 Định lí giọt nước (the drop theorem) . . . . . . . . . 10 3.2 Sự tương đương giữa nguyên lí biến phân Ekeland và tính đầy đủ của không gian mêtric . . . . . . . . . . . . . . . . 10 3.3 Ứng dụng nguyên lí biến phân Ekeland trong chứng minh định lí điểm bất động . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 3.3.1 Định lí điểm bất động Banach . . . . . . . . . . . . 11 3.3.2 Một kết quả tinh tế hơn của Clarke (Clarke’s Re- finement) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1
3.3.3 Định lí điểm bất động Caristi-Kirk . . . . . . . . . . 11 3.4 Một số nguyên lí biến phân khác . . . . . . . . . . . . . . . 11 3.4.1 Nguyên lí biến phân Borwein-Preiss . . . . . . . . . 11 3.4.2 Nguyên lí Deville-Godefroy-Zizler . . . . . . . . . . . 12 KẾT LUẬN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 2
Mở đầu Nguyên lý biến phân Ekeland (1974) (Ekeland’s variational principle, viết tắt là EVP) được coi là một trong các kết quả quan trọng nhất của giải tích phi tuyến trong bốn thập kỷ vừa qua. Nguyên lí biến phân Ekeland xuất phát từ định lí Weierstrass nói rằng, nếu hàm f nửa liên tục dưới trên tập compact X thì sẽ đạt cực tiểu trên tập đó. Khi X là tập không compact thì hàm f có thể không có điểm cực trị. Với không gian metric đủ X , hàm f bị chặn dưới, với mỗi ε > 0, ta luôn tìm được điểm ε− xấp xỉ cực tiểu x, tức là inf f ≤ f (xε ) < inf f + ε. X X Vào năm 1974, Ekeland đã phát biểu nguyên lí nói rằng, với hàm f nửa liên tục dưới, bị chặn dưới trên không gian metric đủ X thì với mọi điểm ε− xấp xỉ cực tiểu x, ta luôn tìm được điểm xˆ là cực tiểu chặt của hàm nhiễu của hàm ban đầu, đồng thời f (ˆ x) ≤ f (x). Không những thế, ta có thể còn đánh giá được khoảng cách giữa x ˆ và x . Sau khi ra đời, nguyên lí biến phân Ekeland đã trở thành công cụ mạnh trong giải tích hiện đại. Những ứng dụng của nguyên lí này bao trùm nhiều lĩnh vực: Lí thuyết tối ưu, giải tích không trơn, lí thuyết điều khiển, lí thuyết điểm bất động, kinh tế,... Nguyên lí biến phân Ekeland đã được GS. Phạm Hữu Sách [2] sử dụng để nghiên cứu vi phân ánh xạ đa trị và các điều kiện tối ưu trong bài toán qui hoạch có tham gia các ánh xạ đa trị. Sự tương đương của nguyên lí Ekeland với định lí điểm bất động Caristi- Kirk đã được phát hiện từ lâu. Năm 1984 Penot mới chứng minh được rằng nguyên lí đó cũng tương đương với định lí giọt nước của Danes mà 3
sau này được gọi là dạng hình học của nguyên lí biến phân Ekeland. Trong những năm gần đây, nguyên lí này được mở rộng cho hàm f là ánh xạ đơn trị hoặc đa trị nhận giá trị trong không gian vectơ và áp dụng trong các bài toán cân bằng. Mục đích của luận văn này là tìm hiểu một số kết quả liên quan đến nguyên lí biến phân Ekeland (cổ điển và vectơ) cùng một số ứng dụng của nguyên lí biến phân này. Luận văn gồm 3 chương Chương 1. Kiến thức chuẩn bị Chương này trình bày một số khái niệm và kết quả của tôpô và giải tích hàm phục vụ cho việc chứng minh các định lí. Chương 2. Nguyên lí biến phân Ekeland Chương này trình bày nguyên lí biến phân Ekeland cổ điển, các mở rộng của nguyên lí biến phân Ekeland gồm nguyên lí biến phân Ekeland cho bài toán cân bằng và nguyên lí biến phân Ekeland vectơ. Chương 3. Các dạng tương đương của nguyên lí biến phân và một số nguyên lí biến phân khác Chương này trình bày các dạng hình học của nguyên lí biến phân Ekeland gồm định lí Bishop-Phelps, định lí cánh hoa và định lí giọt nước. Ứng dụng định lí điểm bất động gồm định lí điểm bất động Banach, một kết quả tinh tế hơn của Clarke, định lí điểm bất động Caristi-Kirk. Cuối cùng là nguyên lí biến phân Borwein-Preiss và nguyên lí Deville- Godefroy-Zizler. Luận văn cố gắng trình bày một cách có hệ thống (với các chứng minh cụ thể và chi tiết cùng với những chỉnh sửa cần thiết) về nguyên lí biến phân Ekeland. 4
Chương 1 Kiến thức chuẩn bị 1.1 Không gian vectơ 1.2 Không gian vectơ tôpô 1.3 Không gian mêtric Nhận xét 1.3.1. Mọi không gian mêtric là không gian tôpô với τ là họ tất cả các hình cầu mở trong X cùng với giao hữu hạn và hợp vô hạn của chúng. Định lí 1.3.1 (Nguyên lí Cantor). Không gian mêtric (X, d) là không gian đủ thì mọi dãy hình cầu đóng thắt dần đều có điểm chung duy nhất. 1.4 Ánh xạ đa trị Định nghĩa 1.4.1. Cho X , Y là hai tập hợp bất kì và tập các tập con của Y (được kí hiệu là 2Y ). Ta nói F là ánh xạ đa trị từ X vào Y nếu với mỗi x ∈ X , F (x) là một tập hợp con của Y . Kí hiệu: F : X ⇒ Y, hay F : X → 2Y . 1.5 Một số kí hiệu Ta kí hiệu dom f = {x ∈ X|f (x) < +∞}; La f = {x ∈ X|f (x) ≤ a} là tập mức dưới của f ; epi f = {(x, a) ∈ X × R|f (x) ≤ a} là tập trên đồ thị của f ; dS (x) = d(S, x) := inf{d(x, y)|y ∈ S}; 5
Br (S) := {x ∈ X|d(S, x) ≤ r; graphF := {(x, y) ∈ X × Y |y ∈ F (x)} với F : X → 2X . 1.6 Hàm nửa liên tục dưới Định nghĩa 1.6.1. Cho X là không gian tôpô. Hàm f : X → R ∪ {+∞} được gọi là nửa liên tục dưới tại x0 nếu lim inf f (x) ≥ f (x0 ). x→x0 Hàm f được gọi là nửa liên tục dưới trên X nếu f nửa liên tục dưới tại mọi điểm của X . Mệnh đề 1.6.1. Cho X là không gian mêtric và hàm f : X → R ∪{+∞}. Khi đó các khẳng định sau là tương đương (i) f là hàm nửa liên tục dưới trên X ; (ii) epif = {(x, a) ∈ X × R|f (x) ≤ a} là tập đóng trong X × R; (iii) La f = {x ∈ X|f (x) ≤ a} là tập đóng trong X(∀a ∈ R). Định nghĩa 1.6.2. Cho tập S trong không gian mêtric (X, d). Hàm chỉ của tập S là hàm 0 nếu x ∈ S, lS (x) = +∞ nếu x ∈ / S. Mệnh đề 1.6.2. Nếu S là tập đóng thì lS là hàm nửa liên tục dưới. Định nghĩa 1.6.3. Cho một không gian vectơ X . Một hàm số f (x) xác định trên X và lấy giá trị là số (thực hay phức, tùy theo X là không gian thực hay phức) gọi là một phiếm hàm trên X . Phiếm hàm đó gọi là tuyến tính nếu (i) f (x1 + x2 ) = f (x1 ) + f (x2 ) với mọi x1 , x2 ∈ X; (ii) f (αx) = αf (x) với mọi x ∈ X và với mọi số α. 6
Chương 2 Nguyên lí biến phân Ekeland 2.1 Nguyên lí biến phân Ekeland cổ điển Định lí 2.1.1 (Định lí Weierstrass). Cho hàm f : X → R ∪ {+∞} là hàm nửa liên tục dưới trên tập X compact. Khi đó f đạt cực tiểu trên X . Định lí 2.1.2 (Nguyên lí biến phân Ekeland). Cho (X, d) là không gian mêtric đủ và hàm f : X → R ∪ {+∞} là hàm nửa liên tục dưới, bị chặn dưới. Giả sử ε > 0 và x ∈ X thỏa mãn f (x) < inf f + ε. (2.1) X ˆ ∈ X sao cho Khi đó, với λ > 0 bất kì, tồn tại x x) ≤ f (x); (i) f (ˆ (ii) d(ˆx, x) ≤ λ; ε (iii) f (x) + d(x, x x), ∀x ∈ X\{ˆ ˆ) > f (ˆ x}. λ Các dạng khác của nguyên lí biến phân Ekeland. 2.2 Mở rộng 2.2.1 Nguyên lí biến phân Ekeland cho bài toán cân bằng Cho D ⊆ X là một tập đóng, trong đó X là một không gian tuyến tính định chuẩn, và f : D × D → R. Định lí 2.2.1. Giả sử các điều kiện sau được thỏa mãn. (i) f (x, .) là bị chặn dưới và nửa liên tục dưới với mọi x ∈ D; (ii) f (t, t) = 0, ∀t ∈ D; (iii) f (z, x) ≤ f (z, y) + f (y, x), ∀x, y, z ∈ D. 7
Khi đó, với mọi ε > 0, mọi x0 ∈ D tồn tại x ˆ ∈ D sao cho f (x0 , xˆ) + ε||x0 − xˆ|| ≤ 0 và f (ˆ x − x|| > 0, x, x) + ε||ˆ ∀x ∈ D\{ˆ x}. 2.2.2 Nguyên lí biến phân Ekeland vectơ Bổ đề 2.2.1. Hàm f tựa nửa liên tục dưới trên X nếu và chỉ nếu các tập mức dưới là đóng, tức là với mỗi b ∈ Y, L(f, b) = {x ∈ X, f (x) ∈ b − K} là đóng. Bổ đề 2.2.2. Cho f : X → Y là hàm tựa nửa liên tục dưới, g : X → R là hàm nửa liên tục dưới, và e ∈ K . Khi đó hàm f + ge : X → Y là tựa nửa liên tục dưới. Định lí 2.2.2. Giả sử (X, d) là không gian metric đủ. Giả thiết rằng hàm f : X × X → Y thỏa mãn các giả thiết sau: (i) f (t, t) = 0Y với mọi t ∈ X ; (ii) y → e∗ (f (x, y)) là bị chặn dưới với mọi x ∈ X ; (iii) f (z, y) + f (y, x) ∈ f (z, x) + K với mọi x, y, z ∈ X; (iv) y → f (x, y) là tựa nửa liên tục dưới với mọi x ∈ X. Khi đó, với mỗi ε > 0 và với mỗi x0 ∈ X , tồn tại x ˆ ∈ X sao cho ˆ) + εd(x0 , xˆ)e ∈ −K; (a) f (x0 , x (b) f (ˆ x, x) + εd(ˆ x, x)e ∈/ −K, ∀x ∈ X\{ˆ x}. Định lí 2.2.3. Giả sử rằng các giả thiết của Định lí 2.2.3 được thỏa mãn. Với ε > 0 và λ > 0 cho trước và x0 ∈ X sao cho f (x0 , y) + εe ∈ / −K, ∀y ∈ X. (2.2) Khi đó, tồn tại x ˆ ∈ X sao cho x, x0 ) ∈ K ; (a’) f (ˆ (b’) d(ˆx, x0 ) ≤ λ; ε (c’) f (ˆ x, x) + d(ˆ x, x)e ∈ / −K, ∀x ∈ X\{ˆ x}. λ 8
Chương 3 Các dạng tương đương của nguyên lí biến phân và một số nguyên lí biến phân khác 3.1 Dạng hình học của nguyên lý biến phân Ekeland 3.1.1 Định lí Bishop-Phelps Định nghĩa 3.1.1. Cho X là không gian Banach. Với bất kì x∗ ∈ X ∗ \{0} và bất kì ε > 0 ta gọi K(x∗ , ε) = {x ∈ X|ε||x∗ ||||x|| ≤ x∗ (x)} là nón Bishop-Phelps liên kết x∗ và ε, với x∗ (x) là giá trị của x∗ tại x. Định nghĩa 3.1.2. Ta nói tập S có điểm K(x∗ , ε) điểm tựa y (point support y ) nếu {y} = S ∩ [K(x∗ , ε) + y]. Định lí 3.1.1 (Định lí Bishop-Phelps). Cho X là không gian Banach và S là tập đóng trong X . Giả sử x∗ ∈ X ∗ là bị chặn trên S . Khi đó với mọi ε > 0, S có K(x∗ , ε) điểm tựa y . 3.1.2 Định lí cánh hoa (the flower- pental theorem) Định nghĩa 3.1.3. Cho X là không gian Banach và a, b ∈ X . Ta gọi Pγ (a, b) = {x ∈ X|γ||a − x|| + ||x − b|| ≤ ||b − a||} là cánh hoa liên kết với γ ∈ (0, + ∝) và a, b ∈ X . 9
Định lí 3.1.2 (Định lí cánh hoa). Cho X là không gian Banach và S là tập đóng trong X . Giả sử a ∈ S và b ∈ X\S . Đặt t = ||b − a|| và r ∈ (0, d(S, b)). t−r Khi đó, với bất kì γ > 0, tồn tại y ∈ S ∩Pγ (a, b) thỏa mãn ||y −a|| ≤ γ mà Pγ (y, b) ∩ S = {y}. 3.1.3 Định lí giọt nước (the drop theorem) Định nghĩa 3.1.4. Cho X là không gian Banach, tập C là tập lồi trong X và a ∈ X . Chúng ta gọi [a, C] := conv({a} ∪ C) = {a + t(c − a)|c ∈ C, 0 ≤ t ≤ 1} là giọt nước liên kết với a và C . Bổ đề dưới đây cung cấp cho chúng ta mối liên hệ giữa giọt nước và cánh hoa. Bổ đề 3.1.1 (Giọt nước và cánh hoa). Cho X là không gian Banach, a, b ∈ X và γ ∈ (0, 1). Khi đó, ta có (i) B||a−b||(1−γ)/(1+γ) (b) ⊂ Pγ (a, b); (ii) [a, B||a−b||(1−γ)/(1+γ) (b)] ⊂ Pγ (a, b). Định lí 3.1.3 (Định lí giọt nước). Cho X là không gian Banach và S là tập con đóng trong X . Giả sử b ∈ X\S và r ∈ (0, d(S; b)). Khi đó, với bất kì ε > 0, tồn tại y ∈ ∂S thỏa mãn ||y − b|| ≤ d(S, b) + ε và [y, Br (b)] ∩ S = {y}. 3.2 Sự tương đương giữa nguyên lí biến phân Ekeland và tính đầy đủ của không gian mêtric Định lí 3.2.1 (Nguyên lý biến phân Ekeland và tính đầy đủ). Cho (X, d) là không gian mêtric. Khi đó X là đủ nếu và chỉ nếu mọi hàm nửa liên 10
tục dưới f : X → R ∪ {+∞} bị chặn dưới và mọi ε > 0 tồn tại một điểm y ∈ X thỏa mãn f (y) < inf f + ε X và f (x) + εd(x, y) ≥ f (y), ∀x ∈ X 3.3 Ứng dụng nguyên lí biến phân Ekeland trong chứng minh định lí điểm bất động Định nghĩa 3.3.1. Cho tập hợp X và ánh xạ f : X → X . Ta nói x là điểm bất động của f nếu f (x) = x. 3.3.1 Định lí điểm bất động Banach Định lí 3.3.1 (Định lí điểm bất động Banach). Cho (X, d) là không gian mêtric đủ và ánh xạ φ : X → X là ánh xạ co. Khi đó, tồn tại duy nhất điểm bất động của ánh xạ co φ. 3.3.2 Một kết quả tinh tế hơn của Clarke (Clarke’s Refinement) Định lí 3.3.2. Cho (X, d) là không gian mêtric đủ và ánh xạ φ : X → X là ánh xạ co theo hướng. Khi đó φ có một điểm bất động. 3.3.3 Định lí điểm bất động Caristi-Kirk Định lí 3.3.3. Cho (X, d) là không gian mêtric đủ và hàm f : X → R ∪ {+∞} là hàm nửa liên tục dưới, bị chặn dưới. Cho ánh xạ đa trị F : X → 2X có đồ thị đóng thỏa mãn f (y) ≤ f (x) − d(x, y), ∀(x, y) ∈ graphF. (3.1) Khi đó F có một điểm bất động. 3.4 Một số nguyên lí biến phân khác 3.4.1 Nguyên lí biến phân Borwein-Preiss Định lí 3.4.1 (Nguyên lí biến phân Borwein-Preiss). Cho (X, d) là không gian mêtric đủ và hàm f : X → R ∪ {+∞} là nửa liên tục dưới, bị chặn 11
dưới. Giả sử ρ là hàm gauge-type và (δi )∞ i=0 là dãy số dương. Giả sử rằng ε > 0, z ∈ X thỏa mãn f (z) ≤ inf f + ε. X Khi đó tồn tại y và một dãy {xi } ⊂ X mà ε ε (i) ρ(z, y) ≤ , ρ(xi , y) ≤ i ; δ0 2 δ0 ∞ X (ii) f (y) + ρ(y, xi ) ≤ f (z); i=0 X∞ ∞ X (iii) f (x) + δi ρ(x, xi ) > f (y) + δi ρ(y, xi ), ∀x ∈ X\{y}. i=0 i=0 Định lí 3.4.2. Cho X là không gian Banach với chuẩn ||.|| và hàm f : X → R ∪{+∞} là hàm nửa liên tục dưới, bị chặn dưới. Cho λ > 0 và p ≥ 1. Giả sử rằng ε > 0 và z ∈ X thỏa mãn f (z) < infX f + ε. Khi đó tồn tại y và một dãy (xi ) trong X mà x1 = z và một hàm ϕp : X → R xác định bởi ∞ X ϕp (x) = µi ||x − xi ||p . i=1 ∞ X Ở đây µi > 0, i = 1, 2, ... và µi = 1 mà i=1 (i) ||xi − y|| ≤ λ, n = 1, 2, ...; ε (ii) f (y) + p ϕp (y) ≤ f (z); λε ε (iii) f (x) + p ϕp (x) > f (y) + p ϕp (y), ∀x ∈ X\{y}. λ λ 3.4.2 Nguyên lí Deville-Godefroy-Zizler Định lí 3.4.3 (Định lí phạm trù Barie). Mọi không gian mêtric đủ là tập hợp phạm trù thứ hai. Định lí 3.4.4 (Nguyên lí biến phân Deville-Godefroy-Zizler). Cho X là một không gian Banach và Y là một không gian Banach của các hàm liên tục bị chặn g trên X thỏa mãn các điều kiện sau. (i) ||g||∞ ≤ ||g||Y ∀g ∈ Y ; 12
(ii) Mỗi g ∈ Y và z ∈ X, hàm x → gz (x) = g(x + z) ∈ Y và ||gz ||Y = ||g||Y ; (iii) Mỗi g ∈ Y và s ∈ R, hàm x → g(ax) ∈ Y ; (iv) Tồn tại một hàm bump trong Y . Giả sử f : X → R ∪ {+∞} là một hàm nửa liên tục dưới chính thường (proper lsc function) và bị chặn dưới, khi đó tập G của tất cả g ∈ Y mà f + g đạt cực tiểu mạnh trên X là dư (residual) (thực chất là tập Gδ trù mật). 13
KẾT LUẬN Luận văn đã trình bày một số vấn đề sau: - Nguyên lí biến phân Ekeland cổ điển, mở rộng nguyên lí Ekeland cho bài toán cân bằng và nguyên lí biến phân Ekeland vectơ. - Trình bày các dạng hình học của nguyên lí biến phân Ekeland, sự tương đương với tính đầy đủ của không gian mêtric. - Ứng dụng định lí điểm bất động Banach, ánh xạ co theo hướng, định lí điểm bất động Caristi-Kirk. - Một số nguyên lí biến phân khác. 14
Tài liệu tham khảo [A] Tài liệu tham khảo chính [1] Phạm Hữu Sách, Dạng hình học của nguyên lí biến phân Ekeland và ứng dụng, Hội thảo Giải tích hiện đại và ứng dụng, trường hè Huế, Viện Toán học- Trường ĐHSP Huế, 1987. [2] Nguyễn Đông Yên, Giải tích đa trị , Nhà xuất bản Khoa học Tự nhiên và công nghệ, 2007. [3] M. Bianchi, G. Kassay, R. Pini, Existence of equilibria via Ekeland’s principle, J. Math. Anal. Appl. 305 (2005) 502-512. [4] M. Bianchi, G. Kassay, R. Pini, Ekeland’s principle for vector equilib- rium problems, Nonlinear Analysis 66 (2007) 1454-1464. [5] Jonathan M. Borwein, Qiji J. Zhu, Techniques of Variational Analysis, Springer, 2004. [B] Tài liệu tham khảo bổ sung [6] Errett Bishop and R. R. Phelps, A proof that every Banach space is subreflexive, Bull. Amer. Math. Soc., 67:97-98, 1961. [7] Errett Bishop and R. R. Phelps, The support functionals of a covex set. In V. L. Klee, editor, Proc. Sympos. Pure Math., Vol. VII, page 27-35. Amer. Math. Soc., Providence, R.I., 1963. [8] Josef Danes, A geometric theorem useful in nonlinear functional anal- ysis, Boll. Un. Mat. Ital. (4), 6:369-375, 1972. [9] Ivar Ekeland, Nonconvex minimization problems, Boll. Amer. Math. Soc. (N.S.), 1:443-474, 1979. 15
[10] C. Finet, Variational principles in partially ordered Banach spaces, J. Nonlinear Convex Anal, 2 (2001), 167-174. [11] C. Finet, L. Quarta, C. Troestler, Vector- valued variational princi- ples, Nonlinear Anal, 52 (2003), 197-208. [12] A. Gopfert, C. Tammer, C. Zălinescu, On the vectorial Ekeland’s variational principles and minimal points in product spaces, Nonlinear Anal, 39 (2000), 909-922. [13] S. Rolewicz, On drop property, Studia Math., 85:27-35, 1986. [14] W. Rudin, Functional Analysis, McGraw-Hill, 1973. 16