Tổng hợp bài tập Phương pháp toán lí: Phần 1

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:115

Thêm vào BST

Báo xấu

17
lượt xem 5
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Cuốn sách "Bài tập Phương pháp toán lí" Phần 1 được biên soạn gồm các nội dung chính sau: giải tích vecto trong hệ toạ độ cong; Tenxo và giải tích tenxo; lí thuyết hàm biến phức; tích phân và chuỗi hàm biến phức. Mời các bạn cùng tham khảo!

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Tổng hợp bài tập Phương pháp toán lí: Phần 1

X G I YHX C IIIM ! a 0 \G BÀI TẬP PHƯƠNG PHÁP TOÁN (T a i b a n là n t h ư n h à t )
M ù sỏ: III.Oi. 07 14 DU 201 ì
MỤC LỤC Lời nói đầu................................................................................... A. Bài tập tự lu ậ n ....................................................................... Chương 1: Giải tích vectơ trong hệ tọa độ cong 1.1. Giải tích vectơ trong hệ tọa độ D escartes vuông góc 1.2. Giải tích vectơ trong hệ tọa độ c o n g .............................. Chương 2 : Tenxơ và giải tích tenxơ...................................... 2.1. Khái niệm cơ bàn về tenxơ - Đại số ten x ơ ................... 2.2. Tenxơ hạng hai □ Giải tích te n x ơ ................................... Chương 3: Lí thuyết hàm biến phức..... ............................... 3.1. Khái niệm cơ bản về s ố p h ứ c ........................................... 3.2. Hàm số biến phức - Đạo hàm của hàm biến p h ứ c .... 3.3. C ác hàm số sơ c ấ p ............................................................ Chương 4: Tích phân và chuỗi hàm biến phức.................... 4.1. Tích phân hàm biến p h ứ c ................................................. 4.2. Chuỗi hàm biến p h ứ c ........................................................ 4.3. Thặng dư và ứng dụng để tính tích phân suy rộ n g .... Chương 5: Phương trình Hypecbolic..................................... 5.1. Phương trình sóng một chiều........................................... 5.2. Phương trình sóng hai chiều ........................................... Chương 6: Phương trinh Parabolic...................................... 6.1. Phương trình truyền nhiệt một chiều.............................. 6.2. Phương trình truyền nhiệt hai c h iề u .............................. Chương 7: Phương trình Eliptics........................................... 7.1. Phương trinh Laplace hai c h iều ..................................... 7.2. Phương trình Laplace ba chiều....................................... 7.3. Phương trinh P o is s o n ....................................................... B. Câu hỏi trắc nghiệm ........................................................... Tài liệu tham kh ảo ...............................................................
LỜI NÓI ĐẦU H ọ c p h ầ n P h ư ơ n g p h á p to á n lí đ ư ợ c x â y d ự n g n h ằ m tra n g bị c á c phưc p h á p to á n h ọ c d ù n g c h o V ậ t lí h iệ n đ ạ i như: h à m b iế n sô' p h ứ c , đ ạ i số và g iả i t v ectơ , c ấc h à m đ ặ c b iệ t, c á c p h é p b iế n đ ổ i tíc h p h â n , đ ạ i số và g iả i tíc h ten: p h ư ơ n g p h á p tín h số , c á c p h ư ơ n g trìn h vật lí to á n ... V ớ i k h ố i lư ợ n g k iế n th ứ c t rộ n g và c ồ n g k ề n h n h ư v ậ y n ê n lư ợ n g b à i tậ p c ũ n g rấ t p h o n g p h ú , đ a dại H ệ th ố n g g iá o trìn h v à tà i liệ u th a m k h ả o đ ã c ó tư ơ n g đ ố i n h iề u n h ư n g ch ư a h ệ th ố n g b à i tậ p đ ầ y d ủ c ó th ể g iú p sin h viên k h o a V ậ t lí c á c trư ờ n g Đ ạ i t Sư p h ạ m tiế p c ậ n v à th ự c h à n h k iế n thứ c m ô n h ọ c n à y m ộ t c á c h th u ậ n lợi. Đ ể đ á p ứng n h u cầu thự c tế cần có m ộ t h ệ th ố n g b ài tậ p g iú p c h o sin h v: n g à n h V ậ t lí tự h ọ c và n g h iê n cứu m ô n P h ư ơ n g p h á p to án lí, c h ú n g tò i đ ã b soạn lại n h ữ n g b ài tập , m ộ t số cáu hỏi trắc n g h iệ m đ ã đượ c sử d ụ n g n h iề u n; tro n g g iả n g d ạ y và đ á n h g iá. C u ố n B ài t ậ p p h ư ơ n g p h á p to á n lí sẽ hệ th ố n g 1 - c ác b ài tập th e o c ác vấn đề: đ ạ i sô' và giải tíc h vectơ, đ ạ i số ten x ơ , h à m biến phức, các p h ư ơ n g trìn h V ậ t lí T oán. T ro n g m ồ i c hư ơ ng, n h ữ n g k iế n th ứ c và c c ô n g thứ c c ơ b ả n sẽ đượ c trìn h b à y trước tiê n n h ằ m h ệ th ố n g h ó a lại c á c k iế n ứ c ần th iế t đ ể g iải b à i tập. T iếp th eo sẽ hư ớ n g d ẫ n n h ữ n g d ạ n g b à i tậ p m ẫu c ụ t c ác p h ư ơ ng p h á p g iả i c ơ b ả n , m ỗ i vấn đề c h ú n g tô i c ò n dư a ra n h ữ n g c h ỉ d ẫ n c th iế t và n h ữ n g lưu ý n h ằ m g iú p b ạ n đ ọ c tiếp cận được d ễ d à n g hơ n với c ác bài củ a ch ư ơ n g đó. C uố i m ỗ i ch ư ơ n g là hệ th ố n g b à i tập th am k h ả o và c ác h ư ớ ng c giải vắn tắt. C h ú n g tô i x in c h â n th à n h cảm ơn n h ữ n g ý kiến đ ó n g g ó p q u ý b á u c GS.TS. Đ ỗ Đ ìn h T h a n h , PG S.TS. L ê V iế t H ò a, TS. Đ à o T hị L ệ T h ủ y v à các t bè, đ ồ n g n g h iệp , c á c g iá o viên và sin h viên K h o a V ậ t lí, T rư ờ n g Đ ại h ọ c Sư ph: H à N ội. L ần đ ầ u x u ấ t b ả n ch ắc c h ắ n k h ó trán h k h ỏ i nhữ n g th iế u sót, c h ú n g tôi m o n g n h ậ n được sự g ó p ý c ủ a q u ý dộc g iả đ ể c u ố n sách h o à n th iệ n hơn tro n g ( lần tái b ả n sau. T á c g iả
A. BÀI TẬP Tự LUẬN CHƯƠNG 1 GIẢI TÍCH VECTƠ TRONG HỆ TỌA ĐỘ CONG 1.1. Giải tích vectơ trong hệ tọa độ Descartes vuông góc 1.1.1. Các kiến thức cơ ban a. Đ ại sô vectơ * C ộng hai lìay nhiều vectơ G iả sử c ó hai v e c tơ Ã (A x, A v. A z) và B (B X Bj. Bz). C ộ n s hai v e c tơ Ă và . được thực h iện n h ư sau: A + B = (A v i + A ,. j + A z. k ) + (B v i + Bv. ị + B7. k ) = (A x + Bx). I + (A y + B ,). J + (A ; + B,). k . (1 P hép c ộ n g n h iề u v e c tơ được tín h từ c ộ n g hai v e ctơ đ ầ u tiê n , lấ y tổ n a c c h ú n g c ộ n a với v e ctơ th ứ ba, rồi lấy k ế t q u à c ộ n g với v e ctơ tiế p th eo . C ứ n h ư \ c h o đ ế n v e ctơ c u ố i cù n g . P hép trừ v e ctơ v e c tơ A c h o v ectơ B được thực h iện b ằ n a c á c h c ộ n g v ectơ \ ới v e ctơ đối c ủ a v e c tơ B : Ả - B = ( A , . I + A y. J + A j .k ) —(B ,. I + B , . ] + B ..ĨC ) = (A , - B J . T + (A > - B ,). J + (A , - B,). k . (1 P hép c ộ n s v e c tơ c ó tín h c h ấ t a ia o h o án v à tín h c h ấ t k ế t hợp. * Tích vô hướng cùa liai vectơ Đ ịn h n sh ĩa : T íc h võ h ư ớ n a c ù a vectơ A với vectơ B . k í h iệu A . B là n vò h ư ó n a . b ằ n e tíc h m ồ đ u n c ù a h ai v e ctơ n h àn với c o sin c ủ a a ó c (0 ) eiữ a hưc cù a c h ú n a . Ă . B = A.B.COS0 = |Ả |. Ị ẽ |. COS0 = B . Ã . (1
Tích vó hướng của A với B còn viết được trong toạ độ D escartes như sau A . B = (A v i + A y j + A ,, k ).(BX i + B,. . J + B; . k ) = A V + A .H. + \ B . .B, Tích vỏ hướng có tính chất giao hoán và tính chất phân bó. * Tích vecĩơ cùa hai vectơ Đ ịnh nshĩa: Tích vectơ cùa vectơ A với vectơ B , kí hiệu A A B 1 A . B 1 m ột vector c vuông góc với m ặt phảng chứa A và B , sao cho: A A B = c = A .B.sin0. u c \'ớí Các vectơ A .B và ũ c tạo thành m ột tam diện thuận (lương tự với các trụ y. z). hoặc tuân theo quy tắc bàn tay phải, hoặc quy tắc "cái m ở nút c h a i”. Biêu diễn tích vectơ qua các toạ độ có dạng như sau: Ã A B = í A ,. ỉ + A j. J + A r. k ) A (Bv ĩ + B ] + B,. k ) = ( A , . B z - A , . B v) . T + ( A z. B , - A v B ; ) . J + ( A x. B J, - A J . B J . k . ( Hay: 1 J k Ay Az — 1 - Ax A A x A, Ã A B = Ax Ay Az — ■j + By Bz lB Z B x Bx B v Bx Bv Tích vectơ có tính chất phản giao hoán và tính chất phán hố. * T it'll hỗn họp (hỗn ĩụp) cùa ba vectơ T ích hỏn tạp cua ba vectơ A , B và c là m ột vỏ hướng: V = c .( A A B ). Biếu diễn qua các toạ đõ của các vectơ của tích hỏn hợp là Ịa x a v a , V = c .( A A B ) = B, !ì, B7 !c , c" c,
C .(A a B )= B .(C a A )= A .(B a C ). * Til'll kép Ilia hư vectơ L à m ộ t v ectơ n h ư sau: D = C a (Ã a B ) = ( C .B I Ã - ( C .Ẵ ì .B . (1 .9 ) c
j A n .dS AN D iv A = Lim — = Lim A S ( 1. 12) AY-*U AY AV-ii) AV + T ro n s hệ toạ độ D escartes vuông góc, ta có - cA x êA v cA z D iv A = — S- + — - + — L - (1.13) ẽx. ẽy õz d. Rotationel cua m ột vecto + Lưu th ổ n 2 cúa vectơ A theo m ột đư òna cong kín: C (Ă ) = ^dC = ị Ã .d L = ^ A L .d L . + R otationel của m ột vectơ A . k í hiệu là R ot A G iá tri hình chiếu của R o tA trẽn phưcrns pháp tuvến củ a vi phân m ặt AS đươc bao bơi vi phân đư ờ ns AL: ịỸ d S R ot_ A = Lim -=^=- (1.14) AS->0 as ■T rona hệ toạ độ D escartes vuóna aóc có dạng: cA — ^ ). + (- ■ ).] + (1.15) cy CZ ởx ẽy - i J k C C C hav: R oi A = CX CX CZ A* A> A, e. Toan ru nabỉa V và các toán rù vi phán cáp hai + Toán rư nabìa (V) là m ột vectơ. T rons hệ toạ đó D escartes vuóng só c. nó có dạne như sau: V = Ĩ .Ạ + c— r — (- k c (1.16) ộ CZ Chú Ý: * V có hai tính chài: \"ừa là vectơ. \"ừa là vi phân.
* T ác d ụ n g lên c ác h à m vô h ư ớ ng và các h à m v e ctơ v.cp(x, y, z) = Gradcp, V. Ấ (x, y, z) = D i v Ã , V a Ã = R o tĂ . / . C ác toán t ủ vi p h â n cấp cao „ „ „> ■ s 2cp ổ 2cp ổ 2cp + V.(V.cp ) = D iv(G radcp) = V .cp = — — + — TT + — — = A .ọ, Pi-,1 ổ2 a2 ỡ2 với A = —— + — — + — — goi là to á n tử L ap lac e h a y L ap lac ien . 5x 5y 5z + V .(V . Ã ) = V .D iv Ã = G r a d ( D iv Ả ), + V a (V . cp ) = VAGradcp = Rot(G radcp) = õ (vì v e c tơ V / / v e ctơ v.cp), + V .(V a Ả )= V .R o t Ă = D iv (R o t Ã ) = 0 (vì vectơ V _L v e ctơ V a Ă ), + V a (V a Ă ) = R o t(R o t Ẵ ) = G ra d (D iv Ã ) - V 2 Ả . g. C á c đ ị n h lí tíc h p h â n + Đ ịn h lí G a u ss - O stro g ra d sk i: < ^Ả .d S = j j |D i v Ă . d V , (1.17) s V tro n g đ ó m ặ t k ín s b a o q u a n h thể tích V. + C ô n g thứ c G reen: * C ô n g th ứ c G re e n th ứ nhất: (1.18) * C ô n g thứ c G re en th ứ hai: (1.19) + P hư ơ ng trìn h liê n tục: p .D iv (v ) + — = 0. (1.20) dt
+ Đ ịnh lí Stokes: cjA.dL = IjR o tA .d S , ( 1.21) L s trong đó đường cong kín L bao quanh m ặt s. 1.1.2. Một sô bài tập mẩu và nhũtig lưu ý a. M ộ t số c h ú ý và các p h ư ơ n g p h á p là m việc với to á n tứ N a b la Đ ể giải các bài tập về giải tích vectơ, chúng ta cẩn thành thạo tính toán với toán tử N abla. Toán tử N abla vừa có tính chất đạo hàm , vừa có tính chất vectơ, việc phải lưu ý song song hai tính chất luôn làm chúng ta thấy rất khó khãn. Phương pháp thông dụng và đem lại hiệu quả là tách phép đạo hàm ra trước đê thực hiện cấc phép tính vectơ, sau đó m ới thực hiện phép đạo hàm . N goài phương pháp khai triển đạo hàm thông thường và phương pháp sử dụng chỉ số tenxơ (sẽ trình bày ở chương 2 ) người ta còn dùng m ột phương pháp khác, đó là sử dụng kí hiệu cho phép tính đạo hàm (có thể là kí hiệu bằng m ũi tên). Trước hết chúng ta sẽ làm quen với cách kí hiệu này qua quy ước sử d ụ n g m ũ i tén đ ê chỉ vị tr í thực hiện p h é p tín h đ ạ o h àm . * Q uy ước chung: Trong trường hợp thông thường, m ọi hàm số đặt bén phải phép tính đao hàm (ví du — hay V) đéu chiu tác dung của phép đao hàm đó. dx * Phương pháp khai triển đạo hàm thông thường: Phương pháp khai triển đạo hàm thông thường sẽ sử dụng công thức (1.16) khai triển toán tử N abla để thực hiện tính toán. Ư u điểm của phương pháp là dễ làm và tránh được nhầm lẫn. Tuy nhiên phương pháp này có nhược điểm là tính toán dài dòng và phức tạp. Ví dụ 1: T ính ( ă .V).cp(r). ? Giải: (ã .V).tp(r). r = ( i . ( i + J - — + k . — )} .cp(r). r ỡx ổy
* I uti . V 11£^ Ilium uc U1UV ouu. \ J l u u \y .y J — Y"v *“ “ Y _1ỈU T ---------- r G iùi: Grad((T).y) = ( I + J + k ) .( ( p .y ) cx cy Cl = T .(cp — V + y — cp) + J ,(
= (V. r ). p (V .p ). r = p .(V. r ) ( p .V). r - o Õ c -r = p -3 - (p, — + py—— P ,— ) . ( i .X + j .y + k .7.) ũx ty 07, = 3. p - (p, i + py j + p, k ) = 3. p p = 2. p . * Dạng bell 2: Chứng m inh hai biếu thức đạo hàm băng nhau Đối với dạng bài này, chúng ta có thế áp dụng phương pháp khai trịón đị hàm thông Ihường hoặc phương pháp sử dụng kí hiệu đạo hàm đế giai quyết. Bài m un: Chứng m inh R ot| Ấ , B ] = A .D iv B - B .D iv A + (B .V ). A (A .V ). B ; với A và B là những hàm của tọa độ. Giới: Ta có V T = Rot[ Ã ,B J = V a (Ã aẽ ) = V a (Ả a B ) + Va ( Ã A Ẽ ) = (V. B ). Ã - (V . Ã ). B + (V . B ). Ấ (V. Á ). B = ( B .V ).Ã - B .(V .A ) + Ả .( V .B ) ( A .V ). B = V P (đ p c m ). * DạnỊỊ bài ỉ : 'l ính các tích phán đường loại hai, tích phán m ặt loai hai Đối với dạng bài này, chúng ta thường áp đụng các định lí lích phán và cá cống thức Grad, Div, Rot, laplacc đc tính. Bài mầu: T ính thông lượng của bán kính vcctơ r L|ua mật trụ như hình V bcn C Giãi: Gọi s là đáy dưới cùa hình tru, Sị là dáy trôn cùa hình trụ còn s là m ật kin gồm S|, S, và mật tru (mặt xung quanh cúa hình trụ). Như vậy ta có: N = ỊỊr.d s -
D o do: N = J J jb iv r .d V - jjo .d s - jjh .d s = 3 .V - h .s , = 3 .h 7 tp 2 - h iip : = 2 .h rrp ; . V s, s': * D ụm ; bùi 4: C h ứ n a m in h các tíc h p h à n đ ư ờ n g loại h a i. tíc h p h à n m ậ t loí h a i b ẳ n a n h au Đ ố i vớ i d ạ n g b à i n à y . c h ú n e ta thư ờ ng á p d u n s c ác đ ịn h lí tíc h p h à n v à cá c ò n a th ứ c G ra d . D iv. R o t. la p la c e đ ề tính. B ùi m ầu: C h ứ n a m in h ràn g : ^ r .( ã .n ) .d s = ií(ã .r).n .d s . T ro n 2 đ ó ã là v e c tơ k h ồ n e đ ổ i. ĩĩ là v e c tơ p h á p tu y ế n c ủ a m ặ t tíc h phàn. Gicii: C h ú n a ta c ó th ế sứ d ụ n s m ò t p h ư ơ n a p h áp n h ư sau: Đ ể c h ú n g m in h hí v e ctơ b ằ n a n h a u ( A = B ) ta lấ y m ộ t v e ctơ k h ò n a đ ổ i b á t kì P . n ế u p A = pB vc m ọi P th ì h iể n n h iê n A = B . p.V T = P
1.5. 1) Chứng m inh rằng ã.[b,c] = 0 n íu ã , b và C phụ thuộc tuyên tính 2) Kiếm tra sự độc lập tuyến tính của ba vectơ sau v = 3 .i + j - 2 .k ; ũ = 4 . i - j - k ; w = i - 2 . j + k . 1.6. Nghiệm lại rằng tích hỗn tạp của ba vectơ ã , b , C ( ã .[ b ,c ] ) có thể biểu d như sau: À = ã.[b,c] = eijk.a,.bj.ck . i, j, k = 1, 2, 3 với cách k í hiệu ax = a,, ay = a 2, ạ, = a 3 Eijk là k í hiệu ten x ơ L evi - chivita + Ejjk = 0 nếu có hai chỉ số trùng nhau. + Eijt = 1 nếu i j 5 k và có số lần hoán vị chẵn để vẻ thứ tự 1, 2, 3 É + Ejjk = - 1 nếu i j k và có số lần hoán vị lẻ để về thứ tự 1, 2, 3 các chỉ số lặp lại có nghĩa là lấy tổng theo các chỉ số đó. 1.7. Cho ã và b là tuỳ ý. Chứng m inh rằng: Ả = (ă A b).(ã A b) + (ã.b ) 2 = (a.b)2. 1D _ d S l . d v ! . r . 1 .0 . C h o — = ũ = cò A u v à — = V = C A V , c h ứ n g m in h ra n g D dt dt - 5 5 d _ --- (u A v) = co A (ũ A v) . dt 1.9. Tính G ra d (ã .r) với ã là vectơ không đổi. 1.10. Tính G r a d ( - ^ ) (với P là vectơ không đổi). r 1.11. Chứng m inh các hệ thức sau: 1) Div(cp.Ã ) = (p.DivÃ + Ẩ .Gradcp, 2) Rot(cp. A ) = ọ . Rot A —[ A , Gradcp], 3) Div[ Ã . B ] = B -Rot Ã - Ã Rot B , 4) Grad( Ã . B ) = [ Ã , Rot B ] + I B . R oi Ã ] + ( B . V) Ả + ( A .V ) B . 5) c .Grad( Ã . B ) = Ă . ( c .V). B + B .( c .V). A , 6 ) ( c .V)[ Ã . B ] = [ Ă , ( c .V) B ] - [ B , ( c .V )Ã ], 7) ( V . Ă ) . ẽ = ( Ả -V). B + B .D iv A ,
8 ) [ Ă ,B ] .R o t C = B .( Ả .V ) .C - A .( B .V ) .C , 9) [ [Ã ,V],Ỗ ] = (Ã .V ).B + [ Ă . R o t B ] - Ã .D i v ẽ , (c ác đ ạ i lư ợ n g v ò h ư ớ n a v à v e c tơ đ ề u là n h ữ n a h à m c ủ a toạ độ). Sái 1 .1 2 . D ù n g h ệ to ạ đ ộ D e sc a rte s, tín h : l)D iv (r), 2) R o t( r ) , 3 ) ( i.V ) .F , tro n g đ ó r là b á n k ín h vectơ , ã là v e ctơ k h ô n s đổi. 1.13. D ù n a h ệ to ạ đ ộ D e sc a rte s, tính: 1) G ra d cp(r), 2) D iv (
1.20. Tính lưu thòng cùa trường vectơ A = (y - z). ỉ + (z - x). j + (X - y). k ( , , . Jx 2 + y 2 = 1 theo đưònc cong L: < [x + z = 1 chiểu lấy tích phàn là ngược chiều kim đổng hổ nếu nhìn L từ phía dưc trục Ox. 1.21. Tính thõng lượng cùa trường vectơ A = 5y. i + 3x. j + (z - x). k qua tất các m ặt hình tru xác định bời: |x 2 + y 2 = 4 Ị0