Tổng hợp kiến thức cơ bản và nâng cao Hình học 12 (Tái bản lần thứ nhất): Phần 1

Chia sẻ: Trăm Năm Cô đơn | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:17

Thêm vào BST

Báo xấu

114
lượt xem 6
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Phần 1 tài liệu Kiến thức cơ bản và nâng cao Hình học 12 giới thiệu tới người đọc lý thuyết cần nhớ, ví dụ và đề bài tập khối đa diện và thể tích của chúng, mặt nón, mặt trụ, mặt cầu. Mời các bạn cùng tham khảo nội dung chi tiết.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Tổng hợp kiến thức cơ bản và nâng cao Hình học 12 (Tái bản lần thứ nhất): Phần 1

l
£^ ndi ttdiL Cu6'n sach Kien thiJtc ca ban vcl ndng cao Hinh hoc 12 nay nham giiip cac em hoc sinh lop 12 nSm viing noi dung ca ban va nang cao kien thiJc Hinh hoc. Ke't ca'u cudn sach duac chia thanh 3 chuang: Chuang I : Khoi da dien vd the tich ciia chimg. Chirong I I : Mat non, mat tin, mat can. Chuang I I I : Phuang phdp tga do trong kbong gian. Bai on tap cua cac chuang vd on tap ciioi nam duac ddnh so thi'nu tifddu cho den hit (1,2..., 148). Wd'i ket ca'u tren, cuon sach chiia dung 2 noi dung chinh: Li tluiyet - Bai tap va Huang dan gidi. t Trong m o i chuang gom 3 noi dung chinh: A . Ly thuyet can nha; B. Vidu; C. De bai tap. Trong m 6 i ph^n l i thuyet c6 cac muc 16n dugc k i hieu bang cac chu so La M a ( I , I I , . . . ) , cac muc I6n nay iJng v6i $ 1 , $2,... trong sach giao khoa H i n h hoc 12. K h i lam bai tap a noi dung C, neu gap vu6ng m k , ban dpc nan xem k i noi dung B, v i trong do cac tac gia da dua ra nhung v i du mau cung vdi viec phan tich c6 tinh hudng d i n cho hoc sinh suy luan k h i giai cac bai tap tuang tir. Bai vay, cuon sach khong nhung giiip cho cac em hoc sinh c6 dieu kien thuan Igfi trong viec hoc tap va on t h i H i n h hoc 12, ma con la t a i ' lieu tham khao t i n cay cho cac thAy c6 giao giang day mon hoc nay. Cuon sach Kien thAc ca ban vd ndng cao Hinh hoc 12 tai ban Vkn nay c6 chinh l i va bo sung, x i n duac g i ^ i thieu v6i cac em hoc sinh, Cling cac v i phu huynh va t h i y c6 giao. CAC T A C GIA
Chuomg I K H O I D A D I E N V A T H £ T I C H tuA C H U N G i A. L Y T H U Y E T C A N NHCJ I. I. K H A I NifiM K H 6 I DA DifiN 1. Hinh chop, hinh Idng tru, hinh chop cut la hinh da dien. PhSn ban trong cua mo hinh da dien (ke ca hinh da dien) goi la khoi da dien 2. Tong quat: Hinh da dien (goi tat la da dien) la hinh khSng gian dugfc tao bcri mot s6' huu han mien da giac phang thoa man hai tinh chat sau: a. Hai mi^n da giac phan hiti hoac khong c6 diem chung, hoac c6 mot dinh chung, hoac c6 m6t canh chung. b. M 6 i canh ciia m6t da giac nao cung la canh chung ciia dung hai mien da giac. 3. M 6 i kh6'i da dien c6 th^ phan chia dugc thanh nhieu kh6'i tii didn 4. Kh6'i da dien l o i la khoi da dien c6 tinh chat doan thang noi hai diem bat ky cua no luon thu6c ve khoi da dien 66, hoac la toan bo khoi da dien luon nam ve mot phia d6'i vdi mat phang chiia m6t mat ctia khoi da dien. II. K H O I DA DifiN D ^ U 1. Kh6'i da dien loi dugfc ggi la deu loai (a,b) ne'u m6i mat ciia no la mot mien da giac deu a canh va dinh ctia no la dinh chung ciia dung b canh 2. Nguofi ta chiing minh dugc chi c6 5 loai khoi da dien deu. Kh6'i 4 mat deu (tii dien deu) Loai (3,3) Khoi 6 mat deu (Khoi lap phuong) Loai (4,3) K h o i 8 mat deu Loai (3,4)
Kh6'i 12 mat d^u Loai (5,3) b) 4 canh bdn, 4 canh day d6u la canh chung cual dung 2 mien da giac Khd'i 20 mat d^u I Loai (3,5) (tam giac va tii giac). Vay ca 2 tinh chat cua hinh da dien deu dugrc thoa 3. M6i khoi da dien deu lu6n t6n tai m6t mat c^u di qua cac dinh cua an. khoi (mat ciu ngoai tiep khoi da dien deu). Vi du 2: Chiing minh hinh ve trong hinh III. T H £T I C H K H O I DA DifiN 2 khong la hinh da dien. 1. Th^ tich cua khd'i da dien la m6t s6 duong thoa man cac tinh chat sau: a. Hinh 2 do ba miin da giac a. Kh6'i lap phuong c6 canh la mot don vi thi so V = 1 ABCD, DCEF, EFMN hop thanh. ABCD va EFMN khong giao nhau. b. Hai khoi da dien bMg nhau se c6 s6 V nhu nhau DCEF giao vdi 2 mi^n con lai c. Neu khoi da dien diirac phan chia thanh hai khoi da dien thi tdng th^ Of 1 canh chung, tinh chat a) duac tich hai kh6'i da ditn nho 66 bang the tich kh6'i ban dSu V, + =V thoa man. 2. The tich khoi hop chfi nhat bang tich ba kich thudc V = a. b. c b. Tinh cha't b) khdng thoa man 3. The tich khoi lang tru bang dien tich day nhan vdi chi^u cao V = B.h vi cac canh AB, AD, BC, DE, CF, 4. Thi tich kh6'i chop bang ^ dien tich day nhan vdi chi^u cao V = ^ Bh FM, MN, NE chi la canh cua m6t mien da giac. 5. The tich khoi chop cut bang tong the' tich ba hinh chop c6 cung chieu V i du 3: Hinh dugc ve d hinh 3 cao v6i chop cut, c6 day bang day Idti, day nho va trung binh nhan 2 day. cung kh6ng la hinh da dien vi AB la canh chung cua 3 mien da giac, V = ^h(B + B'+V^^-) ABCD, ABEF, ABMN. Cac canh con lai la canh cua 1 mi^n da giac. Hinh 3 Tinh chat b) khong duoc thoa man. V i du 4. Trong cac hinh sau, hinh nao la hinh da dien? hinh nao kh6ng B. Vf DU la hinh da dien? Neu la hinh da dien hay de'm s6' dinh D, s6 canh C, s6' mat M va tinh cac so X = D + M - C. Vi du 1. Chtrng minh hinh chop SABCD la mot da dien a) Hinh SABCD c6 5mat - 5dinh - 8canh, do 5 mien da giac hop thanh trong do mien tam giac hoac c6 1 dinh chung, hoac c6 1 canh chung, cac mien tam giac va mien tii: giac deu CO 1 canh chung. Hinh 1 Hinh 4 Hinh 5
Vi du 5. Cung cSu hoi trSn vdi cac hinh sau. A / / / D = 12,C = I8,M = 8 N T =>X(f^) =2 Hinh 10 Hinh 11 Hinh 12 Hinh 7 Khdng la khoi da dien Khong Id khoi da dien / 2 JL Hinh 13 Hinh 14 Hinh 15 Khd'i da dien khdng iSi Khoi da dien khdng Idi D = 16,C = 28,M = 14 Hinh 9 Hinh 4 la kh6'i da dien lOi cu th^ la hinh chop ngu giac ABCDEF Co so dinh D = 6, s6 canh C = 10, s6' mat M = 6 => X(H) = 6 + 6 - 10 = 2 ffinh 5 la khd'i da dien I6i c6 D = 12 so canh C = 18, s6 mat M = 8, X ( H ) = 12+8-18 = 2 i f ffinh 6 la khoi da dien kh6ng I6i, D = 9, C = 14, M = 8, Hinh 16 Hinh 17 Hinh 18 X(H, = 9+8-14 = 3 ffinh 7 khong la kh6'i da dien Khd'i da dien khdng iSi Khd'i da dien khdng loi D = 24.C = 48,M = 24 ffinh 8 khong la kh6'i da dien
sau va dan lai thanh khd'i da dien diu: V i du 7: Cho hinh tarn mat diu canh a. Tmh th^ tich khoi bat dien deu do. Chung minh rang tarn cac mat cua hinh bat dien d^u la cac dinh ciia hinh lap phuong. Tinh thi tich kh6'i lap phuong nay: 1. Hinh bat dien deu chinh la hai hinh chop tii giac deu chung day ABCD CO dien tich day m6i chop la a^ (ABCD la hinh vu6ng canh a) ASCS' cung la hinh vu6ng canh a nen SS' = a-\/2. Do do chieu cao cua m6i Khoi 4 mat deu loai (3,3) chop tu" giac deu la — a ^f2 . VSy th^ tich kh6'i 8 mat do la: 1 1 2 ay/2 1 V, = 2.^a 1 _ a 'V2 Kh6'i 6 mat diu loai (4,3) 2. Goi tarn ciia 4 mat ben SAB, SAC, SCD, SDA la M , N , P, Q. Goi trung die'm ciia AB, BC, CD, DA la M ' , N', F, Q'. Ap dung dinh ly Talet ta de 2 2 AC dang suy ra M N = NP = PQ = QM = ^ M N ' = . Do aV2 M N P Q la hinh vu6ng nen MNPQ la hinh vu6ng canh Chirng Khoi 8 mat deu loai (3,4) minh tuofng tu cac tam M " , N", P", Q" ciia SAB, S'BC, SCD, SDA cung se tao thanh hinh vuong canh - ^ ^ ^ , MNN' M " cung vay suy ra 6 mat ciia MNPQ.M"N"P"Q" deu la hinh vu6ng. Vay MNPQM"N"P"Q" la hinh lap phuong. 3. Khi do the tich ciia hinh lap ^V2 phuong la V = MN^ = Khoi 12 mat deu loai (5,3) 2 a' ^2 don vi the tich 27 Ti so the tich hinh lap phuong va kh6'i 8 mat d^u la: '6 _ 2V2a^ V2a^- 27 Khoi 20 mat deu loai (3,5) 2 9• Hinh 19
V i du 8. Cho hinh lap phuomg A B C D A ' B ' C ' D ' canh a, bang g6. Got kh6'i lap I phuong de lay khoi 8 mat deu noi tiep no, nghia la dinh ciia khoi 8 mat deu la tam cua 6 mat cua n khoi lap phuong. Tinh C the tich kh6'i 8 mat do. o Tinh the tich ph^n g6 bo tr t—i— di. \ \ \ y a. Do tinh cha't cua hinh \ \ lap phuong ta dl dang \ chumg minh O M = O N = / / / OP = OQ = O ' M = O ' N = / O'P = O'Q = M N = NP = ' PQ = QM = OA = ' ^/ "~ 3 V2 • 8 mat ciia A khoi OMNPQO' deu la Hinh 21 tam giac deu canh 2 b. Th^ tich hinh lap phucfng la a^ c. The tich kh6'i 8 mat diu canh a4i theo v i du 4 se la Hinh 22 41 \ raV2 4a^ V = . The tich g6 bo d i la 24 C . BAI T A P V i du 9. Hay phan chia h6p ABCD.A'B'C'D' thanh cac khoi t i i dien, 1. a. Hay chiing minh kh6'i da dien c6 cac mat la nhirng hinh da giac c6 so thuc hien theo 3 budc sau: canh la le thi tong s6' cac mat phai la s6' chSn. 1. Chia hop ABCD. A ' B ' C ' D ' thanh 2 lang tru tam giac ABC.A'B'C va b. Trong khoi da dien ne'u m6i dinh la dinh chung ciia mot s6' le mat thi CBD.CD'B'. tdng so cac dinh cua no phai la mot s6' chan. 2. Chia m6i lang tru thanh t i i dien va m6t hinh chop t i i giac. 2. Chia kh6'i lap phuomg thanh 6 khoi tii dien bang nhau. 3. Chia hinh chop t i i giac thanh 2 tii dien. Vay se c6 6 hinh t i i dien. 3. Chirng minh tam ciia cac mat cua tir dien deu lai la 4 dinh ciia mot t i i dien d^u. T i m t i s6' the tich cua 2 kh6'i tii dien mdi va cu.
4. Cho khd'i tii dien ABCD, E va F iSn luot la trung di^m cua AB va CD. 12. Hay tim th^ tich kh6'i h6p n6u d6 dai canh ben la a, dien tich hai mat Hai mat phang (ABF) va (CDE) chia kh6'i tii dien ABCD thanh 4 khoi tii cheo la S, va Sj, goc giffa 2 mat cheo la a. dien. Ke ten cac khoi tii dien va chiing minh th^ tich 4 khd'i tii ditn do 13. Cho S.ABCD la chop deu, khoang each tir A den mat phang (SBC) la 2a, bang nhau, neu ABCD la khoi tii dien deu thi 4 kh6'i tu didn trdn c6 bang goc giua mat ben va mat day la a. Tinh the tich V cua khoi chop, v6i a nhau khong? bang bao nhieu thi V c6 gia tri nho nhat? 5. Cho chop S.ABC c6 ducmg cao SA = a. Day la tarn giac vu6ng can c6 14. Cho tii dien ABCD, khoang each giCra AB va CD la a, a la goc giiia hai AB = BC = a. Goi B' la trung diim SB, C la chan duomg cao A C cua 1 ducmg thang do. Chiing minh VABCD = - AB.CD.a.sir\. a. ASAC. 6 a. Tinh the tich cua khoi chop S.ABC. 15. Tinh the tich kh6'i tii dien ABCD biet AB = CD = a, AC = BD = b va A D = BC = c. b. Chiing minh SC vu6ng goc A B ' C . 16. Cho khoi lap phucmg ABCD.A'B'C'D'. Cac diem E va F Hn luot la trung c. Tinh the tich cua kh6'i chop S.AB'C diem cua C B ' va C D ' . Dung thie't dien ciia lap phuong bi cat bcri (AEF) 6. Hay chi ra each chia mot khoi tii dien thanh hai kh6'i tii dien sao cho th^ Tinh ti s6' the tich hai ph^n ciia kh6'i lap phucmg do mat phang (AEF) tich ciia hai khoi tii dien nay c6 ti so bang — > 0 cho tnrdrc cat ra. n 17. Cho chop SABCD c6 day la hinh binh hanh. Goi B', D' lan luot la trung I. Cho kh6'i lang tru ABC.A'B'C c6 day la tarn giac deu canh a, dinh A' diem ciia SB, SD. Mat phang (AB'D') cat SC tai C . Tim ti s6' the tich hai each deu 3 dinh A, B, C canh ben A A ' tao vdri mat day goc 60°. khd'i chop SABCD' va SABCD. a. Tinh the tich khoi lang tru. 18. Cho tii dien ABCD c6 didm O nam trong tir dien va each deu 4 mat cua b. Chiing minh mat ben BCC'B' la mdt hinh chu nhat. tii dien m6t khoang d. Goi hA, hg, he, ho la khoang each tilt cac dinh den c. Tinh tong dien tich cac mat ben ciia lang tru (goi la dien tich xung mat doi dien. Chiing minh: quanh ciia lang tru). 1 1 1 1 1 8. Cho khoi chop SABC. Tren 3 canh SA, SB, SC lay 3 diem A', B', C khac + — d hg + — hp + hp \&v S. Goi V la the tich chop SABC, V la thd tich chop S'A'B'C. 19. Cho chop S.ABC, M la mot diem nam trong day ABC, cac du5ng thang . ^ V SA SB SC Chung minh — = .— . qua M song song vdfi SA, SB, SC Mn luot cat (BCS), (CAS), (ABS) tai . V SA' SB' SC 9. Cho khoi lang tru diing ABC.A'B'C c6 day la tam giac vuong tai A, A', B', C . Chung mmh —ALSCS ^ ^ ^ khong doi. Vs^c SA SA SB SC ACB = 60° AC = b. BC tao v6i (AA'CC) goc 30°. Tinh d6 dai A C va tinh the tich V cua khoi lang tru da cho: 20. Cho khd'i chop S.ABCD c6 day ABCD la hinh binh hanh. Mat phang (P) cat cac canh ben tai K, L, M , N. Chiing minh VgABCD = VSACD = ^SABD = VSBCD- 10. Cho hop ABCD.A'B'C'D' c6 tat ca cac canh la a, cac goc . SA SC SB SD A ^ =BAD = A ^ = a (a < 90°). Hay tinh th^ tich cua h6p. va — + =— + — SK SM SL SN I I . Cho h6p ABCD.A'B'C'D' c6 day ABCD la hinh chii nhat canh la a, b, 21. Cho khdi chop S.ABCD c6 day ABCD la hinh chff nhat, canh ben SA hai mat ben (ABB'A') va (ADD'A') tao vdi day ABCD goc 45° va 60°. vu6ng goc vdi day, mat phang (a) qua A va vuong goc SC cat SB, SC, Tinh th^ rich ciia h6p n^u canh ben A A ' la c. SDaB',C',D'.
a. Chiing minh AB'C'D' c6 2 goc dd'i dien la vudng 26. Cho tii dien ABCD, chiing minh: b. Chiing minh khi S chay trfen du6ng thing vu6ng goc vol day tai A thi a. Cac ducmg thang noi m6i dinh vdi trong tam mat doi diien dong quy (AB'C'D') lu6n di qua mot du5ng thing cd dinh va cac di^m A, B, B', C, tai m6t die'm G. C, D, D cung each m6t d'dm c6 dinh m6t khoang kh6ng d6i. b. Cac hinh chop dinh G c6 day la cac mat ciia tii dien c6 the tich bang c. Gia sur goc giua SC va (SAB) la x. Tinh th^ tich cua chop S.AB'C'D' va nhau. S.ABCD bid't AB = BC. 27. Cho tii dien SABC c6 cac goc phang d dinh S deu vuong. 22. Cho tii dien ABCD: a. Chiing minh V3 SABC ^ SSAB + SSBC + ^SAC- a. Chiing minh neu chSn ducmg cao H cua tur dien xua't phat tiif A triing b. Cho SA = a, SB + SC = k, SB = x. Tinh the tich tii dien theo a, k, x vdfi true tarn tam giac BCD va AB vuOng goc AC thi AC vu6ng goc AD va xac dinh SB, SC de the tich tii dien SABC lorn nhat. (DH Quoc gia va AD vuong goc vdfi AB. Thanh ph6' Ho Chi Minh, nam hoc 1996). b. Gia sit BC = CD = DB, AB = AC = AD. H la chdn duomg vudng goc ha tir A de'n (BCD), J la chan ducmg vu6ng goc ha tiir H xudng AD. Dat 28. Cho hinh chop tii giac d^u SABCD c6 tat ca cac canh bang a. AH = h, HJ = d. Tinh th^ tich tii dien theo d va h. a. Tinh the tich cua no. c. Chiing minh neu AABC va AABD c6 dien tich bang nhau thi ducmg b. Tinh khoang each tii tam day de'n cac mat ben. vu6ng goc Chung cua AB va CD di qua trung di^m cua CD. (DH Da Nang, khdi D, nam 1997) 23. Cho hinh chop diu day la da giac diu n canh, canh day Ik a. 29. Cho hinh chop OABC vdi OA, OB, OC vu6ng goc vdi nhau tutng doi a. Tinh th^ tich va didn tich xung quanh neu goc giiia canh bSn va day m6t va OA = a, OB = b, OC = c. la a. a. Ke OH vu6ng goc vdi mat phang ABC. Chiing minh H la true tam tam b. tinh th^ tich va dien tich xung quanh n^u g6c gitta mat ben wk diy giac ABC. b. Cho H la true tam tam giac ABC. Chiing minh OH vuong goc mat la]3. phang ABC. 24. Cho hinh chop cut d6u day la da giac d^u n canh, canh day la a, b (a > b). c. Tinh dien tich tam giac ABC theo a, b, c. a. Tinh the tich va dien tich xung quanh chop cut ne'u goc giiia canh ben va day la a. d. Chiing minh: a^ tgA = b^tgB = e^tgC '' . b. Tinh th^ tich va dien tich xung quanh chop cut n^u goc giiia mat ben (DH Ngoai Ngfl Ha N6i, 1997, theo phan ban) va day la p. 30. Cho hinh h6p ehff nhat ABCD.A'B'C'D' c6 A'A = a, AB = b, AD = e. 25. Day hinh chop SABCD la hinh chff nhat, c6 AB = a, AD = b, SA vu6ng Tinh thd tich tii dien ACB'D theo a, b, c. goc day va SA = 2a. La'y M e SA vdi AM = x (0 < x < 2a). (Hoc vien Quan he qu6c te' nam 1997). a. (MBC) cat hinh chop theo thie't dien gi? Tun dien tich thiet dien a'y. 31. AB la du5ng vuong goc chung ciia hai dudfng thing cheo nhau x, y. Lay b. Xac dinh x d^ (MBC) chia hinh chop ra hai phdn c6 th^ tich bang A e X, B e y, AB c6' dinh va AB = d. Me x, N e y, M, N thay d6i va nhau. AM = m, BN = n (m, n > 0). Gia sir c6 m^+ n^ = k > 0, k khong doi. (DH Y Duoc Thanh ph6' H6 Chi Minh, nam hoc 1996, chucmg tiinh a. Xac dinh m, n d^ d6 dai doan thang MN dat gia tri Idn nhat, nho nhat. phan ban;.
b. Trong trilcmg x vu6ng y va mn ^ 0, hay xac dinh m, n theo k va d d^ the tich tii dien A D M N dat gia tri iom nha't va tinh gia tri do. (DH Qudc gia Ha N6i, nam 1997, khoi A) 32. Cho tarn giac ABC can dinh A. Mot dilm M thay ddi tren duofng thang Chuang II vu6ng goc v6i mp (ABC) tai A (M A). M A T NON;M A T T R U ,M A T C A U a. Tim quy tich trong tarn G va true tam H cua tam giac MBC. b. Goi O la true tam tam giac ABC. Hay xac dinh vi tri cua M de the I. M A T NON, HINH NON, K H O I NON tich tur dien OHBC dat gia tri Idn nha't. (DH Quoe gia Ha Noi, nam 1997, kh6'i B). A. LY T H U Y E T C A N NH6 33. Cho hinh chop tii giac d6u S.ABCD c6 day ABCD la hinh vu6ng canh a va SA = SB = SC = SD = a. 1. Su tao thanh m^t tron xoay a. Tinh dien tich toan ph^n va the tich ciia hinh chop theo a. Trong khong gian cho mat phang a, chiia ducmg thang A va dudng r . b. Tinh cosin cua goc nhi diSn [(&45), (&4Z)) . Khi quay mat phang a xung quanh ducmg thang A thi tap hop cac diem cua (DH Su pham TP Ho Chi Minh, khoi D - E - 2000). duofng r tao nen mot mat tron xoay nhan ducmg thang A lam true. Ducmg 34. Cho hinh chop d^u SABCD. Day ABCD la hinh vu6ng c6 canh bang 2a. r sinh ra mat tron xoay nen dugfc goi la ducmg sinh cua mat tron xoay. Canh ben SA = aVs . Mat phang (P) di qua AB va vuong goc v6i mat 2. Tinh chat ciia mdt tron xoay phang (SCD). (P) Ian lugft cat SC va SD tai C va D'. * Ne'u cat mat tron xoay bed mot mat phang vuong goc vdi true A thi a. Tinh dien tich ciia tii giac ABCD'. giao tuyen la m6t ducmg tron c6 tam nam tren true A. b. Tinh the tich ciia hinh da dien A B C D O ' C * M6i diem M thu6c mat tron xoay d^u nam tren mot ducmg tron thu6c (Dai hoc Nong nghiep I - Kh6'i A - 2000). mat tron xoay va c6 tam tren true A. (Cho nen ngudi ta con noi mat tron xoay la tap hgfp cac ducmg tron nam tren cac mat phang vuong goc vdfi ducmg thang A c6' dinh va c6 tam nam tren ducmg thang A ) . 3. Mat non tron xoay Dinh nghia: Cho 2 ducmg thang d va A cat nhau tai O tao thanh goc cp vdfi 0 < 9 < 90". Khi quay ducmg thang d xung quanh true A sao cho goc cp khOng thay ddi thi tao ra mat non tron xoay (goi tat la mat non) (h.23). O goi la dinh ciia mat non va goc is dinh bang 2(p, d goi la ducmg sinh cua mat non.
B. Vf DU 4. Hinh non Vi du 1: Mot hinh vuong canh a noi tiep trong day hinh non. Mat phang qua dinh hinh non va canh hinh vuong cat hinh non theo m6t thiet dien la tam giac can c6 goc a dinh bang a. Tim dien tich xung quanh ciia hinh non. Giai Ta CO = ml 6 day r = AH, / = SA ABCD la hinh vuong canh a suy ra AC=aV5,AH=^ = ^ 2 2 Goi I la trung di^m cua AB suy ra Hinh 23 Hinh 24 lA = IB = I va SI vuong goc AB, (do Hinh 25 Cho tam giac vuong OAB vuong a A tam giac SAB la tam giac can); Khi quay tam giac nay quanh canh OA thi ducmg gS'p khiic OBA tao ASI = ^ thanh mot hinh tron xoay (con goi tk la hinh non). Hinh tron tam A do canh AB tao ra trong khi quay goi la mat day ciia hinh non. AI Trong tam giac vuong SI A ta c6: SA = O goi la dinh ciia hinh non, d6 dai doan OA goi la chieu cao, 66 dai a 2sin — sin doan OB goi la dudng sinh ciia hinh non. Canh OB trong khi quay tao thanh mat xung quanh ciia hinh non aV2 a VayS, =7t. 5. Khoi non tron xoay 2sin^ 4sin — 2 Ph^n khong gian gidi han bdi hinh non va ca hinh non gpi la khoi non Vi du 2. Thiet dien qua true ciia tron xoay (goi tk la khd'i non). hinh non la mot tam giac deu canh a. Dinh, chi^u cao, ducmg sinh cua hinh non cung la dinh, chi^u cao, Tim dien tich xung quanh ciia hinh non dircmg sinh ciia khoi non do. va the tich ciia khoi non. 6. Dien tich xung quanh ciia hmh non, the tich cua khoi non Giai: = u r/ (Sxq la dien tich xung quanh, r la ban kinh hinh tron day, / la Cat hinh non dinh S, day la hinh duomg sinh). tron (O) bang mot mat phang qua true SO, thiet dien la A SAB deu canh a V = - 7t r'h (V la the tich, h la chieu cao, r la ban kinh hinh tron day). (h.26). Hinh 26 T1
^ c. Tinh ti s6' th^ tich ciia hinh chop va hinh non. R6 rang ducmg sinh SB = / = a, ban kinh day r = ^ = ^ 40. Cho hinh chop tam giac deu SABC canh ben nghieng v6i day goc (p, Theo cong thiic tinh dien tich xung quanh hinh non: canh day AB = a. Mot hinh non dinh S c6 day la hinh tron noi tiep tam S,^ = ml suy ra S^^ = TI ^ .a = ^.a^ giac ABC. a. Tinh dien tich xung quanh ciia hinh non theo a va 9. SO la ducmg cao ciia tam giac deu canh a, nen SO = — y - b. Tinh ti s6' the tich cua khoi non va kh6'i chop da cho theo a va cp. Theo cong thiic tinh the tich khS'i n6n: I I . MAT T R U , HINH T R U , K H 6 I T R U V=-7tr'h 3 A. LY THUYET CAN NHCl flV3 1 raV ^/3 dday r = -a, h = SO= Vay V = -n 1. Mat tru tron xoay 24 2 2 _ 3 * Dinh nghia: Cho hai ducmg thang A va £ song song vdi nhau va each nhau mot khoang r thi mat tron xoay sinh ra bcfi ducmg thang £ quay quanh Agoi la mat tru tron xoay (goi tat la mat tru). C. BAI TAP A goi la true ciia mat tru, £ goi la ducmg sinh cua mat tru do (h.27). 35. Trong mat phang (P) cho O co dinh. Mot ducmg thang / thay doi lu6n di 1||||P * cat mat tru boi m6t mat phang vuong goc vod A thi thiet dien la m6t qua O sao cho goc giiJa / va mat phing (P) luon bang cp kh6ng d6i. du5ng tron c6 tam nam tren A va c6 ban kinh r. Chiing minh rang / luon nam tren m6t mat tron xoay xac dinh. 2. Hinh tru 36. Ducmg sinh cua hinh non c6 do dai 5m va tao v6i mat day mot goc bang 30°. Tinh dien tich thiet dien qua true cua hinh non a'y. 37. Cho hinh non c6 thiet dien qua true la mot tam giac deu, ban kinh day la R; tinh dien tich ciia thiS't dien qua hai dudng sinh tao thanh m6t goc a. 38. Ban kinh day cua hinh non bang 3m, chieu cao bang 4m. a. Tinh do dai ducmg sinh va goc tao hbi ducmg sinhvoi mat day. b. Tinh dien tich xung quanh. c. Tinh the tich cua khoi non. 39. Cho hinh vuong ABCD canh a noi tiep day hinh non c6 dinh S sao cho goc SAB = 60°. Hinh 28 Hinh 27 a. Chung minh rang SABCD la hinh chop tu: giac deu. b. Tinh the tich hmh chop SABCD theo a. 23
Cho hinh chO nhat A B C D , k h i quay hinh chff nhat nay quanh canh A B Giai thi ducmg gap kJuic A D C B tao thanh mot hinh tru tron xoay (goi tat la hinh a. Ke M M ' vuong goc vdi day dudi thi OO' song song M M ' nen goc tao tru) (hinh 28). bdi M N va OO' la goc N M M ' = or va mp ( M N M ' ) vudng goc day. K h i quay canh A D va EC se sinh ra hai ducmg tron bang nhau goi la hai Ke O I vudng goc M ' N suy ra 0 1 vudng goc ( M N M ' ) ne'u O I la khoang mat day cua hinh tru. each tur true den dudng thang M N . K h i quay canh DC sinh ra mot mat tru tron xoay goi la mat xung quanh cua hinh tru. Trong tam giae vuong M M ' N ta cd t a n a = MM' A D = BC goi la Mn kinh day cua hinh tru. Suy ra M ' N = M M ' = M M ' tan a A B la true cua hinh tru, d6 dai doan DC la d6 dai ducmg sinh cua hinh tru, cung la c h i l u cao cua hinh tru. M'N = atan« Tam giae M ' O N can dinh O nen I la trung d i ^ m M ' N 3. Khoi tru trrjn xoay Phan khong giain gidi han boi hinh tru va ca hinh tru goi la khoi tru trdn S u y r a N I = — M ' N =—atana xoay (goi tat la khoi tru) 2 2 Ban kinh day, dttdng sinh, chieu cao, mat xung quanh ctia hinh tru cung A p dung dinh ly Pitago trong tam giae vudng N O I ta cd: la ban kinh day, ducmg sinh, chieu cao, mat xung quanh cua kh6'i tru. 01= -aV4-tan2a . 4. Dien tich xung quanh hinh tru, the tich khoi tru 2 = 2 ;T rh (S^^, la dien tich xung quanh, r la ban kinh day, h la c h i l u b. Theo ddu bai thi A B C D la hinh vudng nen A B = a. Lap luan gidng cao cua hinh tru) cau a thi O K la khoang each tuf true hinh tru den mp (P), vdi K la trung diem V = ;r r'h (V thd tich kh6'i tru) ^ A B . O K la dudng cao cua tam giae d^u BAO canh a nen K O = B. V I DU: c. Ke ir vudng day dudi thi 11' song Mot hinh tru c6 ducmg cao song va bang O'O, I'F la hinh chie'u cua IF J' bang ban kinh day va bang a. La'y tren day dirdi ma IF vudng gdc FE (gt) nen 0\ M , N la diem thupc ducmg tron hai I'F vudng gdc FE theo dinh l i ba dudng day sao cho M N tao vdi true hinh vudng gdc: tru goc a. PFE = I v suy ra I'E la dudng kinh. a. Tinh khoang each tiif true Hinh 29 Do EF vudng gdc IF va I'F nen hinh tru den du&ng thang M N EF 1 mp (H'F) suy ra mp (UEF) 1 m p d l ' F ) . b. Mat phang (P) song song true, cat hinh tru theo m6t thie't dien la hinh Ke I ' K 1 IF t h i I ' K l mp (UEF). K I la vuong. Ti'nh khoang each tOr true hinh tru den mp (P). hinh chie'u cua 11' tren Q nen gdc tao bdi e. Mat phang (Q) khong song song vdi true hinh tru, cat no theo mot n' va Q la gdc FFE => nd cung la gdc thie't dien la hinh vu6ng. Tinh goc tao bcri true hinh tru va mp (Q). tao bdi true O'O va Q.
Tilr hai tarn giac vudng IFF va EFI' c6 cung canh goc vuong I' F, cho: III. MAT CAU IF' - ir' = I'E' - EF' suy ra IF' - a' = 4a' - IF' » IF = 2 A. L Y T H U Y E T C A N NH6 Suy ra cos I'FE = :— TF = aVio 5 1. Mat c^u Tap hgrp tat ca cac di^m M trong kh6ng gian each diem O m6t Ichoang bang r (r > 0) goi la mat C. BAI T A P ciu tam O ban kinh r. Ki hi6u la (O; r), CO khi viet la (O) 41. Cho mat phang (P), mot di^m A nSm tren (P), m6t diem B nSm ngoai (P) Nhu vay ( O ; r) = {M| O M = r' sao cho hinh chieu B' cia B tren (P) khOng triing v6i A. Mot di^m M Hinh 31 2. Diem ndm tren, ndm trong, chay trong (P) sao cho luon c6 ABM = BMB'. Chiing minh rang diem n^m ngoai mdt cau M luon nam tren m6t mat tru tron xoay c6 true la AB. Cho di^m M va mat c^u ( O ; r). 42. Mot hinh tru c6 chieu cao bang ban kfnh day, ngucri ta ke trdn hai day * N6'u OM = r thi M nam trdn mat cdu ban kfnh lam thanh m6t goc 30". Tinh goc giua true ciia hinh tru va * Neu OM < r thi M nam trong mat c^u ducmg thang n6'i hai diem miit cua hai ban kinh tren. * Neu OM > r thi M nam ngoai mat cSu 43. Chieu cao cua hinh tru bang 2m, ban kinh day bang 7m, mot hinh vuong 3. Vi tri tuong doi gi&a mat c^u va mat phang ndi ti6p hinh tru sao cho b6'n dinh cua no deu nam tren hai ducmg tron Cho mat ciu (O; r) va mat phang (P). Goi h la khoang each tir O den (P) day, tinh canh ciia hinh vuong. (OH ± (P), H e (P) va dat OH = h) 44. Chiing minh rang hai tiep dien ciia hinh tru hoac song song hoac cat * Neu h > r thi (P) khdng cat mat cSu nhau theo mot giao tuy6'n song song vdi true hinh tru. * Ne'u h = r thi (P) va mat cdu c6 mot diem chung duy nha't H. Khi do ta 45. Trong hinh chop tii giac deu, canh day bang a va goc nhi dien thu6c day n6i (P) tie'p xuc vdi mat cau (O, r) tai H. bang a, CO mot hinh tru noi tiep ma ducmg cao va ban kfnh ciia no bang Die'm H goi la tie'p di^m, (P) goi la tie'p dien ciia mat c^u. Tia^ sin' a * Neu h < r thi (P) cat mat ciu theo m6t ducmg tron tarn H ban kinh nhau. Chiing minh the tich hinh tru bang 16V2sin' (a + 45°)* r= V P ^ . Truomg hop dac biet khi h = 0, khi d6 (P) di qua O, mat phang (P) cat mat ciu (O, r) theo ducmg tron tam O ban kinh r. Dircmg tron nay goi la
4. V i t r i tuong ddi giura mdt cAu va ducmg thdng Cho mat cSu (O; r) va ducxng t h i n g A . Goi (P) la mat phang chiia A va B . Vf D U tam O. Goi duomg tron C la giao cua mat cau (O; r) va mat phang (P) di nhien C la ducmg tron I6n (O; r) V i du 1 : Cho hinh non c6 ban kinh day bang r, ducmg sinh tao vdi day Giao ciia du6ng t h i n g A va mat ciu (O; r) chinh la giao ciia dudng tndt goc a. Mot hinh cau tam I nam trong hinh non va mat c l u tiep xiic vdi t h i n g A va dudng tron C. mat xung quanh va day hinh non. Goi d la khoang each tix O den A , ta c6 cac tnrcfng hgrp sau: T i m dien tich ciia mat c i u va th^ tich ciia khdi ciu. * Neu d > r thi A khong c6 diem chung vdi C suy ra A khong c6 diem Giai: A chung vdi mat c5u (O; r) Thiet dien qua true ciia hinh non la * Neu d = r thi A tiep xiic vdi C tai H va H la di^m chung duy nha't cua tam giac can A B C va c i t hinh ciu tam I mat c^u va A . K h i do ta noi A la tiep tuyen cua mat cau, H la tiep diem. theo dudng tron tam I ban kinh 10 = R tiep xiic vdi 3 canh ciia AABC. * Neu d < r, A c i t C tai M va N thi hai diem nay chinh la giao diem cua H i ^ n nhien I la giao ciia cac dudng A va mat cSu (O; r). phan giac trong ciia AABC. Dac biet neu A d i qua tam ciia C va c i t C tai hai diem A , B thi A B la Trong tam giac vudng OIC, do C I ducmg kinh ciia mat cau (O; r). la dudng phan giac cua goc C Hinh 32 5. Nhan xet: 1 nen ICO = - C ma goc C la goc tao bdi Qua mot diem M bat ky tren mat c^u c6 v6 s6' tiep tuyen ciia mat cau, cac tiep tuyen nay deu vu6ng goc v6i O M . Cac tiep tuyen nay deu thuoc mot a dudng sinh va day nen C = a ICO = -a , O C = r n e n I O = R = r t a n — . ' tiep dien vuong goc v6i O M tai M . 2 2 Qua mat diem M n i m ngoai mat c^u (O; r) c6 v6 so tiep tuyen vdi mat Theo cdng thiic tinh dien tich mat cSu S = 4TtR^ ciu da cho cac tiep tuyen nay tao thanh mot mat non tron xoay dinh M , khi \ Vay S = 47t a = 47:r^tan^- do do dai doan t h i n g n6'i tCr A den tiep diem deu bang nhau. rtan — 2 6. Cong thijfc tinh dien tich mat cau va the tich khoi cau 4 , a rtan — = — Tir tan — 3 2 3 2 S = 47tr' V i du 2: Cho tam giac ABC thuoc mat phing (P) va A x ± (P). La'y S tren A x . Goi H , K la hinh chieu vudng goc ciia A tren SB va SC. a) Chiing minh cac diem A , B, C, H , K ciing nam tren mot mat c^u. b) Tinh ban kinh mat c i u biet A B = 2, A C = 3, B A C = 60°.
Giai 48. Trong mat phSng (P), cho hinh vu6ng ABCD. Tren ducmg thang Ax a) Gpi O la tarn ducmg tron ngoai vuong goc vdi mat phang (P) lay diem S bat ky, dung mat phang (Q) di tiep tam giac ABC. Ke ducmg kinh AD ta qua A va vuong goc vdi SC. Mat phang (Q) cat SB, SC, SD lin luot tai B', C , D'. Chiing minh rang cac diem A, B, C, D, B', C , D' cung nam c6: BD ± AB ma SA ± (P) suy ra tren mot mat cau. (SAB) 1 (P), BD c (P) va BD 1 AB => BD 1 (SAB) => BD ± A H , ta lai c6 49. Trong mp (P) c6 ducmg thang d c6 dinh va mot diem co dinh A g d. Goc A H 1 SB (-t) suy ra A H ± (SBD) xOy = Iv thuoc (P) quay quanh A, Ax va Ay cat d tai B, C. Cho d' 1 A H 1 HD. Chiing minh tuofng tu ta c6 (P) tai A. Lay S e d'. Goi H va K la cac hinh chie'u vuong goc cua A A K ± KD. Nhu vay cac diem A, B, C, H , Hinh 33 tren SB va SC. AD a) Chiing minh cac die'm A, B, C, H, K cCing nam tren m6t mat c^u. K each O C O dinh m6t khoang bang b) Tinh ban kinh mat ciu bie't AB = 2, AC = 3, BAC = 60°. AD khong doi. Vay chiing nSm tren mat c^u tam O bdn kinh (AD la ducmg . c) Cho AABC vuong tai A. Chiing minh mat c^u ngoai tiep kh6'i da dien kinh ciia dudng tron ngoai tiep AABC). ABCKH luon di qua m6t ducmg tron c6' dinh khi S chay tren d'. b) Ap dung dinh ly ham s6' cosin va han s6' sin vao AABC ta c6: d) Tim quy tich tam I (tam mat c^u ngoai tiep tii dien SOAB khi goc B C = A B ' + A C ' - 2AB . ACcosA vuong xOy quay quanh O). Chiing minh mat c^u (I) luon lu6n di qua ? m6t dudng tron cd dinh. = 2'.+ 3 ' - 2 . 2 . 3 c o s 6 0 ° 0. Cho tii dien ABCD vdi AB = AC = a, BC = b. Hai mat phang (BCD) va = 7 EC = V? (ABC) vuong goc vdi nhau va BDC = 90°. Xac dinh tam va ban kinh VT" . _ 2V2T mat c^u ngoai tie'p tii dien ABCD theo a va b. va — = AD = AD=> AD = sin A V3 . Cho hai hinh chu nhat ABCD (AC la dudng cheo) va ABEF (AE la "t; dudng cheo) khdng ciing nam trong mot mat phang va thoa man cac AD V2T I dieu kien AB = a, A D = AF = ayfl; dudng thang AC vudng goc vdi vay ban kinh hinh c^u la: OA = dudng thang BP. Goi HK la dudng vudng goc chung cua AC va BF (H thuoc AC, K thudc BF). a) Goi I la giao diem ciia dudng thang DF vdi mat phang chiia AC va C. BAI TAP song song vdi BF. Tinh ty so' — . 46. Tim the tich ciia m6t hinh lang tru diing c6 day la hinh thoi ma goc nhon DF bang a, ngoai tie'p hinh cSu c6 th^ tich V. 2) Tinh do dai doan HK. 47. Cho m6t tii dien c6 cac canh bang a. Tim ban kinh hinh c5u ti^p xiic vdd 3) Tinh ban kinh mat cau ndi tiep tii dien ABHK. tat c^ cac ranh ciia tii dien. (DHSP Ha Ndi - Khd'i A, 2001).
b) S chay tran Ax J- day tai A. Chiing minh mp AB'C'D' lu6n di qua mo; ducmg thang cd dinh va bay di^m A, B, B', C, C, D, D' cung thupc mot O N T A P cHiroNG i i mat c^u cd dinh. c) Goi a < Iv la goc tao boi SC va mp (SAB). Cho ABCD la hinh vu6ng, hay tinh ti so the tich giua hai khdi chop SAB'C'D' va SABCD. I . CAU H O I T R A C N G H I $ M 58. Cho hinh chop deu S.ABCD c6 cac canh ben bang a va mat cheo SAC la Cho hinh non dinh S, day la hinh tron (O; r), duomg sinh AB tao vdi day tam giac d^u. m6t goc a. a) Tim tam va ban kinh cua mat cSu ngoai tiep hinh chop. 52. Dien tfch xung quanh cua hinh non la: b) Qua A dung mat phang (a) vudng goc vdi SC. Tinh den tich thiet A.JE1 B . ^ C . ^ D . ^ cos a cos a sin a sin a dien tao bdi mat phang (a) va hinh chop. 53. The tich cua khdi non tao bcri hinh non tren la: 59. Mot hinh cSu ban kinh R tiep xuc vdi mat phang (P). Mdt hinh non c6 Tir^tana 7ir^ n r» day nam tren (P) cd chieu cao h va ban kinh cung la R, (h < 2R), 3 3sina 3cosa 3cotga Ngudi ta cat hai hinh do bang mat phang (Q) song song vdi (P) dugc hai 54. M6t hinh tru c6 ban kinh day la r, chi6u cao la h. thiet dien va goi x la khoang each giiia hai mat phang (P) va (Q) Dien tich xung quanh ciia hinh non tr6n la: (x < 2R, X < h). Hay tinh tdng dien tich cua hai thidt dien do theo R, h va x. A. Tirh B. -Trrh C. 37n-h D. 27rrh Bieu thu-c a'y con thich hop cho trudng hop h < x < 2R, neu ta keo dai 2 cac dudng sinh ciia hinh non de chiing cat mat phang (Q). 55. The tich khdi tru cho hai hinh tru or CSLU 54 bang: Cho tur dien ABCD cd AB = BC = CA = AD = BD = aV2 , CD = 2a. A.-7tr'h B. Tir'h C. 27n-'h D. -Tir^h a) Chiing minh AB 1 CD. Xac dinh dudng vudng goc chung ciia AB va CD. 3 2 b) Tinh the tich tir dien ABCD. 56. Mot hinh tru c6 ban kinh bang a, chieu cao bang b. M6t mat phang song song vdi true each true mot khoang la c cat hinh tru theo m6t thi^t dien c) Xac dinh tam I mat c^u ngoai tiep tii dien ABCD. CO dien tich bang bao nhieu? d) H la hinh chie'u vudng gdc ciia I tren mp ABC. Chimg minh H la true tam AABC. A.b7c' - a' B. ab C. be D. 2h^a^ - c' (Trfch de thi vao trudng DH Su pham Quy Nhon nam 1979, khong phan ban). 61. Cho hinh chop tam giac deu S.ABC cd canh day bang 2^6 va dudng I I . BAI T A P cao SO = 1. Goi M, N Ian lugt la trung diem ciia AC, AB. 57. Day hinh chop SABCD la hinh chfi nhat, canh ben SA vu6ng goc vdi Tinh the tich hinh chop SAMN va ban kinh hinh cau ndi tiep hinh . day. Mat phdng qua A vuong goc SC, cat SB, SC, SD tai B', C, D'. chop do. . a) Chiing minh tii giac AB'C'D' eo hai goc ddi dien la goc vu6ng. (Trich de thi vao DH Kinh te qudc dan, 1979). 33