zunia.vn

Tuyển sinh 2024 dành cho Gen-Z

zunia.vn

» Tài Liệu Phổ Thông

» Trung học phổ thông

Tổng hợp lý thuyết - phân dạng bài tập quan hệ vuông góc trong không gian

Chia sẻ: Pham Sy Trung | Ngày: | Loại File: DOC | Số trang:7

Báo xấu

206
lượt xem 12
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Nhằm giúp cho các bạn có thêm thông tin và kiến thức bổ trợ cho quá trình làm bài tập môn Toán mà tài liệu "Tổng hợp lý thuyết - phân dạng bài tập quan hệ vuông góc trong không gian" đã được biên soạn. Tài liệu hướng đến trình bày các vấn đề cơ bản về đường thẳng vuông góc với mặt phẳng; đường vuông góc và đường xiên;...

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Tổng hợp lý thuyết - phân dạng bài tập quan hệ vuông góc trong không gian

Quan Hệ Vuông Góc Trong Không Gian TỔNG HỢP LÝ THUYẾT – PHÂN DẠNG BÀI TẬP QUAN HỆ VUÔNG GÓC TRONG KHÔNG GIAN Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng . 1. Chứng minh đường thẳng vuông góc với mặt phẳng Chứng minh hai đường thẳng vuông góc với nhau Phương pháp : * Chứng minh đường thẳng a vuông góc với mặt phẳng (P) Chứng minh a vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau chứa trong (P). Chứng minh a song song với đường thẳng b vuông góc với (P) . * Chứng minh hai đường thẳng vuông góc với nhau . Chứng minh hai đường thẳng này vuông góc với một mặt phẳng chứa đường thẳng kia . Nêú hai đường thẳng ấy cắt nhau thì có thể áp dụng các phương pháp chứng minh vuông góc đã học trong hình học phẳng . 2. Thiết diện qua 1 điểm cho trước và vuông góc với một đường thẳng cho trước . Cho khối đa diện (H) , ta tìm thiết diện của (H) với mặt phẳng (P) , (P) qua điểm M cho trước và vuông góc với một đường thẳng d cho trước . Nếu có hai đường thẳng cắt nhau hay chéo nhau a,b cùng vuông góc với d thì : (P) // a (hay chứa a) (P) // b (hay chứa b) Phương pháp tìm thiết diện loại này đã được trình bày ở những bài trên . Dựng mặt phẳng (P) như sau : Dựng hai đường thẳng cắt nhau cùng vuông góc với d , trong đó có ít nhất một đường thẳng qua M . mặt phẳng được xác định bởi hai đường thẳng trên chính là (P) . Sau đó xác định thiết diện theo phương pháp đã học . Đường vuông góc và đường xiên . 1. Dựng đường thẳng qua một điểm A cho trước và vuông góc với mặt phẳng (P) cho trước . Tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng Phương pháp : Thực hiện các bước sau : *Chọn trong (P) một đường thẳng d, rồi dựng mặt phẳng (Q) qua A vuông góc với d (nên chọn d sao cho (Q) dễ dựng ). *Xác định đường thẳng c = ( P) (Q) * Dựng AH vuông góc với c tại H Đường thẳng AH là đường thẳng qua A vuông góc với (P) . Độ dài của đoạn AH là khoảng cách từ A đến (P) Chú ý : Trước khi chọn d và dựng (Q) nên xét xem d và (Q) đã cío sẵn trên hình vẽ chưa. Nếu đã có sẵn đường thẳng m vuông góc với (P), khi đó chỉ cần dựng Ax // m thì Ax ⊥ (P) Nếu AB // (P) thì khoảng cách giữa đường và mặt song song có. d(A,(P)) = d(B, (P)) Nếu AB cắt (P) tại I thì tỉ số khoảng cách. d(A,(P) : d(B, (P)) = IA : IB 2. Ứng dụng của trục đường tròn Định nghĩa : Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng chứa đường tròn tại tâm của đường tròn đó . Ta có thể dùng tính chất của trục đường tròn để chứng minh đường thẳng vuông góc với mặt phẳng và An Văn Long – THPT Trần Hưng Đạo page 1
Quan Hệ Vuông Góc Trong Không Gian tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng . Nếu O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC và M là một điểm cách đều 3 điểm A,B,C thì đường thẳng MO là trục của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC; khi đó MO vuông góc với mặt phẳng (ABC) và MO = d(M,(ABC)) Nếu MA=MB=MC và NA=NB=NC trong đó A,B,C là ba điểm không thẳng hàng thì đường thẳng MN là trục đường tròn qua ba điểm A,B,C; khi đó MN vuông góc với mặt phẳng (ABC) tại tâm O của đương tròn qua ba điểm A,B,C . 3. Tập hợp hình chiếu của một điểm cố định trên một đường thẳng di động Ta thường gặp bài toán : Tìm tập hợp hình chiếu vuông góc M của điểm cố định A trên đường thẳng d di động trong mặt phẳng (P) cố định và luôn đi qua điểm cố định O . Phương pháp : Dựng AH ⊥ ( P ), ( H ( P)) , theo định lý ba đường vuông góc ta có HM ⊥ d ﾷ Trong mặt phẳng (P), HMO = 1v nên M thuộc đường tròn đường kính OH chứa trong (P) 4. Tìm tập hợp hình chiếu vuông góc của một điểm cố định trên mặt phẳng di động . Ta thường gặp bài toán : Tìm tập hợp hình chiếu vuông góc H của một điểm cố dịnh A trên mặt phẳng (P) di động luôn chứa một đường thẳng d cố định . Phương pháp : Tìm mặt phẳng (Q) qua A vuông góc với d Tìm c = ( P) (Q) Chiếu vuông góc A lên c, điểm chiếu là H thì H cũng là hình chiếu của A trên (P) . Gọi E là giao điểm của d với (Q). Trong mặt phẳng (Q), ﾷAHE = 1v nên H thuộc đường tròn đường kính AE . 5. Góc giữa đương thẳng và mặt phẳng Cách xác định góc giữa a và (P) . Phương pháp : Tìm giao điểm O của a với (P) Chọn điểm A a và dựng AH ⊥ ( P ), ( H ( P)) khi đó AOH ﾷ = (ﾷa, ( P)) Mặt phẳng vuông góc 1. Mặt phẳng vuông góc Chứng minh đường thẳng vuông góc với mặt phẳng . * Chứng minh hai mặt phẳng vuông góc . Phương pháp : Cách 1 : Chứng minh mặt phẳng này chứa một đường thẳng vuông góc với mặt phẳng kia . Cách 2 : chứng minh góc giữa hai mặt phẳng có số đo bằng 900 . * Chứng minh đường thẳng vuông góc với mặt phẳng . Cách 1 : Chứng minh a vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau chứa trong (P) . Cách 2 : Chứng minh a song song với đường thẳng b vuông góc với (P) . Cách 3 : Chứng minh a là trục đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC với A, B, C thuộc (P) . Cách 4 : Sử dụng định lý : " Nếu a chứa trong một mặt phẳng (Q) vuông góc với (P) và a vuông góc với giao tuyến của (P) và (Q) thì a vuông góc với (P) " . Cách 5 : Sử dụng định lý :" Nếu a là giao tuyến của hai mặt phẳng cùng vuông góc với (P) thì a v/góc với (P) ". 2. Xác định mặt phẳng chứa một đường thẳng và vuông góc với một mặt phẳng . Thiết diện . Cho trước mặt phẳng (P) và đường thẳng a không vuông góc với (P) . Xác định mặt phẳng (Q) chứa a và An Văn Long – THPT Trần Hưng Đạo page 2
Quan Hệ Vuông Góc Trong Không Gian vuông góc với (P) . Phương pháp : Từ một điểm trên a dựng b vuông góc với (P) thì (Q) là mặt phẳng (a, b) . Chú ý : Nếu có đường thẳng d ⊥ ( P ) thì (Q) // d hay (Q) chứa d . A. CÁC VẤN ĐỀ CHÍNH: 1. Véctơ, các phép toán véctơ trong không gian và ứng dụng. 2. Chứng minh vuông góc: Đường thẳng vuông góc ví đường thẳng, đường thẳng vuông góc với mặt phẳng và hai mặt phẳng vuông góc. 3. Các bài toán tính góc: Góc giữa đường thẳng và đường thẳng, đường thẳng và mặt phẳng, góc giữa hai mặt phẳng. 4. Các bài toán tính khoảng cách: Khoảng cách Từ một điểm đến một đường thẳng, đến một mặt phẳng. Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau và cách loại khoảng cách quy về dạng trên. 5. Bài toán dựng thiết diện, tính diện tích thiế diện. 6. Mặt phẳng trung trực, trục đường tròn, tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp và lăng trụ. 7. Các hình đa diện đặc biệt và tính chất của nó. B. BÀI TẬP: Lo¹i 1: Chøng minh ®êng th¼ng vu«ng gãc víi mÆt ph¼ng, víi ®êng th¼ng: 1. Cho tø diÖn S.ABC cã SA vu«ng gãc víi (ABC) vµ tam gi¸c ABC vu«ng ë B. a) Chøng minh BC ⊥ (SAB) b) Gäi AH lµ ®êng cao cña ∆ SAB. Chøng minh: AH ⊥ (SBC) 2. Cho h×nh chãp S.ABCD cã ®¸y ABCD lµ h×nh thoi t©m O; gäi I, J lÇn lît lµ trung ®iÓm AB, BC. BiÕt SA = SC, SB = SD. Chøng minh r»ng: a) SO ⊥ (ABCD) b) IJ ⊥ (SBD) 3. Cho h×nh chãp S.ABCD cã ®¸y ABCD lµ h×nh vu«ng t©m O vµ cã c¹nh SA ⊥ (ABCD). Gäi H, I, K lÇn lît lµ h×nh chiÕu vu«ng gãc cña ®iÓm A lªn SB, SC, SD. c) Chøng minh r»ng: CD ⊥ (SAD), BD ⊥ (SAC) d) Chøng minh: SC ⊥ (AHK) vµ ®iÓm I còng thuéc (AHK) e) Chøng minh: HK ⊥ (SAC), tõ ®ã suy ra HK ⊥ AI 4. Cho tø diÖn ABCD cã ABC vµ DBC lµ 2 tam gi¸c ®Òu, gäi I lµ trung ®iÓm BC f) Chøng minh: BC ⊥ (AID) g) VÏ ®êng cao AH cña tam gi¸c AID. Chøng minh: AH ⊥ (BCD) 5. Cho tø diÖn OABC cã OA, OB, OC ®«i mét vu«ng gãc víi nhau. GoÞ H lµ ®iÓm thuéc mp(ABC) sao cho OH ⊥ (ABC). Chøng minh r»ng: a) BC ⊥ (OAH) b) H lµ trùc t©m cña ∆ ABC 1 1 1 1 c) 2 2 2 OH OA OB OC 2 An Văn Long – THPT Trần Hưng Đạo page 3
Quan Hệ Vuông Góc Trong Không Gian 6. Cho h×nh chãp S.ABCD cã ®¸y ABCD lµ h×nh vu«ng c¹nh a, mÆt bªn SAB lµ tam gi¸c ®Òu vµ SC = a 2 . Gäi H, K lÇn lît lµ trung ®iÓm cña c¸c c¹nh AB, AD. .a Chøng minh: SH ⊥ (ABCD) .b Chøng minh: AC⊥ SK vµ CK ⊥ SD 7. Gäi I lµ 1 ®iÓm bÊt k× n»m trong ®êng trßn (O; R). CD lµ d©y cung cña ®êng trßn (O) qua I. Trªn ®êng th¼ng vu«ng gãc víi mÆt ph¼ng chøa (O) t¹i I ta lÊy ®iÓm S víi OS = R. Gäi E lµ ®iÓm ®èi t©m cña D trªn (O). Chøng minh r»ng: a. Tam gi¸c SDE vu«ng ë S b. SD ⊥ CE c) Tam gi¸c SCD vu«ng. Lo¹i 2: Chøng minh 2 mÆt ph¼ng vu«ng gãc: 8. Cho tø diÖn ABCD cã 2 mÆt ph¼ng ABC, ABD cïng vu«ng gãc víi ®¸y DBC. VÏ c¸c ®êng cao BE, DF cña tam gi¸c BCD; ®êng cao DK cña tam gi¸c ACD a. Chøng minh: AB ⊥ (BCD) b. Chøng minh 2 mÆt ph¼ng (ABE) vµ (DFK) cïng vu«ng gãc víi (ADC) c. Gäi O vµ H lÇn lît lµ trùc t©m cña 2 tam gi¸c BCD vµ ACD. CM: OH ⊥ (ADC) 9. Cho h×nh chãp S.ABCD cã ®¸y ABCD lµ h×nh thoi c¹nh 2a; gãc BAC = 60 0, SA ⊥ (ABCD) vµ SA = a 6 . Chøng minh: a. (SAC) ⊥ (ABCD) vµ (SAC) ⊥ (SBD) b. (SBC) ⊥ (SDC) 10. Cho h×nh chãp S.ABCD cã ®¸y ABCD lµ h×nh thoi t©m O, SA = SC, SB = SD. a. Chøng minh: SO ⊥ (ABCD); (SAC) ⊥ (SBD) b. Mét mÆt ph¼ng ( α ) ®i qua A vµ song song víi BD c¾t SB, SC, SD lÇn lît t¹i B’, C’, D’. Chøng minh AC’ ⊥ B’D’ vµ 2 tam gi¸c AB’C’ vµ AD’C’ ®èi xøng víi nhau qua mp(SAC) 11.Cho tam gi¸c ®Òu ABC c¹nh a, I lµ trung ®iÓm cña BC, D lµ ®iÓm ®èi xøng víi A qua I. Dùng a 6 ®o¹n SD = vu«ng gãc víi (ABC). Chøng minh: 2 a. MÆt ph¼ng (SAB) ⊥ (SAC) b. MÆt ph¼ng (SBC) ⊥ (SAD) 2a 12.Trong mÆt ph¼ng (P) cho h×nh thoi ABCD víi AB = a vµ BD = 3 . Trªn ®êng th¼ng vu«ng gãc víi (P) t¹i giao ®iÓm cña 2 ®êng chÐo cña h×nh thoi lÊy ®iÓm S sao cho SB=a. a. Chøng minh tam gi¸c ASC vu«ng b. Chøng minh: (SAB) ⊥ (SAD) 13. Cho h×nh tø diÖn ABCD cã AB = BC = a; AC = b; DC = DB = x, AD = y. T×m hÖ thøc liªn hÖ gi÷a a, b, x, y ®Ó: a. (ABC) ⊥ (BCD) b. (ABC) ⊥ (ACD) 14.Cho ∆ ABC vu«ng t¹i A. VÏ BB’ vµ CC’ cïng vu«ng gãc víi (ABC) a. (ABB’) ⊥ (ACC’) b. Gäi AH, AK lµ c¸c ®êng cao cña c¸c tam gi¸c ABC vµ AB’C’. Chøng minh r»ng hai mÆt ph¼ng (BCC’B’) vµ (AB’C’) cïng vu«ng gãc víi (AHK) An Văn Long – THPT Trần Hưng Đạo page 4
Quan Hệ Vuông Góc Trong Không Gian Lo¹i 3: Gãc cña 2 ®êng th¼ng: 15.Cho h×nh chãp S.ABCD cã ®¸y lµ h×nh thang vu«ng t¹i A vµ D, AD = DC = a, AB = 2a. SA 2a 3 vu«ng gãc víi AB vµ AD, SA = . TÝnh gãc cña 2 ®êng th¼ng: 3 a. SB vµ DC (300) 42 b. SD vµ BC (cos α = ) 14 16. Cho tø diÖn ®Òu ABCD c¹nh a, gäi I lµ trung ®iÓm c¹nh AD. 3 TÝnh gãc gi÷a AB vµ CI (cos α = ) 6 17.Cho h×nh lËp ph¬ng ABCD.A’B’C’D’ a) TÝnh gãc gi÷a: AB’ vµ BC’; AC’ vµ CD’ (600 vµ 900) b) Gäi M, N, P lÇn lît lµ trung ®iÓm AB, BC, C’D’. H·y tÝnh gãc gi÷a: MN vµ C’D’; BD vµ AD’; A’P vµ DN. (600, 450, 900) Lo¹i 4: Gãc gi÷a ®êng th¼ng vµ mÆt ph¼ng: 18. Cho h×nh chãp S.ABCD cã ®¸y lµ h×nh vu«ng c¹nh a, SA = a 6 vu«ng gãc víi ®¸y. TÝnh gãc cña: a) SC víi (ABCD) (600) � 7� b) SC víi (SAB) �tan α = � � 7 � � 14 � c) SB víi (SAC) �sin α = 14 � � � 19. Cho h×nh vu«ng ABCD vµ tam gi¸c ®Òu SAB c¹nh a n»m trong 2 mÆt ph¼ng vu«ng gãc. Gäi I lµ trung ®iÓm AB. � 15 � a) Chøng minh SI ⊥ (ABCD) vµ tÝnh gãc hîp bëi SC víi (ABCD) �tan α = � � 5 � �a 3 6� b) TÝnh kho¶ng c¸ch tõ B ®Õn (SAD). Suy ra gãc cña SC víi (SAD) � ; sin α = � �2 4 � c) Gäi J lµ trung ®iÓm CD, chøng tá (SIJ) ⊥ (ABCD). � 2 � TÝnh gãc hîp bëi SI víi (SDC) �tan α = � � 3� 20. Cho h×nh chãp S.ABCD cã ®¸y lµ h×nh vu«ng t©m O, c¹nh a vµ SO vu«ng gãc víi ®¸y. Gäi M, N lÇn lît lµ trung ®iÓm SA vµ BC. BiÕt gãc gi÷a MN vµ (ABCD) lµ 60 0 � a 10 a 30 � a) TÝnh MN, SO �MN = ; SO = � � 2 2 � � 2 � b) TÝnh gãc cña MN víi mÆt ph¼ng(SBD) �sin α = � � 5� Lo¹i 5: Gãc gi÷a mÆt ph¼ng vµ mÆt ph¼ng: 21. Cho tø diÖn SABC cã SA, SB, Sc ®«i mét vu«ng gãc vµ SA = SB = SC. Gäi I, J lÇn lît lµ trung ®iÓm AB, BC. TÝnh gãc cña 2 mÆt ph¼ng: (SAJ) vµ (SCI) (600) 22. Cho h×nh chãp tam gi¸c ®Òu cã c¹nh ®¸y b»ng 3a, c¹nh bªn b»ng 2a. a) TÝnh gãc gi÷a c¹nh bªn vµ mÆt ®¸y (300) An Văn Long – THPT Trần Hưng Đạo page 5
Quan Hệ Vuông Góc Trong Không Gian � 2 � b) TÝnh gãc t¹o bëi mÆt bªn vµ mÆt ®¸y �tan α = � � 3� 23. Cho h×nh l¨ng trô ABC.A’B’C’ cã tÊt c¶ c¸c c¹nh ®¸y ®Òu b»ng a. BiÕt gãc t¹o bëi c¹nh bªn vµ mÆt ®¸y lµ 600 vµ h×nh chiÕu H cña ®Ønh A lªn (A’B’C’) trïng víi trung ®iÓm cña B’C’. a) TÝnh kho¶ng c¸ch gi÷a 2 mÆt ®¸y (3a/2) b) TÝnh gãc gi÷a 2 ®êng th¼ng: BC vµ AC’ (tan α = 3) c) TÝnh gãc gi÷a mÆt ph¼ng (ABB’A’) vµ mÆt ®¸y ( tan α = 2 3 ) 24. Cho h×nh vu«ng ABCD c¹nh a, vÏ SA = a 3 vu«ng gãc víi (ABCD). TÝnh gãc: a) (SAB) vµ (ABC) (900) b) (SBD) vµ (ABD) ( tan α = 6 ) c) (SAB) vµ (SCD) (300) 25. Cho h×nh vu«ng ABCD c¹nh a, t©m O; SA vu«ng gãc víi (ABCD). TÝnh SA theo a ®Ó gãc gi÷a (SBC) vµ (SCD) b»ng 600 (SA = a) a a 6 26. Cho h×nh thoi ABCD c¹nh a cã t©m O vµ OB = 3 , vÏ SO ⊥ (ABCD) vµ SO = 3 a) Chøng minh: gãc ASC = 900 b) Chøng minh: (SAB) ⊥ (SAD) 27. Cho tø diÖn ABCD cã ABC lµ tam gi¸c ®Òu, ∆ DBC vu«ng c©n t¹i D. BiÕt AB = 2a, AD = a 7 . TÝnh gãc gi÷a (ABC) vµ (DBC) (300) Lo¹i 6: C¸c bµi to¸n vÒ kho¶ng c¸ch: 28. Cho tø diÖn ABCD cã BCD lµ tam gi¸c ®Òu c¹nh a, AB ⊥ (BCD) vµ AB = a. TÝnh k/c: a 3 a) Tõ D ®Õn (ABC) ) ( 2 a 21 b) Tõ B ®Õn (ACD) ( ) 7 29. Cho h×nh chãp S.ABCD cã ®¸y lµ h×nh vu«ng c¹nh a, mÆt bªn SAB vu«ng gãc víi ®¸y vµ SA = SB = b. TÝnh kho¶ng c¸ch: 1 a) Tõ S ®Õn (ABCD) ( 2 4b − a ) 2 2 a 5 b) Tõ trung ®iÓm I cña CD ®Õn (SHC), H lµ trung ®iÓm AB ( 5 ) a 4 b2 − a2 c) Tõ AD ®Õn (SBC) ( ) 2b 30. Cho h×nh chãp S.ABCD ®¸y lµ h×nh vu«ng c¹nh a. SC = SA = SB = AD = a 2 . Gäi I, J lÇn lît lµ trung ®iÓm cña AD vµ BC a) Chøng minh (SIJ) ⊥ (SBC) a 42 b) TÝnh kho¶ng c¸ch gi÷a 2 ®êng th¼ng AD vµ SB ( ) 7 31. Cho h×nh l¨ng trô ABC.A’B’C’ cã AA’ ⊥ (ABC) vµ AA’ = a, ®¸y lµ tam gi¸c vu«ng t¹i A cã BC = 2a, AB = a 3 . An Văn Long – THPT Trần Hưng Đạo page 6
Quan Hệ Vuông Góc Trong Không Gian a 3 a) TÝnh kho¶ng c¸ch tõ AA’ ®Õn mÆt ph¼ng(BCC’B’) ( 2 ) a 21 b) TÝnh kho¶ng c¸ch tõ A ®Õn (A’BC) ( 7 ) a 2 c) Chøng minh r»ng AB vu«ng gãc víi mÆt ph¼ng(ACC’A’) vµ tÝnh d(A’ ,(ABC’)) ( 2 ) 32. Cho h×nh vu«ng ABCD c¹nh a. Dùng SA = a vµ SA ⊥ (ABCD). Dùng vµ tÝnh ®é dµi ®o¹n vu«ng gãc chung cña: a 2 a 2 a) SB µ AD b) AB vµ SC ( ; ) 2 2 33. Cho h×nh chãp S.ABCD cã ®¸y lµ h×nh vu«ng c¹nh a, SA = a vµ vu«ng gãc víi ®¸y. TÝnh kho¶ng c¸ch gi÷a 2 ®êng th¼ng: a 6 a 3 a) SC vµ BD b) AC vµ SD ( ; ) 6 3 An Văn Long – THPT Trần Hưng Đạo page 7

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

THÔNG TIN

TRỢ GIÚP

HỖ TRỢ KHÁCH HÀNG

Theo dõi chúng tôi

Chịu trách nhiệm nội dung:

Nguyễn Công Hà - Giám đốc Công ty TNHH TÀI LIỆU TRỰC TUYẾN VI NA

LIÊN HỆ

Địa chỉ: P402, 54A Nơ Trang Long, Phường 14, Q.Bình Thạnh, TP.HCM

Hotline: 093 303 0098

Email: support@tailieu.vn

Giấy phép Mạng Xã Hội số: 670/GP-BTTTT cấp ngày 30/11/2015 Copyright © 2022-2032 TaiLieu.VN. All rights reserved.